专题二 曲线运动与万有引力
高中物理复习知识点总结02---曲线运动与万有引力
二、曲线运动与万有引力
知识点 1 平抛运动
基础回扣
1.曲线运动
(1)运动条件:合外力与 v 不共线。(a、v 不共线;Δv、v 不共线)
(2)运动性质:做曲线运动的物体,速度的方向时刻在改变,所以曲线运动一定是变速运
动。
(3)合力方向与轨迹的关系:物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间,
a=v2 r
a=ω2r
a=4ߨ2r T2
f=1 T
s
质点运动一周
所用的时间
T=2ߨr v
T=2ߨ ω
转速 n 与频率
相当
(2)匀速圆周运动
①特点:加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变加速运动。
②条件:合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
ݒ2
2 4π2r
22
③常用公式:F=m = ݎmω r=m ܶ2 =mωv=4π mf r。
(3)变速圆周运动
ܨۓ合不指向圆心,沿半径方
ۖۖ向的分力ܨ୬充当向心力;
ۖܨ合沿半径方向的分力ܨ୬
⇒۔改变线速度的方向,垂直 ۖ半径方向的分力୲ܨ改变 ۖ ۖ线速度的大小 ە
(4)在传动装置中各物理量之间的关系
①同一转轴的各点角速度 ω 相同;
②当皮带不打滑时,用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等。
动。
图示
物理量
x 方向 分运动
y 方向 分运动
合运动
速度
vx=v0
vy=gt=
v=ටvଶ v୷ଶ
ඥ2gy
tan β=vy v0
位移
x0=v0t
y0=12gt2
2023届高考物理三轮重点题型2万有引力与曲线运动
高考三轮：重点题型--万有引力与曲线运动(2)❶万有应力的应用：万有引力定律、天体问题、双星问题、宇宙速度、同步卫星❷曲线运动的综合应用：平抛运动、匀速圆周运动、曲线运动中的能量与动量问题1我国已成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。
该卫星()A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少解析D 同步卫星只能位于赤道正上方，A 错误；由GMm r 2=mv 2r 可得v =GM r ，可知卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C 错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
2世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。
如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A 与轨道B 相切于P 点，轨道B 与轨道C 相切于Q 点，以下说法正确的是()A.“墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中速率越来越大B.“墨子号”在轨道C 上经过Q 点的速率大于在轨道A 上经过P 点的速率C.“墨子号”在轨道B 上经过P 点时的向心加速度大于在轨道A 上经过P 点时的向心加速度D.“墨子号”在轨道B 上经过Q 点时受到的地球的引力小于经过P 点时受到的地球的引力解析D “墨子号”在轨道B 上由P 向Q 运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，故选项A 错误；“墨子号”在A 、C 轨道上运行时，轨道半径不同，根据G Mm r2=m v 2r 可得v =GM r ，轨道半径越大，线速度越小，故选项B 错误；“墨子号”在A 、B 两轨道上经过P 点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，故选项C 错误；“墨子号”在轨道B 上经过Q 点比经过P 点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，故选项D 正确。
曲线运动万有引力定律
曲线运动万有引力定律（一）圆周运动【例题精选】：例1：在图6（a）的装置中，质量为M的物体与质量为m的物体用细绳连接，物体M与转台一起以角速度ω做匀速圆周运动，试分析M的转动半径R。
解：物体M m与构成连接体，隔离M m与且做受力分析（如图6(b)所示），二者的受力情况中，绳子两端的拉力T大小相等，m处于平衡状态，有T mg=——————①M在水平面做匀速圆周运动，Mg与N相互平衡，而T为向心力即T M R=ω2——————②由①式与②式可得mg M R=ω2·Rmg M =ω2若M的转动半径RmgM>ω2,而m M、与ω不变，则绳子的拉力T mg M=小于所需的向心力，M将要远离圆心，若该桌面是粗糙时此时物体M会受到指向圆心的摩擦力作用。
设最大静摩擦力为f R Mm,'为可能的最大半径.如图7(a)，则有T f M R m +=ω2'又因T mgR mg f M m=∴'=+ω2若M 的转动半径R mgM 〈ω2,绳子的拉力T mg M =大于所需的向心力，物体M 将要向圆心运动，此时摩擦力方向背离圆心，此时物体M 会受到背离圆心的摩擦力作用。
设''R M 为物体的最小圆半径.如图7(b)， 则有T f M R m -=''ω2同样T mgR mg f M m=∴''=-ω2例2：如图8(a)，一根轻杆长L ，两端各固定一个质量为m 的小球A 和B ，在距A 球L 3处有一转轴O ，当杆绕轴在竖直平面内匀速转动时，周期T L g=2π，分析杆转到图示的竖直位置时，两球对杆的作用力及轴对杆的作用力。
解：隔离A 球与B 球，且做受力分析如图8(b)，设杆对A 球有向下拉力N 1，杆对B 球有向上拉力N 2，这时因轴对杆可能也有力的作用，所以不能认为N 1与N 2的大小相等。
两球的角速度相同，且ωπ==2T gLA ,球的圆周半径R LB A =3,球的圆周运动半径R L B =23，根据牛顿第二定律列出方程，对A 球有 N mg m L123+=ωN m g L L mg mg 12323=⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-·N 1得出负值说明N 1的实际方向与所设方向相反即杆对球是向上的支持力，大小为23mg ,球对杆则是向下压力，大小为23mg .对球有B N mg m L 2223-=ωN m g L L mg mg 222353=⎛⎝ ⎫⎭⎪+=·即杆对球有向上拉力，大小为53mg ，而球对杆的作用力应向下，大小为53mg 。
高三复习专题：曲线运动与万有引力
第1讲 曲线运动的合成与分解、抛体运动一、运动的合成和分解的两类典型问题题型一 船渡河问题一般只讨论v v >船水时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短；二是合速度垂直河岸时渡河位移最小。
但如果v v <船水，船头无论指向何方都不会垂直到达对岸，此时若求渡河的最小位移，会有一定难度。
【例1】河宽d ＝100 m ，水流速度1v ＝3m ／s ，船在静水中的速度是4m/s 。
求：（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移多大?（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河?渡河时间多长?变式训练1 如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α，船的速率为( )(A)sin v α (B)sin v α (C)cos v α (D)cos v α题型二 “关联”速度问题在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度（合速度就是物体实际运动的速度）；其次由物体的实际运动确定其是由哪些分运动合成的，从而找出相应的分速度。
一般的分解思路，沿着绳子方向和垂直于绳子方向将实际运动分解即可。
另外还可依据关联速度----沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等。
