2018届高考数学(文)大一轮复习讲义课件：第四章+平面向量、数系的扩充与复数的引入+4-3-1

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2018届高考数学第1轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积课件理

因为|a－b|＝2 5，
所以 a2－2a·b＋b2＝20，
所以 5－2×5＋b2＝20，
所以 b2＝25，所以|b|＝5。故选 C。
(2) 解法一：由于 a·(a ＋ 2b) ＝ a2 ＋ 2a·b ＝ |a|2 ＋ 2|a||b|cos60°＝ 4 ＋
2×2×12＝6，|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3，所
以 cos〈a，a＋2b〉＝|aa·|·a|a＋＋22bb|＝2×62
＝ 3
23，所以〈a，a＋2b〉＝30°。
故选 D。
解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝2 3， ∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×2 3cosθ＝4 3cosθ。又 a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴4 3cosθ＝6，cosθ＝ 23，θ∈[0°，180°]， ∴θ＝30°。故选 D。【答案】 (1)C (2)D
b____反__向__共_；线若θ＝90°，则a与b____垂__直。
• (2)平面向量的数量积
• ①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _______|_a_||b_|c_o_sθ_叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝___|a_||b_|c_o_sθ______，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。
微知识小题练
教材回扣基础自测
• 自|主|排|查
• 1．平面向量的数量积
• (1)向量的夹角 • ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠__A_O_B__就是向量
a与b的夹角。

2018高考数学文理一轮复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲精品

高考命题探究
复数的概念与其几何意义
★★★★★ 5年5考
复数的四则运算
★★★★★ 5年5考
1.内容探究：复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题．能进行复数代数形式的四则 2．形式探究：本讲内运算，了解两个具体复数相容在高考中多以选择题、填空题形式出现. 加、相减的几何意义.
[解析] 因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2，选 B．
1＋2i 5．(2016· 北京，5 分)复数＝导学号 30071325 ( A ) 2－i A．i C．－i B．1＋i D．1－i
a＝0且b≠0 数，若______________ ，则a＋bi为纯虚数．
a＝c且b＝d (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________ (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔______________ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R)．
x轴叫做 (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．_______
2．(教材改编题)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是导学号 30071322 ( B )
A．A C．C
B．B D．D
[解析] 复数z及其共轭复数在复平面上表示的点关于x轴对称．故选B．
3．(2016· 全国卷Ⅱ，5 分)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是导学号 30071323 ( A ) A．(－3,1) C．(1，＋∞) B．(－1,3) D．(－∞，－3)

2018届高三数学理一轮总复习课件：第四章平面向量、

)
解析：选 A.因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为 i，故选 A.
考点一命题点
复数的有关概念
确定复数的实部与虚部
1．复数的代数形式 (1)复数的概念形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，并且把 z＝a＋bi(a，b∈R) 的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 为纯虚数．
考点二命题点
复数的代数运算
复数代数形式的四则运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i ； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ； z1 a＋bi （a＋bi）（c－di） (4)除法：＝＝＝ z2 c＋di （c＋di）（c－di）
10i（3－i） 10i 解析：选 D.由 z＝＝＝1＋3i，得－ z ＝1 3＋i （3＋i）（3－i）－3i.
2．(2017· 山东高密检测)若复数 z 的实部为 1，且|z|＝2，则复数 z 的虚部是( A．－ 3 C．± 3i ) B．± 3 D． 3i
解析：选 B.由题意可设 z＝1＋bi(b∈R)，因为|z|＝2，所以 12＋b2＝4，解得 b＝± 3，故选 B.
2．复数的几何意义
一一对应 (1)复数z＝a＋bi←———— 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲

知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示 1．设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cosθ＝________________． 2 2 x ＋ y 1 1 ． (2)模：|a|＝ a· a＝__________ → (3) 设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，则 A ， B 两点间的距离 |AB| ＝ | AB | ＝ x1－x22＋y1－y22．
4．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120° ，则 b 在 a 方向上的投影为导学号 30071274 ( A．2 C．－2
D
) 3 B．2 3 D．－2
3 [解析] b 在 a 方向上的投影为|b|cos120° ＝－2.故选 D．
7 5．已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝__________.
2 2 2 (6)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y2 1· x2＋y2．
• • • • • •
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展] 两向量a与b的夹角为锐角⇒cos(a，b)>0且a 与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角 ⇒cos(a，b)<0，且a与b不共线．
知识梳理
知识点一向量的夹角 → → ∠AOB 叫做向量 a 两个非零向量 a 与 b，过 O 点作OA＝a，OB＝b，则__________
[0，π] 与 b 的夹角；范围是__________ ．

