分治递归

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递归与分治算法心得

递归与分治算法心得
递归与分治算法都是常用的算法思想，可以很好地解决复杂问题。

递归算法是通过将问题分解为相同或相似的子问题来解决整个问题，然后再逐步合并回原问题的过程。

递归算法通常需要明确边界条件，以确保递归能够正确地停止。

分治算法是将问题分解成若干个相同或相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后合并这些子问题的解来解决原始问题。

通常，分治算法可以高效地解决问题，但需要注意分解问题的方式和合并子问题的解的过程。

在实际应用中，递归和分治算法可以相互结合，以解决更加复杂的问题。

例如，可以使用分治算法来将问题分解成多个子问题，然后使用递归算法来解决这些子问题。

此外，还可以在递归算法中使用分治算法来对子问题进行分解和合并。

总而言之，递归与分治算法都是非常有用的算法思想，可以在许多领域中得到应用。

但是，在实际使用时，需要仔细考虑问题的性质和算法的复杂度，以确保算法的正确性和效率。

- 1 -。

递归和分治法

递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。

它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。

下面，我们来详细了解一下递归和分治法。

1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。

递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。

分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。

分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。

主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。

2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。

（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。

3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。

分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。

4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。

分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。

总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。

递归与分治ppt课件

C三个柱子间移动。}
2023/10/8
计算机算法设计与分析
3
Hanoi塔问题的时间复杂性
n Hanoi塔问题的时间复杂性为O(2n)。 n 证明：对n归纳证明move(n) = 2n – 1。 n 归纳基础：当n = 1, move(1) = 1 = 21 – 1。 n 归纳假设：当n k, move(n) = 2n – 1。 n 归纳步骤：当n= k + 1，移动次数为
2、除法，即n / b，的形式
2023/11/4
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21
递归算法的时间复杂性
n 若~为减法，即n – b，则有：
T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(aT(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) =
k–1
k–1
= akT(1) + ai D(n – ib) = ak + ai D(n – ib)
n q最(n简, m单)情{ 形1：(1) q(n, 1)=1, q(1, mn)==1 n或, mm≥1=;1 n 递q(iin归ff,((mnn关)<=系==1)：1q1)||(|((+|nm2(,)qmm<(qn=–(1,n1=)n,)–+1n1)q))(=rrnee–1ttmuu+rr,nqnm(01n);;, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1; n 产i生f (n的=新= 情1) 况|| (：n < m) return 1 + q(n, n–1); n (3r)eqtu(nr,nmq)(n=,qm(n–,1m) +–1q)(n+–qm(,nm–m);, m} ), n＞m＞1 n (整4)数q(nn的, m划)分= q数(nρ,(n),=nq＜(nm, n。)。

（一）八大算法思想

（⼀）⼋⼤算法思想⼋⼤算法⼋⼤算法：枚举、递推、递归、分治、贪⼼、试探法、动态迭代和模拟算法思想。

⼀、枚举算法思想（暴⼒算法）将问题的所有可能答案⼀⼀列举，根据判断条件判断此答案是否合适，⼀般⽤循环实现。

经典运⽤：百钱买百鸡、填写运算符⼆、递推算法思想 1.顺推法：从已知条件出发，逐步推算出要解决问题的⽅法。

2.逆推法：从已知结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题开始的条件，即顺推法的逆过程。

经典运⽤：斐波那契数列（顺推法）、银⾏存款（逆推法）三、递归算法思想 1.递归过程⼀般通过函数或⼦过程实现； 2.递归算法在函数或⼦过程的内部，直接或间接调⽤⾃⼰的算法 3.递归算法实际上是把问题转化为规模缩⼩了的同类问题的⼦问题，然后再递归调⽤函数或过程来表⽰问题的解注意：必须有⼀个明确的递归结束条件；如果递归次数过多，容易造成栈溢出。

经典运⽤：汉诺塔问题、阶乘问题四、分治算法思想将⼀个规模为N的问题分解为K个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题相互独⽴且与原问题性质相同。

