矩阵乘法的法则
矩阵的乘法运算
矩阵的乘法运算
矩阵是线性代数中重要的概念，乘法运算是矩阵操作中的核心。本
文将介绍矩阵的乘法运算并详细解析其计算方法。
一、基本概念
矩阵是一个由数字构成的矩形阵列。在描述矩阵时，我们用m行n
列的格式表示，即一个m×n的矩阵。其中，m代表矩阵的行数，n代
表列数。例如，一个2×3的矩阵由2行3列的数字构成，如下所示：```
a b c
d e f
```
在矩阵乘法运算中，我们需要注意两个矩阵的尺寸要满足乘法规则：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
二、乘法运算步骤
矩阵乘法运算的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。具体的计算步骤如下所示：
1. 确定结果矩阵的行数和列数：结果矩阵的行数等于第一个矩阵的
行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 计算元素的值：将第一个矩阵的第i行和第二个矩阵的第j列对应元素相乘，然后将结果累加，得到结果矩阵中的元素值。
通过以上步骤，我们可以进行矩阵的乘法运算。下面通过一个实例进行具体讲解。
三、实例演示
假设有两个矩阵A和B，分别为3×2和2×4的矩阵：
```
A = a1 a2
a3 a4
a5 a6
B = b1 b2 b3 b4
b5 b6 b7 b8
```
根据乘法规则，我们可以得到结果矩阵C，其尺寸为3×4：
```
C = c1 c2 c3 c4
c5 c6 c7 c8
c9 c10 c11 c12
```
根据乘法运算步骤，我们可以逐个元素地计算矩阵C的值。
C的第一个元素c1的值为a1×b1 + a2×b5，通过类似的计算，我们
可以得到C的所有元素值。
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆
本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则
1.⾏乘列
乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：
C ij =(row_i at A )(column_j at B )
即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。注意是 “⾏*列”。例如
A =
◻◻◻◻◻
◻
◻
◻
a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻
◻
◻
◻
B =
◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻
则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：
C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4
=n
∑
k =1a 3k b k4
前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。2.矩阵列的线性组合举例：
◻◻⋯◻◻⋯⋯
⋯
⋯
◻◻⋯◻◻⋯⋯
⋯
⋯
=
◻◻⋯◻◻⋯⋯
⋯
⋯
A ∗
B =C
矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....
将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵的基本性质和运算法则
矩阵的基本性质和运算法则矩阵是线性代数中的一个重要概念，是一个由数数组成的矩形阵列。矩阵不仅有丰富的应用，比如在物理、经济、统计等领域中，还有着自身的基本性质和运算法则。下面我们来谈谈矩阵的基本性质和运算法则。
一、矩阵的基本性质
1.维数和元素
矩阵的维数是指矩阵有多少行和多少列。用矩阵的行数和列数来表示，如m×n的矩阵表示有m行，n列。矩阵中的元素就是矩阵中的每一个数。
2.矩阵的转置
矩阵的转置就是将矩阵的行和列交换，所得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。如下所示：
3 2 1 3 5
A = 5 4 6 A^T = 2 4
7 8 9 1 6
矩阵的转置可以表示为Aij = Aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n。
3.矩阵的行列式
矩阵的行列式是矩阵的一个标量值，它是由矩阵的元素按照某一特定的规律计算得到的。矩阵的行列式常用来描述矩阵线性方程组的解的情况。如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵是一个奇异矩阵。
二、矩阵的运算法则
1.矩阵的加法
矩阵的加法必须满足两个矩阵的维数相同，即都是m×n的矩阵才能进行加法运算。对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为C=A+B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相加得到矩阵C。如下所示：
1 2 4 5 5 7
C = 3 4 +
D = 1 3 =
E = 4 7
6 7 5 4 11 11
2.矩阵的减法
矩阵的减法也必须满足两个矩阵的维数相同。对于矩阵A和矩阵B，它们的差可以表示为C=A-B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相减得到矩阵C。如下所示：
1 2 4 5 -3 -3
矩阵乘法的性质
1
1
1
1
, 则A2=
剖析:A=
0 1
1 1
1
2
A3=AA2=
1
0
1
2
=
0
1
1
0
3
=
0
1
1
,
0
1
,
0
1
1
2
1
2
A4=(A2)2=
4
=
0 1
1 1
0 1
1 4
A5=AA4=
……
1
,
0 1
1 5
=
0
1
1
0
1
n
于是猜想 An=
.
