思法数学：初升高衔接讲义 笫9讲 函数的单调性
函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
数学课件：函数的单调性
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
《函数单调性的概念》课件
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
第九讲导数与函数的单调性原卷版2023届高考数学二轮复习讲义
第九讲：导数与函数的单调性【考点梳理】【典型题型讲解】考点一：求函数的单调区间（不含参）【典例例题】例1.函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）．A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法【变式训练】2.函数ln 2f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(),3-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,23.已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0) B ．(1,+∞) C ．(-∞,1)D ．(0,+∞) 4．函数()()3e x f x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，5．函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________． 【典型题型讲解】考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【典例例题】例1.如果函数()22ln f x x a x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≤（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.【变式训练】1．若函数()2()e x f x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2.已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-2．已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3.已知函数()2()()x f x e x bx b R =-∈在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．8(,)3-∞ B ．5(,)6-∞ C ．35(,)26- D ．8(,)3+∞ 4.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．函数321()53f x x x ax =-+-在区间[1,2]-上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)考点三：含参问题讨论单调性【典例例题】例3.已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k .讨论()f x 的单调性；例4.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ．讨论函数()f x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明．【变式训练】1.已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在R 上的函数()()1e -=-∈ax f x x a R ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)对于()0,x ∀∈+∞，若不等式()()21ln f x x x ax ≥--恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；4．已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；5.已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；6.（2022·广东深圳·一模）已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +>【巩固练习】一、单选题1．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-2．已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ） A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞ 3．“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2e D ．()0,e 二、多选题5．已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解6．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3三、填空题 7．写出一个具有性质①①①的函数()f x =____________. ①()f x 的定义域为()0,+∞；①()()()1212f x x f x f x =+；①当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.四、解答题8．已知函数()ln R k f x x k k x=--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．9.已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．10．已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ①R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；11．已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；12．已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；。
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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03
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
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实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
函数的单调性 PPT课件
问题1：
观察曲线图，能得到什么信息？ (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些 数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题2： 还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 水位高低、燃油价格、股票价格等．
观 察
yx
2
与
探 究
f x1
x1
O
x
在y=x 2的图像中，f(x) 随自变量 x 的增大而变化的规律
y
观 察
yx
2
与
探 究
f x1
x1 O
x
在y=x 2的图像中，f(x) 随自变量 x 的增大而变化的规律
y
观 察
yx
2
与
探 究
f x1
x1 O
x
在y=x 2的图像中，f(x) 随自变量 x 的增大而变化的规律
f (x 2 )
f (x1 )
O
f (x 2 )
x2
x
O
f (x1 )
x1
x1
x2
x
我们能不能说出 y=x2是增函数还是减函数？ y y=x2
-2
-1
1
2
x
内涵
（2）对于函数y f ( x)在某个区间上单调递增 或单调 递减的性质，叫做 f ( x)在这个区间上的单调性 ， 这个区间叫做 f ( x)的单调区间。
3），[3，5]。其中 y= f(x)在区间[-5，-2）， [1，3）上是减 函数，在[-2，1）， [3，5]是增函数。 注意：函数y= f(x)在[-5，2）∪[1，3）上不是减函数。 可以说：函数y= f(x)在[-5，2）和[1，3）上是减函数
初升高之：单调性
例 3、①定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足：对任意的 x1 , x2 [0, )( x1 x2 ) ，有 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，且函数 f ( x ) 的 x2 x1 图象关于 y 轴对称；则（ A、 f (3) f (2) f (1) ） B、 f (1) f (2) f (3) C、 f (2) f (1) f (3) D、 f (3) f (1) f (2)
(a 3) x 5, x 1 ②如果函数 f ( x) 是 R 上的减函数, 则实数 a 的取值范围为______________ 2a ,x 1 x
题型二：综合应用 例 4、①已知 f(x)在其定义域 R 上为增函数 f(2)＝1，f(xy)＝f(x)+f(y)，则解不等式：f(x)+f(x-2)≤3 的解集为 _______
1 的单调性与 f(x)的单调性相反；③.在函数 f(x)和 f(x)
g(x)的某一定义域中，若 f(x)、g(x)同为增函数，则 f(x)+g(x)为增函数， 若 f(x)为增，g(x)为减，则 f(x)-g(x) 为增函数。 (3)图像法：根据函数的图象进行判断 (4)复合函数 y=f[g(x)]的单调性：首先确定函数的定义域，将函数分解成基本初等函 数 y=f(u)，u=g(x)；然后根据“同增异减”来确定。 二：典例精讲 题型一：用定义证明函数的单调性 3 例 1、 ①判断函数 f(x)＝-x +1 在(-∞， 0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断； 如果 x∈(0，+∞)，函数 f(x) 是增函数还是减函数?
