2016届高考数学一轮复习 题组层级快练51(含解析)

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2016届高考数学一轮复习 题组层级快练10(含解析)

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题组层级快练(十)1.(2015·四川泸州一诊)2lg2-lg 125的值为( )A .1B .2C .3D .4答案 B解析 2lg2-lg 125=lg(22÷125)=lg100=2,故选B.2.(log 29)·(log 34)=( ) A.14 B.12 C .2 D .4答案 D解析 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg3lg2·lg2lg3=4.3.(2015·石家庄一模)已知a =312,b =log 1312,c =log 213,则( )A .a >b >cB .b >c >aC .c >b >aD .b >a >c答案 A解析 因为312>1,0<log 1312<1,c =log 213<0,所以a >b >c ,故选A.4.已知函数f (x )=2+log 2x ,x ∈[1,2],则函数y =f (x )+f (x 2)的值域为( ) A .[4,5] B .[4,112]C .[4,132]D .[4,7]答案 B解析 y =f (x )+f (x 2)=2+log 2x +2+log 2x 2=4+3log 2x ,注意到为使得y =f (x )+f (x 2)有意义,必有1≤x 2≤2,得1≤x ≤2,从而4≤y ≤112.5.(2014·四川文)已知b >0,log 5b =a ,lg b =c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) A .d =ac B .a =cd C .c =ad D .d =a +c答案 B解析 由已知得5a =b,10c =b ,∴5a =10c,5d =10,∴5dc =10c ,则5dc =5a,∴dc =a ,故选B. 6.若x ∈(e -1,1),a =ln x ,b =2ln x ,c =ln 3x ,则( )A .a <b <cB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a答案 C 解析 由x ∈(e -1,1),得-1<ln x <0,a -b =-ln x >0,a >b ,a -c =ln x (1-ln 2x )<0,a <c ,因此有b <a <c ,选C.7.若点(a ,b )在y =lg x 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是( ) A .(1a,b )B .(10a,1-b )C .(10a,b +1)D .(a 2,2b )答案 D解析 当x =a 2时,y =lg a 2=2lg a =2b ,所以点(a 2,2b )在函数y =lg x 图像上. 8.设log b N <log a N <0,N >1,且a +b =1,则必有( ) A .1<a <b B .a <b <1 C .1<b <a D .b <a <1答案 B解析 ∵0>log a N >log b N ⇒log N b >log N a ,∴a <b <1.9.若0<a <1,则在区间(0,1)上函数f (x )=log a (x +1)是( ) A .增函数且f (x )>0 B .增函数且f (x )<0 C .减函数且f (x )>0 D .减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时,y =log a u 为减函数,又u =x +1增函数,∴f (x )为减函数;又0<x <1时,x +1>1,又0<a <1,∴f (x )<0.选D.10.函数f (x )=2|log2x |的图像大致是( )答案 C解析 ∵f (x )=2|log2x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥1,1x,0<x <1,∴选C.11.设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .b >c >a答案 A解析 ∵a =log 3π>log 33=1,b =log 23<log 22=1,∴a >b .又b c =12log 2312log 32=(log 23)2>1,∴b >c .故a >b >c .选A.12.若0<a <1,则不等式1log a x>1的解是( ) A .x >a B .a <x <1 C .x >1 D .0<x <a答案 B解析 易得0<log a x <1,∴a <x <1.13.若log a (x +1)>log a (x -1),则x ∈________,a ∈________. 答案 (1,+∞) (1,+∞)14.若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则实数a 的取值范围是__________. 答案 (12,1)解析 ∵a 2+1>1,log a (a 2+1)<0,∴0<a <1. 又log a 2a <0,∴2a >1,∴a >12.∴实数a 的取值范围是(12,1).15.若函数f (x )=log a (x +1)(a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a =________. 答案 2解析 f (x )=log a (x +1)的定义域是[0,1],∴0≤x ≤1,则1≤x +1≤2. 当a >1时,0=log a 1≤log a (x +1)≤log a 2=1,∴a =2;当0<a <1时,log a 2≤log a (x +1)≤log a 1=0,与值域是[0,1]矛盾. 综上,a =2.16.(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x,x ≤0,且关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________.答案 a >1解析 如图,在同一坐标系中分别作出y =f (x )与y =-x +a 的图像,其中a 表示直线在y 轴上的截距,由图可知,当a >1时,直线y =-x +a 与y =log 2x 只有一个交点.17.设函数f (x )=|lg x |,(1)若0<a <b 且f (a )=f (b ).证明:a ·b =1; (2)若0<a <b 且f (a )>f (b ).证明:ab <1. 答案 略解析 (1)由|lg a |=|lg b |,得-lg a =lg b .∴ab =1. (2)由题设f (a )>f (b ),即|lg a |>|lg b |.上式等价于(lg a )2>(lg b )2,即(lg a +lg b )(lg a -lg b )>0,lg(ab )lg ab >0,由已知b >a >0,得0<a b<1.∴lg a b<0,故lg(ab )<0.∴ab <1.18.已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明;(3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的取值范围. 答案 (1){x |-1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}解析 (1)f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1.故所求定义域为{x |-1<x <1}. (2)f (x )为奇函数.证明如下: 由(1)知f (x )的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x )=-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ). 故f (x )为奇函数.(3)由f (x )>0,得log a (x +1)-log a (1-x )>0. ∴log a (x +1)>log a (1-x ).又a >1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,x +1>1-x ,解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.若a >0且a ≠1,x >y >0,n ∈N *,则下列各式:①(log a x )n =n log a x ;②(log a x )n =log a x n;③log a x =-log a 1x ;④n log a x =1n log a x ;⑤log a x n=log a n x ;⑥log ax -y x +y =-log a x +yx -y.其中正确的有________.答案③⑤⑥。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练3(含解析)

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题组层级快练(三)1.(2015·衡水调研)下列命题中正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否定为:“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”D.已知命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∃x∈R,x2+x-1≥0答案 B解析若p∨q为真命题,则p,q有可能一真一假,此时p∧q为假命题,故A错;易知由“x=5”可以得到“x2-4x-5=0”,但反之不成立,故B正确;选项C错在把命题的否定写成了否命题;特称命题的否定是全称命题,故D错.2.若命题p:x∈A∩B,则綈p:( )A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉B D.x∈A∪B答案 B3.(2015·郑州二模)已知命题p:∀x>2,x3-8>0,那么綈p是( )A.∀x≤2,x3-8≤0 B.∃x>2,x3-8≤0C.∀x>2,x3-8≤0 D.∃x≤2,x3-8≤0答案 B解析由“∀→∃,>→≤”,可知綈p是:∃x>2,x3-8≤0,选B.4.命题p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( )A.p是假命题,綈p:∃x0∈[0,+∞),(log32)x0>1B.p是假命题,綈p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1C.p是真命题,綈p:∃x0∈[0,+∞),(log32)x0>1D.p是真命题,綈p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1答案 C解析因为0<log32<1,所以∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1.p是真命题,綈p:∃x0∈[0,+∞),(log32)x0>1.5.(2014·重庆理)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )A.p∧q B.綈p∧綈qC.綈p∧q D.p∧綈q答案 D解析依题意,命题p是真命题.由x>2⇒x>1,而x>1 x>2,因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故命题q是假命题,则綈q是真命题,p∧綈q是真命题,选D.6.(2015·潍坊一模)已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真,所以p为假,那么p∧q为假,所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件;反过来,若“p∧q为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”,所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真.综上可知,“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.7.若“綈(p∨q)”为假命题,则( )A.p,q均为真命题B.p,q均为假命题C.p,q中至少有一个为真命题D.p,q中至多有一个为真命题答案 C解析綈(p∨q)为假命题,则p∨q为真命题,所以,根据真值表,故选C.8.已知命题p:∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.[-2,0)C.(-2,0) D.(0,2)答案 C解析由题可知若p∧q为真命题,则命题p和命题q均为真命题,对于命题p为真,则m<0,对于命题q为真,则m2-4<0,即-2<m<2,所以命题p和命题q均为真命题时,实数m的取值范围是(-2,0).故选C.9.已知命题p:|x-1|≥2,命题q:x∈Z,若“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x 为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x∈Z}B.{x|-1≤x≤3,x∈Z}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}答案 C解析由题意知q真,p假,∴|x-1|<2.∴-1<x<3且x∈Z.∴x=0,1,2.10.已知p:1x2-x-2>0,则綈p对应的x的集合为________.答案{x|-1≤x≤2}解析p:1x2-x-2>0⇔x>2或x<-1,∴綈p:-1≤x≤2.11.已知命题p ,若ab =0,则a =0,则綈p 为________;命题p 的否命题为________. 答案 若ab =0,则a ≠0;若ab ≠0,则a ≠0.12.命题“存在实数x 0,y 0,使得x 0+y 0>1”,用符号表示为________;此命题的否定是________(用符号表示),是________(填“真”或“假”)命题.答案 ∃x 0,y 0∈R ,x 0+y 0>1;∀x ,y ∈R ,x +y ≤1;假13.若命题“存在实数x ,使x 2+ax +1<0”的否定是假命题,则实数a 的取值范围为________. 答案 a <-2或a >2解析 因为命题“存在实数x ,使x 2+ax +1<0”的否定是假命题,所以命题“存在实数x ,使x 2+ax +1<0”是真命题,所以a 2-4>0,解得a <-2或a >2.14.已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y =2x +2-x在R 上为减函数. 则在命题q 1:p 1∨p 2,q 2:p 1∧p 2,q 3:(綈p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(綈p 2)中,真命题是________. 答案 q 1,q 4解析 p 1是真命题,则綈p 1为假命题;p 2是假命题,则綈p 2为真命题. ∴q 1:p 1∨p 2是真命题,q 2:p 1∧p 2是假命题.∴q 3:(綈p 1)∨p 2为假命题,q 4:p 1∧(綈p 2)为真命题. ∴真命题是q 1,q 4.15.若f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0),∀x 1∈[-1,2],∃x 0∈[-1,2],使g (x 1)=f (x 0),则实数a 的取值范围是________.答案 (0,12]解析 由于函数g (x )在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0),因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[-1,3],函数g (x )的值域是[2-a,2+2a ],则有2-a ≥-1且2+2a ≤3,即a ≤12.又a >0,故a 的取值范围是(0,12].16.已知a >0,设命题p :函数y =a x 在R 上单调递增;命题q :不等式ax 2-ax +1>0对∀x ∈R 恒成立.若p 且q 为假,p 或q 为真,求实数a 的取值范围.答案 (0,1]∪[4,+∞)解析 ∵y =a x在R 上单调递增,∴p :a >1. 又不等式ax 2-ax +1>0对∀x ∈R 恒成立, ∴Δ<0,即a 2-4a <0,∴0<a <4. ∴q :0<a <4.而命题p 且q 为假,p 或q 为真,那么p ,q 中有且只有一个为真,一个为假. (1)若p 真,q 假,则a ≥4; (2)若p 假,q 真,则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).17.(2015·吉林大学附中一模)设a 为实常数,y =f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=9x +a 2x+7.若“∃x ∈[0,+∞),f (x )<a +1”是假命题,求实数a 的取值范围.答案 a ≤-87解析 y =f (x )是定义在R 上的奇函数,故可求解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧9x +a 2x-7,x >0,0,x =0,9x +a 2x +7,x <0.又“∃x ≥0,f (x )<a +1”是假命题,则∀x ≥0,f (x )≥a +1是真命题,①当x =0时,0≥a +1,解得a ≤-1;②当x >0时,9x +a 2x -7≥a +1,结合基本不等式有6|a |-7≥a +1,得a ≥85或a ≤-87,①②取交集得a 的取值范围是a ≤-87.1.设命题p :∀x ∈R ,x 2+1>0,则綈p 为( ) A .∃x 0∈R ,x 20+1>0 B .∃x 0∈R ,x 20+1≤0 C .∃x 0∈R ,x 20+1<0 D .∀x ∈R ,x 2+1≤0答案 B解析 由已知,该命题是一个全称命题,故其否定是一个特称命题,则綈p :∃x 0∈R ,x 20+1≤0.故选B.2.命题“∃x 0∈∁R Q ,x 30∈Q ”的否定是( ) A .∃x 0∉∁R Q ,x 30∈Q B .∃x 0∈∁R Q ,x 30∈Q C .∀x ∉∁R Q ,x 3∈Q D .∀x ∈∁R Q ,x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ,x 3∉Q ”.3.若∀a ∈(0,+∞),∃θ∈R ,使a sin θ≥a 成立,则cos(θ-π6)的值为________.答案 12解析 因为∀a ∈(0,+∞),∃θ∈R ,使a sin θ≥a 成立,所以sin θ≥1.又sin θ∈[-1,1],所以sin θ=1,故θ=π2+2k π(k ∈Z ).所以cos(θ-π6)=cos[(π2+2k π)-π6]=cos(π3+2k π)=cosπ3=12. 4.对于中国足球队参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:甲:中国非第一名,也非第二名;乙:中国非第一名,而是第三名;丙:中国非第三名,而是第一名.竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.答案 一解析 由上可知:甲、乙、丙均为“p 且q ”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知是丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.5.设命题p :若a >b ,则1a <1b ;命题q :1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题:①p ∨q ;②p ∧q ;③(綈p )∧(綈q );④(綈p )∨(綈q ).其中真命题的个数有________个.答案 2解析 p 假,q 真,故①④真.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)

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题组层级快练(六十)1.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为( ) A .x 2+y 2-2x -1=0 B .x 2+y 2-2x -3=0 C .x 2+y 2+2x -1=0 D .x 2+y 2+2x -3=0答案 B解析 ∵抛物线y 2=4x 的焦点是(1,0),∴圆的标准方程是(x -1)2+y 2=4,展开得x 2+y 2-2x -3=0.2.若圆(x +3)2+(y -1)2=1关于直线l :mx +4y -1=0对称,则直线l 的斜率为( ) A .4 B .-4 C.14 D .-14答案 D解析 依题意,得直线mx +4y -1=0经过点(-3,1), 所以-3m +4-1=0.所以m =1.故直线l 的斜率为-14.3.过点P (0,1)与圆x 2+y 2-2x -3=0相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A .x =0 B .y =1 C .x +y -1=0 D .x -y +1=0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线,因此所求直线方程是x +y =1,即x +y -1=0,选C.4.过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ,b ),半径为r . ∵圆心C 在直线x +y -2=0上,∴b =2-a . ∵|CA |2=|CB |2,∴(a -1)2+(2-a +1)2=(a +1)2+(2-a -1)2. ∴a =1,b =1.∴r =2. ∴方程为(x -1)2+(y -1)2=4.5.(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为( )A .(x +2)2+(y -2)2=1 B .(x -2)2+(y +2)2=1 C .(x +2)2+(y +2)2=1 D .(x -2)2+(y -2)2=1答案 B解析 C 1:(x +1)2+(y -1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x -y -1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C 2的方程为(x -2)2+(y +2)2=1.6.(2015·山东青岛一模)若过点P (1,3)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 和B ,则弦长|AB |=( )A. 3 B .2 C. 2 D .4答案 A解析 如图所示,∵PA ,PB 分别为圆O :x 2+y 2=1的切线,∴OA ⊥AP .∵P (1,3),O (0,0), ∴|OP |=1+3=2. 又∵|OA |=1,∴在Rt △APO 中,cos ∠AOP =12.∴∠AOP =60°,∴|AB |=2|AO |sin ∠AOP = 3.7.在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .5 2B .10 2C .15 2D .20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x -1)2+(y -3)2=10,则圆心(1,3),半径r =10,由题意知AC ⊥BD ,且|AC |=210,|BD |=210-5=25,所以四边形ABCD 的面积为S =12|AC |·|BD |=12×210×25=10 2. 8.已知点P 在圆x 2+y 2=5上,点Q (0,-1),则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A .x 2+y 2-x =0 B .x 2+y 2+y -1=0 C .x 2+y 2-y -2=0 D .x 2+y 2-x +y =0答案 B解析 设P (x 0,y 0),PQ 中点的坐标为(x ,y ),则x 0=2x ,y 0=2y +1,代入圆的方程即得所求的方程是4x 2+(2y +1)2=5,化简,得x 2+y 2+y -1=0.9.已知两点A (0,-3),B (4,0),若点P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,则△ABP 面积的最小值为( ) A .6 B.112 C .8 D.212答案 B解析 如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ,连接BP ,AP ,这时△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x 4+y-3=1,即3x -4y -12=0,圆心C 到直线AB 的距离为d =|3×0-4×1-12|32+-2=165, ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.10.在平面直角坐标系中,若动点M (x ,y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,x +y -2≤0,y -1≥0,动点Q 在曲线(x -1)2+y 2=12上,则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C .1-22D.5-12答案 C解析 作出平面区域,由图形可知|MQ |的最小值为1-22.11.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________. 答案 (x +2)2+(y -32)2=254解析 对于直线3x -4y +12=0,当x =0时,y =3;当y =0时,x =-4.即以两点(0,3),(-4,0)为端点的线段为直径,则r =32+422=52,圆心为(-42,32),即(-2,32).∴圆的方程为(x +2)2+(y -32)2=254.12.从原点O 向圆C :x 2+y 2-6x +274=0作两条切线,切点分别为P ,Q ,则圆C 上两切点P ,Q 间的劣弧长为________.答案 π解析 如图,圆C :(x -3)2+y 2=94,所以圆心C (3,0),半径r =32.在Rt △POC 中,∠POC =π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32=π.13.设圆C 同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y =x 上;③截y 轴所得的弦长为4,则圆C 的方程是________.答案 (x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8 解析 由题意可设圆心A (a ,a ),如图,则22+22=2a 2,解得a =±2,r 2=2a 2=8.所以圆C 的方程是(x +2)2+(y +2)2=8或(x -2)2+(y -2)2=8.14.一个圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且在直线y =x 上截得的弦长为27,求此圆的方程.答案 x 2+y 2-6x -2y +1=0或x 2+y 2+6x +2y +1=0解析 方法一:∵所求圆的圆心在直线x -3y =0上,且与y 轴相切, ∴设所求圆的圆心为C (3a ,a ),半径为r =3|a |.又圆在直线y =x 上截得的弦长为27, 圆心C (3a ,a )到直线y =x 的距离为d =|3a -a |12+12.∴有d 2+(7)2=r 2.即2a 2+7=9a 2,∴a =±1. 故所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 方法二:设所求的圆的方程是(x -a )2+(y -b )2=r 2, 则圆心(a ,b )到直线x -y =0的距离为|a -b |2.∴r 2=(|a -b |2)2+(7)2.即2r 2=(a -b )2+14.①由于所求的圆与y 轴相切,∴r 2=a 2.② 又因为所求圆心在直线x -3y =0上, ∴a -3b =0.③ 联立①②③,解得a =3,b =1,r 2=9或a =-3,b =-1,r 2=9.故所求的圆的方程是(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9. 方法三:设所求的圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,圆心为(-D 2,-E 2),半径为12D 2+E 2-4F .令x =0,得y 2+Ey +F =0.由圆与y 轴相切,得Δ=0,即E 2=4F .④又圆心(-D 2,-E2)到直线x -y =0的距离为|-D 2+E2|2,由已知,得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|-D 2+E 2|22+(7)2=r 2,即(D -E )2+56=2(D 2+E 2-4F ).⑤ 又圆心(-D 2,-E2)在直线x -3y =0上,∴D -3E =0.⑥ 联立④⑤⑥,解得D =-6,E =-2,F =1或D =6,E =2,F =1.故所求圆的方程是x 2+y 2-6x -2y +1=0或x 2+y 2+6x +2y +1=0.15.已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |=410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程. 答案 (1)x +y -3=0(2)(x +3)2+(y -6)2=40或(x -5)2+(y +2)2=40 解析 (1)直线AB 的斜率k =1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线CD 的方程为y -2=-(x -1),即x +y -3=0. (2)设圆心P (a ,b ),则由P 在CD 上得a +b -3=0.① 又直径|CD |=410, ∴|PA |=210. ∴(a +1)2+b 2=40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =6或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.∴圆心P (-3,6)或P (5,-2).∴圆P 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40或(x -5)2+(y +2)2=40. 16.已知实数x ,y 满足x 2+y 2-2y =0. (1)求2x +y 的取值范围;(2)若x +y +c ≥0恒成立,求实数c 的取值范围. 答案 (1)1-5≤2x +y ≤1+ 5 (2)c ≥2-1解析 (1)方法一:圆x 2+(y -1)2=1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =1+sin θ,∴2x +y =2cos θ+sin θ+1. ∵-5≤2cos θ+sin θ≤5, ∴1-5≤2x +y ≤5+1.方法二:2x +y 可看作直线y =-2x +b 在y 轴的截距,当直线与圆相切时b 取最值,此时|2×0+1-b |5=1.∴b =1±5,∴1-5≤2x +y ≤1+ 5.(2)∵x +y =cos θ+1+sin θ=2sin(θ+π4)+1,∴x +y +c 的最小值为1-2+c . ∴x +y +c ≥0恒成立等价于1-2+c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2-1.1.将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0答案 C解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2.设A (0,0),B (1,1),C (4,2),若线段AD 是△ABC 外接圆的直径,则点D 的坐标是( ) A .(-8,6) B .(8,-6) C .(4,-6) D .(4,-3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x +y -1=0与线段AC 的垂直平分线2x +y -5=0的交点即圆心(4,-3),直径为10,易得点D 的坐标为(8,-6).3.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴相切,则该圆的标准方程是( ) A .(x -3)2+(y -73)2=1B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -32)2+(y -1)2=1答案 B解析 设圆心为(a,1),由已知得d =|4a -3|5=1,∴a =2(舍-12).4.圆心在抛物线x 2=2y (x >0)上,并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A .x 2+y 2-x -2y -14=0B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0 D .x 2+y 2-2x -y +14=0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上,∴设圆心(a ,a 22).∴圆的方程为(x -a )2+(y -a 22)2=r 2.∴x 2+y 2-2ax -a 2y +a 2+a 44-r 2=0.对比A ,B ,C ,D 项,仅D 项x ,y 前系数符合条件.5.若方程16-x 2-x -m =0有实数解,则实数m 的取值范围为( ) A .-42≤m ≤4 2 B .-4≤m ≤4 2 C .-4≤m ≤4 D .4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16-x 2=x +m 有实数解,分别作出y =16-x 2与y =x +m 的图像,若两图像有交点,需-4≤m ≤4 2.6.若直线l :4x -3y -12=0与x ,y 轴的交点分别为A ,B ,O 为坐标原点,则△AOB 内切圆的方程为________.答案 (x -1)2+(y +1)2=1解析 由题意知,A (3,0),B (0,-4),则|AB |=5.∴△AOB 的内切圆半径r =3+4-52=1,内切圆的圆心坐标为(1,-1).∴内切圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=1.7.已知圆C 的方程为x 2+y 2-mx -2my =0(m ≠0),以下关于这个圆的叙述中,所有正确命题的序号是________.①圆C 必定经过坐标原点;②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限; ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ;④直线y =x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心. 答案 ①②8.(2015·吉林长春一调)若圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小值为________.答案 4解析 圆C :(x +1)2+(y -2)2=2,圆心坐标为C (-1,2)代入直线2ax +by +6=0,得-2a +2b +6=0即点(a ,b )在直线x -y -3=0上.过C (-1,2)作l 的垂线,垂足设为D ,过D 作圆C 的切线,切点设为E ,则切线长|DE |最短,于是有|CE |=2,|CD |=|6|2=32,∴切线长|DE |=|CD |2-r 2=4.9.在直角坐标系xOy 中,以M (-1,0)为圆心的圆与直线x -3y -3=0相切. (1)求圆M 的方程;(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx +y +1=0对称,求实数m 的值.(3)已知A (-2,0),B (2,0),圆内的动点P 满足|PA |·|PB |=|PO |2,求PA →·PB →的取值范围. 答案 (1)(x +1)2+y 2=4 (2)m =1 (3)[-2,6)解析 (1)依题意,圆M 的半径r 等于圆心M (-1,0)到直线x -3y -3=0的距离,即r =|-1-3|1+3=2.∴圆M 的方程为(x +1)2+y 2=4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx +y +1=0对称, ∴直线mx +y +1=0必过圆心M (-1,0). ∴-m +1=0,∴m =1.(3)设P (x ,y ),由|PA ||PB |=|PO |2,得x +2+y 2·x -2+y 2=x 2+y 2,即x 2-y 2=2.∴PA →·PB →=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y ) =x 2-4+y 2=2(y 2-1). ∵点P 在圆M 内,∴(x +1)2+y 2<4,∴0≤y 2<4,∴-1≤y 2-1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[-2,6).。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)