【例2】如图所示，用船A 拖着车B 前进，若船匀速前进，速度为A v ，当OA 绳与水平方向夹角为θ时，求：（1）车B 运动的速度B v 多大？（2）车B 是否做匀速运动？二、平抛运动1、平抛运动的规律（1）水平方向（2）竖直方向（3）水平方向和竖直方向分运动的关系2、平抛运动的两个重要推论（1）（2） 题型一 平抛运动的规律应用解决平抛运动最基本的方法是将物体运动分解，一般研究的物理量是速度和位移。
至于是分解速度还是分解位移应根据题目所给条件，有时要同时分解速度和位移，分别研究水平方向和竖直方向所遵循的规律。
【例3】．以初速为0v ，射程为s 的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。
《曲线运动万有引力》课件
有心力场近似
局限性
在研究天体运动时，由于天体之间的距离 极大，可以近似地将万有引力视为均匀力 场，简化计算过程。
万有引力定律不适用于微观领域和高速运 动的物体间相互作用，此时需要考虑量子 力学和狭义相对论等其他理论。
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
曲线运动与万有引力的 关系
一个地球仪、一个小球、一个稳定的平桌 面。
实验结论
通过实验可以发现，小球受到地球的万有 引力作用，沿着一定的轨迹运动，形成了 天体运动的规律和特点。
实验三：研究物体在太空中的运动的实验
实验目的
通过模拟物体在太空中的运动，了解 物体在太空中的运动规律和特点。
实验步骤
将小球放置在稳定的平桌面上，然后 将真空容器盖在平桌面上，排除空气 ，观察小球的轨迹和运动情况。
车辆的行驶过程中，圆周运动起着重要的作用，如轮胎的滚动、方向盘的控制等。
详细描述
车辆在行驶过程中，轮胎与地面的接触点在不断地改变，形成圆周运动。这种圆周运动使得车辆能够顺利地转弯 、刹车和加速。同时，方向盘的控制也涉及到圆周运动，通过调整方向盘的角度，可以改变车辆的行驶方向。
卫星轨道的运动与万有引力
卫星的稳定运行和精确控制。
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SUMMAR Y
05
实验演示与结论
实验一：验证万有引力定律的实验
实验目的
通过实验验证万有引力定律，了解万有引力定律在现实生活中的应用 。
实验材料
两个不同质量的球体、一根细线、一个秤、一个稳定的平桌面。
实验步骤
将两个球体用细线悬挂起来，让它们稳定地停在空中，然后将稳定的 平桌面放置在两个球体下方，观察球体的运动情况。
曲线运动和万有引力专题
曲线运动、万有引力考点例析本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。
（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。
（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。
注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。
近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。
卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。
本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：①在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
③做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：①分运动的独立性；②运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；③运动的等时性；44运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
）3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度v 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.①位移分位移0x t =v , 212y gt =,合位移s ,0tan gtϕ=v .ϕ为合位移与x 轴夹角.②速度分速度0x =v v ,y gt =v ,合速度v 0tan gtθ=v . θ为合速度v 与x 轴夹角 (4)．平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
曲线运动+万有引力定律知识点总结
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
高二物理曲线运动·万有引力知识点整理
高二物理曲线运动·万有引力知识点整理自然界中任何两个物体都是互相吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量成正比,跟它们的距离的二次方成反比。
接下来小编为大家整理了高二物理学习内容，一起来看看吧!高二物理曲线运动·万有引力知识点整理曲线运动质点的运动轨迹是曲线的运动1.曲线运动中速度的方向在时刻改变，质点在某一点(或某一时刻)的速度方向是曲线在这一点的切线方向2.质点作曲线运动的条件：质点所受合外力的方向与其运动方向不在同一条直线上;且轨迹向其受力方向偏折;3.曲线运动的特点曲线运动一定是变速运动;曲线运动的加速度(合外力)与其速度方向不在同一条直线上;4.力的作用力的方向与运动方向一致时，力改变速度的大小;力的方向与运动方向垂直时，力改变速度的方向;力的方向与速度方向既不垂直，又不平行时，力既搞变速度大小又改变速度的方向;运动的合成与分解1.判断和运动的方法：物体实际所作的运动是合运动2.合运动与分运动的等时性：合运动与各分运动所用时间始终相等;3.合位移和分位移，合速度和分速度，和加速度与分加速度均遵守平行四边形定则;平抛运动被水平抛出的物体在在重力作用下所作的运动叫平抛运动。
1.平抛运动的实质：物体在水平方向上作匀速直线运动，在竖直方向上作自由落体运动的合运动;2.水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动具有等时性;3.求解方法：分别研究水平方向和竖直方向上的二分运动，在用平行四边形定则求和运动;匀速圆周运动质点沿圆周运动，如果在任何相等的时间里通过的圆弧相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
1.线速度的大小等于弧长除以时间：v=s/t，线速度方向就是该点的切线方向;2.角速度的大小等于质点转过的角度除以所用时间：ω=Φ/t3.角速度、线速度、周期、频率间的关系：(1)v=2πr/T;(2) ω=2π/T;(3)V=ωr;(4)f=1/T;4.向心力：(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到的沿半径指向圆心的力，这个力叫向心力。
《曲线运动万有引力》课件
本课件通过实例和图解，详细解释了曲 线运动和万有引力之间的联系，帮助学
生深入理解这一物理现象。
对未来研究的思考
本课件虽然已经较为全面地介绍了曲线运动与万有引力之间的关系，但仍有许多 值得进一步探讨和研究的问题。
例如，可以进一步研究不同质量、速度和轨道形状对曲线运动的影响，以及万有 引力在不同环境下的变化规律。这些问题的研究将有助于更深入地理解物理现象 ，并为实际应用提供理论支持。
曲线运动与万有引力关系的实例分析
万有引力定律
万有引力定律指出任何两个物体间都存 在相互吸引的力，其大小与两物体的质 量成正比，与两物体间距离的平方成反 比。万有引力是维持行星沿轨道运动的 重要力。
VS
卫星绕地球运动
人造卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对 卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向 心力，使卫星能够稳定地绕地球运动。
例如地球上的抛物线运动，由于受到 地球引力的作用，物体的运动轨迹发 生偏转，最终形成抛物线运动。
曲线运动的形成
