圆锥曲线与圆
丹德林双球与圆锥曲线的立体视角
丹德林双球与圆锥曲线的立体视角一．基本原理1.丹德林双球的定义如图1所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为1C ，2C .这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G ·Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球.图1 图2如图1，设直线21F F 分别与圆锥母线交于B A ,两点，再设过点B A ,的母线分别与1C ，2C 交于D C ,两点，由切线长定理：AC AF =1，AD AF =2，故a AD AC AF AF 221=+=+.同理，对于平面α与圆锥侧面的交线上任意一点P ，过P 的母线分别与1C ，2C 交于Q M ,两点，则a MQ PF PF 221==+. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.2.长轴长与双球半径之间的关系：设两个球1O ，2O 的半径分别为21,r r ，球心距d O O =21，则如图2，图3，2122222211)(2r r d H O O O H O MQ a --=-===.3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设12O O EF D ⋂=，（公众号：凌晨讲数学）由于⎪⎩⎪⎨⎧==+121221r r D O D O d D O D O ，最终求出c 2.图3 图44.离心率与截面角之间的关系 在空间中，已知圆锥O 是由'l 围绕l 旋转得到的，我们把l 称为轴.用平面π截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴l 所成的线面角β（显然，当π与l 平行时，0=β），具体关系如下：（1）若1cos cos 0,<<>aβαβ，平面π截圆锥面所得截口曲线为椭圆； （2）若1cos cos ,==aβαβ，平面π截圆锥面所得截口曲线为抛物线： （3）若1cos cos ,><a βαβ，平面π截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值αβcos cos 就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比.二．典例分析例1．（2023届广州一模）如图是数学家 Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.解析：设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D ==所以42,33DE DF ==，所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=-++=，即2BC a =，过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ，则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ==，3a =，所以椭圆的离心率为13c a =. 故答案为：13例2.如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O 它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2C ，这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G ·Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，球1O ，2O 的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________．（公众号：凌晨讲数学）解析：如图，A 、B 为圆锥的一条母线与球21O O 、的切点，连接12O O 、12O B O A 、，则12O B AB O A AB ⊥⊥、，连接111112O F O P PF O A O B 、、、、，过1O 作12O D O B ⊥交于点D ，则21=30O O D ︒∠，在直角12O O D 中，2413DO =-=，所以1211212cos cos30O D O O D O O ︒∠====12=6O O，故AB ==11O PF 和1O PA △中，111==1O F O A ，11190O AP O F P ︒∠=∠=，1O P 为公共边，所以11O PF 1O PA ≅△，有1PF PA =.同理可得2PF PB =，由椭圆的定义，得长轴2a =1PF+2PF PA PB AB =+==故答案为： 例3．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球12O O ，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点12F F ，，丹德林（G Dandelim ⋅）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，12F F ，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x 轴上，且离心率为12的椭圆，圆锥的顶点V 到椭圆顶点1A，圆锥的母线2VA 与椭圆的长轴12A A 垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为30.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 中点为D ，过点F 2的直线MF 2与AB 垂直，且与直线l ：4x =交于点M ，求证：O ，D ，M 三点共线. 解析：（1）因为圆锥的母线与它的轴的夹角为30，所以1260AVA =︒，且2VA ⊥12A A ，所以直角三角形12VA A中，11sin 423AA VA a π=⨯===，所以2a = ，又因为12c e a ==，所以1c =，2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为221.43x y += （2）设1122(,),(,),(,),(,)D D M M A x y B x y D x y M x y ， 由题可知直线AB 的斜率存在且不为0，设其方程为()1y k x =-，代入椭圆22143x y +=，得：2222(43)84120k x k x k +-+-= 所以21228243D k x x x k +==+，所以22443D k x k =+，23(1)43D D k y k x k -=-=+ 由题可知直线2MF 的方程为1(1)y x k =--，且4M x =，所以3M y k=- 求得：22233434443OD k k k k k k -+==-+，3344OM k k k -==-，所以OD OM k k =，故O ，D ，M 三点共线。
