二阶系统的性能指标

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机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标

机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标二阶系统是指具有两个自由度的机械工程控制系统。在控制系统理论中，衡量系统性能的指标有许多，比如超调量、调节时间、稳态误差等。下面将详细介绍二阶系统的性能指标。

一、超调量：

超调量是指过渡过程中输出量超过稳态值的最大偏离量。对于二阶系统而言，其超调量可以通过过冲幅值与稳态值的差进行计算。具体公式如下：

超调量(%)=(过冲幅值-稳态值)/稳态值×100

超调量主要反映了系统在过渡过程中的动态性能，是指标中最容易获取的。

二、调节时间：

调节时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间。对于二阶系统而言，其调节时间通常从过渡过程的时间t1开始计算。具体公式如下：

调节时间=t2-t1

其中，t2表示系统输出量进入超定态的时刻。

三、上升时间：

上升时间是指系统输出量从初始稳态值到达稳态值所需要的时间，也即是调节时间的一部分。对于二阶系统而言，上升时间是系统输出量从过渡过程的时间t1到达过冲幅值和稳态值之间的时间间隔。

四、峰值时间：

峰值时间是指系统输出量达到过冲幅值或者偏离过冲幅值最远的时刻。对于二阶系统而言，峰值时间是系统从过渡过程的时间t1到达过冲幅值

的时间间隔。

五、稳态误差：

稳态误差是指系统输出量在稳态下与期望输入量之间的偏差。对于二

阶系统而言，稳态误差可以通过比较系统稳态值与期望输入量来计算。稳

态误差主要反映系统的静态性能，也即系统对于不同输入的输出表现。

综上所述，二阶系统的性能指标主要包括超调量、调节时间、上升时间、峰值时间和稳态误差。这些指标可以通过理论计算、仿真分析和实验

二阶系统的性能指标分析(DOC)

邢台学院物理系

《自动控制理论》

课程设计报告书

设计题目:二阶系统的性能指标分析

专业:自动化

班级:

学生姓名:

学号:

指导教师:

2013年3 月24 日

邢台学院物理系课程设计任务书

专业：自动化班级：

2013年3 月24 日

摘要

二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。

控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。

稳态过程性能

稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值

本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。

关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间

1.二阶系统性能指标概述 (1)

2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 (1)

3.二阶系统的时间响应及动态性能 (4)

3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (4)

3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (5)

3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (7)

3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (14)

4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (18)

5 总结及体会 (19)

参考文献 (19)

1.二阶系统性能指标概述

二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。

控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。

二阶系统的性能指标

一、二阶系统传递函数的标准形式

二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22

2)()(n

n n

s s s R s C ωξωω++=

式中，ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率。

所以，二阶系统的特征方程为：022

=++n n s s ωξω

由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点)为：22.11ξωξω-±-=n n j s 随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）

令)(1)(t t r =，则有s s R 1

)(=

,二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2

2222

22)()(1

)

)((211

2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s

s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅

-+++-=-++++-

=⋅++=

式中，2

1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率

对上式进行反拉氏变换,得：

)

sin(11)

sin 1(cos 1sin cos 1)(2

ϕωξ

ωξ

ωωωξωωξωξωξωξω+--

=-+-=⋅-

-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t

d n d t n n

式中，ξ

ξϕ2

1-=arctg

由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程，)(t c 为衰减的正弦振荡曲线.其衰减速度取决于

ϕ角的定义

n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：

自动控制理论时域分析2--二阶系统

R( s)

K K (Ts 1) s sJs F
C (s)

K C (s) J G (s) F K R (s) s2 s J J
令：
K n2 J
F 2 n J
则二阶系统标准式:
2 n G ( s ) 2 2 s 2 s n n
－－无阻尼自然振荡频率；－－阻尼比 2 2 二阶系统的特征方程为： s 系统的两个特征根（闭环极点）为
1 1 [ 2 (2 2 1 1 )] [ 2 (2 2 1 1 ] 1 c ( s ) 2 2 s s n 1 s n 1 n n

