一次函数与方程和不等式讲义(经典)

一次函数与方程和不等式讲义函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

１、描点法画函数图形的一般步骤第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步:描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点)；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

2、函数的表示方法列表法：一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

3、正比例函数及性质一般地，形如ｙ=kx （k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数,其中ｋ叫做比例系数． 注:正比例函数一般形式 y =k ｘ (k 不为零) ① k 不为零 ② ｘ指数为1 ③ b 取零当k >0时，直线ｙ＝ｋx 经过三、一象限，从左向右上升,即随x 的增大ｙ也增大；当ｋ<０时，•直线y =ｋx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y =ｋｘ(k 是常数，k ≠０) (2) 必过点:(0，0)、(1，k ）(3) 走向：k >0时,图像经过一、三象限;k <0时,•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大;k <０，y 随ｘ增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近ｙ轴；|k |越小,越接近ｘ轴 4、一次函数及性质一般地，形如ｙ＝kx ＋b (k ,b 是常数,ｋ≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b =０时,ｙ=kx +b 即y ＝kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y =ｋx +b (k 不为零） ① k 不为零 ②ｘ指数为1 ③ ｂ取任意实数一次函数y =kx +ｂ的图象是经过（0，ｂ)和(－kb，0)两点的一条直线，我们称它为直线y ＝kx +ｂ,它可以看作由直线y =kx 平移|b ｜个单位长度得到.（当b ＞0时，向上平移;当b ＜0时，向下平移）（1）解析式:ｙ＝kx +ｂ（k 、b 是常数,k ≠０ (2）必过点：（0,b ）和(－kb，0） (3)走向： k >0,图象经过第一、三象限;ｋ<0，图象经过第二、四象限b >0,图象经过第一、二象限;b <０，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 (4）增减性： k >0,y 随x 的增大而增大;k <0,y 随x 增大而减小.(5)倾斜度：|k | 越大,图象越接近于ｙ轴;｜k ｜ 越小,图象越接近于ｘ轴．（6)图像的平移: 当b >0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移ｂ个单位； (上加下减,左加右减） 当b <0时,将直线ｙ=kx 的图象向下平移b 个单位.当b <0时，向下平移).５、直线y =k 1x +b 1与ｙ＝k 2x +b 2的位置关系(1)两直线平行:k 1=ｋ2且b 1 ≠b 2 （２）两直线相交:ｋ１≠k 2（3）两直线重合：k 1=ｋ2且ｂ1=ｂ2 (4）两直线垂直：k 1·ｋ２= –１ 6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:（１)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将x 、ｙ的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（３）解方程得出未知系数的值;（４)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ａｘ+b =0(ａ,b 为常数,a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为０时,求相应的自变量的值． 从图象上看，相当于已知直线ｙ=ａx +b 确定它与ｘ轴的交点的横坐标的值. 8、一次函数与一元一次方程的关系:任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k ,b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例,这就是说，在ｙ＝ｋx+b 中,当ｙ=０时，即为一元一次方程. 9、一次函数与二元一次方程(组)的关系:（1）任何二元一次方程ax+by=ｃ（a ，ｂ,ｃ为常数，且a≠０,b≠0）都可以化为y ＝-a bｘ+cb的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数； （2)从“数”的角度看，解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少;从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标.10、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数y ＝kx +b 的图象与两条坐标轴的交点:与ｙ轴的交点(0，ｂ),与x 轴的交点（kb -，０)． 直线（b ≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为ｓ=kb b k b 2212=⨯⨯ 例题讲解:探究类型之一 一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为( )A ．2- ﻩB ．2ﻩﻩC.1- ﻩD.0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，,则a b +=____＿_．【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，,()13，，则不求k b ，的值,可直接得到方程3kx b +=的解是x =______.类似性问题1、把直线ｙ=-x ＋3向上平移m 个单位后,与直线y ＝2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是( ）A.１<m<7 Ｂ.3<m<4 C ．m>1 D.m<4 探究类型之二 一次函数与一元一次不等式【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；(2)求出当32x =时,y 的值;(3)求出当3y =-时,x 的值；(4)观察图象,求出当x 为何值时，0y >，0y =,0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时,函数41y x =-+的图象在:（1）x 轴上方； ﻩ（2）y 轴左侧；ﻩ （3）第一象限．（2）已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ )Ａ.5x >ﻩﻩB ．12x < ﻩC.6x <-ﻩ D ．6x >- 【例6】 已知一次函数23y x =-+（1)当x 取何值时,函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少?类似性问题1、 如图，函数1y ＝|x |,2y =13x+43,当1y ＞2y 时，x 的取值范围是（ ) A. x <-1 B. -1＜x <２ C. x ＜-1或x ＞2 D. ｘ＞22、如图，直线y=kｘ+b交坐标轴于A(-3，0）,B(0，5)两点,则不等式-kx-b＜0的解集为（)Ａ. x＞-3 Ｂ. x<-3C. x＞3 Ｄ．x<33、如图，直线y1=kx＋b过点A(0，２),且与直线ｙ2=ｍx交于点Ｐ(1，m),则不等式组mx>kｘ+b＞ｍx-2的解集是＿___＿___．探究类型之三一次函数、方程（组）、不等式（组)与几何等知识的综合例3、已知一次函数ｙ=kx+b的图象经过点(－1,-5）,且与函数y＝12x＋1的图象相交于点A(83,ａ).（1)求a的值；(2)求不等式组0＜kx+ｂ＜12ｘ＋1的正整数解;（3)若函数y=kx+b图象与x轴的交点是B，函数y=12x+１的图象与ｙ轴的交点是C，求四边形ABＯC的面积.例４、如图，A(０,1)，M(３，2）,Ｎ（４,4).动点P从点Ａ出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动,且过点P的直线l:y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.(1）当t=3时,求直线l的解析式;（2）若点M，N位于l的异侧,确定ｔ的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点Ｍ关于ｌ的对称点落在坐标轴上.类似性问题1．某单位急需用车,但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm）,应付给个体车主的月费用为y１元，•应付给汽车出租公司的月费用为ｙ2元,y1，ｙ2分别与x之间的函数关系的图像(两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：(１)每月行驶的路程在什么范围内,租出租公司的车合算?(２）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同?(3）如果这个单位估计每月行驶的路程为23０0km,那么这个单位租哪家车合算?2.某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为６00０元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原报价收费,其余每台优惠25%,那么甲商场的收费y1（元)与所买电脑台数x之间的关系式是___＿_＿__．乙商场的优惠条件是：每台优惠２０%,那么乙商场的收费ｙ2(元）与所买电脑台数x 之间的关系式是_＿__＿_＿__.(1）什么情况下到甲商场购买更优惠？（2)什么情况下到乙商场购买更优惠?(3)什么情况下两家商场的收费相同?探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元,另收３00０元设计费;乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问:让哪家公司制作这批宣传比较合算？２．(学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量ｙ(L)•与进水时间x（min）的函数关系．（１)求y与x之间的函数关系式.（２）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L？3.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来,他已存有50元,从现在起每个月存12元．（1)试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．(２)小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，•表示从现在起每个月存１8元,争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像.半年以后小丽的存款数是多少?能否超过小明？•至少几个月后小丽的存款数超过小明？4．(探究题)某企业急需一辆汽车,但无资金购买,公司经理决定租一辆汽车，•使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，•乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机８0０元的工资，另外每千米的租车费为1元,设在这一个月中汽车行驶x(km）,租用甲公司的费用为ｙ1（元），租用乙公司的费用为y2(元)．（1）试分别写出y１，y2与ｘ之间的函数关系式.(2）当汽车行驶路程为多少千米时,租用乙公司的汽车合算?一次函数与方程和不等式课后练习１:一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kｘ+ｂ=0的解为（）A．x＝2 B.y＝2 C.x=1-D．y＝1-２：一次函数ｙ=ax+ｂ的图象如图所示，则不等式aｘ+b＞０的解集是（)Ａ.x＜-2 B.x＞-2 C.x＜1 Ｄ.x＞1３：已知一次函数y=ａx＋b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0），则关于ｘ的不等式a(x-1)-b＞０的解集为( )A．x<-１Ｂ．ｘ＞-１Ｃ．x>1Ｄ.x<1４：如图,已知函数y=ax+ｂ和ｙ＝ｋx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x、y的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是．5：如图,以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是()Ａ.121x yx y-=-=⎧⎨⎩B.121x yx y-=--=-⎧⎨⎩C.121x yx y-=--=⎧⎨⎩Ｄ．121x yx y-=-=-⎧⎨⎩6：(1)已知关于x的方程mx＋n=０的解是x=-2,那么，直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 .（2)如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kｘ＋ｂ与直线OＡ：ｙ=mx相交于点A(-1,-2)，则关于ｘ的不等式kｘ+b<mx的解是．（3）如图,直线l1和l2的交点坐标为()A.(４,-２)ﻩB.(2，-4）C.（-4,2）D.(3，-1)7:(1)已知方程2ｘ＋１=-x+4的解是ｘ=１，那么，直线ｙ=2x＋１与直线y=-x+4的交点坐标是__ ＿_ .（２)在平面直角坐标系中,直线ｙ=kx+1关于直线ｘ=1对称的直线l刚好经过点(3,2)，则不等式３x>kx+1的解集是___＿.（3)如图，直线l１、ｌ2交于点Ａ，试求点Ａ的坐标．8:已知一次函数ｙ１=kx+b和正比例函数ｙ2＝1-x的图象交于点A（-２,ｍ），又一次函数2y1＝ｋx+b的图象过点B(1，4).ﻫ(１)求一次函数的解析式;(2）根据图象写出ｙ１＞y２的取值范围.9:如图，已知一次函数的图象经过点A(-１,0)、B(0，２)．ﻫ（1)求一次函数的关系式;ﻫ(2)设线段ＡＢ的垂直平分线交x轴于点C,求点Ｃ的坐标.10:如图,已知直线y=kx+b经过点A(1，4）,Ｂ(０,２),与x轴交于点C，经过点D(1,０)的直线DE平行于OＡ，并与直线AB交于点E.(１）求直线AＢ的解析式;(２)求直线DE的解析式;(3）求△ＥDC的面积.11:随着人们节能环保意识的增强,绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具,某商场计划用不超过14０000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托４0辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于2900０元的利润,A、B两种品牌电动摩托的进价品牌ﻫ价格A品牌电动摩托B品牌电动摩托进价(元／辆) ４000 3000售价(元/辆) 5000 ３5００设该商场计划进A品牌电动摩托ｘ辆,两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元.(１)写出y与ｘ之间的函数关系式;ﻫ（2）该商场购进A品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少。