从圆幂定理到圆锥曲线幂定理
从圆幂定理到圆锥曲线幂定理724300 陕西省略阳县天津⾼级中学陈波2016年6期史知识的互补性，另⼀⽅⾯，感受数学史料在思考、探究现代数学问题中所起到的重要指引作⽤．1．数学史料的呈现古希腊著名学者阿波罗尼奥斯所著的《圆锥曲线论》共8卷，含487个命题，可以说是古希腊⼏何的登峰造极之作．阿波罗尼奥斯在其著作中使⽤纯⼏何⽅法已取得了今天⾼中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果．阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中所说的“⼀圆锥截线”即现在解析⼏何中的椭圆、抛物线、双曲线的⼀⽀，“⼆相对截线”即双曲线．其中，卷3命题16、17、23就蕴含着圆幂定理与圆锥曲线幂定理之间的本质联系．《圆锥曲线论》卷3命题16、17如下：命题16 如果与⼀圆锥截线或⼀个圆的圆周相切的两直线相交，在这截线上取某个点，从它作⼀切线的平⾏线并与截线和另⼀切线相交，则在两切线上正⽅形的⽐，如同介于这截线和切线之间的两线段所夹的矩形与在切点处截出的线段上正⽅形的⽐．命题17 如果与⼀圆锥截线或⼀个圆的圆周相切的⼆直线相交，在这截线上任取两点，且从它们作两切线的平⾏线彼此相交且交于截线，则⼆切线上正⽅形之⽐将如同类似取得的线段所夹矩形之⽐．命题23 如果在共轭的两⼆相对截线中两条与⼀⼆相对截线相切的直线相交于任⼀截线之内，⼜任作平⾏于两切线的两直线相交并交于另⼀⼆相对截线，则两切线上正⽅形的⽐，将如同介于截线和⼆直线交点之间⼆线段所夹的矩形与类似取得的⼆线段所夹矩形的⽐．2．数学史料的现代⼏何语⾔解释及思考根据命题16知，过点做圆或圆锥曲线的两条切线、，切点分别为、．再过圆或圆锥曲线上任⼀点做平⾏于的直线，交圆或圆锥曲线于另⼀点，交于点，则．根据命题17知，在圆或圆锥曲线上分别以点、为切点的两条切线、交于点．再在圆或圆锥曲线上任取两点、，过点、分别作切线、的平⾏线、，并且、分别交圆或圆锥曲线于点、，同时与交于点，则．就圆⽽⾔，如图1，有．如图2，有．因为圆⾥，因此上述两个等式分别为，．因此圆幂定理实际上是说：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与半径为的圆相交于、两点，则为定值（这⾥、表⽰有向线段的数量）．这个定值叫做点关于此圆的幂，简称圆幂．只是当点在圆内时，，得相交弦定理；当点在圆上时，；当点在圆外时，，得割线定理、切线长定理、切割线定理．就椭圆⽽⾔，如图3，有．如图4，有．若过椭圆中⼼作、分别与切线、平⾏，则有，故．⼜图3中，若过椭圆中⼼作、分别与切线、平⾏，则，可得，切线可以看成由割线退化⽽来．因此，可以得到椭圆幂定理：过平⾯上⼀个定点，任作⼀直线与椭圆交于、两点，过椭圆中⼼作平⾏于的直线交椭圆于点，则为定值（这⾥、表⽰有向线段的数量）．这个定值叫做点关于此椭圆的幂，简称椭圆幂．只是当点在椭圆内时，，得椭圆相交弦定理；当点在椭圆上时，；当点在椭圆外时，，得椭圆的割线定理、切割线定理．就双曲线⽽⾔，仍然有命题16、17中的结论．由于与椭圆类似，不再详细写出．⽽命题23是只涉及双曲线的命题。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
几何中的圆与圆锥曲线
几何中的圆与圆锥曲线在几何学中，圆与圆锥曲线是两个重要的概念。
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，而圆锥曲线则是在三维空间中所形成的曲线形状。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
1. 圆圆是几何学中最简单的曲线之一。
它由一个中心点和到该中心点距离相等的所有点组成。
圆的特点是任意两点到中心点的距离相等，并且圆的周长与半径之间有一个简单的关系——周长等于半径的两倍乘以π（π是一个常数，约等于3.14159）。
圆在日常生活中有各种应用。
例如，我们常常用圆来描述和绘制轮子、盘子等物体的形状。
此外，圆也在数学和工程领域中广泛应用，例如计算圆的面积和周长，制作圆形零件等等。
2. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面沿着一个闭合曲线旋转而形成的曲线形状。
根据旋转的角度和曲线的性质，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2.1 椭圆椭圆是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之和始终相等的点的集合。
椭圆有一个中心点，称为焦点，同时还有一个主轴和一个短轴。
椭圆的形状由两个焦点之间的距离和轴的长度比例决定。
椭圆在物理学、天文学和工程学中都有应用。
例如，在天文学中，行星绕着太阳运行的轨道可以近似看作是一个椭圆。
在工程学中，椭圆也常用于设计和制造椭圆形的零件或器件。
2.2 双曲线双曲线也是一个闭合曲线，其定义是平面上到两个焦点的距离之差始终相等的点的集合。
双曲线有两个分离的焦点，并且没有轴。
双曲线的形状由两个焦点之间的距离和焦点到曲线的最近点之间的距离比例决定。
双曲线在数学和物理学中都有广泛应用。
在数学中，双曲线是一类重要的数学曲线，它具有许多有趣的性质和应用。
在物理学中，双曲线常用于描述光学系统中的折射和反射现象。
2.3 抛物线抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，其定义是平面上到焦点和曲线最近点的距离相等的点的集合。
抛物线有一个焦点，并且没有轴。
抛物线的形状由焦点到曲线的最近点之间的距离和焦点到曲线对称点的距离比例决定。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。
在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。
2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。
3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。
准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。
二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。
2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。