0
1
,
0
1
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
乘法结合律的应用
1
2
0
-1
1
,C=
0
,B=
【例 1】 已知 A=
0
1
(AB)C,A(BC),并判断结果是否一致.
分析:利用二阶矩阵的乘法求解.
0
1
0
1
2
,求
题型一
题型二
题型三
1
题型四
2
0
-1
2
-1
=
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。要求两个矩阵的行数和列数相等。例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。同样要求两个矩阵的行数和列数相等。例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
矩阵和行列式的运算法则
矩阵和行列式的运算法则
【矩阵和行列式的运算法则】
一. 矩阵的加法和减法运算法则
矩阵的加法运算法则：
设A和B是两个m×n矩阵，C是它们的和，即C = A + B。则C的第i 行第j列元素是A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和，即cij = aij + bij。
矩阵的减法运算法则：
设A和B是两个m×n矩阵，C是它们的差，即C = A - B。则C的第i 行第j列元素是A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之差，即cij = aij - bij。
二. 矩阵的数乘运算法则
矩阵的数乘运算法则：
设k是一个实数，A是一个m×n矩阵，则kA是一个m×n矩阵，其中每个元素都是k与A相应位置上的元素的乘积，即(kA)ij = k·aij。
三. 矩阵的乘法运算法则
矩阵的乘法运算法则：
设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是它们的乘积，即C = A·B。则C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和，即cij = a1i·b1j + a2i·b2j + ... + ani·bnj。
注：两个矩阵能够相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
四. 矩阵的转置运算法则
矩阵的转置运算法则：
设A是一个m×n矩阵，其转置记作AT，即A的转置是这样一个n×m矩阵，其第i行第j列元素是A的第j行第i列元素，即(AT)ij = aji。
五. 矩阵的幂运算法则
矩阵的幂运算法则：
设A是一个n×n矩阵，k是一个正整数，则A的k次幂记作Ak，其中A^1 = A，A^2 = A·A，...，A^k = A·A·...·A。
矩阵的运算法则
矩阵的运算法则
1矩阵的概念
矩阵是一种特殊的结构，它由多个数值所组成。一般长成一个m 行n列的形状，被称为m×n矩阵，第i行第j列的数值被称为矩阵的第i行第j列的元素。
2矩阵的运算
关于矩阵的运算，有加法、减法、乘法、数乘和幂运算等。
-加减法：要求矩阵行数列数一致，对应元素相加减，就可以求得相应的结果。
-乘法：要注意左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数，如果符合要求，就可以求得乘积矩阵的结果。
-数乘：数乘就是将矩阵的每一个元素全部乘以一个数，就可以求得数乘结果。
-幂运算：如果矩阵为方阵（行数和列数相等），就可以进行幂运算，结果是原来的矩阵结果的n次幂结果。
3矩阵的运算法则
-根据交换律，矩阵可以把加减法运算中的减号两边交换位置，但是乘法不能这么做。
-根据分配率，可以将加减法中的变量先分配到两个矩阵中，在对两个矩阵分别运算，最后将结果相加，或者相减。
-根据结合律，矩阵可以将两个乘法相乘，而不改变结果。
以上就是矩阵的运算法则。掌握了这些法则，可以帮助我们更直观的看到矩阵的运算结果，从而更好的理解矩阵的运算。
矩阵乘法的运算规律
例
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
由于n维列向量可以看成n1矩阵，因此常记n维列向量
(a1 , a2 ,, an )T
或
(a1 , a2 ,, an )
则AB和BA都有意义，但是
a1 a1b1 a2 a 2 b1 AB (b1 , b2 , , bn ) a b a n 1 n
a1b2 a1bn a 2 b2 a 2 bn a n b2 a n bn
由例9可知,矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下
AB BA. 因此，当 AB O 时，一般不能得出 A O
或 B O 的结论。
注意
矩阵不满足交换律，即：
AB BA , AB A k B k .
