高一数学集合的含义与表示3

• 4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，试用描述法表 示该集合为________．(答案不唯一，写出 一个便可) • 解析：A中含有0,1,2,3,4五个自然数，故可 以用描述法表示为{x∈N|x<5}，也可以表示 为{x∈Z|－1<x<5}等． • 答案：{x∈N|x<5}
• 5．将大于0不大于15且能被3整除的整数组 成的集合分别用列举法和描述法表示出 来． • 解：列举法：{3,6,9,12,15}； • 描述法：{x|0<x≤15，且x＝3n，n∈Z}．
变式体验1 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的整数； 6 (2)满足a∈Z，且 ∈N的a构成的集 3－a 合； (3)满足x2＋y2＝25的点(x，y)，其中x∈ N，y∈N.
解：(1)绝对值小于5的整数有－4，－3，－2， －1,0,1,2,3,4，所以满足条件的集合为{－4，－3，－ 2，－1,0,1,2,3,4}． 6 (2)因为 是自然数，且6的正约数有1,2,3,6， 3－a 故3－a可分别等于1,2,3,6，则得到整数a分别为 2,1,0，－3，所以满足条件的集合为{－3,0,1,2}． (3)平方和等于25的自然数对有(0,5)，(5,0)， (3,4)，(4,3)，故满足条件的集合为{(0,5)，(5,0)， (3,4)，(4,3)}．

• 思悟升华 • 1．集合的表示方法常见的有列举法和特殊 性质描述法，当集合中的元素个数有限但 公共属性难以概括时，只能用列举法；当 集合中的元素无法一一列举时，可先抽象 出元素的特征性质，用描述法表示；描述 法和列举法可以互化，同时也可以转化为 自然语言表示．
• 2．用列举法表示集合时，注意以下三点： ①元素之间用“，”隔开；②元素不重复、 无顺序；③对含有较多元素的集合，如果 构成该集合的元素有明显规律，可用列举 法，但必须把元素间的规律显示清楚后方 能用省略号．
• 解：(1){(x，y)|y＝x2－1}； • (2){x|x＝2n，n∈Z}； • (3){x|x＝12k，k∈N*}．
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类型三 列举法与描述法的灵活运用 [例3] 用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－3>2的解的集合； (4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成 的集合．
互 动 课 堂
典 例 导 悟 类型一 [例1]
用列举法表示集合
用列举法表示下列集合： 的解集；
x＋y＝2 (1)方程组 x－y＝0
(2)不大于10的非负偶数集； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
[解析] 解答本题可先弄清集合元素的性质特点， 然后再按要求改写．
[解]
(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋ (y＋3)2＝0，
x＝2 ∴ y＝－3
，∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)由x－3>2，得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}． (4)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述 法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
研 习 新 知