3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。
4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。
5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。
三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。
2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。
3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。
四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。
2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。
3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳-V1
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳-V1直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳：在二维平面直角坐标系中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线四种类型。
接下来，我们将会详细地讲述这些圆锥曲线与直线的位置关系。
圆与直线的位置关系：1. 直线与圆心重合。
此时直线为圆的切线。
2. 直线与圆相交于两个点。
此时直线为圆的切线。
3. 直线穿过圆。
此时直线为圆的割线，并且圆被割成两个部分。
4. 直线在圆内部。
此时直线与圆没有任何交点。
5. 直线在圆外部。
此时直线与圆没有任何交点。
椭圆与直线的位置关系：1. 直线经过两焦点之间。
此时直线与椭圆有两个交点。
2. 直线经过其中一个焦点。
此时直线与椭圆只有一个交点。
3. 直线经过两焦点之外。
此时直线与椭圆没有交点。
4. 直线在椭圆内部。
此时直线与椭圆没有任何交点。
5. 直线在椭圆外部。
此时直线与椭圆没有任何交点。
双曲线与直线的位置关系：1. 直线经过双曲线的两焦点之间。
此时直线与双曲线有两个交点。
2. 直线贯穿双曲线。
此时直线为双曲线的一条渐近线。
3. 直线经过双曲线的其中一个焦点。
此时直线与双曲线有一条公共切线。
4. 直线经过双曲线两焦点之外。
此时直线与双曲线没有交点。
5. 直线在双曲线内部。
此时直线与双曲线没有任何交点。
6. 直线在双曲线外部。
此时直线与双曲线没有任何交点。
抛物线与直线的位置关系：1. 直线经过抛物线的焦点。
此时直线与抛物线有一条公共切线。
2. 直线在抛物线的焦点与顶点之间穿过。
此时直线与抛物线有两个交点。
3. 直线在抛物线的顶点之上。
此时直线与抛物线有两个交点。
4. 直线在抛物线的顶点之下。
此时直线与抛物线没有任何交点。
5. 直线在抛物线的开口处之上。
此时直线与抛物线有两个交点。
6. 直线在抛物线的开口处之下。
此时直线与抛物线没有任何交点。
通过以上的总结归纳，我们可以看出不同类型的圆锥曲线与直线的位置关系会有所不同。
我们可以利用这些位置关系来解决一些几何问题，深化我们对圆锥曲线的认识。
圆锥曲线的方程和性质
圆锥曲线的方程和性质1）椭圆(ellipse)标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线(hyperbola)标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线(parabola)参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到准线的距离等于ex±a（到最近的准线的距离等于ex-a）圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
圆锥曲线圆幂定理
圆锥曲线圆幂定理
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
定理内容如下：
如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
- 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
- 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。
高中数学阿波罗尼斯圆与圆锥曲线应用
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与圆锥曲线专题阿波罗尼斯圆及其应用微点阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题．【典例刨析】1.设双曲线x216-y2b2=1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与∠F1PF2的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程；M在曲线E上，点A(8,0)，B(5,6)，则12AM+BM的最小值.2.(2022·广东梅州·高二月考)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A-2,1，B-2,4，点P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E:y2=4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PA+PQ+QH的最小值为．3.(2022安徽黄山·一模)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA||PB|=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足|PB||PA|=2，△PAB面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QM和QN的斜率满足k QM⋅k QN=3，则双曲线方程是；过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点M､N分别为△CF1F2､△DF1F2的内心，则MN的范围是 .4.(2022吉林·梅河口五中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，A0,1、B0,4，则点P满足λ=12所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点C -2,4 ，Q 为抛物线y 2=8x 上的动点，点Q 在直线x =-2上的射影为H ，M 为曲线x +2 2+y 2=4上的动点，则12MC +QH +QM 的最小值为．