【精品】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系教案苏教版必修4
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.2 同角三角函数关系错误!教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋错误!，k∈Z。
通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质（正用、逆用、变形用）,对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α,1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±错误!，sinα＝tanαcosα，cosα＝错误!.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋错误!,k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋错误!，k∈Z，变为α∈R.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时,根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用．教学难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值:(1）sin290°＋cos290°;（2)sin230°＋cos230°；(3)错误!;（4）错误!.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课错误!如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
【高中数学必修四】1.2.2同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21
同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中||，设α是一个任意角||，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ||，它与原点的距离为(0)r r ==>||，那么（1）比值y r 叫做α的正弦||，记作sin α||，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦||，记作cos α||，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切||，记作tan α||，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切||，记作cot α||，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合||，α的终边没有表明α一定是正角或负角||，以及α的大小||，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识||，对于确定的角α||，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时||，α的终边在y 轴上||，终边上任意一点的横坐标x 都等于0||，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时||，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外||，对于确定的值α||，比值y r 、x r 、y x、xy 分别是一个确定的实数||。
第一章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系
2sin α（1＋sin α） 1＋sin α
＝
＝右边．
2sin αcos α
cos α
∴原式成立． 法二：左边—右边＝
所以，左边＝右边，原式成立．
[巧妙解法] 由 cos2α＝1－sin2α得 －cos2α＝(sin α＋1)(sin α－1),
sin α＋1 －cos α
2．三角函数式化简技巧： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数， 从而减少函数名称，达到化繁为简的目的； (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全 平方式，然后去根号达到化简的目的．
[变式训练]
化简： sin
sin2x x－cos
x－sitnanx2＋x－cos1
x .
解：原式＝ sin
所以 sin α－cos α>0，
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝197，
所以 sin
α－cos
α＝
17 3.
归纳升华
三角函数求值的常用方法
1．若已知 tan α＝m，求其他三角函数值，其方法
tan α＝m， 是解方程组
求出 sin α和 cos α的
sin2α＋cos2α＝1，
[变式训练] 已知 tan α ＝43且角 α 在第三象限，求
sin α ，cos α 的值.
解：由
tan
α
＝csions
α α
＝43，
得 sin α ＝43cos α .
又 sin2α ＋cos2α ＝1，
所以196cos2α＋cos2α ＝1.即 cos2α ＝295.
又角 α 在第三象限， 所以 cos α ＝－35， 所以 sin α ＝43cos α ＝－45.
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
必修四第一章 三角函数1.2.2
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求 出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也 可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角． 当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
人
教
A
版
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第一章 三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．
(浙江专用版)高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)课件新人教A版必修2
任意角的三角函数
1.2.1 任意Biblioteka 的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、 余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
三角函数的定义域
答案
π 正切函数 y＝tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z? π 当 x＝kπ＋2，k∈Z 时，角 x 的终边在 y 轴上，此时任取终边上一
yP 点 P(0，yP)，因为 0 无意义，因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y π ＝tan x，必须要求 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z.
解答
反思与感悟 线段的正负.
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1) 角的位置要 “ 对号入座 ” ； (2) 比较三角函数线的长度； (3) 确定有向
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向 延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1
集合.
1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值 2
1 解 已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2. 1 所以在 y 轴上取点0，2， 过这点作 x 轴的平行线，
梳理
正弦函数y＝sin x的定义域是 R ；余弦函数y＝cos x的定义域是 R； π xx∈R且x≠kπ＋ ，k∈Z 2 正切函数y＝tan x的定义域是___________________________.
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4
（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．2.2 同角三角函数的基本关系预习课本P18～20,思考并完成以下问题（1）同角三角函数的基本关系式有哪两种?（2）已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式（1)平方关系:sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝错误!错误!。
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切错误!.［点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义:一是“角相同"，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关,如sin23α＋cos23α＝1。
[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）对任意角α,sin2α3＋cos2错误!＝1都成立．( )（2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．（）（3)若cos α＝0,则sin α＝1.（)答案：(1）√（2)×(3)×2．已知α∈错误!，sin α＝错误!,则cos α＝( ）A．错误! B．－错误!C．－错误!D．错误!答案：A3．已知cos α＝错误!,且α是第四象限角,则sin α＝（）A．±错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案:C4．已知sin α＝错误!，α∈错误!，则tan α＝________。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
1.2.2_同角三角函数的基本关系
∴ 1 cos θ＝2
3 sin θ＝ 2
或 cos
1 sin θ＝ 2 3 θ＝ 2
，又∵θ∈(0,2π)，
π π ∴θ＝ 或 θ＝ . 3 6
化解与证明
(1)化简： 1－2sin 20° cos 20° ； sin α－cos α＋1 1＋sin α (2)求证： ＝ . cos α sin α＋cos同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于 解题，提高学生分析，解决三角问题的能力． 2．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形， 提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
证法三：∵sin2α＋cos2α＝1，∴1－cos2α＝sin2α， 1＋cos α sin α ∴ － sin α 1－cos α sin2α－1＋cos α1－cos α ＝ . sin α1－cos α sin2α＋cos2α－1 1－1 ＝ ＝ ＝0， sin α1－cos α sin α1－cos α 1＋cos α sin α ∴ ＝ . sin α 1－cos α
高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数
图1
作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分)， 即为角 α 的终边的范围． 故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}． (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点 P(m，n)位于 y＝3x 在第三象限的图象上，且 m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝ m2＋n2＝ 10|m|＝－ 10m＝ 10.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sinα<0，∴α 是第三、四象限角．又 tanα>0，
∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．]
4．C [∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，π2内随 α 的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得 D 正确．] 6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出
OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα.]
