第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理(含答案)

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勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)

CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ．（1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°．（1）求BD 的长；（2）证明：BD ⊥BC ；（3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立．（3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。

勾股定理经典例题含答案(2)(K12教育文档)

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勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，（a，b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。

古埃及人也应用过勾股定理。

在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3）已知c=25，b=15，求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析:(1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b=（2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13， CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，,。

勾股定理的简单应用课件

A
6cm 10cm
6cm
E xcm 4cm B xcm D (8-x)cm C 8cm
讨论与交流
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区分？
勾股定理的前提必须是直角三角形; 勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．
课堂小结
勾
几何问
求三角形的边
股
题中的
A
F
18cm
C
E
30cm
C
B
两点的距离最短问题 —转化成平面展开图中两点之间的连线段最
短.
拓展延伸
变式1 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？
B
B
B
8 8
3 A3
A
CA
图①
图②
解：如图①， AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130. B 如图②， AB2=AC2+BC2=62+82=100. ∵130>100， ∴AB=10. 答：它所行的最短路线的长是10.
•第3章 · 勾股定理
•3.3 勾股定理的简单应用
学习目标
1. 能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题； 2. 感受“转化”“建模”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力.
知识回顾
图形
勾股定理
A
b
∟
C
a
B
文字直角三角形两直角边分别为a、b 语言的平方和等于斜边c的平方.
勾股定理的逆定理
D
C
A
B
(1)求这个梯子顶端距地面的高度；

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．（第4题）（第5题）（第6题）5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．（第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．21．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=95．（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米， 3 ≈1.732）．25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为：1.5m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为：6厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径．解答：解：根据条件可得筷子长为12厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝6厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•错误!=2，CB=2．∴AC=AB2+BC2 =8 =2 2 ，故答案为：2 2 ．点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．6．故答案为：3 5 m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题；转化思想．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=nπ×6 180，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=32+62 =45 ＝3 5 m．故小猫经过的最短距离是3 5 m．故答案是：3 5 m．点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．7．故答案为：22m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD-CE=20-2=18m，在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2 =错误!≈21.9≈22m．故他滑行的最短距离约为22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=122+(3π)2 =错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=62+82 =10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，解得x=2.5．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解答：解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为： 2.42+12 =2.60米．故答案为：2.60．点评：本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．12．故答案为：25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答：解：将台阶展开矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB=72+242 =25寸．点评：本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13．故答案为：b=84，c=85；考点：勾股数．专题：规律型．分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n 组数为（2n+1），（(2n +1)2−12），（(2n +1)2+12 ），由此规律解决问题．32-12解答：在32=4+5中，4=32-12 ，5=32+12；在52=12+13中，12=52-12 ，13=52+12； …则在13、b 、c 中，b=132-12 =84，c=132+12=85；点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．解答题14．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质利用SAS 判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ ；设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△PBQ 为正三角形从而可得到PQ=4a ，再根据勾股定理判定△PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想：AP=CQ ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC ，BP=BQ ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α-60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°-α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2分）（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS 判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD ，∠ACE=∠BCD=90°，在△ACE 和△BCD，⎩⎪⎨⎪⎧∠AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD ∴△ACE≌△BCD（SAS ）；（2）解：直线AE 与BD 互相垂直，理由为：证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE 与BD 互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C 步（2）等式两边同时除以a 2-b 2 （3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．解答：解：（1）C ；（2）方程两边同除以（a 2-b 2），因为（a 2-b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2-b 2=0∵a 2-b 2=0∴a+b=0或a-b=0∵a+b≠0∴c 2=a 2+b 2或a-b=0∴c 2=a 2+b 2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ABD的面积+直角△BDC 的面积．解答：解：∵在△ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD=AB2+AD2 =32+42 =5．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴S四边形A B C D=S△A B D+S△B D C=12AB•AD+12BD•CD12×3×4+12×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=95，故△CDB为直角三角形，∴在Rt△CDB中，CD=CB2−BD2 =32−（95）2 =125，在Rt△CAD中，AD=AC2−CD2 =42−（125）2 =165．（2）△ABC为直角三角形．理由：∵AD=165，BD=95，∴AB=AD+BD=165+95=5，∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．点评：本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目．23．故答案为：32m或（20+4 5 ）m或803m．考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，∵AC⊥BD，∴CD=CB=6m，∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．②如图2，当AB=BD=10时，∵BC=6m，∴CD=10-6=4m，∴AD=4 5 m，∴△ABD的周长=10+10+4 5 =（20+4 5 ）m．③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=82+(x−6)2 =x解得，x=253，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=803m．点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732，所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2 =错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=8 ，∴AD 2=AE 2+DE 2=36m(8 )2+(8 )2=16，∴AD=4，即梯子的总长为4米．∴AB=AD=4．在Rt△ABC 中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=2， ∴BC 2=AB 2-AC 2=42-22=12， ∴BC=12 =2 3 m ；∴点B 到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD 中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-22=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC -EC=2-1.5=0.5．答：梯子顶端下滑了0.5米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km ；解答：解：∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∴AE 2+AD 2=BE 2+BC 2，设AE=x ，则BE=AB-AE=（25-x ），∵DA=15km，CB=10km ，∴x 2+152=（25-x ）2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=DA2−AC2 =2002−1602 =120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾股定理的应用．分析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解答：解：连接AC，∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，∵AC2=AB2+BC2=82+62=102，∵AC＞0，∴AC=10，在△ACD中，∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形A B C D=S△A B C+S△A C D=12×6×8+12×10×24=144．点评：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．。