题组层级快练(八)1.若函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (4)=f (1),则( ) A .f (2)>f (3) B .f (3)>f (2) C .f (3)=f (2)D .f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)=f (1),∴对称轴为52,∴f (2)=f (3).2.若二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,则f (x )的表达式为( ) A .f (x )=-x 2-x -1 B .f (x )=-x 2+x -1 C .f (x )=x 2-x -1 D .f (x )=x 2-x +1答案 D解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c =1,a x +2+b x ++c -ax 2+bx +c =2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a =2,a +b =0,c =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,c =1,则f (x )=x 2-x +1.故选D.3.如图所示,是二次函数y =ax 2+bx +c 的图像,则|OA |·|OB |等于( )A.caB .-c aC .±c aD .无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |=|OA ·OB |=|x 1x 2|=|c a |=-c a(∵a <0,c >0).4.(2015·上海静安期末)已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(-1,2]C .[-1,2]D .[2,5)答案 C解析 二次函数f (x )=-x 2+4x 的图像是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x =2时取得,而当x =5或-1时,f (x )=-5,结合图像可知m 的取值范围是[-1,2].5.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图像大致是( )答案 C6.(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c x ≤,2 x ,若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为( )A .4B .2C .1D .3答案 D解析 由解析式可得f (-4)=16-4b +c =f (0)=c ,解得b =4.f (-2)=4-8+c =-2,可求得c =2.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +2x ,2 x 又f (x )=x ,则当x ≤0时,x 2+4x +2=x ,解得x 1=-1,x 2=-2. 当x >0时,x =2,综上可知有三解.7.二次函数f (x )的二次项系数为正数,且对任意的x ∈R 都有f (x )=f (4-x )成立,若f (1-2x 2)<f (1+2x -x 2),则实数x 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-2,0)D .(-∞,-2)∪(0,+∞)答案 C解析 由题意知,二次函数的开口向上,对称轴为直线x =2,图像在对称轴左侧为减函数.而1-2x 2<2,1+2x -x 2=2-(x -1)2≤2,所以由f (1-2x 2)<f (1+2x -x 2),得1-2x 2>1+2x -x 2,解得-2<x <0.8.已知函数f (x )=-x 2+ax +b 2-b +1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1-x )=f (1+x )成立,若当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立,则实数b 的取值范围是( )A .-1<b <0B .b >0C .b <-1或b >2D .不能确定答案 C解析 由f (1-x )=f (1+x ),得对称轴方程为x =1=a2.∴a =2,f (x )在[-1,1]上是增函数. ∴要使x ∈[-1,1],f (x )>0恒成立.只要f (x )min =f (-1)=b 2-b -2>0,∴b >2或b <-1.9.(2015·上海虹口二模)函数f (x )=-x 2+4x +1(x ∈[-1,1])的最大值等于________. 答案 4解析 因为对称轴为x =2∉[-1,1],所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当x =1时,函数取最大值4.10.设函数f (x )=mx 2-mx -1,若f (x )<0的解集为R ,则实数m 的取值范围是________. 答案 (-4,0]11.设函数y =x 2+(a +2)x +3,x ∈[a ,b ]的图像关于直线x =1对称,则b =________. 答案 612.已知函数f (x )=x 2-6x +5,x ∈[1,a ],并且函数f (x )的最大值为f (a ),则实数a 的取值范围是________.答案 a ≥5解析 ∵f (x )的对称轴为x =3,要使f (x )在[1,a ]上f (x )max =f (a ),由图像对称性知a ≥5. 13.已知y =(cos x -a )2-1,当cos x =-1时,y 取最大值,当cos x =a 时,y 取最小值,则实数a 的范围是________.答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-a ≤0,-1≤a ≤1,∴0≤a ≤1.14.若函数f (x )=x 2-2x +3在区间[0,m ]上的最小值是2,最大值是3,则实数m 的取值范围是________.答案 [1,2]解析 ∵f (x )=(x -1)2+2≥2, ∴x =1∈[0,m ].∴m ≥1.① ∵f (0)=3,而3是最大值.∴f (m )≤3⇒m 2-2m +3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知:1≤m ≤2,故应填[1,2].15.在函数f (x )=ax 2+bx +c 中,若a ,b ,c 成等比数列且f (0)=-4,则f (x )有最________值(填“大”或“小”),且该值为________.答案 大 -3解析 ∵f (0)=c =-4,a ,b ,c 成等比,∴b 2=a ·c ,∴a <0.∴f (x )有最大值,最大值为c -b 24a=-3.16.函数f (x )=x 2+2x ,若f (x )>a 在区间[1,3]上满足:①恒有解,则a 的取值范围为________;②恒成立,则a 的取值范围为________.答案 a <15 a <3解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解,等价于a <[f (x )]max ,又f (x )=x 2+2x 且x ∈[1,3],当x =3时,[f (x )]max =15,故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立,等价于a <[f (x )]min ,又f (x )=x 2+2x 且x ∈[1,3],当x =1时,[f (x )]min =3,故a 的取值范围为a <3.17.已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6]. (1)当a =-2时,求f (x )的最值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a =1时,求f (|x |)的单调区间. 答案 (1)最小值-1,最大值35 (2)a ≤-6或a ≥4(3)单调递增区间(0,6],单调递减区间[-6,0]解析 (1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6], ∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增.∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.(3)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-6,6],且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +3,x ∈,6],x 2-2x +3,x ∈[-6,0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].18.二次函数f (x )=ax 2+bx +1(a >0),设f (x )=x 的两个实根为x 1,x 2. (1)如果b =2且|x 2-x 1|=2,求实数a 的值;(2)如果x 1<2<x 2<4,设函数f (x )的对称轴为x =x 0,求证:x 0>-1. 答案 (1)a =2-12(2)略 解析 (1)若b =2,则f (x )=ax 2+2x +1. 由f (x )=x ,得ax 2+2x +1=x . 即ax 2+x +1=0.由|x 2-x 1|=2,得(x 2-x 1)2=4. ∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4.∴(1a )2-41a =4,得a =2-12(a >0).(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx +1=x . 即ax 2+(b -1)x +1=0. 设g (x )=ax 2+(b -1)x +1,则⎩⎪⎨⎪⎧g ,g ,即⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b -1<0,16a +4b -3>0.画出点(a ,b )的平面区域知该区域内有点均满足2a -b >0.从而2a >b ,∴x 0=-b2a>-1.1.(2013·浙江)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则( ) A .a >0,4a +b =0 B .a <0,4a +b =0 C .a >0,2a +b =0 D .a <0,2a +b =0答案 A解析 由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 的对称轴为x =-b2a =2,∴4a +b =0,又f (0)>f (1),∴f (x )先减后增,∴a >0,选A.2.已知f (x )是二次函数,且函数y =ln f (x )的值域为[0,+∞),则f (x )的表达式可以是( ) A .y =x 2B .y =x 2+2x +2 C .y =x 2-2x +3 D .y =-x 2+1答案 B解析 由题意可知f (x )≥1.3.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3,若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为( ) A .[2-2,2+2] B .(2-2,2+2) C .[1,3] D .(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )=e x -1>-1,g (x )=-x 2+4x -3=-(x -2)2+1≤1,若有f (a )=g (b ),则g (b )∈(-1,1].即-b 2+4b -3>-1,解得2-2<b <2+ 2.4.对一切实数x ,若不等式x 4+(a -1)x 2+1≥0恒成立,则a 的取值范围是( ) A .a ≥-1 B .a ≥0 C .a ≤3 D .a ≤1答案 A解析 令t =x 2≥0,则原不等式转化为t 2+(a -1)t +1≥0,当t ≥0时恒成立. 令f (t )=t 2+(a -1)t +1,则f (0)=1>0. (1)当-a -12≤0即a ≥1时,恒成立. (2)当-a -12>0即a <1时,由Δ=(a -1)2-4≤0,得-1≤a ≤3. ∴-1≤a <1,综上:a ≥-1.5.若二次函数y =8x 2-(m -1)x +m -7的值域为[0,+∞),则m =________. 答案 9或25 解析 y =8(x -m -116)2+m -7-8·(m -116)2,∵值域为[0,+∞),∴m -7-8·(m -116)2=0,∴m =9或25.6.已知t 为常数,函数y =|x 2-2x -t |在区间[0,3]上的最大值为2,则t =________. 答案 1解析 ∵y =|(x -1)2-t -1|,∴对称轴为x =1.若-t -1<0,即t >-1时,则当x =1或x =3时为最大值,即|1-2-t |=t +1=2或9-6-t =2,得t =1;若-t -1≥0,即t ≤-1时,则当x =3时为最大值,即9-6-t =2,t 无解.故得t =1.7.(2015·北京丰台期末)若f (x )=(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a ),其中a ≤b ≤c ,对于下列结论:①f (b )≤0;②若b =a +c2,则∀x ∈R ,f (x )≥f (b );③若b ≤a +c2,则f (a )≤f (c );④f (a )=f (c )成立的充要条件为b =0.其中正确的是________.(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )=(b -a )(b -b )+(b -b )(b -c )+(b -c )·(b -a )=(b -c )(b -a ),因为a ≤b ≤c ,所以f (b )≤0,①正确;将f (x )展开可得f (x )=3x 2-2(a +b +c )x +ab +bc +ac ,又抛物线开口向上,故f (x )min=f (a +b +c3).当b =a +c2时,a +b +c3=b ,所以f (x )min =f (b ),所以②正确;f (a )-f (c )=(a -b )(a -c )-(c -a )(c -b )=(a -c )(a +c -2b ),因为a ≤b ≤c ,且2b ≤a +c ,所以f (a )≤f (c ),③正确;因为a ≤b ≤c ,所以当f (a )=f (c )时,即(a -c )(a +c -2b )=0,所以a =b =c 或a +c =2b ,故④不正确.8.已知函数f (x )=x 2-2ax +5(a >1).(1)若f (x )的定义域和值域均是[1,a ],求实数a 的值;(2)若f (x )在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围.解析 (1)∵f (x )=(x -a )2+5-a 2(a >1),∴f (x )在[1,a ]上是减函数.又定义域和值域均为[1,a ],∴⎩⎪⎨⎪⎧f =1-2a +5=a ,f a =a 2-2a 2+5=1.解得a =2.(2)∵f (x )在区间(-∞,2]上是减函数,∴a ≥2. 又x =a ∈[1,a +1],且(a +1)-a ≤a -1, ∴f (x )max =f (1)=6-2a ,f (x )min =f (a )=5-a 2.∵对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4, ∴f (x )max -f (x )min ≤4,即(6-2a )-(5-a 2)≤4,解得-1≤a ≤3. 又a ≥2,∴2≤a ≤3.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练80(含解析)

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题组层级快练(八十)1.(2015·沧州七校联考)某道路的A ,B ,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒.某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( )A.35192 B.25192 C.55192D.65192答案 A解析 三处都不停车的概率是P (ABC )=2560×3560×4560=35192.2.(2015·湖南师大附中模拟)一个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512C.59D.79答案 C解析 P =C 16C 15C 16C 19=59.故选C.3.已知随机变量ξ~B (6,13),则P (ξ=2)等于( )A.316B.1243C.13243D.80243答案 D解析 已知ξ~B (6,13),P (ξ=k )=C k n p k q n -k.当ξ=2,n =6,p =13时,P (ξ=2)=C 26(13)2(1-13)6-2=C 26(13)2(23)4=80243. 4.若X ~B (5,0.1),则P (X ≤2)等于( ) A .0.665 B .0.008 56 C .0.918 54 D .0.991 44答案 D5.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是1%,现把这种零件每6件装成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A .(99100)6B .0.01 C.C 16100(1-1100)5 D .C 26(1100)2(1-1100)4答案 C解析 P =C 16·1%·(1-1100)5.6.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14D .C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49答案 B解析 由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情况,此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.7.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13答案 A解析 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P (A )=23,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P (B )=23.则P (AB )=P (A )P (B )=23×23=49.8.设随机变量X ~B (2,p ),Y ~B (4,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681答案 B解析 P (X ≥1)=P (X =1)+P (x =2)=C 12p (1-p )+C 22p 2=59,解得p =13.(0≤p ≤1,故p =53舍去).故P (Y ≥2)=1-P (Y =0)-P (Y =1)=1-C 04×(23)4-C 14×13×(23)3=1127.9.如图所示,用K ,A 1,A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1,A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K ,A 1,A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )A .0.960B .0.864C .0.720D .0.576答案 B解析 A 1,A 2不能同时工作的概率为0.2×0.2=0.04,所以A 1,A 2至少有一个正常工作的概率为1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864.10.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n }:a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,第n 次摸取红球,1,第n 次摸取白球.如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为( )A .C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B .C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C .C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D .C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135答案 B解析 S 7=3说明摸取2个红球,5个白球,故S 7=3的概率为C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135.11.在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为6581,则事件A 在1次试验中出现的概率为________.答案 13解析 A 至少发生一次的概率为6581,事件A 都不发生的概率为1-6581=1681=(23)4,所以A 在一次试验中出现的概率为1-23=13.12.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为________.答案 34解析 方法一:以甲再打的局数分类讨论,若甲再打一局得冠军的概率为p 1,则p 1=12.若甲打两局得冠军的概率为p 2,则p 2=12×12=14.故甲获得冠军的概率为p 1+p 2=34.方法二:先求乙获得冠军的概率p 1,则p 1=12×12=14,故甲获得冠军的概率为p =1-p 1=34.13.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P (ξ=4)=________.答案10243解析 考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故ξ~B (5,13).即有P (ξ=k )=C k 5(13)k×(23)5-k ,k =0,1,2,3,4,5.∴P (ξ=4)=C 45(13)4×(23)1=10243.14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.答案 0.128解析 依题意得,事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中,要么第一个问题答对且第二个问题答错,第三、四个问题都答对了;要么第一、二个问题都答错;第三、四个问题都答对了”,因此所求事件的概率等于[0.8×(1-0.8)+(1-0.8)2]×0.82=0.128.15.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用A ,B ,C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下:(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只需小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ).答案 (1)124 (2)1912解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据,用A ,B ,C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示.P (E )=P (A 2)P (B 2)P (C 2)=12×12×16=124.(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为P 1,P 2,P 3,则P 1=P (A 2)=12,P 2=P (B 1)=14,P 3=P (C 2)+P (C 3)=56.ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=(1-P 1)(1-P 2)(1-P 3)=12×34×16=116;P (ξ=1)=P 1(1-P 2)(1-P 3)+(1-P 1)P 2(1-P 3)+(1-P 1)(1-P 2)P 3=12×34×16+12×14×16+12×34×56=1948; P (ξ=2)=(1-P 1)P 2P 3+P 1(1-P 2)P 3+P 1P 2(1-P 3)=12×14×56+12×34×56+12×14×16=716; P (ξ=3)=P 1P 2P 3=12×14×56=548.所以随机变量ξ的分布列为所以数学期望E (ξ)=116×0+48×1+16×2+48×3=12.16.(2015·山东淄博一模)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入总决赛的甲、乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为23,乙队获胜的概率为13,假设每场比赛的结果相互独立.现已赛完两场,乙队以2∶0暂时领先.(1)求这次比赛甲队获胜的概率;(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望. 答案 (1)112243 (2)48881解析 (1)设甲队获胜为事件A ,则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况. 设甲队以4∶2获胜为事件A 1,则P (A 1)=(23)4=1681.设甲队以4∶3获胜为事件A 2,则P (A 2)=C 34×(23)3×13×23=64243.故P (A )=P (A 1)+P (A 2)=1681+64243=112243.(2)随机变量X 的所有可能取值为4,5,6,7.P (X =4)=(13)2=19, P (X =5)=C 12×13×23×13=427, P (X =6)=C 13×13×(23)2×13+(23)4=2881, P (X =7)=C 14×13×(23)3=3281, (或P (X =7)=C 14×13×(23)3×13+C 34(23)3×13×23=32243+64243=3281)所以X 的分布列为E (X )=4×19+5×427+6×2881+7×81=81.17.(2014·湖南理)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.答案 (1)1315(2)140解析 记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E )=23,P (E )=13,P (F )=35,P (F )=25,且事件E 与F ,E 与F ,E 与F ,E 与F 都相互独立.(1)记H ={至少有一种新产品研发成功},则H =E F ,于是P (H )=P (E )P (F )=13×25=215,故所求的概率为P (H )=1-P (H )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X =0)=P (E F )=13×25=215,P (X =100)=P (E F )=13×35=15, P (X =120)=P (E F )=23×25=415, P (X =220)=P (EF )=23×35=25.故所求的分布列为数学期望为E (X )=0×215+100×5+120×15+220×5= 1 32015=2 10015=140.。