T t 1

将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
1 e e c ( t) 1 ( ) 2 T T 2 1 1 2
3.2
二阶系统的瞬态响应
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。一、二阶系统标准形式
R( s)

K K (Ts 1) s sJs F
C (s)

K C ( s ) K J G ( s ) 2 F K R ( s ) Js Fs K 2 s s J J

自动控制二阶系统性能分析

系统的典型结构: ζ —阻尼比 ω n —无阻尼自然振荡频率
C(s) ω2 n Ф(s)= R(s)= s2+2 ω n2 ζ ω n s+
求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。
第三节二阶系统性能分析
例如：RLC电路的传递函数为
Uc(s) 1 G(s)= U (s) = LCs2 +RCs+1 r
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 单位阶跃响应曲线系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。
1
c(t) ζ>1
0
t
第三节二阶系统性能分析
ω n ζ 2 -1=s1.2 =ζ ω n± ωn 2 ωn 1 • s 两相等负实数根 C(s)= (s2+2 2 ω ζ ω n s+ n ) 2 n ωn ω 1 1 1 = (s + ω n (s + ω n )2 ω n )2 • s = s s + -ω nt ω c(t)=1- e (1+ n t) c(t) 单位阶跃响应曲线 1 输出响应无振 ζ=1 荡和超调。 ζ=1 时系统的响应速度比 0 t ζ>1 时快。
第三节二阶系统性能分析
1. 上升时间tr
根据定义有
c(t)

二阶最佳系统的最大超调量

二阶最佳系统的最大超调量二阶最佳系统的最大超调量是一个关键的性能指标。最大超调量通常指的是系统响应过程中的最大偏离量，它衡量了系统对输入信号的响应能力。

对于二阶最佳系统，最大超调量的具体数值与系统的阻尼比有关。阻尼比是描述系统阻尼特性的一个重要参数，它决定了系统的稳定性和响应速度。

当阻尼比为0.707时，二阶系统的响应特性达到最佳状态，此时的超调量约为42.7%。这意味着在系统的响应过程中，输出信号的最大偏离量约为输入信号幅值的42.7%。

需要注意的是，最大超调量只是评价系统性能的一个方面，还需要综合考虑其他指标如上升时间、调整时间等，以全面评估系统的性能。此外，实际应用中还需要根据具体需求来设计和调整系统参数，以获得最佳的性能表现。

以上内容仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅相关领域的专业书籍或咨询相关领域的专家。

自动控制原理二阶系统动态指标

在自动控制原理中，二阶系统的动态特性对整个控制系统的性能至关重要。以下是对二阶系统动态指标的详细阐述，主要包含稳定性、快速性、准确性、鲁棒性、抗干扰性、调节时间、超调量、阻尼比和频率响应等方面。

一、系统的稳定性

稳定性是评估控制系统性能的重要指标。对于二阶系统，稳定性通常通过观察系统的极点位置来判断。如果系统的极点位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。此外，系统的稳定性还与阻尼比有关，阻尼比在0到1之间时，系统是稳定的。

二、系统的快速性

快速性表示系统响应速度的快慢。在二阶系统中，快速性通常通过极点的位置来决定。极点越接近虚轴，系统的响应速度越快。但需要注意的是，过快的响应速度可能导致系统超调量增大，因此需要综合考虑快速性和稳定性。

三、系统的准确性

准确性表示系统输出与期望输出的接近程度。对于二阶系统，可以通过调整系统的极点和零点位置来提高准确性。一般来说，增加阻尼比可以提高准确性。

四、系统的鲁棒性

鲁棒性表示系统在参数变化或干扰下保持稳定的能力。对于二阶系统，鲁棒性可以通过调整系统的极点和零点位置来改善。一般来说，使极

点和零点距离越远，系统的鲁棒性越好。

五、系统的抗干扰性

抗干扰性表示系统抵抗外部干扰的能力。对于二阶系统，可以通过增加阻尼比来提高抗干扰性。阻尼比增大时，系统对外部干扰的抑制能力增强。

六、系统的调节时间

调节时间表示系统从受到干扰到恢复稳态所需的时间。对于二阶系统，调节时间与阻尼比和系统增益有关。适当增加阻尼比和系统增益可以缩短调节时间。

七、系统的超调量

二阶系统性能指标.

