2016高三数学一轮复习第2章第5课时指数函数课时训练文新人教版
高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第5节 指数函数教师用书 文 新人教A版
第五节 指数函数———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a，－a a＜(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9B [原式＝(26)12－1＝8－1＝7.]3．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )【导学号：31222044】A B C DC [法一：令y ＝a x－a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a ＞1时，y ＝a x－a 是由y ＝a x向下平移a 个单位，且过(1,0)，A ，B ，D 都不合适；当0＜a ＜1时，y ＝a x－a 是由y ＝a x向下平移a 个单位，因为0＜a ＜1，故排除选项D.] 4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m ________n (填“＞”或“＜”)． ＞ [设f (x )＝0.2x，f (x )为减函数， 由已知f (m )＜f (n )，∴m ＞n .]5．指数函数y ＝(2－a )x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．(1,2) [由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2.](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－－(0.01)0.5；[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.6分(2)原式＝＝1a .12分[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：(1)(0.027)－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－(2－1)0；(2)56a ·b －2·(－3a －b －1)÷(4a ·b －3) .[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.6分＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.12分(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A B C D(2)若曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．(1)A [将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．](2)曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分则b 的取值范围是(0,1).12分[规律方法] 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图251，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )【导学号：31222045】图251A ．a ＞1，b ＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程 2x＝2－x的解的个数是________．(1)D (2)1 [(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]☞角度1(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b(1)A (2)B [(1)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.] ☞角度2 解简单的指数方程或不等式(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．或－1，[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，{x|－1＜x＜2}()∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]☞角度3 探究指数型函数的性质已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，2分在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).4分(2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a＝1.8分(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.12分 [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．[易错与防范]1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．课时分层训练(八) 指数函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )【导学号：31222046】A B C DB [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.所以f (x )的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．] 2．(2016·山东德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，35＞25，∴b ＜c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a x 1＋x2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( ) 【导学号：31222047】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t在R 上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12， 即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题 6．计算：________.【导学号：31222048】2 [原式＝＝2.]7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n [∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .] 三、解答题 9．求不等式a2x －7＞a4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围．[解] 设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 若0＜a ＜1，则y ＝a x为减函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；5分若a ＞1，则y ＝a x为增函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3.9分综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)；当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3).12分 10．已知函数f (x )＝12－1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即－a x ＋a 1－2x ＝a ·2x＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.3分 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分 (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3).8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )【导学号：31222049】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x ＜1时，f (x )＞e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.]3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[解] (1)由于a x －1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.2分对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数.5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0，即a x ＋1a x －＞0，9分 即a x －1＞0，a x ＞1，a x ＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f (x )＞0.12分。
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 5 第5讲 指数与指数函数
第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n>1且n∈N *.n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n∈N *，n>1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n∈N *时.(2)根式的性质①(n a)n ＝a(n∈N *,且n>1)． ②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a>0,m,n ∈N *,且n>1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a>0,m,n∈N *,且n>1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a>0,r,s ∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a>0,b>0,r ∈Q)． 3．指数函数的图象及性质函数 y ＝a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x 轴上方,过定点(0,1)当x 逐渐增大时,图象逐渐下降当x 逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0,＋∞)单调性 减增函数值 变化 规律当x ＝0时,y ＝1当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1； 当x>0时,y>14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y ＝a x,y ＝b x,y ＝c x,y ＝d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线x ＝1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象,也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n a n ＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝ax2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞)．( ) (5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(6)若a m<a n(a>0,且a≠1),则m<n.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]1．(必修1P59A 组T4改编)化简416x 8y 4(x<0,y<0)＝________． 解析：因为x<0,y<0,所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y|＝－2x 2y.答案：－2x 2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y ＝2x与y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略),观察可知其关于y 轴对称． 答案：y 轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝a x －2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A 的坐标为________．