则MC +QH +QM 的最小值为．5.(2022湖北·武汉新洲区城关高中高二开学考试)阿波罗尼斯(古希腊数学家，公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为6，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的方程为6.(2022·河北·衡水二中高二期中)公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P (不同于A ，B )作长轴AB 的垂线，垂足为Q ，则PQ2AQ ⋅BQ为常数k ．若k =14，则该椭圆的离心率为．7.(2022江苏·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【针对训练】8.(2022·安徽皖北联盟高二联考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，下列选项中满足题意的方程为()A.x 264+y 216=1B.x 216+y 264=1C.x 2256+y 216=1D.x 264+y 232=19.(2022·河南·新蔡一中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.3210.(2022北京八一中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0，A、B为椭圆Γ长轴的端点，C、D为椭圆Γ短轴的端点，动点M满足MAMB=2，△MAB的面积的最大值为8，△MCD的面积的最小值为1，则椭圆Γ的离心率为.11.(2022·广东广州·高二期末)在平面上给定相异两点A，B，点P满足|PA||PB|=λ，则当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA||PB|=3，若△PAB的面积的最大值为3，则△PCD面积的最小值为.12.(2022湖南·益阳箴言中学高二月考)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，BC =6，sin B=12sin C，则△ABC的面积最大值为，此时AC的长为.13.(2022·浙江·高三开学考试)公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆(或圆)上任意一点P(不同于A，B)作长轴(或直径)AB的一条垂线段，垂足为Q，则PQ2AQ⋅BQ为常数k．若此图形为圆，则k=；若k=12，则此图形的离心率为．14.(2022·湖北·荆门龙泉中学二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l 表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)椭圆C 的离心率为．(2)点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为．15.(2022·北京朝阳·高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点A (-1,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA ||MB |=12，记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 的方程为(x +2)2+y 2=4；②曲线W 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为6；③曲线W 上存在点E ，使得E 到点A 的距离大于到直线x =1的距离；④曲线W 上存在点F ，使得F 到点B 与点(-2,0)的距离之和为8.其中所有正确结论的序号是.参考答案：1. x 2+y 2=16 35【解析】延长F 1Q 与PF 2的延长线交于点M ，计算OQ =12PF 1-PF 2 =4得到轨迹方程，取点C 2,0 ，12AM +BM =MC +BM ≤BC ，解得答案.【详解】如图所示：延长F 1Q 与PF 2的延长线交于点M ，则OQ =12MF 2=12PM -PF 2 =12PF 1-PF 2 =a =4，故轨迹方程为x 2+y 2=16.取点C 2,0 ，则OC OM =OM OA=12，ΔMOC ∼ΔMOA ，故MC =12PA ，12AM +BM =MC +BM ≤BC =35，当BMC 共线时等号成立.故答案为：x 2+y 2=16；35【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点C 2,0 证明相似是解题的关键.2. x +2 2+y 2=410-1##-1+10【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知QH =QF -1，进而可得PA +PQ +QH min =AF -1，即得.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB=12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12∴x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∴PA +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-12+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.3. x 2-y 23=1 2,433【解析】设A (0,b ),B (0,-b ),P (x ,y )，根据|PB ||PA |=2，求得x 2+y -5b 3 2=4b 3 2，结合△PAB 的最大面积得到b 2=3，再根据k QM ⋅k QN =3，得出x 2-y 23=1，设边CF 1,CF 2,F 1F 2上的切点分别为R ,S ,T ，根据内心的性质，得到MN ⊥x 轴，设直线CD 的倾斜角为θ，在△MF 2N 中，得到MN =2sin θ，进而求得MN 的取值范围.