2
1 ，1)上是增函数，则 f(2)的取值范围为（ 2
C、 [7，+ ∞)
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
思法数学：初升高衔接讲义笫9讲函数的单调性
思法数学 高中版 （高中一年级上）（高中一年级上）初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究1笫9讲 函数的单调性一【学习目标】1.了解单调函数、单调区间的概念；了解单调函数、单调区间的概念；2.理解函数单调性的概念：并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；调性、写出单调区间；3.掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性用函数的单调性定义证明简单函数的单调性. .二【知识梳理】1.从直观上看：函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数在这个区间上是图象是上升的，则此函数在这个区间上是_ ___ ___ ___ __，若图象是下降的，则此函数在这个区间上是区间上是_____________ _____________2.增函数与减函数：定义：设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A Í，对于区间M 上的任意两个自变量的值21,x x ：⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是增函数（如图1）；）； ⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是减函数.（如图2）3.单调性与单调区间：若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. . 点拨：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条 件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；⑶除了严格单调函数外，⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，还有不严格单调函数，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，它的定义类似上述的定义，它的定义类似上述的定义，只要将上只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f £)(2x f 或)(1x f ³)(2x f ,”即可；即可；4.两个结论：（1）若f(x)在（a,b ）上是增函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，yx0 x 1x 2f(x 1)f(x 2)y=f(x)图1yx 0x 1x 2 f(x 1)f(x 2)y=f(x)图2ABCDEf(x 1)<f(x 2)Û____________ （2）若f(x)在（a,b ）上是减函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，f(x 1)<f(x 2)Û____________提问：能否说函数1()f x x =在定义域上是减函数？在定义域上是减函数？5．常见函数的单调性：（1）一次函数)0(¹+=k b kx y 的单调性：的单调性：①0>k 单调递增，②0<k 单调递减单调递减如：若函数n x m x f +-=)12()(在),(+¥-¥上是减函数，则m 的取值范围是的取值范围是______. ______. （2）反比例函数()()0kf x k x=¹的单调性：的单调性： ①0>k 时，在区间(,0),(0,)-¥+¥上分别是减函数；上分别是减函数；②0<k 时，在区间(,0),(0,)-¥+¥上分别是增函数上分别是增函数. .（3）二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的单调性：的单调性： ①0>a 时，在时，在_____________________________________________单调递增，在单调递增，在单调递增，在_______________________________________单调递减；单调递减；单调递减； ②0<a 时，在时，在_____________________________________________单调递增，在单调递增，在单调递增，在_______________________________________单调递减；单调递减；单调递减； 如：①函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(Îx 上的单调性是上的单调性是_____________________. _____________________.②已知函数582++=ax x y 在[1[1，，+¥）上递增，那么a 的取值范围是的取值范围是________. ________.（4）双勾函数()()0a f x x a x=+>的单调性：在(0,a ùû上递减；在[,)a +¥上递增上递增 如：函数xx x f 1)(+=在(]0,1上是减函数；在上是减函数；在[1[1[1，，+¥）上是增函数）上是增函数. .（5）复合函数单调性的判断法则：）复合函数单调性的判断法则：____________ ____________三【典例精析】例1.如右图：是定义在闭区间是定义在闭区间[-5[-5[-5，，5]5]上的函上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数增函数还是减函数. .解：函数)(x f y =的单调区间有的单调区间有[-5[-5[-5，，-2)-2)，，[-2[-2，，1)1)，，[1[1，，3)3)，，[3[3，，5]5]，其中，其中)(x f y =在区间区间[-5[-5[-5，，-2)-2)，，[1[1，，3)3)上是减函数，在区间上是减函数，在区间上是减函数，在区间[-2[-2[-2，，1)1)，，[3[3，，5]5]上是增函数上是增函数上是增函数. .说明：函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，定的常数，因而没有增减变化，因而没有增减变化，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；所以不存在单调性问题；所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，对于闭区间上的连续函数来说，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，只要在开区间上单调，只要在开区间上单调，它在闭区间上它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以.还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不能包括不连续点点上不连续的函数，单调区间不能包括不连续点. .求证：求证：例2.求函数223y x x =-++的单调区间。