只要求出⼦问题的解，就可得到原问题的解。

⼀般步骤： 1.分解，将要解决的问题划分成若⼲个规模较⼩的同类问题 2.求解，当⼦问题划分得⾜够⼩时，⽤较简单的⽅法解决 3.合并，按原问题的要求，将⼦问题的解逐层合并构成原问题的解经典运⽤：⼤数相乘问题、⽐赛⽇程安排五、贪⼼算法思想从问题的某⼀个初始解出发，逐步逼近给定的⽬标，以便尽快求出更好的解。

局限：不能保证最后的解是最优的；不能求最⼤最⼩解问题；只能求满⾜某些约束条件的可⾏解范围。

基本过程： 1.从问题的某⼀初始解出发 2.while能向给定总⽬标前进⼀步 3.求出可⾏解的⼀个解元素 4.由所有解元素组合成问题的⼀个可⾏解经典运⽤：装箱问题、找零⽅案六、试探算法（回溯法）在试探算法中，放弃当前候选解，并继续寻找下⼀个候选解的过程称为回溯。

扩⼤当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)

算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。

实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。

递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。

2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。

②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。

③当问题的规模足够小时，可以直接求解。

3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。

可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。

int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。

1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。

2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。

③递归地解决各子问题。

④将各子问题的解合并成原问题的解。

3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。

排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。

③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。

实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。

常见的程序设计方法

常见的程序设计方法程序设计是指将问题拆解为一系列可执行的指令或算法，并将其转化为计算机能够识别和执行的代码。

常见的程序设计方法包括顺序、选择、循环、递归、分治和动态规划等。

1.顺序：顺序是最简单和最常见的程序设计方法。

顺序程序设计是按照定义的顺序依次执行一系列的语句或指令，每个语句按照顺序执行，直到程序结束。

顺序程序设计常用于简单的计算和数据处理任务。

2.选择：选择是根据特定条件选择不同的执行路径。

常见的选择结构有if语句和switch语句。

if语句根据条件的真假执行不同的代码块，而switch语句根据不同的表达式值执行相应的代码块。

选择结构常用于根据用户的输入或条件的满足来决定程序的执行逻辑。

3.循环：循环是根据特定条件重复执行段代码。

常见的循环结构有while循环、do-while循环和for循环。

这些循环结构可根据循环条件的真假来确定循环的执行次数，从而实现重复执行特定操作的功能。

循环结构常用于处理大量数据或重复需要进行的任务。

4.递归：递归是指在函数或算法的实现中，调用自身来解决更小规模的同类问题。

递归算法是将一个复杂问题分解为更简单的子问题，并通过反复调用自身来解决子问题，最终达到解决原问题的目的。

递归常用于解决具有相似结构的问题，如数学问题、图形问题等。

5.分治：分治是指将问题划分成独立的子问题，对每个子问题进行求解，最后将子问题的解合并成原问题的解。

分治算法的核心思想是将复杂问题分解成多个规模较小且结构相同的子问题，并通过递归地解决这些子问题，最终得到整个问题的解。

分治算法常用于解决问题、排序问题等。

6.动态规划：动态规划是一种将问题划分为重叠子问题并缓存子问题解的方法。

与分治算法不同的是，动态规划算法会通过缓存已求解的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划常用于解决优化问题，如背包问题、最短路径问题等。

除以上常见的程序设计方法外，还有一些高级的方法如面向对象编程、函数式编程和事件驱动编程等。

算法之2章递归与分治

算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。

(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。

4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证：证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。

分治法的概念

分治法的概念分治法的概念一、引言在计算机科学和数学领域中，分治法是一种重要的算法设计技术。

它将一个大问题划分成若干个小问题，然后递归地解决每个小问题，并将它们的结果组合起来得到原问题的解。

分治法通常用于解决那些具有重叠子问题和具有相对独立性的子问题的问题。

二、分治法的基本思想分治法是一种递归式算法，其基本思想可以概括为三个步骤：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。

