《2.3 柱面与平面的截面》课件 -优质公开课-北师大选修4-1精品

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解析几何课件(第五版)精选全文

解析几何课件(第五版)精选全文
化简得
所求平面方程为
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§3.2 平面与点的相关位置
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点到平面距离公式
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在第一个平面内任取一点,比如(0,0,1),
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定义
(通常取锐角)
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
§3.3 两平面的相关位置
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按照两向量夹角余弦公式有
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数性积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.4 空间曲线的方程
§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程
第三章 平面与空间直线
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
抛物柱面
平面
抛物柱面方程:
平面方程:
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
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从柱面方程看柱面的特征:
(其他类推)
实 例
椭圆柱面,
双曲柱面 ,
抛物柱面,
母线// 轴
母线// 轴
母线// 轴
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a
b
椭圆柱面
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y
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上方程称为平面的方程,平面称为方程的图形.
其中法向量
已知点
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所求平面方程为
化简得
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解析几何中的柱面及其方程求解

解析几何中的柱面及其方程求解

解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体,它由一条直线(直母线)和沿该直线平移的一条平面曲线(截面)形成。

在解析几何中,柱面发挥了非常重要的作用,是许多几何问题的基础。

本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程,以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。

一、基本概念在三维空间中,一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移,形成的几何体称为柱面。

一般来说,柱面由两个参数来确定:直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹(曲线),其中t 表示参数。

柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。

当 t 取值范围在一定区间内时,曲线将描绘出柱面的一个部分。

如果该区间为 (-∞, +∞),则曲线将描绘出柱面的整个部分。

二、一般方程在解析几何中,我们通常使用一般方程来描述柱面。

一般方程的形式如下:Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数,x、y、z 分别表示三个坐标轴。

该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。

如果 A、B、C 中只有两个非零项,那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。

三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。

我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。

具体步骤如下:1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。

经过平移后,方程变为 Ax + By - z^2 = 0。

2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0,将它代入上式中,得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。

3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式,即:x =zx',y = zy',其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。

方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。

4、将上式移项,化为关于 x' 和 y' 的二次方程。

根据二次方程的解法,可以求得 x' 和 y' 的值。

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线   平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)

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[研一题] [例2] 证明:定理2的结论(1),即β>α时,平面π与圆 锥的交线为椭圆. 分析:本题考查平面与圆锥面的截线.解答本题需要 明确椭圆的定义,利用椭圆的定义证明.
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证明:如图,与定理1的证明相同,在圆锥内部嵌入 Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的 下方,并且与平面π及圆锥均相切.
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2.平面与圆锥面的截线
(1)如图,AD是等腰三角形底边BC上的高,∠BAD=α,
直线l与AD相交于点P,且与AD的夹角为β(0<β<),则: ① β>α ,l与AB(或AB的延长线)、AC相交; ② β=α ③ β<α ,l与AB不相交; ,l与BA的延长线、AC都相交.
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(2)定理2:在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O 点,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥 面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=
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在 Rt△PBQ1 中,PB=PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ = . PA cos α PF1 又∵PQ1=PF1,α=β,∴ =1, PA 即 PF1=PA, 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离,故当 α=β 时,平面与圆锥的交线为抛物线.
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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当β>α时,由上面的讨论可知,平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线.设两个球与平面π的切点分别为F1、F2,与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P,连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1,交S2于Q2,于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线,因

