基于晶体位错理论的F—K模型方程的导出
位错密度晶体塑性模型及在微成形模拟中的应用
的金属成形模拟中
上海交通大学工学博士论文答辩
1-5
课题意义及背景
1
晶体塑性模型及积分算法 1
位错密度晶体塑性模型
1
非局部位错密度晶体塑性模型 1
塑性微成形实验不模拟
1
结论不展望
1
有限变形晶体塑性理论 率相关晶体塑性积分算法研究现状 准隐式积分算法 单个单元压缩和剪切测试 等误差图分析 轧制模拟及ODF预测 筒形件拉深模拟及制耳预测 计算效率和稳定性 总结
FEM solver
Yes
1560(B) 1688(T)
8 ABAQUS/Standard
Yes
1602(B) 3079(T)
1
ABAQUS/Explicit
Yes
1602(B) 3079(T)
30 ABAQUS/Explicit
Yes
1602(B) 3079(T)
1
ABAQUS/Explicit
CPU time(s) 15380
当前构型Cauchy应力
2-1
有限变形晶体塑性理论
宏细观应力应变
● 位错沿着原子密排面-密排斱向(滑秱系)滑动 ● FCC晶体有12个滑秱系 ● 每个滑秱系由滑秱面的
法线 和滑秱斱向 组成
位错滑移引起的分切应变张量
上海交通大学工学博士论文答辩
Schmid张量
2-2
有限变形晶体塑性理论
现象学晶体塑性流动模型和硬化模型 ● 塑性功等效原理
隐式算法： Huang, 1991; Kalidindi et al., 1992 优点：无条件稳定，求解精度有保证 缺点：难收敛(无法得到准确的Jacobian矩阵)，计算效率低
显式算法： Grujicic and Batchu,2002; Rossiter et al., 2010. 优点：结构简单，本构斱程计算耗时最少 缺点：条件稳定，易发散，降低模型的整体增量步长，需要大量增量步
基于离散位错动力学的铜晶体材料力学特性研究
摘要近年来，随着航空航天、精密机械等产业的迅猛发展，对微机电系统需求量大幅增加，同时也对微机电系统提出了更高的性能要求。
铜晶体材料被广泛应用在微机电系统中作为基本构件，其尺寸在微米及亚微米尺度。
在该尺度下铜晶体表现出与尺度相关的力学特性，无法使用传统宏观力学进行解释。
因此，为了提高微机电系统性能及可靠度，迫切需要对小尺度铜晶体材料的力学性能开展研究，研究其与尺度相关的力学特性，为微机电系统的设计提供理论及实验基础。
针对小尺度下的材料仿真，离散位错动力学方法在拥有很高计算效率的同时，能分析晶体内部位错运动行为，是一种有效的介观尺度研究方法。
然而，针对小尺度材料测试中常用的微拉伸、纳米压痕两种实验方法，在离散位错动力学层面上对其研究并不完备。
本文中使用自主开发的离散位错动力学软件对这两种典型实验条件进行研究，对进一步了解小尺度铜晶体材料塑性力学特性的内在机理具有积极意义。
本文首先基于2.5D离散位错动力学框架，结合ABAQUS软件的接触算法，使用MATLAB软件及PYTHON语言开发了小尺度下铜晶体离散位错动力学-有限元耦合计算程序。
在该程序的基础上，开发相应的位错初始化模块、云图、曲线后处理模块。
在自主开发的铜晶体单向拉伸离散位错动力学-有限元耦合计算程序的基础上，建立了铜晶体单向拉伸有限元模型。
通过耦合计算，本文分析了铜晶体单向拉伸中的应力分布及内部位错运动机理。
针对铜晶体厚度、取向两方面分别展开研究，揭示了影响铜晶体单向拉伸性能的内在机理。
建立了铜晶体纳米压痕仿真模型，得到了纳米压痕过程中位错行为规律及压痕力-位移曲线。
明确了纳米压痕力-位移曲线与位错增殖速度及平均间距两个因素间的联系，并从位错源密度、初始位错密度两个方面研究其对纳米压痕结果的影响方式。
最后，本文对单晶铜进行纳米压痕实验，得到了单晶铜的力-位移数据。
使用扫描电子显微镜分析压痕周围的表面形貌，使用透射电子显微镜分析压痕周围位错线的分布规律，通过高分辨率透射电镜在原子堆垛层面上观察位错的具体状态，验证了仿真结果的正确性。
金属位错理论
金属位错理论位错的概念最早是在研究晶体滑移过程时提出来的。
当金属晶体受力发生塑性变形时，一般是通过滑移过程进行的，即晶体中相邻两部分在切应力作用下沿着一定的晶面晶向相对滑动，滑移的结果在晶体表面上出现明显的滑移痕迹——滑移线。
为了解释此现象，根据刚性相对滑动模型，对晶体的理论抗剪强度进行了理论计算，所估算出的使完整晶体产生塑性变形所需的临界切应力约等于G/30，其中G为切变模量。
但是，由实验测得的实际晶体的屈服强度要比这个理论值低3~4数量级。