第3章勾股定理(小结与思考)(复习课件)八年级数学上册(苏科版)

__．
解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第
三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．∴第六代勾股树中正方形有
1+2+22+23+24+25+26=127（个）.
巩固练习
4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的
2
∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab，

2
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c + a(b-a)，

2

b + ab= c2+ a(b-a).

∴
∴ a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
勾股定理的简单应用
解决简单的实际问题
求几何体表面上两点间的最短距离
考点分析
考点一
勾股定理的验证
例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，
已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
2
2
S1= π( ) =
，S2= π( ) =
c
a
b
a
c b
a
b
b
c
a
c

4个小直角三角形的面积=4× ab=2ab，

∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，

第3章《勾股定理》知识讲练(学生版)

2023-2024学年苏科版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 .（即：）勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）利用勾股定理可以证明的问题；（3）解决与勾股定理有关的；（4）勾股定理在的应用．知识点02：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 细节剖析：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设；（2）验证：与a b 、c a b c 、、c 22a b 2c若若满足不定方程的称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.细节剖析：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：；.，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的，而其逆定理是联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者，都与有关.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•海门市期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A ．2，4，5B ．4，6，8C ．5，12，13D ．8，10，12mm ，则梯子顶端的高度h 是（）222a b c +=222a b c +＞222b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a bc 、、a b c <<2729m B．2m m m3．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2分）（2022秋•南通期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（）A．3B．C．D．25．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．46．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD＝，AC＝，则AE的长为（）A．B．5 C．6 D．47．（2分）（2022秋•吴江区校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28．（2分）（2022秋•宿城区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．49．（2分）（2022秋•沭阳县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）A．4 m B．5m C．6m D．8m10．（2分）（2021秋•东台市期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是cm．12．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，△ABC的外角平分线与边BC的垂直平分线交于点D，则AD＝．13．（2分）（2022秋•常州期末）如图，分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，三个正方形面积分别用S1、S2、S3表示，则下列：①S2＞S3；②S2＜S1+S3；③S2＞S1+S3；④，结论正确的是（填写序号）．14．（2分）（2022秋•常州期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．当点C在BD的垂直平分线上时，CD2的值为．15．（2分）（2023春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，AH、BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE＝．16．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为．17．（2分）（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于．18．（2分）（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC 的角平分线，则BD＝．19．（2分）（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，点M是AC 的中点，连接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，则BC2的值为．20．（2分）（2021秋•建邺区期末）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？22．（6分）（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（6分）（2022秋•宿豫区期末）如图，一艘军舰甲在A处停留，此时在A处的南偏西45°方向，距离A 处600公里的B处一艘军舰乙正由南向北航行，若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，试问在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙？请通过计算说明理由．24．（6分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，CF⊥AB于点F，连结DE，DF，EF．（1）求证：△DEF是等腰三角形．（2）若AB＝5，BC＝6，求CF的长．25．（6分）（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D 到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在ADm，将秋千AD往前推送3m，到达ABm，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．m时，需要将秋千AD往前推送m．27．（6分）（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．28．（8分）（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．29．（8分）（2022秋•秦淮区月考）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；已知S△ABC＝40cm2，如图，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．（1）若△DMN的边与BC平行，求t的值；（2）在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。

