2017年福建省普遍高中毕业班单科质量检查(理科数学)
福建省2017届高中毕业班单科质量检查数学理试题含答案
2017年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|230,|33M x x x N x x =--≥=-<<，则（ ）A ． M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N R =D ．M N =∅2. 已知z 是z 的共轭复数，且34z z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．76B ．76- C ． 4 D ．-4 3. 函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．-4B ．2 C.83D ．4 5. 已知(),0,αβπ∈，则“1sin sin 3αβ+<”是“()1sin 3αβ+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）A ．223144y x -=B ．22513y x -= C. 223122x y -= D ．223122y x -= 7. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）A ．54B ．72 C. 78 D ．968.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A ．72πB ．4π C. 92π D ．5π 9. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数.三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？后来，南宋数学家里秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别20，17，则输出的c =（ ）A ． 1B ． 6 C. 7 D ．1110. 已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为p ，点A 与F 在l 的两侧，AF l ⊥且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C 且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点,D E ，则BEF ∆与BDF ∆的外接圆半径之比为（ ）A ．12BD ．2 11. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+≠><< ⎪⎝⎭，若()203f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ω的最小值是（ ）A ． 2B ． 32 C. 1 D ．1212. 已知数列{}{},n n a b 满足11111,2,n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n使得n n a B ．只有有限个正整数n使得n n aC.数列{}n n a 是递增数列 D．数列n n a b ⎧⎪⎨⎪⎩是递减数列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.设向量()()1,3,,3a b m ==，且,a b 的夹角为3π，则实数m = ． 14.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 ．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x -++=，且当1x >时，()2x xf x e -=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是 ．16.在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA SB ==二面角S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-.{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25,b b 的等比中项.（1）求,n n a b ；（2）若()112222n n a b a b a b n t +++≥-+，求实数t 的取值范围.18.如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ，,90mi ,30PC n mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=，090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，01111160,4B A A C A A AA AC ∠=∠===，2AB =，,P Q 分别为棱1,AA AC 的中点.（1）在平面ABC 内过点A 作//AM 平面1PQB 交BC 于点M ，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值.20. 已知()()()2222212:11,:10C x y C x y r r ++=-+=>，1C 内切2C 于点,A P是两圆公切线l 上异于A 的一点，直线PQ 切1C 于点Q ，PR 切2C 于点R ，且,Q R 均不与A 重合，直线12,C Q C R 相交于点M .（1）求M 的轨迹C 的方程；（2）若直线1MC 与x 轴不垂直，它与C 的另一个交点为N ，M '是点M 关于x 轴的对称点，求证：直线NM '过定点.21.已知函数()()ln ,f x x x a a R =+∈.（1）若()f x 不存在极值点，求a 的取值范围；（2）若0a ≤，证明：()sin 1xf x e x <+-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-+-.（1）当1a =时，解不等式()2f x ≥；（2）求证：()12f x a ≥-.试卷答案一、选择题1-5: CCABA 6-10: DCDCB 11、12：BD二、填空题13. -1 14.6 15. y x =- 16. 21π三、解答题17.解：（1）因为1n =，①所以当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，②① -②，得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以12n n a -=，由数列{}n b 的前三项和为3，得233b =，所以21b =，设数列{}n b 的公差为d ，则351,13b d b d =+=+，又因为2325b b b =，所以()2113d d +=+， 解得1d =或0d =（舍去），所以1n b n =-；（2）由（1），可知，12,1n n n a b n -==-，从而()112n n n a b n -=-⨯，令1122n n n T a b a b a b =+++， 即()()122112222212n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，③② ×2，得()()231212222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，④ ③ -④，得()231222212n n n T n --=++++--⨯()()221222212nn n n n -=--⨯=--⨯--， 即()222nn T n =-+， 故题设不等式可化为()()222nn n t -≥-，（*）① 当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥；② 当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t R ∈；③ 当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n 是递增数列，所以8t ≤， 综上，t 的取值范围是[]2,8.18.解：（1）在PBC ∆中，090,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PC PCB PBC=∠∠，即090sin120sin PBC =∠， 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中，00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=，所以030BPC ∠=，从而BC PC ==即,B C 两个岛屿间的距离为n mile ；（2）因为0090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中，90,30PB AB ==，由余弦定理得，PA === 根据“两点之间线段最短”可知， 最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3030S PA AB BC CP =+++=+=+. 所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行，其航程为(30n mile +.19.解：（1）如图，在平面11ABB A 内，过点A 作1//AN B P 交1BB 于点N ，连结BQ ，在1BB Q ∆中，作1//NH B Q 交BQ 于点H ，连结AH 并延长交BC 于点M ，则AM 为所求作直线.（2）连结11,PC AC ，∵0111114,60AA AC A C C A A ===∠=，∴11AC A ∆为正三角形.∵P 为1AA 的中点，∴11PC AA ⊥，又∵侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，且面11ACC A 面111ABB A AA =， 1PC ⊂平面11ACC A ，∴1PC ⊥平面11ABB A ，在平面11ABB A 内过点P 作1PR AA ⊥交1BB 于点R ，分别以11,,PR PA PC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz -，则()()()(10,0,0,0,2,0,0,2,0,0,P A A C --，(1C .∵Q 为AC 的中点，∴点Q 的坐标为(0,-，∴()(110,2,23,0,AC PQ =-=-.∵011112,60A B AB B A A ==∠=，∴)1B ，∴()13,1,0PB =， 设平面1PQB 的法向量为(),,m x y z =，由100PQ m PB m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得300y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，得3y z ==-，所以平面1PQB的一个法向量为()1,3m =-. 设直线11A C 与平面1PQB 所成角为a ，则11111139sin cos ,13AC m AC m AC m α===， 即直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值为. 20.解：（1）因为1C 内切于2C 于A ，所以12r -=，解得3r =， 所以2C 的方程为：()2219x y -+=， 因为直线,PQ PR 分别切12,C C 于,Q R ， 所以12,C Q PQ C R PR ⊥⊥，连结PM ， 在Rt PQM ∆与Rt PRM ∆中， ,PQ PA PR PM PM ===，所以QM RM =，所以12112121242MC MC MQ C Q MR C Q C M C Q C R C C +=+=++=+=>=， 所以点M 的轨迹C 是以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），所以M 的轨迹C 的方程为()221043x y y +=≠. （2）依题意，设直线MN 的方程为()10x ty t =-≠，()()1122,,,M x y N x y ， 则()11M x y '-且1212,0x x y y ≠+≠， 联立方程组221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去x ，并整理得()2234690t y ty +--=， ()()()222649341441440t t t ∆=--⨯-+=+>， 12122269,3434t y y y y t t +==-++， 直线M N '的方程()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()()()2121122112121212121212121811234114634ty x x y ty y ty y x x y ty y t x x t y y y y y y y y t ---+-++=+===-=-=-+++++，故直线M N '过定点()4,0-.21.解：（1）()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()ln x f x x a x a '=+++， 设()()ln x g x x a x a =+++，则()()()2212a x a g x x a x a x a +'=+=+++. ①当2a a -≤-，即0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 在(),a -+∞上单调递增；又()()11ln 101g a a=++>+，()2210g e a e a --=--<，即()()210g g e a --<， 所以()g x 在(),a -+∞上恰有一个零点0x ，且当()0,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>；所以()f x 在()0,a x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点，不合题意.（2）当2a a ->-，即0a <时，令()0g x '=，得2x a =-，当(),2x a a ∈--时，()0g x '<；当()2,x a ∈-+∞时，()0g x '>；即()g x 在(),2a a --上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增.