解析：令x －2＝0,则x ＝2,f(2)＝3,即A 的坐标为(2,3)． 答案：(2,3) [易错纠偏](1)忽略n 的范围导致式子n a n(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 22．若函数f(x)＝(a 2－3)·a x为指数函数,则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a ，a ≠1，a 2－3＝1，即a ＝2.答案：23．若函数f(x)＝a x 在[－1,1]上的最大值为2,则a ＝________． 解析：当a>1时,a ＝2；当0<a<1时a －1＝2, 即a ＝12.答案：2或124．函数y ＝21x －1的值域为________． 解析：因为1x －1≠0,所以21x －1>0且21x －1≠1. 答案：(0,1)∪(1,＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312(a,b>0)．【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数．(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12. 解：(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )(2)函数f(x)＝|a x＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a ＋b 的取值范围是________．(3)若方程|3x－1|＝k 有一解,则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,单调递减且过点(0,2),选项A 中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a>1,f(12)＝0,b<0.所以a ＋b ＝0,所以a ＋b ＝a －a>1－1＝0.(3)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示．当k ＝0或k≥1时,直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0,＋∞) (3){0}∪[1,＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解．1．函数y ＝xax|x|(a>1)的图象大致是( )解析：选B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>0，－a x ，x<0，因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m,函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤－2.答案：(－∞,－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小设a ＝0.60.6,b ＝0.61.5,c ＝1.50.6,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<cD ．b<c<a【解析】 因为函数y ＝0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,即b<a<1.因为函数y ＝1.5x在(0,＋∞)上是增函数,0.6>0,所以1.50.6>1.50＝1,即c>1.综上,b<a<c. 【答案】 C角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0 ，若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0<12<1,所以a>－3,此时－3<a<0；当a≥0时,不等式f(a)<1可化为a<1,所以0≤a<1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.【答案】 C角度三 复合函数的单调性(1)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． (2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x －a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x),且f(x)在[m,＋∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1,因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数, 所以函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞,1], 所以f(x)的减区间为(－∞,1]． (2)因为f(x)＝2|x －a|,所以f(x)的图象关于x ＝a 对称．又由f(1＋x)＝f(1－x),知f(x)的图象关于直线x ＝1对称,故a ＝1,且f(x)的增区间是[1,＋∞),由函数f(x)在[m,＋∞)上单调递增,知[m,＋∞)⊆[1,＋∞),所以m ≥1,故m 的最小值为1. 【答案】 (1)(－∞,1] (2)1 角度四 函数的值域(最值)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a>0,a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 【解析】 令a x＝t,则y ＝a 2x＋2a x－1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a>1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a<1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增,则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14,解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13.【答案】 D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论．1．已知函数f(x)＝a x＋b(a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－322．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1],则实数a 的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时,f (x)∈[－8,1],当a≤x<0时,f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1,所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1],即－8≤－12a <－1,即－3≤a<0,所以实数a 的取值范围是[－3,0)． 答案：[－3,0)[基础题组练]1．函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数,且值域是(－∞,0],只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ,故选C.3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中,因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B 中,因为y ＝0.6x在R 上是减函数,－1<2,所以0.6－1>0.62.C 中,因为0.8－1＝1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8－0.1<1.250.2.D 中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0,a ≠1)满足f(1)＝19,则f(x)的单调递减区间是 ( )A ．(－∞,2]B ．[2,＋∞)C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2]解析：选B.由f(1)＝19得a 2＝19.又a>0,所以a ＝13,因此f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g(x)＝|2x －4|在[2,＋∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,＋∞)．5．已知函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,当函数y ＝f(x)和y ＝F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y ＝f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y ＝|2x－t|的“不动区间”,则实数t 的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∪[)4，＋∞ 解析：选C.因为函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|,因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”,所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同, 因为y ＝2x－t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反, 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立, 即1－t(2x＋2－x)＋t 2≤0在[1,2]上恒成立, 即2－x≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立, 即12≤t ≤2,故答案为C. 6．指数函数y ＝f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)＋f(－m)＝________． 解析：设f(x)＝a x(a ＞0且a≠1),所以f(0)＝a 0＝1. 且f(m)＝a m＝3.所以f(0)＋f(－m)＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·杭州中学高三月考)已知e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0,则ex ＋3y的值为________． 解析：因为e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e－3y ＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0,所以x ＝－3y,即x ＋3y ＝0,所以ex ＋3y ＝e 0＝1.答案：18．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，2－3a<0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，349．当x∈(－∞,－1]时,不等式(m 2－m)·4x－2x<0恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞,－1]上是减函数, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2,当x∈(－∞,－1]时,m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m<2,解得－1<m<2. 答案：(－1,2)10．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3,求a 的值．解：(1)当a ＝－1时,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3, 令g(x)＝－x 2－4x ＋3, 由于g(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,＋∞)上单调递减,而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减, 所以f(x)在(－∞,－2)上单调递减,在(－2,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(－2,＋∞),单调递减区间是(－∞,－2)． (2)令g(x)＝ax 2－4x ＋3,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值－1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1, 即当f(x)有最大值3时,a 的值为1.11．已知函数f(x)＝a |x ＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)．