勾股定理(有答案)

勾股定理1.勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、 b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+. 等腰直角三角形：a:b:c=1:1:√2 ；含30度角的直角三角形：a:b:c=1:√3:2 （知以求二）2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

例题：在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则△ABC 三边满足的关系式为 b2＋c2= a2 ． 3.勾股数:①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等例题解析：1.一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边长为 25cm2.在△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为 14或43.一个三角形的三边分别是,1,2,122-+m m m ,则此三角形是直角三角形4.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 6 cm5.在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为 5或76.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 40或3607.直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是 132 分析：22211x y =+，()()1211211x y x y +-==⨯，121,1x y x y +=-=，所以x=61,y=60.8.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 90 解析：2229)1(=-+x x ，40=x ，9041409=++9.一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移了 0.8米10.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？答案：CD=3cm11.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 答案：（13＋5）×2×18＝648元12.已知等边三角形ABC 的边长是6cm ，(1)求高AD 的长；(2)S △ABC. 答案：cm AD 3327936==-=∴AD BC S ABC ⋅⋅=∆21)2()(39336212cm =⨯⨯=5m 13m A B CCB AD E A BCD1.如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•答案：EC=3cm2.在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。

苏科版数学八年级上3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案

3.2 勾股定理的逆定理1．判断：(1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( )(2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( )(3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( )(4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( )2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______．3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形’D．等腰三角形5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )．A．4组B．3组C．2组D．1组6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5；(3)a＝13，b＝14，c＝15．8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF是否为等腰三角形，并说明理由．9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由．10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC⊥CD．12．欲将一根长129 cm的木棒放在长、高、宽分别是40 cm，30 cm，120 cm的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1))．图(2)由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是_______．14．已知，在△ABC中，a＝m2＝n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m>n，试判断：△ABC是否为直角三角形？15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F在CD上，且DF＝3CF，试判断△AEF的形状，并说明理由．16．(1)按规律填表：(2)上表中，每列三个数为一组，这组数有什么特点？(3)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为20和99，你能很快得到斜边的长吗？17．已知三组数据：①2，3，4；②3，4．5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )．A．②B．①②C．①③D．②③参考答案1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．直角三角形3．直角三角形4．B 5．B 6．B7．(1)该三角形是直角三角形．(2)该三角形是直角三角形(3)该三角形不是直角三角形．8．是．9．90°．10．24(m2)11．略12．能放得进去．13．10 314．是直角三角形．15．直角三角形16．(1)n2－1 n2＋1 (2)都是勾股数组(3)101 17．D。

鲁教版数学七年级上第三章《勾股定理》(含答案及解析)

勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，则△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE第1页，共12页。