【详解】设A (0,b ),B (0,-b ),P (x ,y )，由题意知|PB ||PA |=2，可得PB =2PA ，即x 2+(y +b )2=2x 2+(y -b )2，整理得x 2+y -5b 3 2=4b 3 2，可得圆心为0,5b 3 ，半径r =4b3，所以△PAB 的最大面积为12×2b ×4b 3=4，解得b 2=3，即x 2a 2+y 23=1，设Q (x ,y ),M (x 1,y 1)，则N (-x 1,-y 1)，则x 21a 2+y 213=1，可得y 21=3(a 2-x 21)a 2，同理y 2=3(a 2-x 2)a 2则k QM =y -y 1x -x 1,k QN =y +y 2x +x 2，则k QM ⋅k QN =y 2-y 21x 2-x 21=3(a 2-x 2)a 2-3(a 2-x 21)a2x 2-x21=3，整理得a 2=1，所以双曲线的方程为x 2-y 23=1.如图所示，设边CF 1,CF 2,F 1F 2上的切点分别为R ,S ,T ，则M ,T 横坐标相等，则CR =CS ,F 1M =F 1T ,F 2S =F 2T ，由CF 1 -AF 2=2，即CR +RF 1 -CS +SF 2 =2，即RF 1 -SF 2 =2，即F 1T -F 2T =2，即点M 的横坐标为x 0，则T (x 0,0)，于是x 0+c -(c -x 0)=2，可得x 0=1，同样内心N 的横坐标也为1，则MN ⊥x 轴，设直线CD 的倾斜角为θ，则∠OF 2N =θ2,∠MF 2O =90°-θ2，在△MF 2N 中，MN =(c -a )tan θ2+tan 90°-θ2 =(c -a )sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=(c -a )⋅sin 2θ2+cos 2θ2sin θ2cos θ2=(c -a )⋅2sin θ，由双曲线的方程，可得a =1,b =3，则c =a 2+b 2=2，可得MN =2sin θ，又由直线CD 为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，可得60°<θ≤90°，即32<sin θ≤1，可得MN 的取值范围是2,433.故答案为：x 2-y 23=1；2,433.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：(1)几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；(2)函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值(或值域)，常用方法：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等，要特别注意自变量的取值范围.4. 17； 45-22【分析】(1)先利用阿氏圆的定义将12|MC |转化为M 点到另一个定点D 的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12|MC |+|QH |+|QM |的最小值；(2)由(1)知MC +QH +QM =MC +QF +QM ≥MC +MF ，又当过点M 的圆的切线与直线FC 平行且离直线FC 近时，MC +MF 取得最小值即可求解.【详解】解：设P (x ,y )，由题意PA PB=12，即x 2+(y -1)2x 2+(y -4)2=12，整理得x 2+y 2=4．因为圆x +2 2+y 2=4可以看作把圆x 2+y 2=4向左平移两个单位得到的，那么A 点平移后变为D -2,1 ，所以根据阿氏圆的定义，M 满足MD =12MC ，结合抛物线定义|QH |=|QF |，∴12|MC |+|QH |+|QM =|MD |+|QM |+|QF |≥|FD |(当且仅当D ，M ，Q ，F 四点共线，且Q ，M 在D ，F 之间时取等号)，此时|FD |=(-2-2)2+(1-0)2=17，故12|MC |+|QH |+|QM |的最小值为17．MC +QH +QM =MC +QF +QM ≥MC +MF (当且仅当M ，Q ，F 三点共线时等号成立)，根据光学的最短光程原理，我们从C 点发出一束光，想让光再经过F 点，光所用的时间一定是最短的，由于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。
圆锥曲线焦半径圆的性质
B1 P F2 O F1 x
焦点弦圆的性质
x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0), 过椭圆右焦点 F2 a b 的直线l与椭圆交于A, B两点，则以AB为直 径的圆与该椭圆的右准 线（） A.相切 B.相离
y
C.相交
D.无法确定
B1 x F2 O P F1
焦点弦圆的性质
已知抛物线y 2 2 px( p 0), 过其焦点F的直线l 交抛物线与点A，B两点，则以AB为直径的圆 与准线（） A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定
y
x 1(a 0, b 0), 过双曲线右焦点 F2 a b 的直线l与双曲线交于A, B两点，则以AB为直径的圆与 该双曲线的右准线（） A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定
圆锥曲线焦半径圆 与焦点弦圆的性质
结论1
1、椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径
的圆内切；
2、双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直
径的圆外切；
3、抛物线中以焦半径为直径的圆必与顶点处的
切线相切；
结论2
1、椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线
相离；
2、双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准
线相交；
3、抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准
线相切；
焦半径圆的性质
x2 y2 已知点M是双曲线 2 2 1右支上的任意一点， F1 a b 是它的右焦点，则以 MF1为直径的圆与圆： x2 y2 a2 的位置关系是什么？
y
x F2 O F1
M
焦半径圆的性质
x2 y 2 已知点A是椭圆 2 2 1上的任意一点， F1是它的右焦点， a b 则以AF1为直径的圆与圆： x 2 y 2 a 2的位置关系是什么？
圆与方程以及圆锥曲线
为
－D2 ，－E2 ，半径为
1 2
D2＋E2－4.F
3．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程 ； (2) 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3) 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程 ．
43
4 3 12
方程为x2＋y2＝1 或3y2＋4x2＝1.