(1)若f(x)为偶函数,求b 的值；(2)若f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,试求a,b 应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R ,都有f(－x)＝f(x),即a |x ＋b|＝a |－x ＋b|,|x ＋b|＝|－x ＋b|,解得b ＝0.(2)记h(x)＝|x ＋b|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x<－b. ①当a>1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,所以－b≤2,b ≥－2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是减函数,但h(x)在区间[－b,＋∞)上是增函数,故不存在a,b 的值,使f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数时,a,b 应满足的条件为a>1且b≥－2.[综合题组练]1．已知函数f(x)＝|2x－1|,a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A ．a<0,b<0,c<0B ．a<0,b ≥0,c>0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f(x)＝|2x －1|的图象,如图,因为a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a <1.所以f(a)＝|2a －1|＝1－2a <1,所以f(c)<1,所以0<c<1.所以1<2c <2,所以f(c)＝|2c －1|＝2c －1,又因为f(a)>f(c),所以1－2a >2c －1,所以2a ＋2c <2,故选D.2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0,则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 解析：选B.作出函数y ＝f(x)图象如图所示：再作出－y ＝f(－x),即y ＝x 2－4x,恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点, 因此满足条件的对称点只有一对,图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B.3．(2020·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则4a －1＋1b的最小值为________,此时a,b 的值分别为________． 解析：由函数y ＝a x ＋b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a ＋b ＝3,所以a －12＋b 2＝1,又a>1,则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92,当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取等号,所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73,23 4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e |x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x>5，若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________．解析：依题意,g(x)＝f(x －3)＋2＝e |x －3|＋2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2,故4≥e 2x －9,解得2x －9≤ln 4,故x≤ln 2＋92,实数λ的最大值为ln 2＋92. 答案：ln 2＋925．已知函数f(x)＝2a·4x －2x－1.(1)当a ＝1时,求函数f(x)在x ∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x 的方程f(x)＝0有解,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f(x)＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1, 令t ＝2x ,x ∈[－3,0],则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1, 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a(2x )2－2x－1＝0有解,设2x ＝m>0,等价于方程2am 2－m －1＝0在(0,＋∞)上有解,记g(m)＝2am 2－m －1,当a ＝0时,解为m ＝－1<0,不成立．当a<0时,开口向下,对称轴m ＝14a<0, 过点(0,－1),不成立．当a>0时,开口向上,对称轴m ＝14a>0,过点(0,－1),必有一个根为正,综上得a>0.6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ∈[－1,1],函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]？若存在,求出m,n 的值；若不存在,说明理由． 解：(1)因为x∈[－1,1], 所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3, 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 则y ＝φ(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<13时,y min ＝h(a)＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时,y min ＝h(a)＝φ(a)＝3－a 2； 当a>3时,y min ＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a<13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a>3. (2)假设存在m,n 满足题意．因为m>n>3,h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),即m ＋n ＝6,与m>n>3矛盾, 所以满足题意的m,n 不存在．。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
第六页，共42页。
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
第七页，共42页。
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
第八页，共42页。
第九页，共42页。
故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
第十五页，共42页。
3
考点疑难突破
第十六页，共42页。
指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
第十七页，共42页。
【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
第二十页，共42页。
[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
第二十一页，共42页。
2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
第三十四页，共42页。
【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
2016高三数学一轮复习 第2章 第5课时 指数函数课件 文 新人教版
(1)当 a>1 时，a2－1>0，y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数，从而 y＝ax－a
－x
为增函数．
所以 f(x)为增函数． 当 0<a<1 时，a2－1<0，y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数，从而 y＝ax－a
－x
为减函数．
所以 f(x)为增函数． 故当 a>0 且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
x
1 此时 f(t)在 a，a 上为增函数．
1 1 2 所以 f(t)max＝f a＝a＋1 －2＝14.
考点突破 题型透析
考点三 指数函数性质及应用
1 1 1 2 所以 a＋1 ＝ 16 ，即 a ＝－ 或 a ＝ 5 3. 1 又因为 a>0，所以 a＝3. 1 ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝a ∈ a，a ，
2
__________．
原不等式可化为 2－x2＋2x>2－x－4， 即－x2＋2x>－x－4，∴x2－3x－4<0， (x－4)(x＋1)<0，∴－1<x<4.
(－1,4)
考点突破 题型透析
考点三 指数函数性质及应用
a 4．设函数 f(x)＝ 2 (ax－a－x)(a>0，a≠1) a －1 (1)讨论 f(x)的单调性；
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考点突破 题型透析
考点三 指数函数性质及应用
与指数型函数有关的不等式 afx≥agx， a>0， a≠1利用单调性去“底”： 当 a>1 时，转化为 fx≥gx求解，当 0<a<1 时，转化为 fx≤gx求解.
高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数课时作业文(含解析)
第五节指数与指数函数_121.(0.027) — 3——7 + 29 2—(护—1)。
=()A. 45 B . 40 C.— 45 D . — 4025 110 59 2— 1= 3 — 49+ 3— 1 = — 45.故选 C.答案：C 2.已知全集 U = R, A = {x|y = ,：2x — 1}，则？iA =()A. [0 ,+s )B. (— a, 0)C. (0，+a )D. ( —a, 0]解析：集合A 即函数y = 2x— 1的定义域，由2x—1>0,求得x >0,即卩A = [0，+a ), 故?U A =( 一a, 0)，故选B.答案：B 3. （2013 •北京东城区模拟）在同一坐标系中，函数y = 2x与y = 2 %的图象之间的关系 是（）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y = x 对称1 x解析：因为y = 2 = 2—x,所以它与函数 y = 2x的图象关于y 轴对称.故选 A.答案：A27解析：原式=1 000 3— 724.答案：C已知函数y = 2x-a x（a 丰2）是奇函数，则函数 y = log a x 是（）解析：因为函数y = 2x- a x（a 工2）是奇函数，所以必有 2x-a x=-（2-x -a -x）,化简可得(2x-a x) 1 -2^ = 0，因为a z 2,所以2x-a — 0,所以必有1 - J x = 0,2 a 2 a1解得a = 2，故y = log a x = log 1x 是减函数.故选2 答案：B设函数 f(x) = a -|x|(a>0 且 1), f(2) = 4,2 1解析：因为f （2） = 4,即a -2= 4，所以a = 2，所以f （x ） 1），故选A.答案： A7.已知函数f(x) = a x+ a -x(a >0 且 a z 1)，且 f(1) = 3,解析： ••• f(1) 1=a + =a3, f(0) = 2,f(2)= 2 -二 a + a-2 z=(a + a 丫— 2= 7, ••• f(1)+ f(0) + f(2)= 12. 答案： 12&若x > 0, 13 13 , 1则(2x 4 + 32)(2x 4 - 32) - 4x —二(x - x2)=答案： -232f(0) + f(1) + f(2)的值是则 5. A . 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 增函数或减函数B.6. A. f( - 2)>f( - 1) B. f( - 1)>f( - 2) C. f(1)>f(2)D. f( - 2)>f(2)1 - l xl2=2|x|，所以 f( — 2)>f(—标是9. （2014 •徐州模拟）已知过点O的直线与函数y= 3的图象交于A, B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y= 9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐解析：设点A B 的横坐标分别为 x i , X 2，则点A 、B 的纵坐标为3x i , 3x 2,•••点 C(x i , 9x i )，且 BC//x 轴， 9x i = 3X 2,「. 2x i = X 2.