为解释这个差异，1934年，Taylor，Orowan和Polanyi 几乎同时提出了晶体中位错的概念，他们认为：晶体实际滑移过程并不是滑移面两边的所有原子都同时做刚性滑动，而是通过在晶体存在着的称为位错的线缺陷来进行的，位错再较低应力的作用下就能开始移动，使滑移区逐渐扩大，直至整个滑移面上的原子都先后发生相对滑移。
按照这一模型进行理论计算，其理论屈服强度比较接近于实验值。
在此基础上，位错理论也有了很大发展，直至20世纪50年代后，随着电子显微镜分析技术的发展，位错模型才为实验所证实，位错理论也有了进一步的发展。
目前，位错理论不仅成为研究晶体力学性能的基础理论，而且还广泛地被用来研究固态相变，晶体的光、电、声、磁和热学性，以及催化和表面性质等。
一、位错的基本类型和特征位错指晶体中某处一列或若干列原子有规律的错排，是晶体原子排列的一种特殊组态。
从位错的几何结构来看，可将他们分为两种基本类型，即刃型位错和螺型位错。
1、刃型位错刃型位错的结构如图1.1所示。
设含位错的晶体为简单立方晶体，晶体在大于屈服值的切应力 作用下，以ABCD面为滑移面发生滑移。
多余的半排原子面EFGH犹如一把刀的刀刃插入晶体中，使ABCD 面上下两部分晶体之间产生了原子错排，故称“刃型位错”。
晶体已滑移部分和未滑移部分的交线EF就称作刃型位错线。
图1.1 含有刃型位错的晶体结构刃型位错结构的特点：（1）刃型位错有一个额外的半原字面。
晶体的位错PPT课件
线张力的作用
使位错变直——降低位错能量 相当于物质弹性——称之为位错弹性性质 类似于液体的表面张力。
22
如果受到外力或内力的作用，晶体中的位 错将呈弯曲弧形，如链接所示。
23
设曲率半径为R
对应的圆心角为dθ
位错线受张力T的作用
指向曲率中心的恢复力 f T sin d
2
当dθ很小时
T sin d T d
任何一个混合位错都可以分解为一个刃型位错和一个螺位错， 因此，混合位错的应变能可表示为二者之和。
EM Ee Es
Gb2 ln R (1 v cos2 ) 4 (1 v) r0
Φ为混合位错的位错线与柏氏向量的夹角。
对于刃型位错，φ=90°
EM
Ee
Gb2 ln
4 (1 v)
R r0
对于螺型位错，φ=90°
r
r
r
D cos
r
rz zr z z 0
采用直角坐标系：
xx
D
y(3x2 y2 ) (x2 y2)
yy
D
y(x2 y2) (x2 y2)
zz v( xx yy )
xy
yx
D
x(x2 y2) (x2 y2)
xz x yz zy 0
11
二、位错的应变能
位错的能量小，位错总有伸直的趋势。
19
三、位错的受力
本节主要内容： 1.位错的线张力 2.作用在位错线上的力
◆ 位错滑移的力 ◆ 位错攀移的力
20
1、位错的线张力
位错受力
弯曲
伸长 线张力
位错变直
能量↑ 能量↓
把位错线看成是一根有张力的弹性绳，所以位错就有线张 力。线张力在数值上与位错应变能相等。
晶体中的位错课件
C92 79！！ 2！36
晶体中的位错课件
按照类似的讨论，最后知道真正能构成5个完全独立的滑移系组 的方式共有384种。面心立方能选择5个完全独立的滑移系的方式 如此之多，说明面心立方晶体具有较高延展性的原因。
体心立方金属，当滑移系为(110)<111>时，按上面对面心立方晶 体讨论相同的方法可知，这类滑移中能构成5个完全独立的滑移系 组也共有384种。当滑移系为{112}<111>时，有648种构成五个完全 独立的滑移系组；如果滑移系可在{110}及{112}面之间搭配，则可能 有21252种（其中有一些是应去掉的）。虽然体心立方可构成的五 个独立滑移系组方式如此多，体心方在低温时仍变脆，这种现象 不能用独立滑移系的多少来解释。
同的后所得的总应变t：
t 2 6 0 2 0 2 1 1 2 6 1 2 0 11 0 2 6 1 00 2 1 1 0 1 10 0 12 102
这证明了这三个滑移系并非完全独立。以这三个滑移系为讨论基点， 再在12个滑移系剩余的9个中任取两个组成五个滑移系组，可能的方 式有
能结合的条件是
这称Fra(b n1 k)判2 据(b。2)2(b3)2
从几何看，当b(1)与b(2)的夹角是锐角时，两个位错是相排斥的； 当b(1)与b(2)的夹角是钝角时，两个位错是相吸的。
晶体中的位错课件
面心立方结构中的部分位错
堆垛及堆垛层错
面心立方结构的最密 排面是{111}，面心立 方结构是以{111}最密 排面按一定的次序堆 垛起来的。
设X，Y，U和V表示任意字母，XY/UV表 示从XY矢量中点引向UV矢量中点并延伸 长度为这两点距离两倍的矢量。它相当
