第2讲 圆锥曲线的方程与性质
2020高考数学(文科)二轮专题精讲《圆锥曲线的方程与性质》
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥
PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
3－1 C. 2
D. 3－1
解析：选 D 不妨设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
在Rt△F1PF2中，因为∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c， 所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a， 所以椭圆的离心率e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选D.
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定 时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞ 0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
(2)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图(1)，A(－ 3，0)，B( 3，0)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°. 则|MO|≤1，即 0＜m≤1；
当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，如图(2)，A(0， m)，B(0，－ m)．
A. 2
B．2
C.3 2 2
D．2 2
解析：选D ∵e＝ac＝
1＋ba2＝ 2，且a＞0，b＞0，
∴ba＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为 |42| ＝2 2.
2．(2019·大连模拟)已知椭圆C：
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线是数学中研究的重要内容之一，它是由一个固定点（焦点）和到这个点的固定距离之比保持不变的点（动点）所生成的曲线。
根据固定点与动点之间的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将介绍圆锥曲线的方程与性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种形式，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 椭圆的中心位于原点(0,0)。
3. 椭圆的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 -b^2$。
4. 椭圆上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之和是一个常数，满足Kepler定律。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 双曲线的中心位于原点(0,0)。
3. 双曲线的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
4. 双曲线上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之差是一个常数。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种形式，它具有以下方程：$$y^2 = 4ax$$其中，a代表抛物线的焦点到抛物线的距离。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是一个对称图形，其对称轴是y轴。
2. 抛物线的焦点位于焦点到抛物线的距离上方的点(a, 0)。
3. 抛物线的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时开口向右，当a<0时开口向左。
4. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线准线的距离。
总结圆锥曲线是一类重要的数学曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有特殊的方程和性质，通过研究这些方程和性质，可以更加深入地理解曲线的形态和特性。
圆锥曲线的性质与方程
圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。
一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。
2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。
3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。
二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。
每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。
3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。
2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。
双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。
3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。
综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。
抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。
它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。
对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。
2014高考数学二轮高强优化课件：圆锥曲线的定义、方程与性质
考点
椭 圆
双曲线 抛物线
圆锥曲线的综合问题
考情
1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象， 有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a，b，c之间 的内在联系及其几何意义． 2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二 是通过方程研究双曲线的性质，如2013年新课标全国卷 Ⅰ T4, 2013年浙江T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数 法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如2013年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如 2013年天津T5.
x2 y2 (2)设 F1， F2 分别为双曲线 － ＝1 的左、 9 16 右焦点，过 F1 引圆 x2＋y2＝9 的切线 F1P 交双 曲线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于 A．4 C．2 B． 3 D．1 ( )
解析：由已知得抛物线的焦点 上点
p F2，0，设点
A(0,2)，抛物线
p y2 0 M(x0，y0)，则 AF ＝2，－2， AM ＝2p，y0－2.由已
知得， 即 AF · AM ＝0， 由|MF|＝5 得， p＝8.
y2 因而 0－8y0＋16＝0，
x2 y2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)①，点 A 的坐标为 a b (x0，y0)． 由题意得 a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝ 3，
2 2 x0＋y0＝3， 所以 2 2 x0＋4y0＝4，
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。
本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。
一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。
对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。
以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。
对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。
以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。
圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。
同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。
以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。
专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质
易错提醒
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参 数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线 中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意 焦点位置.
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 22x，实轴长为 4，则该双曲 线的方程为
cos∠AF1B＝|AF1|22＋|AF|B1F|·|1B|2F－1||AB|2 ＝4m22＋·29mm·23－m9m2＝13，
在△AF1F2中， cos∠F1AB＝|AF1|22＋·|A|AFF1|2·||2A－F|2F| 1F2|2 ＝4m22＋·2mm2·－m 4c2＝cos∠AF1B＝13，
即 cos∠NMM′＝|M|MMN′| |＝ 55，
所以 cos∠OFA＝cos∠NMM′＝ 55， p
而 cos∠OFA＝||OAFF||＝
2＝ 2p2＋22
55，解得
p＝2.
