等腰三角形与直角三角形

证法二、过E作EM//BC交BA的延长线于M
∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠1=∠C，∠B=∠M ∴∠1=∠M ∵在△EFM中，∠M+∠MEF+∠EFM=180° 即∠M+∠1+∠2+∠3=180° E M 1 2 ∵∠2=∠3 A ∴2（∠1+∠2）=180° 3 F 即∠1+∠2=90° ∴EF⊥EM B ∴EF⊥BC
2．等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边。
问题解决：若系重物的绳经过BC中 点，根据等腰三角形“三线合一” 的性质，有AD⊥BC，因为AD是竖直 向下，垂直于地面，所以此时房梁 是水平的。 等腰三角形的“三线合一”的性 质提供了构造直角三角形及证明垂 直的方法。
三、例题解析
例1．已经如图，在△ABC中，AB=AC，E在
2
∵BD⊥AC于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠1=∠DBC
1 即∠DBC= A 2
Ｂ
Ａ
1
D
E
C
证法二：（加倍法） 如图
作∠C′BD=∠CBD，交AC于C′ ∴C′B=CB ∵BD⊥AC ∴∠C′BC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC
A
C′
∴∠ABC=∠C
∴∠A=180°-2∠C ∴∠C′BC=∠A
CAM BAD AC AB 3 1
Ｍ
Ａ
Ｅ
Ｄ
１ ２
３
∴△ACM≌△ABD（ASA）
∴BD=CM B Ｃ 1 ∴CE= BD 2 等腰直角三角形为我们证明三角形全等提供了条件。
四、问题探究 现在有一块长方形木板的残留部分，它 的两条对边AB、CD整齐且平行，但另两条对 边参差不齐，现在没有直角尺，请你在毛边 附近画出一条与AB、CD都垂直的边来。
A
４ ３
Ｈ
Ｄ
B
∵∠4+∠3=90° ∴∠2=∠4 ∴在△DHC和△GHA中
2 4 CH AH CHD AHG
C
１
２
∴△DHC≌△GHA（ASA） ∴DH=GH ∴BH－DH=CH―GH A
Ｇ Ｅ
４ ３
∴BD=CG
Ｈ
Ｄ
B
例5．如图在△ABC中，∠A=90°， AB=AC，BE平分∠ABC交AC于D， CE⊥BE于E。
A
B
D C
2．如图在△ABC中，已知AB=AC， ∠BAC=90°。D是BC上一点，EC⊥BC， EC=BD，DF=FE。 求证：AF⊥DE
A
3
4
E B F
1 2
D
C
3．某中学师生在工厂参观中，看到工人师傅 在材料的边角处画直角时，用“三弧法”。方 法如下（如图） （1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为 半径画弧相交于C。 （2）以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC延 长线于D D （3）连结DB 请问∠ABD是△直角吗，为什么？ C
C
证明两直线夹角为90°，也是证明两直 线垂直的常用方法。也提供了由等腰三角形 构造直角形的另一种方法，如图，已知△ABC 中，AB=AC，延长线BA到D，使AD=AB，连结DC， 可得△BDC为直角三角形。 D
A
B
C
例题解析 例 2 ．如图在△ ABC 中， AB=AC ，BD⊥AC于 D 。 求证：∠DBC= 1
Ａ D
B
C
解：（1）在AB边上靠近A、B的位置分别取点E、F
（2）以E、F为圆心，EF长为半径画弧相交于Ｍ点
（3）以Ｍ为圆心，ＥＦ长为半径画弧，
交EM的延长线于N （4）连结FN （5）延长FN交CD于K 由例1中方法二的证明可知FN⊥AB。 Ａ D E M F B N K C
五、作业 1．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A BD是AC边上的高 求∠DBC的度数
A
B
参考答案
1．18°
2．证明：∵在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90° ∴∠B=∠1=45° ∵EC⊥BC ∴∠2=45° ∴∠2=∠B
在△ABD和△ACE中
AB AC B 2 BD CE
∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴AD=AE ∵DF=FE ∴AF⊥DE
等腰三角形与直角 三角形(一)
数学 初二
一、提出问题： 瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时 就用一块等腰三角板，放在梁上（如图）从顶 点系一重物，如果系重物的绳正好经过三角板 底边中点，房梁就是水平的，为什么？ A B D C
二、问题的解决
等腰三角形的性质： 1 ．等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角） 注意：“等边对等角”是指同一三 角形中的边角关系。
1 求证：CE= BD 。 2
Ａ Ｅ
Ｄ
B
Ｃ
证明：延长BA、CE交于M点
∵BE平分∠ABC
∴∠1=∠2 ∵BE⊥CE ∴∠2+∠BCE=90°，∠1+∠M=90° ∴∠M=∠BCE ∴BC=BM Ａ
1 ∴CE= CM 2
Ｍ
Ｅ Ｄ
∵AB⊥AB ∴∠3+∠M=90° ∴∠3=∠1
B
１ ２
３
Ｃ
在△ACM和△ABD中
A
E
1 3 2 4
C
∴BD⊥CD
D
例4．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边 上任一点。 AE⊥CD于E，CH⊥AB于H，交AE于G 求证：BD=CG
C Ｇ Ｅ A Ｈ Ｄ B
证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90° ∴∠CAB=45° ∵CH⊥AB于H ∴∠1=45°，AH=BH C ∴∠1=∠CAB １ ２ ∴CH=AH=BH ∵AE⊥CD于E Ｅ Ｇ ∴∠2+∠3=90°
1 即∠DBC= A。 2
D B
C
例 3 ．已知，如图△ ABC 是等边三角形， AE 平分∠BAC交 BC于E，以BE为边向△ABC的外 部作等边△BED。 求证：BD⊥CD
A
B
E
C
D
证明：∵△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC交BC于E
∴BE=EC
∵△BED为等边△
∴∠1=∠2=60°BE=ED ∴DE=EC ∴∠3=∠4 ∵∠2=∠3+∠4 ∴∠3=30° B ∴∠BDC=∠1+∠3=60°+30°=90°
2
A
A
D B C
证法一：∵在△ABC中，AB=AC，
180 A 1 90 A ∴∠ABC=∠C= 2 2
∵BD⊥AC于D ∴在△BDC中，∠DBC=90°-∠C
1 1 =90°-（90°- A ）= A 2 2
A
D B
C
（折半法） 证法三：如图，作AE⊥BC于E ∵AB=AC 1 ∴∠1= BAC 且∠1+∠C=90°
3．参考例1证法二。
教师：白芳
CA的延长线上。∠AEF=∠AFE。
E
求证：EF⊥BC。
F
ALeabharlann BDC证法一、作BC边上的高AD，D为垂足。
∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAC=2∠1 又∵∠BAC是△AEF的一个外角，∠E=∠3 E ∴∠BAC=∠E+∠3=2∠3 ∴2∠1=2∠3 A
3 1 2
∴AD//EF
∴EF⊥BC。
F
B
D
C