k
例 设
1 1 1 1 A B 1 1 1 1
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
三、矩阵与矩阵相乘 １、定义3.4
二阶矩阵的乘法运算法则
二阶矩阵的乘法运算法则
矩阵是现代数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。而矩阵的乘法运算法则是矩阵运算中最基础、最重要的一条规则。本文将详细介绍二阶矩阵的乘法运算法则，并通过具体的例子进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
二阶矩阵是指具有2行2列的矩阵，可以表示为如下形式：
A = [a11 a12]
[a21 a22]
B = [b11 b12]
[b21 b22]
其中，a11、a12、a21、a22分别代表矩阵A中的元素，b11、b12、b21、b22分别代表矩阵B中的元素。
二阶矩阵的乘法运算法则可以总结为以下几点：
1. 乘法顺序：先计算第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素的乘积，然后将乘积相加得到结果矩阵的元素。
2. 结果矩阵的大小：乘法运算的结果矩阵是一个2行2列的矩阵。
3. 计算过程：对于结果矩阵中的每个元素，利用乘法顺序依次计算得到。
下面通过一个具体的例子来说明二阶矩阵的乘法运算法则。例子：计算矩阵A和矩阵B的乘积。
已知矩阵A为：
A = [2 1]
[3 4]
矩阵B为：
B = [5 6]
[7 8]
根据乘法运算法则，我们可以得到结果矩阵C：
C = A * B
计算结果矩阵C的第一个元素c11：
c11 = a11 * b11 + a12 * b21
= 2 * 5 + 1 * 7
= 10 + 7
= 17
然后，计算结果矩阵C的第二个元素c12：
c12 = a11 * b12 + a12 * b22
= 2 * 6 + 1 * 8
= 12 + 8
= 20
接着，计算结果矩阵C的第三个元素c21：
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质
一、矩阵的定义与表示
矩阵是由若干数字按照行和列排列成的矩形阵列，通常用方括号表示。例如，一个m行n列的矩阵可以表示为[A]m×n，其中每个元素
a_ij表示矩阵A中第i行第j列的数字。
二、矩阵的基本运算
1. 矩阵的加法：若A和B是同阶矩阵，即行数和列数相等，那么A 和B的和C=A+B是一个同阶矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A和B对应元素的和。
示例：[A]m×n + [B]m×n = [C]m×n，其中c_ij = a_ij + b_ij。
2. 矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个常数，那么kA就是将A的每个元素乘以k得到的矩阵。
示例：k[A]m×n = [B]m×n，其中b_ij = k * a_ij。
3. 矩阵的乘法：若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m行p列的矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
示例：[A]m×n × [B]n×p = [C]m×p，其中c_ij = Σk=1^n (a_ik *
b_kj)。
三、矩阵的运算法则
1. 加法的交换律：矩阵的加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 加法的结合律：矩阵的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 数乘的结合律：数乘与矩阵的乘法满足结合律，即
k(A+B)=kA+kB。
4. 数乘的分配律：数乘与矩阵的乘法满足分配律，即
(k+m)A=kA+mA，k(A+B)=kA+kB。
5. 乘法的结合律：矩阵的乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
二行二列矩阵运算法则
二行二列矩阵运算法则
乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC；乘法右分配律：
C(A+B)=CA+CB；对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）；矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。；AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。
AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上，值得注意的是，当提及“矩阵相乘”或者“矩阵乘法”的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。
[a, b, c]’ * [a b c] = [aa, ab, ac; ba, bb, bc; ca, cb, cc]。
矩阵乘法的注意事项：