Mp e

1 2
100%
单位脉冲响应
可由阶跃响应求导数得到
调节时间 ts
1 1
根据调节时间的定义，当t≥ts时，应有
c(t ) c() c()
求解时令
1
1 C (ts )
nts e 1 Sin(dts ) 2
ts
因1、符合上式答案有多个;2、ts不连续用包络线近似来简化计算
e 1 1
n tsnts e 1 21
1 Sin ( d t s ) 2
1
nts e 1 2
Sin(dts ) 1
取得包络线方程
1
1
系统的瞬态响应指标
试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？
R(s) -
10 s2
C(s)
C(s) 10 2 R (s) s 10
R (s ) 1 s
=0
无阻尼
c(t) 1 cos 10t
等幅不衰减振荡
上升时间tr
峰值时间tp
0
5% c() or 2% c()
调节时间ts
t
tr t p
ts
当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时，上升时间的定义修改如下：

二阶系统的性能指标

一、二阶系统传递函数的标准形式

二阶系统的闭环传递函数写成标准形式为：22

2)()(n

n n

s s s R s C ωξωω++=

式中,ξ为阻尼比；n ω为无阻尼自振频率.

所以,二阶系统的特征方程为：022=++n n s s ωξω

由上式解得二阶系统的二个特征根（即闭环极点）为：2

2.11ξωξω-±-=n n j s

随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根（即闭环极点）也不相同。二、单位阶跃函数作用下二阶系统的过渡过程（针对欠阻尼状态，10<<ξ ）

令)(1)(t t r =，则有s

s R 1

)(=

，二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为：2

2222

22)()(1

)

)((211

2)(d n d d n d n n d n d n n n n n s s s s j s j s s s s

s s s C ωξωωωξωωξωξωωξωωξωξωωξωω++⋅

-+++-=-++++-

=⋅++=

式中，2

1ξωω-=n d 为有阻尼自振频率

对上式进行反拉氏变换，得：

)

sin(11)

sin 1(cos 1sin cos 1)(2

ϕωξ

ωξ

ωωωξωωξωξωξωξω+--

=-+-=⋅-

-=----t e t t e t e t e t c d t d d t d t

d n d t n n

式中，ξ

ξϕ2

1-=arctg

由上式看出，对应10<<ξ时的过渡过程,)(t c 为衰减的正弦振荡曲线。其衰减速度取决于

ϕ角的定义

n ξω值的大小，其衰减振荡的频率便是有阻尼自振频率d ω，即衰减振荡的周期为：

二阶系统性能指标

0 . 30 ( s )

ln
1
1
1 . 61 ( s )
2
这里取Δ＝0.05。
0 .6 问题：Ts取决于T0，为什么？分析K0和T0的影响。
或者 t s
3T

3 0 .3
1 .5 ( s )
例2：讨论速度负反馈对动态特性的影响。
K 01 160 s T 0 0 . 25 s
取得包络线方程
1
1
e n t s 1 2
1
包络线与误差带交点是唯一的
e n t s 1 1 2
1
1 ln ( 1 2 ) 1 (ln ln 1 2 ) ts n n
当 0 . 05 其中第一项 ln 3 当 0 . 02 ln 4 其中第二项与有关，相对第一项在一定范围内可以忽略
1
ts
因1、符合上式答案有多个;2、ts不连续用包络线近似来简化计算
e 1 1
n s n t s t
e
2 1 1
Sin ( d1s ) t 2
e n t s 1 2
1
Sin ( d t s ) 1
2