①当()()ln 20g a a -=-+≥即2a e -≤-时，()()()20f x g x g a '=≥-≥恒成立， 即()f x 在(),a -+∞上单调递增，无极值点，符合题意.②当()()2ln 20g a a -=-+<，即20e a --<<时，()110g a a -=->， 所以()()210g a g a --<，所以()g x 在()2,a -+∞上恰有一个零点1x ， 且当()12,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()1,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>； 即()f x 在()12,a x -上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极小值点，不合题意.综上，a 的取值范围是(2,e -⎤-∞-⎦；（2）因为0a ≤，x a >-，所以()()0,ln ln x f x x x a x x >=+≤，要证明()sin 1x f x e x <+-，只需证明ln sin 1x x x e x <+-， ① 当01x <≤时，因为sin 10,ln 0xe x x x +->≤，所以ln sin 1x x x e x <+-成立；② 当1x >时，设()sin ln 1x g x e x x x =+--， 则()ln cos 1xg x e x x '=-+-， 设()()h x g x '=，则()1sin x h x e x x'=--， 因为1x >，所以()110h x e '>-->，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1cos110h x h e >=+->，即()0g x '>，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1sin110g x g e >=+->，即ln sin 1x x x e x <+-，综上，若0a ≤，则()<sin 1xf x e x +-. 22.解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：24y x =.（2）不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t .把122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得234242t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即238320t t --=， 则()()21843324480∆=--⨯⨯-=>，1483t t +=，把1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2211x y -+=，得22121122t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t +=， 则210∆=>，231t t +=-， 所以()()()21432314811133PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=. 23.解：（1）当1a =时，不等式()2f x ≥等价于不等式1212x x -+-≥， 当12x <时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当112x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，这种情况无解. 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以43x ≥. 综上，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （2）证明：()21f x x a x =-+-122x a x =-+-12a x x ≥-+-1122a x x a ≥-+-≥-. 所以不等式得证.。
福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题含解析
A． 2 B ． 2 3 C. 4 D
．4 3
答案 ： A
解析 ：因为 a a b 0 ，所以， a b | a |2 1，
又 a b 3 ，所以， | a |2 2a b |b |2 ＝ 3，所以， |b |＝ 2，
2
2
b 2a | b | 4a b 4 | a | 4 4 4 2 。
5. 已知 Sn 为数列 an 的前 n项和且 Sn 2an 2 ，则 S5 S4 的值为（
答案 ： D
解析 ：如图所示， 三视图所对应的几何体为对顶的两个圆锥各沿坚直方程切了一刀，
根据圆
锥曲线的几何意义知，为双曲线的一部分。
11. 已知抛物线 E 的焦点为 F ，准线为 l 过 F 的直线 m与 E 交于 A, B 两点， C , D 分别为
A, B 在 l 上的射影， M 为 AB 的中点，若 m 与 l 不平行，则 CMD 是（ ）
79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为 a1, a2 , , a10 ，其中最大的数记为 T ，则 T t
（）
A． 0 B ． 1 C. 2 D
．3
答案 ： D
解析 ：第 1 次循环： m＝42， t ＝61， n＝ 80， i ＝ 2；
第 2 次循环： m＝ 61， t ＝ 80，n＝ 12，i ＝ 3；
）
A． 8 B ． 10 C. 16 D
．32
答案 ： D
解析 ： an 1
Sn 1 Sn
2an 1 2an ，即 an 1 ＝ 2，又 S1 an
2a1 －2，得 a1＝ 2，
所以，数列 an 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
2(1 2n ) Sn ＝ 1 2
2017福州市普通高中毕业班质量检测(理科数学)
2017年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试★祝考试顺利★注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上做答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}4A x x =…,{}24210B y y y =+-<，则A B =（A ）∅ （B ）(]7,4--（C ）(]7,4-（D ）[)4,3-(2)设复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =+，则12z z = （A ）1i +（B ）34i 55+ （C ）41i 5+（D ）41i 3+(3) 要得到函数()cos2f x x =的图象，只需将函数()sin2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期 （C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期(4)设等差数列{}n a 的公差0d ≠，且2a d =-，若k a 是6a 与+6k a 的等比中项，则k =（A ）5 （B ）6 （C ）9（D ）11(5) 如图为某几何体的三视图，则其体积为（A ）4π3+ （B ）π43+ （C ）24π33+（D ）2π43+(6)执行右面的程序框图，如果输入的168,112m n ==，则输出的,k m 的值分别为 （A ）4,7 （B ）4,56 （C ）3,7 （D ）3,56(7) 已知函数()2πf x x x =-，(),,0,παβγ∈，且1si n 3α=,5tan 4β=,1cos 3γ=-，则 （A ）()()()f f f αβγ>>（B ）()()()f f f αγβ>> （C ）()()()f f f βαγ>> （D ）()()()f f f βγα>>(8)三棱锥A BCD -中，ABC △为等边三角形，AB =90BDC ∠=︒，二面角A BC D --的大小为150︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 （A ）7π （B ）12π （C ）16π （D ）28π(9)已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201711i ia ==∑（A ）20172018 （B ）20162017（C ）20181009（D ）20171009(10)不等式组210,220,40x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………的解集记作D ，实数,x y 满足如下两个条件：①(),,x y D y ax ∀∈…；②(),,x y D x y a ∃∈-….则实数a 的取值范围为 （A ）[]2,1-（B ）[]0,1（C ）[]2,3-（D ）[]0,3(11)已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126FF =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q．若AQ ，则E 的离心率是（A） （B（C（D(12)已知函数()e 1,0,31,0.2x x f x x x ⎧->⎪=⎨+⎪⎩…若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（A ）31ln2,ln 23⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ （B ）31ln2,ln 23⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ （C ）2ln23⎛⎤ ⎥⎝⎦， （D ）231ln 323⎛⎤+ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省厦门市2017届高三第一次(3月)质量检查数学理试题(小题解析)-Word版含解析
厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2017.03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则A B 等于A. [16]-， B. (16]， C. [1+)-∞， D. [23]， 答案：B解析：集合{}16A x x =-≤≤，{}1B x x =>，所以，A B ＝(16]， 2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D. 答案：C 解析：i i a z -+=1＝1(1)2a a i-++为纯虚数，所以，a ＝1 3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒ 答案：D解析：由正弦定理，得：sin 45sin B =︒，解得：sin 2B =，因为b ＞a ，故B ＝60︒或120︒ 4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34 D. 1答案：B解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，1yz x =+0(1)y x -=--，表示平面区域内一点P （x ，y ）与点Q （－1,0）之间连线的斜率，显然直线BQ 的斜率最小，B （1,1），此时min 101112BQ z k -===+ 5.已知平面α⊥平面β，=l αβ ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 答案：B解析：如下图（1），m n ⊥，//n l ，则有m l ⊥，由面面垂直的性质，知m β⊥，故①正确；如图（2），可知②③不正确；由图（1）（2）（3）知④正确，故选B 。
2017年福建省普通高中毕业班单科质量检查模拟试卷(修改版)带答案
……………6 分
（Ⅱ）由 tan A cot B 4 得 tan A 4 tan B 0
tan( A
B)
tan A tan B 1 tan A tan B
3 tan B 1 4 tan 2
B
cot
B
3 4 tan
B
≤
3 4
……………10
分
当且仅当 4 tan B cot B, tan B 1 , tan A 2 时，等号成立， 2
an1
n 1!
an n!
1，
………………2 分
所以
an
是以
a1
1为首项，1
为公差的等差数列，
n! 1
所以
an n!
1
n
11
n ，即 an
n n!
………………………………4 分
（Ⅱ）因为 bn
n 1 an an 1
n
n!n 1!
故当 tan A 2, tan B 1 时， tan( A B) 的最大值为 3 .
2
4
……………12 分
（19）证明：
（Ⅰ）证明：由堑堵 ABC-A1B1C1 的性质知：四边形 A1ACC1 为矩形． ∵A1A⊥底面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥A1A，又 BC ⊥AC，A1A∩AC＝A. A1A，AC⊂平面 A1ACC1.
垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体，如图(1)，在堑堵
理科数学试题 第 3页 (共 4 页)
ABC - A1B1C1 中， AC BC ． (Ⅰ)求证：四棱锥 B - A1 ACC1 为阳马，并判断四面体 B - A1 ACC1 是否为鳖臑，若是写出各个面的直角（只写出
福建泉州新世纪中学2017年普通高中毕业班质量检查数学(理)试卷(含答案)
