圆锥曲线 直与圆锥曲线的位置关系
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直线与圆锥曲线位置关系
一、基础知识:
(一)直线与椭圆位置关系
1、直线与椭圆位置关系:相交(两个公共点),相切(一个公共点),相离(无公共点)
2、直线与椭圆位置关系的判定步骤:通过方程根的个数进行判定,
下面以直线y kx m =+和椭圆:()22
2210x y a b a b
+=>>为例
(1)联立直线与椭圆方程:222222
y kx m
b x a y a b
=+⎧⎨+=⎩ (2)确定主变量x (或y )并通过直线方程消去另一变量y (或x ),代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:()
2
22
2
22b x a
kx m a b ++=,整理可得:
()22
222222220a k
b x a kxm a m a b +++-=
(3)通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数,从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离
3、若直线上的某点位于椭圆内部,则该直线一定与椭圆相交 (二)直线与双曲线位置关系
1、直线与双曲线位置关系,相交,相切,相离
2、直线与双曲线位置关系的判定:与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定
以直线y kx m =+和椭圆:()22
2210x y a b a b
-=>>为例:
(1)联立直线与双曲线方程:22
2
2
22
y kx m b x a y a b
=+⎧⎨
-=⎩,消元代入后可得:
()()2
2222222220b
a k x a kxm a m a
b ---+=
(2)与椭圆不同,在椭圆中,因为2
2
2
0a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中,消元后的方程二次项系数为2
2
2
b a k -,有可能为零。所以要分情况进行讨论
当222
0b
b a k k a
-=⇒=±且0m ≠时,方程变为一次方程,有一个根。此时直线与双曲线相交,只有一个公共点 当2
2
2
0b b
b a k k a a ->⇒-<<时,常数项为()22220a m a b -+<,所以0∆>恒成立,此时直线与双曲线相交 当2
2
2
0b b a k k a -<⇒>
或b
k a
<-时,直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断: ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离
注:对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时,如果是通过一次方程解出,则为相交;如果是通过二次方程解出相同的根,则为相切
(3)直线与双曲线交点的位置判定:因为双曲线上的点横坐标的范围为
(][),,a a -∞-+∞,所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上:当x a ≥时,点
位于双曲线的右支;当x a ≤时,点位于双曲线的左支。对于方程:
()()2
2222222220b
a k x a kxm a m a
b ---+=,设两个根为12,x x
① 当2
2
2
0b b
b a k k a a
->⇒-<<时,则2222122
22
0a m a b x x b a k +=-<-,所以12,x x 异号,即交点分别位于双曲线的左,右支
② 当2
2
2
0b b a k k a -<⇒>或b
k a
<-,且0∆>时,2222122
22
0a m a b x x b a k +=->-,所以12,x x 同号,即交点位于同一支上
(4)直线与双曲线位置关系的几何解释:通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关,其分界点b
a
±刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定 ① b
k a
=±
且0m ≠时,此时直线与渐近线平行,可视为渐近线进行平移,则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时,也在远离双曲线的另一支,所以只有一个交点
② b b
k a a
-
<<时,直线的斜率介于两条渐近线斜率之中,通过图像可得无论如何平移直线,直线均与双曲线有两个交点,且两个交点分别位于双曲线的左,右支上。 ③ 2
2
2
0b b a k k a -<⇒>
或b
k a
<-时,此时直线比渐近线“更陡”,通过平移观察可得:直线不一定与双曲线有公共点(与∆的符号对应),可能相离,相切,相交,如果相交则交点位于双曲线同一支上。
(三)直线与抛物线位置关系:相交,相切,相离
1、位置关系的判定:以直线y kx m =+和抛物线:()220y px p =>为例
联立方程:()2
222y kx m kx m px y px
=+⎧⇒+=⎨=⎩,整理后可得:
()222220k x km p x m +-+=
(1)当0k =时,此时方程为关于x 的一次方程,所以有一个实根。此时直线为水平线,与抛物线相交
(2)当0k ≠时,则方程为关于x 的二次方程,可通过判别式进行判定 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离 2、焦点弦问题:设抛物线方程:2
2y px =, 过焦点的直线:2p l y k x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
(斜率存在且0k ≠)
,对应倾斜角为θ,与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y
联立方程:22
22222y px p k x px p y k x ⎧=⎪⎛⎫⇒-=⎨⎛
⎫ ⎪=-⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭⎩,整理可得: ()22
2
2
2
204
k p k x k p p x -++=
(1)2124
p x x ⋅= 2
12y y p =-