全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课件

a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔_______________
2 2 → a ＋ b (4)复数的模：向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，即|z|＝|a＋bi|＝_______.
2．复数的几何意义复数 z＝a＋bi → OZ＝(a，b) ．向量____________ 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实
b≠0 ， b＝0 ， a＝0且b≠0 ，部和虚部．若_____ 则 a＋bi 为实数，若_____ 则 a＋bi 为虚数，若____________
则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________ a＝c，b＝d (a，b，c，d∈R)．
a (2)(2016· 天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则b的值为________．
(1)C i＋1 (2)2 [(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝ i ＝1－i，∴z＝2－i，故选 C.
(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又 a，b∈R，∴1＋b＝a 且 1－b＝0， a 得 a＝2，b＝1，∴b＝2.]
1－i 1 1 1 (2)z＝＋i＝ 2 ＋i＝2＋2i，|z|＝ 1＋i
1 1 2 ＋ 2＝ 2 2
2 2 .]
复数代数形式的四则运算
(1)(2015· 全国卷Ⅰ)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝( A．－2－i C．2－i B．－2＋i D．2＋i )

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文

第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1) 向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用． 2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用． 3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思

2018高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入课件文

∴λ＋μ＝1．
答案：1
[谨记通法] 对复数几何意义的理解及应用 ―→ (1)复数z、复平面上的点Z及向量 OZ 相互联系，即z＝a＋ ―→ bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ OZ ． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
t＝－2，解得 1 ∴z＝2a＋ 2i＝1＋ 2i，|z| a＝， 2
＝ 3，故选C．答案：C
3．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为 z ，则|(1－z)· z |＝ A． 10 C． 2 B． 2 D．1 ( )
解析：依题意得(1－z)· z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋ i，则|(1－z)· z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝ 10．答案：A
―→ ―→ 解析：由条件得 OC ＝(3，－4)， OA ＝(－1,2)， ―→ ―→ ―→ ―→ OB ＝(1，－1)，根据 OC ＝λ OA ＋μ OB 得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
－λ＋μ＝3， ∴ 2λ－μ＝－4， λ＝－1，解得 μ＝2.
考点一
复数的有关概念
2＋i 1．(2017· 皖南八校联考)i 是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)， 1＋i 则 lg(a＋b)的值是 A．－2 B．－1 C．0 2＋i1－i 3－i 3 1 解析：∵ ＝＝－ i＝a＋bi， 2 2 2 1＋i1－i
3 a＝2， ∴ b＝－1， 2 ∴lg(a＋b)＝lg 1＝0．
平面向量 OZ
3．复数的运算
(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 精品

所以BD AD=(A-B1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
考向一平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基
底的是 ( )
A.e1与e1+e2 C.e1+e2与e1-e2
B.e1-2e2与e1+2e2 D.e1-2e2与-e1+2e2
【解析】选D.由题意得
P1P
1 3
或P1P2
P1P=2 (3,-3).
设P(x,y),则 P1=P(x-1,y-3),
当P1P 13时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-13),
3
所以x=2,y=2时,即P(2,2).
当P1P 23时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-23),
3
所以x=3,y=1,即P(3,1).
4 xy
AP AB BP AB② y BN,
xy
①×y+②×x得 AP x AB y AC，
x y 4(x y)
令 y 得 y2 =， x,代8入得m=
4(x y) 11
3
3. 11
答案: 3
11
【加固训练】 1.(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ, 使a=λb+μc;
3
3
故
2
t, 3
2 2
解得
t，