1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。
2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。
①乘法结合律：(AB)C=A(BC)；
②乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
③乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB；
④对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）；
⑤转置(AB)T=BTAT；
⑥矩阵乘法一般不满足交换律。
行列式的乘法
行列式的乘法
一、什么是矩阵乘法
矩阵乘法是指在数学中，将两个矩阵相乘相当于将一个矩阵的每个元素乘以另一个矩阵的每个元素，并求取其和，并记其结果为另一个矩阵中某个元素。
二、矩阵乘法的运算法则
1. 维数原则：矩阵乘法只能进行当两个矩阵维数相同时进行，也就是说A n*m 矩
阵乘以B n*m 矩阵，结果才可以求得。如果维数不同则不能进行矩阵的乘法运算。
2. 位置原则：当我们乘法时，会`把第一个矩阵的行和第二个矩阵的列进行搭配`，
例如在最左边的行乘以最上面的列，这两个相乘的结果就是输出矩阵的第一个元素，以此类推。
3.倍乘原则：当在矩阵乘法中，某一位上系数为零时，结果也会得到一个零，因此我们可以根据这个原则，把一个复杂的矩阵乘法表达式分解为更为简单的乘法运算，从而减少运算量。
三、矩阵乘法的应用
1. 几何变换：通过矩阵乘法可以实现几何变换，可以将几何变换表示为矩阵运算，从而实现几何变换。
2. 机器学习：在机器学习中，矩阵乘法被广泛应用于以下几个方面：神经网络的权重表示，双曲正切激活函数和卷积模型中的卷积操作，计算K最近邻的距离，特
征向量的内积等等。
3. 密码学：在密码学中，矩阵乘法被广泛应用于加密算法中，比如在Hill加密算
法中使用矩阵乘法实现密文的扩展或缩小。
4. 图的表示：在图的表示中，常常将图形用邻接矩阵表示，邻接矩阵就是经过矩阵乘法运算得到的结果，而矩阵乘法则可以将任意形状的图形转换为相应的矩阵形式，从而提升网络的拓扑结构分析和绘制的效率。
二阶矩阵的乘法运算法则
二阶矩阵的乘法运算法则
二阶矩阵的乘法运算法则是线性代数中的基本概念之一。它描述了如何将两个二阶矩阵相乘得到一个新的矩阵。在这篇文章中，我们将详细讨论二阶矩阵的乘法运算法则，并探讨其应用。
一、二阶矩阵的定义
二阶矩阵是一个由2行2列元素组成的矩阵，通常用如下形式表示：A = [a11, a12; a21, a22]
其中a11, a12, a21, a22为矩阵的元素。
二、二阶矩阵的乘法运算法则
二阶矩阵的乘法运算法则规定了如何将两个二阶矩阵相乘。设A和B分别为两个二阶矩阵，它们的乘法运算可以表示为：
C = A * B
其中C为相乘后得到的新矩阵。
在具体计算中，我们可以按照以下步骤进行：
1. 计算新矩阵C的第一行第一列元素：
c11 = a11 * b11 + a12 * b21
2. 计算新矩阵C的第一行第二列元素：
c12 = a11 * b12 + a12 * b22
3. 计算新矩阵C的第二行第一列元素：
c21 = a21 * b11 + a22 * b21
4. 计算新矩阵C的第二行第二列元素：
c22 = a21 * b12 + a22 * b22
三、二阶矩阵乘法的应用
二阶矩阵乘法在实际应用中具有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：
1. 图形变换
二维图形在计算机图形学中通常使用二阶矩阵进行描述和变换。通过矩阵的乘法运算，可以实现平移、旋转、缩放等图形变换操作。
2. 线性方程组求解
线性方程组的求解可以通过矩阵乘法运算来实现。将系数矩阵和未知数向量相乘，得到方程组的解向量。
3. 特征值和特征向量的计算
矩阵运算法则
矩阵运算法则
在今天的矩阵运算课程中，我们简单介绍了矩阵的运算法则，主要包含如下5个方面：
1. 矩阵加法：两个矩阵A和B，如果它们的行数和列数相同，则可以相加，即A+B=C，其中C的元素Cij=Aij+Bij，i和j分别表示行和列的索引。
2. 矩阵减法：两个矩阵A和B，如果它们的行数和列数相同，则可以相减，即A-B=C，其中C的元素Cij=Aij-Bij，i和j分别表示行和列的索引。
3. 矩阵乘法：两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以相乘，即A×B=C，其中C的元素Cij=Σk=1nAik Bkj，i 和j分别表示行和列的索引，n表示A的列数，也是B的行数。
4. 矩阵转置：矩阵A的转置矩阵A'，其元素A'ij=Aji，i和j 分别表示行和列的索引。
5. 矩阵乘以标量：矩阵A乘以标量k，即Ak，其元素Aij=kAij，i和j分别表示行和列的索引。
矩阵的乘法运算法则例题
矩阵的乘法运算法则例题
矩阵的乘法运算法则是一个非常重要的数学概念，它可以用于解
决各种线性代数问题和求解复杂的矩阵表达式。乘法运算法则涉及矩
阵乘法的基本规则，接下来我们就以一个典型的例子来讨论这个概念。
假设我们有两个矩阵A=[aij]和B=[bij]，它们的乘积就是C=[cij]（其中i,j分别表示矩阵的行号和列号），那么C=[cij]的每一个元素
cij都可以表示为aikbkj，其中k是在A,B两个矩阵相乘时出现的新
