参考答案与评分标准2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题

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2012广州高二数学学业水平模拟卷及答案

2012年广州市高二数学学业水平测试模拟（75中提供）本试卷共4页，共20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }，M = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则A．M∩N = { 4，6 } B．M∪N = U C．(Cu N )∪M =U D．(Cu M )∩N = N2．已知向量，向量，且，则实数等于A．B．C．D．3．如图，样本数为的四组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差最大的一组是4．已知等差数列的前13项之和为，则等于．．．．5．已知函数，给出下列四个命题：①若，则②的最小正周期是③在区间上是增函数④的图象关于直线对称其中真命题是．①②④．①③．②③．③④6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线有公共点，则直线l斜率的取值范围为A．( , ) B．[ , ] C．( , ) D．[ , ]7．已知函数的零点依次为，则A. B. C. D.8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为A．与B．与C．与D．与9．函数的图象大致是．．10．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A、B、1－C、1－D、1－二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.11．已知函数满足，，则= .12．记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于_________.13．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为＿＿＿＿万只．14．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x , y )值依次记为(x1 , y1 )，(x2 , y2 )，……(x n , y n )，……(1) 若程序运行中输出的一个数组是( , t)，则t = ；(2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 如何由函数的图象通过适当的变换得到函数的图象, 写出变换过程.16.（本小题满分12分）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？17．（本小题满分14分）如图，平行四边形中，，，且，正方形和平面成直二面角，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．18．（本小题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）.（Ⅰ）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?（Ⅱ）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象.19．（本小题满分14分）已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．（1）试求圆的方程．（2）若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．20．（本小题满分14分）已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立,设数列｛｝的前项和.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求数列｛｝的通项公式；（Ⅲ）设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数.高二数学学业水平测试模拟参考答案及评分意见一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. B2. B3. Ｄ4. B5. Ｄ6. D7. A8.9. Ｂ10. D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 12. 33 13. 90 14. ，1005三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由图象知的最小正周期,故……3分将点代入的解析式得,又,∴故函数的解析式为……6分（Ⅱ）变换过程如下:另解:……12分以上每一个变换过程均为3分.16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个；------------------------------------------------------3分设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6个；则------------------------------5分------------------------------6分（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4个；则-------------------------8分----------------------10分，所以这样规定不公平. -----------------11分答：（Ⅰ）甲获胜的概率为;（Ⅱ）这样规定不公平. -----------------------12分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：平面平面，交线为∴----------2分∴又∴--------4分（Ⅱ）证明：连结，则是的中点∴中，---------------6分又∴∴平面-------------8分（Ⅲ）解：设中边上的高为依题意：∴即：点到平面的距离为---------------10分∴-----------------14分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设小时后蓄水池中的水量为吨，则；…………………………………3分令＝；则且，∴；………………5分∴当，即时，，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨. …………………8分（Ⅱ）依题意，得，……………11分解得，即，；即由，所以每天约有8小时供水紧张. ………………………14分19.（本小题满分14分）解:（1）由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是（2,1）,半径是,所以圆的方程是．……………………………………（7分）（2）设直线的方程是: ．因为,所以圆心到直线的距离是,即解得: ．……………………………………（10分）所以直线的方程是: ．……………………………………（14分）20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素∴解得或------------------------2分当时，函数在递增，不满足条件②当时，函数在（０，２）上递减，满足条件②综上得，即---------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，当≥２时＝＝∴--------------------------------------------9分（Ⅲ）由题设可得----------------------------11分∵，，∴，都满足∵当≥３时，即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，可知满足∴数列｛｝的变号数为３.----------------------------------------14分如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。

2012全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 . 答案：1解：因为所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4解：由于是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a a b a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a b Q θθ. ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-. sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分 2．（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y *N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除. 解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

广东高二高中数学竞赛测试带答案解析

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

2012全国高中数学联赛广东预赛解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-.函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称.函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQAQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ababa b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

广州市2012年二模理科数学答案评分标准(内部woed)

