控制系统的动态和静态性能指标

PIDБайду номын сангаас制器设计的一般原则 PID控制器设计的一般原则
观察系统开环响应，确定待改进之处； 观察系统开环响应，确定待改进之处； 加入比例环节缩短系统响应时间； 加入比例环节缩短系统响应时间； 加入积分控制减小系统的稳态误差； 加入积分控制减小系统的稳态误差； 加入微分环节改善系统的超调量； 加入微分环节改善系统的超调量； 使系统的响应达到最优。 调节 KP，KI，KD ，使系统的响应达到最优。
K2 ≥ 0时，稳态误差为零。当输入为斜坡信号时， 稳态误差 时 稳态误差为零。当输入为斜坡信号时， 为： A ess = KK 2 函数对闭环系统在斜坡信号输入下的响应进行仿真。 用lsim函数对闭环系统在斜坡信号输入下的响应进行仿真。 函数对闭环系统在斜坡信号输入下的响应进行仿真
反馈的优点
∆G ( s ) R(s) (1 + GK ( s ) + ∆GK ( s ))(1 + GK ( s ))
动态性能指标
研究线性系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的 响应过程曲线， 响应过程曲线，
超调量：响应曲线第一次越过静态 超调量： 值达到峰值点时， 值达到峰值点时，越过部分的幅度 与静态值之比，记为σ 与静态值之比，记为σ； 调节时间： 调节时间：响应曲线最后进入偏离 静态值的误差为± ％ 或 ％ 的范围 静态值的误差为±5％(或2％)的范围 并且不再越出这个范围的时间，记 并且不再越出这个范围的时间， 为ts； 振荡次数：响应曲线在t 振荡次数：响应曲线在 s之前在静 态值上下振荡的次数； 态值上下振荡的次数； 延迟时间： 延迟时间：响应曲线首次达到静态 值的一半所需的时间，记为td; 值的一半所需的时间，记为
PID控制器也叫三项控制器，它包括一个比例项，一个积 控制器也叫三项控制器，它包括一个比例项， 控制器也叫三项控制器 分项和一个微分项， 分项和一个微分项，其传递函数为 K G( s) = K P + I + K D s s KP，KI，KD分别为比例增益、积分增益和微分增益。 分别为比例增益、积分增益和微分增益。 如果令K 比例积分控制器(PI): 如果令 D=0，就得到比例积分控制器 ，就得到比例积分控制器 K G( s) = K P + I s 比例微分控制器(PD): 而当K 时 则得到比例微分控制器 而当 I=0时，则得到比例微分控制器
开环系统的误差为
E ( s ) = R( s ) − Y ( s ) = (1 − G ( s )) R( s )
对单位阶跃输入， 对单位阶跃输入，开环系统的稳态误差为
1 e ss = lim s (1 − G ( s )) = 1 − G (0) s →0 s
对k=1的闭环系统，其稳态误差为 的闭环系统， 的闭环系统 1 1 e ss = lim = s →0 1 + G ( s ) 1 + G (0) G(0)常称为系统的直流增益，一般远大于1。 常称为系统的直流增益，一般远大于 。 常称为系统的直流增益
lim y (t ) = lim
t →∞ s →0
1 1 = s ( s + 12) + K K
于是当K=100和20时，干扰响应的稳态值分别为 和 时 干扰响应的稳态值分别为0.01和0.05。 于是当 和 。
当设置增益K=100，并令d(t)=0时，可得系统对单位阶跃输 ，并令 当设置增益 时 入的响应y(t)如图 所示，可见系统响应的超调量较大。 如图(a)所示 入的响应 如图 所示，可见系统响应的超调量较大。 当令r(t)=0时，可得系统对单位阶跃干扰的响应 如图(b) 当令 时 可得系统对单位阶跃干扰的响应y(t)如图 如图 所示，可见干扰的影响很小。 所示，可见干扰的影响很小。
控制系统的静态和动态性能指标
稳态误差
一个稳定系统在输入量或扰动的作用下， 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程进 入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差。 入静态后，静态下输出量的要求值和实际值之间的误差。 记为 ess ess = lim yreq (t ) − y (t ), yreq (t )为输出要求值
t →∞
r(t) -
e(t) G(s) k
y(t)
r (t ) = kyreq (t ), e(t ) = r (t ) − ky (t ) = k ( yreq (t ) − y (t )) ess = lim e(t )
t →∞
为计算稳态误差，应用 终值定理， 为计算稳态误差，应用Laplace终值定理，即 终值定理 s lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim R( s) t →∞ s →0 s →0 1 + kG ( s ) 当输入信号为以下三种典型信号之一时， 当输入信号为以下三种典型信号之一时，稳态误差为
当设置增益K=20时，可得系统对单位阶跃输入和单位阶跃 时 当设置增益 干扰的响应y(t)如下图所示，由于此时系统响应的超调量较 如下图所示， 干扰的响应 如下图所示 且在2s之内即达到稳态 所以我们选择K=20。 之内即达到稳态， 小，且在 之内即达到稳态，所以我们选择 。
PID控制器 控制器
输出的变化为
G ( s ) + ∆G ( s ) R(s) 1 + (G ( s ) + ∆G ( s )) K ( s )
∆Y ( s ) =
通常 GK ( s) >> ∆GK ( s)，于是有 ∆G ( s ) ∆Y ( s ) = R( s) 2 (1 + GK ( s )) 又由于(1+GK(s))在所关心的复频率范围内常称是远大于 的， 在所关心的复频率范围内常称是远大于1的 又由于 在所关心的复频率范围内常称是远大于 因而闭环系统输出的变化减小了。 因而闭环系统输出的变化减小了。 反馈能减小对象G(s)的 反馈能减小对象 的 参数变化对输出的影响！ 参数变化对输出的影响！