XY/UV=XU+YV
《材料成型金属学》教学资料：第一章位错理论基础
晶界特点
1） 晶界—畸变—晶界能—向低能量状态转化—晶粒长大、 晶界变直—晶界面积减小； 2） 阻碍位错运动— 流变应力↑ 细晶强化； 3） 位错、空位等缺陷多—晶界扩散速度高； 4） 晶界能量高、结构复杂—容易满足固态相变的条件— 固态相变首先发生地； 5） 化学稳定性差—晶界容易受腐蚀； 6） 微量元素、杂质富集。
1 位错理论基础
Fundamentals of dislocation theory
理想晶体 完全按照空间点阵有规则排列
实际晶体 不可能完全规则排列，存在晶格缺陷 lattice defect
1.1 晶体缺陷概述
晶体中的缺陷： 原子排列偏离完整性的区域
点缺陷－在三个方向上尺寸都很小 线缺陷－在二个方向上尺寸很小 面缺陷－在一个方向上尺寸很小
Ae-q / kT
空位迁移速度与绝对温度T和空位迁移能量q的关系 式中：A为常数，k为玻尔兹曼常数。
点缺陷对晶体性质的影响
晶格畸变：点缺陷引起晶格局部弹性变形。
空位缺陷
间隙粒子缺陷 杂质粒子缺陷
点缺陷引起的三种晶格畸变
点缺陷对材料性能的影响
点缺陷的存在会使其附近的原子稍微偏离原结点位置才能平 衡，即造成小区域的晶格畸变。
Low Angle Grain Boundary －小角晶界
(a)倾侧晶界模型；(b)扭转晶界模型
小角晶界可理解为位错墙 位向差θ<10°
亚结构
变形→位错密Leabharlann 增加→位错缠结 高位错密度区将位错密度低的区域隔开 → 晶粒内部出现“小晶粒” ，取向差不大→ 胞状亚结构
.
透射电镜 （TEM）
大角晶界
理想晶体原子 面堆积
含有刃型位错晶 体原子面堆积
晶体缺陷位错的弹性性质PPT课件
UT=U0+Uel
长程,
U0
1 10
U
T
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢 量，从而具有最低的应变能，所以晶体的滑移 方向总是原子的密排方向。
b大的位错有可能分解成b小的位错，以降低系统的能量
（3） W螺/W刃=1-v，常用金属材料的v=1/3，故W螺 /W刃=2/3。所以螺位错比刃位错易形成。
xx
Gb
2 (1)
y(3x2 y 2 ) (x 2 y2 )2
第21页/共99页
σxx 应力场
y
xx
Gb
2 (1 )
y(3x2 y 2 ) (x2 y2)2
6 8 10 20
20 10 8 6
4
2
x
2 4
第22页/共99页
三、混合位错的应力场
b
θ
bs
be
be b sin bs b cos
zz
y
r 0 θ
P(r,θ,z) x
z
dr
dz
θr
dθ
z
t r
tZ t r t rz
rr
t z tzr
zz
r dr d dz 微体积
第8页/共99页
y • 平衡状态，
有切应力互等定律。
t yx t xy
y
yy
tyz tzy
tyx txy
zz tzx txz xx
x
否则六面体将发生转动。
第32页/共99页
作业
1.写出距位错中心为R1范围内的位错弹性应变能。如果弹性应变能为R1范围的一倍，则 所涉及的距位错中心距离R2为多大？
2. 计算产生1cm长的直刃型位错所需要的能量，并指出占一半能量的区域半径（设r0 ＝1nm，R＝1cm，G＝50GPa，b＝0.25nm，ν＝1/3）
石德珂《材料科学基础》(第2版)配套题库【章节题库】第4章~第6章【圣才出品】
几何条件： 能量条件：
b
b
a [111]
前
后
b
2
2 a2
3b2 1 a2
前3
后3
几何条件和能量条件均满足。
7．一个 b＝a/2
的螺位错在（111）面上运动。若在运动过程中遇到障碍物而发
生交滑移，请写出交滑移系统。
答：所有包含螺位错方向的面都是滑移面，对于 FCC 晶体滑移面（111）来说，只有
a）位错环及所受应力状况；b）位错环的平衡形状 图 4-2
答：位错环的平衡形状如图 4-2（b）所示。
6．若面心立方晶体中有 b＝ a [101]的单位位错及 b＝ a [121]的不全位错，此二位
2
6
错相遇能否进行位错反应？为什么？
答：能够发生反应。
4 / 69
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4．请说明什么是全位错和不全位错，并请写出 FCC、BCC 和 HCP 晶体中的最短单位 位错的柏氏矢量。
3 / 69