新培优数学选修课件第章柱面与平面的截面

新培优数学选修课件第章柱面与平面的截面

02
CATALOGUE
柱面与平面的基本概念
柱面的定义和分类
柱面定义
柱面是由一条定曲线沿着一条定 直线平行移动所形成的曲面,其 中定曲线称为柱面的准线,定直 线称为柱面的母线。
柱面分类
根据准线的形状,柱面可分为圆 柱面、椭圆柱面、抛物柱面、双 曲柱面等。
平面的定义和性质
平面定义
平面是三维空间中的一个二维子空间 ,可以看作是由无数个共线的点所组 成的集合。
椭圆形截面也在一些工程问题 中出现,如某些特殊的建筑结 构、机械零件等。
其他形状截面
除了圆形和椭圆形,柱面与平面的截 面还可能出现其他形状,如矩形、多 边形等。
了解这些截面形状的性质和特点,有 助于更好地理解和应用柱体几何知识 。
这些形状的出现取决于平面的位置和 倾斜角度,以及柱体的形状和大小。
04
截面的对称性和中心性
对称性
某些截面(如圆形、正方形等) 具有对称性,即关于某条直线或 某个点对称。这种对称性在几何
变换中具有重要意义。
中心性
对于具有对称中心的截面(如圆 形、正方形等),其对称中心往 往也是截面的几何中心。这种中 心性在求解某些几何问题时非常
有用。
应用
利用截面的对称性和中心性,可 以简化几何问题的求解过程,提
增强了空间想象能力
通过大量的几何图形和空间结构的分析,增强了空间想象能力和 几何直观能力。
锻炼了思维能力
在求解柱面与平面截面的过程中,需要灵活运用代数和几何知识 ,锻炼了思维能力和解决问题的能力。
对未来研究的展望
深入研究柱面与平面的截面理论
进一步完善和发展柱面与平面的截面理论,探索更多新的性质和应 用。
设计中,如罗马柱、拱门、穹顶等。

圆柱与圆锥PPT课件

圆柱与圆锥PPT课件

3、看图
最左 素线
最后 素线
最右 素线
最前 素线
第四页,共14页。
6. 截交线
1) 截平面平行于底面 2) 截平面平行于轴线
1`
2`
1``
2``
1 2 PH
第五页,共14页。
求斜切圆柱的截交线
1'
5‘ 6' 3‘(4 ‘)
7'8'
2'
4
8
6
6" 4"
8"
2
1
1" 2"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭圆,侧面 投影为圆;
殊点A、B、C、D、E 、F;
3.求出一般点1、2;
4.光滑且顺次连接各点 ,作出截交线,并且判别 可见性;
5.补全轮廓素线的投影。
第十二页,共14页。
根据轴测图,画被切圆锥的三视图。
第十三页,共14页。
5)截平面平行于轴线--双曲线
1’ 4’(5’)
(2’)3’
2
5 1 4 3
第十四页,共14页。
第二页,共14页。
§3 回转体
回转体是由回转面或回转面和平面围成的立体;而回转面是由一条母 线绕一轴线回转而形成的。
一、圆柱体
1.形成
轴线
圆柱体是由圆柱面和上下底平面围成,圆
柱面可以看成是由一条直母线绕一轴线回转 而形成。母线的任一位置称为素线。
直母线
第三页,共14页。
2、画法
1) 画轴线的三面投影 2) 画上下底的三面投影 3) 画转向轮廓线的投影
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ
5"
、Ⅲ、 Ⅳ ;

3柱面与平面的截面

3柱面与平面的截面
§3柱面与平面的截线
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
l
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
l
如图1
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
图5
定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆.
如图 6, F1、F2是 椭圆的焦点, B1 B2是 F1 F2的中垂线.我们 把A1 A2叫做椭圆的 长轴 , B1 B2叫做椭圆
A1 F1
B2
O
F2 B1
A2
图6
的 短轴 , F1 F2叫做椭圆的 焦距.如果长轴 为2a, 短轴为2b, 那么焦距2c 2 a b .
l
如图1
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
l
如图1
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
l
如图1
3.1柱面、旋转面
如图,圆柱面可以看成 一个矩形ABCD一一 边CD所在的直线为轴 旋转一周后AB边所形 成的曲面
2 2
3.3 一般截面
如图6,你能叙述动点P 的轨迹?你能根据截面 与柱面的轴不垂直时得 到什么结论?
F1
P

F2
图6

C
图4
3.3 一般截面
如图5把两个球放 入圆柱内,使它们 位于平面 的两侧 ,且每一个球既与 圆柱相切,又与平 面 相切,像这样 的求称为“焦球” (又称Dandelin球) 。请问你如何证明动 点P的轨迹是椭圆?