由于万有引力的作用，物体在运动过 程中受到的力矩不为零，导致物体的 运动轨迹发生偏转，形成曲线运动。
04
曲线运动与万有引力的实 例分析
天体运动的实例分析
天体运动轨道
行星绕太阳运动的轨道是椭圆，地球绕太阳运动过程中，地球与太阳之间的万有引力提供向心力，使地球沿椭圆 轨道运动。
曲线运动的分类
匀速曲线运动
物体在恒力作用下，速度大小保 持不变的曲线运动。
变速曲线运动
物体在变力作用下，速度大小发 生变化的曲线运动。
曲线运动的特点
速度方向时刻变化
01
由于曲线运动的速度方向与轨迹切线方向一致，因此速度方向
时刻变化。
第2轮复习2.0曲线运动、万有引力定律
专题二曲线运动、万有引力定律一、大纲解读1、物体做曲线运动的条件是：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
注意：曲线运动一定是变速运动：因为其速度的方向一定改变。
需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。
2、运动的合成和分解遵循的是平行四边形定则，合成与分解的是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量。
运动的独立性原理是进行运动合成的基础.所谓独立性就是几个分运动的效果都能在物体的实际运动中表现出来，只有这样我们才能把它们的效果叠加起来，即进行合成。
所以合运动与分运动具有等时性。
3、平抛运动的两个要点是必须受重力，且初速度方向水平，否则都只能是类平抛运动。
平抛运动是匀变速运动（这是很多学生易错的地方），处理方法是分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动。
4、圆周运动向心力的计算实际是牛顿运动定律的应用，求解时与应用牛顿第二定律一样，关键之一是进行受力分析，注意向心力是效果力，受力分析时不能分析的。
注意掌握几种常见的模型，圆锥摆，水流星，拱形桥、汽车与火车转弯。
5、应用万有引力定律解题时注意其适用条件是两质点间的万有引力，对匀质的小球即使离得近点也可以用万有引力定律求之间的作用力。
6、万有引力定律解决天体运行问题的要点之一是抓住万有引力提供向心力这个关键。
进行有关估算时，先建立匀速圆周运动模型，再结合向心力公式求解。
三、规律整合1、物体运动轨迹的判断当物体受到的合外力方向与物体的速度方向不共线时，物体将偏离直线路径，其轨迹向合外力方向弯曲做曲线运动。
2、牵连运动约束运动的处理方法牵连运动是指物体间通过杆、绳连接而使运动互相关联，处理牵连运动问题一般按以下步骤进行：（1）先确定合运动。
物体的实际运动就是合运动。
（2）确定合运动的两个实际效果：一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向。
高考物理曲线运动万有引力知识点
高考物理曲线运动万有引力知识点高考物理曲线运动万有引力知识点很早之前同学们就进入高三物理第一轮复习了，曲线运动万有引力这一知识点不知道大家有没有掌握。
下面是店铺为大家精心推荐的曲线运动万有引力知识点总结，希望能够对您有所帮助。
曲线运动万有引力知识点归纳1.曲线运动(1)物体作曲线运动的条件：运动质点所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直线(2)曲线运动的特点：质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向。
质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(3)曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。
2.运动的合成与分解(1)合运动与分运动的关系：①等时性;②独立性;③等效性。
(2)运动的合成与分解的'法则：平行四边形定则。
(3)分解原则：根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。
3.平抛运动(1)特点：①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。
(2)运动规律：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
①建立直角坐标系(一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向);4.圆周运动(1)描述圆周运动的物理量①线速度：描述质点做圆周运动的快慢，大小v=s/t(s是t时间内通过弧长)，方向为质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向②角速度：描述质点绕圆心转动的快慢，大小ω=φ/t(单位rad/s)，φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。
其方向在中学阶段不研究。
③周期T，频率f---------做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。
[注意]向心力是根据力的效果命名的。
04讲 力与曲线运动之万有引力解析版
2022-2023高考物理二轮复习（新高考）04讲力与曲线运动之万有引力●力与运动的思维导图●重难点突破1.重力和万有引力的关系(1)不考虑地球自转，地球表面附近物体的重力等于物体与地球间的万有引力m 即有:G=mg，化简得GM=gR 2(黄金代换)(2)在赤道：222ωmR R Mm G mg mg F r Mm Gn -=+=，故在两极重力等于万有引力，重力加速度最大。
2.人造卫星做匀速圆周运动(1)常用等式:人造卫星∶把人造卫星的运动看成是匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，即nma v m r Tm r m r v m r Mm G =====ωπω222224结论:卫星运行半径越大，向心加速度、线速度、角速度越小，周期越大万有引力、动能越小，引力势能越大。
3.三类天体问题(1)近地卫星.(2)同步卫星.(3)双星.注意天体运动的三个区别(1)中心天体和环绕天体的区别；(2)自转周期和公转周期的区别；(3)星球半径和轨道半径的区别.4．用万有引力定律计算天体的质量和密度(1).已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R由于mg r Mm G =2，故天体质量GgR M 2=。
天体密度GR gR M V M ππρ43343===。
(2).已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 及轨道半径r由万有引力提供向心力得r T m r Mm G 2224π=，故中心天体质量2224GT r M π=。
若已知天体的半径R，则天体的密度32323334R GT r R M V M ππρ===若卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度23GTπρ=。
此条件下，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可求得中心天体的密度。
考点应用1.解决天体运动问题的两条常用思路(1)将天体的运动看做匀速圆周运动，中心天体对它的万有引力提供运动所需要的向心力即G Mm r 2＝ma＝m v 2r ＝mω2r＝m 4π2T2r。
高考二轮复习专题二 曲线运动与万有引力
专题二 曲线运动与万有引力【专题评析】本专题考查的主要内容有:①曲线运动的条件和运动的合成与分解;②平抛运动规律;③圆周运动的规律;④平抛运动与圆周运动的多过程组合问题;⑤应用万有引力定律解决天体运动问题。
本专题易错点较多，涉及类平抛运动的问题在寻找合速度、分速度度的关系（速度三角形）、合位移与分位移的关系（位移三角形）经常出现偏差，涉及圆周运动的问题多在牛顿运动定律与功能结合点犯错误，而天体问题的错误多源自公式选择有误。
一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个正确选项，有的小题有多个正确选项；全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不选的得0分。