匚3x i 3x 2小 将 2x i = X 2 代入—= ，得 x i = log 32.x i X 2答案：log 32a x- 110.已知函数 f(x) = (a>1). a + 1(1)判断函数的奇偶性； ⑵求该函数的值域；⑶证明：f(x)是R 上的增函数.—XXa 一 1 1 一 a解析：(1)解析：T 定义域为 R,且 f( — x) = -x= , x =— f(x)，二 f(x)a 十I I 十aXa 十 1 — 2 2 ⑵解析：f(X) = X 「= 1— v 存a 十1a 十12••，十 1>1,「. 0< x 丄 <2,即 f(x)的值域为(—1 , 1).a 十1 、十卄 r 厂ax 1 — 1 ax 2 — 12ax 1⑶证明：设 X1, X 2€R且 X1<X2,f(x 1)—f(X2)= a — 1 - ax 2+ 1= (ax 1+1)<0(分母大于零，且 ax 1<ax 2),••• f(x)是R 上的增函数.11. 已知函数f(x) = a ・2 x+ b ・3 %，其中常数a , b 满足ab ^ 0.(1) 若ab>0,判断函数f(x)的单调性； (2) 若ab<0,求f(x 十1)>f(x)时x 的取值范围.解析：⑴ 当a>0, b>0时，任意X 1, X 2^ R, X 1<X 2，贝U f(x 1) — f(x 2) = a(2x 1 — 2x 2)十 b(3x 1 — 3x 2). ■/ 2x 1<2x 2, a>0? a(2x 1 — 2x 2)<0 , 3x 1<3x 2, b>0? b(3x 1 — 3x 2)<0 ,• f(x 1) — f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数. 当a<0, b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数.•/ A B 在过点0的直线上,3x i 3x 2X i — X 2是奇函数.2ax 2(ax 2+ 1)(2) f(x 十1) —f(x) = a・2X十2b ^3 x>0.当a<0, b>0 时,3 x a2 >—2b，则x>log 1.5a2b；3 x a2 <-2b ，贝V x<l°g 1.5当 a>0, b<0 时, a2b -。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数精品课件 理 北师大
• 3．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴 上方，过定点 (0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
函数
定义域
值域
性 单调性 质
函数 值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
D．f(－2)＞f(2)
解析： 由a－2＝4，a＞0，得a＝12， ∴f(x)＝21－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)． 答案： A
4．方程3x－1＝19的解是________． • 答案： －1
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析： 函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝21u＞0. 答案： (0，＋∞)
• (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函 数．
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
• (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝
af(x)的值域． • 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 • (1)求复合函数的定义域； • (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； • (3)分层逐一求解函数的单调性； • (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【变式训练】 1.计算下列各式：
• 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第5讲指数式与指数函数课件理
x－1|的图象有两个交点(jiāodiǎn)，应有2a<1，∴0<a< . 1 2
答案(dá àn)：D
图 2-5-2
第二十三页，共26页。
【规律方法】(1)在指数函数解析式中，必须时刻注意底数
a>0 且 a≠1，对于指数函数的底数 a，在不清楚其取值范围时，
例 2：已知实数 a，b 满足等式
，下列(xiàliè)12五个a＝关系13式：b
①成0立<b<的a；关②a系<b式<0；有③(0<a<b；④b)<a<0；⑤a＝b.其中不可能
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第十一页，共26页。
1 x 解析：在同一直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中作出函数 y＝ ， 3y＝ 的
第十九页，共26页。
【互动(hù dònɡ)探究】
则其在4．[－若函1,2数]上f(的x)最＝小ax值(a>为0，__a_≠12_或1_)_1在_16_[_－__1.,2]上的最大值为 4， 解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax 单调递增，则最大值为 a2
＝4，a＝2，此时最小值为 a－1＝12； 当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax 单调递减，则最大值为 a－1＝4，
第二十五页，共26页。
3．比较两个指数幂大小(dàxiǎo)时，尽量化同底或同指，当底数相 同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小(dàxiǎo)；当指数 相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小(dàxiǎo)．
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理-人教版高三全册数学试题
第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理[A 组·基础达标练]1．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 答案 B解析 原式＝(26) 12 －1＝7. 2．[2015·某某期中]函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案B 解析 令2x＝t ， 则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.3．[2016·某某八校联考]已知0<m <n <1，且1<a <b ，下列各式中一定成立的是( ) A ．b m >a n B ．b m <a n C ．m b>n aD ．m b<n a答案 D解析 ∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a <n a，又g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a .综上，m b <n a，故选D.4．[2015·某某模拟]函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 答案 D解析 f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2) D ．(－3,4) 答案 C解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴当x ∈(－∞，－1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，∴当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.6．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2 答案 D解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，∴结合图象知a <0，c >0，∴0<2a<1. ∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D. 7．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a|x ＋b |的图象为( )答案 B解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，选项B 符合要求．8．[2015·某某二模]已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A．9 B．10C．11 D．18答案 B解析依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.9．[2015·某某一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是________．答案(－∞ ，－1]解析由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值X围是________．答案[－1,1]解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如右图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，则要求－1≤b≤1.11．[2016·皖南八校联考]对于给定的函数f(x)＝a x－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.答案①③④解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.12．已知函数y ＝b ＋a x 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值． 解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(1)若a >1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a ，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[B 组·能力提升练]1. [2016·某某月考]如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A.2B. 3C ．2D ．3 答案 A解析 设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t)． ∵B 点在函数y ＝a x的图象上，∴2a t＝a 2t， ∴a t＝2.∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.2．[2015·某某模拟]已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， 0≤x ≤2，－x 2， －2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值X 围是( )A ．[－1，＋∞) B．[－1,1] C ．(0,1] D ．(－∞，1] 答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－42a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1，故选B.3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥K ，K ，f x <K ，取函数f (x )＝2－x ＋e x，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．答案 3解析 由题意，得f (x )≥K 对任意的x ∈R 恒成立， 所以f (x )min ≥K ，所以令f ′(x )＝－1＋e x＝0，得到x ＝0. 且x <0时，f ′(x )<0；x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝3， 所以K ≤3，K 的最大值为3.4．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)存在满足题意的t .由(1)知f (x )是增函数和奇函数， 所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数课件
3．若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则m的取值范围为_(_0_，__＋__∞_). [解析] 作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得 m>0.