八年级数学苏科版上册随堂测试第3单元《 3.2 勾股定理的逆定理》练习试题试卷含答案

随堂测试3.2勾股定理的逆定理一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=9：12：15C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c22.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是()①a=7，b=24，C=25；②a=1.5，b=2，c=7.5；③∠A：∠B：∠C=1：2：3;④a=1，b=，c=.A.1个B.2个C.3个D.4个3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是()A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形4.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°.A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是()A.a=3，b=4，c=6B.a=5，b=6，c=7C.a=6，b=8，c=9D.a=7，b=24，c=256.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ab=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形7.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A：∠B：∠C=l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，C.三边长为a，b，c的值为，2，4D.a2=(c+b)(c﹣b)8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是()A.如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果a2＋c2=b2，则△ABC不是直角三角形C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形9.如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．13.在△ABC中，如果(a+b)(a﹣b)=c2，那么∠=90°.14.如果△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-24)2+∣b-18∣+∣c-30∣=0，则△ABC的形状是。

勾股定理详解与经典例题解析汇报

勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是 m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC 的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15 B．3，4，5 C．1.4，4.8,5 D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A．1∶1∶2 B．1∶3∶4C．9∶25∶26 D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )．A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形 D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。

人教版八年级数学勾股定理逆定理讲义 (含解析)

第17讲勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。

它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。

知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习2.1】三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．教学建议：学会探索勾股数的规律.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习3.1】若8，a，17是一组勾股数，则a= ．【答案】【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．讲解用时：3分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题4】如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求点B到AC的距离．【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2△ABC为直角三角形；（2）作高BD，由得，解得，BD=点B到AC的距离为．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算图中四边形ABCD的面积．【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．解：∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=400，∴BD2+CD2=625=BC2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=AD•AB+CD•BD=246．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题5】如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】+6【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】2+【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC 的长即可．解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．【答案】96m2【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m，∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块土地的面积是96m2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故小鸟至少飞行10m．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【答案】沿南偏东60°方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．解：∵AB=60，BC=80，AC=100，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴AD∥NM，∴∠NBA=∠BAD=30°，∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习7.1】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．（1）求△ABC的周长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴BC==20，AC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）△ABC是直角三角形；理由如下：∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，∴△ABC是直角三角形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业2】如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．【答案】204【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业3】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB==；BC==；AC==5；则AC2=BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．解：连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=3，∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，AD=∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