N 将 ts 1
n
1

第九次课二阶系统响应及性能指标

n
4 .5
n
4、无阻尼情况（ =0）：
C (s)
n
2
2 2 n
s

1 s
c ( t ) 1 cos n t
% 100 %
tp
n
单位阶跃响应
（1）欠阻尼单位阶跃响应
h (t ) 1 1 1

2
e

n
t
sin(

d
t
)
（2）临界阻尼单位阶跃响应
2
延迟时间：上升时间：峰值时间：超调量：
td
1 0 .7
n
tr
d
tp
d
/ 1
2
超调量只与阻尼比有关
% e
100 %
一般地，取 =0.4~0.8，这时 %=25.4%~1.5%
调节时间：
3 .5
5 % 时， t s 2 % 时， t s
1、过阻尼情况（ >1）：
C (s)
n
2
2 2
s 2 n s n
t T1

1 s
t T2
c (t ) 1 C 2e
C 3e
( s1
1 T1
, s2

二阶系统动态性能指标

r(t) 3.单位抛物线函数(加速度阶跃函数) 1 2 1 2 1 t t0 (t ) 2 L[ t ] 3 2 s 0 t0 0
t
二. 阶跃响应的性能指标
C (t ) C max
C ()
1 C ( ) 2
1、延迟时间t d 2、上升时间t r
3、峰值时间 4、最大超调量 % 误差带
第二节
典型输入信号和阶跃响应性能指标
1(t) 1
一. 典型输入信号 1.单位阶跃函数
1 1(t ) 0
t0 t0
1 L[1(t )] s
t0 1 L[r (t )] 2 t0 s
0 r(t) 1 0 1
t
2.单位斜坡函数(速度阶跃函数)
t r (t ) 0
t
线性系统的稳定的充要条件是：系统特性方程的根（即闭环极点）均为负实数（实部）。
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
设闭环的传递函数：
c( s ) ( s) R( s)
k ( s zi )
m
Pj 称为闭环特征方程的根或极点
(s
j 1
i 1 n
pj)
过阻尼二阶系统的动态表现
1时化成两个一阶惯性环节串联
三、二阶系统的动态性能指标与系统参数的关系
[例] 控制系统如图，求

欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式

欠阻尼二阶自动掌握系统性能指标计算公式

经过这几天对二阶自动化系统的学习，使我对二阶自动化系统有了初步的了解。二阶自动掌握系统有四种状况，可分为无阻尼状况、欠阻尼状况、临界阻尼状况，以及过阻尼状况。我主要对二阶掌握系统里的欠阻尼状况进行了学习。了解了无阻尼二阶系统欠阻尼的性能指标。

指标有以下几点：

1.提升时间t r

2.峰值时间t p ：

3.最大超调量。P

4.调整时间t S

5.振荡次数N

6.稳态误差e s s

通过学习也了解到二阶系统的平稳性主要由阻尼比C打算，C越大，超调量越小，系统的平稳

性越好；相反C越小，平稳性越差，C = O时系统不能稳定工作。C比较小时，调整时间与C 3 n成反比，快速性也就越差。

二阶系统性能指标解读

Mp e

1 2
100%
单位脉冲响应
可由阶跃响应求导数得到
调节时间 ts
1 1
根据调节时间的定义，当t≥ts时，应有
c(t ) c() c()
求解时令
1
1 C (ts )
nts e 1 Sin(dts ) 2
s
C(s)
C(s) 10 2 R (s) s 10s 10
0.707
n 10
2 n 10
2 n 0.444(s) 10
例1：已知:K0＝K01K02＝16s-1, R(s)
＋ T0=0.25s。－（1）求系统的超调量和调整时间ts。（2）若使系统的超调量为10%，T0保持不变的情况下，K0应是多少？
nentp Sin(dtp ) dentpCos(dtp ) 0
Sin(dtp ) 1 2 Cos(dtp ) 0
1 2 tg (dtp ) 2 1 d tan d t tan n
dtp k
！第一个峰值
d t p
峰值时间等于阻尼振荡周期的一半 ξ一定时，ωn越大， tp越小； ωn一定时，ξ越大， tp越大。
tp d
tp d n 1 2