【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练51(含解析)

【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练51(含解析)

题组层级快练(五十一)1.若l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面答案 B解析当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.2.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案 D解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a.∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.3.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面答案 B解析对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾;对于选项B,过点P与l,m都垂直的直线,即过P且与l,m的公垂线段平行的那一条直线;对于选项C,过点P与l,m都相交的直线有一条或零条;对于选项D,过点P与l,m都异面的直线可能有无数条.4.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析连接BA1,则CD1∥BA1,于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角).设AB=1,则BE=2,BA1=5,A1E=1,在△A1BE中,cos∠A1BE=5+2-125·2=31010,选C.5.(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面M,b⊂平面N,M∩N =c.①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 C解析命题①③正确,命题②④错误.其中命题②中a和b有可能垂直;命题④中当b∥c时,平面M,N有可能不垂直,故选C.6.ABCD为空间四边形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与( ) A.AC,BD之一垂直B.AC,BD都垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD不一定垂直答案 B解析∵AD=BC,AB=CD,BD=BD,∴△ABD≌△CDB.∴AN=CN.在等腰△ANC中,由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.7.如图所示,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是( )A.②③④B.①③④C .①②④D .①②③答案 C解析 将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意不等于k π2(k ∈Z )的角度,所得的平面与直线AB ,B 1C 1都相交,故③错误,排除A ,B ,D ,选C.8.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF =12,则下列结论中错误的是( )A .AC ⊥BEB .EF ∥平面ABCDC .三棱锥A -BEF 的体积为定值D .△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D解析 由AC ⊥平面DBB 1D 1,可知AC ⊥BE ,故A 正确. 由EF ∥BD ,EF ⊄平面ABCD ,知EF ∥平面ABCD ,故B 正确.A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22,且S △BEF =12BB 1×EF =定值, 故V A -BEF 为定值,即C 正确.9.如图所示,是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM 与ED 平行; ②CN 与BE 是异面直线; ③CN 与BM 成60°角; ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ③④解析 如图所示,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,显然BM 与ED 为异面直线,故命题①不成立;而CN 与BE 平行,故命题②不成立.∵BE∥CN,∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE=60°,故③正确;∵BC⊥面CDNM,∴BC⊥DM,又∵DM⊥NC,∴DM⊥面BCN.∴DM⊥BN,故④正确,故填③④.10.在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以图②,④中GH与MN异面.11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________.答案③④解析AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错;③,④正确.12.如图所示,在正四面体S -ABC 中,D 为SC 的中点,则BD 与SA 所成角的余弦值是________.答案36解析 取AC 中点E ,连接DE ,BE ,则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角. 设SA =a ,则BD =BE =32a ,DE =a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE =36. 13.有下列四个命题:①若△ABC 在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R ,则P ,Q ,R 三点共线; ②若三条直线a ,b ,c 互相平行且分别交直线l 于A ,B ,C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;④若a 不平行于平面α,且a ⊄α,则α内的所有直线与a 异面. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①②解析 在①中,因为P ,Q ,R 三点既在平面ABC 上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上,既P ,Q ,R 三点共线,所以①正确.在②中,因为a ∥b ,所以a 与b 确定一个平面α,而l 上有A ,B 两点在该平面上,所以l ⊂α,即a ,b ,l 三线共面于α;同理a ,c ,l 三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a ,l ,所以α与β重合,即这些直线共面,所以②正确.在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错.在④中,由题设知,a 与α相交,设a ∩α=P ,如图,在α内过点P 的直线l 与a 共面,所以④错. 14.(2015·上海徐汇二模)如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=2,AC =BC =1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________.答案66解析 由于AC ∥A 1C 1,所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在△BA 1C 1中,A 1B =6,A 1C 1=1,BC 1=5,cos ∠BA 1C 1=6+1-526×1=66.15.如图所示,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠FAB =90°,BC ∥AD 且BC =12AD ,BE ∥AF 且BE =12AF ,G ,H 分别为FA ,FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C ,D ,F ,E 四点是否共面?为什么? 答案 (1)略 (2)共面,证明略解析 (1)证明:∵G ,H 分别为FA ,FD 的中点,∴GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ,∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形. (2)C ,D ,F ,E 四点共面.理由如下: 由BE 綊12AF ,G 是FA 的中点,得BE 綊GF .所以EF 綊BG .由(1)知,BG 綊CH ,所以EF 綊CH .所以EC ∥FH . 所以C ,D ,F ,E 四点共面.16.(2014·上海黄浦一模)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2,A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心,如图所示.(1)连接BC 1,求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小; (2)连接A 1C ,A 1B ,求三棱锥C 1-BCA 1的体积. 答案 (1)π4 (2)223解析 (1)连接AO ,并延长与BC 交于点D ,则D 是BC 边上的中点. ∵点O 是正△ABC 的中心,且A 1O ⊥平面ABC ,∴BC ⊥AD ,BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O =O ,∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1,∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ,即四边形BCC 1B 1为正方形, ∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2,∴可求得AD =3,AO =23AD =233,A 1O =AA 21-AO 2=263.∴VABC -A 1B 1C 1=S △ABC ·A 1O =22,VA 1-B 1C 1CB =VABC -A 1B 1C 1-VA 1-ABC =423. ∴VC 1-BCA 1=VA 1-BCC 1=12VA 1-BCC 1B 1=223.1.下面三条直线一定共面的是( ) A .a ,b ,c 两两平行 B .a ,b ,c 两两相交 C .a ∥b ,c 与a ,b 均相交 D .a ,b ,c 两两垂直答案 C2.如图所示是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行; ②BD 与MN 为异面直线; ③GH 与MN 成60°角; ④DE 与MN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE ⊥MN .。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练68(含解析)

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题组层级快练(六十八)1.若过抛物线y =2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=( ) A .-2 B .-12C .-4D .-116答案 D解析 由y =2x 2,得x 2=12y .其焦点坐标为F (0,18),取直线y =18,则其与y =2x 2交于A (-14,18),B (14,18),∴x 1x 2=(-14)·(14)=-116.2.设离心率为e 的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,直线l 过焦点F ,且斜率为k ,则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A .k 2-e 2>1 B .k 2-e 2<1 C .e 2-k 2>1 D .e 2-k 2<1答案 C解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是-b a <k <b a ,即k 2<c 2-a 2a=e 2-1,即e 2-k 2>1,故选C.3.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A .3 2 B .2 3 C.303D.326 答案 C解析 设y -1=k (x -1),∴y =kx +1-k . 代入椭圆方程,得x 2+2(kx +1-k )2=4. ∴(2k 2+1)x 2+4k (1-k )x +2(1-k )2-4=0. 由x 1+x 2=4kk -2k 2+1=2,得k =-12,x 1x 2=13.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4-43=83.∴|AB |=1+14·263=303. 4.已知抛物线y =2x 2上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,那么m 的值等于( )A.32B.52 C .2 D .3答案 A解析 因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在抛物线y =2x 2上,所以y 1=2x 21,y 2=2x 22,两式相减,得y 1-y 2=2(x 1-x 2)(x 1+x 2),不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y =x +m 互相垂直,所以y 1-y 2x 1-x 2=-1,所以x 1+x 2=-12.而x 1x 2=-12,解得x 1=-1,x 2=12,设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=-14,y 0=y 1+y 22=2x 21+2x 222=54.因为中点M 在直线y =x +m 上,所以54=-14+m ,解得m =32.5.已知双曲线x 2-y 24=1,过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点,则l 的条数为( )A .4B .3C .2D .1答案 A解析 ①斜率不存在时,方程为x =1符合. ②设斜率为k ,y -1=k (x -1),kx -y -k +1=0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-y 2=4,y =kx -k +1, (4-k 2)x 2+(2k 2-2k )x -k 2+2k -5=0.当4-k 2=0,k =±2时符合;当4-k 2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共4条.6.(2015·东北三校)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点M (-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ,B ,且满足AF →·BF →=0,则直线AB 的斜率k =( )A. 2B.22 C.3 D.33答案 B解析 依题意,设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),代入抛物线方程y 2=4x 并整理,得k 2x 2+(2k2-4)x +k 2=0.因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以Δ=(2k 2-4)2-4k 4>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1.又因为AF →·BF →=0,所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0,(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0.把⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1,代入并整理,得k 2=12.又k >0,所以k =22,故选B.7.已知抛物线y 2=8x ,过动点M (a,0),且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ,B ,|AB |≤8,则实数a 的取值范围是________.答案 -2<a ≤-1解析 将l 的方程y =x -a 代入y 2=8x , 得x 2-2(a +4)x +a 2=0. 则|AB |=x 1+x 22-4x 1x 2]=32+2a ≤8,又∵|AB |>0,∴-2<a ≤-1.8.(2015·上海静安一模)已知椭圆C :x 22+y 24=1,过椭圆C 上一点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ,PB ,分别交椭圆C 于A ,B 两点.则直线AB 的斜率为________.答案2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),同时设PA 的方程为y -2=k (x -1),代入椭圆方程化简得(k 2+2)x2-2k (k -2)x +k 2-22k -2=0,显然1和x 1是这个方程的两解.因此x 1=k 2-22k -2k 2+2,y 1=-2k 2-4k +22k 2+2.由-k 代替x 1,y 1中的k ,得x 2=k 2+22k -2k 2+2,y 2=-2k 2+4k +22k 2+2,所以y 2-y 1x 2-x 1= 2. 9.(2015·福建福州质检)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y =b ax 对称,则该双曲线的离心率为________.答案5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y =bx a 对称,则PF 1⊥PF 2.又|PF 2||PF 1|=ba,联立|PF 2|-|PF 1|=2a ,|PF 2|2+|PF 1|2=(2c )2,可得b 3+a 2b =2c 2a .所以b =2a ,e = 5.10.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点. (1)若AF →=2FB →,求直线AB 的斜率;(2)设点M 在线段AB 上运动,原点O 关于点M 的对称点为C ,求四边形OACB 面积的最小值. 答案 (1)±2 2 (2)4解析 (1)依题意知F (1,0),设直线AB 的方程为x =my +1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立,消去x ,得y 2-4my -4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.① 因为AF →=2FB →,所以y 1=-2y 2.② 联立①和②,消去y 1,y 2,得m =±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称,得M 是线段OC 的中点.从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等,所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB =2×12·|OF |·|y 1-y 2|=y 1+y 22-4y 1y 2=41+m 2,所以当m =0时,四边形OACB 的面积最小,最小值是4.11.(2015·四川成都七中适应性训练)如图所示,设抛物线C 1:y 2=4x 的准线与x 轴交于点F 1,焦点F 2.椭圆C 2以F 1和F 2为焦点,离心率e =12.设P 是C 1与C 2的一个交点.(1)求椭圆C 2的方程;(2)直线l 过C 2的右焦点F 2,交C 1于A 1,A 2两点,且|A 1A 2|等于△PF 1F 2的周长,求直线l 的方程. 答案 (1)x 24+y 23=1(2)y =2(x -1)或y =-2(x -1)解析 (1)由条件,F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 2的两焦点,故半焦距为1,再由离心率为12知长半轴长为2,从而C 2的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)可知△PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=6.又C 1:y 2=4x ,而F 2(1,0).若l 垂直于x 轴,易得|A 1A 2|=4,矛盾,故l 不垂直于x 轴,可设其方程为y =k (x -1),与C 1方程联立可得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,从而|A 1A 2|=k 2+1|x 1-x 2|=k 2+1·k 2+2-4k4k 2=k 2+k 2.令|A 1A 2|=6可解出k 2=2,故l 的方程为y =2(x -1)或y =-2(x -1).12.(2014·陕西文)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =-12x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |=534,求直线l 的方程. 答案 (1)x 24+y 23=1(2)y =-12x +33或y =-12x -33思路 (1)构造关于a ,b ,c 的方程组;(2)利用直线与圆的位置关系得|CD |,直线的方程与椭圆方程联立得方程组,利用根与系数的关系得|AB |,构造关于m 的方程求m ,进而得出直线l 的方程.解析 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c a =12,b 2=a 2-c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =3,c =1.∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)由题设,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1, ∴圆心到直线l 的距离d =2|m |5. 由d <1,得|m |<52.(*) ∴|CD |=21-d 2=21-45m 2=255-4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-12x +m ,x 24+y 23=1,得x 2-mx +m 2-3=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3.∴|AB |=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-122[m 2-m 2-=1524-m 2. 由|AB ||CD |=534,得4-m 25-4m 2=1,解得m =±33,满足(*). ∴直线l 的方程为y =-12x +33或y =-12x -33.13.(2014·辽宁理)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点,直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ,B 两点,若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.答案 (1)x 2-y 22=1(2)x -(362-1)y -3=0或x +(62-1)y -3=0思路 (1)先求切线方程,再利用条件列出方程组求解字母的值;(2)利用关系设出椭圆方程,再利用直线与椭圆的位置关系求解.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0), 则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时,x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-2b2=1,a 2+b 2=3a 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,b 2=2.故C 1的方程为x 2-y 22=1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此设C 2的方程为x 23+b 21+y 2b 21=1,其中b 1>0.由P (2,2)在C 2上,得23+b 21+2b 21=1.解得b 21=3,因此C 2的方程为x 26+y 23=1.显然,l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +3,x 26+y 23=1,得(m 2+2)y 2+23my -3=0.又y 1,y 2是方程的根,因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-23mm 2+2, ①y 1y 2=-3m 2+2. ②由x 1=my 1+3,x 2=my 2+3,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m y 1+y2+23=43m 2+2, ③x 1x 2=m 2y 1y 2+3my 1+y 2+3=6-6m 2m 2+2. ④因为AP →=(2-x 1,2-y 1),BP →=(2-x 2,2-y 2), 由题意知AP →·BP →=0,所以x 1x 2-2(x 1+x 2)+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.⑤ 将①②③④代入⑤整理,得2m 2-26m +46-11=0. 解得m =362-1或m =-62+1.因此直线l 的方程为x -(362-1)y -3=0或x +(62-1)y -3=0.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练5(含解析)

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题组层级快练(五)1.下列函数中,与函数y =13x定义域相同的函数为( )A .y =1sin xB .y =ln x xC .y =x e xD .y =sin x x答案 D 解析 因为y =13x的定义域为{x |x ≠0},而y =1sin x 的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z },y =ln xx 的定义域为{x |x >0},y =x e x的定义域为R ,y =sin x x的定义域为{x |x ≠0},故D 项正确.2.函数y =的定义域是( )A .(-3,+∞)B .[-2,+∞)C .(-3,-2)D .(-∞,-2]答案 B 3.函数y =|x x -的定义域为( )A .{x |x ≥1}B .{x |x ≥1或x =0}C .{x |x ≥0}D .{x |x =0}答案 B解析 由题意得|x |(x -1)≥0,∴x -1≥0或|x |=0. ∴x ≥1或x =0.4.(2014·山东理)函数f (x )=12x2-1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B .(2,+∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞) 答案 C解析 (log 2x )2-1>0,即log 2x >1或log 2x <-1,解得x >2或0<x <12,故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞).5.(2015·衡水调研卷)若函数y =f (x )的定义域是[1,2 015],则函数g (x )=f x +lg x的定义域是( )A .(0,2 014]B .(0,1)∪(1,2 014]C .(1,2 015]D .[-1,1)∪(1,2 014]答案 B解析 使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 015,x >0且x ≠1,解得0<x <1或1<x ≤2 014.故函数g (x )的定义域为(0,1)∪(1,2 014].故选B.6.函数y =14-x-3·2x-4的定义域为( )A .[2,+∞)B .(-∞,2]C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]答案 A 7.函数y =(12)的值域为( )A .(-∞,12]B .[12,1]C .[12,1)D .[12,+∞)答案 C解析 由于x 2≥0,所以x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,结合函数y =(12)x在(0,1]上的图像可知函数y =(12)1x +1的值域为[12,1). 8.若对函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)作x =h (t )的代换,则总不改变函数f (x )的值域的代换是( ) A .h (t )=10tB .h (t )=t 2C .h (t )=sin tD .h (t )=log 2t答案 D解析 ∵log 2t ∈R ,故选D.9.若函数y =12x 2-2x +4的定义域、值域都是[2,2b ](b >1),则( )A .b =2B .b ≥2C .b ∈(1,2)D .b ∈(2,+∞)答案 A解析 ∵函数y =12x 2-2x +4=12(x -2)2+2,其图像的对称轴为直线x =2,∴在定义域[2,2b ]上,y为增函数.当x =2时,y =2;当x =2b 时,y =2b .故2b =12×(2b )2-2×2b +4,即b 2-3b +2=0,得b 1=2,b 2=1.又∵b >1,∴b =2.10.(2014·东城区)设函数f (x )=2x1+2x -12,[x ]表示不超过x 的最大整数,则函数y =[f (x )]的值域为( )A .{0}B .{-1,0}C .{-1,0,1}D .{-2,0}答案 B解析 ∵f (x )=1-12x +1-12=12-12x +1,又2x>0,∴-12<f (x )<12.∴y =[f (x )]的值域为{-1,0}.11.(2013·安徽文)函数y =ln(1+1x)+1-x 2的定义域为________.答案 (0,1]解析 根据题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧1+1x>0,x ≠0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x +1x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1,故定义域为(0,1].12.函数y =4x 2-3x -3|x +1|-2的定义域为________.答案 {x |x <-3或-3<x ≤-1或x ≥4} 13.函数y =10x +10-x10x -10-x 的值域为________.答案 (-∞,-1)∪(1,+∞). 解析 由y =10x +10-x10x -10-x ,得y +1y -1=102x. ∵102x>0,∴y +1y -1>0. ∴y <-1或y >1.即函数值域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 14.函数y =xx 2+x +1(x >0)的值域是________.答案 (0,13]解析 由y =x x 2+x +1(x >0),得0<y =x x 2+x +1=1x +1x+1≤12x ·1x+1=13,因此该函数的值域是(0,13].15.若函数f (x )=a x-1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a 等于__________. 答案3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a 2-1=2,a 0-1=0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a 2-1=0,a 0-1=2.解得a = 3.16.若函数f (x )=exx 2+ax +a 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.答案 (0,4)解析 ∵f (x )的定义域为R , ∴x 2+ax +a ≠0恒成立. ∴Δ=a 2-4a <0,∴0<a <4. 即当0<a <4时,f (x )的定义域为R .17.已知函数f (x )=x 2-4ax +2a +6,x ∈R . (1)若函数的值域为[0,+∞),求实数a 的值;(2)若函数的值域为非负数集,求函数f (a )=2-a |a +3|的值域. 答案 (1)a =-1或a =32 (2)[-194,4]解析 f (x )=x 2-4ax +2a +6=(x -2a )2+2a +6-4a 2. (1)∵函数值域为[0,+∞),∴2a +6-4a 2=0. 解得a =-1或a =32.(2)∵函数值域为非负数集,∴2a +6-4a 2≥0. 即2a 2-a -3≤0,解得-1≤a ≤32.∴f (a )=2-a |a +3|=2-a (a +3)=-(a +32)2+174.∴f (a )在[-1,32]上单调递减.∴-194≤f (a )≤4.即f (a )值域为[-194,4].18.已知函数f (x )=lg[(a 2-1)x 2+(a +1)x +1]. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围. 答案 (1)(-∞,-1]∪(53,+∞) (2)[1,53]解析 (1)依题意(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0,对一切x ∈R 恒成立,当a 2-1≠0时,其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0,Δ=a +2-a 2-,即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <-1,a >53或a <-1.∴a <-1或a >53.又a =-1时,f (x )=0,满足题意. ∴a ≤-1或a >53.(2)依题意,只要t =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取到(0,+∞)上的任何值,则f (x )的值域为R ,故有a 2-1>0,Δ≥0,解之1<a ≤53,又当a 2-1=0,即a =1时,t =2x +1符合题意;a =-1时不合题意,∴1≤a ≤53.1.若函数y =f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-2f (x +3)的值域是( ) A .[-5,-1] B .[-2,0] C .[-6,-2] D .[1,3]答案 A解析 ∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x +3)≤3. ∴-6≤-2f (x +3)≤-2,∴-5≤F (x )≤-1.2.定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.答案 1解析 [a ,b ]的长度取得最大值时[a ,b ]=[-1,1],区间[a ,b ]的长度取得最小值时[a ,b ]可取[0,1]或[-1,0],因此区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为1.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练6(含解析)