柱面锥面二次曲线

柱面锥面二次曲线

(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值,此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆,它的两半轴为:a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点(± a 1 h2 c2 ,0, h)与
(0, ±b 1 h2 c2 , h)分别在两条主截线(双
曲线)上,且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面,叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2

x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 :坐标原点(1个);
主轴 :x轴、y轴和z轴(3条);
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线,
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:

线
柱面举例:
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z

• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程:
x2 2y
平面方程:
相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面形状的截痕法:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.

第四章 立体的表面交线

第四章 立体的表面交线

第四章立体的表面交线形体表面常见到两种交线,一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线,另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线,如图4-1所示。

图4-1立体表面交线实例第一节平面体的截交线基本形体经平面切割后形成新的形体,切割基本形体的平面称为截平面,截平面与形体表面的交线称为截交线,由截交线围成的平面图形称为截面(或断面),它是新形体的一个表面,如图4-2所示。

截交线是相交两表面的共有线,也是它们的分界线,这些分界线是由一系列共有点组成的,因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。

图4-2 平面体截交线的概念一、平面体表面取点平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影,求作该点其余的投影,并判别其可见性。

在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得;在一般位置平面上的点,则要利用“找点先找线”的方法求得,即过已知点作一辅助直线,求出辅助直线的投影,再求辅助直线上已知点的投影。

其次要注意判别点的可见性,即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。

【例4-1】如图4-3所示,已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影(a’)和b’,求出它们的水平投影和侧面投影。

图4-3 三棱柱表面取点分析:由图4-3(a)可以看出,点A的正面投影不可见,可判断A在三棱柱的后棱面上;点B正面投影可见,又位于右侧,可判断B在三棱柱的右侧棱面上,由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性,因此可利用积聚性直接作图。

作图:①根据“长对正”的投影规律,如图4-3(b)所示,由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱面及右侧棱面的水平投影(斜直线)相交,交点即为A点、B点的水平投影a和b。

②根据“高平齐,宽相等”的投影规律,由a'、b'和a、b求得a"、b"。

③判别可见性,点A所在的平面,其水平投影和侧面投影均具有积聚性,所以无需判别它的可见性。

点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见,故b" 不可见,标记为(b")。

剖面图和断面图

剖面图和断面图

. ....
. .. .
..
. .
..
.
. .
. .
..
. . .
. ....
.. ..
.. ... .. .
... ...
. ...........
..
.. ..
精品课件
精品课件
(6)编号
编号采用阿拉伯数字或大写拉丁字母按顺 序由左至右、由下至上连续编排,并注写在投 射方向线的端部。
2
1
1
2
精品课件
精品课件
1.1.2 剖面图的标注
(1) 剖切符号用两段短的
粗实线—表示,用以表示剖
切位置,画在剖切面的起始、 转折和终止处,尽可能不要 与图形的轮廓线相交。6— 10mm的粗实线。
(2) 投射方向用 表示, 画在剖切符号的两外端, 并与剖切符号垂直 。4— 6mm的粗实线。
(3) 在剖面图的上方用大写拉丁字母标出剖面图的名称“-”,
精品课件
旋转剖可用于表 达轮、盘类物体上的 孔、槽结构,及具有 公共轴线的非回转体 物体。
旋转剖的标注规 定与阶梯剖相同。
当剖切后产生不完整要素时,应将此部分按不剖绘制。
精品课件
精品课件
1.2.6 展开剖面 剖图切面是用曲面或平面与曲面组合而成的铅垂面,它是随
着工程构造物的中线弯曲而弯曲的,然后把剖切面展平 (拉直),使它平行正平面并进行投影,从而画出的剖面 图。称为展开剖面图。
剖面图和断面图
精品课件
在前面学习的投影图中,凡是看得 见的轮廓线用实线表示,看不见的 轮廓线用虚线表示。如果立体形状 复杂,那么虚线会太多,图线就会 混杂不清,即影响图样的清晰,又 较难标注尺寸。遇到这种情况,工 程上采用剖面图和断面图表示。 本节将介绍剖面图、断面图以及其 他规定画法和简化画法。

弹性力学讲义-第2章(b)