86
25 25
反思感悟：善于总结，养成习惯
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x
轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程 xa22＋yb22＝1(a>b>0)或xb22＋ya22＝1(a>b>0)或 mx2＋ny2＝1.(3)找关系：根据已知条件，建
第 1 讲 圆的方程
掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定的点、圆的方程，判断直线和圆的位 置关系，建立用代数方法处理几何问题的思想．
基础自查
1．圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点 (a，b为) 圆心，r为半径的圆的标准方 程．
2．圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程．其圆心
＝
1＋k12y1－y22＝
1＋k12· y1＋y22－4y1y2(k 为直线斜率)．
课堂总结 感悟提升
1．求椭圆方程：(1)可通过对条件的“量化”根据两个条件利用待定系数法求椭 圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求椭圆方程．
2．(1)如果已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)上一点 P，需要解决有关△PF1F2 的问题，由于 在△PF1F2 中已知 F1F2＝2c，PF1＋PF2＝2a，如果再给出一个条件，△PF1F2 可解． (2)当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可考虑由P到P到 对焦 应点 准的 线距 的离 距离＝ca 和方程推出的结论——焦半径公式 PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.
微专题二圆与圆锥曲线中的二级结论
圆与圆锥曲线中的二级结论一、极点极线：设点00(,)P x y 是平面上任意一点，点00(,)P x y 对应的极线为l ①圆222()(),x a y b r -+-= 极线200:()()()()l x a x a y b y b r --+--= ②椭圆22221x y a b +=，极线0022:1x x y y l a b +=③双曲线22221x y a b-=，极线0022:1x x y y l a b -=④抛物线22y px =，极线00:()l y y p x x =+（其余三种类推）性质：（Ⅰ）点P 在曲线上，则在点P 处的切线即为极线l（Ⅱ）点P 在曲线外，则极线l 为过点P 处作曲线的两条切线的切点弦所在的直线方程 （Ⅲ）点P 在曲线内，则极线l 为过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹例1、（2020年全国Ⅰ）已知22:2220,M x y x y +---=直线:220,l x y ++=P 为l 上的动点。
过点P 作M 的切线,,PA PB 切点为,A B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A 、210x y --=B 、210x y +-=C 、210x y -+=D 、210x y ++=【分析】22:(1)(1)4M x y -+-=，由等面积关系可得PM AB ⋅=显然当PM 最小时即PM l ⊥时，PM AB ⋅最小，此时PM 方程为210x y -+=，由210(1,0)220x y P x y -+=⎧⇒-⎨++=⎩则AB 的方程为21x y ++跟踪训练：在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,4)P 向圆222:()5(16)C x m y m m -+=+<<引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点A 、1(,1)2-B 、3(1,)2-C 、13(,)22-D 、1(1,)2-例2、（2020海南名校联考）过点(1,1)H -作抛物线24x y =的两条切线,,HA HB 切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A 、220x y -+=B 、220x y --=C 、220x y +-=D 、220x y -+= 【分析】 由极点极线可得AB 的方程为12(1)x y ⋅=-即220x y -+=跟踪训练：已知F 为抛物线22y x =的焦点，A 为抛物线上的动点，点1(,0)2B -，当AB AF 取得最大值时，AB 的值为A 、2BCD 、1PM ABBA PQ 二、抛物线中的二级结论 1、2、抛物线中的阿基米德三角形则0PA PB ⋅=⇔直线AB图1图2例3、设F 为抛物线24y x =的焦点，,A B 为抛物线上两点，若20,FA FB += 则2FA FB += 【分析】由 20,FA FB +=得,,F A B 三点共线，且2FA FB = 则24FA FB FB +=，由11232BF BF AF p +=⇒=，所以26FA FB += 跟踪训练：（2020衡阳一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 交于,A B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 例4、（2018全国Ⅲ）已知点(1,1)M -和抛物线2:4,C y x =过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点。
圆锥曲线简介
圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。
圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。
圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。
对于0 < e < 1得到椭圆，对于e = 1得到抛物线，对于e > 1得到双曲线。
圆锥曲线的类型圆锥曲线方程离心率（e）半焦距（c）半正焦弦（ℓ）焦点准线距离（p）圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。
在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。
交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
几何性质椭圆（Ellipse)椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。
