北师大版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第五章 分式与分式方程 5.3 第2课时 异分母分式的加减
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程第五章：5.4分式方程教学设计
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程5.4 分式方程教学设计教学目标1.掌握分式方程的基本概念和解题方法；2.能够运用所学知识解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
教学重难点教学重点1.分式方程的基本概念和解题方法；2.运用所学知识解决实际问题。
教学难点1.分式方程解题过程中的逆向思维；2.分式方程与实际问题的联系。
教学内容及方法教学内容1.分式方程的定义和基本性质；2.分式方程的解法；3.运用分式方程解决实际问题。
教学方法1.讲授与练习相结合；2.示范教学法；3.课堂讨论法。
教学过程设计第一步：导入新内容（10分钟）教师通过一道简单的例题引入分式方程的概念和解题方法，让学生了解分式方程解决实际问题的重要性。
第二步：系统讲解（30分钟）1.分式方程的定义和基本性质；2.分式方程的解法；3.运用分式方程解决实际问题。
第三步：课堂练习（30分钟）老师出一些练习题，通过课堂练习帮助学生更好地掌握分式方程的解题方法和应用。
第四步：课堂讨论（20分钟）老师邀请部分同学上台演示解题过程，其他学生可以就解题过程中遇到的问题进行讨论和交流。
第五步：课堂总结（10分钟）老师进行知识总结，梳理学习重点，让学生对本节课所学知识有更深层次的理解和掌握。
教学评估通过课堂练习和课堂讨论，教师可以全面了解学生对所学知识的掌握情况，进行课堂评估和针对性指导和提高。
教学资料教学资料包括教学课件、教材、练习册等。
教学课件包括教师准备的PPT课件、学生自己整理的个人笔记等。
教材是教师讲授的主要依据。
练习册是学生课后巩固所学知识的重要资料。
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 1 认识分式教案 (新版)北师大版
1 认识分式第1课时一、教学目标 1.知识与技能了解分式的概念，明确分式与整式的区别． 2.过程与方法（1）让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的有效数学模型；（2）理解分式有无意义、分式的值为零的条件，并能熟练求出. 3.情感态度及价值观培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索、合作交流. 二、教学重点、难点 重点：了解分式的概念．难点：分式有无意义、分式的值为零的条件． 三、教具准备 课件. 四、教学过程 （一）创设情景面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2 400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？（2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要__________个月，实际完成一期工程用了__________个月；根据题意，可得方程___________________． 分析：（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷；原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月.月）完成一期工程的时间（积实际每月固沙造林的面公顷=2400.（2），，3024002400+x x 4302400-2400=+x x .通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意义，发展符号感． （二）做一做一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果售价是多少元？进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义． （三）议一议上面问题中出现了的这些代数式2400x ，240030x +，am n-，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称BA为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念．教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背． （四）巩固应用 例 对于分式aa 21+： （1）当a =1，2时，求分式aa 21+的值； （2）当a 取何值时，分式aa 21+有意义？ 解：（1）当a =1时，；1121121=⨯+=+a a当a =2时，；43221221=⨯+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义． 由分母2a =0，得a =0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义． 对于例题（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a 本身是可以表示任何数的，但这里a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）． （五）课堂小结想一想：什么是分式？分式中的分母应注意些什么？通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． （六）教学反思第2课时一、教学目标 1.知识与技能 （1）分式的基本性质；（2）利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形； （3）了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法； （4）使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式. 2.过程与方法（1）能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质； （2）培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力. 3.情感态度及价值观通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣. 二、教学重点、难点重点：（1）分式的基本性质； （2）利用分式的基本性质约分； （3）将一个分式化简为最简分式. 难点：分子、分母是多项式的约分. 三、教具准备 课件. 四、教学过程（一）复习分数的基本性质，推想分式的基本性质. ［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：21+ 31. ［生］21+31=3231⨯⨯+2321⨯⨯=63+62=65. ［师］这里将异分母化为同分母，21=3231⨯⨯=63, 31=2321⨯⨯=62.这是根据什么呢？ ［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？（二）新课讲解 1.分式的基本性质 多媒体出示.［生］（1）将6的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即6=36÷=2. 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变. （2）分式a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21; 分式mn n 2与m n也是相等的.在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=mn .［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变. ［师］在运用此性质时，应特别注意什么？［生］应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.下面我们就来看一个例题.（多媒体出示）［生］在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在x2的分子、分母中同乘y ，即可得到右边，即x b 2=y x yb ⋅⋅2=xyby 2； ［师］很好！在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？ ［生］在（2）中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax =x bx x ax ÷÷=ba . ［生］“x ”如果等于“0”，就不行. 在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”，bx ax 中分母就为“0”，分式bxax将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bxax 得到b a ，bx ax必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0.