）（原创）1.电脑光驱内部传动系统的部分结构如图所示，主动轮固定在电动机转轴上，电动机转动时带动从动轮转动。
关于主动轮、皮带和从动轮的转动情况，以下说法正确的是（ ）A.皮带上各点线速度大小不相等B.主动轮与从动轮转动的周期相等C.主动轮与从动轮转动的角速度相等D.两轮转动的角速度与各自半径成反比【答案】D【解析】皮带上各点线速度大小相等，A 错误；由v r ω=可得r 1∝ω，从动轮半径大转动的角速度小，周期大，B 、C 错误，D 正确。
2．一同学用小球研究平抛运动时，通过描绘出的轨迹分析。
小球在第1s 末轨迹切线方向与水平方向的夹角为︒45，2s /m 10=g 。
则该小球的平抛运动的初速度为（ ） A.s /m 25 B. s /m 210 C. s /m 10 D. s /m 521.C 解析：由题意可知小球在第1s 末轨迹的切线方向即为此时刻的速度方向，由平抛运动的处理方法，小球在第1s 末的竖直速度为s /m 10==gt v y ，由三角函数得0tan v v y=θ，则s /m 10tan 0==θyv v ，C 正确。
3．学校组织“骑车投球”比赛，甲、乙两参赛者沿规定直轨道匀速骑行过程中，将手中网球沿垂直于骑行方向水平抛向地面上的塑料筐O 中，如图，OA 与轨道垂直。
第2讲曲线运动与万有引力讲义
第2讲曲线运动与万有引力[四年考情分析]考点一运动的合成与分解、平抛运动1．关联速度问题物体的实际运动即合运动，对于用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等(原因是绳和杆的长度不发生变化)2．熟悉斜面上的平抛运动问题的几个二级结论(1)若平抛的物体垂直打在斜面上，此时水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的物体，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值；速度偏角的正切值一定为位移偏角(斜面倾角)的正切值的2倍.1．(2018·高考全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v 2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍解析：选A.甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A 正确．2．(多选)(2019·高考全国卷Ⅱ)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v 表示他在竖直方向的速度，其v t 图象如图(b)所示，t 1和t 2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )A ．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B ．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C ．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D ．竖直方向速度大小为v 1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大解析：选BD.v t 图象中图线与t 轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大表示在竖直方向上位移大，A 错．比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x ＝v t 知运动时间长的水平位移大，B 对．从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a ＝Δv Δt，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次，C 错．v t 图象的斜率表示加速度，速率为v 1时，第二次加速度小，设阻力为f ，由mg －f ＝ma ，可得第二次受到的阻力大，D 对．3．(2015·高考全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g 6h <v <L 1 g 6h B.L 14 g h <v < (4L 21＋L 22)g 6h C.L 12g 6h <v <12 (4L 21＋L 22)g 6h D.L 14 g h <v <12 (4L 21＋L 22)g 6h解析：选D.设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21① 水平方向上有L 12＝v 1t 1② 由①②两式可得v 1＝L 14 g h. 设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22③ 在水平方向有 ⎝⎛⎭⎫L 222＋L 21＝v 2t 2④ 由③④两式可得v 2＝12 ()4L 21＋L 22g 6h .则v 的最大取值范围为v 1＜v ＜v 2.故选项D 正确．处理平抛运动问题的四点注意：(1)处理平抛运动(或类平抛运动)问题时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动．(2)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．(3)抓住两个三角形，有关速度的三角形和有关位移的三角形，结合题目呈现的角度或函数方程找到解决问题的突破口．(4)对斜抛运动问题，可以将斜抛运动在对称轴(最高点)处分开，然后对两部分都可按平抛运动来处理．视角1：运动的合成与分解1．(2019·淮北模拟)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成θ角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，橡皮的速度方向与水平方向的夹角为α，则()A．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而增大B．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而减小C．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为22vD．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为2＋2v解析：选D.若θ＝0，则橡皮的运动可视为水平方向随钉尖一起匀速，竖直方向细线的缩短长度等于水平方向细线增加的长度，即竖直方向也做与钉尖运动速率相同的匀速运动，所以橡皮的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，与钉尖的速度v无关，选项A、B错；若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮在水平方向的分速度为22v，而在t时间内沿竖直方向向上运动的距离为y＝v t＋22v t，即竖直方向的分速度为⎝⎛⎭⎫1＋22v，所以橡皮速度为2＋2v，C错、D对．2．(2019·聊城质检)如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为()A．2 m/s B．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s解析：选B.设水流速度为v 1，船的静水速为v 2，船沿AB 方向航行时，运动的分解如图所示，当v 2与AB 垂直时，v 2最小，v 2min ＝v 1sin 37°＝4×0.6 m/s ＝2.4 m/s ，故B 正确．视角2：平抛运动基本规律3．(2019·湖南永州模拟)在军事演习时，红军轰炸机要去轰炸蓝军地面上的一个目标，通过计算，轰炸机在某一高度以一定的速度飞行，在离目标水平距离x 时释放一颗炸弹，可以准确命中目标．现为了增加隐蔽性和安全性，轰炸机飞行的高度和速度均减半，若仍能准确命中目标，则轰炸机释放炸弹时离目标的水平距离应为(不计空气阻力)( ) A.24x B ．22x C.14x D ．