高中数学暑假初高衔接讲义 函数的单调性
练习主题函数的单调性知识点一：函数的单调性在5.1节开头的第三个问题中，气温θ是关于时间t的函数，记为θ=f(t).观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的.怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于这段图象上的任意两点P（t1，θ1），Q（t2，θ2），当t1＜t2时，都有θ1＜θ2；类似地，对于区间（14，24）内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有θ1＞θ2.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x)的减区间.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间Ⅰ上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.例1、画出下列函数图像，并写出单调区间.（1）y=-x 2+2； （2）y=x1；对应练习：1、（多选）如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在下列区间单调递增的是（ ）A.[2，5]B.[-6，-4]C.[-1，2]D.[-1 ，2] ∪[5，8] 2、已知函数f(x)=-x 2，则（ ）A. f(x)是减函数B. f(x)在（-∞，-1）上是减函数C. f(x)是增函数D. f(x)在（-∞，-1）上是增函数 3、函数f(x)=1-x 2-x （ ） A.在（-1，+∞）内单调递增 B.在（-1，+∞）内单调递减 C.在（1，+∞）内单调递增 D.在（1，+∞）内单调递减 4、函数s=x 3x 2 的单调递减区间为（ ）A.（-∞，23] B.[23-，+∞） C.[0，+∞） D.（-∞ ，-3] 5、画出函数f （x ）=∣x+1∣的图像，并根据图像写出函数f （x ）的单调区间.例2、证明：函数f(x)=x1--1在区间（-∞，0）上是增函数.对应练习：1、证明：函数f （x ）=-2x+1是减函数.2、根据函数单调性的定义，证明函数f （x ）=-x 3+1在R 上是减函数.3、函数f （x ）=2x3-在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.巩固练习：1、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）A.y=∣x+1∣B.y=3-xC.y=x1 D.y=-x 2+4 2、已知函数f(x)的定义域为(a ，b)，且对其内任意实数x 1，x 2，均有(x 1-x 2)·[f(x 1)-f(x 2)]＜0，则f(x)在(a ，b)上是（ ）A.增函数B.减函数C.既不是增函数也不是减函数D.常数函数 3、已知m ＜-2，点(m-1，y 1)，(m ，y 2)，(m+1，y 3)都在二次函数y=x 2-2x 的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 3＜y 2＜y 1C.y 1＜y 3＜y 2D.y 2＜y 1＜y 34、如图所示的是定义在区间，[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是（ ）A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1，4]上单调递增C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减D.函数在区间[-5，5]上没有单调性5、用几何画板画出函数f(x)=x 3-3x+1的图象如下，则函数f(x)的增区间是（ ）A.(-1，1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)和(1，+∞)D.(-∞，-1)或(1，+∞) 6、函数f(x)=的增区间为（ ）A.(-∞，0)，[0，+∞)B.(-∞，0)C.[0，+∞)D.(-∞，+∞) 7、已知函数f(x)=4x 2-kx-8在(-∞，5]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（ ）A.(-24，40)B.[-24，40]C.(-∞，-24]D.[40，+∞)8、若函数y=f(x)在R 上为增函数，且f(2m)＞f(-m+9)，则实数m 的取值范围是（ ）A.(-∞，-3)B.(0，+∞)C.(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 9、已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(x 2-2x)＜f(3)的实数x 的取值范围是（ ）A.[-1，3]B.(-∞，-1)∪(3，+∞)C.(-3，3)D.(-∞，-3)∪(1，+∞) 10、函数f （x ）=∣x-2∣x 的单调递减区间是 . 11、已知函数f （x ）=，则f （x ）的单调递减区间是 .12、若函数f （x ）=1ax 在区间[-1，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .13、已知函数f （x ）=，则不等式f （x 2+x+3）＞f （3x 2-3）的x 的解集是________．14、根据定义证明函数f （x ）=x+x9在区间[3，+∞）上单调递增.函数的最大（小）值例1、求下列函数的最小值：（1）y=x 2-2x ； （2）y=x1，x ∈[1，3]对应练习：1、函数f(x)在[-2，+∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（ ）A. 3，0B. 3，1C. 3，无最小值D. 3，-2 2、已知二次函数f(x)=2x 2-4x ，则f(x)在[-1，23]上的最大值为 .求函数的最值 1、利用单调性求最值例2、函数y=2x+1-x 的最小值为 .【教材115页】第7题、已知函数f(x)=x+x1，x ∈（0，+∞）. （1）求证：f(x)在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，+∞）是增函数； （2）试求函数f(x)的最大值或最小值.