函数展为幂级数

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简明微积分函数展开为幂级数

解： f (n)(x) ex,
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为，)
对于任x、何 (0有 1 限 ) 数
第五节函数展开成幂级数
一、泰勒级数二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。

它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。

将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。

一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$f(x)$是我们要展开的函数，$a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots$是常数系数。

$x$是独立变量。

这里的$x$可以是实数或复数。

当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。

这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。

以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。

麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数，可以通过导数求值来确定。

朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，$a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots$是常数系数。

通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数$f(x)$的常数系数。

具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。

\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，$f(a)$表示函数在展开点$a$处的值，$f'(a)$表示函数在展开点$a$处的一阶导数，$f''(a)$表示函数在展开点$a$处的二阶导数，依此类推。

函数展成幂级数的公式(一)

函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。

举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。

根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。

2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。

首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。

然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。

3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。

举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。

首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。

然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。

幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。

将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。

在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。

展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。

幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。

幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。

它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。

要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。

泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。

展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。

一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。

总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。

幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。

将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。

泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。

幂级数在各个领域有着广泛的应用。

函数展开成幂级数公式

函数展开成幂级数公式在数学中，我们通常关注函数在一些点附近的展开，这种展开被称为泰勒级数展开。

泰勒级数展开可以将一个连续可导的函数表示为一个无穷多项的幂级数。

泰勒级数展开的公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是我们要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是f(x)在a点处的一阶、二阶、三阶导数。

幂级数的形式为：f(x) = ∑ (n=0 to ∞) a_n * (x-a)^n其中，a_n是展开系数，可以通过函数的导数来计算。

对于任意函数，我们可以通过不断求导来计算幂级数的展开系数。

具体的计算方法如下：1.计算展开点a处的函数值f(a)；2.计算展开点a处的一阶导数f'(a)，作为展开系数a_1；3.计算展开点a处的二阶导数f''(a)，作为展开系数a_2；4.以此类推，计算展开点a处的高阶导数f'''(a)，作为展开系数a_3、a_4、a_5...通过这种方式，我们可以计算出函数在展开点附近的幂级数展开。

举例说明，假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成级数，展开点为a=0。

首先我们计算展开系数a_0、a_1、a_2...：a_0 = f(0) = sin(0) = 0a_1 = f'(0) = cos(0) = 1a_2 = f''(0) = -sin(0) = 0a_3 = f'''(0) = -cos(0) = -1a_4 = f''''(0) = sin(0) = 0将这些展开系数代入幂级数公式，我们可以得到sin(x)的幂级数展开为：sin(x) = 0 + 1*x + 0*x^2/2! + (-1)*x^3/3! + 0*x^4/4! + ...这就是sin(x)的泰勒级数展开。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。

幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。

幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。

下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。

1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。

2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。

幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。

此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。

在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。

总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。

函数怎么展开成幂级数

函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。

下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。

2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。

需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。

具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。

泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。

2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。

此方法适用于将函数在0点处展开的情况。

3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。

请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。

此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。

因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。

函数展开成幂级数

xn 1 (1<x1). n 1
上述展开式对x=1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当 x=1时收敛, 而ln(1x)在x=1处有定义且连续. 所以展开式成立的范围是(1<x1).
x
x a 提示: x n n )dx n dx = n 1 ., 1( s(x)dx = 0 a x = a x x 2 n n x x =1 x <1) . 0 xn (1< n 1 n =0 n =0 n =0 1 x
所以
1 1 2 cos(x ) =1 (x ) (x )4 ( < x < ) ,
4 2!
1 x 1 x2 1 xn , 2! n! 它的收敛半径R=.
对于任何有限的数x、 (介于0与x之间), 有 n 1 | x | e , | Rn (x)| =| x n 1 | < e| x| (n 1)! (n 1)! | x |n 1 而 lim = 0 , 所以 lim | Rn (x)|= 0 ,从而有展开式 n n (n 1)! e x =1 x 1 x2 1 xn (<x<). 2! n!
一、泰勒级数
泰勒级数
f (x0 ) f (x0 ) 2 f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) (x x0 )3 . , 2! 3! 麦克劳林级数 f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0)x x x ., 2! n! 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).
(n 1) sin[ ] | x |n 1 2 n 1 | Rn (x)| =| x | 0 (n ). (n 1)! (n 1)! 因此得展开式 3 5 2n 1 x x x n 1 sin x= x (1) (<x<). 3! 5! (2n 1)!

函数展开成幂级数的方法

函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。

这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。

对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。

2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。

3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。

通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。

如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。

例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式首先，我们来了解一下函数展成幂级数的定义。

给定一个函数 f(x)，我们希望能够找到一系列常数 a0、a1、a2...an 和幂级数∑(n=0 to∞)an(x-c)^n，使得对于给定的 x 的一些范围内，f(x)可以用幂级数进行近似表示。

这个幂级数的展开点 c 表示了幂级数的发散点或收敛点。

接下来，我们介绍一些常见的函数展成幂级数的公式。

1.泰勒级数：泰勒级数是展开函数的一种特殊情况，它是函数f(x)在一些点c处的幂级数表示。

泰勒级数的公式为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+f'''(c)(x-c)^3/3!+... 2.麦克劳林级数：麦克劳林级数是中心点c为0的泰勒级数，它是函数在原点附近的幂级数表示。