新苏科版数学导学案八年级第3章勾股定理

班级：学号：姓名：金果学堂3.1勾股定理（第一课时）※学习目标：1、经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程；2、经历探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，能应用数学知识验证勾股定理．※自主学习：阅读课本P78、79页探索如图①，在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝4．⑴你知道AB 的长吗？你知道AB 长的范围吗？⑵如图②，如果添加∠C ＝90°，那么AB 的长确定吗？⑶如图③，把Rt △ABC 放在边长为1的网格中，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，则P S ＝，Q S ＝，R S ＝．⑷在图④的网格上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，仿照⑶的作法，你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？请与同学交流．新知勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方．1、求下列直角三角形中未知边的长．⑴由勾股定理得：⑵由勾股定理得：⑶222125x =+解得：2、求下列图中x 、y 、z 的值．⑴；⑵；⑶；课堂笔记栏※巩固练习：1、一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是………………（）A．斜边长为625B．三角形的周长为84C．斜边长为25D．三角形的面积为1682、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是………（）A．536B．2512C．49D．以上均不正确3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为…………………………………………………………………………（）A．5B．6C．8D．104、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边．⑴若b＝3，c＝5，则a＝；⑵若a＝40，b＝9，则c＝；⑶若a＝6，c＝10，则b＝；⑷若b＝15，c＝25，则a＝．5、已知直角三角形的两条直角边长分别为6、8，那么斜边上的中线长是．6、求下列图形中阴影部分的面积：⑴正方形S＝；⑵长方形S＝；⑶半圆S＝．7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12．求四边形ABCD的周长与面积．8、如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上的一点．求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵2CD2＝AD2＋DB2．作业订正栏金果学堂课堂笔记栏⑵如图③，从整体看，图形看成个边长为大正方形，面积为作业订正栏3、如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为………………………………（）55ABC中，∠C＝90BC上的中线AD长为13．求边金果学堂Array课堂笔记栏※巩固练习：1、下列四组线段中，能组成直角三角形的是…………………………………………（）A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4C ．a ＝2，b ＝4，c ＝5D ．a ＝3，b ＝4，c ＝52、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果()()01215922=-+-+-c b a ，那么△ABC ……………………………………………………………………………（）A ．是以a 为斜边的直角三角形B ．是以b 为斜边的直角三角形C ．是以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形3、如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，则CD 的长为………………………………………………………………（）A ．3B ．4C ．8.4D ．54、如图，在边长均为1的网格中的△ABC直角三角形（填“是”或“不是”）．5、若一个三角形三边的长分别为15cm 、20cm 、25cm ，则最长边上的高为．6、已知一个三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm ．求这个三角形的面积．7、如图，AD ⊥BC ，垂足为D ．如果CD ＝1，AD ＝2，BD ＝4，那么∠BAD 是直角吗？证明你的结论．8、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，AD 是边BC 上的中线，AD ＝ED ＝2．求△ABC 的面积．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂3.3勾股定理的简单应用※学习目标：1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；2、构造直角三角形，运用勾股定理解释生活中的实际问题．※自主学习：阅读课本P86、87页探索《九章算术》是中国古代第一部数学专著，总结了战国、秦、汉时期的数学成就．1、《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？2、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为l尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少尺？应用3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积．4、计算图中四边形ABCD的面积．课堂笔记栏※巩固练习：1、直角三角形的斜边比其中一条直角边大2，另一条直角边为6．则它的斜边长为（）A ．8B ．9C ．10D ．122、如图，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm 的长方体盒子能容下的木棒最长为（）A ．11cmB ．12cmC ．13cmD ．14cm3、如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿纸箱的表面爬到点B 处．蚂蚁爬行的最短路程是cm ．4、如图是一个透明的圆柱状玻璃怀，由内部测得其底面半径为3cm ，高为8cm ．现有一根12cm 长的吸管任意斜放于杯中．若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度至少为cm ．5、甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了4.8km ，乙往南偏东45°方向走了3.6km ，这时甲、乙两人相距km ．6、在△ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝20cm ，边BC 上的高为12cm ，则△ABC 的面积为．7、如图，折叠直角三角形纸片ABC ，使直角边AC 落在斜边AB 上（折痕为AD ，点C 落到点E 处），已知AC ＝6cm ，BC ＝8cm ．求CD 的长．8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 、EC 的长．9、如图，以Rt △ABC 的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂第3章勾股定理（复习）※学习目标：1、进一步理解和掌握勾股定理及勾股定理逆定理；2、运用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题．※自主学习：阅读课本P88、89、90页1、直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为………（）A ．6B ．215C ．12D ．152、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是………………………………………（）A ．3、4、4B ．3、4、5C ．3、4、6D ．3、4、73、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长为…………………………………………………………………………（）A ．9B ．8C ．7D ．64、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足等式c a a c b a 108650222++=+++，那么△ABC 是…………………………………………………………………………（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 共有…………………………………………………（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6、若一个直角三角形中两条直角边长的比为3∶4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．7、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，点D 在BC 上，∠ADC ＝2∠B ，AD ＝13，则BC 的长为．8、如图，直线l 上有三个正方形甲、乙、丙．若甲、丙的面积分别为5、11，则乙的面积为．9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为100cm 、15cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁想到点B 去吃可口的食物，则它所的最短路线的长为cm ．10、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm ．11、如图，我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2b a +的值为．课堂笔记栏12、如图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．⑴在图①中画出等腰直角三角形MON ，使点N 落在格点上，且∠MON ＝90°；⑵在图②中以格点为顶点画一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 的面积等于⑴中等腰直角三角形MON 的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（画出一种即可）．13、如图，将一长方形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A 、C 重合，折痕为FG ．已知AB ＝4，BC ＝8，求△ABF的面积．14、如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上的一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，求AP的长．15、如图，四边形ABCD 为长方形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝4．设AB ＝x ，AD ＝y ，求()224-+y x的值．作业订正栏。