考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究 角度1 比较指数幂的大小
(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( D ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
[解析] (1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)． (2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象 可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． (3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．
函数在定义域R上为 增函数
函数在定义域R上为 减函数
归纳拓展 1．画指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)， (0,1)． 2．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a>1，还是 0<a<1， 在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
第五讲 指数与指数函数
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
符号表示
如果__x_n＝___a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
备注 n>1 且 n∈N*
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 __正__数____，负数的 n 次方根是一个__负__数___
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.5 指数与指数函数
1
0,
2
.
方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y=|ax-1|的
图象与直线y=2a有两个不同的交点.
1
当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即 0<a< ;
2
当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.
1
所以 0<a< .
2
图①
图②
拓展延伸
将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值
值域
性 单调性
质 函数
值的变
化规律
R
(0,+∞)
在 R 上单调递减
当 x=0 时, y=1
当 x<0 时, y>1 ;
当 x>0 时, 0<y<1
在 R 上单调递增
当 x<0 时, 0<y<1;
当 x>0 时, y>1
问题思考
幂函数与指数函数有何区别?
幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;
原式=
25
27
-14
8
1
3
1
3
2
+643
1
+ 64
=
2
3
=
16
2
5 3
-1- +(43)3
2 2
=
.
3 3
− +16=16.
2 2
(2,3)
.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1 指数幂的化简与求值
【3年高考2年模拟】2016届人教版新课标高三数学(文)一轮复习课件§2.5指数与指数函数
(a 2)x, x 2,
5.若函数f(x)=
1 2
x
1,
x
2
是R上的单调减函数,则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞,2) C.(0,2)
B. ,183
D. 183
,
2
答案 B 如图,若f(x)在R上单调递减,则a-2<0,
( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1) D.不能确定
(2)若0<a<1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则a的值为
.
答案 (1)A (2) 1
3
解析 (1)由题意知a>1,∴f(-4)=a3, f(1)=a2,由指数函数单调性知a3>a2,∴f(4)>f(1),故选A. (2)令t=ax(0<a<1), 则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).
2-1 (1)函数y=ax- (a>0,且a≠1)的图象可能是 ( )
1 a
(2)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
答案 (1)D (2)D
解析 (1)当x=-1时,y= 1a - 1a =0,所以函数y=ax- 1a 的图象必过定点(-1,0),结合
课标版 文数 § 2.5 指数与指数函数
知识梳理
பைடு நூலகம்
一、指数幂的概念 1.根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果① xn=a ,那么x叫做a的n次方根
n>1且n∈N*
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第2章-第5课时 指数与指数函数 Word版含答案
考点突破 题型透析
考点二 指数函数的图像及应用
(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像， 通过平移、对称变换得到其图像．(2)一些指数方程、不等式问题的求解， 往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
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考点一 指数幂的化简与求值
解
(3) a14ab312b42a3－31abb132(a>0，b>0)．
1 2
(3)原式＝aab3b2a2a－313bb313
31 1 1 1
＝a2＋6－1＋3b1＋3－2－3＝ab－1.
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考点一 指数幂的化简与求值
解
(2) 51＋2－( 3－1)0－ 9－4 5； (2)原式＝ 5－2－1－ 5－22
＝( 5－2)－1－( 5－2)＝－1.