弹性力学讲义-第2章(b)

v dy y
dy B

B
u u dy y
A
y
和PB的正应变
v y y
问题 试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的 伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy ,用位移分
量来表示。
v v dx v v x dx x u y
xy
Q 2 3Q 2 2 2 h 4y h 4y 3 8I 2bh




§2-4 几何方程 刚体位移
考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量 与位移分量之间的关系式, 也就是平面问题中 的几何方程。
§2-4 几何方程 刚体位移
一点的变形
0
u
v
u
P
取任意一点 P
x方向线段PA=dx
求位移
u 0 x
u f1 ( y )
v u x y 0
v 0 y
v f 2 ( x)
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
§2-4 几何方程 刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明:
,
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x
h
bh 3 I 12
b
解:
弹性力学中的平衡微分方程(假定体力为零)为
x yx 0 x y
x xy dy f ( x) x M z y dy f ( x) x I
弹性力学讲义

柱平法施工课件

柱平法施工课件

A
A
•柱平法施工
•27
2. 板中构造钢筋
(3)嵌入承重墙内的板面构造钢筋
板角破 坏
•柱平法施工
•28
•柱平法施工
•29
4. 板的平法识读
4.1 板的平面表示方法 4.1.1 坐标方向的规定 当两向轴网正交布置时,图面从左至右为X方向, 从下至上为Y方向; 当轴网转折时,局部坐标方向顺轴网转折角度 做相应转折; 当轴网向心布置时,切向为X方向,径向为Y方 向。
(2)直径不同情况
例2:板上部已配置贯通纵筋10@250,该跨同向配置 的上部支座非贯通纵筋为③12@250,表示在该支座 上部设置的纵筋实际为(110+112)/250,实际间距 为125mm。
•柱平法施工
•45
4.2、板的平法标注和传统标注比较
板的传统标柱 注:未注明分布筋间•柱距平为法施8工@250温度筋为8@200 •46
当在某些板内(例如在延伸悬挑板YXB,或纯悬挑 板XB的下部)配置有构造钢筋时,则X向以Xc,Y向 以Yc打头注写。
•柱平法施工
•32
(4)板面标高高差 板面标高高差系指相对于结构层楼面标高的高差,应将其注写 在括号内,且有高差时注,无高差时不注。
(5)有关说明 同一编号板块的类型、板厚和贯通纵筋均应相同,但板面标高、 跨度、平面形状以及板支座上部的非贯通纵筋可以不同,如同一 编号板块的平面形状可为矩形、多边形及其它形状等。
➢截面尺寸: 矩形柱……注写截面尺寸b ×h及
与轴线关系的几何参数代号b1、b2和h1、 h2的具体数值,需对应于各段柱分别注写。
•柱平法施工
•6
➢注写柱纵筋:当纵筋直径相同、各边根数相 同时,将纵筋注写在“全部纵筋”一栏中; 除此之外,柱纵筋分角筋、截面b边中部筋和 h边中部筋三项分别注写。

圆柱的截面课件

圆柱的截面课件

03
截面面积计算方法探讨
平行截面面积计算
矩形截面
当截面与底面平行且为矩形时,截面 面积等于矩形长乘以宽。
圆形截面
当截面与底面平行且为圆形时,截面 面积等于圆的面积,即πr²。
垂直截面面积计算
椭圆截面
当截面与底面垂直且为椭圆时,截面面积等于椭圆面积,即πab,其中a、b分别 为椭圆长半轴和短半轴。
平行于底面截切
01
02
03
截面形状
当截面平行于底面截切时 ,截面形状为圆形。
截面面积
截面面积等于底面积,即 πr²。
截面性质
截面上的任意一点到圆心 的距离相等,具有中心对 称性。
垂直于底面截切
截面形状
当截面垂直于底面截切时 ,截面形状为矩形。
截面面积
截面面积等于底周长与高 的乘积,即2πrh。
截面性质
圆柱的截面课件
汇报人: 日期:
目录
• 圆柱基本概念与性质 • 圆柱截面形状分析 • 截面面积计算方法探讨 • 典型例题解析与讨论 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆柱基本概念与性质
圆柱定义及分类
定义
由两个平行且相等的圆面以及连 接两圆的柱面所围成的立体图形 。
分类
根据底面圆的大小和位置关系, 可分为正圆柱、斜圆柱、偏心圆 柱等。
长边与底面平行,短边与 底面垂直,不具有中心对 称性。
斜向截切
截面形状
当截面斜向截切时,截面形状为椭圆 形。
截面面积
截面性质
斜向截切时,截面上的任意一点到椭 圆中心的距离不相等,不具有中心对 称性。同时,斜向截切的椭圆长短轴 与底面和截面的交线有关。
截面面积的计算相对复杂,需根据具 体的斜向角度和截切位置进行计算。