典型二阶系统的时域响应与性能分析

实验二典型二阶系统的时域响应与性能分析

一、实验目的

1、研究二阶系统的特征参量（ζ, ωn ）对过渡过程的影响。

2、研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。

二、实验设备

PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。

三、实验原理

典型二阶系统开环传递函数为：)

1()1()(101101

s T s T K s T s T K s G ；其中，开环放大系数01K K = 。系统方块图与模拟电路如图2-1与图2-2所示。

图2-1典型二阶系统方块图

图2-2模拟电路图

先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路

中，观察二阶系统的动态性能及稳定性。

设R T K K s T T s T 200,2.0,10

10==

===，

系统闭环传递函数为：

222

221)()(n n n s s T

K s T s T K

K s Ts K s R s C ωζωω++=+

+=++= 其中，自然振荡频率：R

T K n 10

ω 阻尼比：4

102521R

ωζ 典型二阶系统的瞬态性能指标：

超调量：2

1%ζζπ

δ--=e

峰值时间：2

1ζ

ωπ-=

n p t

峰值时间的输出值：2

11)(ζζπ

-=+=e t C p

调节时间：

1）欠阻尼10<<ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈5324

，，t n n s ζωζω

2）临界阻尼1=ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈575.4284

.5，，t n

n s ωω

3）过阻尼1>ζ，⎩

⎨⎧=∆=∆≈532

411，p ，p t s ，1p -与2p -为二阶系统两个互异的

二阶系统的性能指标

1. 超调量（Overshoot）：超调量是指系统实际输出值达到或超过设

定值后的最大偏离程度。超调量大小与系统阻尼比有关，阻尼比越小，超

调量越大。超调量的大小是评价系统抗干扰性的重要指标之一、超调量较

小的系统具有更好的稳定性和抗扰性能。

2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳

定状态的时间。也就是系统输出值从设定值到接近设定值所需要的时间。

系统的调节时间越短，说明系统响应快速，性能越好。

3. 稳态误差（Steady-state Error）：稳态误差是指系统输出与期

望输出之间的差异，它表示系统在稳态下的输出误差大小。稳态误差大小

可以反映系统的静态稳定性能。稳态误差越小，说明系统的精度越高。

4. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指从初始状态到系统输出值

首次达到超调值的时间。峰值时间越短，说明系统响应速度越快。峰值时

间较短的系统对输入信号的快速变化能够更快地响应，并快速趋于稳定。

除了上述常见指标外，还有一些常用的性能指标包括上升时间（Rise Time），峰值偏差（Peak Overshoot），调节时间百分比（Percent Overshoot）等，这些指标可根据需要进行评价。

上升时间是指系统响应从0%到100%的时间，或者从10%到90%的时间。上升时间越短，说明系统的响应速度越快。

峰值偏差是指系统在超调过程中达到的最大偏差值。系统的峰值偏差

越小，说明系统对输入信号的超调响应越小。

调节时间百分比是指系统从初始状态到输出值在一定范围内的时间。

二阶系统的性能指标

机械工程控制基础29_二阶系统的性能指标

二阶系统的性能指标分析(DOC)

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自动控制理论时域分析2--二阶系统

自动控制 二阶系统性能分析

二阶最佳系统的最大超调量

自动控制原理二阶系统动态指标

二阶系统性能指标.

二阶系统的性能指标

二阶系统性能指标

第九次课 二阶系统响应及性能指标

二阶系统动态性能指标

欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式

二阶系统性能指标解读

典型二阶系统的时域响应与性能分析

二阶系统的性能指标

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第九次课二阶系统响应及性能指标