苏科版八年级上册第3章勾股定理知识点总结(复习)课件

展开图：
A
20
3
2
3
2
3
2
C
B
A
20
23
B
8.展开思想
例3.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C 5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
展开图： 5cm
DC B
B DC
20cm 20cm
A 10cm 15cm
A 10cm
8.展开思想
买最长的吧！
快点回家，好用它凉衣服。
糟糕，太长了，放不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？
2.2米 2.2米
1.5米
8.展开思想
A
C
D 1.5米 B BC2 = CD2 + BD2
= 1.52 + 1.52 = 4.5
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
8
x
15
y
25
24
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理的主要应用：（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边;
练习：

3.2 勾股定理的逆定理一课一练2021-2022学年苏科版八年级数学上册试题(含答案)

3.2《勾股定理的逆定理》一、选择题1．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形2．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.下列各组数中，是勾股数的为（）A ．111345，， B ．0.6，0.8，1.0 C ．1，2，3 D ．9，40，414.下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k 、4k 、5k 仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.如图,点P 是等边三角形ABC 内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB 的度数______．2.如图，点M ，N 把线段AB 分割成三条线段AM ，MN 和NB ，若以AM ，MN 和NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若2AM =，3MN =，则NB 的长的平方为____．3.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．三、解答题1.如图，90ADC ∠=︒，4=AD m ，3CD =m ， 13AB =m ，12BC =m ．（1）试判断以点A ，B ，C 为顶点的三角形的形状，并说明理由；（2）求该图的面积．2.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.（1）判断∠ADC是否是直角，并说明理由；（2）试求四边形草坪ABCD的面积.3.下图是由边长为1的小正方形组成的网格．（1）求四边形ABCD的面积（2）判断AD与CD的关系，并说明理由．4.如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．5.如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．6.在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =.设c 为最长边.当222+=a b c 时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为______三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为______三角形．（2）猜想，当22a b +______2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b +______2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围．7.如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 AB 上一点，且AF =14AB ．求证：CE ⊥EF ．8.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF.①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）9.（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD ＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．10.（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．11.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD 为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．12.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．答案一、选择题1．B.2．C.3.D ．4.A二、填空题1.150°2.5或133.13，84，85三、解答题1. 解：（1）连接AC ，由勾股定理可知，5AC ==，又22222251213AC BC AB +=+==， ABC ∆∴是直角三角形（2）该图的面积ABC ACD S S ∆∆=-，115123422=⨯⨯-⨯⨯， 224(m )=．答：该图的面积为24 2m ．2.（1）∠D 是直角，理由如下：连接AC ，∵∠B=90°，AB=24m ，BC=7m ，∴AC 2=AB 2+BC 2=242+72=625，∴AC=25（m ）．又∵CD=15m ，AD=20m ，152+202=252，即AD 2+DC 2=AC 2，∴△ACD 是直角三角形，或∠D 是直角；（2）S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12AB ⋅BC +12AD ⋅DC, =234（m 2）．3.解：（1）由题意可知四边形ABCD 的面积=大正方形的面积-四个小直角三角形的面积111125551242332322222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（2）AD ⊥CD ，理由如下：22125AD DC AC =+====，∴AD 2+DC 2=AC 2=25，∴△ADC 是直角三角形，∴AD ⊥CD ，4.解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，∴AB 2+AD 2=BD 2，BD 2+BC 2=DC 2．∴△ABD 、△BDC 是直角三角形．∴∠A=90°，∠DBC=90°．故这个零件符合要求．S 四边形=11292⨯⨯+18152⨯⨯=114.5.（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．（2）解：结论△ABE 是直角三角形．理由：∵AB ＝AD ＝12，AE ＝AC ＝9，BE ＝15，∴AB 2+AE 2＝122+92＝225，BE 2＝225，∴AB 2+AE 2＝BE 2，∴∠BAE ＝90°，∴△BAE 是直角三角形．