剖视图课件

剖视图课件

局部剖视图 用剖切面局部地剖开机件所得的剖视图。 用于表达局部内部结构形状(内外兼顾)。
局部剖视图示例
局部剖视图中,剖与未剖部分的分界一般用波浪线表示, 波浪线不应与其他图线或图线的延长线重合。
当被剖结构为回转体时,允许将该结构的轴线作为局部剖 视与视图的分界线。
机件在对称面上有棱边,不宜用半剖视表示时, 可用局部剖视表示。
除单一剖切平面通过机件的对
称面或剖切位置明显,且中间又 无其他图形隔开时,可省略标记 外,其余都必须标注剖切标记。
标记为在剖切平面的起、迄、
转折处画出粗短画,并注上相同 的字母,在起、迄的粗短画外端 画出箭头表示投射方向。在所画 的剖视图的上方用相同的字母标 注其名称“×—×”。
机件的各种表示法——断面图
剖视图概念
画剖视图的方法和步骤
(1)画视图底稿。 (2)确定剖切平面的位置。
画出剖面区域。剖面区域内画剖面符号。 (3)画出剖切平面后可见部分的投影。
画出必要的细虚线。 (4)剖视图标注,图线描深。
剖视图的画法
A-A
A
A
• 确定剖切面的位置:剖切面尽量通过机件较多的内部结构 (孔、槽等)的轴线、对称面。
相交平面剖切机件 肋的画法
动画
几个相交平面剖切机件的图例
由于三个剖切平面不与基本投影面平行,其剖视图 采用展开画法。
动画
几种剖切面组合剖切机件
动画
剖视图的种类
剖视图分为: 全剖视图 半剖视图 局部剖视图
全剖视图--用剖切面完全地剖开机件所得的剖视图。
全剖视图主要用于表达不对称机件、外形简单的 对称机件的内形。
半剖视图 当机件具有对称平面时,在垂直于对称平面
的投影面上投射所得的图形,可以对称中心线为界,一半画 成剖视图,另一半画成视图,这样的图形称为半剖视图。

弹性力学第二章.ppt

弹性力学第二章.ppt

定义 位移边界条件
§2-6 边界条件
边界条件 --表示在边界上位移与约 束,或应力与面力之间的关系。
位移边界条件 --设在su部分边界
上给定位移分量 u (s) 和 v(s) ,则有
(u)s u(s), (v)s v(s), (在 su上)。(2-14)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
位移边界条件的说明:
第二章 平面应力问题和平面应变问题
斜面应力
(3)求主应力
设某一斜面为主面,则只有 σn σ, τn 0, 由此建立方程,求出:
σmax x y
σ min
2
tan 1

σ σ
1
2
xy
.

x

2
y
2


2 xy
,
(2-6)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平行xy面,柱体非常长;
故任何z 面(截面)均为对称面。
w 0, 只有u,v; (平面位移问题)
w 0 εz 0,

τzx, τzy 0 zx, zy 0,
只有 x , y , xy .
(平面应变问题)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应变
(2)由于截面形状、体力、面力及约束沿
故其物理方程为:
x