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第十八页，编辑于星期五：二十点 二十分。
考点突破 题型透析
第二十一页，编辑于星期五：二十点 二十分。
考点突破 题型透析
考点二 指数函数的图像及应用
1．函数 y＝eexx＋－ee－－xx的图像大致为(
)
y＝ee22xx＋ －11＝1＋e2x2－1，当 x＞0 时，e2x－1>0 且随着 x 的增大而增大，故
y＝1＋e2x2－1>1 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在(0，＋∞)上恒大于 1
(全国版)高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第5讲 指数与指数函数学案-人教版高三全册数
第5讲 指数与指数函数板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 指数及指数运算 1．根式的概念2．分数指数幂(1)am n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；(2)a－ m n＝1am n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．考点2 指数函数及其性质1．指数函数的概念函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．说明：形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质1．(na)n＝a(n∈N*且n>1)．2.na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数且n>1，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数且n>1.3．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 4(π－4)4＝π－4.( )(2)函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函数．( )(3)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )(4)函数y＝a x与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( ) 答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．[课本改编]⎝ ⎛⎭⎪⎫2250－[1－(0.5)－2]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫33813 的值为( )A ．0 B.13 C ．3 D ．4答案 C解析 原式＝1－(1－4)÷32＝3.故选C.3．[课本改编]函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1故x －2＝0时f (x )＝2，即x ＝2时f (x )＝2.故选D. 4．[2018·吉林模拟]已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.75，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .5．[课本改编]函数f (x )＝21－x的大致图象为( )答案 A 解析 ∵f (x )＝21－x＝2·2－x .∴f (x )在R 上为减函数，排除C ，D ；又f (0)＝21＝2>1，排除B.故选A.6．[2018·南通调研]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2－2x 的值域为________．答案 (0,4]解析 ∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴0<f (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4，∴值域为(0,4]．板块二 典例探究·考向突破 考向指数幂的化简与求值例 1 求值与化简：(1)8 23 ×100－ 12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－ 34 ；(2)56a13 ·b －2·(－3a － 12 b －1)÷(4a 23 ·b －3) 12 ；触类旁通指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【变式训练1】(1)化简： (a>0，b>0)；(2)计算：2×(32×3)6＋(22)43－4×⎝⎛⎭⎪⎫1649－12－42×80.25＋(－2018)0.考向指数函数的图象及应用例 2 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案[－1,1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．若将本例中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解 曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．若将本例改为：直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是什么？解 y ＝|a x－1|的图象是由y ＝a x先向下平移1个单位，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折过来得到的．当a ＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a ＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a ＜1，得到0＜a ＜12，如图(2)．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 触类旁通指数函数图象的应用技巧对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【变式训练2】 [2018·广东佛山模拟]已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2答案 D解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1,2c >1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.考向指数函数的性质及其应用命题角度1 比较指数幂的大小例 3 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 ，b ＝2－ 43 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B解析 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13，即b <a <c . 命题角度2 解简单的指数不等式例 4 设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝3x－9，则f (x －3)>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >2}B ．{x |x <－2或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <1或x >5}答案 D解析 当x ≥0时，由f (x )＝3x－9>0得x >2，所以f (x )>0的解集为{x |x >2或x <－2}．将函数f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数f (x －3)的图象，所以不等式f (x －3)>0的解集为{x |x <1或x >5}．选D.命题角度3 与指数函数有关的复合函数问题 例 5 (1)[2018·桂林模拟]已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．答案 [6，＋∞) 解析 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递减，且函数y ＝2t在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递减．又因为函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 解析 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34，∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34.当t ＝8时，y max ＝57.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 触类旁通有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．核心规律1.判断指数函数图象的底数大小的问题，可以通过令x ＝1得到底数值，再进行大小比较．2.指数型函数、方程及不等式问题，可以利用指数函数的图象和性质求解． 满分策略1.解决指数函数有关问题时，若底数不确定，应注意对a >1及0<a <1进行分类讨论．2.对于同时含有a x与a 2x(a >0，且a ≠1)的函数、方程、不等式等问题，可以利用换元法求解．但一定要注意新元的范围.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列2——忽略指数函数底数的分类讨论致误[2018·海南模拟]若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )·x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.错因分析 误认为a >1，只按一种情况求解，而忽略了0<a <1的情况，从而造成失误． 解析 当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1,2]上的最大值为a －1＝4，即a ＝14，最小值为a2＝m ，从而m ＝116，这时g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ，即g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．当a >1时，f (x )＝a x 在[－1,2]上的最大值a 2＝4得a ＝2，最小值a －1＝m ，即m ＝12，这时g (x )＝(1－4m )x ＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去，所以a ＝14.答案 14答题启示 由于指数函数y ＝a x，当a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数，所以在有关指数函数问题的处理中，一定要根据a 的值来分类讨论.跟踪训练[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 ①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2015·山东高考]设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a答案 C解析 函数y ＝0.6x在定义域R 上为单调递减函数， ∴1＝0.60＞0.60.6＞0.61.5. 