12x 解析：选A.炸弹被投下后做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据h ＝12gt 2，得t ＝ 2h g ，炸弹平抛运动的水平距离为：x ＝v 0t ＝v 0 2h g，由此可知，当轰炸机飞行的高度和飞行速度都要减半时，炸弹的水平位移变为原来的24，所以轰炸机投弹时离目标的水平距离应为24x ，故A 正确． 视角3：被空间约束的平抛运动4．(多选)(2019·唐山二模)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与球心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学(可视为质点)分别站在M 、N 两点，同时将两个小球以v 1、v 2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q ，已知∠MOQ ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( )A ．甲、乙两同学抛出球的速率之比为1∶3B ．若仅增大v 1，则两球将在落入坑中之前相撞C ．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变D ．若仅从M 点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中解析：选AB.两球刚好落在坑中同一点，说明两球在竖直方向的位移相同，由y ＝12gt 2可知，两球在空中飞行的时间相同．设半球形的半径为R ，则甲同学抛出的球的水平位移为x 甲＝R －R cos 60°＝R 2，乙同学抛出的球的水平位移为x 乙＝R ＋R cos 60°＝3R 2，由x ＝v t 可知，甲、乙两同学抛出球的速率之比为v 1∶v 2＝x 甲∶x 乙＝1∶3，选项A 正确；若仅增大v 1，则两球将在落入坑中之前相撞，选项B 正确；由x ＝v t 可知，只要落入坑中的同一点，则x 甲＋x 乙＝2R ，两球抛出的速率之和v 1＋v 2＝x 甲t ＋x 乙t ＝x 甲＋x 乙t与小球在空中飞行时间有关，即与小球落入坑中的同一点的位置有关，选项C 错误；根据平抛运动规律的推论，小球落入坑中时速度方向的反向延长线与水平直径的交点在水平位移的12处，即若仅从M 点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，选项D 错误．考点二 圆周运动1．解决圆周运动问题的关键(1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．(2)列出正确的动力学方程F ＝m v 2r ＝mrω2＝mωv ＝mr 4π2T 2.结合v ＝ωr 、T ＝2πω＝2πr v 等基本公式进行求解．2．抓住“两类模型”是解决问题的突破点(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．3．竖直平面内圆周运动的两种临界问题(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥gR .(2)杆球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥0.1．(2016·高考全国卷Ⅱ)小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点．( )A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度解析：选C.两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 2，v ＝2gL ，因L P <L Q ，则v P <v Q ，又m P >m Q ，则两球的动能无法比较，选项A 、B 错误；在最低点绳的拉力为F ，则F－mg ＝m v 2L ，则F ＝3mg ，因m P >m Q ，则F P >F Q ，选项C 正确；向心加速度a ＝F －mg m＝2g ，选项D 错误．2．(多选)(2019·高考江苏卷)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m ，运动半径为R ，角速度大小为ω，重力加速度为g ，则座舱( )A ．运动周期为2πR ωB ．线速度的大小为ωRC ．受摩天轮作用力的大小始终为mgD ．所受合力的大小始终为mω2R解析：选BD.座舱的周期T ＝2πR v ＝2πω，A 错．根据线速度与角速度的关系，v ＝ωR ，B 对．座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F 合＝mω2R ，C 错，D 对．3．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )A.v 216gB ．v 28g C.v 24g D ．v 22g解析：选B.物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得12m v 2＝2mgr ＋12m v 21，物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x ＝v 1t ，t ＝4r g ，联立解得，x ＝4v 2gr －16r 2，由数学知识可知，当4r ＝v 22g 时，x 最大，即r ＝v 28g，故选项B 正确．1．水平面内圆周运动临界问题的分析方法(1)水平面内做圆周运动的物体，其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态．(2)常见临界条件：绳的临界：张力F T＝0；接触面滑动的临界：F＝f；接触面分离的临界：F N＝0.2．竖直平面内圆周运动的分析方法(1)对于竖直平面内的圆周运动，要注意区分“轻绳模型”和“轻杆模型”，明确两种模型过最高点时的临界条件．(2)解决竖直平面内的圆周运动的基本思路是“两点一过程”．“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对物体进行受力分析，确定向心力，根据牛顿第二定律列方程；“一过程”即从最高点到最低点，往往由动能定理将这两点联系起来．视角1：水平面内的圆周运动问题1．(多选)(2019·江西红色七校二模)如图所示，三个物块a、b和c(可视为质点)，其中a、b质量为m，放在水平圆盘上并用轻杆相连，c的质量为2m，a、c与转轴OO′间的距离为r，b与转轴间的距离为2r，物块与圆盘间的最大静摩擦力为物块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() A．a、b一定比c先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kgr是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3r时，a所受摩擦力的大小为kmg解析：选AD.当ω较小时，a、b相对圆盘静止，a、b各自静摩擦力提供各自的向心力，由向心力大小F n＝mω2r知，f∝r，B错误；先对c受力分析，2kmg＝2mω2c r，可得c的临界角速度为ωc＝kgr，同理对a、b受力分析有kmg－F＝mω2a r，kmg＋F＝2mω2b r，可得a、b的临界角速度为ωa ＝ωb ＝ 2kg 3r，综上，C 错误，A 、D 正确． 视角2：竖直面内的圆周运动问题2．(多选)(2019·福建四校联考)如图所示，一长为L 的轻质细杆一端与质量为m 的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O 点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g (g 为当地的重力加速度)，下列说法正确的是( )A ．小球的线速度大小为gLB ．小球运动到最高点时杆对小球的作用力竖直向上C ．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力方向不可能指向圆心OD ．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg解析：选ACD.