惠州市2011届高三模拟考试_3

开始惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 圆台侧面积公式：()12S r r l π=+圆台侧 （12,rr 是圆台的上、下底面半径，l 是圆台母线长）标准差公式：s （x 是平均数） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M = ð（ ） A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2．设,a b 为实数，若复数1121a bi i i-=++，则（ ） A.31,22a b ==- B.31,22a b == C.13,22a b ==- D.1,3a b ==-3．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ ）A ．1710 B ． 175 C ．8 D ．2 4．若向量(,6)()a x x R =∈ ，则“||10a =”是“8x =”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5．一组数据123,,,...,n a a a a 的标准差为s ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的标准差为（ ） A ．4s B ．s CD ．2s6．如果执行右面的程序框图，输入6,4n m ==， 那么输出的p 等于（ ）A ．720 B. 360 C. 240 D. 120 7．已知()cos(),(0)3f x x πωω=+>的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x = 的图像， 只须把sin y x ω=的图像（ ）A. 向右平移1112π个单位B. 向右平移512π个单位C. 向左平移1112π个单位 D. 向左平移512π个单位8．已知点()1,M a -和(),1N a 在直线:2310l x y -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ）(第15题图)A. 1a <B. 10a -<<C. 01a <<D. 11a -<< 9．用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个 无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的 小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成 （如图），当容器的容积最大时，该容器的高 为（ ）A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm10．在R 上定义运算:()1,x y x y ⊗=-若R x ∈∃使得()()1x a x a -⊗+>成立,则实数a 的取值范围是( ) A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()32xf x x c =-+（c 为常数），则(1)f -= 。

12.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图 都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形， 则该几何体的侧面积是 。

13.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若3n n b a =， 则数列{}n b 的前9项和等于 。

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆2ρ=相交于,A B 两点，若2AB =，则直线l 15.(几何证明选讲选做题) AB 为O 的直径,AC 切 且cm AC 22=,过C 的割线CMN 交AB CM MN ND ==.则AD 的长等于 cm .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)已知函数()2cos()2cos 1()22xf x x x R π=--+∈ （1）当x 取什么值时，函数()x f 取得最大值，并求其最大值； （2）若(,)42ππα∈，且1()5f α=，求sin α的值。

17.(本小题满分12分)惠州市某校高三年级有男生720人，女生480人，教师80人，用分层抽样的方法从中抽取16人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（第9题图）（第12题图）(第18题图）D O CBAP（1）请完成此统计表；（2）试估计高三年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名女生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．18.（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆等边三角形，2AB =，O D 、分别是AB PB 、的中点．（1）求证：//OD 平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积．19.（本小题满分14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2 （1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 与椭圆相交于P Q 、两点，O 为原点，且OP OQ ⊥，试探究点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

20.(本小题满分14分)已知函数()x f x e =，直线l 的方程为y kx b =+. (1)求过函数图像上的任一点(,())P t f t 的切线方程；(2)若直线l 是曲线()y f x =的切线，求证：()f x kx b +…对任意x R ∈成立； (3)若()f x kx b +…对任意[0,)x ∈+∞成立，求实数k 、b 应满足的条件.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，； （3）证明：2121n n a a a n +++>+ ．惠州市2011届高三第一次模拟考试数学试题(文科）答案与评分标准一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M = ð{}1,3,5{}2,3,5 ={}3,5，故选C 2．【解析】1231122i a bi i i +-==++，因此31,22a b ==-.故选A .3．【解析】6148,343m m =≠⇒=- 直线6140x my ++=可化为3470x y ++=，两平行线之间的距离是2d ==。

故选D4．【解析】由||10a = 可得8x =±。

反之，由8x =得(8,6)a = ，所以||10a =；故选B5.【解析】由标准差公式s =. 故选D6．【解析】13456360.p =⨯⨯⨯⨯= 故选B7．【解析】依题意，()y f x =的最小正周期为π，故2ω=，因为5cos(2)sin(2)sin(2)3326y x x x ππππ=+=++=+，所以把sin 2y x =的图像向左平移512π个单位即可得到cos(2)3y x π=+的图像。

∴故选D另解：把sin 2y x =的图像向左平移4π个单位，可得到cos 2y x =的图像，再把cos 2y x =的图像向左平移6π个单位，即可得到cos(2)3y x π=+的图像，共向左平移512π个单位。

8．【解析】 ,M N 两点位于直线l 的两侧，()()2312310a a ∴++-+<⇒ 11a -<< 故选D.9．【解析】设容器的高为xcm ，容器的容积为3()V x cm ，则32()(902)(482)42764320(024)V x x x x x x x x =--=-+<<， ∵2()125524320V x x x '=-+，22()1255243200463600V x x x x x '=-+=⇒-+=由，解得110x =，236x =（舍去）．∵当010x <<时，()0V x '>，当1024x <<时，()0V x '<，∴当10x =时，()V x 在区间()0,24内有唯一极值，且取极大值．∴容器高10x cm =时，容器容积()V x 最大。

故选C10．【解析】 x∃使得()()1x a x a -⊗+>⇒()()11x a x a --->,即x ∃使得2210x x a a--++<成立,()2214104430a a a a ∴∆=--++>⇒-->，解得：3122a a ><-或,故选A 二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11. 0； 12. 12π； 13. 405； 14. cos ρθ=； 15.11．【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数,所以有0(0)=3-20+c=0f ⨯,解得c=-1,所以( 第9题图 )(第15题图)当0x ≥时, ()321x f x x =--,即f(-1)= - f(1) =()211--⨯-13=0.12．【解析】由三视图可知，该几何体的直观图是圆台，其圆台的侧面积是：()12S r r l π=+圆台侧()12412ππ=+⋅=。

13．【解析】由21151634153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 33(1)3,n a n n ∴=+-=39,n n b a n == 数列{}n b 的前9项和为99819405.S +=⨯= 14．【解析】设直线l 与极轴垂直且相交于点C ，极点为O ，则OC l =的极坐标方程为cos ρθ=15.【解析】设x ND MN CM ===,由CN CM CA ⋅=2得2=x .由勾股定理222CD AD AC =+解得:AD =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分） 解：（1）()sin cos f x x x =-)4x π=- ……………………2分当2()42x k k Z πππ-=+∈，即32()4x k k Z ππ=+∈时，……………4分 ()f x6分（2）法一：1())45f παα=-= sin()410πα∴-=………7分∵(,)42ππα∈∴(0,)44ππα-∈cos()4πα∴-==……………………………9分 sin sin[()]44ππαα∴=-+sin()cos cos()sin 4444ππππαα=-+-41021025=⨯+= …………………………………12分 法二：())sin cos 4f παααα=-=- …………………… 7分由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩…………………………………………………9分得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………11分∵(,)42ππα∈ ∴4sin 5α=……………………………………………12分 （第12题图）PABCO D(第18题图）17．（本题满分12分） 解：（1）抽：7201591200⨯=人，女生抽：男生4801561200⨯=人，教师抽：16961--=人。