(2)( 多 选 )(2022·新 高 考 全 国 Ⅱ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 过 抛 物 线 C ： y2 ＝
对于 B，由选项 A 的分析，知直线 AB 的方程为 y＝2 6x－p2， 代入 y2＝2px，得 12x2－13px＋3p2＝0，解得 x＝34p 或 x＝13p， 所以 xB＝13p，所以 yB＝－ 36p，所以|OB|＝ x2B＋y2B＝ 37p≠|OF|，故 B 不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析， 得|AB|＝xA＋xB＋p＝1123p＋p＝2152p>2p，即|AB|>4|OF|，故 C 正确； 对于 D，易知|OA|＝ 433p，|AM|＝54p，
在抛物线 C 上，射线 FM 与 y 轴交于点 A(0,2)，与抛物线 C 的准线交于
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
)
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x42－y52＝k(k>0)，即4xk2－5yk2
＝1，因为双曲线与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点，所以 4k＋5k＝12－3，解得 k＝1，故
(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a 最小，所以 ∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2 中，由余弦定理，可得 cos 30°＝|PF1|22＋|P|FF11|F|F2|12F－2||PF2|2＝162a×2＋44ac×2－2c4a2＝ 23， 整理得 c2＋3a2＝2 3ac，解得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a. 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A
[对点训练]
1．(2019·福州模拟)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的
一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若B→A＝2A→F，且|B→F|＝4，则双曲线
C 的方程为( )
A．x62－y52＝1
B．x82－1y22 ＝1
C．x82－y42＝1
p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：选 D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(± 2p，0)，所 以p2＝ 2p，解得 p＝8，故选 D.
3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近
圆锥曲线的方程与性质
即 c2－2c－3＝0，解得 c＝－1(舍去)或 c＝3.
索引
所以 C1 的标准方程为3x62＋2y72 ＝1， C2的标准方程为y2＝12x.
索引
考点整合
///////
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
所以
C
的离心率
e＝ac＝22ac＝|PF|1F|－1F|2P| F2|＝
27mm＝
7 2.
索引
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为 C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线 方程为__x_＝__－__23_______. 解析 法一 由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以 tan∠OPF
索引
(2)(2021·江南十校联考)已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若△MNF2 的周长为 8，则△MF1F2 面积的
最大值为( B )
3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.3
解析 由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a， 所以△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8. 则 a＝2，故 c＝ a2－1＝ 3.
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线的方程和性质
圆锥曲线的方程和性质1）椭圆(ellipse)标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线(hyperbola)标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线(parabola)参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到准线的距离等于ex±a（到最近的准线的距离等于ex-a）圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
圆锥曲线的方程圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的方程圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程：圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个到该点距离与到一个固定直线（称为准线）距离成比例的点（称为动点）构成的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式，每种形式都有其特定的方程和性质。
1. 椭圆的方程与性质：椭圆是焦点到准线的距离比常数小于1的点构成的曲线。
其标准方程为：[(x - h)^2 / a^2] + [(y - k)^2 / b^2] = 1其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆的性质包括：- 对称性：椭圆关于中心轴和副中心轴对称。
- 焦点与准线：椭圆有两个焦点，位于椭圆的中心轴上，并且焦点到准线的距离之比为e，其中e为椭圆的离心率，0 < e < 1。
- 离心率：离心率e定义为焦点到准线的距离之比，e = c / a，其中c为焦点到中心轴的距离。
- 焦距：焦点到准线的距离称为椭圆的焦距。
- 根据离心率大小，椭圆可分为圆形（e = 0）、长椭圆（0 < e < 1）和扁椭圆（e > 1）三种情况。
2. 双曲线的方程与性质：双曲线是焦点到准线的距离比常数大于1的点构成的曲线。
其标准方程为：[(x - h)^2 / a^2] - [(y - k)^2 / b^2] = 1或[(y - k)^2 / b^2] - [(x - h)^2 / a^2] = 1其中(h, k)为双曲线中心的坐标，a和b为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线的性质包括：- 对称性：双曲线关于中心轴和副中心轴对称。
- 焦点与准线：双曲线有两个焦点，位于双曲线的中心轴上，并且焦点到准线的距离之比为e，其中e为双曲线的离心率，e > 1。
- 离心率：离心率e定义为焦点到准线的距离之比，e = c / a，其中c为焦点到中心轴的距离。
- 焦距：焦点到准线的距离称为双曲线的焦距。
- 根据离心率大小，双曲线可分为关于x轴对称的双叶双曲线和关于y轴对称的单叶双曲线两种情况。
第二讲圆锥曲线的方程与性质
第二讲 圆锥曲线的方程与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[对点训练]1．(2018·江西九江模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752[解析] 由题意可得，a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72，故选C.[答案] C2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA→＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1[解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，①又|BF→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.[答案] D3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x [解析] 设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x ，故选B.[答案]B4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x24－y22＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF周长的最小值为() A．