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
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1.2.2 同角三角函数关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行，通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin 24π＋cos 24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tan α中的α是使得tan α有意义的值，即α≠k π＋π2，k∈Z .通过联系，让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质(正用、逆用、变形用)，对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin 2α＝1－cos 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，cos α＝±1－sin 2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sin α＝tan αcos α，这时定义域由α∈R 变为α≠k π＋π2，k∈Z ，而tan αcos α＝sin α，这时定义域由α≠k π＋π2，k∈Z ，变为α∈R .已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用． 教学难点：课本的两个公式的推导及应用． 课时安排 1课时 教学过程导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：(1)sin 290°＋cos 290°；(2)sin 230°＋cos 230°；(3)sin60°cos60°；(4)sin135°cos135°.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课新知探究如图1，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1.图1因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1.(等式1) 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2，k∈Z 时，有sin αcos α＝tan α.(等式2)这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．对以上关系式教师可先让学生用自己的语言叙述出来，然后点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．应用示例思路1例1已知sin α＝45，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值．活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α＋cos 2α＝1，故cos α的值最容易求得，在求cos α时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．解：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－(45)2＝925.又因为α是第二象限角， 所以cos α<0. 于是cos α＝－925＝－35， 从而tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43.点评：本题是直接应用关系式求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tan α＝－43中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定．例2见课本本节例2. 变式训练已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解：因为cos α<0，且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517×(－178)＝－158，如果α是第三象限角，那么sin α＝－1517，tan α＝158.思路2例1已知tan α为非零实数，用tan α表示sin α、cos α.活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值．由tan α≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α＝sin αcos α，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cos α，进而求出sin α.解：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α. 又因为tan α＝sin αcos α，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝1－cos 2αcos 2α＝1cos 2α－1，于是1cos 2α＝1＋tan 2α，cos 2α＝11＋tan 2α. 由tan α为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧11＋tan 2α，α为第一、第四象限角，－11＋tan 2α，α为第二、第三象限角，sin α＝cos αtan α＝⎩⎪⎨⎪⎧tan α1＋tan 2α，α为第一、第四象限角，－tan α1＋tan 2α，α为第二、第三象限角.点评：要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解．这一小题，需要学生认真细致分析题目的条件，灵活运用公式，需要较高的思维层次.例2见课本本节例3. 例3见课本本节例4. 求证：cosx 1－sinx ＝1＋sinxcosx.左边＝＋－＋＝＋1－sin 2x＝＋cos 2x ＝1＋sinx cosx＝－sinx≠0，cosx≠0，所以cosx 1－sinx ＝1＋sinxcosx.证法三：因为cosx 1－sinx －1＋sinxcosx＝cosxcosx －＋－－＝cos 2x －－sin2－x ＝cos 2x －cos 2x －＝0，知能训练课本本节练习1～6.课堂小结由学生回顾本节所学的方法知识：①同角三角函数的基本关系式及成立的条件，②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置．“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．作业1．化简(1＋tan 2α)cos 2α.2．已知tan α＝2，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．答案：1.1. 2.3.设计感想公式的推导和应用是本节课的重点，也是本节课的难点．公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题，这类问题可按下列情形分别处理：(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定，则可以根据算术平方根的定义直接得到结果；(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定，则可根据题设条件，经过合理的分类讨论得到结果．三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：(1)依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 教材上在运用这一方法时使用的是综合法，初学恒等式的证明时，运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些，实际上，使用综合法时不一定要求进行等价转化，只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可)，证明方法中分别运用了分式的基本性质和算式的基本性质．使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同．备课资料备用习题1．如果sinx ＋cosx ＝15，且0<x<π，那么tanx 的值是( )A ．－43B ．－43或－34C ．－34 D.43或－342．若sin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ＝________，tan θ＋1tan θ＝________，sin 3θ－cos 3θ＝________，sin 4θ＋cos 4θ＝________.3．若a≠0，且sinx ＋siny ＝a ，cosx ＋cosy ＝a ，则sinx ＋cosx ＝____________. 4．已知tan α＝－12，求下列各式的值：(1)2cos α－sin αsin α＋cos α；(2)2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α.5．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＋1＝2sin 2α. 参考答案：1.A 2.－12 －2 22 12 3.a4．解：(1)原式＝2－tan αtan α＋1＝2－－12－12＋1＝5.(2)原式＝2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝－122－12－3－122＋1＝－125. 5．证明：由已知有1＋tan 2α＝2tan 2β＋2＝2(1＋tan 2β)， ∴1＋sin 2αcos 2α＝2(1＋sin 2βcos 2β)． ∴2cos 2α＝cos 2β.∴2(1－sin 2α)＝1－sin 2β.∴sin 2β＋1＝2sin 2α.。