第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质

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圆锥曲线PPT优秀课件

F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ．与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为

老高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件

F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12，抛物线 C 的方程为：y2＝x，因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1，故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5，设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝＝32，或xy00＝＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．

专题12 直线、圆、圆锥曲线的方程与性质

专题12 直线、圆、圆锥曲线的方程与性质1.已知方程22121x y k k +=--的图像是双曲线,那么k 的取值范围是 . 2.已知函数2()4+3f x x x =-,集合(){},|()()0M x y f x f y =+≤,(){},|()()0,N x y f x f y x y =-≥≥,则集合M N 的面积是 .3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB = ,则椭圆的离心率为 .4.在ABC ∆中,390,tan 4A B =︒=,若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .5.如果方程222kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 .6.已知点()2,3在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上,双曲线C 的焦距为4,则它的离心率为 .7.设()00,M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是 .8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 .9.在平面直角坐标系x O y 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围为 .10.已知三点()()()125,2,6,0,6,0P F F -.(1)求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为12,,P F F ''',求以为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,上下顶点分别为12,B B .设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13,圆C 与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B 对称.(1)求椭圆E 的离心率；(2)判断直线11A B 与圆C 的位置关系,并说明理由；(3)若圆C 的面积为π,求圆C 的方程. 12. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()12,0F -,右准线方程为8x =. (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为右准线上一点,A 为椭圆C 的左顶点,连接AM 交椭圆于点P ,求PM AP的取值范围；(3)设圆()()22:14Q x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点,过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS ,BT ,切点分别为,S T ,求BS BT ⋅ 的最大值.。

完美版圆锥曲线知识点总结

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

第1课时圆锥曲线的定义、方程与性质

| MF | +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4 2
3 =2 3 .故选C. 2
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考点二圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
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3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
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方法归纳求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.
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(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
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跟踪集训
x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
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典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )

专题五第一讲直线与圆

(x－1)2＋y2＝1
点评：本题主要考查平面图形的折叠问题、二面角以及利用代入法求圆的方程等知识，涉及空间与平面直角坐标系与斜坐标系的转化．综合性强、创新角度新颖．
已知圆C：x2＋y2＝12.直线l：4x＋3y＝25.圆C上任意一点 A到直线l的距离小于2的概率为________．
解析：如图，设与直线 4x＋3y＝25 距离为 2 且与该直线平行的直线与圆交于 P、Q 两点．因为点 O 到直线 PQ 的距离 d＝3.又 r＝2 3，∴∠ OPQ＝60° .若点 A 到直线 l 的距离小于 2，则点 A 只能在弧 PQ 上，∴ P＝ 60° 1 ＝ . 360° 6
[考题
查漏补缺]
(2011· 重庆高考)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x
＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到
的最大值为________．
[解析]
依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件
的圆的半径最大，需圆与抛物线及直线 x＝3 同时相切，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.
结论：
l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1· 2＝－1. k (2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2： A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[做考题
查漏补缺]
答案：D
7．(2011· 湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y ＋1＝0 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为________．

高中个性化培训讲义直线与圆锥曲线

第七讲直线与圆锥曲线教学目标：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.一、知识回顾课前热身知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.例题辨析推陈出新例1(1)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 2a ＝1，得(a ＋4k 2)x 2－8kx ＋4－4a ＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k 2－4×(4－4a )(a ＋4k 2)＝0，即a ＋4k 2－1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1. [答案] (1)a ＋4k 2－1＝0 (2)D 变式练习1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，得－1≤k ≤1，且k ≠0.综上－1≤k ≤1.例2已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[自主解答] (1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N 、y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒ m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上，m 的取值范围是12<m <2.变式练习2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，b ＝23.故所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例3已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆M 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[自主解答] (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得 ⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．＝－4k 22k 2＋1，x 0如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12<x G <0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.变式练习3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ·k NQ ＝－1，即2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ ―→与MP 共线，得x 0＝2xtx ＋t.②由①②得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)，∴t ＝－x 2＋13x＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋13x . ∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.三、归纳总结方法在握归纳2种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．3类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．(2)证明定点和定值问题的方法定点和定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．求最值常见的解法有几何法和代数法.四、拓展延伸能力升华(2012·福建高考·满分13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.⇨(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．⇨(10分)设M (x 1,0)，则MP ·MQ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－x 1，3m ， MQ＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP ·MQ＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .五、课后作业巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k >－b aB ．k <baC ．k >b a 或k <－b aD ．－b a <k <b a解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－b a <k <ba .2．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x24＋y 2＝1截得的最大弦长等于( )A ．4 B.433C ．2D ．不能确定解析：选B 直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 解析：选D 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，又b 2＝a 2－c 2，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.4．(2013·温州模拟)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA|为( )A.21p 4B.21p2 C.136p D.1336p|AD |＝3解析：选B 如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，m ，由抛物线定义知|F A |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ，∴m ＝p .∴|OA |＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 5．(2013·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 设过点(0,1)斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个根；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝－16k ＋16，由Δ＝0，即－16k ＋16＝0得k ＝1.所以k ＝0，或k ＝1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x ＝0和抛物线只有一个公共点．6．(2013·绍兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32解析：选B 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0.又∵M ，N ，P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)． ∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 ·y ＋y 0x ＋x 0.∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|，即|k 1|·|k 2|＝b 2a 2.又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2ba，∴2ba ＝1，即4b 2＝a 2.∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2. ∴c 2a 2＝54.即e 2＝54，∴e ＝52. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝08．一动圆过点A (0,1)，圆心在抛物线x 2＝4y 上，且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程为________．解析：由于A (0,1)为抛物线的焦点，由抛物线定义可知，圆心到A 点的距离等于到准线的距离，故l ：y ＝－1.答案：y ＝－19．(2012·重庆高考)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0， x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝34.又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22.11．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m 8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m 2，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m 8－10. ∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k 2，∴b 2k 2＋16bk＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)， ∴直线PQ 恒过定点(16,0)．12．(2012·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有 x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2<1，即(1＋k2)x2<a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a2(1＋k2)2<a2，解得k2>3，所以|k|> 3.。