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题组层级快练(六)1.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( ) A .递减函数 B .递增函数 C .先减后增 D .先增后减答案 C解析 对称轴为x =3,函数在(2,3]上为减函数,在[3,4)上为增函数. 2.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是( ) A .y =1-x 2 B .y =x 2+x C .y =--x D .y =xx -1答案 D3.(2014·陕西)下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 12B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD .f (x )=3x答案 D解析 根据各选项知,选项C ,D 中的指数函数满足f (x +y )=f (x )·f (y ).又f (x )=3x是增函数,所以D 正确.4.函数f (x )=1-1x -1( ) A .在(-1,+∞)上单调递增 B .在(1,+∞)上单调递增 C .在(-1,+∞)上单调递减 D .在(1,+∞)上单调递减 答案 B解析 f (x )可由-1x沿x 轴向右平移一个单位,再向上平移一个单位得,如图所示.5.函数f (x )=log 0.5(x +1)+log 0.5(x -3)的单调递减区间是( ) A .(3,+∞) B .(1,+∞) C .(-∞,1) D .(-∞,-1)答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,x -3>0,即x >3,又0<0.5<1,∴f (x )在(3,+∞)上单调递减.6.若函数y =log a (x 2+2x -3),当x =2时,y >0,则此函数的单调递减区间是( ) A .(-∞,-3) B .(1,+∞) C .(-∞,-1) D .(-1,+∞)答案 A解析 当x =2时,y =log a (22+2·2-3)=log a 5, ∴y =log a 5>0,∴a >1. 由复合函数单调性知,单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -3>0,x <-1,解之得x <-3.7.若f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A .a <-3 B .a ≤-3 C .a >-3 D .a ≥-3答案 B解析 对称轴x =1-a ≥4,∴a ≤-3.8.下列函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),都有f x 2-f x 1x 2-x 1<0”的是( )A .f (x )=1xB .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)答案 A 解析 满足f x 2-f x 1x 2-x 1<0其实就是f (x )在(0,+∞)上为减函数,故选A.9.设a >0且a ≠1,则“函数f (x )=a x在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 若函数f (x )=a x 在R 上为减函数,则有0<a <1.若函数g (x )=(2-a )x 3在R 上为增函数,则有2-a >0,即a <2,所以“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件,选A.10.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(0,+∞)上有最小值,则函数g (x )=f xx在区间(0,+∞)上一定( )A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 A解析 ∵f (x )=x 2-2ax +a 在(0,+∞)上有最小值, ∴a >0. ∴g (x )=f x x =x +ax-2a 在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增. ∴g (x )在(0,+∞)上一定有最小值.11.若奇函数f (x )在(-∞,0]上单调递减,则不等式f (lg x )+f (1)>0的解集是________. 答案 (0,110)解析 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ).又因为f (x )在(-∞,0]上单调递减,所以f (x )在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数f (x )在R 上为单调递减函数.不等式f (lg x )+f (1)>0可化为f (lg x )>-f (1)=f (-1),所以lg x <-1,解得0<x <110.12.若函数y =-|x |在[a ,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是________. 答案 a ≥0解析 y =-|x |在[0,+∞)上单调递减,∴a ≥0.13.函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________. 答案 [1,+∞)解析 函数图像如图. 14.在给出的下列4个条件中,①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,x ∈-∞,,②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,x ∈,+,③⎩⎪⎨⎪⎧a >1,x ∈-∞,,④⎩⎪⎨⎪⎧a >1,x ∈,+能使函数y =log a 1x2为单调递减函数的是________.(把你认为正确的条件编号都填上). 答案 ①④解析 利用复合函数的性质,①④正确. 15.函数f (x )=xx +1的最大值为________.答案 12解析 当x =0时,y =0. 当x ≠0时,f (x )=1x +1x,∵x +1x≥2,当且仅当x =1x,即x =1时成立,故0<f (x )≤12,∴0≤f (x )≤12.16.给出下列命题①y =1x在定义域内为减函数;②y =(x -1)2在(0,+∞)上是增函数; ③y =-1x在(-∞,0)上为增函数;④y =kx 不是增函数就是减函数. 其中错误命题的个数有________. 答案 3解析 ①②④错误,其中④中若k =0,则命题不成立.17.已知函数f (x )的定义域为A ,若其值域也为A ,则称区间A 为f (x )的保值区间.若g (x )=-x +m +e x的保值区间为[0,+∞),则m 的值为________.答案 -1解析 由定义知,g (x )=-x +m +e x保值区间[0,+∞),又∵g ′(x )=-1+e x≥0,∴g (x )为在[0,+∞)上的增函数.∴当x =0时,g (0)=0,即m +1=0,∴m =-1.18.试判断函数f (x )=x 2-1x在(0,+∞)上的单调性,并加以证明.答案 单调递增,证明略解析 方法一:函数f (x )=x 2-1x在(0,+∞)上是单调增函数.设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 21-x 22-(1x 1-1x 2)=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 2+1x 1x 2.∵x 2>x 1>0,∴x 1-x 2<0,x 1+x 2+1x 1x 2>0.∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). 故f (x )在(0,+∞)上单调递增. 方法二:f ′(x )=2x +1x2.当x >0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上为增函数.19.已知函数f (x )=lg(x +a x-2),其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.答案 (1)a >1时,(0,+∞);a =1时,{x |x >0且x ≠1};0<a <1时,{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a } (2)lg a2(3)(2,+∞)解析 (1)由x +a x -2>0,得x 2-2x +ax>0.①当a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞); ②当a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1};③当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }. (2)设g (x )=x +a x-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时,g (x )=x +ax-2在[2,+∞)上是增函数.∴f (x )=lg(x +a x -2)在[2,+∞)上的最小值为f (2)=lg a2.(3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0, 即x +ax-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. ∴a >3x -x 2.而h (x )=3x -x 2=-(x -32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数,∴h (x )max =h (2)=2. ∴a >2.1.若函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则y =f (x +5)的一个单调递增区间是( ) A .(3,8) B .(-7,-2) C .(-3,-2) D .(0,5)答案 B解析 令-2<x +5<3,得-7<x <-2.2.若函数y =f (x )在R 上单调递增,且f (m 2+1)>f (-m +1),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-1) B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,-1)∪(0,+∞)答案 D解析 由题意得m 2+1>-m +1,故m 2+m >0,故m <-1或m >0. 3.函数f (x )=log 12(3-2x )的单调递增区间是________.答案 (-∞,32)4.函数y =x +x +4的最小值是________. 答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +4≥0,得x ≥0.又函数y =x +x +4在[0,+∞)上是增函数, 所以函数的最小值为0+4=2.5.函数f (x )=(13)x-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.答案 3解析 由于y =(13)x在R 上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减.故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.写出下列函数的单调区间:(1)y =|x 2-3x +2|; (2)y =2-x x +3.解析 (1)y =|x 2-3x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x +2 x ≤1或x,-x 2-3x +<x <根据图像,可知,单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,32和[2,+∞);单调递减区间是(-∞,1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,2.(2)y =2-x x +3=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-5x +3=-1+5x +3. 方法一:图像法:作出函数的图像,得函数的单调递减区间是(-∞,-3)和(-3,+∞).方法二:利用已知函数的单调性:f (x )的图像是由y =5x的图像先向左平移3个单位,再向下平移一个单位得到的,∵y =5x在(-∞,0),及(0,+∞)上是减函数,∴f (x )=2-xx +3在(-∞,-3),及(-3,+∞)上也是减函数.方法三:定义法(略)7.写出下列函数的单调区间:(1)y =|x -32|; (2)y =2x +4x -2; (3)y =|x |(1-x ).答案 (1)减区间(-∞,32),增区间(32,+∞)(2)减区间(-∞,2),(2,+∞)(3)增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12,减区间(-∞,0],⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞。

2016届高考数学一轮温习 题组层级快练88含解析

2016届高考数学一轮温习 题组层级快练88含解析

题组层级快练(八十八)1.如图,已知点A,D在直线BC上的射影别离为B,C,点E为线段AD的中点,那么BE与CE的大小关系为( )A.BE>CE B.BE<CEC.BE=CE D.无法确定答案C解析过点E作EF⊥BC于F,那么AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点,因此F为BC的中点.因此EF是BC的中垂线,那么BE=CE.2.如图,E是▱ABCD的边AB延长线上的一点,且DC∶BE=3∶2,那么AD∶BF=( )A.5∶3 B.5∶2C.3∶2 D.2∶1答案 B解析由题可得△BEF∽△CDF,∴DCBE=DFEF=32,∴ADBF=DEEF=DFEF+1=52.3.如下图,在▱ABCD中,BC=24,E,F为BD的三等分点,那么BM-DN=( )A.6 B.3C.2 D.4答案 A解析∵E,F为BD的三等分点,四边形ABCD为平行四边形,∴M为BC的中点.连CF交AD于P,那么P为AD的中点,由△BCF∽△DPF及M为BC中点知,N为DP的中点,∴BM-DN=12-6=6,应选A.4.如右图,DE∥BC,DF∥AC,AD=4 cm,BD=8 cm,DE=5 cm,那么线段BF的长为( )A .5 cmB .8 cmC .9 cmD .10 cm答案 D解析 ∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形DECF 是平行四边形. ∴FC =DE =5 cm.∵DF ∥AC ,∴BF FC =BDDA.即BF 5=84,∴BF =10 cm. 5.在Rt △ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于D ,AB ∶AC =3∶2,那么CD ∶BD =( ) A .3∶2 B .2∶3 C .9∶4 D .4∶9答案 D解析 由△ABD ∽△CBA ,得AB 2=BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ,得AC 2=DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC =AC 2AB 2=49,即CD ∶BD =4∶9. 6.(2021·梅州联考)如下图,在矩形ABCD 中,AB =12,AD =10,将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处,那么折痕FG 的长为( )A .13答案 C解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H , 那么四边形AFGH 为平行四边形. ∴AH =FG .∵折叠后B 点与E 点重合,折痕为FG , ∴B 与E 关于FG 对称. ∴BE ⊥FG ,∴BE ⊥AH .∴∠ABE =∠DAH ,∴Rt △ABE ∽Rt △DAH .∴BE AB =AH AD. ∵AB =12,AD =10,AE =12AD =5,∴BE =122+52=13. ∴FG =AH =BE ·AD AB =656. 7.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥CD ,假设BC =3,DE =2,DF =1,那么AB 的长为________.答案 92解析AD AB =DE BC =23,DF AD =CE AC =13.∵BC =3,DE =2,DF =1,解得AB =92. 8.如图,在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,CD =6,且AD ∶BD =3∶2,那么斜边AB 上的中线CE 的长为________.答案562解析 ∵CD 2=BD ·AD , 设BD =2k ,那么AD =3k ,∴36=6k 2,∴k =6,∴AB =5k =5 6. ∴CE =12AB =562.9.(2021·广东梅州联考)如图,在△ABC 中,BC =4,∠BAC =120°,AD ⊥BC ,过B 作CA 的垂线,交CA 的延长线于E ,交DA 的延长线于F ,那么AF =________.答案433解析 设AE =x ,∵∠BAC =120°,∴∠EAB =60°.又AE BE =x 3x =13, 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中,∠F =90°-∠EAF =90°-∠DAC =∠C , ∴△AEF ∽△BEC ,∴AF BC =AE BE. ∴AF =4×13=433.10.如图,在正方形ABCD 中,P 是BC 上的点,且BP =3PC ,Q 是CD 的中点,求证:△ADQ ∽△QCP .证明 在正方形ABCD 中, ∵Q 是CD 的中点,∴AD QC=2. ∵BP PC =3,∴BCPC=4. 又∵BC =2DQ ,∴DQPC=2. 在△ADQ 和△QCP 中,AD QC =DQPC,且∠D =∠C =90°,∴△ADQ ∽△QCP .11.如下图,AD ,BE 是△ABC 的两条高,DF ⊥AB ,垂足为F ,直线FD 交BE 于点G ,交AC 的延长线于H ,求证:DF 2=GF ·HF .证明 在△AFH 与△GFB 中, 因为∠H +∠BAC =90°, ∠GBF +∠BAC =90°, 因此∠H =∠GBF .因为∠AFH =∠GFB =90°,因此△AFH ∽△GFB . 因此HF BF =AFGF,故AF ·BF =GF ·HF .因为在Rt △ABD 中,FD ⊥AB , 由射影定理,得DF 2=AF ·BF .故DF 2=GF ·HF .12.如图,在△ABC 中,BC >AC ,点D 在BC 上,且DC =AC ,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ,点E 是AB 的中点,连接EF .(1)求证:EF ∥BC ;(2)假设四边形BDFE 的面积为6,求△ABD 的面积. 答案 (1)略 (2)8解析 (1)证明:∵CF 平分∠ACB ,∴∠ACF =∠DCF . 又∵DC =AC ,∴CF 是△ACD 的中线. ∴点F 是AD 的中点.∵点E 是AB 的中点,∴EF ∥BD ,即EF ∥BC . (2)由(1)知,EF ∥BD ,∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEF S △ABD =(AE AB)2. 又∵AE =12AB ,S △AEF =S △ABD -S 四边形BDFE=S △ABD -6,∴S △ABD -6S △ABD =(12)2,∴S △ABD =8. ∴△ABD 的面积为8.13.(2021·贵阳市高三适应性监测考试)如图,已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ,EF ∥AD ,EF 与CB 延长线交于点F ,FG 切圆O 于点G .(1)求证:△BEF ∽△CEF ; (2)求证:FG =EF .证明 (1)因为EF ∥AD ,因此∠FEA =∠DAB .又∠DAB =∠BCD ,因此∠FEB =∠FCD . 又∠BFE =∠BFE ,因此△BEF ∽△ECF .(2)由(1)得EF FC =FB FE,因此EF 2=FC ·FB . 又因为FG 2=FB ·FC ,因此EF 2=FG 2. 因此FG =EF .14.(2021·沧州七校联考)如图,点A 为圆外一点,过点A 作圆的两条切线,切点别离为B ,C ,ADE 是圆的割线,连接CD ,BD ,BE ,CE .(1)求证:BE ·CD =BD ·CE ;(2)延长CD ,交AB 于点F ,假设CE ∥AB ,证明:F 为线段AB 的中点. 证明 (1)如图,由题意可得 ∠ACD =∠AEC ,∠CAD =∠EAC ,∴△ADC ∽△ACE ,∴CD CE =AC AE .同理△ADB ∽△ABE ,BD BE =AB AE.又∵AB =AC , ∴CD CE =BDBE,∴BE ·CD =BD ·CE . (2)如图,由切割线定理,得FB 2=FD ·FC . ∵CE ∥AB ,∴∠FAD =∠AEC .又∵AC 切圆于C ,∴∠ACD =∠AEC ,∴∠FAD =∠FCA ,又∠F =∠F , ∴△AFD ∽△CFA ,∴AF CF =FD AF,即AF 2=FD ·FC . ∵FB 2=AF 2,即FB =FA ,∴F 为线段AB 的中点.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练46(含解析)

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题组层级快练(四十六)1.如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一呈现出来的图形是( )答案 A解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A.2.已知a1=3,a2=6,且a n+2=a n+1-a n,则a2 016=( )A.3 B.-3C.6 D.-6答案 B解析∵a1=3,a2=6,∴a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,…,∴{a n}是以6为周期的周期数列.又2 016=6×335+6,∴a2 016=a6=-3.选B.3.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:①1]( )A.n B.n+1C.n-1 D.n2答案 A解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2= (1)4.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集)①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”.②“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.③“若a,b,c,d∈R,则复数a+b i=c+d i⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2⇒a=c,b=d”.其中类比得到的结论正确的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 C解析提示:①③正确.5.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) A.28 B.76C.123 D.199答案 C解析 记a n +b n=f (n ),则f (3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f (4)=f (2)+f (3)=3+4=7;f (5)=f (3)+f (4)=11.通过观察不难发现f (n )=f (n -1)+f (n -2)(n ∈N *,n ≥3),则f (6)=f (4)+f (5)=18;f (7)=f (5)+f (6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.6.(2015·济宁模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=14,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2=( )A.18B.19C.164D.127答案 D解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故体积之比为V 1V 2=127.7.已知x ∈(0,+∞),观察下列各式: x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3, x +27x 3=x 3+x 3+x 3+27x3≥4,…,类比有x +a xn ≥n +1(n ∈N *),则a =( ) A .n B .2n C .n 2D .n n答案 D解析 第一个式子是n =1的情况,此时a =1,第二个式子是n =2的情况,此时a =4,第三个式子是n =3的情况,此时a =33,归纳可以知道a =n n.8.已知a n =(13)n,把数列{a n }的各项排成如下的三角形:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ,t )表示第s 行的第t 个数,则A (11,12)=( ) A .(13)67B .(13)68C .(13)111D .(13)112答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5,…, 那么第10行的最后一个数为a 100,第11行的第12个数为a 112,即A (11,12)=(13)112.9.(2015·郑州质检)设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c.类比这个结论可知:四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为r ,四面体ABCD 的体积为V ,则r =( )A.VS 1+S 2+S 3+S 4B.2VS 1+S 2+S 3+S 4C.3VS 1+S 2+S 3+S 4D.4VS 1+S 2+S 3+S 4答案 C解析 设四面体ABCD 的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是r ,所以四面体ABCD 的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积的和,则四面体ABCD 的体积为V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r ,所以r =3VS 1+S 2+S 3+S 4,故选C.10.(2015·河北冀州中学期末)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:按如此规律下去,则a 2 013=( ) A .501 B .502 C .503 D .504答案 D解析 由a 1,a 3,a 5,a 7,…组成的数列恰好对应数列{x n },即x n =a 2n -1,当n 为奇数时,x n =n +12.所以a 2 013=x 1 007=504.11.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方. 同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方. ∴它们的体积比为1∶8.12.设数列{a n }是以d 为公差的等差数列,数列{b n }是以q 为公比的等比数列.将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处,经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式,则在右侧的“?”处应该是________.答案 B n =b 1×(q )n -1解析 注意类比的对应关系:+→×,÷→开方,×→乘方,0→1,所以B n =b 1×(q )n -1.13.已知数列{a n }为等差数列,则有等式a 1-2a 2+a 3=0,a 1-3a 2+3a 3-a 4=0,a 1-4a 2+6a 3-4a 4+a 5=0.(1)若数列{a n }为等比数列,通过类比,则有等式________;(2)通过归纳,试写出等差数列{a n }的前n +1项a 1,a 2,…,a n ,a n +1之间的关系为________. 答案 (1)a 1a -22a 3=1,a 1a -32a 33a -14=1,a 1a -42a 63a -44a 5=1 (2)C 0n a 1-C 1n a 2+C 2n a 3-…+(-1)n C nn a n +1=0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算,后者是乘法运算,所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算,从而解出第(1)问;通过观察发现,已知等式的系数与二项式系数相同,解出第(2)问.14.已知 2+23=223, 3+38=338, 4+415= 4415,…,若 6+a t =6at,(a ,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a ,t 的值,则a +t =________.答案 41解析 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n +nn 2-1=n nn 2-1,所以当n =6时a =6,t =35,a +t =41.15.如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c2=a 2+b 2.空间中的正方体,用一平面去截正方体的一角,截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1,S 2,S 3,截面面积为S ,类比平面的结论有________.答案 S 2=S 21+S 22+S 23解析 建立从平面图形到空间图形的类比,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时,注意平面几何中点的性质可类比推理空间几体中线的性质,平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质,平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是作出猜想:S 2=S 21+S 22+S 23.16.(2015·山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2,观察发现S ′=l ;三维空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =43πr 3,观察发现V ′=S .已知四维空间中“超球”的三维测度V =8πr 3,猜想其四维测度W =________.答案 2πr 4解析 据归纳猜想可知(2πr 4)′=8πr 3,所以四维测度W =2πr 4. 17.(2014·陕西理)观察分析下表中的数据:答案 F +V -E =2解析 三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F +V -E =2.18.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°; ②sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°; ③sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°; ④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 答案 (1)34 (2)sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34解析 方法一:(1)选择②式,计算如下: sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin αcos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34. 方法二:(1)同解法一. (2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =1-cos2α2+1+-2α2-sin α·(cos30°cos α+sin30°sin α)=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sin αcos α-12sin 2α =12-12cos2α+12+14cos2α+34·sin2α-34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=34.1.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图.易知第三行有白圈5个,黑圈4个,我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数.比如第一行记为(1,0),第二行记为(2,1),第三行记为(5,4).(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________;(2)照此规律,第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为________.答案 (1)(14,13) (2)(3n -1+12,3n -1-12)(n ∈N *) 解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律:一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈,一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈,因此第4行的白圈个数为5×2+4×1=14,黑圈个数为5×1+4×2=13,所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14,13).(2)第n 行中的白圈和黑圈总数为3n -1个,设“坐标”为(a n,3n -1-a n ),则第n +1行中的白圈和黑圈总数为3n个,设“坐标”为(a n +1,3n-a n +1)=(a n +3n -1,2×3n -1-a n ),即a 1=1,a n +1=a n +3n -1⇒a n =3n -1+12,从而得到第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为(3n -1+12,3n -1-12)(n ∈N *). 2.(2013·湖北理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n n +2=12n 2+12n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)=12n 2+12n ,正方形数 N (n,4)=n 2, 五边形数 N (n,5)=32n 2-12n ,六边形数 N (n,6)=2n 2-n , ……可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)=________. 答案 1 000解析 方法一:已知式了可化为:N (n,3)=12n 2+12n =3-22n 2+4-32n , N (n,4)=n 2=4-22n 2+4-42n , N (n,5)=32n 2+-12n =5-22n 2+4-52n , N (n,6)=2n 2-n =6-22n 2+4-62n , 由归纳推理,可得N (n ,k )=k -22n 2+4-k2n ,故N (10,24)=24-22×102+4-242×10=1 100-100=1 000.方法二:由题意,设N (n ,k )=a k n 2+b k n (k ≥3),其中数列{a k }是以12为首项,12为公差的等差数列,数列{b k }是以12为首项,-12为公差的等差数列,所以N (n,24)=11n 2-10n ,当n =10时,N (10,24)=11×102-10×10=1 000.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)