例3、已知函数f(x)=1x 23-x 12-x 42 ，x ∈[0，1]，求函数f(x)的单调区间和值域；对应练习：1、设函数f(x)=2-x x2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M 2m =（ ）A.32 B.83 C.23 D.382、（多选）当x ≥1时，下列函数的最小值为4的有（ ）A.y=4x+x 1B.y=1-x 25x 4-x 42+C.y=1x 5x 22++D.y=5x x 1-3、已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈[1，+∞），（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x ∈[1，+∞），f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．二次函数的最值问题 1、定轴定区间例4、已知函数f(x)=3x 2-12x+5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值.（1）R ； （2）[0，3]； （3）[-1，1]2、动轴定区间例5、求函数f(x)=x 2-2ax-1，x ∈[0，2]的最大值和最小值.3、定轴动区间例6、已知函数f(x)=x 2-2x+2，x ∈[t ，t+1]，t ∈R 的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式.4、动轴动区间例7、设a 是正数，ax+y=2（x ≥0，y ≥0），记h （x ，y ）=y+3x 2x 21-的最大值为M （a ），求M （a ）的表达式.对应练习：1、已知函数f(x)=x 2+2ax+2，求f(x)在[-5，5]上的最大值与最小值．2、已知函数f(x)=x 2-2x+3，当x ∈[t ，t+1]时，求f(x)的最大值与最小值．3、已知函数f(x)=ax 2+2（a-1）x-3（a ≠0）在区间[23-，2]上的最大值是1，求实数a 的值．巩固练习：1、函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1]上有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＞1D ． a ≥12、若函数：y=ax+1在区间[1，3]上的最大值是4，则实数a 的值为（ ）A.-1B.1C.3D.1或3 3、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a=（ ）A.-1B.1C.-2D.1-4、函数y=3x+1-x 的值域是_______．5、函数f （x ）=，的最小值为 ，最大值为 .6、已知函数y=x 2-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是_______． 7、已知函数f （x ）=1-x 1x 2+，在区间[-8，4）上的最大值为______． 8、已知f(x)=1-x x2≥a 在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是_______． 9、设函数f(x ）=16x 2+-x 在x ∈[-3，0]上的最大值a ，最小值为b ，则a+b=________．10、设f(x)=x 2-2ax+a 2，x ∈[0，2]，当a=-1时，f(x)的最小值是 ；若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为 .11、已知函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1.若f(x)在区间[-1，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；若函数f(x)在[1，2]上的最小值为2，则实数a 的值为 . 12、已知函数f(x)=x 2-ax+4.（1）当a=5时，解关于x 的不等式f （x ）＞0； （2）设函数g （x ）=xx f ）（（1≤x ≤5），若g （x ）的最小值为2，求g （x ）的最大值.。
函数单调性的应用课件
数据分类与聚类
利用函数单调性对数据进 行分类或聚类，有助于发 现数据之间的潜在关联和 模式。
异常检测
通过函数单调性检测数据 中的异常值，有助于发现 潜在的问题或风险。
特征选择
在机器学习中，利用函数 单调性选择最具代表性的 特征，提高模型的预测精 度和泛化能力。
04
函数单调性在其他领域
利用函数单调性，可以确定函数的图像形状，例如对于单调递增函数，其图像 是一条上升的直线。
判断图像趋势
利用函数单调性，可以判断函数的图像趋势，例如对于连续函数，如果函数在 某区间内单调递增或递减，则该区间内图像呈现上升或下降趋势。
03
函数单调性在实际生活中的 应用
经济预测与决策
优化问题
01
02
03
最优化生产计划
在生产过程中，利用函数 单调性寻找最优的生产计 划，降低成本并提高效率 。
资源分配问题
通过函数单调性确定资源 的最佳分配方案，使得资 源利用效率最大化。
路径规划问题
在交通、物流等领域，利 用函数单调性寻找最优路 径，降低运输成本和时间 消耗。
计算机科学中的数据挖掘与分析
在研究波动方程时，了解函 数单调性可以帮助我们预测 波的传播路径、速度和振幅 的变化，这对于控制和利用 波的行为具有重要的实际意 义。
生物学中的种群增长模型
总结词
在生物学中，函数单调性被广泛应用于种群增长 模型的建立和分析。
总结词
理解种群增长模型的单调性有助于预测种群数量 变化趋势，为生态保护和资源管理提供依据。
股票价格预测
通过分析历史股票价格数据，利 用函数单调性判断未来股票价格 的走势，为投资者提供决策依据
。
供需关系分析
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
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笫9讲 函数的单调性一【学习目标】1.了解单调函数、单调区间的概念；2.理解函数单调性的概念：并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；3.掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.二【知识梳理】1.从直观上看：函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数在这个区间上是_ ___ __，若图象是下降的，则此函数在这个区间上是_____________ 2.增函数与减函数：定义：设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，对于区间M 上的任意两个自变量的值21,x x ：⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是增函数（如图1）； ⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是减函数.（如图2）3.单调性与单调区间：若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 点拨：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条 件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；4.