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．60 10．160- 11．1- 12．2- 13．⎤⎥⎣⎦14．23π⎛⎫⎪⎝⎭15说明：第14题的答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：16．（ 12分） (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解:∵函数()f x 的图象的最高点坐标为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2A =. … 1分依题意,得函数()f x 的周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，…… 2分∴22T πω==. …… 3分 (2)解:由(1)得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. … 4分∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=,∴3cos 5α==. …… 5分 ∴24sin 22sin cos 25ααα==, …… 7分 27cos 212sin 25αα=-=-.… 9分 ∴()2sin 23f παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (10)分2sin 2cos cos 2sin 33ππαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭…… 11分=… 12分 17. （12分）(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解: 从6条网线中随机任取三条网线共有3620C =种情况. ……… 1分∵1141236++=++=, ∴()1122361164C C P C ξ+===.…… 2分 ∵1242237++=++=∴()1122361174C C P C ξ+===.…… 3分∵1342248++=++=,Q 1P 1QPO N M D CBAC 1D 1∴()123613820C P C ξ+===.…… 4分∵2349++=, ∴()12361910C P C ξ===.……… 5分 ∴P ()()()()()66789P P P P ξξξξξ≥==+=+=+= 113134420104=+++=. 答: 线路信息畅通的概率为34.…… 6分 (2)解:ξ的取值为4,5,6,7,8,9.…… 7分 ∵1124++=, ∴()12361410C P C ξ===.… 8分∵1131225++=++=,∴()123613520C P C ξ+===. …… 9分∴ξ的的分布列为:…… 10分∴1311314567891020442010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ … 11分 6.5=.…… 12分 18.（14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解法1：（1）作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则MA O ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. …… 1分由于平面ABCD //平面1111ABCD ，故MAO ∠是直线AM 与平面1111A B C D 所成的角.… 2分作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ， ∵AB ⊂平面ABCD ，∴MO AB ⊥. ∵,MO MP M MO =⊂ 平面MOP ，MP ⊂平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP . …… 3分由题意知1,MO PO AP ===12,4AD AA ==，在R t △POM 中，PM 在R t △APM 中，AM R t △AOM 中，sin MO MAO AM ∠==∴直线AM 与平面1111A B C D …… 5分（2）延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MOP ∵MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，∴,MN MP MN MQ ⊥⊥. …………… 6分11∴PMQ ∠是二面角A MN C --的平面角. …… 7分在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==， ∴90PMQ ︒∠=. ……… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. … 9分（3）作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ，由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和 11N PBCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -. 四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO = 1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN === ，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …………… 14分解法2：（1）以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1D D 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -（如图），作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，作OP AB ⊥，垂足为P ，依题意知1MO OP AP ===，12,4AD AA ==,则()()0,0,0,2,0,0,D A ()()1,1,1,1,3,1M N ，()12,0,4A -. …………… 1分∴()1,1,1AM =-. … 2分∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴平面1111A B C D 的一个法向量为()10,0,4AA =-.……… 3分设直线AM 与平面1111A B C D 所成角为θ，则sin θ=11AM AA AM AA == …… 4分 ∴直线AM 与平面1111A B C D.…………（2）由(1)知()()0,2,0,1,1,1MN DM ==,设平面ABNM 的法向量为1n (),,x y z =，由1n 0MN = ，1n 0AM = ，得0,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y ==.∴平面ABNM 的一个法向量为1n ()1,0,1=. …… 6分设平面CDMN 的法向量为2n (),,x y z =，由2n 0DM = ，2n 0MN = ，得0,20.x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y =-=. ∴平面CDMN 的一个法向量为2n ()1,0,1=-.… 7分 ∵1n 2n ()110110=⨯++⨯-=，∴平面ABNM ⊥平面CDMN .…… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. ……… 9分（3）如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =,14AA =, 多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积减去两个等体积的三棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积.∵2224AQ DQ AD +==，∴90AQD ︒∠=. ∴直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB === ，……… 10分三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323AQ DQ MQ =⨯= .…… 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB CD AA ==⨯⨯= . … 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …… 14分19. （14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …… 1分 ∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共 ∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-.…… 4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ，由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k y x ===. …… 1分依题意得0122x =，解得04x =.… 2分把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点()00,x y 在直线l 上，∴424m =⨯+，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为()'100,Fx y ，则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩∴点()'14,1F -. ……… 8分∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为03,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'12122a PF PF PF PF =+=+'1F ≥ 其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号. ∴2a ≥. ∴112e a =≤. 