圆锥曲线的方程与性质

代入①得（5－ 4c2c）2＋4（53－c c）＝1，
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝－1(舍去)或 c＝3.
索引
所以 C1 的标准方程为3x62＋2y72 ＝1， C2的标准方程为y2＝12x.
索引
考点整合
///////
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
所以
C
的离心率
e＝ac＝22ac＝|PF|1F|－1F|2P| F2|＝
27mm＝
7 2.
索引
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为 C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__x_＝__－__23_______. 解析法一由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以 tan∠OPF
索引
(2)(2021·江南十校联考)已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若△MNF2 的周长为 8，则△MF1F2 面积的
最大值为( B )
3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.3
解析由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a，所以△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8. 则 a＝2，故 c＝ a2－1＝ 3.

圆锥曲线精讲

圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

b5E2RGbCAP圆锥曲线分类圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线p1EanqFDPw椭圆：到两个定点的距离之和等于定长<定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|>}。

DXDiTa9E3d双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值<定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|>}。

RTCrpUDGiT 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。

早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

5PCzVD7HxA1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12）双曲线参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2 /a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴） jLBHrnAILg3）抛物线参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数> t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0xHAQX74J0X直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c <开口方向为x轴, a<>0 > LDAYtRyKfE圆锥曲线<二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 Zzz6ZB2Ltkρ=ep/(1-e×co sθ>其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =；若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第1讲直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)．则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)．因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________．答案252解析由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二圆的方程核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255；当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________．答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3，设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)．又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)，将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)，直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析取AB 的中点D (2，－3)，则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4，即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________．答案 3＋2 2解析因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________．答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1，设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确；又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。

教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。

教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。

教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。

1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。

1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。

第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。

2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。

圆与方程以及圆锥曲线

为
－D2 ，－E2 ，半径为
1 2
D2＋E2－4.F
3．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3) 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
43
4 3 12
方程为x2＋y2＝1 或3y2＋4x2＝1.
86
25 25
反思感悟：善于总结，养成习惯
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x
轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程 xa22＋yb22＝1(a>b>0)或xb22＋ya22＝1(a>b>0)或 mx2＋ny2＝1.(3)找关系：根据已知条件，建
第 1 讲圆的方程
掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定的点、圆的方程，判断直线和圆的位置关系，建立用代数方法处理几何问题的思想．
基础自查
1．圆的标准方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点 (a，b为) 圆心，r为半径的圆的标准方程．
2．圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫做圆的一般方程．其圆心
＝
1＋k12y1－y22＝
1＋k12· y1＋y22－4y1y2(k 为直线斜率)．
课堂总结感悟提升
1．求椭圆方程：(1)可通过对条件的“量化”根据两个条件利用待定系数法求椭圆的标准方程；(2)可利用求轨迹方程的方法求椭圆方程．
2．(1)如果已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)上一点 P，需要解决有关△PF1F2 的问题，由于在△PF1F2 中已知 F1F2＝2c，PF1＋PF2＝2a，如果再给出一个条件，△PF1F2 可解． (2)当然如果涉及到椭圆上点到焦点的距离，也可考虑由P到P到对焦应点准的线距的离距离＝ca 和方程推出的结论——焦半径公式 PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.

高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计

因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1，解析联立ax22＋by22＝1，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2，则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32，综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.