题组层级快练(二)1.有下列四个命题:①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“若a >b ,则a 2>b 2”的逆否命题; ③“若x ≤-3,则x 2+x -6>0”的否命题; ④“若a b是无理数,则ab 是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3答案 B2.(2015·郑州质检)命题“若a 2+b 2=0,a ,b ∈R ,则a =b =0”的逆否命题是( ) A .若a ≠b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2=0 B .若a =b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 C .若a ≠0且b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 D .若a ≠0或b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 答案 D解析 a =b =0是a =0,且b =0的意思,含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”,“或”要变为“且”.3.“a >1”是“1a<1”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件答案 B4.已知p :a ≠0,q :ab ≠0,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 ab =0⇒/ a =0,但a =0⇒ab =0,因此,p 是q 的必要不充分条件,故选B. 5.(2013·山东)给定两个命题p ,q .若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ,所以p 是綈q 的充分而不必要条件. 6.下面四个条件中,使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A .a >b +1B .a >b -1C .a 2>b 2D .a 3>b 3答案 A解析 由a >b +1,得a >b +1>b ,即a >b ,而由a >b 不能得出a >b +1,因此,使a >b 成立的充分不必要条件是a >b +1,选A.7.若x ,y ∈R ,则下列命题中,甲是乙的充分不必要条件的是( ) A .甲:xy =0 乙:x 2+y 2=0 B .甲:xy =0 乙:|x |+|y |=|x +y | C .甲:xy =0 乙:x ,y 至少有一个为零 D .甲:x <y 乙:x y<1 答案 B解析 选项A :甲:xy =0即x ,y 至少有一个为0, 乙:x 2+y 2=0即x 与y 都为0.甲/⇒乙,乙⇒甲. 选项B :甲:xy =0即x ,y 至少有一个为0,乙:|x |+|y |=|x +y |即x ,y 至少有一个为0或同号. 故甲⇒乙且乙/⇒甲.选项C :甲⇔乙,选项D ,由甲x <y 知当y =0,x <0时,乙不成立,故甲/⇒乙. 8.在△ABC 中,设p :a sin B =b sin C =csin A ;q :△ABC 是正三角形,那么p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 若p 成立,即a sin B =b sin C =c sin A ,由正弦定理,可得a b =b c =ca=k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a =kb ,b =kc ,c =ka ,∴a =b =c .则q :△ABC 是正三角形成立.反之,若a =b =c ,∠A =∠B =∠C =60°,则a sin B =b sin C =csin A .因此p ⇒q 且q ⇒p ,即p 是q 的充要条件.故选C.9.(2015·《高考调研》原创题)“(m -1)(a -1)>0”是“log a m >0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 (m -1)(a -1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1,a <1,而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1,a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1,0<a <1,所以条件具有必要性,但不具有充分性,比如m =0,a =0时,不能得出log a m >0,故选B.10.设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b|b |成立的充分条件是( )A .a =-bB .a ∥bC .a =2bD .a ∥b 且|a |=|b |答案 C解析 因为a |a |=b |b |,则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量,所以a 与b 共线同向,即使a |a |=b|b |成立的充分条件为C 项.11.(2014·天津理)设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f (x )=x |x |,则f (x )在定义域R 上为奇函数.因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f (x )在R 上单调递增,所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.选C.12.(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件.(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件.答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y -x )<0,即x >y >0或y <x <0或x <0<y .(2)题目即判断θ=π4是tan θ=1的什么条件,显然是充分不必要条件.13.如果对于任意实数x ,〈x 〉表示不小于x 的最小整数,例如〈1.1〉=2,〈-1.1〉=-1,那么“|x -y |<1”是“〈x 〉=〈y 〉”的________条件.答案 必要不充分解析 可举例子,比如x =-0.5,y =-1.4,可得〈x 〉=0,〈y 〉=-1;比如x =1.1,y =1.5,〈x 〉=〈y 〉=2,|x -y |<1成立.因此“|x -y |<1”是〈x 〉=〈y 〉的必要不充分条件.14.已知A 为xOy 平面内的一个区域.命题甲:点(a ,b )∈{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≤0,x ≥0,3x +y -6≤0};命题乙:点(a ,b )∈A .如果甲是乙的充分条件,那么区域A 的面积的最小值是________. 答案 2解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≤0,x ≥0,3x +y -6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意,甲是乙的充分条件,则B ⊆A ,所以区域A 面积的最小值为S △PMN =12×4×1=2.15.“a =14”是“对任意的正数x ,均有x +ax ≥1”的________条件.答案 充分不必要解析 当a =14时,对任意的正数x ,x +a x =x +14x≥2x ·14x =1,而对任意的正数x ,要使x +ax≥1,只需f (x )=x +a x 的最小值大于或等于1即可,而在a 为正数的情况下,f (x )=x +a x的最小值为f (a )=2a ≥1,得a ≥14,故充分不必要.16.已知命题p :|x -2|<a (a >0),命题q :|x 2-4|<1,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.答案 0<a ≤5-2解析 由题意p :|x -2|<a ⇔2-a <x <2+a ,q :|x 2-4|<1⇔-1<x 2-4<1⇔3<x 2<5⇔-5<x <-3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎨⎧-5≤2-a ,2+a ≤-3,a >0,①或⎩⎨⎧3≤2-a ,2+a ≤5,a >0,②.由①得a 无解;由②解得0<a ≤5-2.17.已知f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,对命题“若a +b ≥0,则f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).”(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 答案 略解 (1)逆命题:已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ),则a +b ≥0. (用反证法证明)假设a +b <0,则有a <-b ,b <-a . ∵f (x )在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f (a )<f (-b ),f (b )<f (-a ).∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ),这与题设中f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )矛看,故假设不成立. 从而a +b ≥0成立.逆命题为真. (2)逆否命题:已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ),则a +b <0. 原命题为真,证明如下: ∵a +b ≥0,∴a ≥-b ,b ≥-a . 又∵f (x )在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ).∴f (a )+f (b )≥f (-b )+f (-a )=f (-a )+f (-b ). ∴原命题为真命题. ∴其逆否命题也为真命题.18.(2015·江苏兴化月考)已知命题:“∃x ∈{x |-1<x <1},使等式x 2-x -m =0成立”是真命题. (1)求实数m 的取值集合M ;(2)设不等式(x -a )(x +a -2)<0的解集为N ,若x ∈N 是x ∈M 的必要条件,求实数a 的取值范围. 答案 (1){m |-14≤m <2}(2)(-∞,-14)∪(94,+∞)解析 (1)由题意知,方程x 2-x -m =0在(-1,1)上有解,即m 的取值范围就为函数y =x 2-x 在(-1,1)上的值域,易知M ={m |-14≤m <2}.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件,所以M ⊆N . 当a =1时,解集N 为空集,不满足题意; 当a >1时,a >2-a ,此时集合N ={x |2-a <x <a }, 则⎩⎪⎨⎪⎧2-a <-14,a ≥2,解得a >94;当a <1时,a <2-a ,此时集合N ={x |a <x <2-a }, 则⎩⎪⎨⎪⎧a <-14,2-a ≥2,解得a <-14.综上,a >94或a <-14.1.0<x <2是不等式|x +1|<3成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x +1|<3,得-4<x <2.2.“α=π6+2k π(k ∈Z )”是“cos2α=12”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由α=π6+2k π(k ∈Z ),知2α=π3+4k π(k ∈Z ),则cos2α=cos π3=12成立,当cos2α=12时,2α=2k π±π3,即α=k π±π6(k ∈Z ),故选A.3.(2015·青岛一模)已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m =-6”是“a ∥(a +b )”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由已知,a +b =(2,2+m ).若m =-6,则a +b =(2,-4),a ∥(a +b )成立;若a ∥(a +b ),则2-1=m +22,m =-6,所以“m =-6”是“a ∥(a +b )”的充要条件,选A. 4.已知条件p :x +y ≠-2,条件q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1,或y ≠-1,所以綈p :x +y =-2,綈q :x =-1,且y =-1,因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件,故选A.5.(2015·烟台一模)以q 为公比的等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“q >1”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 在等比数列中,若a 1>0,则由a 1<a 3,可得q 2>1,即q >1或q <-1.由“q >1”可推得“q >1或q <-1”成立,但是反之不成立,故“a 1<a 3”是“q >1”的必要而不充分条件,故选A.6.(2015·东北三省一模)已知p :x ≥k ,q :3x +1<1,若p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是( )A .[2,+∞)B .(2,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,-1]答案 B 解析 ∵q :3x +1<1,∴3x +1-1<0,∴2-x x +1<0. ∴(x -2)·(x +1)>0,∴x <-1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件,所以k >2,故选B.7.已知命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( ) A .否命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”是真命题 B .逆否命题“若m ≤1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C .逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D .逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 答案 D解析 f ′(x )=e x -m ≥0,∴m ≤e x .又∵x >0,∴e x>1.∴m ≤1,故原命题正确,因此选D.8.给出命题:“已知a ,b ,c ,d 是实数,若a ≠b 或c ≠d ,则a +c ≠b +d ”.对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,其中真命题有________个.答案 2解析 逆命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a +c ≠b +d ,则a ≠b 或c ≠d . 否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a =b 且c =d ,则a +c =b +d . 逆否命题:已知a ,b ,c ,d 是实数,若a +c =b +d ,则a =b 且c =d .取a =1,b =2,c =3,d =2,则有a ≠b 或c ≠d 为真,但a +c =b +d ,知原命题为假;逆命题的真假不易判断,但否命题显然为真命题.根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题都是互为逆否关系,真假性相同,可知4个命题中的真命题有2个.9.若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件,则a 的最大值为________. 答案 -1解析 由x 2>1,得x <-1或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件, 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”,反之不成立, 所以a ≤-1,即a 的最大值为-1.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练16(含解析)

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题组层级快练(十六)1.函数y =x 2(x -3)的单调递减区间是( ) A .(-∞,0) B .(2,+∞) C .(0,2) D .(-2,2)答案 C解析 y ′=3x 2-6x ,由y ′<0,得0<x <2. 2.函数f (x )=(x -3)e x的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞)答案 D解析 f ′(x )=(x -3)′e x+(x -3)(e x)′=(x -2)e x,令f ′(x )>0,解得x >2,故选D. 3.(2015·湖北八校联考)函数f (x )=ln x -ax (a >0)的单调递增区间为( ) A .(0,1a)B .(1a,+∞)C .(-∞,1a)D .(-∞,a )答案 A解析 由f ′(x )=1x -a >0,得0<x <1a.∴f (x )的单调递增区间为(0,1a).4.若函数y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33),则实数a 的取值范围是( ) A .a >0 B .-1<a <0 C .a >1 D .0<a <1答案 A解析 y ′=a (3x 2-1),解3x 2-1<0,得-33<x <33. ∴f (x )=x 3-x 在(-33,33)上为减函数. 又y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33), ∴a >0.5.(2014·陕西理)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A .y =1125x 3-35xB .y =2125x 3-45x C .y =3125x 3-xD .y =-3125x 3+15x答案 A解析 设所求函数解析式为y =f (x ),由题意知f (5)=-2,f (-5)=2,且f ′(±5)=0,代入验证易得y =1125x 3-35x 符合题意,故选A.6.若函数f (x )=(x 2-2x )e x在(a ,b )上单调递减,则b -a 的最大值为( ) A .2 B. 2 C .4 D .2 2答案 D解析 f ′(x )=(2x -2)e x +(x 2-2x )e x =(x 2-2)e x, 令f ′(x )<0,∴-2<x < 2.即函数f (x )的单调递减区间为(-2,2). ∴b -a 的最大值为2 2.7.(2015·冀州中学模拟)若函数f (x )的导函数f ′(x )=x 2-4x +3,则使函数f (x -1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A .(0,1)B .[0,2]C .(2,3)D .(2,4)答案 C解析 由f ′(x )<0⇔x 2-4x +3<0, 即1<x <3,∴函数f (x )在(1,3)上单调递减. ∴函数f (x -1)在(2,4)上单调递减. 故D 为充要条件,C 为充分不必要条件.8.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b 的取值范围是( )A .[-1,+∞)B .(-1,+∞)C .(-∞,-1]D .(-∞,-1)答案 C解析 f ′(x )=-x +bx +2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x (x +2)在(-1,+∞)上恒成立.又x (x +2)=(x +1)2-1>-1,∴b ≤-1,故选C.9.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x ),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,设a =f (0),b =f (12),c =f (3),则( )A .a <b <cB .c <a <bC .c <b <aD .b <c <a答案 B解析 由f (x )=f (2-x )可得对称轴为x =1,故f (3)=f (1+2)=f (1-2)=f (-1). 又x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,可知f ′(x )>0. 即f (x )在(-∞,1)上单调递增,f (-1)<f (0)<f (12),即c <a <b .10.已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=(x 0-2)(x 20-1)(x -x 0),那么函数f (x )的单调减区间是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,2]C .(-∞,-1)和(1,2)D .[2,+∞)答案 C解析 根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=(x 0-2)(x 20-1)(x -x 0),可知其导数f ′(x )=(x -2)(x 2-1)=(x +1)(x -1)(x -2),令f ′(x )<0,得x <-1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(-∞,-1)和(1,2).11.已知函数y =xf ′(x )的图像如下图所示.下面四个图像中y =f (x )的图像大致是( )答案 C解析 由题意知,x ∈(0,1)时,f ′(x )<0.f (x )为减函数;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0.f (x )为增函数; x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0.f (x )为减函数.12.函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________. 答案 (π3,5π3)解析 ∵y ′=1-2cos x ,∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ′>0,0<x <2π,即⎩⎪⎨⎪⎧1-2cos x >0,0<x <2π,得π3<x <5π3. ∴函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3,5π3).13.若函数f (x )的定义域为R ,且满足f (2)=2,f ′(x )>1,则不等式f (x )-x >0的解集为________. 答案 (2,+∞)解析 令g (x )=f (x )-x ,∴g ′(x )=f ′(x )-1. 由题意知g ′(x )>0,∴g (x )为增函数. ∵g (2)=f (2)-2=0, ∴g (x )>0的解集为(2,+∞).14.若函数f (x )=x 3+ax -2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________. 答案 [-3,+∞)解析 f ′(x )=3x 2+a ,f (x )在区间(1,+∞)上是增函数, 则f ′(x )=3x 2+a ≥0在(1,+∞)上恒成立, 即a ≥-3x 2在(1,+∞)上恒成立.∴a ≥-3.15.已知函数f (x )=kx 3+3(k -1)x 2-k 2+1(k >0)的单调递减区间是(0,4). (1)实数k 的值为________;(2)若在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x )=3kx 2+6(k -1)x ,由题意知f ′(4)=0,解得k =13.(2)由f ′(x )=3kx 2+6(k -1)x ≤0并结合导函数的图像可知,必有-k -k ≥4,解得k ≤13.又k >0,故0<k ≤13.16.已知a 是实数,求函数f (x )=x (x -a )的单调区间.答案 ①a >0时,单调递减区间为[0,a 3],单调递增区间为[a3,+∞)②a ≤0时,f (x )单调递增区间为[0,+∞)17.已知函数f (x )=ln x +ke x(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f (x )的单调区间.答案 (1)k =1 (2)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞) 解析 (1)由f (x )=ln x +kex,得f ′(x )=1-kx -x ln xx e x,x ∈(0,+∞).由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)=0,因此k =1. (2)由(1)得f ′(x )=1x e x(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞). 令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x>0,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 18.(2015·山东师大附中)已知函数f (x )=x -ax-ln x ,a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )>x -x 2在(1,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围.答案 (1)0<a <14时,单调递增区间为(0,1-1-4a 2),(1+1-4a2,+∞),单调递减区间为(1-1-4a 2,1+1-4a 2);a ≥14时,单调递增区间为(0,+∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),由于f ′(x )=1+a x 2-1x =x 2-x +ax 2,令m (x )=x 2-x +a ,①当Δ=1-4a ≤0,即a ≥14时,f ′(x )≥0恒成立,所以函数f (x )在(0,+∞)上是增函数;②当Δ=1-4a >0,即0<a <14时,由x 2-x +a >0,得0<x <1-1-4a 2或x >1+1-4a 2.所以f (x )在(0,1-1-4a 2),(1+1-4a 2,+∞)上是增函数,在(1-1-4a 2,1+1-4a2)上是减函数.综上知,当0<a <14时,f (x )在(0,1-1-4a 2),(1+1-4a 2,+∞)上是增函数,在(1-1-4a2,1+1-4a2)上是减函数. 当a ≥14时,f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)f (x )>x -x 2,即x 2-ax-ln x >0, 因为x ∈(1,+∞),所以a <x 3-x ln x .令g (x )=x 3-x ln x ,h (x )=g ′(x )=3x 2-ln x -1,h ′(x )=6x -1x =6x 2-1x,在(1,+∞)上h ′(x )>0,得h (x )>h (1)=2,即g ′(x )>0,故g (x )=x 3-x ln x 在(1,+∞)上为增函数,g (x )>g (1)=1,所以0<a ≤1.已知函数f (x )=12mx 2+ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为________.答案 [1,+∞)解析 f ′(x )=mx +1x-2≥0对一切x >0恒成立.m ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x ,令g (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x,则当1x =1时,函数g (x )取得最大值1,故m ≥1.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