索引（一般将k写成0,1,2...）。也就是说，cij=∑k=0n−1aikbkj,
其中n是A和B矩阵的列数或者行数（大小相等）。在乘法的定义中，数学家们使用这个公式来解释矩阵乘法运算法则。
接下来我们将以一个简单的例子来演示矩阵乘法运算法则：假设
有两个3×3的矩阵A和B，其中A为：
A=
|1 2 3|
|1 1 2|
|2 1 3|
B=
|2 1 2|
|0 1 1|
|1 1 0|
那么，A乘以B的结果就是：
C=
|5 4 6|
|3 5 5|
|7 3 8|
现在，为了验证这一结果，我们来看cij元素的计算过程，以c13
元素为例：
c13=a10b01+a11b11+a12b21=2×0+1×1+3×1=7
由上面的例子我们可以看出，c13的值的正确性得到了很好的证明，因此矩阵乘法运算法则被证明是正确的。
总之，矩阵乘法运算法则很容易理解，但是它也是一种非常复杂
的概念，要正确地将它应用到实际计算中，需要花费一点时间和心思。
3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题
3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题
矩阵乘法在数学中是一种重要的运算，它能够实现两个矩阵的运算，它的基本操作规则是：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，两个矩阵相乘的乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
下面我们来看一个3x3矩阵与3x1矩阵的乘法例题：给定矩阵A：A = $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\7 & 8 & 9 \\1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$矩阵B：B = $\begin{bmatrix} 1 \\2 \\3
\end{bmatrix}$计算A*B可以采用两种方法：
1. 直接计算：我们知道，A*B的结果是一个3x1矩阵，
也就是只有三个元素，因此我们可以直接计算每一个元素的值：A*B = $\begin{bmatrix} 2*1 + 3*2 + 5*3 \\7*1 + 8*2 + 9*3 \\1*1 + 2*2 + 4*3
\end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 23 \\53 \\17
\end{bmatrix}$于是，我们可以得到A*B的结果。
2. 矩阵乘法法则：A*B的结果也可以采用矩阵乘法法则：A*B = $\begin{bmatrix} (2*1 + 3*2 + 5*3) \\(7*1 + 8*2 + 9*3)
\\(1*1 + 2*2 + 4*3)
\end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix} 23 \\53 \\17
\end{bmatrix}$同样可以得到A*B的结果。
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第六节．矩阵乘法的法则
教学目标：
（1）通过几何变换，使学生理解矩阵乘法不满足交换律（但并不是绝对的）。
（2）通过实例，了解矩阵的乘法满足结合律。
教学重点：理解矩阵乘法不满足交换律。
教学难点：从图形变换的角度理解矩阵的乘法不满足交换律。
教学过程：
一、引入：对上节课的练习的讨论：
已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为：A （0，0），B （2，0），C （2，
2），先将三角形作以原点为中心的反射变换（变换矩阵为⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--1001），再以x 轴为基准，将所得图形压缩到原来的一半（变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001），试求：（1）这连续两次变换所对应的变换矩阵U ；
问：U=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡21001=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--21001 U=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--21001 问题：矩阵的乘法是否满足交换律呢？
2、例题
例1．已知矩阵A 、B ，计算AB 及BA ，并比较他们是否相同，能否从几何变换的角度给予解释？
（1）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，B=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-0110； （2）A=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡21001，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1003。 解：（1）AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01
