第2讲 圆锥曲线的方程与性质
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第2讲 圆锥曲线的方程与性质
一、 单项选择题
1. (2020·重庆调研)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y 2
3=1有公共焦点,那么双曲线C 的方程为( )
A. x 28-y 2
10=1 B. x 24-y 2
5=1 C. x 25-y 2
4=1
D. x 24-y 2
3=1
2. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C :y =2x 2的焦点,N 是x 轴上一点,线段FN 与抛物线C 交于点M ,若2FM
→=MN →,则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38
D. 1
3. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.若A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( )
A. x 24-y 2
12=1 B. x 212-y 2
4=1 C. x 23-y 2
9=1
D. x 29-y 2
3=1
4. (2020·淮北二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,椭圆C 与
过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若AB =10,BF =8,cos ∠ABF =4
5,则椭圆C 的离心率为( )
A. 35
B. 57
C. 45
D. 67
二、 多项选择题
5. 若F 为拋物线C :y 2=3x 的焦点,过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,下列说法中正确的是( )
A. 抛物线的焦点到准线的距离为3
B. A ,B 两点之间的距离为12
C. 原点O 到直线AB 的距离为38
D. △OAB 的面积为9
4
6. 已知圆M :x 2
+y 2
+2mx -3=0(m <0)的半径为2,椭圆C :x 2a 2+y 2
3=1(a >0)
的左焦点为F (-c,0),若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切,则( )
A. m =-1
B. m =13
C. c =-1
D. a =2
7. 已知椭圆C :x 24+y 2
=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,那么以下说法中正确的是( )
A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,则△ABF 1的周长为8
B. 椭圆C 上存在一点P ,使得PF 1→·PF 2→
=0 C. 椭圆C 的离心率为12
D. 若P 为椭圆x 24+y 2
=1上的一点,Q 为圆x 2+y 2=1上的一点,则点P ,Q 的最大距离为3
三、 填空题
8. 在平面直角坐标系xOy 中,若中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-3,1),则该双曲线的离心率为________.
9. (2020·广州质检)若抛物线x 2=4y 的焦点为F ,过点F 作斜率为3
3的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ,过点A 作抛物线准线的垂线,垂足为H ,则△AHF 的面积是________.
10. 已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP
→=2PB →,那么当
m =________时,点B 横坐标的绝对值最大为________.
四、 解答题
11. 如图,已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点F 且倾斜角为π
4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.
(1) 求抛物线E 的方程;
(2) 已知点C 是抛物线上的动点,以C 为圆心的圆过点F ,且圆C 与直线x =-1
2相交于A ,B 两点,求F A ·FB 的取值范围.
(第11题)
12. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1C .
(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
43,13,且BF 2=2,求椭圆的方程;
(2) 若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.
(第12题)