题组层级快练(四十)1.(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( )A .2B .-2 C.12 D .-12答案 D解析 S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6. ∵S 22=S 1S 4,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6). ∴4a 21-4a 1+1=4a 21-6a 1⇒a 1=-12.2.在等差数列{a n }中,a 3+a 11=8,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 6·b 8的值为( ) A .2 B .4 C .8 D .16答案 D解析 ∵{a n }为等差数列,∴a 7=a 3+a 112=4=b 7.又{b n }为等比数列,b 6·b 8=b 27=16,故选D.3.已知等比数列{a n }中的各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8等于( )A .1+ 2B .1- 2C .3+2 2D .3-2 2答案 C解析 记等比数列{a n }的公比为q ,其中q >0, 则有a 3=a 1+2a 2,即a 1q 2=a 1+2a 1q ,q 2-2q -1=0,q =1± 2. 又q >0,因此q =1+ 2.所以a 9+a 10a 7+a 8=a 7q 2+a 8q 2a 7+a 8=q 2=(1+2)2=3+2 2.选C.4.已知{a n },{b n }均为等差数列,且a 2=8,a 6=16,b 2=4,b 6=a 6,则由{a n },{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n =( )A .3n +4B .6n +2C .6n +4D .2n +2答案 C解析 设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2,则d 1=a 6-a 26-2=84=2,d 2=b 6-b 26-2=124=3. ∴a n =a 2+(n -2)×2=2n +4,b n =b 2+(n -2)×3=3n -2.∴数列{a n }为6,8,10,12,14,16,18,20,22,…,数列{b n }为1,4,7,10,13,16,19,22,…. ∴{c n }是以10为首项,以6为公差的等差数列. ∴c n =10+(n -1)×6=6n +4.5.已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,且a n ,a n +1是函数f (x )=x 2-b n x +2n的两个零点,则b 10等于( ) A .24 B .32 C .48 D .64答案 D解析 依题意有a n a n +1=2n,所以a n +1a n +2=2n +1.两式相除,得a n +2a n=2. 所以a 1,a 3,a 5,…成等比数列,a 2,a 4,a 6,…也成等比数列. 而a 1=1,a 2=2,所以a 10=2·24=32,a 11=1·25=32. 又因为a n +a n +1=b n , 所以b 10=a 10+a 11=64.6.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a +b +c 的值为( )A.1 C .3 D .4答案 A解析 由题意知,a =12,b =516,c =316.故a +b +c =1,故选A.7.数列{a n }是等差数列,若a 1,a 3,a 4是等比数列{b n }中的连续三项,则数列{b n }的公比为________. 答案 12或1解析 设数列{a n }的公差为d ,由题可知,a 23=a 1·a 4,可得(a 1+2d )2=a 1(a 1+3d ),整理得(a 1+4d )d =0,解得d =0或a 1=-4d .当d =0时,等比数列{b n }的公比为1;当a 1=-4d 时,a 1,a 3,a 4分别为-4d ,-2d ,-d ,所以等比数列{b n }的公比为12.8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则等比数列{a n }的公比为________. 答案 13解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),由4S 2=S 1+3S 3,得4(a 1+a 1q )=a 1+3(a 1+a 1q +a 1q 2),即3q 2-q =0.∴q =13.9.一个数字生成器,生成规则如下:第1次生成一个数x ,以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数,一个是-x ,另一个是x +3.设第n 次生成的数的个数为a n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________;若x =1,前n 次生成的所有数...中不同的数的个数为T n ,则T 4=________. 答案 2n-1,10解析 由题意可知,依次生成的数字个数是首项为1,公比为2的等比数列,故S n =1-2n1-2=2n-1.当x =1时,第1次生成的数为1,第2次生成的数为-1,4,第3次生成的数为1,2;-4,7,第4次生成的数为-1,4;-2,5;4,-1;-7,10.故T 4=10.10.(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内,已知点P 1(1,2),P 2(2,22),P 3(3,23),…,P n (n,2n),….若n 为正整数,则向量P 1P 2→+P 3P 4→+P 5P 6→+…+P 2n -1P 2n 的纵坐标为________.答案 23(4n-1)解析 P k P k +1=(k +1-k,2k +1-2k )=(1,2k),于是P 1P 2→+P 3P 4→+P 5P 6→+…+P 2n -1P 2n 的纵坐标为2+23+25+…+22n -1=-4n1-4=23(4n-1). 11.在等差数列{a n }和等比数列{b n }中,a 1=b 1=1,b 4=8.{a n }的前10项和S 10=55. (1)求a n 和b n ;(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.答案 (1)a n =n ,b n =2n -1(2)29解析 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q .依题意得S 10=10+10×92d =55,b 4=q 3=8, 解得d =1,q =2,所以a n =n ,b n =2n -1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2).故所求的概率P =29.12.(2014·湖北)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.答案 (1)a n =2或a n =4n -2 (2)当a n =2时,不存在,当a n =4n -2时,存在,n 最小值为41 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ). 化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n .显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立. 当a n =4n -2时,S n =n [2+n -2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去).此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.13.某林场为了保护生态环境,制定了植树造林的两个五年计划,第一年植树16a 亩,以后每年植树面积都比上一年增加50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减少a 亩.(1)求该林场第6年植树的面积;(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N )年林场植树的总面积为S n 亩,求S n 的表达式. 答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a 亩 (2)S n=⎩⎪⎨⎪⎧32a 32n-1],n ≤5,n ∈N ,211a +a -nan -2,n ≤10,n ∈N解析 (1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a . ∴该林场第6年植树的面积为80a 亩. (2)设第n 年该林场植树的面积为a n 亩, 则a n =⎩⎪⎨⎪⎧32n -1×16a ,n ≤5,n ∈N ,-n a ,n ≤10,n ∈N∴当1≤n ≤5时,S n =16a +24a +…+(32)n -1×16a=16a [1-32n]1-32=32a [(32)n-1](亩).当6≤n ≤10时,S n =16a +24a +36a +54a +81a +80a +…+(86-n )a =211a +80a +…+(86-n )a =211a +[80a +-n a n -2=211a +a -nan -2(亩).∴所求S n 的表达式为 S n=⎩⎪⎨⎪⎧32a 32n-1],n ≤5,n ∈N ,211a +a -nan -2,n ≤10,n ∈N14.已知在正项数列{a n }中,a 1=2,点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上,数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等比数列; (3)若c n =a n ·b n ,求证:c n +1<c n . 答案 (1)a n =n +1 (2)略 (3)略解析 (1)由已知点A n 在y 2-x 2=1上知,a n +1-a n =1. ∴数列{a n }是一个以2为首项,以1为公差的等差数列. ∴a n =a 1+(n -1)d =2+n -1=n +1. (2)∵点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,∴T n =-12b n +1.①∴T n -1=-12b n -1+1(n ≥2).②①②两式相减,得b n =-12b n +12b n -1(n ≥2).∴32b n =12b n -1,∴b n =13b n -1. 由①,令n =1,得b 1=-12b 1+1,∴b 1=23.∴{b n }是以23为首项,以13为公比的等比数列.(3)由(2)可知b n =23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=23n .∴c n =a n ·b n =(n +1)·23n .∴c n +1-c n =(n +2)·23n +1-(n +1)·23n=23n +1[(n +2)-3(n +1)] =23n +1(-2n -1)<0.∴c n +1<c n .1.若正项数列{a n }满足lg a n +1=1+lg a n ,且a 2 001+a 2 002+a 2 003+…+a 2 010=2 013,则a 2 011+a 2 012+a 2013+…+a 2 020的值为( ) A .2 013·1010B .2 013·1011C .2 014·1010D .2 014·1011答案 A解析 由条件知lg a n +1-lg a n =lga n +1a n =1,即a n +1a n=10,所以{a n }为公比是10的等比数列.因为(a 2 001+…+a 2 010)·q 10=a 2 011+…+a 2 020,所以a 2 011+…+a 2 020=2 013·1010,选A.2.气象局用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为n +4910(n ∈N *)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )A .600天B .800天C .1 000天D .1 200天答案 B解析 由第n 天的维修保养费为n +4910(n ∈N *)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值.设一共使用了n 天,则使用n 天的平均耗资为3.2×104++n +4910n2n=3.2×104n +n 20+9920,当且仅当3.2×104n=n20时取得最小值,此时n =800,故选B.3.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了2个伙伴;第二天3只密蜂飞出去,各自找回了2个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回2个伙伴,第五天所有蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂.答案 243解析 第一天有1+2只,第二天有a 2=3a 1=9只,第三天有a 3=3a 2=27只,……,故第n 天为a n=3n ,则a 5=35=243只.4.设关于x 的不等式x 2-x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 100的值为________.答案 10 100解析 由x 2-x <2nx (n ∈N *),得0<x <2n +1,因此a n =2n ,所以数列{a n }是一个等差数列,所以S 100=+2=10 100.5.为了增强环保建设,提高社会效益和经济效益,郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数S (n );(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值. 答案 (1)S (n )=S n +T n =256[(32)n -1]+400n +n n -2a (2)147解析 (1)设a n ,b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{a n }是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{b n }是首项为400,公差为a的等差数列.所以数列{a n }的前n 项和S n =128×[1-32n]1-32=256[(32)n-1].数列{b n }的前n 项和T n =400n +n n -2a .所以经过n 年,该市被更换的公交车总数 S (n )=S n +T n =256[(32)n -1]+400n +n n -12a .(2)若用7年的时间完成全部更换,则S (7)≥10 000,即256×[(32)7-1]+400×7+7×62a ≥10 000,即21a ≥3 082,所以a ≥3 08221.又a ∈N *,所以a 的最小值为147.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练56(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练56(含解析)

题组层级快练(五十六)(第一次作业)1.(2015·合肥一检)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,E ,F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心,则EF 和CD 所成的角是( )A .60°B .45°C .30°D .90°答案 B解析 连接A 1D ,DC 1,A 1C 1,∵E ,F 为A 1D ,A 1C 1中点, ∴EF ∥C 1D .∴EF 和CD 所成角即为∠C 1DC =45°.2.(2015·济宁模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,则sin 〈DB 1→,CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ,DC ,DD 1为x ,y,z 轴建系,令AD =1,∴DB 1→=(1,1,1),CM →=(1,-12,0).∴cos 〈DB 1→,CM →〉=1-123·52=1515. ∴sin 〈DB →,CM →〉=21015.3.如图所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )A .45°B .60°C .90°D .120°答案 B解析 以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系.设AB =BC =AA 1=2,∴C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1). ∴EF →=(0,-1,1),BC 1→=(2,0,2). ∴EF →·BC 1→=2,记EF →,BC 1→所成角为θ. ∴cos θ=22×22=12.∴EF 和BC 1所成角为60°.4.(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32C.35D.45答案 D解析 取AC 中点E ,令AB =2,分别以EB ,EC ,ED 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.B 1(3,0,2),C (0,1,0),A (0,-1,0),D (0,0,2),DB 1→=(3,0,0),DC →=(0,1,-2),DA →=(0,-1,-2),平面B 1DC 法向量为n =(0,2,1),∴cos 〈DA →,n 〉=-45.∴AD 与面B 1DC 所成的角正弦值为45.5.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =4,CC 1=2,则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32 B.52 C.105D.1010答案 C解析 连接A 1C 1交B 1D 1于O 点,由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1,且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连接BO ,则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影,∠C 1BO 即为所求,OC 1=12A 1C 1=12AC =22,BC 1=42+22=2 5.计算得sin ∠C 1BO =OC 1BC 1=105. 6.过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ,若AB =PA ,则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为( )A .30°B .45°C .60°D .90°答案 B解析 以A 点为坐标原点,AP ,AB ,AD 分别为x ,y ,z 轴建系且设AB =1, ∴C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,1). ∴设面CDP 的法向量为n =(x ,y ,z ).∴⎩⎨⎧n ·CD →=x ,y ,z -1,0,=-x =0,n ·DP →=x ,y ,z,-1,=-y +z =0.令y =1,∴n =(0,1,1). 又∵AD →为面ABP 的一个法向量, ∴cos 〈n ,AD →〉=n ·AD →|n ||AD →|=12=22.∴二面角为45°.7.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33C.23D.13答案 B解析 以正三棱锥O -ABC 的顶点O 为原点,OA ,OB ,OC 为x ,y ,z 轴建系(图略),设侧棱长为1, 则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1).侧面OAB 的法向量为OC →=(0,0,1), 底面ABC 的法向量为n =(13,13,13).∴cos 〈OC →,n 〉=OC →·n|OC →|·|n |=131·132+132+132=33. 8.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,若E ,F 分别是BC ,DD 1的中点,则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255答案 D解析 方法一:由VB 1-ABF =VF -ABB 1可得解. 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,1),B 1(1,1,0).设F (0,0,12),E (12,1,1),B (1,1,1),AB →=(0,1,0).∴B 1E →=(-12,0,1),AF →=(-1,0,-12).∵AF →·B 1E →=(-1,0,-12)·(-12,0,1)=0,∴AF →⊥B 1E →.又AB →⊥B 1E →,∴B 1E →⊥平面ABF . 平面ABF 的法向量为B 1E →=(-12,0,1),AB 1→=(0,1,-1).B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|=255.9.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB =2,E 为PB 的中点,cos 〈DP →,AE →〉=33,若以DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则点E 的坐标为________.答案 (1,1,1)解析 连接AC ,BD 交于O ,连接OE , cos 〈DP →,AE →〉=33,∴cos ∠AEO =33.又∵OA =2,∴OE =1,∴E 为(1,1,1).10.如图所示,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直.AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =2CD =2BC ,EA ⊥EB .(1)求证:AB ⊥DE ;(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值. 答案 (1)略 (2)33解析 (1)证明:取AB 的中点O ,连接EO ,DO . 因为EB =EA ,所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形,AB =2CD =2BC ,AB ⊥BC ,所以四边形OBCD 为正方形,所以AB ⊥OD .所以AB ⊥平面EOD .因为ED ⊂平面EOD ,所以AB ⊥ED . (2)方法一:因为平面ABE ⊥平面ABCD ,且AB ⊥BC ,所以BC ⊥平面ABE .则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角. 设BC =a ,则AB =2a ,BE =2a ,所以CE =3a . 则在直角三角形CBE 中,sin ∠CEB =CB CE=13=33, 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. 方法二:因为平面ABE ⊥平面ABCD ,且EO ⊥AB , 所以EO ⊥平面ABCD ,所以EO ⊥OD .由OB ,OD ,OE 两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形EAB 为等腰直角三角形,所以OA =OB =OD =OE .设OB =1,则O (0,0,0),A (-1,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),E (0,0,1). 所以EC →=(1,1,-1),平面ABE 的一个法向量为OD →=(0,1,0). 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ,所以sin θ=|cos 〈EC →,OD →〉|=|EC →·OD →||EC →||OD →|=33.即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. 11.(2015·河南内黄一中摸底)如图所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,A 1B ⊥平面ABC ,AB ⊥AC .(1)求证:AC ⊥BB 1;(2)若AB =AC =A 1B =2,在棱B 1C 1上确定一点P ,使二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值为255.答案 (1)略(2)P 为棱B 1C 1的中点时满足题意解析 (1)证明:在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,因为A 1B ⊥平面ABC ,A 1B ⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC .因为平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ,AB ⊥AC ,所以AC ⊥平面ABB 1A 1,所以AC ⊥BB 1.(2)如图所示,以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则C (2,0,0),B (0,2,0),A 1(0,2,2),B 1(0,4,2),B 1C 1→=BC →=(2,-2,0). 设B 1P →=λB 1C 1→=(2λ,-2λ,0),λ∈[0,1], 则P (2λ,4-2λ,2).设平面PAB 的一个法向量为n 1=(x ,y ,z ), 因为AP →=(2λ,4-2λ,2),AB →=(0,2,0), 所以⎩⎨⎧n 1·AP →=0,n 1·AB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2λx +-2λy +2z =0,2y =0.所以⎩⎪⎨⎪⎧z =-λx ,y =0.令x =1,得n 1=(1,0,-λ).而平面ABA 1的一个法向量是n 2=(1,0,0),所以|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=11+λ2=255,解得λ=12,即P 为棱B 1C 1的中点. 12.(2014·福建理)在平面四边形ABCD 中.AB =BD =CD =1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图所示.(1)求证:AB ⊥CD ;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值. 答案 (1)略 (2)63解析 (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD =BD ,AB ⊂平面ABD ,AB ⊥BD , ∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图所示.由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD .以B 为坐标原点,分别以BE →,BD →,BA →的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,12,则BC →=(1,1,0),BM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,12,AD →=(0,1,-1).设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0),则⎩⎨⎧n ·BC →=0,n ·BM →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0+y 0=0,12y 0+12z 0=0,取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1).设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,AD →〉|=|n ·AD →||n |·|AD →|=63,即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 13.(2014·陕西理)四面体ABCD 及其三视图如图所示,过棱AB 的中点E 作平行于AD ,BC 的平面分别交四面体的棱BD ,DC ,CA 于点F ,G ,H .(1)证明:四边形EFGH 是矩形;(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值. 答案 (1)略 (2)105解析 (1)由该四面体的三视图可知,BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD =DC =2,AD =1.由题设,BC ∥平面EFGH , 平面EFGH ∩平面BDC =FG , 平面EFGH ∩平面ABC =EH , ∴BC ∥FG ,BC ∥EH ,∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ,HG ∥AD ,∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AD ⊥DC ,AD ⊥BD ,∴AD ⊥平面BDC . ∴AD ⊥BC ,∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.(2)方法一:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (0,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0),DA →=(0,0,1),BC →=(-2,2,0),BA →=(-2,0,1). 设平面EFGH 的法向量n =(x ,y ,z ), ∵EF ∥AD ,FG ∥BC ,∴n ·DA →=0,n ·BC →=0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧z =0,-2x +2y =0,取n =(1,1,0).∴sin θ=|cos 〈BA →,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |=25×2=105. 方法二:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (0,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0). ∵E 是AB 的中点,∴F ,G 分别为BD ,DC 的中点,得E ⎝⎛⎭⎪⎫1,0,12,F (1,0,0),G (0,1,0).∴FE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12,FG →=(-1,1,0).BA →=(-2,0,1).设平面EFGH 的法向量n =(x ,y ,z ), 则n ·FE →=0,n ·FG →=0, 得⎩⎪⎨⎪⎧12z =0,-x +y =0,取n =(1,1,0),∴sin θ=|cos 〈BA →,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |=25×2=105.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练1(含解析)

