圆锥曲线 直与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系

一、基础知识：

（一）直线与椭圆位置关系

1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）

2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，

下面以直线y kx m =+和椭圆：()22

2210x y a b a b

+=>>为例

（1）联立直线与椭圆方程：222222

y kx m

b x a y a b

=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()

2

22

2

22b x a

kx m a b ++=，整理可得：

()22

222222220a k

b x a kxm a m a b +++-=

（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离

3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离

2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定

以直线y kx m =+和椭圆：()22

2210x y a b a b

-=>>为例：

（1）联立直线与双曲线方程：22

2

2

22

y kx m b x a y a b

=+⎧⎨

-=⎩，消元代入后可得：

()()2

2222222220b

a k x a kxm a m a

b ---+=

（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2

2

2

0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2

2

2

b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论

当222

0b

b a k k a

-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当2

2

2

0b b

b a k k a a ->⇒-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0∆>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2

2

2

0b b a k k a -<⇒>

或b

k a

<-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断： ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离

注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切

（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为

(][),,a a -∞-+∞，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x a ≥时，点

位于双曲线的右支；当x a ≤时，点位于双曲线的左支。对于方程：

()()2

2222222220b

a k x a kxm a m a

b ---+=，设两个根为12,x x

① 当2

2

2

0b b

b a k k a a

->⇒-<<时，则2222122

22

0a m a b x x b a k +=-<-，所以12,x x 异号，即交点分别位于双曲线的左，右支

② 当2

2

2

0b b a k k a -<⇒>或b

k a

<-，且0∆>时，2222122

22

0a m a b x x b a k +=->-，所以12,x x 同号，即交点位于同一支上

（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点b

a

±刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定 ① b

k a

=±

且0m ≠时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点

② b b

k a a

-

<<时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 ③ 2

2

2

0b b a k k a -<⇒>

或b

k a

<-时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与∆的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。

（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离

1、位置关系的判定：以直线y kx m =+和抛物线：()220y px p =>为例

联立方程：()2

222y kx m kx m px y px

=+⎧⇒+=⎨=⎩，整理后可得：

()222220k x km p x m +-+=

（1）当0k =时，此时方程为关于x 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交

（2）当0k ≠时，则方程为关于x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程：2

2y px =， 过焦点的直线:2p l y k x ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

（斜率存在且0k ≠）

，对应倾斜角为θ，与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y

联立方程：22

22222y px p k x px p y k x ⎧=⎪⎛⎫⇒-=⎨⎛

⎫ ⎪=-⎝⎭ ⎪

⎪⎝⎭⎩，整理可得： ()22

2

2

2

204

k p k x k p p x -++=

（1）2124

p x x ⋅= 2

12y y p =-