南开大学高等数学课件15不定积分
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不定积分(PPT课件)
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
南开大学高等数学课件1.5不定积分
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2.5 不定积分
设 F ( 为x ) f的( x一) 个原函数， 先微分再积分
微 分 积 分
F ( x ) d F ( x ) d F ( x ) F '( x ) d x f( x ) d x F ( x ) C
先积分再微分
d ( f(x )d x ) d (F (x ) C ) f(x ) d x
14
为了让文科学生形象地理解“f (x) 的原函数” 的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的 函数”的含义：
()'coxs 的括号中需要填的，就是 cosx
的原函数—— sin x 。
15
f (x)的不定积分，是一个集合，是 f (x) 的“全 部原函数”的集合，它的表现形式是“ F (x)+C, C 是任意常数”，其中 F (x) 是 f (x) 的任意一个原函 数。既然 F (x) 是 f (x) 的“任意”一个原函数，所 以解答的表现“形式”，某人可能与别人不一样， 但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数” 两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的 “ f (x) 的全部原函数”的集合就完全一样了；并 且，两人选得不同的“一个原函数”，其间也仅仅 相差某一个常数。
对比求导运算中的公式
( f g ) ' f' g ',
不定积分也有类似运算
( k f) ' k f'.
( f g ) d x f d x g d x , k f d x k f d x .
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2.5 不定积分
例6 求
2
1
(3x5cosxx2
24
2.5 不定积分
设 F ( 为x ) f的( x一) 个原函数， 先微分再积分
微 分 积 分
F ( x ) d F ( x ) d F ( x ) F '( x ) d x f( x ) d x F ( x ) C
先积分再微分
d ( f(x )d x ) d (F (x ) C ) f(x ) d x
14
为了让文科学生形象地理解“f (x) 的原函数” 的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的 函数”的含义：
()'coxs 的括号中需要填的，就是 cosx
的原函数—— sin x 。
15
f (x)的不定积分，是一个集合，是 f (x) 的“全 部原函数”的集合，它的表现形式是“ F (x)+C, C 是任意常数”，其中 F (x) 是 f (x) 的任意一个原函 数。既然 F (x) 是 f (x) 的“任意”一个原函数，所 以解答的表现“形式”，某人可能与别人不一样， 但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数” 两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的 “ f (x) 的全部原函数”的集合就完全一样了；并 且，两人选得不同的“一个原函数”，其间也仅仅 相差某一个常数。
对比求导运算中的公式
( f g ) ' f' g ',
不定积分也有类似运算
( k f) ' k f'.
( f g ) d x f d x g d x , k f d x k f d x .
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2.5 不定积分
例6 求
2
1
(3x5cosxx2
24
不定积分ppt
解：由 (5.2)式知 t 月后的 收入函数 R(t) 的微分为
dR = 60(300- 60 t )dt.
所以
R(t) 60(300 60 t )dt
18000t 2400 t3 C
t 0 时的收入显然为 0，即 R(0) = 0, ，代入上式有 C 0, 所以收入函数为
解：设生产线的总收益函数为 R(t) ，则由题意有
所以
dR(t)
3
dt MR(t) 300 5t 2
，且 R(0) 0,
3
5
R(t) (300 5t 2 )dt 300t 2t 2 C
又由 R(0) 0 ，得 C 0 ，所以
5
R(t) 300 t 2t 2
ln a
axdx ax C
ln a
幂函数积分
(x ) x1
x ;
(x 1) 1 x ,
1
( x 1 ) x ,
1
( 1)
所以
x dx x 1 C
1
d ( x 1 ) x dx
x x
dx
1
cos2 cos2 x
x
dx
1
[ cos2
x
1]dx
dx
cos2 x dx
tan xx
C
.
例5.7 有一油井，预计原油单位产量为 p(t) = 300- 60 t 桶/每月，假设原油的价格为每桶 60美元，且原油 生产 出来就被出售，求这口井 t 个月后总收入 R(t) , 并求4个 月的总收入.
f(x)dx称为被积表达式， C称为积分常数． 由（5-1-2）和（5-1-1）有
dR = 60(300- 60 t )dt.