2017年普通高中毕业班质量检查数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|1216,|x A x B x x a =<≤=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是A.4a >B.4a ≥C.0a ≥D.0a > 2.已知复数z 满足(1i)2i z +⋅=-，则复数z 的共轭复数为（A ）13i 22- （B ）13i 22+ （C ）13i + （D ）13i - 3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(02)=0.3P ξ≤≤，则(4)=P ξ≥（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.6 （D ）0.84．若双曲线22131x y m m +=--的渐近线方程为12y x =±，则m 的值为 （A ）1- （B ）13 （C ）113 （D ）1-或135．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 2，则输出S 的值为A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则=0162S A ．1008323⋅- B.122016- C ．322009- D ．322008-7. 已知()42340123423(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =（A ）24 （B ）56 （C ）80 （D ）2168．在区域0,(,)|1,1x x y x y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +>的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值是 A.23 B. 12C. 12-D. 23-9. 在四面体ABCD中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==，则直线AB 与CD所成角的余弦值为A ．13-B ．14-C ．14 D ．1310．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为（A） （B） （C） （D ）511．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为 A12．曲线C 是平面内与两个定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标轴对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的周长有最小值10； ④若点P 在曲线C 上，则12F PF △面积有最大值92． 其中正确命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须D CBA做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b满足,1)=a ，||1=b ，且λ=a b ，则实数λ= . 14．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是 . 15. 已知函数2()=cos(π)f n n n ，数列{}n a 满足()n +∈N ，则122n a a a +++= .16．在ABC △中，90BAC ∠=，4BC =，延长线段BC 至点D ，使得4BC CD =，若30CAD ∠=，则AD = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，722a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，131n n b S +=+. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n c 满足12112n n nc c ca b b b +++⋅⋅⋅⋅+=,n *∈N ，求122017c c c++⋅⋅⋅+的值.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=，2AD AP ==，AB DP ==E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上． （Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．19．（本小题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；()(1)n a f n f n =++若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若圆22:1O x y +=的切线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，求OM 的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数22()e (21)xf x ax x =+-，a ∈R ．（Ⅰ）当4a =时，求证：过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线lπcos()204θ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C .（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x x a x a =++-，a ∈R ． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.A8. C9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．13.2± 14.2 15.2n - 16.2 17．解: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．依题意得1154550,2622,a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得14a =，3d =， ································· 2分 所以1(1)31n a a n d n =+-=+. ···························································· 3分 当1n =时，21314b b =+=， 当2n ≥时，131n n b S +=+，131n n b S -=+，以上两式相减得13n n n b b b +-=，则14n n b b +=， ·································· 4分 又214b b =，所以14n n b b +=，n *∈N . ··············································· 5分 所以{}n b 为首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n b -=． ·············································································· 6分 （Ⅱ）因为12112n n nc c ca b b b +++⋅⋅⋅⋅+=，n *∈N 当2n ≥时，121121n n n c c ca b b b --++⋅⋅⋅⋅+=， 以上两式相减得13nn n nc a a b +=-=， 所以1334n n n c b -==⨯，2n ≥. ········ 8分 当1n =时，121c a b =，所以1217c a b ==，不符合上式， ························· 9分 所以122017c c c ++⋅⋅⋅+2201673(444)=+++⋅⋅⋅+ ······························· 10分 201620174(14)734314-=+⨯=+-. 18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=， 得2AC =， ……………………2分 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又AD ∥BC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC，所以AD PC ⊥． …………………………5分（Ⅱ）侧面PAD ⊥底面A B C D ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面A B C D ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， ……………………6分则(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -，(0,0,2)P ，所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-，设PFPBλ=([0,1])λ∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+， 所以(21,21,22)EF λλλ=+--+，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m ． ……………………8分 设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． (10)分因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|EF EF <>=<>m n ，即||||||||||||EF EF EF EF ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，所以 |22||λ-+=，1|||λλ-=，解得λ，所以PF PB =． …………………………12分19. 解：（Ⅰ）（i ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==． …………………………4分（ii ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨．…………8分(Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,i i x y i =，它们的平均值分别为x ，y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x =+上，所以40y =，因此126240y y y +++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．设居民月用水量为吨，相应的水费为()f t 元，则4, 012,()48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩ 即4, 012,()2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………………………12分20. 解法一：（I ）因为△MCD 的面积是△NCD 的面积的3倍，所以3MF NF =，即()3a c a c +=- ，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=． …………………………4分（II ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则AC 的直线方程为()312y k x -=-，代入22143x y +=中整理得 ()()2223442341230k x k k x k k +--+--=， ()()12423134k k x k -+=+；同理()()22423134k k x k ++=+． ……………………8分所以()21228634k x x k -+=+，()1222434kx x k --=+， ……………………10分则1212AB y y k x x -=- ()12122k x x k x x +-=- 12=，t因此直线AB 的斜率是定值12． …………………………12分 解法二：（I ）同 解法一．（II ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设A ()11,x y ，B ()22,x y ，所以122843kmx x k +=-+， 212241243m x x k -=+， (6)分222222644(43)(412)16(1239)0k m k m k m ∆=-+-=-+>当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，……………8分所以222412382()()23043243m kmk m m k k -⋅+---+=++， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=， ……………………9分即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=．……………………10分当2230k m +-=时，直线AB 过定点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭， 不合题意；当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12． (12)分21. 解：（I ）22b =，所以1b =,=2a =． 所以椭圆C 的标准方程2214x y +=． ······················································· 4分（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，易知直线l 的斜率不为0，则设:l x my t =+． 因为l 与圆O1=，即221t m =+； ··································· 6分 由2244x y x my t⎧+=⎨=+⎩消去x ，得222(4)240m y mty t +++-=，则222222=44(4)(4)16(4)480m t t m m t ∆--+=-+=>，12224mty y m +=-+， 024mt y m =-+，00244tx my t m =+=+，即224(,)44t mt M m m -++， ·················· 8分 22222222222224(16)(1)(16)()()44(4)(4)t mt t m m m OM m m m m +++=+==++++， ·················· 9分 设24x m =+，则4x ≥，2222(3)(12)369112525136()81616x x OM x x x x -+==-++=--+≤，当8x =时等号成立，所以OM 的最大值等于54． ···································· 12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =， ………………2分1C ∴的直角坐标方程为22(1)y x =-． ………………5分（Ⅱ）由直线lcos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=所以直线l 的直角坐标方程为:20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，所以直线l的参数方程为：22(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 代入1C的直角坐标方程得240t +-=， …………………………8分设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，121281604t t t t ∆=+>⎧⎪∴+=-⎨⎪=-⎩，1212PA PB t t t t ∴+=+=-===…………………………10分23．解：(Ⅰ)因为1a =，所以()11f x x x =++-11x x +-+≥2=，当仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2． ·············· 5分 （Ⅱ）因为2A ∉，所以(2)5f >，即225a a ++->， ······························· 7分当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52a <-，所以52a <-； 当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；当2a >时，不等式可化为225a a ++->，解得52a >，所以52a >； 综上，a 的取值范围为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······································ 10分。