4＋ 2 B．4(1＋2)C．2(2＋6) D.6＋32[解析]由题意知F(6，0)，设左焦点为F0，则F0(－6，0)，由题可知△APF的周长l为|P A|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l ＝|P A|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.[答案]B[快速审题]看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.考点二圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2.2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫ba2.3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x .[解析] (1)解法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.解法二：由e ＝c a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.(2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a .所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a .因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2，所以e 2＝9－62，e ＝6－3，故选D.[答案] (1)A (2)D[探究追问1] 本例(2)中若椭圆改为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点，其他条件不变，则双曲线离心率e 的值为________．[解析] 如图所示：因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|， 所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a .所以|AF 1|＝22a ，|AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2，所以e 2＝5－22，e ＝5－2 2.[答案] 5－22[探究追问2] 在本例(2)中若条件变为“在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点，若在线段BF 上存在点P ，使得△P A 1A 2构成以A 1A 2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e 的取值范围是________．[解析] 由题意知以线段A 1A 2为直径的圆和线段BF 有公共点，则原点到直线BF 的距离小于或等于a ， 又直线BF 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc |b 2＋c2≤a ，整理得a 4－3a 2c 2＋c 4≤0， 即e 4－3e 2＋1≤0，解得3－52≤e 2≤3＋52，又e >1，所以1<e ≤5＋12.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，5＋12应用圆锥曲线性质的2个要点(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(2)求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或a b 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．[对点训练]1．(2018·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－12C.3－1 D ．4－23[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝c a ＝3－1，故选C.[答案] C2．(2018·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选A.[答案] A考点三 抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解题指导]⎦⎥⎤(1)|PQ |≥|PC |－1 |PF |＝d ―→|PQ |＋d 的最值―→|PC |＋|PF |的最值―→利用三角形法则求解 (2)作图形―→|PF |转化为P 到准线的距离―→利用三角形法则求解[解析] (1)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心C (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF |－r ＝1＋16－1＝17－1，故选C.(2)过P 作PM ⊥l 于M ，则由抛物线定义知|PM |＝|PF |，故|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PM |.当A 、P 、M 三点共线时，|P A |＋|PM |最小，此时点P 坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2018·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M到x 轴的距离d ≥2，故选D.[答案] D2．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋42C ．213D ．43[解析] 由已知可得抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线方程为x ＝2.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，根据抛物线的定义可得2－x 0＝4，所以x 0＝－2，y 0＝±4.O 关于准线的对称点为O ′(4,0)，则当点P 为AO ′与准线x ＝2的交点时，|P A |＋|PO |有最小值，且最小值为|AO ′|＝213，故选C.[答案] C1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，故选B.[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， ∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，① 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝35(a＋c)．因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝35(a＋c)，所以sin60°＝PH PF2＝35(a＋c) 2c＝3 2，即a＋c＝5c，即a＝4c，所以e＝ca＝14，故选D. [答案]D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________．[解析]双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为|bc|b2＋(－a)2＝32c，∴b＝32c，∴b2＝34c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝ca＝2.[答案]25．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[解析]解法一：如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ， ∴nm ＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋(3k )2k＝2. 连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca ＝23＋1＝2(3－1)(3＋1)(3－1)＝3－1. 解法二：双曲线N 的离心率同解法一．由题意可得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆M 的方程，并结合a ，b ，c 的关系，联立得方程组⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得ca ＝3－1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＝3＋1舍去.[答案] 3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题[感悟体验]1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△P AF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝3，则E的离心率是()A．