两个结论：（1）若f(x)在（a,b ）上是增函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，Ef(x 1)<f(x 2)⇔____________（2）若f(x)在（a,b ）上是减函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，f(x 1)<f(x 2)⇔____________提问：能否说函数1()f x x=在定义域上是减函数？5．常见函数的单调性：（1）一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性：①0>k 单调递增，②0<k 单调递减如：若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______. （2）反比例函数()()0kf x k x=≠的单调性： ①0>k 时，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数； ②0<k 时，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是增函数.（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的单调性：①0>a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； ②0<a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； 如：①函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(∈x 上的单调性是_____________________. ②已知函数582++=ax x y 在[1，+∞）上递增，那么a 的取值范围是________. （4）双勾函数()()0af x x a x=+>的单调性：在(上递减；在)+∞上递增 如：函数xx x f 1)(+=在(]0,1上是减函数；在[1，+∞）上是增函数. （5）复合函数单调性的判断法则：____________三【典例精析】例1.如右图：是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以.还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不能包括不连续点. 求证：例2.求函数223y x x =-++的单调区间。
例3.证明：函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >)(2x f . ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 例5.已知1()1f x x m=++在区间（-2，+∞）上是减函数，求m 的取值范围。
例6.求函数()21f x x =-点拨：⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）； ⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）； ⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.四【过关精练】一、选择题1.若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么（ C ）A.b>0B.b<0C.m>0D.m<02.函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于（ B ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数3.设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则( D ))2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+ )()1(.2a f a f D <+4.下列函数在(),0-∞上是减函数的是（ D ） A.21y x =- B.1y x =-C.y=x-1D.4y x= 5.下列函数函数中只有一个单调区间的是（ C ）A.2y x=-B.2(3)y x =+C.y=x (11)x -≤≤D.2(23)y x =- 6.在(),0-∞上单调递减的函数是（ A ）A.1xy x =- B.21y x =- C.y=2x+3 D.22y x x =+ 7.函数21()y x x x R =++∈的递减区间是（ C ）A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦D.R 8.下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ B ） A.1y x=B .y=2x-1 C.y=1-2x D.2(21)y x =- 二、填空题9.如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__)2(f ≥7__.10.已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是__0<a<12_ 三、解答题11.求函数1y x=的最值。
12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x > （1）求证：()10f =且()f x 是增函数；（2）若()21f =，解不等式：()()3482f f x +->.第9讲 参考答案一.选择题1．C ； 2．B ；3．D ； 4．D ； 5．C ； 6．A ； 7．C ；8。
B 。
二.填空题9. [)7,+∞； 10. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭。
三.解答题11. min 1y =-，无最大值。
12．（1）证明：令1x y ==得：()()()()11110f f f f =+⇒=；设120x x <<<+∞，则221110x x f x x ⎛⎫>⇒> ⎪⎝⎭。
()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭()()2111xf f x f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭210x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ ()()21f x f x ∴>()f x ∴在()0,+∞上是增函数（2）()()()211224f f f =+=+=∴不等化为：()()3484f x f ⋅->⎡⎤⎣⎦()480134843x x x ->⎧⎪⇔⇔<⎨⋅->⎪⎩解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。