故当2a =时，max 12e =… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.… 14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F - 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-， … 6分由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ，得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） … 7分由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …… 8分得425200a a -≥. ……… 9分解得24a ≥.∴2a ≥. …………… 10分 ∴112e a =≤. …………… 11分当2a =时，max12e =，此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………… 12分把2a =代入方程（*），解得32x =，1y =-. …………… 13分 ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. …………… 14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. …………… 1分()2111ax x f x ax x x--'=-+=-. …………… 2分① 当0a =时，()1xf x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x > ∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=， ∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+. （ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分（ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， …………… 6分若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.…………… 7分综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；…………… 9分当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中212x a=. … 10分而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. …………… 11分设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<，解得2a <，而0a >，故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分说明:若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分.1.1122a a =++()0,+∞是减函数，而112a +=时，2a =，故112a>的解集为()0,2，从而实数a 的取值范围为()0,2．2.直接解不等式112a>，而0a >，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为()0,2.21. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，令0x y ==，得()()()00000100f f f f -⎛⎫-==⎪-⨯⎝⎭，解得()00f =. …………… 1分令0x =，得()()()0010y f f y f f y y ⎛⎫--==- ⎪-⨯⎝⎭，∵()00f =，∴()()0f y f y -=-，即()()f y f y -=-. …………… 2分 ∴函数()f x 是奇函数. …………… 3分（2）解：先用数学归纳法证明01n a <<.① 当1n =时，112a =，得101a <<, 结论成立. ② 假设n k =时, 结论成立, 即01k a <<, 当1n k =+时, 由于01k a <<, 12201kk ka a a +=>+,又1222121k kk kk a a a a a +=<==+. ∴101k a +<<.即1n k =+时, 结论也成立.由①②知对任意n ∈N *, 01n a <<. …………… 4分求数列(){}n f a 的通项公式提供下面两种方法.法1:()()()12211n n n n n n n a a a f a f f a a a +⎛⎫--⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()()n n f a f a =--.…………… 5分 ∵函数()f x 是奇函数， ∴()()n n f a f a -=-.∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分法2: ∵()()1111n n n n n n a a f a f a f a a +++⎛⎫--=⎪-⎝⎭…………… 5分22221211n n n n n a a a f a a ⎛⎫- ⎪+ ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭321n n n a a f a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭ =()n f a , ∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分（3）证法1：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴10(,2n m a a n m <-<∈N *,且)n m >. …………… 9分当2k ≥且k ∈ N *时,12kk k k a a a a A a k+++-=-()()()121k k k k a a a a a a k--+-++-= …………… 10分12k k -<…………… 11分 1122k =-12<.∴102k k a A <-<. …………… 12分∵110a A -=, ∴当2n ≥时,11102n niii i n a A ==-<-<∑∑. …………… 13分 ∴当2n ≥时,1112nni i i i n a A ==--<∑∑. …………… 14分证法2：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴1(,2n m a a n m -<∈N *). …………… 9分下面用数学归纳法证明不等式1112n ni i i i n a A ==--<∑∑成立. ①当2n =时，左边1212121122a a a a a a a +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭111222<⨯<=右边. ∴2n =时，不等式成立. …………… 10分 ②假设(2,n k k k =≥∈N *)时，不等式成立，即1112k ki i i i k a A ==--<∑∑，则1n k =+时，左边=1111k k i i i i a A ++==-∑∑1211111k kk i k i i i a a a a a A k ++==+++=+--+∑∑ …………… 11分()()1121111k k k k i i i i k a a a a a A k +==+-+++⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑ ()()()111211111k ki i k k k k i i a A a a a a a a k +++==≤-+-+-++-+∑∑ ………… 12分 ()111211121k k k k k a a a a a a k +++-<+-+-++-+ 1111121222k k -⎛⎫<++++ ⎪+⎝⎭11212k k k -=+⨯+ ()1112221k k -=+-+ 1122k -<+ ()112k +-==右边. …………… 13分∴1n k =+时，不等式也成立.由①②知，当2n ≥时,1112n n ii i i n a A ==--<∑∑成立. …………… 14分证法3：由（2）知()011,2,3,,k a k n <<= ，故对11k n ≤≤-，有110,0k n i i i i k ak a n k ==+<<<<-∑∑. …………… 8分由于对任意0,0x y >>，有{}max ,x y x y -<，其中{}max ,x y 表示x 与y 的较大值. 于是对11k n ≤≤-，有 11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑ …………… 9分 11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ …………… 10分()111max ,n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1(1,2,3,,1)k k n n=-=- . …………… 11分故111n n nii n i i i i a A nA A ===-=-∑∑∑()()()121n n n n A A A A A A -=-+-++- …… 12分 121n n n n A A A A A A -≤-+-++-121111n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………… 13分 ()()12311n n n ++++-=--()()121n n n n -=--12n -=.…………… 14分。