所以
R(t) 60(300 60 t )dt
18000t 2400 t3 C
t 0 时的收入显然为 0，即 R(0) = 0, ，代入上式有 C 0, 所以收入函数为
解：设生产线的总收益函数为 R(t) ，则由题意有
所以
dR(t)
3
dt MR(t) 300 5t 2
，且 R(0) 0,
3
5
R(t) (300 5t 2 )dt 300t 2t 2 C
又由 R(0) 0 ，得 C 0 ，所以
5
R(t) 300 t 2t 2
ln a
axdx ax C
ln a
幂函数积分
(x ) x1
x ;
(x 1) 1 x ,
1
( x 1 ) x ,
1
( 1)
所以
x dx x 1 C
1
d ( x 1 ) x dx
x x
dx
1
cos2 cos2 x
x
dx
1
[ cos2
x
1]dx
dx
cos2 x dx
tan xx
C
.
例5.7 有一油井，预计原油单位产量为 p(t) = 300- 60 t 桶/每月，假设原油的价格为每桶 60美元，且原油 生产 出来就被出售，求这口井 t 个月后总收入 R(t) , 并求4个 月的总收入.
f(x)dx称为被积表达式， C称为积分常数． 由（5-1-2）和（5-1-1）有
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
不定积分讲解课件
也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
高等数学不定积分的计算教学ppt
dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec
高等数学课件 不定积分
启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
高数不定积分-讲解和例题.ppt
tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
不定积分ppt课件
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包权
人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
高等数学不定积分的计算教学ppt
令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10x C. 10
[ 1 cos10x C] sin10x 说明结果正确 10
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
e3xdx 1
3
e 3 xd(3 x )
令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
u回代 1 e3x C 3
x
; 6
原式
(x
1 3)( x
2)
dx
1 5
(
x
1
3
x
1
)dx 2
1 5
[
x
1
d(x 3
3)
x
1
2
d(
x
2)]
1 (ln | x 3 | ln | x 2 |) c 1 ln | x 3 | c
5
5 x2
练习
求
dx x2 5x 4 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
sin xdx d(cos x);
sec x tan xdx d(sec x); csc x cot xdx d(csc x).
sec2 xdx d(tan x); csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2 d(arctan x);
第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
高等数学不定积分课件
公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
x a
)
1
(
x a
)2
d u arcsinu C 1u2
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例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例6. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x
ln
x
C
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例7. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
(
第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
x a
)
1
(
x a
)2
d u arcsinu C 1u2
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例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例6. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x
ln
x
C
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例7. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
(
第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
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2.5 不定积分
定义2 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数，则 f ( x ) 的所有原函数 F(x) C称为 f ( x ) 的不定积分，记为
f(x)dxF(x)C
— — 积分号
符 f ( x ) — — 被积函数
号 f ( x ) d x — — 被积表达式
1 x 2 1 x 2
不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!
这是因为 arcsinxarccosx.
2
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（2）关于“不定积分”与“原函数”的联系和 区别
f (x)的原函数，是 f (x) 求导以前“原来的函数”； 而 f (x) 的不定积分，是 f (x) 的“全部原函数”，它 可以表示为“ f (x) 的一个原函数加任意常数C”的 形式。
14
为了让文科学生形象地理解“f (x) 的原函数” 的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的 函数”的含义：
()'coxs 的括号中需要填的，就是 cosx
的原函数—— sin x 。
15
f (x)的不定积分，是一个集合，是 f (x) 的“全 部原函数”的集合，它的表现形式是“ F (x)+C, C 是任意常数”，其中 F (x) 是 f (x) 的任意一个原函 数。既然 F (x) 是 f (x) 的“任意”一个原函数，所 以解答的表现“形式”，某人可能与别人不一样， 但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数” 两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的 “ f (x) 的全部原函数”的集合就完全一样了；并 且，两人选得不同的“一个原函数”，其间也仅仅 相差某一个常数。
1. 0d x C
4. a xd x a x C (a 0, a 1)
ln a
2
.