2. 解决：递归地求解每个子问题。

如果子问题足够小，则直接求解。

3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。

三、分治法应用举例1. 归并排序归并排序是一种经典的排序算法，它采用了分治策略。

该算法将待排序数组不断切割为两半，直到每个子数组只剩下一个元素为止。

然后，对这些单元素数组进行合并操作，直到最终得到完整有序数组。

2. 快速排序快速排序也是一种经典的排序算法，它同样采用了分治策略。

该算法选择一个基准元素，将数组中小于等于基准元素的元素放到左边，大于基准元素的元素放到右边。

然后递归地对左右子数组进行排序。

3. 棋盘覆盖问题棋盘覆盖问题是一道经典的计算机科学问题，它可以用分治法来解决。

该问题要求在一个大小为2^n x 2^n的棋盘上，用L型骨牌覆盖所有空格，其中每个L型骨牌占据三个格子且不能重叠。

该问题可以通过将棋盘划分为四个大小相等、形状相似的子棋盘，并递归地解决每个子棋盘来得到解决。

四、分治法的优缺点1. 优点：分治法通常具有高效性和可扩展性。

由于它将大问题划分成若干个小问题，并且每个小问题都可以独立地求解，因此可以很容易地将算法并行化以提高效率。

2. 缺点：分治法通常需要额外的空间来存储子问题和合并结果。

此外，在实践中，分治法的递归深度可能非常大，这可能会导致堆栈溢出等问题。

五、总结分治法是一种重要的算法设计技术，它将一个大问题划分成若干个小问题，并递归地解决每个小问题，最终将它们的结果组合起来得到原问题的解。

递归、分治、动态规划、回溯

正整数n的划分数p(n)=q(n,n).
n = 1, m = 1 n<m n=m n > m >1
递归举例
Hanoi塔问题例6 Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起.各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆盘时应遵守以下移动规则: 规则1:每次只能移动1个圆盘; 规则2:任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上; 规则3:在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至 a,b,c中任一塔座上.
边界条件
递归方程
A(1,0) = 2 A(0, m) = 1 m≥0 n≥2 A(n,0) = n + 2 A(n, m) = A( A(n 1, m), m 1) n, m ≥ 1
递归举例
例3 Ackerman函数函数当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数双递归函数. 双递归函数 Ackerman函数A(n,m) A(n, Ackerman A(n m)定义如下:
递归举例
例1 阶乘函数阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
n=0 1 n!= n(n 1)! n > 0
递归方程边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果.
递归举例
Fibonacci数列例2 Fibonacci数列无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,被称为Fibonacci数列.它可以递归地定义为:
A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n .

递推-递归-分治-回溯

递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。

这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。

典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。

在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。

但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。

下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。

例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。

这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。

我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。

很明显，这是一个菲波拉契数列。

到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。

在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。

我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。

定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。

递归，分治算法，动态规划和贪心选择的区别

递归，分治算法，动态规划和贪⼼选择的区别⼀般实际⽣活中我们遇到的算法分为四类：⼀>判定性问题⼆>最优化问题三>构造性问题四>计算性问题⽽今天所要总结的算法就是着重解决最优化问题《算法之道》对三种算法进⾏了归纳总结，如下表所⽰：标准分治动态规划贪⼼算法适⽤类型通⽤问题优化问题优化问题⼦问题结构每个⼦问题不同很多⼦问题重复（不独⽴）只有⼀个⼦问题最优⼦结构不需要必须满⾜必须满⾜⼦问题数全部⼦问题都要解决全部⼦问题都要解决只要解决⼀个⼦问题⼦问题在最优解⾥全部部分部分选择与求解次序先选择后解决⼦问题先解决⼦问题后选择先选择后解决⼦问题分治算法特征：1）规模如果很⼩，则很容易解决。

//⼀般问题都能满⾜2）⼤问题可以分为若⼲规模⼩的相同问题。

//前提3）利⽤⼦问题的解，可以合并成该问题的解。

//关键4）分解出的各个⼦问题相互独⽴，⼦问题不再包含公共⼦问题。

//效率⾼低【⼀】动态规划：依赖：依赖于有待做出的最优选择实质：就是分治思想和解决冗余。

⾃底向上（每⼀步，根据策略得到⼀个更⼩规模的问题。

最后解决最⼩规模的问题。

得到整个问题最优解）特征：动态规划任何⼀个i+1阶段都仅仅依赖 i 阶段做出的选择。

⽽与i之前的选择⽆关。

但是动态规划不仅求出了当前状态最优值，⽽且同时求出了到中间状态的最优值。

缺点：空间需求⼤。

【⼆】贪⼼算法：依赖：依赖于当前已经做出的所有选择。

⾃顶向下（就是每⼀步，根据策略得到⼀个当前最优解。

传递到下⼀步，从⽽保证每⼀步都是选择当前最优的。

最后得到结果）【三】分治算法：实质：递归求解缺点：如果⼦问题不独⽴，需要重复求公共⼦问题---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------贪⼼算法：贪⼼算法采⽤的是逐步构造最优解的⽅法。