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答：全位错是指柏氏矢量等于点阵矢量的整数倍。 不全位错是指柏氏矢量不等于点阵矢量的滑移面上，正方形的两 边分别沿 x 和 y 轴，柏氏矢量沿 z 轴。如果位错环只能滑移，示意画出在以下两种应力分布 情况下位错环的平衡形状：
【答案】√
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【解析】书写缺陷方程时要注意：（1）缺陷所带电荷的确定；（2）保持位置关系比例
不变。
2．非化学计量化合物结构缺陷也是一种杂质缺陷。（ ） 【答案】× 【解析】非化学计量化合物是指有些化合物，其化学组成会明显的随着周围气氛的性质 和压力的大小的变化而发生组成偏离化学计量的现象，而非化学计量化合物结构缺陷正是由 此而产生的缺陷。
2.4晶体的位错
螺位错的双交滑移增殖模型(链接)
(111) 滑移面
螺型位错 b
螺型位错在(111) 面上滑移。
C
D
B (111) 滑移面 (111) 交滑移面 C D B (111) b
A
因局部切应力变化 螺型位错改变了滑 移面。
b
刃型割阶
A
又因局部切应力的 减弱螺型位错发生 交滑移，又回到原 来的滑移面上。
有时在第二个 (111)面扩展出 来的位错圈又 可以通过交滑 移转移到第三 个(111)面上进 行增殖。从而 使位错迅速增 加，因此，它 是比上述的弗 兰克一瑞德更 有效的增殖机 制
晶体中的位错 (二)
主要研究内容
位错的应变能 位错的受力
位错与晶体缺陷的相互作用
位错的萌生与增值
五、位错的应变能
本节主要内容：
1.螺型位错的应变能
2.刃型位错的应变能
3.混合位错的应变能
位错的应变能：位错周围点阵畸变引起弹性应力场导致晶 体能量的增加。 位错的能量可分为位错中心畸变能和位错应力场引起的弹 性应变能。其中弹性应变能约占总能量的90%。
与位错滑移力推导过程一样，根据虚功原理，最终得出：
F b
七、位错与晶体缺陷的相互作用
本节主要内容： 1.位错之间的相互作用
2.位错的塞积
3.位错与点缺陷之间的相互作用
1、位错之间的相互作用
两个平行螺位错之间的相互作用
把坐标z轴放在第一个位错线上，坐标原 点为(0, 0)，其柏氏向量为b。
弗兰克-瑞德(F-R)源 增殖过程(链接)
弯曲
卷曲
……
分裂增殖
变直
透射电镜下观察到的位错增殖过程(链接)(F-R机制)
材料科学基础第四章2-2位错理论的提出
2
二、分歧 Discrepancy
• 晶体的实际强度（临界分切应力，实测的）约为10-4 ~10-8G，G－晶体的剪切模量
• 根据刚性滑移模型推算的晶体的理论强度，约为0.1G， 远高于实际强度。
§4-3 位错理论的提出
前言
• 位错（dislocation）是晶体中的一维缺陷，即线缺陷 • 但从原子尺度上看，它不是一条线，而是一个直径为
3～5个原子间距的管状原子畸变区，管内原子排列是 混乱的 • 位错的存在对晶体的生长、形变、扩散、再结晶等一 系列行为，以及对物理、化学等性质都有着十分重要 的影响
3
三、经典的滑移模型
刚性滑移模型 Rigid body slip model： 晶体滑移时各部分是作为刚体而相对滑动的，连接
滑移面上下两边原子的结合键将同时断裂。
a
b
S.P. x
4
晶体理论强度的推算： Frankel， 1926年
a
b ’
m
=a
S.P. x
• x = na时，稳定平衡
• x = (2n+1)a/2，亚稳平衡
na < x < (2n+1)a/2，’与x 反向，阻碍滑移
(2n+1)a/2 < x < (n+1)a，’ 与x同向，促进滑移
假设：
xmLeabharlann sin 2 x a
m－最大切应力，振幅 a－周期，一个原子间距
5
续上页：
m
sin
2
x a
对于很小的
x
：
晶体缺陷理论典型晶体结构中的位错
（5）各个面的法线指向四面体外，为正向； 指向四面体内为负向。2个负面之间夹角为 锐角，2个正面之间夹角为钝角，1个正面和 1个负面之间的夹角为锐角。
扩展位错
扩展位错的运动——先需要束集
扩展位错的束集
交滑移
§2密排六方晶体中的位错
抽去一层+平移
纸面为 0 1 1
8
8
7
7
111
6
6
5
5
4
211 4
3
3
2
2
1
111
AB C A B C A B C A B C A B
1 AB C A B C A B C A B C A B
fcc： ABCABCAB…..
hcp：ABABABAB…...