根据向心加速度a ＝v 2r，代入得小球的线速度v ＝gL ，所以A 正确；需要的向心力F ＝ma ＝mg ，所以在最高点杆对小球的作用力为零，故B 错误；小球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，故合外力指向圆心，当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球的作用力F ＝(mg )2＋(ma )2，方向不指向圆心O ，所以C 正确；轻杆在匀速转动过程中，当转至最低点时，杆对小球的作用力最大，根据牛顿第二定律：F －mg ＝m v 2r，得轻杆对小球作用力的最大值为F ＝2mg ，所以D 正确．视角3：圆周运动和平抛运动的综合问题3．(多选)(2019·河北石家庄模拟)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看作质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.则( )A ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是0.9 mB ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是1.9 mC ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 ND ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N解析：选AC.根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有F N B ＋mg ＝m v 2BR ，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．考点三 万有引力定律及其应用1．计算天体质量和密度的两条基本思路(1)利用中心天体自身的半径R 和表面的重力加速度g ：由G MmR 2 ＝mg 求出M ，进而求得ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得出M ＝4π2r 3GT 2，若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M 43πR 3＝3πGT 2.2．涉及“g ”问题的两点提醒(1)不考虑自转问题时，有G MmR 2＝mg ，其中g 为星球表面的重力加速度，若考虑自转问题，则在两极上才有：G Mm R 2＝mg ，而赤道上则有：G Mm R 2－mg ＝m 4π2T2R .(2)根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出星球表面的重力加速度g ，再由mg ＝G MmR 2＝m v 2R ，去估算星球的质量、密度、第一宇宙速度等，是天体运动问题中常出现的一类综合题．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( )解析：选D.由万有引力公式F ＝G Mm (R ＋h )2可知，探测器与地球表面距离h 越大，F 越小，排除B 、C ；而F 与h 不是一次函数关系，排除A.故D 正确．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q ＝⎝⎛⎭⎫R P R Q 3＝⎝⎛⎭⎫1643＝81，C 正确． 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．4．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．估算天体质量和密度时要注意三点(1)如果天体的运行轨迹为椭圆，只能应用开普勒行星运动定律进行分析，向心力不等于万有引力．(2)利用G Mm r 2＝m 4π2T 2r 只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量．(3)注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R ，计算中心天体密度时应用ρ＝M43πR 3而不是ρ＝M43πr 3.视角1：开普勒行星运动定律1．(2019·历城模拟)如图所示，卫星携带一探测器在半径为3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行．在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)．之后卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR (n 略小于3)，已知地球质量为M ，引力常量为G ，则卫星在椭圆轨道上运行的周期为( )A ．π(3＋n )R (3＋n )RGMB ．π(3＋n )R(3＋n )R2GMC ．6πR3R GMD ．πR(3＋n )R2GM解析：选B.卫星在圆轨道上运行时的周期为T 1，根据万有引力提供向心力：G mM (3R )2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 12 (3R )，在椭圆轨道上运行的周期T 2，根据开普勒第三定律：(3R )3T 21＝⎝⎛⎭⎫nR ＋3R 23T 22，由以上两式联立解得：T 2＝π(3＋n )R(3＋n )R2GM，故B 正确． 视角2：天体质量和密度的估算2．(多选)(2019·肇庆二模)如图所示，Gliese581g 行星距离地球约20亿光年(189.21万亿公里)，公转周期约为37年，该行星位于天秤座星群，它的半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近．则下列说法正确的是( )A ．飞船在Gliese581g 表面附近运行时的速度小于9 km/sB ．该行星的平均密度约是地球平均密度的12C ．该行星的质量约为地球质量的2倍D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度 解析：选BD.飞船在Gliese581g 表面附近运行时，万有引力提供向心力，则mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，该星球半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近，所以在该星球表面运行速度约为地球表面运行速度的2倍，在地球表面附近运行时的速度为7.9 km/s ，所以在该星球表面运行速度约为11.17 km/s ，故A 错误；根据密度的定义式ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g4πGR，故该行星的平均密度与地球平均密度之比等于半径的反比，即该行星的平均密度约是地球平均密度的12，故B 正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力，则有mg ＝G MmR 2，g＝GMR 2，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的2倍，所以它的质量是地球的4倍，故C 错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D 正确．视角3：双星及多星问题3．(多选)(2019·河北石家庄一模)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A ．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为Gm LB ．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πL 35GmC ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2L 33Gm D ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3GmL 2解析：选BD.