6.（1）锐角，钝角．（2）>，<．（3）c 为最长边，46c ∴<≤．当222a b c +>，220c <，即4c <≤ABC ∆为锐角三角形；当222+=a b c ，220c =，即c =ABC ∆为直角三角形；当222a b c +<，220c >，即6c <<时，ABC ∆为钝角三角形．7.连接CF ，∵ABCD 为正方形 ∴AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒．设AB BC CD DA a ====∵E 是AD 的中点，且14AF AB = ∴12AE ED a ==，14AF a =∴34BF a ．在Rt CDE △中，由勾股定理可得2222221524CE CD DE a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 同理可得：2222221152416EF AE AF a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222325416CF BF BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． ∵222EF CE CF +=∴CEF △为直角三角形 ∴90CEF ∠=︒ ∴CE EF ⊥．8.（1）S △ABC =3×3﹣12×1×2﹣12×2×3﹣12×1×3=72；（2）如图所示：∵DE EF DF ，∴DE 2+EF 2=DF 2，∴△DEF 是直角三角形． △DEF 的面积=111231122132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．9. [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．10.问题原型：如图1中，，，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．初步探究：△BCD的面积为12a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD12=a2；简单应用：如图3中，过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ， ∴∠AFB =∠E =90°，BF 12=BC 12=a ，∴∠FAB +∠ABF =90°． ∵∠ABD =90°，∴∠ABF +∠DBE =90°，∴∠FAB =∠EBD ．∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的，∴AB =BD ．在△AFB 和△BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF =DE 12=a ． ∵S △BCD 12=BC •DE ，∴S △BCD 12=•12a •a 14=a 2，∴△BCD 的面积为14a 2． 11.解：（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ．在△ACE 和△ABD 中，AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ）； ∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC ∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ACE 和△ABD 中AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△ABD （SAS ）∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°； ②∵BC ＝3，CD ＝6，∴BD ＝9，∵△ACE ≌△ABD ，∴CE ＝BD ＝9，在Rt △ECD 中，222DE =CD +CE =117，在Rt △ADE 中，∵AD=AE ∴222AD +AE =DE =117，22117AD =AE =2， ∴△ADE 的面积＝2111117117AE AD=AD ==22224⋅⨯；故答案为：1174.12.解：（1）在△ABC 中，∠C=90°中，BC ＝4，AB ＝5 ∴AC=3（2）在Rt △DOA 中，∠DOA ＝900，∴OD 2+OA 2＝AD 2 同理：OD 2+OC 2＝CD 2 OB 2+OC 2＝BC 2 OA 2+OB 2＝AB 2∵AB 2+ CD 2＝OA 2+OB 2+ OD 2+OC 2 AD 2+ BC 2＝OD 2+OA 2+ OB 2+OC 2 ∴AB 2+ CD 2＝AD 2+ BC 2（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG 和△EBC 中 AB BE ABG EBC BC BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△EBC （SAS ） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4∴∠5＝∠AIJ ＝900 ∴AG ⊥CB 连接CG 、AE ，由（2）可知 AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 在Rt △CBG 中，CG 2＝BC 2+BG 2 CG 2＝42+42＝32在Rt △ABE 中，AE 2＝BE 2+AB 2 AE 2＝52+52＝50在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2 52＝AC 2+42 AC 2＝9∴AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 9+ GE 2＝32+50 GE 2＝73。

勾股定理的逆定理专题训练(含答案)

勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
1.三角形ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。

求c的值和三角形的类型。

2.三角形中两条较短的边为a+b和a-b（a>b），求第三条边使得三角形为直角三角形。

3.已知三角形ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=2(m-1)余m+1，求三角形的类型。

4.已知三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为7，求AC 边上的高。

5.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），求三角形的类型和理由。

6.已知一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，求三角形的面积。

7.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。

8.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。

9.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是多少？
10.已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形的面积。