2018高考数学(文)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形法平行四边三角向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．1．下列四个命题中，正确的命题是() A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．(教材习题改编)化简：(1)( AB ―→＋MB ―→)＋BO ―→＋OM ―→＝________． (2) NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝________．答案：(1)AB ―→(2)03．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________．答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________．解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2．答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ．若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ． ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0．假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．2．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→．③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②．答案：①②向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算基础送分型考点——自主练透1．(2017·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→．2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A ．12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→C ．34AB ―→＋14AD ―→ D ．12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→．又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→．3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．答案：121．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→． ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb ．∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ． ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1．共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB―→＝a ，AC ―→＝b ．(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2． 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)，即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a ．3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→．又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2017·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13．答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b ．答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b, 则BE ―→等于( )A ．12b －a B ．12a －b C ．－12a ＋bD ．12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋λ－b ．整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k )b ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12．又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12．3．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4． 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ．答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________．解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2．答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0．其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④．答案：39．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→．解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b ．AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b ． 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2． (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→．又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)，即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→． ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12．即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1．证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→．故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0． ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21． (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12．3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________．答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b ．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b ．因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2．由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________．答案：02．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3．答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透若AB ―→＝a ，1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A ．12a ＋12b B ．12a ＋13b C ．14a ＋12b D ．12a ＋14b 解析：选D ∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE ―→＝12AC ―→．∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b ．2．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→．解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b ．∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b ．综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b ．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．考点二平面向量的坐标运算基础送分型考点——自主练透1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A ．2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12．(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32．向量共线的充要条件(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．－23 B ．43 C ．12 D ．13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线， ∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23．2．(2017·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选 B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→， ∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( ) A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13． 4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又∵θ为锐角，∴θ＝π4．答案：π45．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________．解析：AQ ―→―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)， ∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)． PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1．c＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．3．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D ∵a －12b ＝(3,1)，∴a －(3,1)＝12b ，则b ＝(－4,2)．∴2a ＋b ＝(－2,6)．又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，x ＝－1．故选D ．4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5．又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23．故选B ．5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13b D ．13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b ．∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |．∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C ．6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________．解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1．答案：－17．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1．答案：k ≠18．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4．答案：49．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613． 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→．解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y＝________．解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上，∴PG ―→＝λPQ ―→． ∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→．② 而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3．答案：32．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0．因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8．当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角(1)a·b ＝b·a ．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ． 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ．|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 221．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：D2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b ＝_____．答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5．答案：－51．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b ． 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0．其中正确的说法有________个．答案：02．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a·b ＝1×3＋3×1＝23．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32．∵θ∈，∴θ＝π6．答案：π6考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透1．(易错题)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3．2．已知AB ―→＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝1552＝322．3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝－2＋－2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10．答案：10则AB ―→·AD―→4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，＝________．解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→) ＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．答案：6向量数量积的2种运算方法考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12．若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．解析：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°．又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°．答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2017·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2a ，b ＝0，∴a ，b ＝22，∴a ，b ＝π4．3．(2017·江西八校联考)在△ABC 中，AB ―→＝(2，3)，AC ―→＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．解析：由题意得，(|AB ―→|· |AC ―→|)2＝(|AB ―→|·|AC ―→|·cos〈AB ―→，AC ―→〉)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2，即(|AB ―→|·|AC ―→|)2＝(AB ―→·AC ―→)2＋(|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉)2， ∴|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝1－32．答案：1－32角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ．平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ． ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2．③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |．1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|b |＝2，故选B ．2．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8．∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a |＝3．∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b |＝22， ∴cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223．答案：2233．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2．若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→，所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712．答案：712考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R ． (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1．又π3<2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3．∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7．① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②，可得b ＝3，c ＝2．平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．(2017·临沂模拟)已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R ． (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0，即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z ．(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2，即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B ．10 C ． 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D ．2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D 因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b a ，b ＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4．3．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B (a ＋2b )·(a －3b )＝－18， ∴a 2－6b 2－a ·b ＝－18，∵|a |＝3，|b |＝2，∴9－24－a ·b ＝－18， ∴a ·b ＝3，∴a ，b ＝a ·b |a ||b |＝36＝12，∴a ，b ＝60°．4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2．答案：－25．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83．答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2．2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝( )C ．12D ．32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，故选A ．3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3C ． 3D ．332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12，|a |＝e 1＋2e 22＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－923＝－332，故选A ． 5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP―→＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→)＝(BA ―→＋BC ―→)· ＝(BA ―→＋BC ―→)·＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1． ∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12．故选A ．6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________．解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝82．答案：8 27．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45．答案：458．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB―→－OA ―→)＝________．解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，。

2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积(1)课件文

因为 0°≤θ≤180°，所以 θ＝60°. 答案：B
第1课时平面向量的数量积
热点命题·突破 02
课堂升华强技提能
热点一平面向量的数量积运算
【例 1】 (1)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角
形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，
使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
(2)(2017·蚌埠模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB
边上的动点，D→E·D→C的最大值为________．
【解析】 (1)如图，设A→C＝m，A→B＝n，根据已知得，D→F＝34m，所以A→F＝A→D＋D→F＝34m＋12n，B→C＝m－n，A→F·B→C＝(34m＋12n)·(m－ n)＝34m2－12n2－14m·n＝34－12－18＝18.
(2)如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，设 E(t,0)，0≤t≤1，则 D(0,1)，C(1,1)，D→E＝(t，－1)， D→C＝(1,0)．所以D→E·D→C＝t≤1.
【答案】 (1)B (2)1
1．在本例题(2)中，试求D→E·C→E的取值范围．解：由本例题(2)的规范解答知，D→E＝(t，－1)， C→E＝(t－1，－1)，t∈[0,1]，所以D→E·C→E＝t(t－1)＋1＝t2－t＋1＝t－122＋34，因为 t∈[0,1]，所以34≤D→E·C→E≤1，即D→E·C→E的取值范围为34，1.
＝B→D·B→A＝ 3a·acos30°＝ 3a·a·23＝32a2. 答案：D
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上的投影为________．