2012年广州高二数学水平测试试题(附答案)

高中二年级数学学生学业水平测试一、选择题1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，则=A C U （）A.∅B. {1,3}C. {2,4,5}D. {1,2,3,4,5} 2. 已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则tan α=（） A.43-B. 34- C. 34 D. 433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为（）A.2-B. 2C. 12-D. 124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A.24B. 12C. 6D. 35. 如图，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率为（）A.2π B. 4π C. 14π- D. 12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.16 B. 13 C. 12 D. 17. 函数2()f x x x=-的零点所在的区间为（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 21nn +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD =（） A.2- B. 2 C. 4 D. 4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x …对一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函. 则下面四个函数中，属于有界泛函的是（）①()1f x = ②2()f x x = ③()2sin f x x x = ④2()2xf x x x =++ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④二、填空题11. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，则函数()f x 的定义域为 .12. 如图给出的是计算111123S n=++++ 值的一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是(2,4,0)A ，(2,0,3)B ，(2,2,)C z ，若90C ∠= ，则z 的值为 .14. 设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤04023y x y x x ，则22x y +的取值范围是 .三、解答题15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1)A ，(1,0)C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.开始i =1，S=0i<2013?S=S +1ii =i +1输出S结束否是a频率/组距次数1512963E OBPAC M16. 已知函数()sin 3cos ,f x x x x R =+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中N ，p 及图中a 的值；（2）在所给样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率.18. 如图，AB 是O 的直径，点C 是O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且//MO AC . （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求证：平面//EMO 平面PAC .分组频数频率 [3，6) 10m [6，9) n p [9，12) 4 q [12，15) 2 0.05 合计 N 119. （本小题满分14分）设数列{}n a 是等比数列，对任意*n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-，已知11T =，27T =。

2012年广东省初中数学竞赛初赛试题和答案_完美修订版

2012年广东省初中数学竞赛初赛试题和答案考试时间：2012年3月4日上午9：30-10：301．如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是（）． A ．25 B ．12.5 C ． 9 D ．8.5第1题图2．将(21)(2)1y x x =-++化成n m x a y ++=2)(的形式为（）．A ．1625)43(22-+=x yB ．817)43(22--=x yC ．817)43(22-+=x yD ．817)43(22++=x y3．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为（）．A ．1-B ． 1C ．1±D ．不能确定4．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）．A ．91B ．31C ．21D ．325．下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；（2）2a =（3）若点(),P a b 在第三象限，则点(),1Q a b --+在第一象限；（4）连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；（5）两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的便是的个数是（）．A ．2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个6．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三” 乙说：“901班得第四，903班得亚军” 内说：“903班得第三，904班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）．A ．901班B ．902班C ．903班D ．904班7．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（）． A ．12 B ．9 C ．4 D ．38．函数m x y +=与xmy =（m ≠0）在同一坐标系内的图象可以是（）．9．如图，,,,M N P R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且1MN NP PR ===。

2012年全国高中数学联赛加试试题(B卷)参考答案及评分标准

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因此，ＰＡＭ＝ＰＡ＋ＭＢ．所以ＡＭ＝ＭＢ１０分故ＭＮＢ． ⊥Ａ连结ＱＩ并延长，交ＡＮ于Ｃ，则ＣＱＢ． ⊥Ａ１１因而ＭＮＱ２０分 ∥Ｃ１因此，ＣＱ＝ＮＭ＝ＰＱ． ∠Ａ ∠Ａ ∠Ａ１故Ａ、Ｐ、Ｃ、Ｑ四点共圆３０分１从而∠ＡＰＣ１８０ ° －ＱＣ９０ ° ＝ＰＣ． ∠Ａ ∠Ａ１＝１＝所以点Ｃ即Ｃ、Ｉ、Ｑ三点共线１与点Ｃ重合，二、（本题满分４０分）给定整数ｎ＞１，设ａ，ａ， …，ａ记集合１２ｎ是互不相同的非负实数，Ａ＝{ ａａＢ＝{ ａａ }， } │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ．ｉ＋ｊｉｊ求 │Ａ │ 的最小值．这里， │Ｘ │表示集合Ｘ中元素的个数． │Ｂ │
２０１２年全国高中数学联赛加试试题（Ｂ卷）参考答案及评分标准
说明：
１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；２、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，１０分为一个档次，不要再增加其他中间档次．
一、（本题满分４０分）如图，圆Ｉ内切于圆Ｏ，切点为Ｐ，圆Ｏ的弦ＡＢ切圆Ｉ于点Ｑ，ＰＱ的延长线交圆Ｏ于点Ｍ，ＭＮ为圆Ｏ的直径．过点Ｐ作ＰＡ的垂线交ＡＮ于点Ｃ．求证：Ｃ、Ｉ、Ｑ三点共线．证明：作圆Ｏ，圆Ｉ的公切线ＰＤ，则∠ＭＰＤ＝ＱＰ． ∠Ａ
２｜ｘ１－Ａ｜ｎ－１＋｜ｘＡ｜＝｜ｘ＋１－Ａ｜＝０分３ｎ－ｎ－１槡ｘ１＋Ａｎ－１＋槡２由Ａ满足方程①知，１－Ａ＝－Ａ．又槡ｘ１＋Ａ＞Ａ＞１，ｎ－１＋

