高中数学北师大版必修5同步精练：1.4数列在日常经济生活中的应用 Word版含答案

基础巩固
1某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )
A.S 32
B.S 34
C.S 36
D.S 38
2从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路，沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行
( )
A ．11 700 m
B ．14 600 m
C ．14 500 m
D ．14 000 m
3某种产品平均每三年价格降低14
，目前售价640元，则9年后此产品的价格为________元．
4据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为a t ，由此推测，该区下一年的垃圾量为______t,2008年的垃圾量为______t.
5某拖拉机制造厂原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的台数，由于职工发挥了生产积极性，二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样，三个月的产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度的产量的一半少10台．问这个厂第一季度共生产了多少台拖拉机？
6如图，一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？
7有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼．若同时投入工作至收割完毕需用24 h ，但现在它们是每隔相同的时间顺序投入一台工作，每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，求用这种收割方法收割完这片土地的庄稼需用多长时间？
综合过关
8已知一个正方形的边长为1 cm ，以它的对角线为边作一个新的正方形，再以新的正方
形的对角线为边作正方形，这样继续下去，共作36个正方形，那么第六个正方形(包括已知正方形)的边长是______，这6个正方形的面积和是______．
9某种汽车：(1)购买时费用为10万元；(2)每年应交保险费、养路费及汽油费合计为9千元；(3)汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
能力提升
10素材1：某商场今年销售计算机5 000台；
素材2：平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%；
素材3：从今年起，大约五年的总销售量达到30 000台．
先将上面的素材构建成问题，然后再解答．
构建问题(1)：某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使销售总量达到30 000台？(结果保留到个位)
构建问题(2)：某商场今年销售计算机5 000台，要使总销售量在今后5年内达到30 000台，年平均增长率是多少？
参考答案
1解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)
－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%)，解得x ＝S 36
. 答案：C
2解析：由近往远运送，第一次运两根，以后每次运三根，这种运法最佳，由近往远运送，每次来回行走的距离构成一个等差数列，记为{a n }，则a 1＝1 100，d ＝300，n ＝7，
∴S n ＝7×1 100＋7×62
×300＝14 000(m)． 答案：D
3解析：由题意知9年后的价格为640×(1－14
)3＝270. 答案：270
4解析：2003年产生的垃圾量为a t ，下一年的垃圾量在2003年的垃圾量的基础上增长了一次，所以下一年的垃圾量为a (1＋b )；2008年是从2003年起再过5年，所以2008年的垃圾量是在2003年的垃圾量的基础之上增长了5次，即a (1＋b )5.
答案：a (1＋b ) a (1＋b )5
5分析：设出第一季度每个月的产量，列方程组解得．
解：设三个月的产量原计划分别为a －d ，a ，a ＋d ，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
(a ＋10)2＝(a －d )(a ＋d ＋25)，a ＋d ＋25＝12(a －d ＋a ＋a ＋d )－10. 解得a ＝90，d ＝10.
则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋10＋25＝305，
即这个厂第一季度共生产305台拖拉机．
6分析：通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n 项和，利用公式即可．
解：用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45
a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45
的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝a 1(1－q n )1－q ＝25[1－(45)n ]1－45 ＝125×[1－(45
)n ]＜125. 即这个热气球上升的高度不能超过125 m.
7分析：收割完这片土地的庄稼需用时间就是第一台收割机工作的时间．该数列模型是等差数列模型．
解：设a n 表示第n 台收割机工作的时间，由题意知数列{a n }是等差数列，S 10＝240.
则⎩⎪⎨⎪⎧
10(a 1＋a 10)2＝240，a 1＝5a 10，
解得a 1＝40， 即用这种方法收割完这片土地上的庄稼共需40 h.
8解析：由题意知所作正方形的边长依次构成一个等比数列，首项为1，公比为2，故a 6＝a 1q 5＝1×(2)5＝42，则第六个正方形的边长为4 2 cm.这6个正方形的面积依次也构
成一个等比数列，首项为1，公比为2，则S 6＝1(1－26)1－2
＝63 cm 2. 答案：4 2 cm 63 cm 2
9分析：利用数列求和构造出年平均费用函数，让函数值取最小值．
解：设f (n )是该汽车使用n 年报废时平均每年的费用(单位：万元)，则
f (n )＝1n
[10＋0.9n ＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )] ＝1n [10＋0.9n ＋0.2×n (n ＋1)2
] ＝10n ＋n 10
＋1 ≥210n ·n 10
＋1＝3(万元)． 当且仅当10n ＝n 10
，即n ＝10时，f (n )取最小值3. 故该汽车使用10年后报废最合算．
10解：(1)据题意，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，
S n ＝30 000，
于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1
＝30 000， 整理，得1.1n ＝1.6.
两边取对数，得n lg1.1＝lg1.6，
∴n ＝lg1.6lg1.1≈0.200.041
≈5(年)． ∴大约5年可以使销售总量达到30 000台．
(2)设年平均增长率是x .由于年售量组成一个等比数列，其中a 1＝5 000，q ＝1＋x ，S 5＝30 000，
∴5 000[1－(1＋x )5]1－(1＋x )
＝30 000. 解得x ＝0.1.
故年平均增长率是10%.。