从第1层到第8层的原子排列
晶体缺陷理论
第4章 典型晶体结构中的位错
§1 面心立方晶体中的位错 §2 密排六方晶体中的位错 §3 体心立方晶体中的位错
第4章 典型结构金属中的位错
位错能量正比于b2 => 实际晶体中存在的柏氏 矢量限于少数最短的平移矢量 ( 最近邻的原 子间距 ) ，具有这种柏氏矢量的位错称为 单 位位错
滑移不全位错部分位错柏氏矢量小于最短的平移矢量不全位错柏氏矢量不等于最短的平移矢量的整数倍层错与正常晶体的交界处不全位错扫过之后滑移面上下原子产生错排形成堆垛层错正常的堆垛顺序被扰乱层错破坏了晶体的周期性使能量增加但层错不产生点阵畸变层错能比晶界能低得多见弗兰克不全位错swf?位错反应位错之间的相互转化?位错的能量越低越稳定1晶胞中选取四个近邻原子位置分别为dbac点
第5层原子由A位置滑移到C位置，第6层以上原子依次滑移一个原子间距……
第三章晶体的范性变形PPT课件
12
单晶体的滑移变形（p161）
• 滑移：相邻的晶体部分沿着一定的结晶面和一点 的结晶方向所发生的平移。 • 滑移要素：滑移面与滑移方向称为滑移要素。 • 滑移系统：一个滑移面和一个相应的滑移方向构 成一个滑移系统。 • 一般情况下，滑移面是原子的密排面或较密排的 面，滑移方向是原子的密排方向。
13
宏观规律
内在变化及原因
影响因素
市场
4
研究方法
• 黑箱法：从输入和输出的实验关系定义和理解性能， 如 Hook定律：σ=Eε • 相关法：建立性能与结构的相关关系， 如 Hall-petch关系：σs=σ0+kd1/2 （p172） • 过程法：通过内因与外因的关系研究，回答“为什么” 的问题。 如对于σs=σ0+kd1/2 ，应用屈服过程的位错理 论，导出实验系数的表达式： σ0 =mτ0；k=m2τ*r1/2 m：取向因子； τ0：基体对位错运动的摩擦阻力； τ*：启动位错所需的切应力；r：位错源与位错塞积处 5 的距离。
α 铁的变形孪晶（纽曼带）
33
孪生几何学（167）
34
滑移和孪生的比较
--相同点
孪生
滑移
1.宏观上看，两者都是在剪（切）应力作用下发生的均匀剪切变形； 2.微观上看，两者都是晶体塑形变形的基本方式，是晶体的一部分相对 于另一部分沿一定的晶面和晶向平移； 3.两者都不改变晶体结构类型。
35
滑移和孪生的比较—不同点
8
• 弹性变形：在应力低于弹性极限(σe)时,σ和ε之间保 持线性关系: σ =Eε • 其特点是外力去除后，变形可以完全恢复。
退火低碳钢应力-应变曲线
9
• 弹塑变形：当外力大于σe后，除了弹性变形外，开 始发生均匀塑性变形。这时若去掉外力，弹性变形 部分恢复，但留下了永久变形，即塑性变形。
北科大《固态转变》研究生课程考题历年整理及部分答案
北科大《固态转变》研究生课程考题历年整理及部分答案1.从自由能成分曲线，相界面，原子扩散方式，新相的成分和结构状态，驱动力，形核的方式，显微组织区分调幅分解和形核长大型相变。
2.什么是第一类相变，什么是第二类相变，并举例？⏹分类标志：热力学势及其导数的连续性。
自由能和内能都是热力学函数，它们的第一阶导数是压力（或体积）和熵（或温度）等，而第二阶导数是比热、膨胀率、压缩率和磁化率等。
第一类相变（一级相变）：凡是热力学势本身连续，而第一阶导数不连续的状态突变，称为第一类相变。
第一阶导数不连续，表示相变伴随着明显的体积变化和热量的吸放(潜热)。
普通的气液相变、液固相变、金属和合金的多数固态相变、在外磁场中的超导转变，属于第一类相变。
第二类相变（二级相变）：热力学势和它的第一阶导数连续变化，而第二阶导数不连续的情形，称为第二类相变。
这时没有体积变化和潜热，但膨胀率、压缩率和比热等物理量随温度的变化曲线上出现跃变或无穷的尖峰。
超流、没有外磁场的超导转变、气液临界点、磁相变、合金中部分有序-无序相变，属于第二类相变。
习惯上把第二类以上的高阶相变，通称为连续相变或临界现象。
玻色-爱因斯坦凝结现象是三级相变。
按相变方式分类：形核长大型相变、连续型相变……<材基P595>按原子迁移特征分类：扩散型相变、无扩散型相变相似问题：相变的分类有哪些，其分类标准是什么？3.下图哪个是第一类相变，哪个是第二类相变，并说明理由？⏹从热力学函数的性质看，第一类相变点不是奇异点（singularity），它只是对应两个相的函数的交点。
交点两侧每个相都可能存在，通常能量较低的的那个得以实现。