递归和分治法

递归和分治法摘要：一、递归与分治法的概念1.递归：函数调用自身的思想2.分治法：把一个大问题分解成若干个小问题二、递归与分治法的联系与区别1.递归通常作为分治法的实现方式2.分治法不一定要用递归实现三、递归与分治法的应用实例1.快速排序算法2.归并排序算法3.汉诺塔问题正文：递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。

递归是一种函数调用自身的思想，即函数在执行过程中，会调用自身来完成某些操作。

而分治法则是把一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后再把它们的解合并，得到大问题的解。

这两种方法在某些情况下可以相互转化，递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。

递归与分治法之间的联系在于，递归通常是分治法的实现方式。

在分治法中，我们会把一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归的方式，逐个解决这些小问题。

最后，再把它们的解合并，得到大问题的解。

在这个过程中，递归函数的调用栈会随着问题规模的减小而减小，最终回到原点，从而完成问题的求解。

然而，分治法并不一定要用递归实现。

在一些情况下，我们可以通过迭代的方式，逐个解决小问题，然后把它们的解合并。

这种方式虽然不是通过递归函数调用自身来实现的，但它仍然符合分治法的思想，即把大问题分解成小问题，逐个解决。

递归和分治法在实际问题中有很多应用。

例如，快速排序算法和归并排序算法都是基于分治法的思想设计的。

在快速排序算法中，我们选择一个基准元素，然后把数组中小于基准的元素放在左边，大于基准的元素放在右边，再对左右两个子数组递归地执行相同的操作，直到数组有序。

而在归并排序算法中，我们同样把数组分成左右两个子数组，然后递归地对它们进行排序，最后再把排序好的子数组合并成一个有序的数组。

另一个例子是汉诺塔问题。

在这个问题中，有三个柱子和一个大小不同的圆盘。

要求把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且大盘不能放在小盘上。

递归与分治算法

递归与分治算法
递归和分治算法是计算机科学中两种常见的算法设计技术。

递归是一种直接或间接调用自身函数或者方法的算法。

在递归算法中，函数在其定义中使用了函数自身的调用。

递归算法通常用于解决需要重复执行相同任务的问题，例如遍历树结构、递归搜索等。

递归算法的优点是代码简洁、易于理解，但需要注意递归深度的限制以及可能引发栈溢出的问题。

分治算法是一种将问题分解为多个子问题，并分别解决子问题的算法。

分治算法通过将大问题分解为小问题，并将小问题的解合并成大问题的解来解决问题。

分治算法通常用于排序、查找、矩阵乘法等问题。

分治算法的优点是可以将复杂问题分解为简单问题，降低问题的复杂度，但需要注意分解的子问题必须是相互独立的。

在实际应用中，递归和分治算法通常结合使用。

例如，快速排序算法就是一种典型的分治算法，它通过选择一个基准元素，将数组分为两个子数组，并对每个子数组递归地进行排序，最终合并两个有序子数组得到排序后的数组。

总之，递归和分治算法是计算机科学中重要的算法设计技术，它们可以有效地解决许多复杂的问题。

在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的算法，并注意算法的时间复杂度和空间复杂度。

启发式规则,分治法,递归,汉诺塔,排序算法

4.3 排序问题中的分治法
4.3.1 4.3.2 归并排序快速排序
4.3.1 归并排序
二路归并排序的分治策略是：（1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn；（2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排序，得到两个有序子序列；
二路归并排序的合并步的时间复杂性为O(n)，所以，二路归并排序算法存在如下递推式：
1 T (n) = 2T ( n 2 ) + n
n =1 n >1
根据1.2.4节的主定理，二路归并排序的时间代价是 O(nlog2n)。二路归并排序在合并过程中需要与原始记录序列同样数量的存储空间，因此其空间复杂性为O(n)。
第4章分治法
4.1 概述
4.2 递归 4.3 排序问题中的分治法 4.4 组合问题中的分治法 4.5 几何问题中的分治法
4.1 概述
4.1.1 分治法的设计思想 4.1.2 分治法的求解过程
4.1.1 分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的