在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝m v 2L ，解得v ＝125GmL，A 项错误；由周期T ＝2πrv 知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T ＝4πL 35Gm，B 项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2G m 2L 2cos 30°＝mω2·L2cos 30°，解得ω＝3Gm L 3，C 项错误；由2G m 2L 2cos 30°＝ma 得a ＝3GmL2，D 项正确．考点四 人造卫星和宇宙航行1．卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系 (1)由G Mmr 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，则r 越大，v 越小． (2)由G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，则r 越大，ω越小． (3)由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM，则r 越大，T 越大． 2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G MmR 2＝m v 2R.3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h ，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．1．(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火，由此可以判定( )A ．a 金>a 地>a 火B ．a 火>a 地>a 金C ．v 地>v 火>v 金D ．v 火>v 地>v 金解析：选A.行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：由G mMR 2＝ma得向心加速度a ＝GM R 2，由G mMR 2＝m v 2R得速度v ＝GMR，由于R 金＜R 地＜R 火，所以a 金＞a 地＞a 火，v 金＞v 地＞v 火，选项A 正确．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选 C.“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道运行，根据G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr 4π2T 2可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C 正确．3．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：选B.万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T 2，当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h ，若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地，三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布，则有4π2(6.6R 地)3T 2＝4π2(2R 地)3T ′2，解得T ′≈T 6＝4 h ，选项B 正确．1．卫星变轨的两种常见情况较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道2．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v ＝GMr判断． (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．视角1：人造卫星的发射和运行。
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第1讲 曲线运动的合成与分解、抛体运动一、运动的合成和分解的两类典型问题题型一 船渡河问题（优化探究 P11）一般只讨论v v >船水时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短；二是合速度垂直河岸时渡河位移最小。
但如果v v <船水，船头无论指向何方都不会垂直到达对岸，此时若求渡河的最小位移，会有一定难度。
【例1】河宽d ＝100 m ，水流速度1v ＝3m ／s ，船在静水中的速度是4m/s 。
求：（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移多大?（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河?渡河时间多长?变式训练1（2011上海高考）如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α，船的速率为(A)sin v α (B)sin v α (C)cos v α (D)cos v α题型二 “关联”速度问题在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度（合速度就是物体实际运动的速度）；其次由物体的实际运动确定其是由哪些分运动合成的，从而找出相应的分速度。
一般的分解思路，沿着绳子方向和垂直于绳子方向将实际运动分解即可。
另外还可依据关联速度----沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等。
【例2】如图所示，用船A 拖着车B 前进，若船匀速前进，速度为A v ，当OA 绳与水平方向夹角为θ时，求：（1）车B 运动的速度B v 多大？（2）车B 是否做匀速运动？变式训练2：如图所示，当放在墙角的均匀直杆A 端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B 点速度为v ，则A 点速度是 。
（α为已知）二、平抛运动1、平抛运动的规律（1）水平方向（2）竖直方向（3）水平方向和竖直方向分运动的关系2、平抛运动的两个重要推论（1）（2）题型一 平抛运动的规律应用解决平抛运动最基本的方法是将物体运动分解，一般研究的物理量是速度和位移。
至于是分解速度还是分解位移应根据题目所给条件，有时要同时分解速度和位移，分别研究水平方向和竖直方向所遵循的规律。
【例3】优化探究P13 例1【例4】优化探究P13 活学活用1变式训练3．（2011上海）以初速为0v ，射程为s 的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。
一物体由静止开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为 ，其水平方向的速度大小为 .变式训练4：如图所示，在倾角37θ= 的斜面底端的正上方H 处，平抛一个物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面垂直，则物体抛出时的初速度为（ ）ABCD题型二 平抛运动的临界问题平抛运动的临界问题所涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题、解决问题的思路特别重要。
解决这类问题的关健有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图。
【例5】（2011广东）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。
已知底线到网的距离为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是A 、球的速度v等于 BC 、球从击出点到落地点的位移等于LD 、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关题型三 类平抛运动类平抛运动也是命题热点，类平抛运动的处理方法与平抛运动一样，只是加速度a 不同而已。