设计实例： 设计实例：移动机器人驾驶控制
严重残障人士的行动可以借助于移动机器人。 严重残障人士的行动可以借助于移动机器人。这种机 器人的驾驶控制系统可用以下框图表示，驾驶控制器G 器人的驾驶控制系统可用以下框图表示，驾驶控制器G1(s) 为： K2 G1 ( s) = K1 + s
当输入为阶跃信号， 当输入为阶跃信号，K2=0时，系统的稳态误差为： 时 系统的稳态误差为： 你能算一下吗？） （你能算一下吗？） A ess = 1 + KK1
反馈能减小稳态误差！ 反馈能减小稳态误差！
考虑对象G(s)的参数变化对输出的影响，设此时对象为G(s) 的参数变化对输出的影响，设此时对象为 考虑对象 的参数变化对输出的影响 +∆G(s)，在开环条件下输出的变化为 ∆ ，
∆Y ( s ) = ∆G ( s ) R( s )
而对闭环系统则有
Y ( s ) + ∆Y ( s ) =
减小系统的稳态误差； 减小系统的稳态误差； 减小对象G(s)的参数变化对输出的影响； 的参数变化对输出的影响； 减小对象 的参数变化对输出的影响 使系统的瞬态响应易于调节； 使系统的瞬态响应易于调节； 抑制干扰和噪声。 抑制干扰和噪声。
反馈的代价
增加了元器件的数量和系统的复杂性； 增加了元器件的数量和系统的复杂性； 增益的损失； 增益的损失； 有可能带来不稳定性。 有可能带来不稳定性。
为使对接达到所需精度， 为使对接达到所需精度，施工时使用激光引导系统保持 钻机的直线方向。 钻机的直线方向。钻机的控制模型为
其中Y(s)是钻机向前的实际角度，R(s)是预期的角度，负载 是钻机向前的实际角度， 是预期的角度， 其中 是钻机向前的实际角度 是预期的角度 对钻机的干扰用D(s)表示。设计的目标是选择增益 ，使得 表示。 对钻机的干扰用 表示 设计的目标是选择增益K， 对输入角度的响应满足工程要求， 对输入角度的响应满足工程要求，并且使干扰引起的误差最 小。
动态性能指标
上升时间：响应曲线首次从静态值的 ％过渡到90％所需的时间， 上升时间：响应曲线首次从静态值的10％过渡到 ％所需的时间，记 为tr； 峰值时间：响应曲线第一次达到峰值点的时间，记为t 峰值时间：响应曲线第一次达到峰值点的时间，记为 p。
系统动态特性可归结为： 系统动态特性可归结为： 1、响应的快速性，由上升时间和峰值时间表示； 、响应的快速性，由上升时间和峰值时间表示； 2、对所期望响应的逼近性，由超调量和调节时间表示。 、对所期望响应的逼近性，由超调量和调节时间表示。 由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。 由于这些性能指标常常彼此矛盾，因此必须加以折衷处理。
1
其中 β = 1 − ζ 2 ,θ = cos −1 ζ ,0 < ζ < 1。
二阶系统的动态性能指标
峰值时间tp
tp =
超调量σ
π ω n (1 − ζ 2 )
− (ζ / 1−ζ 2 )
σ =e
调节时间t 调节时间 s
π
ts ≈
3
ζω n
4
(5%准则) (2%准则)
ts ≈
ζω n
设计实例： 设计实例：英吉利海峡海底隧道钻机
二阶系统的动态性能指标
对二阶系统
G ( s) =
可写为
K s 2 + ps + K
2 ωn G ( s) = 2 2 s + 2ζω n s + ω n
称作系统的阻尼系数， 其中 ζ 称作系统的阻尼系数， ω n 称作固有频率 , T = ωn 称作时间常数。系统的阶跃响应为 称作时间常数。 1 y (t ) = 1 − e −ζω nt sin(ω n βt + θ ) β
1 1 单位阶跃函数：(t ) = 1, R( s ) = , e ss = lim 单位阶跃函数： r s →0 1 + kG ( s ) s 1 1 r (t ) = t , R( s ) = 2 , e ss = lim 单位斜坡函数： 单位斜坡函数： s→0 ksG ( s ) s 1 1 1 单位加速度函数： 单位加速度函数：r (t ) = t 2 , R ( s ) = 3 , e ss = lim 2 s→0 ks G ( s ) 2 s
G( s) = K P + K D s
PID控制器各项的作用 控制器各项的作用
增大比例增益K 一般将加快系统的响应， 增大比例增益 P一般将加快系统的响应，并有利于减小 稳态误差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调， 稳态误差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调， 并产生振荡，使稳定性变坏。 并产生振荡，使稳定性变坏。 增大积分增益KI有利于减小超调，减小稳态误差，但是系 增大积分增益 有利于减小超调，减小稳态误差， 统稳态误差消除时间变长。 统稳态误差消除时间变长。 增大微分增益K 有利于加快系统的响应速度， 增大微分增益 D有利于加快系统的响应速度，使系统超 调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。 调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。
对两个输入的输出为
系统对单位阶跃输入R(s)=1/s的稳态误差为 的稳态误差为 系统对单位阶跃输入
lim e(t ) = lim s
t →∞ s →0
1 1 ( )=0 K + 11s s 1+ s ( s + 1)
对单位阶跃干扰D(s)=1/s，输入r(t)=0时，y(t)的稳态值为 ，输入 对单位阶跃干扰 时 的稳态值为