2017福建省质检数学答案
(n 2)t ， （*）
t ，解得 t 2 ； 0 ，此时 t R ；
（ⅰ）当 n 1 时，不等式（*）可化为 2 （ⅱ）当 n 2 时，不等式（*）可化为 0 （ⅲ）当 n
3 时，不等式（*）可化为 t 2n ，因为数列 2n 是递增数列，所以 t
8.
综上， t 的取值范围是 2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 8 . ·
①-②，得 an 2an 2an1 ，即 an 2an1 ，所以 an 2n 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 由数列 bn 的前三项和为 3 ，得 3b2 3 ，所以 b2 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 设数列 bn 的公差为 d ，则 b3 1 d , b5 1 3d ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 又因为 b32 b2b5 ，所以 (1 d )2 1 3d ， 解得 d 1 或 d 0 （舍去） ，所以 bn n 1 ．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ） ，可知 an 2n 1 ， bn n 1 ，从而 anbn (n 1) 2n1 ， 令 Tn a1b1 a2b2 即 Tn 1 21 2 22
福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查数学(理科)试卷
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
2．已知纯虚数 满足 ，则实数 等于( )
A． B． C． D．
(1)求直线 和曲线 的普通方程；
(2)设直线 和曲线 交于 两点，求 。
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 （ ）
(1)当 时，解不等式 ；
(2)令 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。
A．2.4B．1.8C．1.6D．1.2
9．设不等式组 ，表示的平面区域为 ，若直线 上存在 内的点，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
10．已知三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
11．已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 的一条渐近线上的点，且 ， 为坐标原点，若 ，则双曲线 的实轴长是（）
15．已知各项不为零的数列 的前 项的和为 ，且满足 ，若 为递增数列，则 的取值范围______。
16．若实数 满足 ，则 的最小值为______。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知 。
(1)求 的单调增区间；
(2)已知 中，角 的对边分别为 ，若 为锐角且 ， ，求 的取值范围。
18．如图，在梯形 中， ， ， ，平面 平面 ，四边形 是菱形， 。
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
福建省三明市2017年普通高中毕业班质量检查数学理试题含答案
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}|1216,|x A x B x x a =<≤=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是A.4a > B 。
4a ≥ C.0a ≥ D 。
0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数1i34i-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3。
6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A ．15 B ．25 C ．49 D ．454．设1F ，2F 为双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点,P 为Γ上一点,2PF 与x 轴垂直，直线1PF 的斜率为43，则双曲线Γ的渐近线方程为 A ．y x =± B ．2y x =± C ．3y x =± D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 2,则输出S 的值为A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则=0162SA ．1008323⋅- B 。
122016- C ．322009- D ．322008-7.已知函数()sin()2cos()(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象关于直线πx =对称,则cos2ϕ= A.35 B 。
35- C. 45 D 。
45-8．在区域0,(,)|1,1xx y x yx y⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y+>的区域面积占Ω面积的13，则实数a的值是A。
福建省三明市2017届高三下学期普通高中毕业班5月质量
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1216}x A x =<≤，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a >B ．4a ≥C ．0a ≥D ．0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数134ii-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．49 D ．454．设12,F F 为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，P 为Γ上一点，2PF 与x轴垂直，直线1PF 的斜率为34，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*12n n n a a n N +=∈，则2016S =（ ）A ．1008323-B ．201621-C ．200923-D ．200823-7．已知函数()()()sin 2cos f x x x ϕϕ=+-+()0ϕπ<<的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=（ ）A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 8．在区域()0,|11x x y x y x y ⎧≥⎫⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +>的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值是（ ） A ．23 B ．12 C ．12- D ．23- 9．在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC =则直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．13-B ．14-C ．14D ．13 10．函数2||1||()2x x n x f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） AB．4 C．412．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（ ）A ．383r B ．383r π C ．3163r D ．3163r π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量,a b满足)a =，||1b =，且a b λ=，则实数λ= ．14．()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是20，则实数a = ．15．已知函数()()2cos f n n n π=，数列{}n a 满足()()1()n a f n f n n N +=++∈，则122n a a a ++= ．16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且()()12f x f x =时，120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()211()(0)2120(0)xx x g x x ⎧+≠⎪=-⎨⎪=⎩；()()11(0)2(0)n x x h x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；()3232x x x φ=-+；()1x x e x ϕ=--．则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60B =，4c =． （Ⅰ）若6b =，求角C 的正弦值及ABC ∆的面积；（Ⅱ）若,D E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，AE =，求AD 的长． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=， 2AD AP ==，AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．19．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2,(2,4],,(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x ∧=+．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点(1,0)F ，椭圆Γ的左，右顶点分别为,M N ．过点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，且MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与x 轴垂直，,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．已知函数22()(21)x f x e ax x =+-，a R ∈．（Ⅰ）当4a =时，求证：过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极cos()204πθ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C ． （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求||||PA PB +的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，2()13f x a a ≥--，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC二、填空题13．2± 14．2 15．2n - 16．2三、解答题17．解：（Ⅰ）60B =，4c =，6b =，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=， 得34sin 32sin 6c BC b===， 又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则sin sin()A B C =+=sin cos cos sin B C B C +613322+=+=， 所以ABC ∆的面积1323sin 122S bc A +===． （Ⅱ）设BD x =，则2BE x =，AE =，又60B =，4c =， 在ABE ∆中，由余弦定理得2212164242cos60x x x =+-， 即28168x x =-，解得1x =，则2BE =，所以90AEB ∠=， 在直角ADE ∆中，AD==．18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得2842222cos454AC =+-=，得2AC =， 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又//ADBC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥．（Ⅱ）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0),(20),(0,2)A D C-(2,0)(1,10),(0,2)B E P-，所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-， 设([0,1])PFPBλλ=∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+， 所以(21,21,22)EF λλλ=+--+， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =． 设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =， 由0n PC =，0n PD =，得220220y z x z -=⎧⎨--=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-．因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|EF m EF n <>=<>，即||||||||||||EF m EF n EF m EF n =，所以|22||λ-+=，1||31|λλ-=-，解得3λ=，所以3PF PB =．19．解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨． （Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i i x y i =，它们的平均值分别为,x y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x ∧=+上，所以40y =，因此126240y y y ++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．设居民月用水量为t 吨，相应的水费为()f t 元，则4012()48(12) 6.6121461.2(14)7.81416t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，即4012()2 6.631.212147.8481416t t f t t t t t <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩， 当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=， 所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20．解法一：（Ⅰ）因为MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍， 所以3MF NF =，即3()a c a c +=-，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=．（Ⅱ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -， 不妨设点C 在x 轴上方，3(1,)2C ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则AC 的直线方程为3(1)2y k x -=-，代入22143x y +=中整理得22(34)4(23)k x k k x +--241230k k +--=，124(23)1(34)k k x k -+=+；同理224(23)1(34)k k x k ++=+．所以212286(34)k x x k -+=+，12224(34)k x x k --=+， 则12121212()212AB y y k x x k k x x x x -+-===--，因此直线AB 的斜率是定值12． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， 2222644(43)(412)k m k m ∆=-+-2216(1239)0k m =-+>当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，3(1,)2C ，所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，所以2241232()432m k m k -+-+28()23043km m k --+=+， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=，即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=． 当2230k m +-=时，直线AB 过定点3(1,)2C ，不合题意；当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12．21．解法一：（Ⅰ）当4a =时，22()(421)x f x e x x =+-，22()2(421)x f x e x x '=+-+222(82)2(46)x x e x e x x +=+设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， 即02200(421)x ex x -+-=0220002(46)(1)x e x x x +-，∵020x e >，∴30081410x x -+=， 设3()8141g x x x =-+，∵(2)350g -=-<，(0)10g =>，(1)50g =-<，(2)370g => ∴()0g x =在三个区间(2,0),(0,1),(1,2)-上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程381410x x -+=恰有三个根， 故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切．（Ⅱ）∵当0x ≤时，()10f x +≥，即当0x ≤时，22(21)0x e ax x +-≥∴当0x ≤时，221210xax x e +-+≥， 设221()21x h x ax x e =+-+，则22211()222(1)x x h x ax ax e e '=+-=+-，设21()1x m x ax e =+-，则21()x m x a e'=+．（1）当2a ≥-时，∵0x ≤，∴222x e≥，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）∴21()1x m x ax e=+-在(,0]-∞上单调递增，又∵(0)0m =，∴当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤，∴221()21xh x ax x e =+-+在(,0]-∞上单调递减，又∵(0)0h =， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210x ax x e+-+≥于是当0x ≤时，()10f x +≥．（2）当2a <-时，令()0m x '=，得220x a e +=，∴121()02x n a=-<， 故当12(1(),0]2x n a ∈-时，222()()0x x a m x e e a'=+<，∴21()1x m x ax e =+-在12(1(),0]2n a-上单调递减，又∵(0)0m =，∴当12(1(),0]2x n a∈-时，()0m x ≥，从而当12(1(),0]2x n a∈-时，()0h x '≥，∴221()21x h x ax x e =+-+在12(1(),0]2n a-上单调递增，又∵(0)0h =，从而当12(1(),0)2x n a ∈-时，()0h x <，即221210x ax x e +-+<于是当12(1(),0]2x n a∈-时，()10f x +<，综合得a 的取值范围为[2,)-+∞．解法二：（Ⅰ）当4a =时，22()(421)x f x e x x =+-，22()2(421)x f x e x x '=+-+222(82)2(46)x x e x e x x +=+，设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， 即02200(421)x ex x -+-=0220002(46)(1)x e x x x +-，∵020x e >，∴30081410x x -+=设3()8141g x x x =-+，则2()2414g x x '=-，令()0g x '=得x =当x 变化时，()g x ，()g x '变化情况如下表：∴381410x x -+=恰有三个根，故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切． （Ⅱ）同解法一．22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =， ∴1C 的直角坐标方程为22(1)y x =-． （Ⅱ）由直线l cos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=所以直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，所以直线l 的参数方程为：222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入1C 的直角坐标方程得240t +-=， 设,A B 对应的参数分别为12,t t ，∴121281604t t t t ∆=+>⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-===．23．解：（Ⅰ）当3a =时，不等式()6f x ≤为|23||21|6x x -+-≤若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤，综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为15|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）当x R ∈时，()|2|21|f x x a x =-+-≥|212||1|x a x a -+-=-， 所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2|1|13a a a -≥--， 当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得1a ≤≤， 当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得11a <≤+ 所以a的取值范围为[．。
福建省质检数学(理)(含答案)word版
2017年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，若a 与b 共线，则m 的值为（ ） A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）A B ．2C D ．54．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅ ”的充要条件是 A ． 2a >- B ．2a ≤- C ．1a >- D ．1a ≥-5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是 ．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,则圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈， 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17. (本小题满分13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18. (本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． 19. (本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．（ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经下列两个步骤变换得到： （1）将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象；（2）将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象． （Ⅰ）求)(x f 的表达式；（Ⅱ）判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=．（Ⅰ）若93b a -+<，求x 的取值范围； （Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．2017年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分 所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分 因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D(1,1,0)M ．∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =， 则⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60，∴0sin 60AN n AN n⋅==，……………………………………………11分 可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得AD A ⊥B，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ． 由（Ⅰ）知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ， 又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分 （Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分 由已知条件可得AD A ⊥B ，由（Ⅰ）知CD AB ⊥， 又AD CD D = ，∴ CD AB A 平面⊥， ∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长． ∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分 （Ⅲ）同解法一．