抛物线（Parabola)抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
双曲线（Hyperbola)双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。
离心率有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。
对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。
从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。
从中心到焦点的距离是。
在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。
阿波罗尼圆与圆锥曲线
阿波羅尼奧斯與〈圓錐曲線〉圖：阿圖：波羅尼奧斯（Apollonius of perga，希臘人，西元前262～190年）阿波羅尼奧斯（圖）在數學上最大的成就是著作〈圓錐曲線〉一書。
該書建立了完善的圓錐曲線理論。
書中他總結了門內馬斯（Menaechmus）、阿利斯泰奧斯（Aristaeus）、歐幾里德、阿基米德諸名家在圓錐曲線理論方面的成果，再加上自己傑出的創見著作而成。
此書在歐洲長期被視為數學經典大作與歐幾里德的〈原本〉並駕其驅。
全書共分八卷487個命題，現存有七卷，382個命題。
原希臘文本只有前四卷保存到現在，其後面三卷為阿拉伯文譯本，第八卷失傳。
其中前三卷可能以歐幾里德的〈二次曲線〉及前人著作為基礎，改寫而成。
圖左：笛卡爾（法國人，1596～1650）哲學、數學、物理學家，喜歡晚睡晚起，許多發現都在清晨躺在床上發現。
主張“系統的懷疑”，提出“我思故我在”主張。
經典著作是〈方法論〉，書中的附錄〈幾何學〉闡明他關於解析幾何的思想，使他贏得解析幾何的創造人。
圖右：巴斯卡（法國人，1623～1662）哲學、神學、數學名家，從小就表現對數學的非凡才能，16歲時發表“巴斯卡六邊形定理”，為射影幾何的基本理論。
他也是概率論的創始人之一。
製造世界第一台的加、減計算器。
哲學名言是：人只不過是會思考的蘆葦罷了！一生只活39歲。
圖1：著名數學家兼哲學家笛卡爾和巴斯卡〈圓錐曲線論〉是一部經典巨著，它可說代表希臘幾何學的高超水準，自此以後，希臘人在幾何學上便沒有實質性的進步。
直到十七世紀的〈笛卡兒〉（R.Descartes）和巴斯卡（B. Pascal）（圖1），圓錐曲線的理論才再度被廣泛討論，以後便朝著兩個方向發展，一是解析幾何，另一個是射影幾何，兩者幾乎同時出現。
其實兩大領域的思想和基本原理，可說在阿波羅尼奧斯時，就已經開始萌芽。
與阿基米德比較，阿波羅尼奧斯注意圖形的幾何性質，而阿基米德注重圖形的數值計算，這使阿波羅尼奧斯成為解析幾何工作的先驅著，而阿基米德為微積分工作的先驅者。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。
圆锥曲线纯几何方法-概述说明以及解释
圆锥曲线纯几何方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
圆锥曲线的研究既可以通过解析几何的方法进行，也可以通过纯几何的方法进行。
本文将重点讨论圆锥曲线的纯几何方法，探讨其在研究圆锥曲线中的应用。
圆锥曲线是指平面上由一个动点和一个定点的连线所构成的轨迹。
它可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的性质各不相同，具有一些独特的几何特征。
通过研究它们的定义、性质和分类，可以更好地理解它们的本质和特点。
纯几何方法是指在研究中不涉及具体的数值计算，而是通过几何形状和图形关系来推导和证明结论。
纯几何方法在研究圆锥曲线中具有重要的作用。
通过纯几何方法，我们可以更加直观地理解和描述圆锥曲线的性质，揭示其内在的几何结构。
纯几何方法在研究圆锥曲线中的应用可以从多个角度进行分析。
首先，它可以用于推导和证明圆锥曲线之间的关系和定理，深化我们对这些曲线的认识。
其次，纯几何方法可以解决一些与圆锥曲线相关的实际问题，例如光学中的反射定律等。
最后，通过纯几何方法，我们可以发现一些新的性质和结论，为圆锥曲线的研究提供新的思路和方法。
当然，纯几何方法也存在一定的局限性。
由于纯几何方法不涉及具体的数值计算，因此对于一些复杂的问题，可能无法通过纯几何方法得到准确的答案。
此外，纯几何方法需要较强的几何直观和推理能力，对于初学者来说可能较为困难。
综上所述，圆锥曲线的纯几何方法在研究中有着重要的地位和作用。
通过纯几何方法，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，发现新的结论和定理。
同时，纯几何方法也存在一定的局限性。
因此，我们需要在实际问题中灵活运用不同的方法，以达到更好的研究效果。
对于圆锥曲线的研究，纯几何方法给予我们启示和展望，帮助我们进一步深入研究和应用圆锥曲线的相关领域。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要介绍了圆锥曲线的纯几何方法，分为引言、正文和结论三个部分进行阐述。
二次曲线-即-圆锥曲线
二次曲线即圆锥曲线.圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。
1简介2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”.事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.2定义编辑几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线,但严格来讲，它还包括一些退化情形.具体而言：1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线.3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点.6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7）当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上,二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。
焦点--准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形,因而不能算是圆锥曲线的定义。
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定义（平面内到定点距离与到定直线距离之比为一常数）反映了他们
内在的联系,这种联系从以上与圆有关的问题中得到了统一,从他们
位置关系的对称到方程形式的平行又体现了数学对称与和谐之美.