2 3 B. 5 C. 3 D.2[解析] 如图所示，设PF 1、PF 2分别与△P AF 2的内切圆切于M 、N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝33＝3，故选C.[答案] C 2.(2018·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ， ∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝ba ，∴⎩⎨⎧|PF 2||PF 1|＝b a，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝ca ＝ 5.[答案]5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[解析] 由题意3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D.[答案] D2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1[解析] 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1，故选C.[答案] C3．(2018·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，故选A.[答案] A4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e ＝ca ＝3，则有c ＝3a ，进而b ＝c 2－a 2＝2a .又由该双曲线的焦点在y 轴上，则其渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.[答案] B5．(2018·郑州一模)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4[解析] 双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线方程是y ＝±2x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y＝±p .又△AOB 的面积为1，∴12·p2·2p ＝1.∵p >0，∴得p ＝2，故选B.[答案] B6．(2018·东北三校联考)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是( )A.52B.72C.153D.173[解析] 设|F 1Q |＝t (t >0)，则|PF 1|＝2t ，由双曲线的定义有，|F 2Q |＝t ＋2a ，|PF 2|＝2t ＋2a ，又F 2Q ⊥PQ ，所以△F 1F 2Q ，△PQF 2都为直角三角形．由勾股定理有⎩⎪⎨⎪⎧|F 1Q |2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|QF 2|2＝|PF 2|2，即 ⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋(t ＋2a )2＝4c 2，(3t )2＋(t ＋2a )2＝(2t ＋2a )2，解得⎩⎨⎧t ＝2a 3，c ＝173a .故离心率e ＝c a ＝173，故选D. [答案] D7．(2018·长沙一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A.[答案] A8．(2018·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2 D.233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线ba x －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选D. [答案] D9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.33D.23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33，故选C.[答案] C10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192 B ．11 C ．12 D ．16[解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a ＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11，故选B.[答案] B11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 [解析]由双曲线C ：x 23－y 2＝1可知其渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠MOx ＝30°，∴∠MON ＝60°，不妨设∠OMN ＝90°，则易知焦点F 到渐近线的距离为b ，即|MF |＝b ＝1，又知|OF |＝c ＝2，∴|OM |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|OM |·tan ∠MON ＝3，故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1，故选D.[答案] D二、填空题13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线x2a2－y22＝1(a>0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．[解析]易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线x2a2－y22＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝2，所以双曲线的离心率e＝c a＝22＝ 2.[答案]214．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________．[解析]由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y224＝1.[答案] x 249＋y 224＝115．(2018·西安四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P 、Q 两点，若P 恰为线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P 是线段F 1Q 的中点，QF 1⊥QF 2，且O 是线段F 1F 2的中点，故OP ⊥F 1Q ，而两条渐近线关于y 轴对称，故∠POF 1＝∠QOF 2，又∠POF 1＝∠POQ ，所以∠QOF 2＝60°，渐近线的斜率为±3，故渐近线方程为y ＝±3x .[答案] y ＝±3x 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF→·CF →＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0， 亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63. [答案] 63。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
圆锥曲线的性质和计算
圆锥曲线的性质和计算圆锥曲线是二次函数的图像，由于其独特的形状和性质，被广泛应用于数学、物理、工程学等领域。
本文将介绍圆锥曲线的性质和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、圆锥曲线的基本形状圆锥曲线有三种基本形状：圆、椭圆和双曲线。
这些形状可以由圆锥剖面得到。
圆锥剖面是一个由圆锥和平面交成的曲面。
当交线为圆时，得到圆；交线为椭圆时，得到椭圆；交线为双曲线时，得到双曲线。
圆锥曲线还可以用数学公式来表示。
如下：圆：x²+y²=r²椭圆：(x-a)²/b²+(y-b)²/a²=1双曲线：(x-a)²/b²-(y-b)²/a²=1其中，r是圆的半径，a和b分别是椭圆和双曲线的长轴和短轴。
二、圆锥曲线的性质1.圆的特性圆的性质是它的半径r相等于所有点到圆心的距离。
这是一个非常重要的性质，它在数学和物理课程中被广泛应用。
此外，圆还具有对称性和周期性。
2.椭圆的特性椭圆的性质是它的焦点个数等于轴的长度。
焦点是椭圆曲线上的一个点，它具有重要的物理意义。
椭圆还有一个重要的性质，就是其面积可以用公式πab来计算。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
3.双曲线的特性双曲线的性质是它的反焦点之差等于轴的长度。
反焦点与椭圆的焦点相似，具有物理意义。
双曲线还有一个重要的性质，就是其面积可以用公式πab来计算。
其中，a和b分别是双曲线的长轴和短轴。
三、计算圆锥曲线计算圆锥曲线需要了解一下基本公式和方法。
1.圆的计算公式圆的周长C=2πr，其中r是半径。
圆的面积A=πr²。
2.椭圆的计算公式椭圆的周长C=2π√(a²+b²)/2，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆的面积A=πab。