而函数y ＝1.5x为单调递增函数， ∴1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c . 2．函数f (x )＝ax －b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝ax －b的图象是在y ＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.3．[2018·北京大兴期末]下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝3|x |答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．4．[2018·黄冈模拟]已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a＝3. ∴f (2a )＝22a＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2) D ．(－3,4)答案 C解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 6．[2018·重庆模拟]若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定答案 A解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 7．[2018·北京模拟]函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1答案 D解析 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D.8．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1的值域为________．答案 (0,4]解析 设t ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，则t ≥－2.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是关于t 的减函数，所以y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.又y >0，所以0<y ≤4.9．若指数函数f (x )＝a x在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.答案 12或32解析 当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x是减函数，∴a －a 2＝a 2，∴a ＝12.10．[2018·金版创新]已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为________． 答案 2解析 因为f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·厦门模拟]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )答案 A解析 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．[2018·长春模拟]若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x－a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．观察图象，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．所以，有－a <1，即a >－1.3．[2017·山东济宁月考]已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2，＋∞)解析 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．4．如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解 令t ＝a x，则y ＝a 2x＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.5．[2018·益阳月考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 指数与指数函数练习 理-人教版高三全册数学试题
§2.4指数与指数函数考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.指数幂的运算1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算Ⅱ2014某某,11选择题、填空题★★☆2.指数函数的图象及性质1.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象2.体会指数函数是一类重要的函数模型Ⅲ2017,5;2016某某,7;2015某某,7选择题、填空题★★★分析解读本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质以及简单的应用,但幂的运算是解决与指数有关问题的基础,也要引起重视,另外由于底的取值不同,函数的单调性也不相同,因此,分类讨论的思想也是本节中的一个重点学习内容.高考中,可能以选择题、填空题的形式考查,也可能与方程、不等式等知识结合出现在解答题中.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.五年高考考点一指数幂的运算(2014某某,11,5分)+log3+log3=_____________.答案考点二指数函数的图象及性质1.(2017,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)( )A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数答案 B2.(2016某某,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案 B3.(2015某某,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案 B4.(2015某某,3,5分)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a答案 C5.(2014某某,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=x3B.f(x)=3xC.f(x)=D.f(x)=答案 B教师用书专用(6—7)6.(2014某某,5,5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.x3>y3B.sin x>sin yC.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.>答案 A7.(2015,10,5分)2-3,,log25三个数中最大的数是_______.答案log25三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一指数幂的运算1.(2017某某八所重点中学一模,6)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )A. B. C. D.答案 C2.(2016某某某某一模,6)已知实数a,b满足>>>,则( )A.b<2B.b>2C.a<D.a>答案 B3.(2018某某荆州中学月考,14)化简·(-3b-1)÷(4b-3·=__________.答案-考点二指数函数的图象及性质4.(2018某某某某第一次教学质量检测,7)若x=,y=lg 3,z=,则( )A.y<z<xB.z<x<yC.x<y<zD.z<y<x答案 A5.(2018某某永定月考,5)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )答案 C6.(2017某某某某一模,6)已知a=0.30.3,b=1.20.3,c=log1.20.3,则a,b,c的大小关系为( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b答案 A7.(2017某某某某、某某等六市一模,5)设x>0,且1<b x<a x,则( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b答案 C8.(2017某某10月百校联考,4)已知<<1,则下列不等式成立的是( )A.(a-1)2>(b-1)2B.ln a>ln bC.a+b>1D.<答案 B9.(2017某某江淮十校第一次联考,5)已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( )A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m答案 C10.(2016某某某某一模,13)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值X围是__________.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2017某某省际名校模拟,10)已知函数f(x)=(e x-e-x)x,若f(log5x)+f(lo x)≤2f(1),则x的取值X围是( )A. B.[1,5] C. D.∪[5,+∞)答案 C2.(2017某某某某二中等四校联考,8)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0,则下列结论正确的是( )A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)答案 A二、填空题(共5分)3.(2016某某江淮十校联考,13)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为__________.答案 e三、解答题(每小题10分,共20分)4.(2018某某潍坊期中,20)已知函数f(x)=1-(a>0,a≠1)且f(0)=0.(1)求a的值;(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,某某数k的取值X围;(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,某某数m的取值X围.解析(1)对于函数f(x)=1-(a>0,a≠1),由f(0)=1-=0,得a=2.(2)由(1)得f(x)=1-=1-.若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k 有零点,则函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,∴1-k>0,解得k<1.(3)当x∈(0,1)时,f(x)>m·2x-2恒成立,即1->m·2x-2恒成立.令t=2x,则t∈(1,2),且m<-==+.由于y=+在t∈(1,2)上单调递减,∴+>+=,∴m≤.5.(2017某某百所重点高中联考,21)已知函数f(x)=22x-7-a4x-1(a>0且a≠1).