10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0210，BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0120 显然，AB ≠BA 。 从几何变换的角度，AB 表示先作反射变换（变换矩阵为B ），后作伸缩变换（变换矩阵为A ）；而BA 表示先作伸缩变换（变换矩阵为A ），后作反射变换（变换矩阵为B ）。当连续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
显然，变换顺序不同，所得的结果也不同。
（2）AB =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
3
，BA=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
3
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
1
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
3
显然，AB = BA
从几何变换的角度，AB表示先作伸缩变换B（变换矩阵为B），再作伸缩变换A（变换矩阵为A）；而BA表示先作伸缩变换A（变换矩阵为A），后作伸缩变换B（变换矩阵为B），将这两个变换交换次序后，得到的结果仍相同。仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
图1. 先旋转，再伸缩
先作伸缩变换B，再作伸缩变换A
先作伸缩变换A，后作伸缩变换B
由此 ，我们不难看出：一般来说，在矩阵乘法中，AB ≠BA ，即：矩阵乘法不满足交换律，但在某些特定的情况下，如连续两次旋转或连续两次压缩，变换是可以交换顺序的，即此时矩阵乘法可以交换顺序。
矩阵的乘法满足结合律。即：
A （BC ）=（A
B ）C
证明请同学自己验证。
例2．（1）求证：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡00c b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡100c ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b 001 （2）若ad ≠0，求证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d 001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b 证明：由矩阵乘法的结合律
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡100c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡010c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡00c b （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d 001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d a 00⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101d c ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c a 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-ad bc 1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡-a bc d c a 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 观察例2所证等式右端的矩阵，它们都是我们在前面所学过的基本变换矩阵，事实上：任何一个二阶矩阵，都可以分解为一些基本变换矩阵的乘积，即任意的一个矩阵变换都相当于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换。（对这问题不作严格论证，也决不应要求学生把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。）
三、小结：矩阵的乘法不满足交换律，满足结合律。
教学设计说明：
1、矩阵乘法不满足交换律，这是一个崭新的提法，是学生从来没有接触过的。引导学生从具体的运算中找出反例；观察图形的变化情况，运用变换矩阵的理论分析变换过程，使学生从数和形两个方面深化认识，有助于培养学生从多角度认识问题。
2、矩阵乘法满足结合律，不要求学生能证明，只要能了解即可。
3、例题2的价值在于：任何一个二阶方阵都能分解成几个学生熟悉的二阶变换矩阵的乘积。因此，对于二阶变换矩阵的讨论不是片面的。