1 x
d
x
ln
|
x
|
C
5. e xd x e x C
3. x m d x x m1 C (m 1, x 0) 6. cos x d x sin x C
一个原函数对应于一条积分曲线 不定积分则对应于积分曲线簇——无数条积分曲线
被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率 ——同一横坐标处，切线平行
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2.5 不定积分
例3 已知曲线 y 在F(任x)意一点 处的x 切线斜率为 ，且2 x
曲线通过点 (1 ,,2求) 曲线方程。
y
解：依题意 F'(x)2x
例2 已知 f ( x )， 求1
x
f (x)dx.
解：
x 0时，(ln x) 1 x
,
1 x
dx
ln
x
C；
x
0时，[ln(x)]'
1 x
,
1 x
dx
ln(x)
C
因此
1 x
dx
ln
|
x
|
C.
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2.5 不定积分
2.不定积分的几何意义
若 F ( x为) f的( x一) 个原函数，则称 的F图( x像) 为 的 f ( x ) 一条积分曲线。
x
)dx. x
解：原式
3xdx5cosxdxx22dx
xdx
1 dx x
3x25sinx22x3 22 xC.
2
x3
注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任 意性，可写成一个任意常数。
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2.5 不定积分
例7 求 x 4 d x . 1 x2
24
y
1
1.0
0.5
0
0.5
1
2
3
x
上图中的曲线分别为函
数
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x 1
y arccos x
y arccos x 0 . 5 的图形
25
y arcsinx y
y x2 1.
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2.5 不定积分
例4 求
dx .
1 x2
解： (a rc s in x )'1,d x a rc s in x C ,
1 x 2
1 x 2
而 ( a rc c o sx )'1,d x a rc c o sx C .
移 / 2 ”互变,表明这两个函数在任一点的
函数值都只相差一个常数 / 2 。
22
然后启发学生想象：“ 1 1 x2
的全部原函数 ”
的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思 维转化为语言。
23
这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思 维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学生这 时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师 因势利导，逐步展示出下面的图形。
同原函数之间仅仅相差一个常数 / 2 。
20
再请看这两个原函数 y arcsinx 与 yarccxos 的图象，就更加清楚了。
21
y arcsinx y
1.0 0.5
1.0
0.5
0
0.5
0.5
1.0
1.5
y
yarccxos
1
x
1.0
0.5
0
0.5
x 1
2
3
这两个原函数的图像可以通过“上下平
解：原式
x14 1x 21dx
(x21)(x21)1
1x2
dx
(x21)dx
1
x3
1x2dx3xarctanxC.
例8 求
dx x 2 (1 x 2 ) .
解：原式 x 1 2 1 1 x 2 d x 1 x a r c t a n x C 1 x a r c c o tx C .
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2.5 不定积分
12.
1 d x arcsin x C 1 x2
13.
1
1 x2
d
x
arctan
x
C
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2.5 不定积分
dx
例5
求
x3
. x
解：原式
4
x 3dx
41
x3
1
C3x 3 C.
41
3
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2.5 不定积分
§2.5.3 不定积分的线性运算
结论：F '( x ) d x F ( x ) C ,( f( x ) d x ) ' f( x ) .
