电磁波中 和 的初相位并非相同

电磁波中E 和B
的初相位并非相同
肖 军
我们知道电磁波的传播速度与电场0E 和磁场0B
有关系式
000cB k E =⨯
（1）
将上式两边同乘以()cos k r ft
⋅-
可得
(
)
(
)000cos cos cB k r ft k E k r ft
⋅-=⨯⋅-
（2）
若假设同相位的电场E
和磁场B
是分别按
()
(
)
00cos sin
B B k r ft E E k r ft
=⋅-=⋅-
（3） 规律变化，由于
R e[]R e[cos sin cos sin ]2222iE i E k r ft i k r ft ππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅--+⋅-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
0R e[cos cos sin sin 2222E k r ft k r ft ππππ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅---⋅-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
sin cos cos sin ]2222i k r ft i k r ft ππππ⎫⎛⎫⎛⎫+⋅--+⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎭
(
)(
)()0Re[cos sin ]E k r ft i k r ft
=⋅-+⋅-
()0cos E k r ft
=⋅-
（4）
（2）式又可写成形式为
0Re[]cB k iE =⨯
（5）
由此可知，有（3）式解的麦氏方程组应是
2R e[]0,R e[]0
1R e[]0,
B
iE iE t
iE B B c t
∂∇⋅=∇⨯+=∂∂∇⋅=∇⨯-=∂
（6）
综上可知，电磁波中的电场E 和磁场B
是同相位，还是相差/2π，关键是要看它们是满足
2
2
1
E B εμ
=
（7）
还是满足
2
22
2
001
1
E B E B εεμ
μ
+
==
（8）
如果电磁波中的电场E
和磁场B
是满足（7）式，把
()
(
)
00cos cos
b e
B B k r ft E E k r ft ϕϕ=⋅-+=⋅-+
（9） 代入（7）式，可得到
()()00cos cos b e
cB k r ft E k r ft ϕϕ⋅-+=⋅-+
（10）
显然，若（10）式能与麦氏场方程相容，就必有
b e ϕϕ= （11）
也即有
cB E
= （12）
此时的电场E
和磁场B
是同相位。

如果电磁波中的电场E
和磁场B
是满足（8）式，把（9）式代入（8）式，
可得到
()()00cos sin b e
cB k r ft E k r ft ϕϕ⋅-+=⋅-+
(
)
0c o s /2e E k r f t ϕπ
=⋅-
+-
（14）
显然，若（14）式能与麦氏场方程相容，就必有
/2b e ϕϕπ=- （15）
及
()()00cos cos cB k r ft E k r ft
⋅-=⋅-
（16）
把（15）式代入（9）式中，可知
()
(
)
00cos sin
B B k r ft E E k r ft
=⋅-=⋅-
（17） 也即有
cB iE
= （18）
此时电场E
和磁场B
的相位是相差/2π。

而且任意瞬间电磁波的能量密度w 恒等
于电磁波能量密度的平均值w ，即
2222
001111122
2e b w w w E B E B w εεμμ⎛⎫=+=
+=== ⎪⎝⎭ （19）
电磁波的能流密度平均值S 为
2
2
0012S w c c E ε==
=
（20）
或
2
2
2
00
1122
B S w c c c H μμ
==
=
=
（21）
关于电磁波中的电场和磁场非同相位也可以这样证明： 由麦氏场方程知道，电场E 和磁场B
的峰值有如下关系
2
2
0B E εμ
=
， （22）
与电磁场的能量密度有关系式
2
2
00112
2B w E εμ
=
=
（23）
由（22）（23）两式可知
2
2200011112
222w E E E εεε⎛⎫
=
=
+
⎪⎝⎭
22001111222E B εμ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
()()
0022001cos 1cos 11222k r t k r t E B ωωεμ⎛⎫-⋅-+⋅- ⎪=+ ⎪⎝
⎭
()()
2222
000011sin cos 2E k r t B k r t εωωμ⎛⎫=
⋅-+⋅- ⎪⎝⎭
()()
2222000011sin cos 2E k r t B k r t εωωμ⎛⎫=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭
（24）
显然，只有令
()
(
)
00cos sin
B B k r ft E E k r ft
=⋅-=⋅-
（25） 才能够得到
2
2112w E B εμ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
（26）
比较（26）、（23）两式又可得到
2
22
2
001
1
E B E B εεμ
μ
+
==
（27）
另外，由（23）式还知
()()
2
2
2200
00
11sin cos 22
w E E k r t k r t εεωω⎡⎤
=
=
⋅-+⋅-⎣⎦
()()()()
2
0000
1sin cos sin cos 2E k r t i k r t k r t i k r t εωωωω⎡⎤⎡⎤
=⋅-+⋅-⋅--⋅-⎣⎦⎣⎦
*12
E E
ε=
⋅ （28）
其中
()()
()()
000*000sin
cos sin
cos E E k r t i k r t E E k r t i k r t ωωωω⎡⎤
=⋅--⋅-⎣
⎦
⎡⎤
=⋅-+⋅-⎣
⎦
（29）
同理可证
(
)(
)
()(
)
000*000cos sin cos sin B B k r t i k r t B B k r t i k r t ωωωω⎡⎤
=⋅--⋅-⎣
⎦
⎡⎤
=⋅-+⋅-⎣
⎦
（30）
可见，对于电磁波，其电场（或磁场）都要写成复数形式才能进入计算。

由于电场E
和磁场B
的相位相差/2π，所以电磁场的能流密度公式的正确形
式应是
i S E B μ
=⨯
（31）
把（29）、（30）两式代入其中，则可求出电磁场的能流密度
()()()()
000000sin cos cos sin i S E k r t i k r t B k r t i k r t ωωωωμ
⎡⎤⎡⎤=⋅--⋅-⨯⋅--⋅-⎣⎦⎣⎦
(
)()()()
(
)
000000
c o s s i n c o s s n i
i E k r t i k r t B k r t i k r
t
ωωωωμ
⎡⎤⎡⎤=
-⋅-+⋅-⨯⋅--⋅-⎣
⎦⎣
⎦
(
)
()(
)
(
)
000000
1c o s s i n c o s s i n E B k r t i k r t
k r t i k r
t
ωωωωμ
⎡⎤⎡⎤=⨯⋅-+⋅-⋅-
-⋅-⎣⎦⎣
⎦
001E B μ
=⨯
（32）
需要指出，根据麦克斯韦场方程证得的
0011k B k E k E k E
c
ωω=⨯=⨯=⨯
（33）
结果，当电场E 达到最大值时，磁场B
也确实是同时达到最大值。

但是一定要注
意，这里的磁场B
是在电场E
前方激发的磁场，如果要把电场E
换成与磁场B
同
在一点处的电场，（1）式就要改为
00i ik i B k E k E k E
c
ωω=⨯=⨯=⨯
（34）。