18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =.………………9分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010kk k P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或92 1.810E nP ξ==⨯=（天）. ……………………13分19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值 所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分（ⅰ）可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，则 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k +=++=+， 从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-． 因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分（ⅱ）若AB x ⊥轴时，(1,),(1,22A B --,由0OA OB OC ++= ， 得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由（ⅰ）可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k-++． 代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分（1）当2k =时，由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =-．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高1224h =⨯=，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=． （2）当2k =时，又由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =， 同理可求直线AB 、OC 与x． 综合（1）（2），直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++= 得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分（ⅰ）因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=， 从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+． 又123y y y +=-，33OC y k x =， 所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分 （ⅱ）同解法一．20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x g x x x x x +=-=+- …………………2分1cos 22sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭. 所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分 又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=． 由此猜测1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分 则1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+， 因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<． 又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<，所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．解：（Ⅰ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111101m m ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分 设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M -所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''.由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分 所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分 由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=． 所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分（Ⅱ）因为,0a b >， 所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。
2017年福建省莆田市普通高中毕业班质量检查理科数学试
莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（理科）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差锥体体积公式1ShV=3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．1．下列函数中，为奇函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=x 2C ．y=2xD ．y=x|x|2．已知R ∈a ，复数)1)(2(i i a z +-=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“0=a ”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则b a y 11+=的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．函数)22sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x ＝－π2 B ．4π=-x C ．x ＝π8 D ．x ＝π45．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）A ．12 B ．1 D6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）A ．i>4？B ．i>5？C ．i>6？D ．i>7？7．若直线y=kx －k 交抛物线x y 42=于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种9．常用以下方法求函数)()]([x g x f y =的导数：先两边同取以e 为底的对数（e≈2．71828…，为自然对数的底数）得ln ()ln ()y g x f x =，再两边同时求导，得'1'()ln ()()[ln ()]'⋅=+⋅y g x f x g x f x y，即()'[()]{'()ln ()()[ln ()]'}g x y f x g x f x g x f x =+⋅．运用此方法可以求函数()x h x x =(x>0)的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( )A ．1()3h B ．1()h e C ．1()2h D ．2()h e 10．如图，ABC ∆所在平面上的点*()N ∈n P n 均满足∆n P AB 与∆n P AC 的面积比为3；1，1(21)3+=-+ n n n n n x P A P B x P C （其中，{}n x 是首项为1的正项数列），则5x 等于（ ）A ．65B ．63C ．33D ．31第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．11．集合{}31<<-=x x A ，{}1=<B x x ，则=⋂B A ________．12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)的统计资料如下表：根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程^^7.0a x y +=，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元．13．向区域201,01,⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪≥⎩x y y x 内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．14．已知圆1:22=+y x O 和双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则=-2211b a ___________． 15．定义：[]()R ∈x x 表示不超过x 的最大整数．例如[]15.1=，[]0.51-=-．给出下列结论：①函数[]x y sin =是奇函数；②函数[]x y sin =是周期为π2的周期函数；③函数[]sin cos =-y x x 不存在零点；④函数[][]x x y cos sin +=的值域是{}1,0,1,2--．其中正确的是_____________．（填上所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．16．本小题满分13分已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n1(2)n =≥． （Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=（n∈N *），求使不等式121225n b b b +++> 成立的最小正整数n ．17．本小题满分13分 已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>+-=ωωωωx x x x f 经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（Ⅱ）∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知()1,3f A π+=4+=b c ，a =ABC ∆的面积．18．本小题满分13分甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98（I ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（II ）本次竞赛设置A 、B 两问题，规定：问题A 的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B 的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A ，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I ）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．19．本小题满分13分如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于︒180）到ABEF 的位置．(Ⅰ)求证:CE//平面ADF ；(Ⅱ)若K 为线段BE 上异于B,E 的点，CE=22．设直线AK 与平面BDF 所成角为ϕ,当︒︒≤≤4530ϕ时,求BK 的取值范围．20．本小题满分13分如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆C 的首项为的短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，M ，N 椭圆C 上的三个动点．（i ）若直线MN 过点D （0，12-），且P 点是椭圆C 的上顶点，求△PMN 面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．21．本小题满分14分已知函数f(x)=lnx+12ax 2+b （a ，b∈R）． （Ⅰ）若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=－1，求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调；（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2>x 1>0）是曲线f(x)上的两点，试探究：当a<0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14．115．②③④11．{}11<<x12．7.5 13．3-x4三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：n=≥，1(2)是首项为1，公差为1的等差数列，………1分所以－1)1=n，……………2分从而S n=n2．…………………3分当n=1时，a1=S1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2=2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=-．………4分因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos 3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =． (11)分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙． 