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 精品

若a+kb与a-kb互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k21= ,所以k=±5 .
5
5
感悟考题试一试
3.(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,
∠ABC=60°,则 BD CD = ( )
A. 3 a2 2
B. 3 a2 4
C. 3 a2 4
【规范解答】(1)选C.在平行四边形ABCD内,易得,
AM AB 3 AD, NM 1 AB 1 AD,
4
34
所以 AM NM (AB 3 AD) (1 AB 1 AD)
4
34
1 (AB 3 AD) (AB 3 AD)
3
4
4
1[(AB)2 9 (AD)2 ] 1 36 3 16 12 3 9.
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 _|_a_|_|_b_|_c_o_s_θ__叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
_|_a_|_c_o_s_θ__叫做向量a在b方向上的投影, _|_b_|_c_o_s_θ__叫做向量b在a方向上的投影
几何数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上意义的投影_|_b_|_c_o_s_θ__的乘积
所以 DE C=Et(t-1)+1=t2-t+1= (t 1)2 3，
24
因为t∈[0,1],所以 3 DE CE 1,
4
即 DE C的E取值范围为
[ 3 ,1]. 4
2.本例题(2)中,当E是AB的中点时,试求 DE 在 DC上的投影.
【解析】方法一:如图,
过点E作EF⊥DC,

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4.2

0，即 x2＋(y－ 5)2＝5.
第十五页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 3－ 22t2＋ 22t2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1、t2 是上述方程的两实数根，所以 t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3， 5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
第一页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第二页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①__任__意__一__点____
的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：xy＝＝fgtt，. 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x ， y) 都在 ② __这__条__曲__线__上____，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称③_参__数___.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做④_普__通__方__程___.
第十二页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参数)过椭圆 C：xy＝＝32csionsφφ， (φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，椭圆 C 的普通方程为x92＋y42＝1， ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0，∴a＝3. 答案：3
第十三页，编辑于星期六：二十二点二十四分。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 精品

(3)几个特殊向量
名称
特点
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
平行向量
长度(模)
0 _1_ 相等 _相__等__
方向
_任__意__
任意 _相__同__ _相__反__ _相__同__或__相__反__
2.向量的加法、减法与数乘定义法则(或几何意义)
运算律
求两个向加法量和的运
算
(1)交换律: _三__角__形__法则 a+b=_b_+_a_
2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较,观察可知所求.
【变式训练】(2016·济南模拟)已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足 PA BP CP 0，AP PD, 则实数 λ的值为 .
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算
【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有_大__小__,又有_方__向__的量叫向量,常用a或 AB表示. (2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的 _长__度__叫做向量的模,记作|a|或| AB |.
感悟考题试一试
3.(2016·潍坊模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,
BC BA 2BP，则 ( )
A.PA PB 0 C.PB PC 0
B.PC PA 0 D.PA PB PC 0
【解析】选B.如图,根据向量加法的几何意义, BC BA 2BP ⇔P是AC的中点,故
【解析】因为 PA BP 所CP以 0，所以 PA 2所PD以， AP 2PD，因为 AP 所PD以，λ=-2. 答案:-2

2018届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3.2 平面向量的应用课件理

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例
第二课时平面向量的应用
微考点大课堂微考场新提升
微考点大课堂
考点例析对点微练
考一点【典例平1】面已向知量向量在a，函b 满数足|a、|＝2不，|b等|＝1式，且中对一的切实应数用x，|a
＋xb|≥|a＋b|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为________。
(2)因为 A，B，C 三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以 2a＋b ＝2。因为 a>0，b>0，所以1a＋2b＝2a＋ 2 b ·1a＋2b＝2＋2ba＋2ba≥2＋2
2ba·2ba＝4(当且仅当2ba＝2ba，即 a＝12，b＝1 时取等号)。故选 B。【答案】 (1)C (2)B
A．周期为 4 的奇函数 B．周期为 4 的偶函数 C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数
【解析】由题图可得A2πω， 43ωπ22－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，

3
，B
23ωπ ，－

3
，由
O→A
·O→B
＝0得

∴f(x)＝ 3sinπ2x，
∴f(x＋1)＝ 3sinπ2(x＋1)＝ 3cos2πx，它是周期为4的偶函数。故选 B。
根据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)
所对应向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心。故选 C。
【答案】 C
【母题变式】在本典例中，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|， λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________。

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