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2.5 不定积分
§2.5.2 基本积分公式表
由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式 即可求出基本初等函数的不定积分公式。
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2.5 不定积分
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2.5 不定积分
设 F ( 为x ) f的( x一) 个原函数， 先微分再积分
微 分 积 分
F ( x ) d F ( x ) d F ( x ) F '( x ) d x f( x ) d x F ( x ) C
先积分再微分
d ( f(x )d x ) d (F (x ) C ) f(x ) d x
1.0 0.5
1.0
0.5
0
0.5
0.5
1.0
1.5
y yarccxos
1
x
1.0
0.5
0
0.5
x 1
2
3
y
1
1.0
0.5
0
0.5
1
2
3
26
上图中的曲线分别为函
数
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x
y arcsin x 0 . 5
x
y arcsin x 1
互逆运算
( ? ) f ( x )
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2.5 不定积分
定义1 设 f(在x)区间 (内a,b有)定义,若存在函数 使得F ( x )
则称 F ( 为x )
F (x)f(x), x (a ,b )
f在(x) 内(a的,b一) 个原函数。ห้องสมุดไป่ตู้原函数是整体性质）
（导函数也是整体性质；导数？）
1.什么条件下函数 存f (在x )原函数？
2.若 有f 原( x )函数，共有多少？
3. 的f (任x )意两个原函数之间有何关系？
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2.5 不定积分
说明：1. 原函数存在定理：连续函数一定有原函数。 2. 若F(x)f(x) ，则对任意常数C F，(x) C 都是f ( x ) 的原函数。 例如：(sinx)'cosx 表明s i n x 是cos x 的一个原函 数, 而对任意常数C 都有(sinxC)'cosx ，因此 cos x 的原函数不惟一，有无穷多个。 3. 设F(x), G(x) 都为f ( x ) 的原函数，则F(x)G(x)C 。
y x2 C1
因此 F(x)2xdxx2C
y x2 1
这样的曲线 y x2 有C无穷多条，
而其中通过 (1 , 的2 ) 曲线只有一条，
(1 , 2 ) y x2 C2
2.5 不定积分
定义2 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数，则 f ( x ) 的所有原函数 F(x) C称为 f ( x ) 的不定积分，记为
f(x)dxF(x)C
— — 积分号
符 f ( x ) — — 被积函数
号 f ( x ) d x — — 被积表达式
1 x 2 1 x 2
不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!
这是因为 arcsinxarccosx.
2
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（2）关于“不定积分”与“原函数”的联系和 区别
f (x)的原函数，是 f (x) 求导以前“原来的函数”； 而 f (x) 的不定积分，是 f (x) 的“全部原函数”，它 可以表示为“ f (x) 的一个原函数加任意常数C”的 形式。
14
为了让文科学生形象地理解“f (x) 的原函数” 的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的 函数”的含义：
()'coxs 的括号中需要填的，就是 cosx
的原函数—— sin x 。
15
f (x)的不定积分，是一个集合，是 f (x) 的“全 部原函数”的集合，它的表现形式是“ F (x)+C, C 是任意常数”，其中 F (x) 是 f (x) 的任意一个原函 数。既然 F (x) 是 f (x) 的“任意”一个原函数，所 以解答的表现“形式”，某人可能与别人不一样， 但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数” 两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的 “ f (x) 的全部原函数”的集合就完全一样了；并 且，两人选得不同的“一个原函数”，其间也仅仅 相差某一个常数。
1. 0d x C
4. a xd x a x C (a 0, a 1)
ln a
2
.
1 x
d
x
ln
|
x
|
C
5. e xd x e x C
3. x m d x x m1 C (m 1, x 0) 6. cos x d x sin x C
一个原函数对应于一条积分曲线 不定积分则对应于积分曲线簇——无数条积分曲线
被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率 ——同一横坐标处，切线平行
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2.5 不定积分
例3 已知曲线 y 在F(任x)意一点 处的x 切线斜率为 ，且2 x
曲线通过点 (1 ,,2求) 曲线方程。
y
解：依题意 F'(x)2x
例2 已知 f ( x )， 求1
x
f (x)dx.
解：
x 0时，(ln x) 1 x
,
1 x
dx
ln
x
C；
x
0时，[ln(x)]'
1 x
,
1 x
dx
ln(x)
C
因此
1 x
dx
ln
|
x
|
C.
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2.5 不定积分
2.不定积分的几何意义
若 F ( x为) f的( x一) 个原函数，则称 的F图( x像) 为 的 f ( x ) 一条积分曲线。
x
)dx. x
解：原式
3xdx5cosxdxx22dx
xdx
1 dx x
3x25sinx22x3 22 xC.