• 新知视界 • 1．把集合的元素一一列举出来，并用花括 号{__}括起来表示集合的方法，叫做列举 法． • 2．用集合所含元素的共同特征来表示集合 的方法称为描述法，具体做法是：在大括 号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特 征．
• [点评] 用列举法与描述法表示集合时，一 要明确集合中的元素；二要明确元素满足 的条件；三要根据集合中元素的个数来选 择适当的方法表示集合．
变式体验3 用适当的方法表示下列集合： (1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数 组成的集合； (2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合； (3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字 (没有重复)所组成的自然数的集合；
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：①已 知4个集合；②用适当的方法表示各个集 合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举 法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将 方程左边因式分解后求解，宜用列举法； 对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述 法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有 无数个，宜采用描述法．
• 类型二
用描述法表示集合
• [例2] 用描述法表示下列集合：
• (1)被5除余1的正整数集合；
• (2)大于4的全体奇数构成的集合； • (3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合； • (4)三角形的全体构成的集合． • [分析] 由题目可获取以下主要信息：用描
• • • •
[解] (1){x|x＝5k＋1，k∈N}； (2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3){(x，y)|xy＝0}； (4){x|x是三角形}或{三角形}．
或
.
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．
• [点评] 当集合中的元素个数较少时往往采 用列举法表示．用列举法表示集合时，必 须注意以下几点： • ①元素之间必须用“，”隔开； • ②集合的元素必须是明确的； • ③不必考虑元素出现的先后顺序； • ④集合中的元素不能重复； • ⑤集合中的元素可以是任何事物．
• 自我检测 • 1．用列举法表示集合{x|x2 －2x＋1＝0}为 ( ) • A．{1,1} B．{1} • C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} • 解析：集合{x|x2 －2x＋1＝0}为方程x2 －2x ＋1＝0的解集，而x2－2x＋1＝0的解为x1＝ x2 ＝1，由于集合元素的互异性，故只可写 成{1}，故选B.
• 3．对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形) 表示，图形上或图形内的点表示该集合的 元素，图形外的点表示集合外的元素，这 种表示集合的方法叫图示法，或称Venn图 示．
思考感悟 (1)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一个集 合？ 提示：虽然两个集合的代表元素不同，但实质 上它们均表示大于3的所有实数，故是同一个集合．
1.1
集合
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.理解列举法和特征性质描述法 的实质，能运用它们表示集合． 2．体验用集合语言表示文字语 言的过程，尝试用集合语言表示集 合的方法． 3．集合语言是基本的数学语言 ，是数学所需要的语言之一，通过 本节的学习，提高学习数学的兴趣 ，树立学好数学的信心，进一步体 会形式化表达式在数学学习中的重
• (2)所有三角形的集合，能否表示为{所有三 角形}? • 提示：在不引起混淆的情况下，为了简便， 有些集合用描述法表示时，可以省去竖线 及其代表元素．但所有三角形的集合不能 表示为{所有三角形}，因为“{}”本身就有 “所有”、“全部”的意思．
• (3)列举法和描述法分别适合于表示什么特 点的集合？ • 提示：一般来讲，有限集(当集合中元素的 个数有限时，称为有限集；否则，当集合 中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用 列举法，它具有直观明了的特点；无限集 或不宜一一列举的集合，宜采用描述法， 若无限集有规律，也可以用列举法．
x＋y＝2 (1)由 x－y＝0 x＝1 ，得 y＝1
[答案]
，故方
程组的解集为{(1,1)}． (2)不大于10即为小于或等于10， 非负是大于或等于0，故不大于10的非负偶数集 为{0,2,4,6,8,10}．
(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
x＝0 所以 y＝3 x＝3 y＝0 x＝1 或 y＝2 x＝2 或 y＝1
y＝x (4)二元二次方程组 2 y＝(1)列举法：{3,5,7}； (2)描述法：{周长为10 cm的三角形}； (3)列举法： {1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,3 12,321}； • (4)列举法：{(0,0)，(1,1)}。


• [点评] (1)用描述法表示集合，首先应弄清 楚集合的属性，是数集、点集还是其他的 类型．一般地，数集用一个字母代表其元 素，而点集则用一个有序数对来表示． • (2)若描述部分出现元素记号以外的字母时， 要对新字母说明其含义或指出取值范围， 如(1)(2)小题．
• 变式体验2 用描述法表示下列集合： • (1)坐标平面内抛物线y＝x2 －1上的点的 集合； • (2)所有偶数的集合； • (3)3和4的所有正的公倍数的集合．
2．已知集合A＝{x∈N*|－ ( ) A．－1∈A C. 3∈A
5 ≤x≤5}，则必有
B．0∈A D．1∈A
解析：∵x∈N*，－ 5≤x≤ 5，x＝1或x＝2， 即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.
答案：D
• 3．设集合A＝{2，a}，B＝{2，a2－2}，若 A＝B，则a＝________. • 解析：∵a＝a2－2，∴a＝－1或a＝2. • ∵a＝2时与元素的互异性矛盾， • 故a＝－1. • 答案：－1
• 3．用描述法表示集合时，注意以下几点： ①写清楚该集合中元素的代号(字母或用字 母表示的元素符号)；②说明该集合中元素 的特征；③不能出现未被说明的字母；④ 多层描述时，应当准确使用“或”、 “且”、“非”；⑤所有描述的内容都要 写在集合括号内；⑥用于描述法的语句力 求简明、确切．
• 4．对于用特征性质描述法表示的集合，一 定要搞清这个集合的代表元是数，还是有 序实数对(点)，还是集合，还是其他形 式．这一点对于我们解题至关重要．