(1)当a=时,求不等式f(x)<0的解集;(2)当x∈[0,1]时, f(x)<0恒成立,某某数a的取值X围.解析(1)当a==时,不等式f(x)<0即为22x-7<,所以2x-7<-(4x-1),解得x<,故当a=时,原不等式的解集为.(2)由22x-7<a4x-1⇒(2x-7)lg 2<(4x-1)lg a⇒x·lg+lg<0,设f(x)=x·lg+lg,则f(x)为一次函数或常数函数,由x∈[0,1]时, f(x)<0恒成立得:⇒⇒⇒⇒<a<128,又a>0且a≠1,∴a∈∪(1,128).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 指数函数的图象及其应用1.(2018某某某某期末,6)在我国西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测,经过x 年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )答案 D2.(2017某某江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定答案 A方法2 指数函数的性质及其应用3.(2018某某台江期末,9)若2x+5y≤2-y+5-x,则有( )A.x+y≥0B.x+y≤0C.x-y≤0D.x-y≥0答案 B4.(2016某某荆州中学质检,7)函数y=a x+1-3(a>0,a≠1)的图象过定点A,若点A在直线mx+ny=-2(m>0,n>0)上,则+的最小值为( )A.3B.2C.D.答案 C5.(2017某某某某七校联考,15)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是R,则实数a的取值X围是. 答案6.(2017某某某某期中联考,13)设23-2x>0.53x-4,则x的取值X围是________.答案(1,+∞)。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 指数与指数函数学案(文,含解析)新人教A版
学习资料2.5指数与指数函数必备知识预案自诊知识梳理1.根式(1)根式的概念x n=a ⇒(2)根式的性质①(）n=a（n∈N*)。
②2。
实数指数幂(1）分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是（a>0,m，n∈N*,n>1）。
②正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N＊,n>1)。
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义。
(2）有理数指数幂的运算性质①a r a s=(a〉0，r，s∈Q)。
②(a r）s=(a>0，r，s∈Q)。
③（ab)r=(a〉0，b〉0，r∈Q）。
(3）无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a〉0,α为无理数）是一个的实数.整数指数幂的运算性质于实数指数幂。
3.指数函数的图象和性质函数y=a x（a>0，且a≠1)0〈a〈1a〉1图象图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升续表性质定义域值域单调性在R上在R 上函数值变化规律当x=0时，当x<0时,;当x>0时,当x〈0时,；当x〉0时,1。
指数函数y=a x(a〉0,且a≠1)的图象过三个定点：(1,a）,（0,1）,。
2。
指数函数y=a x与y=b x的图象特征，在第一象限内，图象越高,底数越大;在第二象限内,图象越高,底数越小。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”.(1）=π-4.（）（2)与(）n都等于a（n∈N*)。
（) （3)(—1=(-1。
(）（4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.（）(5)若a m>a n,则m〉n.()2。
（2020山东实验中学月考，3)已知m<n<1,则有()A。
m>n〉0 B.0〉m〉nC.n〉m〉0D.0>n>m3。
（2020广东广州模拟，4)已知函数f（x)=x,则不等式f（a2-4)〉f(3a)的解集为()A.(-4,1）B。
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【高考领航】2016高三数学一轮复习 第2章 第5课时 指数函数课时训练 文 新人教版A 级 基础演练1．(2015·石家庄高三模拟)若集合A ＝{x ∈Z |2<2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x >0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.∵A ＝{}0，1，B ＝{}x |x >2或x <0，∴∁R B ＝{}x |0≤x ≤2，∴A ∩(∁R B )＝{}0，1，故选C.2．(2015·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选A.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x，∴它与函数y ＝2x的图象关于y 轴对称．3．(2015·安阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B.把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即b <a <c . 4．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A.{}x |x <－1或x >－lg 2B.{}x |－1<x <－lg 2C.{}x |x >－lg 2D.{}x |x <－lg 2解析：选D.由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12. 而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2.5．设a ，b ，c 都是正数，且3a＝4b＝6c，那么( ) A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b解析：选B.设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则3＝k ，4＝k ，6＝k ，又∵32×4＝62，∴k ·k ＝k ，∴2a ＋1b ＝2c.6．(2015·唐山月考)若3a＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝__________. 解析：∵3－1＝13，30＝1，13<0.618<1，∴k ＝－1.答案：－17．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为__________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n8．(2015·南昌模拟)函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是__________．解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴0＜23－x≤23＝8，∴8＞8－23－x≥0，∴函数y ＝8－23－x的值域为[0,8)．答案：[0,8)9．(2015·保定模拟)已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，则b ＝3.所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在x ∈(－∞，1]时恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.B 级 能力突破1．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：选D.先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断．因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D.2．当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)解析：选C.当x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x是一个增函数，则有a 2<2，可得－2<a <2，故有1<a <2；当0<a <1时，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22或a <－22(舍)，故有22<a <1. 综上可得，a ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 3．(2015·长春模拟)已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(3，4) B ．(2，＋∞) C ．(2，5)D ．(3，22)解析：选B.(数形结合法)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．故选B.4．已知f (x )＝9x－13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为__________．解析：∵f (x )＝9x－13x ＋1＝32x－13x ＋1＝3x －3－x＋1，函数f (x )的定义域为R ，对任意x ∈R ，f (－x )＝3－x －3－(－x )＋1＝3－x －3x ＋1，∴f (x )＋f (－x )＝(3x －3－x ＋1)＋(3－x －3x ＋1)＝2，由于f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝2－f (a )＝2－3＝－1. 答案：－15．若不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3. 答案：(－2，3)6．已知函数f (x )满足f (log a x )＝aa 2－1(x －x －1)，其中a >0且a ≠1.(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围． 解析：(1)令log a x ＝t ，则x ＝a t. ∴f (t )＝aa 2－1(a t －a －t)，∴f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)． ∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x) ＝－aa 2－1(a x －a －x)＝－f (x )， ∴f (x )在定义域内为奇函数． 又∵f ′(x )＝aa 2－1(a x ＋a －x)ln a >0(a >0且a ≠1)， ∴f (x )在定义域内为增函数．由f (1－m )＋f (1－m 2)<0可得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m <m 2－1，解得1<m <2，故实数m 的取值范围是(1，2)． (2)由(1)可知f (x )是单调递增函数， 当x <2时，f (x )－4<0，即f (2)－4≤0， ∴aa 2－1(a 2－a －2)－4≤0， 整理得a 2－4a ＋a≤0，解得2－3≤a ≤2＋3且a ≠1，∴a 的取值范围是[2－3，1)∪(1,2＋3]．。