11.已知三角形ABC中，AC=17，AD=8，CD=15，
AB=10，求三角形的类型和面积。

12.已知三角形ABC中，AB=17cm，BC=30cm，求三角形的类型和面积。

13.判断一个机器零件是否符合要求。

14.已知四边形ABCD中，∠B=90，BC上的中线
AD=8cm，判断三角形ABC的类型和理由。

15.为了庆祝红宝石婚，XXX和XXX举办了一场数学竞赛，其中包括了勾股定理的逆定理的专题训练。

勾股定理-讲义

勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。

《勾股定理》教学设计-优秀教案

10.教学反思与改进
利用传统文化引入课题，激发学生再创数学的愿望
环节三：
教的活动3
练习：如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=9，BC=12，
求：(1)AB的长
(2)△ABC的面积
(3)CD的长。
学的活动3
课堂练习本上完成
活动意图说明
巩固知识点
7.板书设计
3.1勾股定理（1）
8.作业与拓展学习设计
完成作业纸
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明
无
1.教学内容分析
本节课是苏教版第三章3.1勾股定理第一课时，是在学生学习了全等三角形等知识之后。
2.学习者分析
八年级学生正处于思维能力和认识活动最活跃的时期，要抓住这种特点，一方面运用直观生动的形象，引发它们的兴趣，另一方面要发挥学生的主动性，让他们动口动手，鼓励它们参与课堂
3.学习目标确定
1.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。
3.计算以AB为一边的正方形
的面积你用的什么方法？
学生活动1
计算面积
活动意图说明：
引导学生把不能利用网格直接计算面积的图形转化为直接计算面积的图形，让学生三个正方形面积的关系
2.两直角边a、b与斜边c之间的关系？
学生活动2
证明
活动意图说明
引导学生把将正方形的面积与直角三角形的边长建立联系
3.体会通过合情推理探索数学结论
3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）
3.1勾股定理2课时
3.2勾股定理的逆定理1课时
3.3勾股定理的简单运用1课时
小结与思考1课时
第1课时教学设计（其他课时同）
课题
勾股定理（1）

专题3.2勾股定理的逆定理(原卷版)【苏科版】

专题3.2勾股定理的逆定理姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•新都区期末）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）A．9，12，15B．7，24，25C．15，36，39D．12，15，202．（2021春•和平区校级期中）以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（）A．6cm，12cm，13cm B．54cm，1cm，23cmC．8cm，6cm，9cm D．1.5cm，2cm，2.5cm3．（2020秋•坪山区期末）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，94．（2021春•青山区期中）下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（）①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：3：2；④∠C＝∠A﹣∠B．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2019秋•罗湖区校级期末）已知三角形的三边长为6、8、10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4B．4.8C．9.6D．106．（2020秋•太原期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：57．（2021春•金州区月考）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．9，12，15B．5，8，12C．4，6，9D．2，3，48．（2020秋•上海期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠BC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：139．（2021春•庐阳区校级期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（）A．锐角三角形B．以c为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形D．以a为斜边的直角三角形10．（2021春•路南区校级月考）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有（）（1）a=13，b=14，c=15；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b＝24，c＝25；（5）a＝2，b＝2，c＝4．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•平阴县期中）一个三角形的三边长分别是9cm，12cm，15cm，则这个三角形的面积是cm2．12．（2020春•汶上县期末）如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝．13．（2021•房山区一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝°．14．（2021春•娄星区校级期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有．（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．15．（2021春•开福区期中）已知△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点，则CD＝．16．（2021春•海珠区月考）若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是．17．（2020秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC＝°．（点A，B，C，D是网格线交点）18．（2021春•平山县月考）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，D=3，BC＝1，B=13，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•越秀区校级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．20．（2020春•盘龙区期末）如图，在△ABC中，∠ADC＝90°，若CD＝12，AD＝16，BC＝15．（1）求AC，BD的长．（2）判断△ABC的形状并说明理由．21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．22．（2020秋•内江期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．23．（2020秋•福田区校级期末）如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．24．（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．。