8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙． (2)分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C与事件D相互独立．………………6分记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C)=14,P(ξ=100)=P(CD)=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD)=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望1935250100400416164Eξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D)=34,P(η=300)=P(DC)=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC)=3134416⨯=，即η的分布列为：所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望3133750300400416164Eη=⨯+⨯+⨯=．………………12分因为Eξ>Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ． (3)分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解： BE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=，∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分 以B为原点， BC 、 BA 、BE 的方向分别为x 轴、y轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=BD ，)2,2,0(=BF ． 设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z y x n =． 由0=⋅，0=⋅，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=，............ (9)分又),2,0(m AK -=，于是sin =ϕ=2432mm +⋅+，︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．............ (13)分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得22222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分（Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在， 设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S△PMN=12|PD|·|x 1－x 2|= (6)分==．…………………………………7分 令t=t22316t k -= 所以S△PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t +，t ∈+∞),则22211'()1t h t t t-=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则t=k=0时，h(t)的最小值，为， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分所以|MN|== 点P （0，1）到直线MN 的距离=．………6分 所以S △PMN =12|MN|·=．…………………………………7分以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形． （1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上． 又O为△PMN的中心，所以2PO OQ=，可知111(0,),(),)222Q M N ---．从而|MN|=|PM|=2，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．（2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分（3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ，又O为∆PMN 的中心，则2PO OQ =，可知00(,)22--x y Q ．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++xy y x x x x x x y y y y y ，……11分从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1，所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分 综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x xx-+'=-=-（x>0）．令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………… 4分 （Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）．（1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，，减区间为（，+∞）．……………… 7分要使函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调，须且只须，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '． (9)分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x'=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x－1． （*）……… 10分 由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x-=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---．令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即2121021ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分（注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。
2017年福建省高三质检理科数学试卷
2017年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）1、若复数z满足(1＋i)z=|3＋i|，则在复平面内，z对应的点位于A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、设集合A＝{x|x2―3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩R B＝A、{x|―2≤x＜3}B、{x|0＜x≤2}C、{x|―2≤x＜0}D、{x|2≤x＜3}3、若将函数y=3cos(2x＋2)的图象向右平移6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是A、(6，0)B、(―6，0)C、(12，0)D、(―12，0)4、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，第5天应发大米A、894升B、1170升C、1275升D、1467升5、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A、8―43B、8―C、8―23D、8―136、某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为A、316B、49C、38D、897、执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2,则输出b的值为A、―2B、1C、2D、48、过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则|BF|等于A、2B、3C、4D、5i≤2017开始i=1输入aa=1－1a=1输结否是9、已经D、E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若→AP＝x→AB＋y→AC，则xy的取值范围是A、[19，49]B、[19，14]C、[29，12]D、[29，14]10、空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB＝8,CD＝EF＝4，则该球的半径等于（）A、65216B、6528C、652D、6511、已知A(―2，0)，B(2，0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|―|MB|=23，|NA|―|NB|=23，且线段MN的中点为(6，1)，则k的值为（）A、―2B、―12C、12D、212、已知函数f(x)＝e x―ax―1，g(x)＝ln x―ax＋a，若存在x0∈(1,2)，使得f(x0)g(x0)＜0，则实数a的取值范围为A、(ln2，e2―12)B、(ln2，e―1)C、[1，e―1)D、[1，e2―12)二、填空题（每小题5分，共20分）13、(x―2)(x＋1)5的展开式中，x3的系数是 (用数字填写答案)14、设x，y满足约束条件?????x－y＋1≥02x－3y＋2≤0y－2≤0，则z=―x＋y的最大值是15、已知函数f(x)＝x2(22xx??)，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是16、数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝23，a n+1＋S n＝23，用[x]表示不超过x的最大整数，如：[―0.4]=―1，[1.6]=1，设b n＝[a n]，则数列[b n]的前2n项和为三、解答题（70分）17、（本小题满分12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝23(1)求sin∠ADB;(2)若∠BDC＝23，求四边形ABCD的面积18、（本小题满分12分）某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题：(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300M的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)A203B305C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元，如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次,以类类推.如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担.问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.19、（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC＝60°,AB∥DE，BC∥EF，AB＝BC＝3，AF＝23，BF＝15(1)求证：平面ABC⊥平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值0.0008 频率100 200 300 400 500 600 流量L/M 0.00020.00220.00250.0035 700 FEDCBA20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x2a2＋y2=1(a>1)在左、右焦点分别为F1,F2，P是C 上异于长轴端点的动点，∠F1PF2的平分线交x轴于点M，当P在x轴上的射影为F2时，M恰为OF2中点(1)求C的方程；(2)过点F2引PF2的垂线交直线l：x=2于点Q，试判断直线PQ与C是否有其它公共点？说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x cos x―(a＋1)sin x，x∈[0,]，其中34≤a≤233(1)证明：当x∈[0, 2]时，f(x)≤0;(2)判断f(x)的极值点个数，并说明理由；(3)记f(x)最小值为h(a)，求函数h(a)的值域选考题，任选一题作答22、（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为???x＝2＋2cos ty＝2sin t(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：＝2sin，曲线C3：＝6(＞0)，A(2,0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1,C2于点P，Q，求△APQ的面积.23、（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x―2|，集合A＝{x|f(x)＜3}(1)求A；(2)若s，t∈A，求证：|1―ts|＜|t―1s|。