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及参考答案

()()()()()()()()222222222221.201220102011201320140, .:20122010201120132014201220121201212012220122 20122012120124 20122,20122404k k k k k +⨯⨯⨯=>==+⨯⨯⨯=+-⨯+⨯-⨯+=+-⨯-=-=-=若则解所以8142.()()2.sin sin cos 3 .66:sin sin cos 366 2sin coscos 36cos 32sin 36 f x x x x f x x x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数的最小值为解() 1,2,,3sin sin 1.66x k k Z f x x x ππππ≥=-+∈⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时等号成立即函数的最大值为()()()()()()()()()2222222222113.,,,2,, .2111:,222421 0,2421,220,24bx f x a b ab f x f k k x ax bx b x b bx b x f x f k x x a ax ax a x abx b x bx k ax a x ab b ab a b a a +⎛⎫=≠⋅== ⎪+⎝⎭+++++⎛⎫⋅=⋅== ⎪+++++⎝⎭+++∀≠=++++=--=+设是常数且若是常数则解若对于均有是常数则有即()()()22222,2,1111 ,.244242ab a b bx b x b b f x f k x a ax a x a ≠=+++⎛⎫⋅==== ⎪+++⎝⎭因为所以于是即()()21224.33, .:31,30, 3,120, 390,2492.4x x x p p t t t p f t t t p f p f p p +-==>--==--=-->⎧⎪⎨⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎩-<<-若方程有两个不相等的正实数根则的取值范围为解令则设于是解得()()1112131415212223242531323334354142434445515253545512345123455.55,,,,,15,,,,,15,i i i i i j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a i a a a a a j ⨯≤≤≤≤如图是一个的数表其中成等差数列成等比数列每一列的24414311554442424144434544244244111554531155,4,2,10, .:6,4,16,22,2 4,2,1,22,211.a a a a a a a d a a d a a d a a d aq q aa a a a q qa a==-=⨯=-===+==+==+====±===⋅=±⨯=-公比都相等且则解于是从而于是可得所以()()()()()()()()()16.,ln 2, .21:ln 2,2,ln 2 1ln 2,1,0,1,0;1,,0; x x P y e Q y x PQ y e y x y x Q y x x x d f x xx f x xx f x x f x ======-=='=-=-''∈<∈+∞>若点在曲线上点在曲线上则的最小值为解注意到与的图像关于直线对称只需考虑点到直线的距离其中令则若则若则于()()())0,min 11ln 2,min 2min 1ln 2.x f x f PQ d ∈+∞==-==-是因此)7.441622,,, .:,16,,9,169,72,2,1,, a b a a a b b a b ⨯⨯=在一个的个小方格中填入个和个每个小方格至多填一个字母若相同的字母既不在同一行也不在同一列共有种排列方式解先填入第一个有种填法再填入第二个有种排法考虑到两个是相同的共有种排法现在填入第一个若第一个填入后两个分别与第一个同行或同列则第二))929,9,22,,888,32,23,,747,14255,,7255=3960.b b a b b b a b b ⨯=⨯=⨯=⨯个有种填法此时有种填法若第一个填入后有且仅有一个与第一个同行或同列则第二个有种填法此时有种填法若第一个填入后两个均与第一个不同行且不同列则第二个有种填法此时有种填法,这里共有种填法根据乘法原理共有种填法()()222228.,,80,112,156, .:,,,180,31112,313a b h h a h b a h b h b a a ab ππππππππππ+-=+-=+在一个直角梯形中上底长小于下底长若以它的下底为轴旋转所得旋转体的体积为以上底为轴旋转所得体积为以直角腰为轴旋转所得体积为则直角梯形周长为解设上底长为下底长为高为则有()2156,3,9,4, 16b h a b h π+====+解得从而非直角腰的长为于是直角梯形周长为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()()()22221.161,0,,,,,,,::cos ,sin ,, ,, x y a b A B a bP A B AP OA OP k P a b OP a OA AP a OP OA AP OAP OPA θθ+=>>=>===<=∠<∠=本小题分已知椭圆点分别为椭圆的左右顶点是椭圆上异于的一点满足证明直线的斜率满足证明设点坐标为则又于是从而,,3,,2322 tan tan AOP OAP OAP OAP OPA OPA k OPA πππππθ∠∠<-∠-∠∠=>∠=<==∠>可知于是所以()()()()()22222222222222222222222.20,,,3,.,,, ,9 3,,4,224 a b c a b c S a ab b b bc c c ca a a b c b bc c b c ca a a S a b a ab b a b a b c a b p ab q p q S a b a ab ++==-+-+-+≥≥-+≤-+≤≤-++++⎛⎫⎛⎫+=≤=≤≤=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤-本小题分令是非负实数求的最大值解:不妨设则于是设且于是()()()()()()()[)()()()()9222220,393, 93,92,9 0,2,0;2,,0,4 max 212, 12,2,1,0.q b q p q q q f q q q f q q q q f q q f q f q f S a b c ⎡⎤∈⎣⎦+=-≤-'=-=-⎛⎤''∈>∈< ⎥⎝⎦=====令则若则若则从而于是的最大值为在及其轮换时取得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222223.20:**,,*,.1,11|11|, 11|111,11,11,11|11,11,1,*,1|1,11,f N N x y N f x y f y x x y f f a b b a f f f f f f f f x y n n N f n f n f n f n f n →∈++==+++-⎡⎤⎣⎦+=+-===∈+++≤+≤本题满分分求所有函数使得对任意均有被整除解:令可得这里表示被整除即显见从而只能是令可得从而即()()()()()()()()()()222,*,1*,1|1,11,,,,*.n x n n N y n N f n f n f n f n f n n f n n f x x x N =∈=∈+++≥+≥==∈ 又令可得从而即于是经检验满足题意。