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题组层级快练(一)1.下列各组集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={2,3},N={3,2}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={2,3},N={(2,3)}答案 B2.集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则下列关系中正确的是( ) A.M P B.P MC.M=P D.M P且P M答案 A解析P={x|x=1+(a-2)2,a∈N*},当a=2时,x=1,而M中无元素1,P比M多一个元素.3.(2014·四川文)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=( )A.{-1,0} B.{0,1}C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2}答案 D解析由二次函数y=(x+1)(x-2)的图像可以得到不等式(x+1)(x-2)≤0的解集A=[-1,2],属于A的整数只有-1,0,1,2,所以A∩B={-1,0,1,2},故选D.4.(2015·《高考调研》原创题)已知i为虚数单位,集合P={-1,1},Q={i,i2},若P∩Q={z i},则复数z等于( )A.1 B.-1C.i D.-i答案 C解析因为Q={i,i2},所以Q={i,-1}.又P={-1,1},所以P∩Q={-1},所以z i=-1,所以z=i,故选C.5.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0 B.1C.2 D.4答案 D解析由A∪B={0,1,2,a,a2},知a=4.6.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )A.P⊆Q B.Q⊆PC.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P答案 C解析依题意得集合P={y|y≤1},Q={y|y>0},∴∁R P ={y |y >1},∴∁R P ⊆Q ,选C.7.设函数f (x )=lg(1-x 2),集合A ={x |y =f (x )},B ={y |y =f (x )},则图中阴影部分表示的集合为( )A .[-1,0]B .(-1,0)C .(-∞,-1)∪[0,1)D .(-∞,-1]∪(0,1) 答案 D解析 因为A ={x |y =f (x )}={x |1-x 2>0}={x |-1<x <1},则u =1-x 2∈(0,1],所以B ={y |y =f (x )}={y |y ≤0}.所以A ∪B =(-∞,1),A ∩B =(-1,0].故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),故选D.8.已知集合M ={1,a 2},P ={-1,-a },若M ∪P 有三个元素,则M ∩P =( )A .{0,1}B .{0,-1}C .{0}D .{-1} 答案 C解析 由题意知a 2=-a ,解得a =0或a =-1.①当a =0时,M ={1,0},P ={-1,0},M ∪P ={-1,0,1},满足条件,此时M ∩P ={0}; ②当a =-1时,a 2=1,与集合M 中元素的互异性矛盾,舍去,故选C.9.已知集合A ={x |x <a },B ={x |1<x <2},且A ∪(∁R B )=R ,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤1B .a <1C .a ≥2D .a >2 答案 C解析 ∵B ={x |1<x <2},∴∁R B ={x |x ≥2或x ≤1}.又∵A ={x |x <a }且A ∪(∁R B )=R ,∴a ≥2.10.(2015·保定模拟)已知集合M ={x |x 2-5x ≤0},N ={x |p <x <6},且M ∩N ={x |2<x ≤q },则p +q =( )A .6B .7C .8D .9 答案 B解析 由题意知,集合M ={x |0≤x ≤5},画数轴可知p =2,q =5,所以p +q =7,故选B.11.(2015·广东揭阳调研)对于集合M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -1,x ∈M ,1,x ∉M .对于两个集合A ,B ,定义集合A △B ={x |f A (x )·f B (x )=-1}.已知A ={2,4,6,8,10},B ={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A △B 的结果为( )A .{1,6,10,12}B .{2,4,8}C .{2,8,10,12}D .{12,46}答案 A 解析 要使f A (x )·f B (x )=-1,必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }={1,6,10,12},所以A △B ={1,6,10,12}.12.已知集合A ={x |log 2x <1},B ={x |0<x <c },(c >0).若A ∪B =B ,则实数c 的取值范围是________. 答案 [2,+∞)解析 A ={x |0<x <2},由数轴分析可得c ≥2.13.设全集U =A ∪B ={x ∈N *|lg x <1},若A ∩(∁U B )={m |m =2n +1,n =0,1,2,3,4},则集合B =________.答案 {2,4,6,8}解析 U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ∩(∁U B )={1,3,5,7,9},∴B ={2,4,6,8}.14.在集合M ={0,12,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该集合恰满足条件“对∀x ∈A ,有1x ∈A ”的概率是________.答案 331解析 集合M 的非空子集共有25-1=31(个),其中集合A 可以是:{1},{12,2},{12,1,2}. 15.已知集合A ={x |x 2-x ≤0,x ∈R }.设函数f (x )=2-x +a (x ∈A )的值域为B .若B ⊆A ,则实数a 的取值范围是________.答案 -12≤a ≤0 解析 A ={x |0≤x ≤1},B ={y |12+a ≤y ≤1+a }. ∵B ⊆A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12+a ≥0,1+a ≤1⇒-12≤a ≤0. 16.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z }为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合.其中正确结论的序号是________.答案 ②解析 ①中,-4+(-2)=-6∉A ,所以不正确;②中设n 1,n 2∈A ,n 1=3k 1,n 2=3k 2,k 1,k 2∈Z ,则n 1+n 2∈A ,n 1-n 2∈A ,所以②正确; ③令A 1={n |n =5k ,k ∈Z },A 2={n |n =2k ,k ∈Z },则A 1,A 2为闭集合,但A 1∪A 2不是闭集合,所以③不正确.17.设U =R ,集合A ={x |x 2+3x +2=0},B ={x |x 2+(m +1)x +m =0}.若(∁U A )∩B =∅,试求实数m 的值.答案 m =1或m =2解析 易知A ={-2,-1}.由(∁U A )∩B =∅,得B ⊆A .∵方程x 2+(m +1)x +m =0的判别式Δ=(m +1)2-4m =(m -1)2≥0,∴B ≠∅.∴B ={-1}或B ={-2}或B ={-1,-2}.①若B ={-1},则m =1;②若B ={-2},则应有-(m +1)=(-2)+(-2)=-4,且m =(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B ≠{-2};③若B ={-1,-2},则应有-(m +1)=(-1)+(-2)=-3,且m =(-1)×(-2)=2,由这两式得m =2.经检验知m =1和m =2符合条件.∴m =1或2.18.(2015·福建三明)已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }.(1)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围;(2)若A ∩B =(1,2),求实数m 的取值范围;(3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.答案 (1)(-∞,-2] (2)m =-1 (3)[0,+∞)解析 (1)由A ⊆B ,得⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m >2m ,2m ≤1,1-m ≥3,得m ≤-2,即实数m 的取值范围为(-∞,-2].(2)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≤1,1-m =2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12,m =-1,∴m =-1.(3)由A ∩B =∅,得①若2m ≥1-m ,即m ≥13时,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m ,即m <13时,需⎩⎪⎨⎪⎧ m <13,1-m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <13,2m ≥3,得0≤m <13或∅,即0≤m <13. 综上知m ≥0,即实数m 的取值范围为[0,+∞).1.若集合A ={2,3,4},B ={x |x =n ·m ,m ,n ∈A ,m ≠n },则集合B 中元素个数为( )A .2B .3C .4D .5 答案 B解析 由题意知,B 中的元素有:2×3=6,2×4=8,3×4=12,因此B ={6,8,12},故选B.2.已知集合A ={x ||x |≤2,x ∈R },B ={x |x ≤4,x ∈Z },则A ∩B =( )A .(0,2)B .[0,2]C .{0,2}D .{0,1,2} 答案 D解析 由已知得A ={x |-2≤x ≤2},B ={0,1,…,16},所以A ∩B ={0,1,2}.3.(2013·山东文)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩∁U B =( )A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅ 答案 A解析 由题意知A ∪B ={1,2,3},又B ={1,2},所以A 中必有元素3,没有元素4,∁U B ={3,4},故A ∩(∁U B )={3}.4.已知集合A ={-1,0,a },B ={x |0<x <1},若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 ∵A 中-1,0不属于B ,且A ∩B ≠∅,∴a ∈B ,∴a ∈(0,1).5.已知集合A ,B 与集合A @B 的对应关系如下表:若A ={答案 {2 015,2 016}。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练91(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练91(含解析)

题组层级快练(九十一)1.直线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t sin70°,y =2+t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A .70°B .20°C .160°D .110°答案 B解析 将直线参数方程化为标准形式:⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos20°,y =2+t sin20°(t 为参数),则倾斜角为20°,故选B.2.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2t ,y =2-3t (t 为参数),则直线的斜率为( )A.23 B .-23C.32 D .-32答案 D3.下列参数方程与方程y 2=x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x =sin 2t ,y =sin t(t 为参数)C.⎩⎨⎧x =t ,y =|t |(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x =1-cos2t 1+cos2t ,y =tan t (t 为参数)答案 D解析 考查四个选项:对于A ,消去t 后所得方程为x 2=y ,不符合y 2=x ; 对于B ,消去t 后所得方程为y 2=x ,但要求0≤x ≤1,也不符合y 2=x ; 对于C ,消去t 得方程为y 2=|x |,但要求y ≥0,x ∈R ,也不符合y 2=x ; 对于D ,x =1-cos2t 1+cos2t =2sin 2t 2cos 2t =tan 2t =y 2即符合y 2=x .因此D 是正确的,故选D. 4.与参数方程为⎩⎨⎧x =t ,y =21-t(t 为参数)等价的普通方程为( )A .x 2+y 24=1B .x 2+y 24=1(0≤x ≤1)C .x 2+y 24=1(0≤y ≤2)D .x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)答案 D解析 x 2=t ,y 24=1-t =1-x 2,x 2+y 24=1,而t ≥0,0≤1-t ≤1,得0≤y ≤2.5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ=-6cos θ所表示的图形分别是( )A .圆和直线B .直线和直线C .椭圆和直线D .椭圆和圆答案 D解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数)的普通方程为x 24+y 2=1,表示椭圆.极坐标方程ρ=-6cos θ的直角坐标方程为(x +3)2+y 2=9,表示圆.6.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =-3+2cos θ,y =4+2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A .1B .2C .3D .4答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =-3+2cos θ,y =4+2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x +3)2+(y -4)2=4,这是圆心为(-3,4),半径为2的圆,故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.7.已知直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t +1(t 为参数),圆C :ρ=2cos θ,则圆心C 到直线l 的距离是( )A .2 B. 3 C. 2 D .1答案 C解析 直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t +1(t 为参数)的普通方程为x -y +1=0,圆C :ρ=2cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,即(x -1)2+y 2=1,则圆心C (1,0)到直线l 的距离d =|1-0+1|2= 2.8.(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1,y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B .214 C. 2 D .2 2答案 D解析 由题意得直线l 的方程为x -y -4=0,圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4.则圆心到直线的距离d =2,故弦长=2r 2-d 2=2 2.9.圆C :⎩⎨⎧x =1+2cos θ,y =2+2sin θ(θ为参数)的半径为______,若圆C 与直线x -y +m =0相切,则m=______.答案2,-1或3解析 由题意知,圆C 的普通方程为(x -1)2+(y -2)2=2,其半径r = 2.若圆C 与直线x -y +m =0相切,则|1-2+m |1+1=2,得|m -1|=2,故m =-1或3.10.(2014·重庆理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =3+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.答案5解析 直线l 的普通方程为y =x +1,曲线C 的直角坐标方程为y2=4x ,联立两方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +1,y 2=4x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.所以公共点为(1,2).所以公共点的极径为ρ=22+1= 5. 11.直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =-1-t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =3sin α(α为参数)的交点个数为________.答案 2解析 方法一:由直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =-1-t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =3sin α(α为参数)的参数方程,得(2+t )2+(-1-t )2=9,整理,得t 2+3t -2=0,方程有两个不相等的实数根,所以直线与曲线的交点个数有2个.方法二:将直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =-1-t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos α,y =3sin α(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程,得x +y -1=0,x 2+y 2=9.原点(圆心)到直线的距离为d =12<r =3,所以直线与圆相交,交点个数为2. 12.已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θ,y =sin θ(θ为参数),则曲线C 上的点到直线2x -y +2=0的距离的最大值为________.答案45+55解析 将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θ,y =sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程,得(x -1)2+y 2=1,这是圆心为(1,0),半径为1的圆.圆心到直线2x -y +2=0的距离为d =|2×1+2|22+-2=455>r =1,故直线与圆相离,所以圆C 上的点到直线的距离的最大值为d +r =455+1=45+55.13.(2015·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =-3t ,y =4+t(t 为参数).以O 为极点,射线Ox 为极轴的极坐标系中,曲线C 2的方程为ρ=4sin θ,曲线C 1与C 2交于M ,N 两点,则线段MN 的长度为________.答案 2解析 由题意,C 1的参数方程⎩⎨⎧x =-3t ,y =4+t转化为直角坐标方程为x +3y -43=0,C 2的极坐标方程ρ=4sin θ转化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,即x 2+(y -2)2=22,圆心(0,2)到直线x +3y -43=0的距离为d =|0+23-43|12+32=3,所以|MN |=222-32=2.14.(2014·福建理)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos θ,y =4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围. 答案 (1)l :2x -y -2a =0,C :x 2+y 2=16 (2)[-25,25]思路 (1)通过消参,直线是代入消去法,圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程.在(2)中,利用直线和圆的位置关系,得d ≤r ,从而求得a 的范围.解析 (1)直线l 的普通方程为2x -y -2a =0, 圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离d =|-2a |5≤4,解得-25≤a ≤2 5.15.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1-22t ,y =2+22t (t 为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.答案 8 2解析 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1-22t ,y =2+22t 代入抛物线方程y 2=4x ,得(2+22t )2=4(1-22t ).解得t 1=0,t 2=-8 2.所以|AB |=|t 1-t 2|=8 2.16.在极坐标系中,已知点A (2,0)到直线l :ρsin(θ-π4)=m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值;(2)设P 是直线l 上的动点,Q 在线段OP 上,且满足|OP ||OQ |=1,求点Q 轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.答案 (1)m =2 (2)(x +28)2+(y -28)2=116,轨迹是以(14,3π4)为圆心,14为半径的圆 解析 (1)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系.则点A 的直角坐标为(2,0),直线l 的直角坐标方程为x -y +2m =0.由点A 到直线l 的距离为d =|2+2m |2=1+m =3,∴m =2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ-π4)=2,设P (ρ0,θ0),Q (ρ,θ),则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0=1,θ=θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0=1ρ,θ0=θ.①因为点P (ρ0,θ0)在直线l 上,所以ρ0sin(θ0-π4)=2.②将①代入②得1ρsin(θ-π4)=2,则点Q 轨迹方程为ρ=12sin(θ-π4).化为直角坐标方程为(x +28)2+(y -28)2=116. 则点Q 的轨迹是以(14,3π4)为圆心,14为半径的圆.17.(2015·衡水调研卷)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+t cos α,y =t sin α(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程;(2)当α=π4时,求直线l 与曲线C 交点的极坐标.答案 (1)C :⎩⎨⎧x =-1+2cos φ,y =1+2sin φ(φ为参数)(2)(2,π2),(2,π)解析 (1)由ρ=2sin θ-2cos θ,可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y -2x , 标准方程为(x +1)2+(y -1)2=2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨⎧x =-1+2cos φ,y =1+2sin φ(φ为参数).(2)当α=π4时,直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+22t ,y =22t ,化成普通方程为y =x +2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=2y -2x ,y =x +2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2,π2),(2,π).18.在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ(a >b >0,φ为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C 1上的点M (2,3)对应的参数φ=π3,射线θ=π4与曲线C 2交于点D (2,π4).(1)求曲线C 1,C 2的普通方程;(2)已知A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π2)是曲线C 1上的两点,求1ρ21+1ρ22的值.答案 (1)C 1:x 216+y 24=1,C 2:(x -1)2+y 2=1(2)516解析 (1)将M (2,3)及对应的参数φ=π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ(a >b >0,φ为参数),得⎩⎪⎨⎪⎧2=a cos π3,3=b sin π3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =2.∴曲线C 1的方程为x 216+y 24=1.设圆C 2的半径为r ,则圆C 2的方程为ρ=2r cos θ, 将点D (2,π4)代入得2=2r ·22,∴r =1. ∴圆C 2的方程为(x -1)2+y 2=1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 1:x 216+y 24=1得极坐标方程为ρ2cos 2θ16+ρ2sin 2θ4=1,将A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π2)代入,得 ρ21cos 2θ16+ρ21sin 2θ4=1,ρ22sin 2θ16+ρ22cos 2θ4=1, ∴1ρ21+1ρ22=(cos 2θ16+sin 2θ4)+(sin 2θ16+cos 2θ4)=516.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos φ,y =2sin φ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为________.答案 3解析 由题意知在直角坐标系下,直线l 的方程为y =x -a ,椭圆的方程为x 29+y 24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a ,解得a =3.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练74(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练74(含解析)

题组层级快练(七十四)1.(2015·成都一诊)将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为( )A.10 B.20C.30 D.40答案 B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,共有C35C22×2=20种,故选B.2.(2014·大纲全国)有6名男医生,5名女医生,从中选出2名男医生,1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C解析利用组合知识及分步乘法计数原理求解.由题意知,选2名男医生,1名女医生的方法有C26C15=75种.3.(2015·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生,2名女生)义务参加宣传活动,他们自由分成两组完成不同的两项任务,但要求每组最多4人,女生不能单独成组,则不同的工作安排方式有( )A.40种B.48种C.60种D.68种答案 B解析4,2分法:A22(C46-1)=14×2=28,3,3分法:C36C33=20,∴共有48种.4.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加上海世博会公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A.40种B.60种C.100种D.120种答案 B解析分两步:先从5人中选两人参加星期五的活动,有C25种方法,再从剩下的3人中选两人参加星期六、星期日的活动,有A23种方法,故不同的选派方法共有C25A23=60种,故选B.5.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法种数为( )A.2 520 B.2 025C.1 260 D.5 040答案 A解析 C 210A 28=2 520.6.8个色彩不同的球已平均分装在4个箱子中,现从不同的箱子中取出2个彩球,则不同的取法共有( )A .6种B .12种C .24种D .28种 答案 C解析 从8个球中任取2个有C 28=28种取法,2球位于同一箱子中有C 14=4种取法,2球位于不同箱子的取法有28-4=24种.7.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A .540种B .300种C .180种D .150种 答案 D解析 要将5名志愿者分配到3个不同的地方,每个地方至少一人,首先要将这5个人分成3组,因此有2种分组方案:1,1,3与1,2,2.当按1,1,3方案分组时,有C 35·A 33=60种方法;当按1,2,2方案分组时,先进行平均分组,有C 25C 23A 22=15种分组方法,因此有15×A 33=90种方法.所以一共有60+90=150种方案.故选D.8.(2015·安徽望江一中月考)一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有( )A .12种B .15种C .17种D .19种 答案 D解析 分三类:①有一次取到3号球,共有C 13×2×2=12种取法;②有两次取到3号球,共有C 23×2=6种取法;③三次都取到3号球,有1种取法.共有19种取法.9.(2015·河北石家庄质检)中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案的种数有( )A .C 941B .C 938 C .C 940D .C 939 答案 D解析 首先每个学校配备一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台象排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空.对这39个空进行插空(隔板),比如说用9个隔板隔开,就可以隔成10部分了.所以是在39个空里选9个空插入隔板,所以是C 939.10.每天上午有4节课,下午有2节课,安排5门不同的课程,其中安排一门课两节连在一起上,则一天安排不同课程的种数为________种.答案480解析两节连上的取法有(3+1)·C15=20种,其他4门课排法有A44=24种,∴共20×24=480种.11.圆周上有8个点,将圆周等分,那么以其中的3个点为顶点的直角三角形的个数为________.答案24解析以8个点为直径的端点共有4种取法,每种取法可作出6个三角形,∴共有4×6=24个.12.7位身高各不相同的同学排成一排,要求正中间的最高,左右两边分别顺次一个比一个矮,这样的排法共有________种.答案20解析最高的同学必须站在中间,再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边,有C36种,则剩下三位同学的位置已定.故共有C36=20种.13.某学校新来了五名学生,学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级,每个班级至少分配一人,则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是________.答案100解析A的分配方案有2种,若A分配到的班级不再分配其他学生,则把其余四人分组后分配到另外两个班级,分配方法种数是(C34+C24C22A22)A22=14;若A分配到的班级再分配一名学生,则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级,分配方法种数是C14C13A22=24;若A分配到的班级再分配两名学生,则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级,分配方法种数是C24A22=12.故总数为2×(14+24+12)=100.14.(2015·云南昆明一中摸底)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为________.答案30解析四名学生两名分到一组有C24种,3个元素进行全排列有A33种,甲、乙两人分到一个班有A33种,所以C24A33-A33=36-6=30种.15.(2015·山东聊城重点高中联考)三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村最多去2个人,则不同的分配方法有________种.答案60解析若每个村去一个人,则有A34=24种分配方法;若有一个村去两人,另一个村去一人,则有C13A24=36种分配方法,所以共有60种不同的分配方法.16.(2015·湖南衡阳八中期末)有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有________种(用数字作答).答案50解析因为每项活动最多安排4人,所以可以有三种安排方法,即(4,2),(3,3),(2,4).当安排4,2时,需要选出4个人参加第一个项目,共有C46=15种;当安排3,3时,共有C36=20种;当安排2,4时,共有C26=15种,所以共有15+20+15=50种.17.三个工程队要承包5项不同的工程,每队至少承包一项,问共有多少种不同的承包方案. 答案 150解析 方法一:承包方式分两类.第一类,三个工程队分别承包1,1,3项工程,共有C 35·A 33=60种承包方案.第二类,三个工程队分别承包2,2,1项工程,共有C 25C 23A 33A 22=90种承包方案. 所以共有60+90=150种不同的承包方案.方法二:第一类,三个承包队中有一队承包3项工程,其余两队分别承包1项工程共有C 13C 35C 12=60种承包方案.第二类,设三个工程队分别为甲、乙、丙三队,其中有一队承包一项工程,其余两队承包两项工程,共有C 13C 15C 24=90种承包方案.综上可知共有60+90=150种不同的承包方案.1.(2015·广西南宁三中质检)5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种.答案 150解析 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则有1,1,3和1,2,2,两种分法.若为1,1,3时,有C 35A 33=60种.若为1,2,2时,有12C 15C 24C 22A 33=90种.所以共有150种. 2.(2015·安徽皖北协作区联考)3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员,若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能选聘上),则不同的选聘方法种数为________.(用具体数字作答)答案 60解析 当4名大学毕业生全选时有C 14C 13A 22·A 33,当选3名大学毕业生时有A 34,即不同的选聘方法种数为C 14C 13A 22·A 33+A 34=60.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练89(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练89(含解析)