2
x3
注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任 意性，可写成一个任意常数。
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2.5 不定积分
例7 求 x 4 d x . 1 x2
24
y
1
1.0
0.5
0
0.5
1
2
3
x
上图中的曲线分别为函
数
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x 1
y arccos x
y arccos x 0 . 5 的图形
25
y arcsinx y
y x2 1.
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2.5 不定积分
例4 求
dx .
1 x2
解： (a rc s in x )'1,d x a rc s in x C ,
1 x 2
1 x 2
而 ( a rc c o sx )'1,d x a rc c o sx C .
移 / 2 ”互变,表明这两个函数在任一点的
函数值都只相差一个常数 / 2 。
22
然后启发学生想象：“ 1 1 x2
的全部原函数 ”
的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思 维转化为语言。
23
这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思 维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学生这 时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师 因势利导，逐步展示出下面的图形。
同原函数之间仅仅相差一个常数 / 2 。
20
再请看这两个原函数 y arcsinx 与 yarccxos 的图象，就更加清楚了。
21
y arcsinx y
1.0 0.5
1.0
0.5
0
0.5
0.5
1.0
1.5
y
yarccxos
1
x
1.0
0.5
0
0.5
x 1
2
3
这两个原函数的图像可以通过“上下平
解：原式
x14 1x 21dx
(x21)(x21)1
1x2
dx
(x21)dx
1
x3
1x2dx3xarctanxC.
例8 求
dx x 2 (1 x 2 ) .
解：原式 x 1 2 1 1 x 2 d x 1 x a r c t a n x C 1 x a r c c o tx C .
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2.5 不定积分
12.
1 d x arcsin x C 1 x2
13.
1
1 x2
d
x
arctan
x
C
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2.5 不定积分
dx
例5
求
x3
. x
解：原式
4
x 3dx
41
x3
1
C3x 3 C.
41
3
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2.5 不定积分
§2.5.3 不定积分的线性运算
结论：F '( x ) d x F ( x ) C ,( f( x ) d x ) ' f( x ) .
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2.5 不定积分
§2.5.2 基本积分公式表
由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式 即可求出基本初等函数的不定积分公式。
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2.5 不定积分
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2.5 不定积分
设 F ( 为x ) f的( x一) 个原函数， 先微分再积分
微 分 积 分
F ( x ) d F ( x ) d F ( x ) F '( x ) d x f( x ) d x F ( x ) C
先积分再微分
d ( f(x )d x ) d (F (x ) C ) f(x ) d x
1.0 0.5
1.0
0.5
0
0.5
0.5
1.0
1.5
y yarccxos
1
x
1.0
0.5
0
0.5
x 1
2
3
y
1
1.0
0.5
0
0.5
1
2
3
26
上图中的曲线分别为函
数
y arcsin x 0 . 5
y arcsin x
y arcsin x 0 . 5
x
y arcsin x 1
互逆运算
( ? ) f ( x )
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2.5 不定积分
定义1 设 f(在x)区间 (内a,b有)定义,若存在函数 使得F ( x )
则称 F ( 为x )
F (x)f(x), x (a ,b )
f在(x) 内(a的,b一) 个原函数。ห้องสมุดไป่ตู้原函数是整体性质）
（导函数也是整体性质；导数？）
1.什么条件下函数 存f (在x )原函数？
2.若 有f 原( x )函数，共有多少？
3. 的f (任x )意两个原函数之间有何关系？
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2.5 不定积分
说明：1. 原函数存在定理：连续函数一定有原函数。 2. 若F(x)f(x) ，则对任意常数C F，(x) C 都是f ( x ) 的原函数。 例如：(sinx)'cosx 表明s i n x 是cos x 的一个原函 数, 而对任意常数C 都有(sinxC)'cosx ，因此 cos x 的原函数不惟一，有无穷多个。 3. 设F(x), G(x) 都为f ( x ) 的原函数，则F(x)G(x)C 。
y x2 C1
因此 F(x)2xdxx2C
y x2 1
这样的曲线 y x2 有C无穷多条，
而其中通过 (1 , 的2 ) 曲线只有一条，
(1 , 2 ) y x2 C2