平面向量复习公开课PPT

四.一个基本定理
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的 向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1 , 2 , 使a 1e1 2 e2 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
uuur BC
且方向相同，
A
B
uuur
uuur
所以 AD 与 BC 夹角是 0
uuur uuur uuur uuur
所以 AD BC | AD || BC | cos 0o 3 31 9
uuur uuur （2）因为 AB 与 AD
uuur 的夹角是60o ，所以 AB
与
uuur DA
的夹角为120o
所以
uuur AB

uuur DA
|
uuur AB
||
uuur DA
|
cos 120o

4

3

(
1
)

6
2
思考：若E、F分别是BC，DC的中点，
试求AE AF的值。 20
五.应用举例 向量共线定理
第二章 平面向量复习课
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
二.基本运算（向量途径）
C
1.向量加法的三角形法则
r r uuur uuur uuur
a +b b
a b AB BC AC A首a尾相连B 首尾连
2.向量加法的平行四边形法则 D
C
r r uuur uuur uuur ，a b AB AD AC
|a|
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a) a,a (a) 0
a b | a | | b | cos
b
B
[0, ]
θ O
向量夹角：首要的是通过向
a B1
A
量平移,使两个向量共起点。
向量r 数量积的几何意义 r r
| b |rcors 叫做向量b在a方向上的投影
ar b
可正可负可为零
|a|
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
b a +b
Aa
B
3.向量减法的三角形法则
共起点
r r uuur uuur uuur a b AB AD DB
首同尾连向被减
二.基本运算（向量途径） 4.实数与向量的积 a 是一个向量
a是一个与a
共线的向量
二.基本运算（r向量r途径）
5.两个非零向量
rr r
a与r b
的数量积
（2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA） = 0－BA = AB
五.应用举例 平面向量基本定理
例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
uuur r uuur r r r uuuur 设OA a,OB b,试用a,b表示MN
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= ab
|a||b|
⑤|a·b|≤|a|·|b|
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b

(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 )
x12

y
2 1

x
2 2

y
2 2
三.两个等价条件
若a (x1, y1 ),b (x2 , y2 ),则
r
r
1ar.向// br量a和有非唯零一向的量实b数，使ar


r b
xr 1

y
r
2

x2

y1

0
2ar .非 br零向量ara和 brb 0
x1 x2 y1 y2 0
五.应用举例 向量加减法则
例2 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
分析：先求OM、ON.
五.应用举例 平面向量的数量积
uuur
uuur
例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知 | AB | 4，| AD | 3 ，
DABuuur60uouu，r 求： uuur uuur （1）AD BC； （2）AB DA；
D
F
C
E
解：
（1）因为
uuur AD
∥
五.应用举例
向量的有关概念
例 1 给出下列命题：
①若 a·b = 0 ，则 a、b 中至少有一个为 0 .
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的序号是___②__③___．
rr
2)a b r
(x1 x2 , y1 y2 )
3)a
rr
(x1,y1 y2
r rr 5) | a | a a
rr
x12 y12
6) cos uaurbr x1 x2 y1 y2
|a||b|
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0 (7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0