第12讲 圆与圆锥曲线综合
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第12讲 圆与圆锥曲线综合
【教学目标】 知识与技能
(1)能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题; (2)促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法
(1)综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题; (2)通过教学过程中的分析和解题后的反思,培养学生自觉领悟,自觉分析的意识。 情感态度与价值观
(1)培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。
(2)通过课堂中和谐、民主的师生关系,让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞,培养学生严谨的科学态度。 教学重点:
圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点:
圆和圆锥曲线的综合问题
考点链接:能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题]
例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18
2
2
≥≥=-y x y x ,圆2C 的方程为(x-3)2+y 2=1,斜率
为k (k >0)直线l 与圆C 2相切,切点为A ,直线l 与曲线C 1相交于点B ,3=AB ,则直线AB 的斜率为( ) A .1 B .
21 C .3
3 D .3
例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合,且经过),(05,则椭圆的标准方程__________________.
例3 已知椭圆E :122
22=+b
y a x (a >b >0)过点P (3,1),其左、右焦点分别为F 1,F 2,
且621-=•F F .
(1)求椭圆E 的方程;
(2)若M ,N 是直线x=5上的两个动点,且F 1M ⊥F 2N ,圆C 是以MN 为直径的圆,其面积为S ,求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程.
例4 若椭圆122
22=+b
y a x )
(0>>b a 内有圆x 2+y 2=1,该圆的切线与椭圆交于A ,B 两点,且满足0=•(其中O 为坐标原点),则9a 2+16b 2的最小值是_______.
例5 设向量s =(x+1,y ),=(y ,x-1),(x ,y ∈R )满足||+||=22,已知定点A (1,0),动点P (x ,y )
(1)求动点P (x ,y )的轨迹C 的方程;
(2)过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M ,N ,若,试求△MAN 的面积.
(3)过原点O 作直线l 与直线x=2交于D 点,过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G ,H (不妨设点G 在直线OD 上方),试判断线段OG 的长度是否为定值?并说明理由.
例6 已知动圆过定点P (1,0),且与定直线l :x=-1相切,点C 在l 上. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M 的方程;
(Ⅱ)设过点P ,且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A ,B 两点.
(i )问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点C 的坐标;若不能,说明理由; (ii )当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.
例7 已知双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为3
3
±=y ,左焦点为F ,过A (a ,0),B (0,
-b )的直线为l ,原点到直线l 的距离是
2
3
. (1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x+m 交双曲线于不同的两点C ,D ,问是否存在实数m ,使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F .若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
[思维训练]
1. 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合,且经过)0,5(,则椭圆的标准方程为:____________.
2. 已知双曲线与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ,且两曲线的一个交点为P ,|PF|=5,则
该双曲线的两条渐近线方程为____________.
3. 已知点P (4,4),圆C :(x-m )2+y 2=5
(m <3)与椭圆E :1
22
22=+b
y a x )
(0>>b a 有一个公共点A (3,1),F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF 1与圆
C 相切.
(1)求m 的值与椭圆E 的方程; (2)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求的取值范围.
4. 给定椭圆122
22=+b
y a x )
(0>>b a ,称圆心在原点O ,半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴随圆”.若椭圆C 的一个焦点为)0,2(1F ,其短轴上的一个端点到F 1的距离为3. (1)求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程;
(2)若倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点,且与椭圆C 的伴随圆相交于M 、N 两点,求弦MN 的长;
(3)点P 是椭圆C 的伴随圆上的一个动点,过点P 作直线l 1,l 2,使得l 1,l 2与椭圆C 都只有一个公共点,求证:l 1⊥l 2.
5. 已知点P (4,4),圆C :(x-m )2+y 2=5(m <3)与椭圆E :12222=+b
y
a x )
(0>>b a 有一个公共点A (3,1),F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF 1与圆C 相切.
(1)求m 的值与椭圆E 的方程;
(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求0=•的取值范围.
6.已知点M (-2,0),N (2,0),动点P 满足条件22=-PN PM ,记动点P 的轨迹为W .
(1)求W 的方程;
(2)过N (2,0)作直线l 交曲线W 于A ,B 两点,使得|AB|=22,求直线l 的方程. (3)若从动点P 向圆C :x 2+(y-4)2=1作两条切线,切点为A 、B ,令|PC|=d ,试用d 来表示PB PA •,并求PB PA •的取值范围.
7.某海域有A 、B 两个岛屿,B 岛在A 岛正东4海里处.经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线C ,曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A 、B 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的标准方程;
(2)某日,研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度
相同),A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5:3,问你能否确定P 处的位置(即
点P 的坐标)?