第12讲 圆与圆锥曲线综合

第12讲 圆与圆锥曲线综合

【教学目标】 知识与技能

（1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法

（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观

（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。

（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点：

圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点：

圆和圆锥曲线的综合问题

考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题]

例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18

2

2

≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率

为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ．

21 C ．3

3 D ．3

例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________．

例3 已知椭圆E ：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，

且621-=•F F ．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．

例4 若椭圆122

22=+b

y a x ）

（0>>b a 内有圆x 2+y 2=1，该圆的切线与椭圆交于A ，B 两点，且满足0=•（其中O 为坐标原点），则9a 2+16b 2的最小值是_______．

例5 设向量s =（x+1，y ），=（y ，x-1），（x ，y ∈R ）满足||+||=22，已知定点A （1，0），动点P （x ，y ）

（1）求动点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；

（2）过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M ，N ，若，试求△MAN 的面积．

（3）过原点O 作直线l 与直线x=2交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G ，H （不妨设点G 在直线OD 上方），试判断线段OG 的长度是否为定值？并说明理由．

例6 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x=-1相切，点C 在l 上． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；

（Ⅱ）设过点P ，且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点．

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围．

例7 已知双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为3

3

±=y ，左焦点为F ，过A （a ，0），B （0，

-b ）的直线为l ，原点到直线l 的距离是

2

3

． （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y=x+m 交双曲线于不同的两点C ，D ，问是否存在实数m ，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F ．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

[思维训练]

1. 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为：____________.

2. 已知双曲线与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，|PF|=5，则

该双曲线的两条渐近线方程为____________．

3. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5

（m ＜3）与椭圆E ：1

22

22=+b

y a x ）

（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆

C 相切．

（1）求m 的值与椭圆E 的方程； （2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求的取值范围．

4. 给定椭圆122

22=+b

y a x ）

（0>>b a ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“伴随圆”．若椭圆C 的一个焦点为)0,2(1F ，其短轴上的一个端点到F 1的距离为3． （1）求椭圆C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的伴随圆相交于M 、N 两点，求弦MN 的长；

（3）点P 是椭圆C 的伴随圆上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，求证：l 1⊥l 2．

5. 已知点P （4，4），圆C ：（x-m ）2+y 2=5（m ＜3）与椭圆E ：12222=+b

y

a x ）

（0>>b a 有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．

（1）求m 的值与椭圆E 的方程；

（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求0=•的取值范围．

6.已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件22=-PN PM ，记动点P 的轨迹为W ．

（1）求W 的方程；

（2）过N （2，0）作直线l 交曲线W 于A ，B 两点，使得|AB|=22，求直线l 的方程． （3）若从动点P 向圆C ：x 2+（y-4）2=1作两条切线，切点为A 、B ，令|PC|=d ，试用d 来表示PB PA •，并求PB PA •的取值范围．

7.某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的标准方程；

（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度

相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P 处的位置（即

点P 的坐标）？