1 E
σx σ y
y


1 E
σy
σx

xy

21
E

xy
(2 12)
第二章 平面应力问题和平面应变问题
定义
对平面应变问题,由于 zy 0, zx 0

切柱面方程

切柱面方程

切柱面是在圆柱体上取一平面,该平面与圆柱体切割后所形成的曲面。

切柱面有着广泛的应用,如在机械加工中常用于制造齿轮、螺纹等零件,同时也被应用于建筑、航空航天等领域。

一、切柱面的定义切柱面是指一个平面与一根圆柱体相交所得到的曲面,通常我们所研究的是与圆柱体相交的平面。

如果平面截圆柱体的轴线,那么所得到的曲面就是圆锥面。

如果平面与圆柱体的轴线垂直相交,那么所得到的曲面就是平行截面圆柱面。

而如果平面与圆柱体的轴线不垂直也不截轴线,那么所得到的曲面就是切柱面。

二、切柱面的方程要求出一个切柱面的方程,我们需要先知道该平面相对于圆柱体的位置关系。

由于圆柱体是一个旋转体,因此可以通过极坐标系来描述其形状。

设圆柱体半径为r,高度为h,则圆柱体的极坐标方程为:r² + z² = h²其中,z表示圆柱体的高度。

假设平面与圆柱体的轴线不垂直且不截轴线,那么我们可以选择圆柱体上的一点作为平面上的一个点P,然后确定平面的法向量n。

设平面上一点为(x,y,z),则平面的方程可以表示为:n · (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = 0其中,(x₀, y₀, z₀)为圆柱体上的一点,n为平面的法向量。