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34（B ）57 （C ）58 （D ）32、（福州市2017届高三3月质量检测）已知双曲线2222:1x y E a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若AQ =E 的离心率是（A ）（B（C （D3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A B C ．2 D 4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）如图，已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，以双曲线C 的实轴为直径的圆记为圆O ，过点2F 作圆O 的切线，切点为P ，则以12,F F 为焦点，过点P 的椭圆T 的离心率为（ ）A ．532- B ．53- C ．734- D ．73-6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足| PF 2 |＝| F 1F 2 |，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．54B ． 43C ．53D ．27、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=8、（福州八中2017届高三第六次质量检查）设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是_________9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））设双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点A 与点B ，若 A B ，始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C 离心率e 的取值范围（ ） A ．13e <．13e <≤ C.12e <≤．12e <≤10、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））现将一条直线l 经过点()1 1A -，，且与22:40C x x y ++=e 相交所得弦长EF 为23l 的方程是 ．11、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）设F 1、F 2分别为双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) （A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）25 12、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =u u u v u u u u v g ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．．2 D13、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于_______．二、解答题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向． (Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2、（福州市2017届高三3月质量检测）已知曲线C 上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交圆()22:11F x y +-=于,M N 两点(,A M 两点相邻).(ⅰ)若BF BA λ=u u u r u u u r ，当1223λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求k 的取值范围；(ⅱ)过,A B 两点分别作曲线C 的切线12,l l ，两切线交于点P ，求AMP △与BNP △面积之积的最小值．3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查） 已知曲线222:1(,1)x E y a b a a +=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠.（1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值； （2）记1212(,),(,)x x m y n y a a==u r r ，若m n ⊥u r r 为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1，()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于x 轴的直线1l ，直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ．（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值．6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (－1，0)，离心率e ＝12左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）. （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求| S 1－S 2 |的最大值，并求此时l 的方程.7、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为()，BC 过椭圆的中心，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点()0,t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =u u u r u u u r，求实数t 的取值范围．8、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））如图，等边ABC △的边长为83，且其三个顶点均在抛物线():20E x py p =>上. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设点()4 4S -，，过点()4 5N ，的直线l 交轨迹E 于 A B ，两点，设直线 SA SB ，的斜率分别为12 k k ，，证明：12k k 为定值，并求此定值.9、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21=e ，过点)23,3(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过A （-a ，0)且互相垂直的两条直线l 1、l 2与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q .问：直线PQ 是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：数列含答案
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列 2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{na 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80,则131211a a a ++= （A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234n. ①第二步：将数列①的各项乘以2n ，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a .则1223341n n a aa a a a a a -++++= ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}na 中,nS 是前n 项和，且k S S S S==783,，则k 的值为( ）A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考)等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，若32S=，618S=,则105SS 等于( ） A ．—3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{na 与}{nb 满足)(32*∈+=N n b an n,若}{n b 的前n 项和为)13(23-=n n S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 。
6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月)月考）已知等差数列{}na 前9项和为27，()1099=8=aa ，则A ． 100B 。
99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos 1b b a a +-⋅的值是（ )A 。
福建泉州新世纪中学2017届高三普通高中毕业班质量检查数学(理)试题(精编含解析)
2017年普通高中毕业班质量检查数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|1216}x A x =<?，{|}B x x a =<，若A B A ?，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4a >B. 4a ³C. 0a ³D. 0a > 【答案】A 【解析】由题意可知：{}|04A x x =<?，结合集合B 和题意可得实数a 的取值范围是 4a > . 本题选择A 选项.2.已知复数z 满足(1)2i zi +?-，则复数z 的共轭复数为A. 1322i -B. 1322i + C. 13i + D. 13i -【答案】B 【解析】∵(1+i )⋅z =2−i ,∴(1−i )(1+i )⋅z =(1−i )(2−i )，∴2z =1−3i ,∴z =12−32i . 则复数z 的共轭复数为12+32i .故选：B.3.已知随机变量x 服从正态分布2(2,)N s ，若(02)=0.3P x＃，则(4)=P x ³A. 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.8【答案】A 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布()22,N s ，∴P (ξ⩽2)=P (ξ>2)=0.5，∵P (0⩽ξ⩽2)=0.3,∴P (2<ξ<4)=0.3， ∴P (ξ>4)=P (ξ>2)−P (2<ξ<4)=0.2. 故选：A.4.若双曲线22131x ym m+=--的渐近线方程为12y x=?，则m的值为A. 1-B. 13C. 113D. 1-或13【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为：221 31x ym m+=--，则分2种情况讨论：、当双曲线的焦点在x轴上,则有3010mmì->ïí-<ïî，解可得m<1，此时渐近线的方程为yx，=12，解可得：m= 13，②、当双曲线的焦点在y轴上,则有3010mmì-<ïí->ïî，解可得m>3，此时渐近线的方程为y x，=12，解可得：m=−1，不合题意，舍去；综合可得：m=13；故选：B.5.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为A. 64B. 84C. 340D. 1364【答案】B 【解析】执行该程序框图，第一次循环，2,4x S ==；第二次循环，4,41620x S ==+=；第三次循环，8,206484x S ==+=，8464> 结束循环，输出84S = ，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*1·2n n n a a n N +=?，则2016S =（ ） A. 10083?23- B. 201621- C. 200923- D. 200823- 【答案】A 【解析】∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1⋅a n =2n (n ∈N ∗)， ∴a 2⋅a 1=2,解得a 2=2.当n ⩾2时,12121222nn n n n n n na a a a a a +++++=?，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2. 则()()()100810081008201613201524201622121S 3232121a a a a a a --=+++++++=+=?--. 本题选择A 选项.7.已知()42340123423(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =A. 24B. 56C. 80D. 216【答案】A 【解析】【详解】∵()()()()()423401234232222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，两边求导可得：8(2x −3)3=a 1+2a 2(x −2)+3a 3(x −2)2+4a 4(x −2)3， 再一次求导可得：48(2x −3)2=2a 2+6a 3(x −2)+12a 4(x −2)2， 令x =2,则a 2=24. 故选：A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8.在区域()0,|{11x x y x y x y 禳³镲镲W =+?睚镲-?镲铪中，若满足0ax y +>的区域面积占W 面积的13，则实数a 的值是（ ） A.23 B. 12 C. 12- D. 23- 【答案】C 【解析】如图所示，绘制不等式所表示的可行域，12112ABCS=创=， 则满足0ax y +>的区域面积13OAD S =，据此可得：21,33D 骣琪琪桫，代入直线方程可得：12a =-. 本题选择C 选项.点睛：线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．9.在四面体ABCD中，若AB CD =2AC BD ==，AD BC =AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A. 13-B. 14-C. 14D. 13【答案】D 【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的 长宽高分别为,,a b c ，则：2222223{45a b a c b c +=+=+=，解得：1{a b c ===，问题等价于求解线段AB 与线段''C D 夹角的余弦值，结合边长和余弦定理可得：直线AB与CD所成角的余弦值为1。