这是出现“过冷”或“过热”的亚稳态以及两相共存的原因。
第二类相变则对应热力学函数的奇异点，它的奇异性质目前并不完全清楚。
在相变点每侧只有一个相能够存在，因此不容许“过冷”和“过热”和两相共存。
4.根据经典形核公式计算再结晶临界形核尺寸（给定存储能和界面能）；若位错提供主要的储存能，（给定位错密度和单位位错的能量）导出临界形核尺寸和位错密度的关系；评论经典形核理论的可行性？⏹经典形核理论假设核心的界面能与大块晶体的界面能相等，但是小原子团的界面非常漫散，尤其是当脱溶转变的母相成分接近调幅分解成分时，没有明确的相界面。
位错线张力公式
位错线张力公式位错线张力公式在固体力学中，位错（dislocation）是指晶格中某些原子排列发生错位的现象。
位错线张力公式是用来计算位错线张力的公式，它在材料科学和凝聚态物理等领域中具有重要的应用。
本文将介绍位错线张力公式的相关公式和实例，并对其进行解释说明。
1. 位错线的定义位错线是晶格中错位原子排列所形成的线状缺陷。
位错线的存在会导致材料的塑性变形，影响材料的力学性能。
因此，研究位错线的行为对于理解材料的力学行为具有重要意义。
2. 位错线张力公式位错线张力公式用来描述位错线的张力与所受应变之间的关系。
一般来说，位错线张力可以表示为以下公式：τ=Gb其中，τ表示位错线的张力，G表示剪切模量，b表示位错线的Burgers矢量。
3. 位错线张力公式的解释位错线张力公式表明，位错线的张力与位错线的Burgers矢量成正比。
剪切模量G是材料的一种力学性质，它描述了材料变形时所需的应力。
位错线的Burgers矢量b表示位错线晶体中原子错位的大小和方向。
位错线张力公式的意义在于可以通过已知的材料性质和位错线的几何参数来计算位错线的张力。
位错线的张力决定了位错线的稳定性、塑性变形过程中的力学行为等重要因素。
4. 位错线张力公式的应用示例示例一：计算位错线张力假设有一个位错线，其剪切模量为G=30 GPa，位错线的Burgers矢量为b= nm。
根据位错线张力公式，可以计算出位错线的张力为：τ=Gb=30×109××10−9= N/m因此，该位错线的张力为$ , N/m$。
示例二：位错线束的力学行为研究位错线束是由多个位错线组成的集合体。
研究位错线束的力学行为可以通过位错线张力公式来分析。
通过计算位错线束中各个位错线的张力，可以了解整个位错线束的力学特性，进而研究材料的塑性变形过程。
结论位错线张力公式是用于计算位错线张力的公式，它描述了位错线的张力与位错线的Burgers矢量之间的关系。
不同晶粒尺寸材料的霍尔佩奇关系
不同晶粒尺寸材料中的H-P关系细化晶粒一直是改善多晶体材料强度的一种有效手段。
根据位错理论,晶界是位错运动的障碍,在外力作用下,为了在相邻晶粒产生切变变形,晶界处必须产生足够大的应力集中,细化晶粒可以产生更多的晶界,如果晶界结构未发生变化,则需施加更大的外力才能产生位错塞积, 从而使材料强化。
Hall-Petch 关系就是在位错塞积模型基础上导出的。
H-P关系的历史20世纪50年代初，人们开始研究晶粒尺寸与材料强度的关系，1951年当时还在谢菲尔德大学读书的E. O. Hall在64册装订的《物理学进程表》上发表了三篇文章。
在第三篇文章中，他指出了滑动带的长度或裂纹尺寸与晶粒尺寸成正比，即，式子中的第一项代表了材料的强度，k是常数。
由于技术条件的限制，Hall只能推出成正比的关系，但是x的取值没有具体给出。
当时Hall选取的研究对象是锌但是他发现这个关系应用于低碳钢同样成立。
英国利兹大学的N. J. Petch根据自己在1946-1949年的实验研究和Hall的理论基础发表了一篇论文，这篇论文着重讲述了有关脆性断裂方面的知识，通过测量在低温条件下不同晶粒尺寸的解理强度，Petch把Hall提出的数学关系进行了精确地完善，这个重要的数学关系就以他们的名字命名为霍尔佩奇关系。
即σy代表了材料的屈服极限，是材料发生0.2%变形时的屈服应力σ0.2通常可以用显微硬度Hv来表示σ0表示移动单个位错时产生的晶格摩擦阻力Ky一个常数与材料的种类性质以及晶粒尺寸有关d 平均晶粒直径Hall-Petch关系图由于Hall和Petch所处的年代技术的落后他们能研究的晶粒尺寸还是很大的，所以早期的H-P关系是不完善的，只有图中前半部分。
后半部分是随着科技的进步，逐渐完善的。
近几十年来, 材料的细晶强化研究大量开展。