我们可以通过求解圆柱体上的一点P和平面的法向量n来确定切柱面的方程。

具体步骤如下:1. 首先,我们需要确定圆柱体上的一个点P。

这个点可以通过给定的参数或者随机选择来确定。

2. 然后,我们需要确定平面的法向量n。

由于平面与圆柱体的轴线不垂直也不截轴线,因此我们可以选择一个与圆柱体轴线不共面的向量作为平面的法向量。

3. 接下来,我们可以将平面的方程带入圆柱体的极坐标方程中,解出与该平面交点的坐标。

这样就可以得到切柱面的方程。

三、切柱面的性质切柱面具有以下性质:1. 切柱面与圆柱体的截面相同。

2. 切柱面的形状取决于平面与圆柱体轴线的位置关系。

3. 切柱面的面积可以通过计算圆柱体的侧面积和平面与圆柱体的截面面积之和来计算。

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A.0
C.2 答案:CBFra bibliotek1D.由α的不同而定
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2. 一圆柱面底面的半径等于 2 cm, 一个截割圆柱面的平面与轴成 60° 角,从割平面上、下放入圆柱的两个内切球,使它们都与截 面相切,则这两个切点的距离为 2 3 A. 3 4 C.3 答案:B 4 3 B. 3 8 D.3 ( )
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点评:切线长定理的应用是本题证明的关键,因而可以先由学生 复习已经学习过的切线长定理,在此基础上由学生完成G2F1+ G2F2=AD的证明.第二问可以先由学生分析使G1G2=AD成立的
条件,从而探求证明的方法,在证明之后将其拓展到圆柱面和两
个球的关系上来,使学生自然完成知识的过渡和升华.
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3. 半径分别为 1 和 2 两个球的球心相距 12, 则这两个球的外公切 线的长为________,内公切线的长为________. 答案: 143 3 15
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要点阐释 1.如右图,设l为圆柱的轴,用垂直于l的平面α截圆柱,所得的交
线是圆.对此,我们给出如下解释.
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由于 AD 为定值,故点 P 的轨迹是椭圆. 由此可以得到定理 1:圆柱形物体的斜截口是椭圆. 并且注意研究相应椭圆的长轴长为 AD,短轴长为圆的直径,焦点 为切点 F1,F2,焦距 2c=2 a2-b2=F1F2.
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典例剖析
类型一
两个结论的应用
【例1】 已知,如图所示,AB、CD是两个等圆的直径,AB∥CD,
所以O1APO为平行四边形,
所以OP=O1A=r(常数). 故点P的轨迹为一个圆,即平面α与柱面的交线为一个圆.
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2.将两个球放入圆柱内,使它们位于平面 γ的两侧,且每一个球 既与圆柱相切,又与平面γ相切,则平面γ与圆柱面的截线是椭
圆.根据上面的结论,你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置是
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1.如图,AB、CD 是两个半径为 2 的等圆的直径,AB∥CD,AD, BC 与两圆相切,作两圆公切线 EF,切点为 F1、F2,交 BA、 DC 延长线于 E、F,交 AD 于 G1,交 BC 于 G2,设 EF 与 BC、 CD 的交角分别为 φ、 θ, 若 θ=30° , 则 G2F1+G2F2=________, G2F1 φ=________, G E =________. 2 8 3 答案:4+ 3 1 60° 2
∴G1G2=G1D+G2C.
连接F1O1,F2O2,
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由于O1F1=O2F2,∠O1F1E=∠O2F2F=90°,∠E=∠F,
∴△EF1O1≌△FF2O2. ∴O1E=O2F. ∵O1A=O2C,∴EA=FC. ∴△FCG2≌△EAG1. ∴G1A=G2C. ∴G1G2=G1D+G1A=AD.
切点F1,F2,长轴为G1G2,由前面可知G1G2=BC=AD,短轴 为球的直径.为了说明假设的正确性,可以对其进行证明,即 截口上任意一点P,PF1+PF2=定值. 若 P 与 G1 或 G2 重合时有 PF1 + PF2 = G1F1 + G1F2 = AD = G2F1 +
G2F2=定值.
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(1)
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(2) G2B 考察轴线面 ABCD, ∠AG2B=φ,cos φ=G E, 2 PK1 G2B ∴ PQ =G E. 2
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将图(1)的轴截面取出来得图(2), 则 F1F2=2c,G1G2=2a,且 G2B=G2F1=a+c, G2E=G1G2+G1E=2a+G1E. ∵△EAG1∽△EBG2, EG1 G1A ∴EG =G B. 2 2 G1A· EG2 G1F1EG1+G1G2 ∴EG1= G B = . GF
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当点P不在端点时,连接PF1、PF2,则PF1、PF2分别是两个球面
的切线,切点为F1、F2.过P作母线,与两球面分别相交于K1、K2,
则PK1、PK2分别是两球面的切线,切点为K1、K2.根据切线长定 理的空间推广,知PF1=PK1,PF2=PK2,所以PF1+PF2=PK1+ PK2=AD.
2 2 1
2a-2c ∵G1F1= 2 =a-c,G1G2=2a,G2F1=a+c, a-cEG1+2a ∴EG1= . a+c
《2.3 柱面与平面的截面》课件
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基础梳理 1.平面上一条曲线C绕着一条直线L旋转一周后所形成的曲面称
为 旋转面 .
2.用垂直于圆柱轴的平面截圆柱,所得交线是 圆 . 3.当截面β与圆柱面的轴不垂直时,所得交线为 椭圆 .
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预习测评 1.一个平面和圆柱面的轴成 α角(0°<α<90°),则同时与圆柱面 和该平面都相切的球的个数为 ( )
由于l⊥α(垂足为O),l⊥⊙O1所在的平面, 所以平面α∥⊙O1所在的平面. 设P为平面α与柱面交线上的任意一点, 过点P作圆柱的母线AB,则AB∥l,
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AB与 l 确定一平面 O1ABO2 ,它与平面 α 的交线为 OP,与⊙ O1 所在 的平面的交线为O1A, 因此O1A∥OP.
AD 、 BC 与两个圆相切,作两圆的公切线 EF ,切点分别为 F1 、 F2,交BA、DC的延长线于E、F,交AD于G1,交BC于G2,
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求证:(1)G2F1+G2F2=AD; (2)G1G2=AD.
证明:(1)由切线长定理可知:
G2F1=G2B,G2F2=G2C, ∴有G2F1+G2F2=G2B+G2C=BC=AD. (2)∵G1G2=G1F2+G2F2, 由切线长定理可知G1F2=G1D,F2G2=G2C,
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类型二
截面的性质
【例 2】 如下图所示,设两个焦点的距离为 F1F2=2c,两端点的 距离为 G1G2=2a.求证:点 P 到 F1 的距离与它到直线 l1 的距 c 离之比为a.
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PK1 PF1 证明:如图(1),∠QPK1=φ,cosφ= = . PQ PQ
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