3.双曲线的计算公式双曲线的周长C=2π√(a²+b²)，其中a和b分别是双曲线的长轴和短轴。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.]2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线D [由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．]3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.17 [由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．209或365[当k ＞4时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365.]5．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]6．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 [由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T 1，T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 切入点：|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A 的位置，求a ，b 的值．B [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|， ∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF 的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF 周长最小，确定P 点坐标．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F＝12×6×66－12×6×26＝12 6.] [教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴ y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋－a2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴ d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴ b ＝3. ∵ c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴ a 2＝3， ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆方程常设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，双曲线方程常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．(椭圆的定义)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 A [易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C (图略)，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点．D [抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆x 23p ＋y 2p＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．由题意得p2＝2p ，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5切入点：以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2相交且|PQ |＝|OF |.关键点：正确确定以OF 为直径的圆的方程．A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式． A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.] [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [因为双曲线的离心率为3，所以c a＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以y ＝±2x .故选A.]2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.法二：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可取直线l 的方程为y ＝ba 2－b 2x ＋b ，椭圆中心到l 的距离为b a 2－b 2a ，由题意知b a 2－b 2a ＝14×2b ，即a 2－b 2a ＝12，故离心率e ＝12.] 2．(双曲线的离心率)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [连接MF 1(图略)，由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt△MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝c a，所以e ＝5，故选B.]3．(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .切入点：①直线l 过点A ；②l 与C 交于M ，N 两点；③l 与x 轴垂直． 关键点：将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系．[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 切入点：①直线l 与椭圆C 相交；②AB 的中点M (1，m )．关键点：根据FP →＋FA →＋FB →＝0及点P 在C 上确定m ，并进一步得出|FP →|，|FA →|，|FB →|的关系．[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.由题设得0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－74，14共线，求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝ x 2－x 12＋y 2－y 12＝ 2x 2－x 12＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2x ＋2，x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21x 1＋22＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)． 因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数． 2．弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则|PQ |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2.或|PQ |＝|y 1－y 2|1＋1k2＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(k ≠0)．3．弦的中点圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0的弦为PQ .若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.1．(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，且BA 1→·BA 2→＝－1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且直线l 与x 轴不垂直，若D 为x 轴上一点，|DM →|＝|DN →|，求|MN ||DF |的值．[解] (1)A 1，A 2，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，(0，b )，BA 1→·BA 2→＝(－a ，－b )·(a ，－b )＝b 2－a 2＝－1，∴c 2＝1. 又e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F (－1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵直线l 与x 轴不垂直，∴可设其方程为y ＝k (x ＋1)． 当k ＝0时，易得|MN |＝4，|DF |＝1，|MN ||DF |＝4.