题组层级快练(八十九)1.(2014·天津)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE =BE ·DE ;④AF ·BD =AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A .①② B .③④ C .①②③ D .①②④答案 D解析 因为∠BAD =∠FBD ,∠DBC =∠DAC ,又AE 平分∠BAC ,所以∠BAD =∠DAC ,所以∠FBD =∠DBC ,所以BD 平分∠CBF ,结论①正确;易证△ABF ∽△BDF ,所以AB AF =BDBF,所以AB ·BF =AF ·BD ,结论④正确;由AF BF =BF DF,得BF 2=AF ·DF ,结论②正确,选D. 2.如图,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则( )A .CE ·CB =AD ·DB B .CE ·CB =AD ·ABC .AD ·AB =CD 2D .CE ·EB =CD 2 答案 A解析 ∵CD ⊥AB ,∴以BD 为直径的圆与CD 相切. ∴CD 2=CE ·CB .在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高, 有CD 2=AD ·DB , 因此CE ·CB =AD ·DB .3.如图所示,在半径为2的⊙O 中,∠AOB =90°,D 为OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点E ,则线段DE 的长为( )A.55B.255 C.355D.32答案 C解析 延长BO 交圆O 于点F ,由D 为OB 的中点,知DF =3,DB =1.又∠AOB =90°,所以AD = 5.由相交弦定理知AD ·DE =DF ·DB ,即5DE =3×1,解得DE =355.4.如图所示,E ,C 分别是∠A 两边上的点,以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于D ,B ,若∠A =45°,则△AEC 与△ABD 的面积比为( )A .2∶1B .1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ,易知△ABD ∽△AEC ,求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值,设AB =a ,∵∠A =45°,CE 为⊙O 的直径,∴∠CBE =∠ABE =90°. ∴BE =AB =a ,∴AE =2a . ∴AE 2∶AB 2=2a 2∶a 2.∴AE 2∶AB 2=2∶1,∴S △AEC ∶S △ABD =2∶1.5.(2014·陕西)如图,在△ABC 中,BC =6,以BC 为直径的半圆分别交AB ,AC 于点E ,F ,若AC =2AE ,则EF =________.答案 3解析∵B,C,F,E四点在同一个圆上,∴∠AEF=∠ACB.又∠A=∠A,∴△AEF∽△ACB.∴AEAC=EFBC,即12=EF6,∴EF=3.6.(2014·湖南理)如图,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=3,BC=22,则⊙O的半径等于________.答案32解析设AO,BC的交点为D,由已知可得D为BC的中点,则在直角三角形ABD中,AD=AB2-BD2=1.设圆的半径为r,延长AO交圆O于点E,由圆的相交弦定理可知BD·CD=AD·DE,即(2)2=2r-1,解得r=32.7.(2014·重庆理)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.答案 4解析依题意得△PAC∽△PBA,则PAPC=ABAC=PBPA,即6PB+9=AB8=PB6,解得PB=3,AB=4.8.(2015·广州综合测试一)如图,PC是圆O的切线,切点为C,直线PA与圆O交于A,B两点,∠APC的角平分线交弦CA,CB于D,E两点,已知PC=3,PB=2,则PEPD的值为________.答案23解析由切割线定理,可得PC2=PA·PB⇒PA=PC2PB=322=92.由于PC切圆O于点C,由弦切角定理可知∠PCB=∠PAD,由于PD是∠APC的角平分线,则∠CPE=∠APD,所以△PCE∽△PAD.由相似三角形得PEPD=PCPA =392=3×29=23.9.(2015·陕西咸阳二模)如图,已知∠BAC的角平分线与BC相交于点D,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,若EB=8,EC=2,则DE=________.答案 4解析 根据弦切角定理,可得∠ABC =∠EAC .因为线段AD 为∠BAC 的角平分线,所以∠BAD =∠DAC .又∠ADE =∠ABC +∠BAD ,则可以得到∠EDA =∠EAD ,即△ADE 为等腰三角形,则有DE =AE ,在△ACE ,△ABE 中,因为∠EAC =∠ABC 且∠AEC =∠AEB ,所以△CAE ∽△ABE ,则有AE BE =CEAE⇒AE =4,即DE =AE =4.10.(2015·湖北黄冈模拟)已知点C 在圆O 的直径BE 的延长线上,直线CA 与圆O 相切于点A ,∠ACB 的角平分线分别交AB ,AE 于D ,F 两点,若∠ACB =20°,则∠AFD =________.答案 45°解析 因为AC 为圆的切线,由弦切角定理,得∠B =∠EAC . 又因为CD 平分∠ACB ,则∠ACD =∠BCD . 所以∠B +∠BCD =∠EAC +∠ACD . 根据三角形外角定理,得∠ADF =∠AFD . 因为BE 是圆O 的直径,则∠BAE =90°. 所以△ADF 是等腰直角三角形. 所以∠ADF =∠AFD =45°.11.(2015·北京丰台一模)如图,已知圆的两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF =CF =2,AF ∶FB ∶BE =4∶2∶1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长为________.答案72解析 由相交弦定理可知AF ·FB =DF ·CF =2,又因为AF ∶FB =4∶2,所以AF =2,FB =1,所以BE =12.所以CE 2=BE ·AE =BE ·(AF +FB +BE )=12×72=74,所以CE =72. 12.(2014·江苏)如图,AB 是圆O 的直径,C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明:∠OCB =∠D .证明 因为B ,C 是圆O 上的两点,所以OB =OC .故∠OCB =∠B . 又因为C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点, 故∠B ,∠D 为同弧所对的两个圆周角. 所以∠B =∠D .因此∠OCB =∠D .13.(2014·新课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB =CE .(1)证明:∠D =∠E ;(2)设AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为M ,且MB =MC ,证明:△ADE 为等边三角形. 证明 (1)由题设知A ,B ,C ,D 四点共圆,所以∠D =∠CBE . 由已知得∠CBE =∠E ,故∠D =∠E .(2)设BC 的中点为N ,连接MN ,则由MB =MC 知MN ⊥BC ,故O 在直线MN 上. 又AD 不是⊙O 的直径,M 为AD 的中点, 故OM ⊥AD ,即MN ⊥AD . 所以AD ∥BC ,故∠A =∠CBE . 又∠CBE =∠E ,故∠A =∠E .由(1)知,∠D =∠E ,所以△ADE 为等边三角形.14.(2015·江苏南京、盐城二模)如图,△ABC 为圆的内接三角形,AB =AC ,BD 为圆的弦,且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ,AD 与BC 交于点F .(1)求证:四边形ACBE 为平行四边形; (2)若AE =6,BD =5,求线段CF 的长. 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明:因为AE 与圆相切于点A , 所以∠BAE =∠ACB .因为AB =AC ,所以∠ABC =∠ACB .所以∠ABC =∠BAE . 所以AE ∥BC .因为BD ∥AC ,所以四边形ACBE 为平行四边形. (2)因为AE 与圆相切于点A , 所以AE 2=EB ·(EB +BD ). 即62=EB ·(EB +5),解得BE =4. 根据(1)有AC =BE =4,BC =AE =6. 设CF =x ,由BD ∥AC ,得AC BD =CFBF. 即45=x 6-x ,解得x =83,即CF =83. 15.如图,AB 是圆O 的直径,C ,F 为圆O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线.过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ,CM ⊥AB ,垂足为点M .(1)求证:DC 是圆O 的切线; (2)求证:AM ·MB =DF ·DA .证明 (1)连接OC ,如图,则有∠OAC =∠OCA .∵CA 是∠BAF 的角平分线,∴∠OAC =∠FAC . ∴∠FAC =∠OCA ,∴OC ∥AD . 又∵CD ⊥AF ,∴CD ⊥OC . 故DC 是圆的切线.(2)如图,连接BC .在Rt △ACB 中,CM ⊥AB ,所以CM2=AM·MB.又因为DC是圆O的切线,所以DC2=DF·DA,易知△AMC≌△ADC,则DC=CM,所以AM·MB=DF·DA.。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练49(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练49(含解析)

题组层级快练(四十九)1.三视图如图的几何体是( )A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台答案 B解析几何体底面为四边形,侧面是三角形,故选B.2.如图所示,几何体的正视图与侧视图都正确的是( )答案 B解析侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线,故A,D排除.而正视时,有半个平面是没有的,所以应该有一条实对角线,且其对角线位置应为B中所示,故选B.3.一个几何体的三视图如图,则组成该几何体的简单几何体为( )A.圆柱和圆锥B.正方体和圆锥C.四棱柱和圆锥D.正方体和球答案 C4.(2015·东北四校模拟)如图所示,三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )答案 B解析 三棱锥的正视图应为高为4,底边长为3的直角三角形.5.(2015·南京质检)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )A .8B .6 2C .10D .8 2答案 C解析 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为6,62,8,10,所以面积最大的是10,故选择C.6.(2015·山西四校联考)如图所示,△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形 答案 B7.(2014·四川文)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A .3B .2 C. 3 D .1答案 D解析 由俯视图可知三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形,底面面积为12×2×2×sin60°=3,由侧视图可知三棱锥的高为3,故此三棱锥的体积V =13×3×3=1,故选D.8.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如下图所示,则相应的侧视图可以为( )答案 D解析 根据分析,只能是选项D 中的视图.故选D.9.(2015·衡水调研卷)如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,A 1A =AB =2,BC =1,AC =5,若规定主(正)视方向垂直平面ACC 1A 1,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A.455B .2 5C .4D .2答案 A解析 过B 作BD ⊥AC 于D ,过点B 1作B 1D 1⊥A 1C 1于D 1连接DD 1,则三棱锥的侧视图就是矩形BDD 1B 1,且BD =25,BB 1=2.所以,其面积为S =25×2=45 5.10.(2015·江西景德镇第一次质检)如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上、下底面中心分别为O 1,O 2,将正方体绕直线O 1O 2旋转一周,其中由线段BC 1旋转所得图形是( )答案 D解析 由图形的形成过程可知,在图形的面上能够找到直线,在B ,D 中选,显然B 不对,因为BC 1中点绕O 1O 2旋转得到的圆比B 点和C 1点的小,故选D.11.如图所示,在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,M ,E 是AB 的三等分点,G ,N 是CD 的三等分点,F ,H 分别是BC ,MN 的中点,则四棱锥A ′-EFGH 的侧视图为( )答案 C解析 注意分清三等分点可以看出,侧视图中A ′E ,A ′G 重合,A ′H 成为A ′M ,A ′F ,A ′B 重合,侧视图为向左倾斜的三角形,故选C.12.若一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )A .2B .1 C.23 D.13答案 C解析 由三视图知,该几何体是一棱锥,其底面四边形的对角线互相垂直,且长都为2,棱锥高为1,所以,该几何体的体积为V =13×2×12×2×1=23.13.(2015·衡水调研卷)已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”,故正视图的高一定是2,正视图和俯视图“长对正”,故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合以上可知,这个空间几何体的正视图可能是C.14.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为13,则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图,结合该几何体的体积为13,可知该几何体的底面积应为1,因此符合底面积为1的选项仅有D 选项,故该几何体为一个四棱锥,其俯视图为D.15.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,那么该三棱锥的侧视图可能为( )答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示,由题知,这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3,故其侧视图只可能是选项B 中的图形.16.(2015·河南中原名校联考)一个简单几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中符合题意的序号是________.答案 ③解析 对于①,俯视图是长方形是可能的,比如此几何体为一个长方体时,满足题意;对于④,如果此几何体是一个椭圆柱,满足正视图中的长与左视图中的长不一致,故俯视图可能是椭圆;对于③,由于主视图中的长与左视图中的长不一致,故俯视图不可能是圆;对于②,如果此几何体是一个三棱柱,满足正视图中的长与左视图中的长不一致,故俯视图可能是直角三角形,故填③.17.一个空间几何体的三视图如图所示,其主(正)视图是正三角形,边长为1,左(侧)视图是直角三角形,两直角边分别为32 和12,俯视图是等腰直角三角形,斜边为1,则此几何体的体积为________.答案324解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥,其底面面积为S =12×1×12=14,三棱锥的高为h =32,所以几何体的体积为V =13Sh =13×14×32=324.18.已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出左视图的面积. 答案 (1)略 (2)6 解析 (1)如右图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC =23,∴左视图中VA =42-23×32×232=2 3.∴S △VBC =12×23×23=6.1.(2015·辽宁六校联合体)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图像是( )答案 B解析 方法一:根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥,设圆锥的底面半径为R ,高为H ,水流的速度是v ,则由题意得vt =13π(h H )2R 2h .当vt >0时,解得h =33vH 2t πR 2,这是一个幂型函数,所以容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像类似于幂函数y =3x 的图像,故选B.方法二:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗,随着时间的增加,可以得到高度增加得越来越慢.刚开始高度增加得相对快些,图形越“陡峭”,之后高度增加得越来越慢,图形越平稳.2.(2013·新课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )答案 A解析 如图所示,该四面体在空间直角坐标系O -xyz 的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.3.如图所示,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.答案2 3解析将几何体的三视图还原为直观图:四棱锥P-ABCD,如图将直观图补成一个正方体,显然最长的一条棱的长PB,即为正方体的对角线长,易知正方体的棱长为2,所以对角线长为2 3.。

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题组层级快练(五十一)1.若l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面答案 B解析当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.2.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案 D解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a.∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.3.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面答案 B解析对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾;对于选项B,过点P与l,m都垂直的直线,即过P且与l,m的公垂线段平行的那一条直线;对于选项C,过点P与l,m都相交的直线有一条或零条;对于选项D,过点P与l,m都异面的直线可能有无数条.4.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析连接BA1,则CD1∥BA1,于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角).设AB=1,则BE=2,BA1=5,A1E=1,在△A1BE中,cos∠A1BE=5+2-125·2=31010,选C.5.(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面M,b⊂平面N,M∩N =c.①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 C解析命题①③正确,命题②④错误.其中命题②中a和b有可能垂直;命题④中当b∥c时,平面M,N有可能不垂直,故选C.6.ABCD为空间四边形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与( ) A.AC,BD之一垂直B.AC,BD都垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD不一定垂直答案 B解析∵AD=BC,AB=CD,BD=BD,∴△ABD≌△CDB.∴AN=CN.在等腰△ANC中,由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.7.如图所示,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是( )A.②③④B.①③④C .①②④D .①②③答案 C解析 将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意不等于k π2(k ∈Z )的角度,所得的平面与直线AB ,B 1C 1都相交,故③错误,排除A ,B ,D ,选C.8.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF =12,则下列结论中错误的是( )A .AC ⊥BEB .EF ∥平面ABCDC .三棱锥A -BEF 的体积为定值D .△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D解析 由AC ⊥平面DBB 1D 1,可知AC ⊥BE ,故A 正确. 由EF ∥BD ,EF ⊄平面ABCD ,知EF ∥平面ABCD ,故B 正确.A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22,且S △BEF =12BB 1×EF =定值, 故V A -BEF 为定值,即C 正确.9.如图所示,是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM 与ED 平行; ②CN 与BE 是异面直线; ③CN 与BM 成60°角; ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ③④解析 如图所示,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,显然BM 与ED 为异面直线,故命题①不成立;而CN 与BE 平行,故命题②不成立.∵BE∥CN,∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE=60°,故③正确;∵BC⊥面CDNM,∴BC⊥DM,又∵DM⊥NC,∴DM⊥面BCN.∴DM⊥BN,故④正确,故填③④.10.在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以图②,④中GH与MN异面.11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________.答案③④解析AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错;③,④正确.12.如图所示,在正四面体S -ABC 中,D 为SC 的中点,则BD 与SA 所成角的余弦值是________.答案36解析 取AC 中点E ,连接DE ,BE ,则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角. 设SA =a ,则BD =BE =32a ,DE =a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE =36. 13.有下列四个命题:①若△ABC 在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R ,则P ,Q ,R 三点共线; ②若三条直线a ,b ,c 互相平行且分别交直线l 于A ,B ,C 三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;④若a 不平行于平面α,且a ⊄α,则α内的所有直线与a 异面. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①②解析 在①中,因为P ,Q ,R 三点既在平面ABC 上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上,既P ,Q ,R 三点共线,所以①正确.在②中,因为a ∥b ,所以a 与b 确定一个平面α,而l 上有A ,B 两点在该平面上,所以l ⊂α,即a ,b ,l 三线共面于α;同理a ,c ,l 三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a ,l ,所以α与β重合,即这些直线共面,所以②正确.在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错.在④中,由题设知,a 与α相交,设a ∩α=P ,如图,在α内过点P 的直线l 与a 共面,所以④错. 14.(2015·上海徐汇二模)如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=2,AC =BC =1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________.答案66解析 由于AC ∥A 1C 1,所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在△BA 1C 1中,A 1B =6,A 1C 1=1,BC 1=5,cos ∠BA 1C 1=6+1-526×1=66.15.如图所示,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠FAB =90°,BC ∥AD 且BC =12AD ,BE ∥AF 且BE =12AF ,G ,H 分别为FA ,FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C ,D ,F ,E 四点是否共面?为什么? 答案 (1)略 (2)共面,证明略解析 (1)证明:∵G ,H 分别为FA ,FD 的中点,∴GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ,∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形. (2)C ,D ,F ,E 四点共面.理由如下: 由BE 綊12AF ,G 是FA 的中点,得BE 綊GF .所以EF 綊BG .由(1)知,BG 綊CH ,所以EF 綊CH .所以EC ∥FH . 所以C ,D ,F ,E 四点共面.16.(2014·上海黄浦一模)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2,A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心,如图所示.(1)连接BC 1,求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小; (2)连接A 1C ,A 1B ,求三棱锥C 1-BCA 1的体积. 答案 (1)π4 (2)223解析 (1)连接AO ,并延长与BC 交于点D ,则D 是BC 边上的中点. ∵点O 是正△ABC 的中心,且A 1O ⊥平面ABC ,∴BC ⊥AD ,BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O =O ,∴BC ⊥平面ADA 1. ∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1,∴异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . ∵CC 1⊥BC ,即四边形BCC 1B 1为正方形, ∴异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2,∴可求得AD =3,AO =23AD =233,A 1O =AA 21-AO 2=263.∴VABC -A 1B 1C 1=S △ABC ·A 1O =22,VA 1-B 1C 1CB =VABC -A 1B 1C 1-VA 1-ABC =423. ∴VC 1-BCA 1=VA 1-BCC 1=12VA 1-BCC 1B 1=223.1.下面三条直线一定共面的是( ) A .a ,b ,c 两两平行 B .a ,b ,c 两两相交 C .a ∥b ,c 与a ,b 均相交 D .a ,b ,c 两两垂直答案 C2.如图所示是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行; ②BD 与MN 为异面直线; ③GH 与MN 成60°角; ④DE 与MN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE ⊥MN .。

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