麦克劳林级数的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...3.求和公式：对于一些特定的函数，我们可以使用求和公式来展开函数为幂级数表示。

例如：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这些公式是函数展成幂级数的基础，可以通过逐阶求导和求和运算得到。

其中，泰勒级数和麦克劳林级数是最常见的展开形式，适用于大多数函数的近似表示。

求和公式则适用于一些特定的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。

此外，函数展成幂级数还有一些重要的性质和定理，如幂级数的收敛域、幂级数的计算方法（如微积分运算）、幂级数的和函数和导数等。

函数展开成幂级数

函数展开成幂级数的方法
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,

第三步写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成

x

π 4

的幂级数.
解
sin x

sin

π 4

x

π 4

sin
π 4
cos

x

π 4

1 2(1
x)

1 2(3
x)

1

1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2

1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解

f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n

(1)n1 xn

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。

通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。

二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。

幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。

三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。

展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。

四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。

如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。

五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。

六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。

函数展开为幂级数的公式

函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。

2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。

3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。

需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。

确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。

5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。

函数展开成幂级数公式

函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。

它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。

为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。

这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。

泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。

泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。

麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。

f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。

通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。

这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。

需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。

一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。

因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。

总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。

它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。

函数展开成幂级数泰勒公式

解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1

3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.
解:
x2

1 4x

3

(x
1 1)( x

3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)

(1)n
n0

1 2n2

1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)

函数展开成幂级数

即
lim
n
Rn
(
x
)

0
，
x

U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
其中 pn( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )

1 n!
f
(n)( x0 )( x

x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时，余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．

函数展开成幂级数

解:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解:
得级数:
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
对上式两边求导可推出:
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出
于是得级数
由于
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
该邻域内有 :
为f (x) 的泰勒级数 .
则称
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
1) 对此级数, 它的收敛域是什么？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
定理1 .
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
(2014级期末考试题)
3.
将函数展开成 x 的幂级数，并求其收敛域 (10分) .
(2015级期末考试题)
4.
提示：
将函数展开成 x的幂级数，并求其收敛域 (9分) .
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
把 x 换成
, 得
将所给函数展开成幂级数.
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.解: ຫໍສະໝຸດ 从 0 到 x 积分, 得
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,

函数展开成幂级数

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+… 它与f(x)的麦克劳林级数是否一致？下面我将证明，若函数f(x)能展开为x的幂级数，则它的展开式是唯一的，且这个唯一的展开式就是f(x)的麦克劳林级数.
函数展开成幂级数
事实上，若函数f(x)可以展开成x的幂级数
函数展开成幂级数
第三章中我们已给出了几个常用的初等函数的麦克劳林公式，在此不再赘述.
函数展开成幂级数
【例35】
函数展开成幂级数
【例36】
【例37】
函数展开成幂级数
【例38】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
【例39】
函数展开成幂级数
【例40】
函数展开成幂级数
【例41】
函数展开成幂级数
【例42】
函数展开成幂级数
【例43】
谢谢聆听
函数展开成幂级数
我们先看n阶泰勒公式.若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到 n+1阶导数，则在该邻域内函数f(x)的n阶泰勒公式为
函数展开成幂级数
来近似表示，并且其误差等于余项的绝对值Rn(x).显然， Rn(x)随着n的增大而减小，那么，我们就可以用增加
多项式项数的办法来提高精度. 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数
函数展开成幂级数
【例33】
【例34】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
以上两例是直接利用公式，将给定的函数展开为幂级数.这种方法称为直接展开法.用直接展开法把函数展开成幂级数，一方面需要计算高阶导数，另一方面要讨论余项 Rn(x)是否趋于零.一般来说，这两方面做起来是不容易的. 因此，我们常以一些函数的已知展开式为基础，利用幂级数的一些性质，将函数展开为幂级数，从而避免了高阶导数的计算和余项的讨论.这种方法称为间接展开法.由于函数的幂级数展开式具有唯一性，同一函数用直接展开法或用间接法求出的幂级数是一样的.

函数展成幂级数的公式

函数展成幂级数的公式摘要：1.幂级数的概念2.函数展成幂级数的公式3.常见函数的幂级数展开4.幂级数在数学和物理学中的应用正文：1.幂级数的概念幂级数是指一个函数可以表示为多个幂函数（形如x^n，n 为实数）的和，这些幂函数的系数为实数。

幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。

2.函数展成幂级数的公式一个函数可以展成幂级数的充分必要条件是该函数在区间[0, 1] 上连续，在(0, 1] 上可微，且满足一定的条件。

对于这样的函数f(x)，它的幂级数展开可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +...+ anx^n +...，其中a0, a1, a2,..., an,...为实数，n 为非负整数。

3.常见函数的幂级数展开许多常见的数学函数都可以展开为幂级数。

例如：- 指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...+ x^n/n! +...- 对数函数：ln(1+x) = x - x^2/2! + x^3/3! - x^4/4! +...- 三角函数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...，cos(x) = 1 -x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...4.幂级数在数学和物理学中的应用幂级数在数学和物理学中有许多重要应用，如：- 在数值分析中，幂级数可以用来逼近非线性函数，从而求解微分方程、积分等；- 在概率论中，幂级数常用来表示随机变量的概率密度函数；- 在物理学中，幂级数常用来表示势能、动能等物理量，从而求解物理问题。

总之，幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。