2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年广东省初中数学竞赛初赛试题和答案

2012年广东省初中数学竞赛初赛试题考试时间：2012年3月4日上午9:30-10:30说明：1．本卷考试时间为60分钟，共30小题，每小题4分，满分120分。

以下每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入答题栏里。

不填、多填或错填都得0分。

2．答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、学校按要求填写在密封线左边的空格内。

3．答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔，解答书写时不要超过装订线。

4．考试结束时，将试卷交回，草稿纸不用上交。

1、如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是（） A 、25 B 、12.5 C 、9 D 、8.52、将1)2).(12(++-=x x y 化成n m x a y ++=2)(的形式为（）A 、1625)43(2y 2-+=xB 、817)43(2y 2--=xC 、817)43(2y 2-+=xD 、817)43(2y 2++=x3、如果aa +bb +cc 1=，则abcabc 的值为（）A 、1-B 、1C 、1±D 、不能确定4、一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A 、91 B 、31 C 、21 D 、32 5、下列五个命题：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三边长是5；②a =2)a (；③若点P （a ，b ）在第三象限，则点Q （a -，1+-b ）在第一象限； ④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； ⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；其中正确的命题的个数是（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛，甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三” 乙说：“901班得第四，903班得亚军” 丙说：“903班得第三，904班得冠军”赛后得知，三人都猜对了一半，则得冠军的是（） A 、901班 B 、902班 C 、903班 D 、904班7、在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个。

2012广州高二水平测试附答案

2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试英语本试卷分四部分，共12页，满分150分。

考试时间120分钟。

I 听力 (共两节，满分20分)第一节听力理解(4段共10小题，每小题1.5分，满分15分) 每段播放两遍。

各段后有几个小题，各段播放前每小题有5秒钟的阅题时间。

请根据各段播放内容及其相关小题，在5秒钟内从题中所给的A、B、C项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

听下面一段对话，回答第1~2题。

1. What time does the talk take place?A. In the morning.B. Around lunch time.C. In the afternoon.2. What is the talk mainly about?A. Finding a missing student.B. Preparing for the exams.C. Organising a dance party.听下面一段对话，回答第3~5题。

3. What is the relationship between the speakers?A. Friends.B. Strangers.C. Workmates.4. Why doesn’t the woman want to buy her ticket online?A. She doesn’t know how to use the Internet.B. She doesn’t have a credit card.C. She doesn’t think it is safe.5. What do we know about the man?A. He is a teacher.B. He doesn’t like to fly.C. It’s his first trip to China.听下面一段对话，回答第6~8题。