子问题，以便各个击破，分而治之。更一般地说，将要求解
4.2 递归
4.2.1 递归的定义
4.2.2 递归函数的运行轨迹
4.2.3 递归函数的内部执行过程
4.2.1 递归的定义
递归（Recursion）就是子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题的基本方法。递归有两个基本要素： ⑴ 边界条件：确定递归到何时终止； ⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题的。
分治法的典型情况
原问题的规模是n
子问题1 的规模是n/2

递归和分治区别

递归和分治区别分治法的基本思想：将⼀个规模为n的问题分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题相同。

递归地解这些问题，然后将各个⼦问题的解合并成原问题的解。

分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加，因此⼤部分问题满⾜这个特征。

该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质这条特征是应⽤分治法的前提，它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑贪⼼算法或动态规划。

该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。

这条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的，则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然也可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划较好(例如记忆化搜索是分治转化为动归的⼀个经典, 要注意)。

分治法的复杂性分析：⼀个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的⼦问题去解时间复杂度多为O(n)递归的优点：结构清晰，可读性强，⽽且容易⽤数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很⼤⽅便。

缺点：递归算法的运⾏效率较低，⽆论是耗费的计算时间还是占⽤的存储空间都⽐⾮递归算法要多。

解决⽅法：在递归算法中消除递归调⽤，使其转化为⾮递归算法。

采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。

该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

⽤递推来实现递归函数。

通过变换能将⼀些递归转化为尾递归(尾递归是极其重要的，不⽤尾递归，函数的堆栈耗⽤难以估量，需要保存很多中间函数的堆栈。

⽐如f(n, sum) = f(n-1) + value(n) + sum; 会保存n个函数调⽤堆栈，⽽使⽤尾递归f(n, sum) = f(n-1, sum+value(n)); 这样则只保留后⼀个函数堆栈即可，之前的可优化删去。

递归方程时间复杂度计算

递归方程时间复杂度计算递归方程是一种常见的数学形式，用于描述函数自身的定义。

在计算机科学中，递归方程也常用于分析算法的时间复杂度。

通过理解递归方程的含义和解法，我们可以计算出算法的时间复杂度，从而评估算法的效率。

递归方程通常包含两部分：基本情况(base case)和递归情况(recurrence case)。

基本情况是当问题达到最小规模时，可以直接求解的情况。

递归情况是将问题分解为规模更小的子问题，并使用相同的算法求解。

在计算递归算法的时间复杂度时，我们通常采用递归树(recursion tree)的方法。

递归树是通过绘制递归调用的调用树来描述递归算法的执行过程。

每个节点表示一个递归调用，边表示递归调用之间的依赖关系。

要计算递归算法的时间复杂度，我们需要考虑每个递归调用的时间复杂度和递归调用的次数。

基本情况的时间复杂度通常是常数时间复杂度，而递归情况的时间复杂度通常与递归调用的次数和每次调用的规模有关。

下面以几个常见的递归方程为例，介绍如何计算它们的时间复杂度。

1.线性递归方程线性递归方程是指递归只进行一次的情况，形式为T(n)=a*T(n-b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少量，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。

例如，计算斐波那契数列的算法可以表示为T(n)=T(n-1)+T(n-2)+O(1)。

其中a=2，b=1，f(n)=O(1)。

通过绘制递归树，我们可以看到每个递归调用需要O(1)的时间复杂度，而递归调用的次数为斐波那契数列的第n项，即O(2^n)。

因此，该算法的时间复杂度为O(2^n)。

2.分治递归方程分治递归方程是指递归将问题分解为规模更小的子问题，并使用同样的算法求解的情况。

形式为T(n)=a*T(n/b)+f(n)，其中a为递归调用的次数，b为每次递归调用时规模的减少比例，f(n)为除了递归调用之外的其他操作的时间复杂度。

例如，归并排序的递归方程可以表示为 T(n) = 2 * T(n/2) + O(n)。

分治算法的基本步骤

分治算法的基本步骤
分治算法的基本步骤
分治算法是一种高效的算法，它将一个大问题分成若干个小问题，通过解决小问题来解决大问题。

分治算法通常用递归的方式实现，可以有效地降低时间复杂度。

下面将介绍分治算法的基本步骤。

一、将原问题划分为若干个子问题
分治算法的第一步是将原问题划分为若干个子问题。

这些子问题应该是相互独立的，并且与原问题具有相同的结构。

划分子问题的方法可以根据不同的情况进行选择，例如二分、三分、四分等。

二、递归地解决子问题
在将原问题划分为若干个子问题后，接下来需要递归地解决这些子问题。

对于每个子问题，都要采用同样的方法进行处理。

如果一个子问题不能再进一步划分，则称之为基本情况。

三、合并各个子问题的解
当所有子问题都得到了解决后，需要将它们合并起来得到原始问题的解。

这一步通常称为“合并”或“归并”。

在合并时，需要考虑如何
将不同子问题得到的结果组合起来得到最终结果。

四、确定递归的终止条件
分治算法是通过递归实现的，因此需要确定递归的终止条件。

在每一
次递归时，都需要判断是否已经达到了终止条件。

如果已经达到了终
止条件，则不再进行递归，而是直接返回结果。

五、分析算法的复杂度
最后一步是分析算法的复杂度。

分治算法通常具有较好的时间复杂度，但也需要考虑空间复杂度和其他因素。

总结
以上就是分治算法的基本步骤。

在实际应用中，可以根据具体问题进
行调整和优化。

例如，在划分子问题时可以采用贪心策略或动态规划
等方法，以提高算法效率。

五大常用算法简介

五⼤常⽤算法简介1、递归与分治递归算法：直接或者间接不断反复调⽤⾃⾝来达到解决问题的⽅法。

这就要求原始问题可以分解成相同问题的⼦问题。

⽰例：阶乘、斐波纳契数列、汉诺塔问题斐波纳契数列：⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的⽅法定义：F1=1,F2=1,Fn=F（n-1）+F（n-2）（n>2,n∈N*））。

分治算法：待解决复杂的问题能够简化为⼏个若⼲个⼩规模相同的问题，然后逐步划分，达到易于解决的程度。

1、将原问题分解为n个规模较⼩的⼦问题，各⼦问题间独⽴存在，并且与原问题形式相同2、递归的解决各个⼦问题3、将各个⼦问题的解合并得到原问题的解⽰例：棋盘覆盖、找出伪币、求最值棋盘覆盖：在⼀个(2k)*(2k)个⽅格组成的棋盘上，有⼀个特殊⽅格与其他⽅格不同，称为特殊⽅格，称这样的棋盘为⼀个特殊棋盘。

要求对棋盘的其余部分⽤L型⽅块填满2、动态规划动态规划与分治法相似，都是组合⼦问题的解来解决原问题的解，与分治法的不同在于：分治法的⼦问题是相互独⽴存在的，⽽动态规划应⽤于⼦问题重叠的情况。

动态规划⽅法通常⽤来求解最优化问题，这类问题可以有很多可⾏解，每个解都有⼀个值，找到具有最优值的解称为问题的⼀个最优解，⽽不是最优解，可能有多个解都达到最优值。

设计动态规划算法的步骤：1、刻画⼀个最优解的结构特征2、递归地定义最优解的值3、计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法4、利⽤算出的信息构造⼀个最优解⽰例：0-1背包问题，钢条切割问题等。

3、贪⼼算法贪⼼算法是就问题⽽⾔，选择当下最好的选择，⽽不从整体最优考虑，通过局部最优希望导致全局最优。

贪⼼算法的要素1）贪⼼选择性质：可以通过局部最优选择来构造全局最优解。

换⾔之，直接做出在当前问题中看来最优的选择，⽽不必考虑⼦问题的解。

2）最优⼦结构：⼀个问题的最优解包含其⼦问题的最优解。