【例6】质量为m 的飞机以水平速度0v 飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的合力提供，不含重力）。
今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h 。
求：（1）飞机受到的升力大小；（2）从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能。
图6第2讲 圆周运动、万有引力的应用一、圆周运动题型一 描述圆周运动各物理量之间的关系（1）解决圆周运动问题的基本关系有：2222,,,r v v r v a r v T T rππωωωω====== （2）同轴转动的物体上各点ω相同，皮带传动或齿轮传动中轮缘上各点线速度大小相等，要根据这些隐含条件灵活选取上述关系式，分析v 、ω、a 、r 之间的关系．【例1】如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为123r r r 、、。
若甲轮的角速度为1ω，则丙轮的角速度为A ．113r r ωB ．311r r ωC ． 312r r ωD ．112r r ω 变式训练1：质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为（ ）A ．R m 2ωB ．24222R m g m ω-C ．24222R m g m ω+D ．不能确定题型二 竖直面内的圆周运动优化探究 P12 表格【例2】 长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v ，下列说法中正确的是（ ）A ．vB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当vD ．当v【例3】（2011安徽）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。
如图（a ）所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径。
现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b ）所示。
则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是A ．20v gB ．220sin v gα C ．220cos v g α D ．220cos sin v g αα 变式训练2 优化探究 P13 例2 题型三 圆周运动的临界问题圆周运动中的临界问题的分析与求解方法不只是竖直平面内的圆周运动中存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题。
对这类问题的求解一般都是先假设某量达到最大、最小的临界情图图况，从而建立方程求出。
【例4】小球A 用不可伸长的细绳悬于O 点，在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速度释放，绳长为L ，为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，如图所示.试求d 的取值范围.变式训练3： 优化探究 P14 活学活用2题型四 圆周运动的综合应用圆周运动不但可以与平抛运动相结合，而且可以与机械能守恒定律、能量守恒定律、电场力、洛伦兹力等相结合。
因此圆周运动规律是高中阶段中很重要的规律，也是在历年高考中考查的重点内容。
【例5】优化探究 P14 例3优化探究 P14 活学活用3二、万有引力定律及其应用题型一 天体质量、密度的计算（1）天体的运动认为是匀速圆周运动。
（2）求解天体的质量：两条思路（3）求解天体的密度：【例1】已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期1T ，地球的自转周期2T ，地球表面的重力加速度g 。
某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地心做圆周运动，由h T m h Mm G 2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π得22324GT h M π=。
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。
如果不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
【例2】优化探究 P15 活学活用4变式训练1：（2011福建）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。
若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常数G ，半径为R 的球体体积公式V=43πR 3，则可估算月球的 A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期题型二 比较分析卫星运行的轨道参量问题（1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。
m由222224Mm v G m m r m r ma r r Tπω==== 同一轨道上的卫星v T a ω、、、大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。
（2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：【例3】优化探究 P14 例4变式训练2.（2011海南）2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖，GPS 由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS 导航卫星的轨道半径分别为1R 和2R ，向心加速度分别为1a 和2a ，则12:R R =_______。
12:a a =_____（可用根式表示） 题型三 双星问题解决双星模型的问题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自需要的向心力；其二，两星绕某一点做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。
【例4】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。
天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX —3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。
引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期。
（1）可见得A 所受暗星B 的引力A F 可等效为位于O 点处质量为m '的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为2m 、2m 。
试求m '（用1m 、2m 表示）；（2）求暗星B 的质量2m 与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量2m 之间的关系式；变式训练3：两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量分别为12m m 、，相距为L ，试求；（1）两颗星转动中心的位置；（2）这两颗星转动的周期。
题型四 万有引力定律与抛体运动知识的综合应用 星球表面的重力加速度一方面与星球有关（2GM g R=），另一方面又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动）中求出．重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。
【例4】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ。