计算方法_第一章
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
计算方法
计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
计算方法 01第一章 误差理论
第一章
误差理论
§1.1 引言 一、为什么要研究误差理论 二、误差的来源 1. 模型误差 2. 测量误差 3. 截断误差（计算方法得到的近似解与数学问题 的准确解之间的误差）
x3 x5 sin x = x − + − ...... , 3! 5! x3 x5 sin x − ( x − ) = − ...... 3! 5!
右端是截断误差。
6
4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确 存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进 制数限制下： 1 ÷ 3 = 0 . 3333333333 (本应1 ÷ 3 = 0.33333333333L）
(1.000002) 2 = 1.000004 = 0
2 (本应（ 1 .000002 ） − 1 .000004
x*
准确值 近似值
称 E ( x ) = x − x∗ 为 x∗ 的绝对误差，简称误差。 由于 x 无法得到， E ( x ) 也无法得到。 若已知 E( x) = x−x∗ ≤ ∆ 则称 ∆ 为 x∗ 的绝对误差限。
9
例1 则 例2
π = 3.1415926…… π ∗ = 3.14159
E (π ) ≤ 0.000003
x = x* ± ∆
如 π = 3.14159 ± 0.000003 绝对误差限不能完全反映近似值近似程度的好坏。 如
1. x = 10 ± 1 2. y = 1000 ± 5
11
称 R( x) =
E ( x ) x − x* = * x x*
为近似数
x
*
的相对误差。
E ( x) 若 R( x) = * ≤ δ x
10 8 + 0.04 = 10 9 × 0.1 + 10 9 × 0.00000000004 = 10 8 则
计算方法_课后习题答案
L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)
x x1 x0 x1
x x2 x0 x2
x x3 x0 x3
x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3
7 2
x2
7 2
x 1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x
1)(
x
0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
x0 1 0
x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)
x x0 x2 x0
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x
n
n
j0 i0 i j
x xi x j xi
x
j
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2
教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。
但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。
西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。
计算方法 课件第一章
舍入误差
计算机实现计算时，机器的有限字长所造成
1.2.2 误差与有效数字
x 定义1 设 x 是某量的准确值，* 是 x 的一个 近似值，则称 e* = x* − x为近似值的误差或绝 对误差。 * 的绝对值的上界，即满足 x* − x ≤ ε * 的 ε *， e 称为近似值 x* 的误差限。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 * er = ( x* − x) / x ，如果 ( x* − x) / x ≤ ε r*，则 ε r 称 为相对误差限。 实际使用中以 er* = ( x* − x) / x*为相对误差。
*
ε r (s ) ≈
ε (s )
*
s
*
27 = * * ≈ = 0.31% ld 8800
ε (s )
*
1.3 误差定性分析与避免误差危害
前面讨论的误差限的方法是最坏情况 对于千万次的运算可用概率统计的方法 20世纪60年代后提出
向后误差分析法 区间分析法
目前尚无有效方法对误差做出定量分析 本节讨论：
数值分析
Numerical Analysis
主讲教师： 主讲教师： 郭策安
Instructor: GUO CEAN E-mail: guocean@
教材
(Text Book)
TUP & Springer Press
李庆扬、王能超、 李庆扬、王能超、易大义 编
数值分析
参考书目 (Reference)
In = e (x e
I0 = e
−1
−1
n x 1 0
− n ∫ x n −1e x dx) = 1 − nI n −1 (n = 1, 2,L)0来自1∫1
0
计算方法引论-第一章
– β称为基 – 这样表示的数称为β进制数
• 上溢、下溢
计算方法引论( 第三版)
1.3
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差
• 误差
– 准确数x、近似数x*
– 误差e*=x*-x 、误差限ε*≥|x*-x|
– x=x2 65…
近似数
x* 3 3.14 3.141 6
max(0.005 /1.21 0.005 / 3.65, 0.005 / 9.81)
max(0.005 5, 0.000 5) 0.005 5
– 设y = xn, y的相对误差与x的相对误差之间的关
系: dr y | d( ln y) || nd( ln x) | ndr x
计算方法引论( 第三版)
2.4×10-6≈2×10-6
计算方法引论( 第三版)
1.6
徐萃薇、孙绳武 高教2007
相对误差(续)
• 相对误差与有效数字关系
– 设数x*可表成(1.1)，
–
若x*有n位有效数字则有相对误差限
1
21
101n
x * x
1 2
10 pn
，x *
1 10p1
,相除．
–
若x*相对误差限
* r
1 2(1 1)
dlnf(x)= f′(x)/ f(x)dx= xf′(x)/f(x)dlnx
drf(x)= | x f′(x)/f(x) | drx
计算方法引论( 第三版)
1.10
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差的传播:例
•例
– 设a 1.213.65 9.81,其中每个数据的绝对误差 限为0.005,求a的绝对误差限和相对误差限
计算方法-第一章
三、有效数字及其位数
若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差 限, 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止, 共 有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字. 例如, =3.141592· · · , x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|= 0.00159· · · 0.011/2, 即“4”所在的百分位的半个单位 0.011/2 是x*的绝对误差限, 故x*的最左边的非零位 数(个位)“3”到百分位“4”共有三位, 所以x* = 3.14具 有3位有效数字. 有效数字位数越多, 近似值的绝对误差和相对误 差就相对越小, 反之亦然.
§1 误差的来源
实际 问题 建立数 学模型 确定计 算方法 编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
计算过 程中产 生的舍 入误差
例如用级数
1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 的前三项计算 sinx 的近似值, 即取 1 3 1 5 sin x S5 ( x ) x x x 3! 5! 则截断误差为： 1 7 1 9 R( x ) sin x S5 ( x ) x x 7! 9! 由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差.
加, 减法相关的误差公式:
设 f (x1, x2)= x1±x2 .
e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( x2 ) 1 er ( x1 x2 ) [ x e ( x ) x e ( x )] 1 r 1 2 r 2 x1 x2
即
e( x*) x x * 通常将 er* ( x*) x* x* 作为近似值 x*的相对误差. 满足不等式 e( x*) x x * | er ( x*) || || | r x* x* 的正数r*称为近似值 x*的相对误差限. 例如: x1=100±2的近似值 x1*=100的相对误差为 e ( x ) 2 1 | er ( x1 ) || | 2% x1 100 而 x2=10±1的近似值 x2*=10的相对误差为 e ( x ) 1 2 | er ( x2 ) || | 10% x2 10 因此, 从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好.
计算方法 第一章 误差
五、误差的传播与估计
1.误差估计的一般公式：（略） 2.误差在算术运算中的传播：大小相近的同号
数相减、乘数的绝对值很大以及除数接近于0 等，在数值计算中应设法避免。 3.前例的误差分析：从相对误差来看，前两种 算法比后两种大许多。
六、算法的数值稳定性
▪ 定义：凡一种算法的计算结果受舍入误差的 影响小者称它为数值稳定的算法。
y=1000的相对误差限分别为
r
(
x)
Байду номын сангаас
1 10
0.1，
r
(
y)
5 1000
0.005
r (x) r (y)
故y的精度比x高得多。
四、有效数字
★定义：若近似值x 的绝对误差限是某一位上 的半个单位，且该位直到 x的第一位非零数 字一共有n位，则称近似值 x有n位有效数字， 或说 精确x到该位。
※用四舍五入法得到的近似数都是准确到末位 的有效数字。
第一章 误差
一、误差的种类及其来源 二、绝对误差和绝对误差限 三、相对误差和相对误差限 四、有效数字 五、误差的传播与估计 六、算法的数值稳定性
一、误差的种类及其来源
1.描述误差：也称环境误差或模型误差 将复杂的物理现象抽象、归结为数学
模型，往往只得忽略一些次要的因素，从 而造成误差。 2.观测误差：也称初值误差
实际使用的初始数据往往都是通过人 们实际观察测量得来的，这些测得的数据 都只能是近似的，称为参数误差。
3.截断误差：
计算时只能完成有限次运算，需要对一些 无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求 和等）进行截断，即仅保留无穷过程的前段 有限序列而舍弃它的后段。
4.舍入误差：四舍五入所造成的误差。 ※前两种为非过失误差，无法避免；后两种为
计算方法-第1章
13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则 ， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地， 求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机 上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的 运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1） 数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学 发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输 出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法
计算方法 第1章 误差
则x*至少有n位有效数字。
第1章 误差
从上面几个结论可知：有效数字位数可刻画近似
数的精确度；绝对误差与小数点后的有效数字位数有 关；相对误差与有效数字的位数有关。
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章 误差
高等学校工科电子类教材
《 计 算 方 法 》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章 误差
28学时：讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《 计 算 方 法 》
考试：70% 实验：20% 平时课堂作业：10%
第1章 误差
目 录
《 计 算 方 法 》
第一章 误差
（2）
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
选择数值方法-1
《 计 算 方 法 》
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机 直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型 的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化， 转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算 程序，再上机计算得出满意的数值结果。
第1章 误差
l0），则:
《 计 算 方 法 》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1，α、β为参数，可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知，lt-Lt为模型误差，10-6是观测α、β而产生的误 差，因此为量测误差。
第1章 误差
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样 《 计 产生的误差称为截断误差。 算 方 法 》 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须 进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。
计算方法_第一章_绪论
第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。
计算方法01
误差产生的原因.（例1.2.1）
例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期.
l 在物理学中我们知道单 摆周期T 2 g 其中: l为摆长；g为自由落体加速度； 是质点 m 的质量。如图所示：由 牛顿定律 d f m g sin m a m l 2 dt
2
d 2 所以 m l 2 m g sin dt 2 d g 即 sin 0 2 dt l g 当很小时, sin , 令 l d 2 则有 2 0 dt 2
现取h=0.05,其结果见下表:
数值解 理论解
xn
yn
y
xn
yn
y
0
0.2
1.00000 1.00000 1.2
1.18322 1.18322 1.4
1.84931 1.84931
1.94396 1.94396
0.4
0.6 0.8 1.0
1.34164 1.34164 1.6
1.48324 1.48324 1.8 1.61245 1.61245 2.0 1.73205 1.73205 …
防止大数吃小数 1000+0.1+0.2+0.3+0.4=？ 避免两个相近的数相减 1-cosx与2sin^2(x/2)
1.3 函数的性态
见例9
设函数y f ( x),当x用近似数x*代替 计算函数值则 ( x* )时，则误差为 f e( f ) f ( x ) f ( x) df ( x )
*
四则运算的误差累计
* * 设x1 , x2的近似数x1 , x2，则 * * * * * * e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 ) * * * * * * er ( x1 x2 ) d ln(x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 )
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大连理工大学运载工程与力学学部计算方法第一章绪论第二章代数插值法第三章数据拟合与最小二乘法第四章数值积分与数值微分第五章非线性方程及方程组的解法第六章线性方程组的解法第七章矩阵特征值与特征向量的计算第八章常微分方程数值解法计算方法第一章:绪论§1.1 计算方法的任务与特点实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析求精确解(值)一般非常困难。
例如：1. 方程组阶数n 很大，例如n=20,计算机运算速度1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;好方法不到一分钟。
另外，有计算结果可靠性问题。
2. 特征值定义)0(≠=x xAx λ0=λ-x Ax 0)(=λ-x I A 0||=-I A λ3.形式复杂时求根和求积分很困难。
4.线性微分方程易解，如非线性方程难解，如)(x f 12'"=-+y y y 1)0()0('==y y 1sin 2"=-+y y y e y 1)0()0('==y y 希望：求近似解，但方法简单可行，行之有效（计算量小，误差小等）。
以计算机为工具，易在计算机上实现。
计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。
计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只进行加，减，乘，除等基本运算——数值方法。
§1.2 误差基础知识,......!5!3sin 53-+-=xx x x ......!5)!3(sin 53-=--xx x x 一.误差来源（分类）1. 模型误差。
2. 观测误差。
3. 截断误差，如右端是截断误差。
4. 舍入误差。
计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。
例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。
3333333333.031=÷）本应 33333333333.031(=÷000004.1)000002.1(2=））本应（122104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1(-⨯==-=-二．误差基本概念1．绝对误差。
设——准确值，——近似值。
称为的绝对误差。
为的绝对误差限。
2．相对误差。
称为的相对误差。
实用中，常用表示的相对误差。
称为的相对误差限。
x *x**)(xx x e -=ε≤|)(|*x e *x *x x x x r e e *)(*)(=*x **)(x x e rx r e ε≤*)(*x *x3．有效数字设若(1.1)则说具有n 位有效数字，分别是若，则称为有效数。
)21.0(10*p n ma a a a x ⋅⋅⋅±=),0(1∞≤≠p a nm x x -⨯≤-1021**x na a a ,,,21⋅⋅⋅p n =*x例1.1设=0.0270是某数经“四舍五入”所得，则误差不超过末位的半个单位，即：又,故该不等式又可写为由有效数字定义可知,有3位有效数字，分别是2,7，0。
*x*)(x e *x 41021*-⨯≤-x x )270.0(10*1-=x311021*--⨯≤-x x *xx例1.2=32.93,=32.89,故有3位有效数字，分别是3,2，8。
由于中的数字9不是有效数字，故不是有效数。
x 1102105.004.0*-⨯=<=-x x 321021*-⨯≤-x x *x *x *x *x三、有效数位与误差的关系1. 有效数位n 越多，则绝对误差越小(由定义1.1)2.定理1.1若近似数具有n 位有效数字，则(1.2)反之，若则至少有n 位有效数字。
*)(x e nr a x e -⨯≤1*)(10211()nr a x e -+⨯≤11*)(10211*x*x两边除以得(1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。
四、数值运算的误差估计1.一元函数情形设则，由Taylor 展开公式),(x f y =*)*)((*)()(**)(x x x f x f x f y y y e -'≈-=-=*)(*)(*)(x e x f y e '≈*)(**)(*)('*)(x r x x f x f y r e e ≈)(**x f y =(1.4)*)(*)(*)('**)(*)(*x e e e r x f x f x y y y r ≈=)(**x f y =（1.3）2.多元函数情形设，),,,(21n x x x f y ⋅⋅⋅=*),*,*,(*21n x x x f y ⋅⋅⋅=*)(*),*,*,(*)(211i n ni i x e x x x f y e ⋅⋅⋅'≈∑=*)(**),*,*,(*),*,*,(*)(21211i r i n n i ni r x e x x x x f x x x f y e ⋅⋅⋅⋅⋅⋅'≈∑=2121),(x x x x f +=2121,x x x x )(21)21(***max i r i r x e x x e ≤≤≤+21,x x )2()1()21(****x e x e x x e r r r +≈)(*2)1()2()1()*2*1(***x e x e x e x e x x e r r r r r +≤-≈则，由多元函数的Taylor 展开公式类似可得（1.5）（1.6）在（1.6）式中，分别取,可得同号)（1.7）（1.8）（1.9）(,例1.3：测得某桌面的长a 的近似值a*=120cm,宽b 的近似值b*=60cm 。
若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。
试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。
2241.01202.060|*)(||*||*)(||*||*)(|*)(**)(**)(*)*,(*)(*)*,(*)(cmb e a a e b s e b e a a e b b e b b a s a e a b a s s e =⨯+⨯≤+≤+=∂∂+∂∂≈解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将换为s=ab, 则),(21x x f y =相对误差限为%33.06012024|**)(||*)(|=⨯≤=s s e s e r数值计算中值得注意的问题一、防止相近的两数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做).例1:各有五位有效数字的23.034与22.993相减.23.034-22.993=0.0410.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.例2:当较大时,计算xx -+1xx x x ++=-+111 化成二、防止大数吃小数.当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数"吃掉"从而引起计算结果很不可靠.例:求一元二次方程x 2-(108+1)x+108=0的实数根.采用因式分解法,很容易得到两个根为x 1=108,x 2=1.如采用字长为16位的单精度计算机来计算,求得根为x 1≈108,x 2≈0.(怎样计算可得较好的结果?)两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要“对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式.三、防止接近零的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做..四、注意计算步骤的简化,减小运算次数.简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。
例1：计算9255的值，若逐个相乘要用254次乘法，但若写成9255=9•92•94•98•916•932•964•9128只需做14次乘法运算即可。
例2：设A、B、C、D分别是10⨯20、20⨯50、50⨯1、1⨯100的矩阵，试按不同的算法求矩阵乘积E=ABCD.解：由矩阵乘法的结合律，可有如下算法1.E=((AB)C)D.计算量N=11500flop2.E=A(B(CD)).计算量N=125000flop3.E=(A(BC))D.计算量N=2200flop五、选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长.例如若（误差）则计算时误差扩大了倍,而,...)2,1( 51510=-=+=⎰n I ndx x x I n nn 1823.056ln 0≈=I 41021-⨯≤100I 1005)1(511n n I nI -=-是稳定的。
学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉选用算法应遵循的原则.。