在一般晶粒尺寸范围内, 材料的强度随晶粒尺寸的变化是符合Hall-Petch 关系的, 但在纳米晶体材料中出现了偏离甚至反Hall-Petch 关系的现象, 因此Hall-Petch 关系的使用具有一定的局限性。
计算固体表面能的Young_Good_Girifalco_Fowkes方程的理论[1]
![计算固体表面能的Young_Good_Girifalco_Fowkes方程的理论[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/05987e4769eae009581bec90.png)
Δ1
=
ε1 ε1
(iωn) (iωn)
- ε3 (iωn) +ε3 (iωn)
(5)
Δ2
=
ε2 ε2
(iωn) (iωn)
- ε3 (iωn) +ε3 (iωn)
(6)
ωn = 4π2nk T/ h
(7)
其中 ,h 是 Planck 常数 ,ωn 是频率 ,n 是有关 振动 的 量 子 数 。为 了 以 下 各 式 的 简 洁 , 采 用
(12)
其中 ,ω12 = ∫0∞{ [ε1 (iωn) - 1 ] [ε2 (iωn) -
1 ]}2/ { [ε1 (iωn) + 1 ] [ε2 (iωn) + 1 ]}2dω。 在使用 Lif shitz 方程时 ,必须知道两个物体 1
和 2 及介质 3 在全部频率范围内 (即 ωn 从 0 到
开始 ,而是从 Rytov 的电场波动理论[12 ] 开始 ,通 过对所有响应频率的 Maxwell 应力张量的法向分 量的 Fourier 变换式求积 ,得到一个以真空或某一 介电质为介质 3 的两块半无穷长平行板 1 、2 (如 图 1) 间的范德华作用能Δ G132 。
图1
上述的电磁场可用复介电常数谱作完全地描 述 ,因此 ,根据 Lif shitz 理论 ,复介电常数谱是完 整描写宏观物体间吸引力所需的唯一重要的性
摘要 根据 Lifshitz 理论在凝聚体系分子间作用方面的应用成果 ,并结合 Good R J 和 Fowkes F M 等人 的研究成果 ,阐述了粘附功的色散 、偶极和诱导作用分量可用统一的几何方程来表达的理论根据 ;同时 ,根据 酸碱作用理论的新成果 ,并通过类比的方法 ,得到了粘附功的酸碱作用分量的四参数方程 。如此 ,我们便基本 上清楚地阐明了通过接触角来计算固体表面能的 Young - Good - Ginfalco - Fowkes 方程的理论来源 。
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为孤 立子解 ［ 引。这 种 孤立 子解 的特 点是 具有 局域 的性 质 ， 时 间演 变 过程 或 相 互 碰撞 过 程 中保 持 其 等 在
当 ＋ 一 ＜１， 差分 方程可 表 为微分 方 程 １ ＜ 则
ｄ 口 ： ２ｒ ｓｎ７ ７ ｉ２ｒ Ａ （） １
积 并 虑ｎ ±。 ， ０ 件得 ａ萼 ＝ｘ±（—。ｆ 分 考 － ｏ 一 条 ， ｎ ） ｅｔ兀 ｎ／｝ － ， － ｏ ￣ ｔ （ ｐ ｎ ） 。
式中 ｆ＝ ａ／Ａ； ＋” 一 分别表示原子链 中的原子数比能谷数多一个或少一个 的情况。 ５ ａ ４ “ 及“ ”
原子链 取为 轴 ， 中原 子编 号 为 ｎ＝ ， ， ， ， 链 ０ ±１ ±２ … 一维 周 期 势 的周 期 为 ａ 原 子 ｎ的坐 标 为 ，
＝
（ ）， ｎ＋ ａ 则原 子 ｎ与原 子 ｎ＋１间 的相互 作 用 能 为 ［ ＋ ） （ 一 一ａ］； 子链 的 总势 能 为 Ｕ ＝ 原
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第 ２卷 第 ２ ７ 期
２０ ０ ６年 ４月
河 南 科 技 大 学 学 报 ：自 然 科 学 版
Ｊｕｎｌｏ ｅ ａ ｎｖｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏｙ： ａｕａ ｃｅ ｃ ｏ ｒａ ｆＨ ｎｎ Ｕ ｉ ｓ ｙｏ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ Ｎ ｔｒｌ ｉｎｅ ｅ ｔ Ｓ Ｓ
同不 变性 。
Ｆ —Ｋ模型 推广 应用 在外延 生 长层 的理 论及 无 公 度 系统 理 论 上 曾获 一 定 的 成功 ［ 因此本 文 基 于 。