当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， ∴|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k 23＋4k2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝6k3＋4k2， ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，∴MN 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2(k ≠0)， 令y ＝0得，1k x ＋k 3＋4k 2＝0，解得x ＝－k23＋4k2.|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k 23＋4k 2，∴|MN ||DF |＝4.综上所述，|MN ||DF |＝4.2．(直线与抛物线的综合)过抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线在M ，N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上； (2)设MF →＝2FN →，求△PMN 的面积．[解] (1)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程x 2＝4y ，整理得x 2－4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝14x 2求导，得y ′＝12x ，所以直线PM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)．①直线PN 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)．②联立方程①②，消去x ，得y ＝－1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上．(2)因为MF →＝(－x 1,1－y 1)，FN →＝(x 2，y 2－1)，且MF →＝2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－1，得x 21＝8，x 22＝2.不妨取M (22，2)，N (－2，12)，由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1.易得|MN |＝92，点P 到直线MN 的距离d ＝322，所以△PMN 的面积S ＝12×92×322＝2728.。
初中数学点知识归纳圆锥曲线的概念和性质
初中数学点知识归纳圆锥曲线的概念和性质初中数学点知识归纳——圆锥曲线的概念和性质圆锥曲线是初中数学中的一个重要概念，研究圆锥曲线可以帮助我们更好地理解数学中的几何问题。
本文将介绍圆锥曲线的概念及其性质，并探讨一些与圆锥曲线相关的常见问题。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线是由一个平面和一个顶点在该平面外的点构成的图形。
平面与点之间的连接线段称为母线，顶点到平面的垂直线段称为轴线。
根据平面与轴线的位置关系，圆锥曲线可以分为三种形式：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆椭圆是轴线与平面交于两个不同点的圆锥曲线。
它具有以下性质：（1）椭圆的轴线是对称轴，将椭圆分为两个相等的部分。
（2）椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是长轴上垂直的线段。
（3）椭圆的离心率小于1，离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度之比。
2. 抛物线抛物线是轴线与平面交于一个点的圆锥曲线。
它具有以下性质：（1）抛物线的轴线是对称轴，将抛物线分为两个对称的部分。
（2）抛物线与其轴线之间的距离保持恒定，这个距离称为焦距。
3. 双曲线双曲线是轴线与平面不交的圆锥曲线。
它具有以下性质：（1）双曲线的轴线是对称轴，将双曲线分为两个对称的部分。
（2）双曲线与其轴线之间的距离保持大于某个固定值，这个距离称为焦距。
（3）双曲线的离心率大于1，离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度之比。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多重要的性质，下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 焦点和准线的关系在椭圆和双曲线中，我们可以通过焦点和准线之间的关系来确定圆锥曲线：（1）椭圆的焦点在准线上，离心率小于1。
（2）抛物线的焦点在无穷远处，离心率等于1。
（3）双曲线的焦点在准线之外，离心率大于1。
2. 焦点和直径的关系在椭圆中，我们可以通过焦点和直径之间的关系来确定圆锥曲线：（1）椭圆的焦点在直径上。
（2）直径是通过两个焦点且垂直于长轴的线段。
3. 原点与椭圆的关系在椭圆中，原点与椭圆的焦点和准线之间存在以下关系：（1）原点到椭圆上任意一点的距离之和等于原点到椭圆的准线的距离。
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第2讲 圆锥曲线的方程与性质
一、 单项选择题
1. (2020·重庆调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )
A. x 28－y 2
10＝1 B. x 24－y 2
5＝1 C. x 25－y 2
4＝1
D. x 24－y 2
3＝1
2. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM
→＝MN →，则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38
D. 1
3. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )
A. x 24－y 2
12＝1 B. x 212－y 2
4＝1 C. x 23－y 2
9＝1
D. x 29－y 2
3＝1
4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与
过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝4
5，则椭圆C 的离心率为( )
A. 35
B. 57
C. 45
D. 67
二、 多项选择题
5. 若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )
A. 抛物线的焦点到准线的距离为3
B. A ，B 两点之间的距离为12
C. 原点O 到直线AB 的距离为38
D. △OAB 的面积为9
4
6. 已知圆M ：x 2
＋y 2
＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3＝1(a >0)
的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )
A. m ＝－1
B. m ＝13
C. c ＝－1
D. a ＝2
7. 已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )
A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8
B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→·PF 2→
＝0 C. 椭圆C 的离心率为12
D. 若P 为椭圆x 24＋y 2
＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3
三、 填空题
8. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．
9. (2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为3
3的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．
10. 已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP
→＝2PB →，那么当
m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________．
四、 解答题
11. 如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π
4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.
(1) 求抛物线E 的方程；
(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－1
2相交于A ，B 两点，求F A ·FB 的取值范围．
(第11题)
12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .
(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；
(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
(第12题)。