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例9 已知如（图9）抛物线（x＞０）F为焦点,AB为过焦点F的弦.
求：（1）以AB为直径的圆M与准线相切.
（2）点A、B在准线上的射影、则以为直径的圆过焦点F.
F
（图9）
M
y
x
O
B
A
●
Ｎ
分析：（1）
M到准线的距离
所以圆M与准线相切.
（2）由定义可证
求圆心P的轨迹方程.
分析：所以P点的轨迹是
以C1、C2为焦点的双曲线的一支,其中a=3,
b=4,c=5所以P点的轨迹方程为
.
例3 已知如（图3）两圆C1 ,
C2分别求出下列情况下动圆心P点的轨迹方程.
C1
y
x
O
C2
P
（图3）
（1） 动圆P与两圆均内切.
（2） 动圆P与两圆均外切.
（3） 动圆P与圆C1内切与圆C2外切.
（4） 动圆P与圆C2内切与圆C1外切.
分析：（1）设P（x,y）动圆半径为r因与
两圆均内切,故有： ①
②
① －②得.
所以P点在以C1,C2为焦点的双曲线一支上.
a=1,b=,c=3 ,P点轨迹方程为：.
同理点P轨迹方程：.
（2） 因为动圆P与圆C1内切与C2外切,所以
圆锥曲线与圆
山东省滕州一中 张开余 刘健 金文印 （277500）
圆锥曲线与圆有着天然的联系,一方面由动圆的圆心可生成圆锥曲线,反过来由圆锥曲线又可生成圆,圆锥曲线的许多性质都与圆有关,通过以下例题我们可以发现他们之间内在的联系.
y
（图1）
C11
C2
P
x
1、动圆圆心产生圆锥曲线
① ②
由①－②得,点P在以C1、C2为焦点的双曲线一支上,其中a=2,
b2=5,c=3所以点P的轨迹方程为：.
同理可得动圆P的圆心P点轨迹方程为 .
评：内切、外切这种位置关系的对称反映到轨迹方程上的对称,且是同一个方程所表示的双曲线的不同两支,从中可以看到数与形的和谐与统一.类似的动圆心还可以得出抛物线.
求M点的轨迹方程.
分析：同理==
所以M点的轨迹方程为.
评：以上两题椭圆、双曲线；外角平分线、内角平分线有关的性质又在圆上得到了统一.
3、圆锥曲线与圆有关的性质
y
x
M
P
O
F2
F1
(图7)
例7 已知如（图7）椭圆方程 .
点P为它上面一动点,F1、F2为焦点,则以PF2为直径的圆
与圆内切.
分析：连接PF1及OM, M为PF2中点
=
P
O
F1
M
y
x
（图8）
F2
所以以PF2为直径的圆M与圆内切.
例8 已知如（图8）双曲线C的方程,
F1、F2为左右焦点,P它上面的动点则以PF2为直径
的圆M与圆外切.
分析：连接PF1,MO,可得
=所以圆M与外切.
过F1作∠F1PP2外角平分线的垂线F1M,M为垂足,
求M点的轨迹方程.
分析：延长F1M与F2P的延长线相交于N,连接OM则
= ===
O
x
y
M
F1
N
F2
P
（图6）
所以M点的轨迹方程为 .
例6 已知如（图6）双曲线C： P为异于顶点的一动点,
过F1作∠F1PF2内角平分线的垂线F1M,M为垂足,
例1 已知如（图1）圆C1 ： ,
点C2 (3,0),动圆P过点C2与圆C1内切,求圆心P轨迹方程.
分析：由
所以P点是以C1、C2为焦点的椭圆,a=5, b=4, c=3
其方程为:.
例2 已知如（图2）圆C1 ,
C1
C2
P
y
x
图（2）
点C2（5,0）,动圆P过点C2与圆C1外切,
y
O
x
（图4）
F
M
例4 动圆M在y轴右侧与圆F：外切,
又与y轴相切,求其圆心M的轨迹方程.
分析：设M（x,y）由题意知
.
2、由圆锥曲线而产生圆
F1
O
F2
N
M
P
x
y
（图5）
例5 已知如（图5）椭圆方程C：.
P为椭圆上一动点（异于两轴）,F1、F2为两焦点,