晶体 位错理 论给 出此模 型 方程 的严 格导 出 。
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学基 金 项 目（０７０７ 国 １２ ４５ ）
的周 期性 的 晶格来 描述 ， 开 面就是 边界 ， 切 拓扑 缺 陷就作 为两个 半无 限完 整 晶体相 互作 用 的结 果 ＿ 。本 ３ Ｊ 文用 第二 种方 法 。 二维正 方格子 结构 晶体 被切 成上 下两 部分 ， 记成 和 ｔ 哈密 顿 量 由三部 分组 成 标 ，
摘 要 ： 晶体 的 位 错 理 论 为 基 础 ， 立 完 全 离 散 的 晶体 位 错 模 型 ， 考 虑 最 近 邻 原 于 Ｉ 互 作 用 ， 用 格 林 函 以 建 仅 司相 运
数法 ， 严格 、 定量 导出 Ｆ —Ｋ模型方 程。
关键词 ： Ｆ—Ｋ模 型 ； 晶体 位 错 ； 林 函数 ； 立 叶 变 换 格 傅
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １２ ２
Ａｒ ｐ．
２０ ０６
文章编 号 ：６ ２ ８ １ ２０ ）２ ０ ４ ４ １７ —６７ （０ ６ ０ —０ ０ —０
基 于 晶体 位 错 理 论 的 Ｆ—Ｋ模 型 方 程 的导 出
范 庆 华
（ 南 理 工 大 学 物 理 科 学 与 技 术 学 院 ， 东 广 州 ５０４ ） 华 广 １６０
作 者 简 介 ： 庆华 （９６一） ， 北 邯 郸 人 ， 士 生 范 １７ 女 河 硕
收 稿 日期 ：０ ５ ０ ３ ２ ０ …１ Ｏ
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第２ 期
范庆华 ： 基于 晶体位错理论 的 Ｆ —Ｋ模型方程的导 出
・５ ・
１ 晶体 位错 模 型
中 图 分 类 号 ：Ｇ１１２ ０ ７ Ｔ １ ．；７ ２ 文献标识码 ： Ａ
０ 前 言
Ｆｅｋｌ Ｋ ｎ ｒ ａ １３ ｒｎｅ 和 ｏｔ ｏ 在 ９ ８年探 讨 了一个 线 型原 子 链 在 一 维 周期 场 中平 衡 与 运 动 的 问题 ， 中原 ｏｖ 链
子 间 的相互作用 用 Ｈ ｏｅ弹簧模 拟 ， 维周期 势 场是 正弦 型 ， 以模 拟 晶体 中 的原 子 势［ ｏｋ 一 用 。
卢 Ｗ／ ５Ｗ ｄ ｍ ＝ ２ｗ ； ＝ 口／
此 解称 为 Ｓ ｅ ｏ ｒｏ 程 的孤立 子解 。 ｉ —Ｇ ｄｎ方 ｎ
Ｊ Ｓｏ —Ｒ ｓｅ 在 １４ 描 述 了孤立 子 水波沿 河传 播 而保 持 波 形 不 变 的现 象 。２ 纪 ５ ．ｃｔ ｕｓｌ ｔ ｌ ８４年 Ｏ世 Ｏ一６ Ｏ年
Ａ （ ｃ兀）譬∑ ｌ ） 子 处 平 的件 ：， ａ ＋２＋一 ∑１ 。 ＋ （ 一 ｚ ｎ于 衡 条 是 ｏ （１ 一ｓ ２ ＋ ； 原 即ｚ — ）
＝
２ Ａ ｉ２ 。 组 差分 方程称 为 Ｆｅｋｌ ｏｔｏａ 程 （ —Ｋ方 程 ） 兀ｓ 兀 这 ｎ ｒ ｅ—Ｋｎｏ ｖ 方 ｎ ｒ Ｆ 。若 相 邻原 子 位移 之 差很 小 ， 即
对 于动态 的 Ｆ—Ｋ方程 ， 式 （ ） 在 １ 中加 入 正 比于加速 度 的项 ｍ ， 即得运 动方程
等一 等
这是一 个典 型 的 Ｓ ｅ ｏｄｎ方程 。解 之得 ｉ —Ｇ ｒｏ ｎ
＝
（ ２ ）
（） ３
争ｎ ｅｔ （一 ） （ 俐 ］ ａ１ｐ ｎ 詈／ １ －ｘ± ［ √ 一
没有缺 陷 的理想 晶体 可 以用 周期 性 的晶格 来表示 ， 晶格 中的点 可以根 据 它 的等 同性而 全部 被描 述 。 而存在 位错 的 晶体 只能用奇 异 的晶格 描述 ， 也就 是说 ， 期 性是 局部 的而非 全 部 的 ， 有办 法 得 到一 个 周 没 所 有点 的描述 系统 。此 系统 可以给 出奇异 性 晶格 中每一 个点 与实 际相一 致 ， 因在 于拓 扑结 构 的不 同。 原
晶格动力学在理想晶体中可以成功的运用 ， 但在有拓扑缺陷的晶体 中不能加 以简单 的运用。困难是很
难写 出完 整而 有见解 的 哈密顿 量用 以表述 有拓 扑 缺 陷的 晶体 。解决 这 一 问题 有两 个 方 法 ： 是 引入 一 一 个力 ， 以产 生一个 像 位错 的拓扑 缺 陷 ； 二是 首先 把 晶体切 开 成适 当 的部 分 ， 每 一 部分 可 以用 带 有边 界 让