［师］这位同学分析得很精辟！ 2.分式的约分［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简. 我们不妨先来回忆如何对分数化简.［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41. ［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（多媒体出示）做？［生］约去分子、分母中的公因式.（1）中a 2bc 可分解为ac ·（ab ）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac. ［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.［师］回答得很好.可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简呢？ ［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.［师］这个主意很好.现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下.［生］解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x . ［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式.［师］在例3中，ab bc a 2=ac ，即分子、分母同时约去了整式ab ； 12122+--x x x =11-+x x ，即分子、分母同时约去了整式（x －1）.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（多媒体出示）［生］解：（1）y x 220=)5()4(xy x ⋅=x4;（2）)()(b a b b a a ++=ba.［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（多媒体出示）.［生］我认为小颖的做法中，220x 中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果. ［师］很好！y x xy 2205如果化简成x41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式. （三）巩固、提高 1.填空： （1）y x x -2=))(()(y x y x +-; （2）)(1422=-+y y .1. 解：（1）因为y x x -2=))(()(2y x y x y x x +-+=))((222y x y x xy x +-+，所以括号里应填2x 2+2xy; （2）因为422-+y y =)2)(2(2-++y y y =21-y ， 所以括号里应填y －2. 2.化简下列分式：（1）2332912y x y x ;（2）3)(y x yx --.2. 解：（1）2332912y x y x =)3()3()3()4(2222y x x y x y ⋅⋅=xy34;（2）3)(y x y x --=)()()(2y x y x y x -⋅--=2)(1y x -. （四）课堂小结［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）［生］数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质. ［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简. ［生］化简分式时，结果一定要求最简. （五）教学反思。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.2分式的乘除法(教案)
在上完这节分式乘除法的内容后，我认真反思了自己的教学过程。首先，我发现学生们对分式乘法法则的理解相对较好，他们能够较快地掌握分子乘分子、分母乘分母的基本规则。但在约分环节，部分学生还是显得有些吃力，对如何寻找分子和分母的公因数不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的课程中增加一些约分的练习，帮助学生巩固这一技能。
本节课旨在帮助学生掌握分式的乘除法，培养其运算技巧和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过分式乘除法的学习，使学生能够理解和掌握分式运算的规律，提高逻辑推理和运算能力。
2.增强数学抽象素养：让学生从具体的分式乘除运算中抽象出一般规律，培养数学抽象思维。
3.提升数学建模素养：学会将现实问题转化为分式乘除运算问题，通过数学建模解决实际问题。
2.教学难点
-约分技巧：在分式乘除运算过程中，能够正确识别并实施约分，简化结果。
-难点举例：在计算过程中，学生可能会忽略分子与分母的公因数，导致结果未能简化到最简形式。
-分式乘除的符号处理：在运算过程中，学生可能会对正负符号处理不当，导致最终结果错误。
-难点举例：在计算过程中，如何正确处理同号得正、异号得负的规则。
-约分：在乘法过程中，对分子和分母进行约分。
2.分式除法法则：介绍分式除法的运算规则，使学生能够熟练运用分式除法解决问题。
-除法法则：将除法转换为乘法，即乘以倒数；
-约分：在乘法过程中，对分子和分母进行约分。
3.分式乘除混合运算：结合实际例题，让学生学会处理分式乘除混合运算，提高运算能力。
4.应用举例：通过典型例题，让学生巩固所学分式乘除法知识，并学会运用到实际问题中。
然而，我也注意到在学生小组讨论的过程中，有些学生过于依赖同伴，没有独立思考。为了解决这个问题，我计划在接下来的课程中，加强对学生的引导，鼓励他们提出自己的观点，培养独立思考的能力。
北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2 分式的乘除法 教案
数学八年级下北师大版第五章第二节《分式的乘除法》教学设计一、内容分析1. 教材的地位及作用本节课为北师大版数学教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第二节《分式的乘除法》的内容，本节课是学生初中阶段代数部分学习的一个重要内容.在知识的联系上，本节是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础.在能力的培养上，学生的运算能力和逻辑思维能力得到了发展和提高.在数学思想方法上，本节课是培养学生类比的一个好素材，同时培养了学生的探索精神和用数学的意识.2. 学情分析（1）从心理学的分析来说，初二学生处于逻辑抽象的起点，思维发展的转折点，表现从经验型思维向理论型思维转化的特点.他们身心发展较快，对事物发展的好奇心强，有一定的求知欲，需要我们不断引导.（2）经过七年级的学习，学生已经具备了一定的知识储备知识技能和良好的数学学习习惯，并且学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解，通过与分数的乘除法类比，促进知识的正迁移.（3）八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习.3. 教学目标（1）知识技能：理解分式的乘除运算法则；会进行简单的分式的乘除法运算.（2）数学思考：经历探索分式的乘除法法则的过程，让学生熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法，感知数学知识具有普遍的联系性.（3）问题解决：会用分式乘除法法则进行分式乘除法运算，并能解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.（4）情感态度：通过师生观察、猜想、讨论、交流、归纳，培养学生合作探究的意识和能力，同时增强学生的创新意识和应用意识，使学生体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣，了解数学的价值，同时化简分式的最简结果也让学生感受到数学的简洁美.4.教学重点难点重点：分式乘除法的法则及应用.难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算.二、教法学法1. 教法分析教育的本质在于引导的艺术，为了充分调动学生学习的积极性，培养学生的运算能力，使本节课教学丰富有效，本课的教法为：在教师的引导下学生经历“类比分数――观察猜想――归纳明晰――理解应用”的活动过程，体会知识的形成和应用，感受学习过程中数学方法的渗透.采用ppt辅助课堂教学，直观呈现教学素材，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，体验在数学学习活动中探索的乐趣，体会数学的应用价值.2. 学法指导学习过程中，充分引导学生积极思维，让每个学生都动口、动手、动脑，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性.三、教学过程归纳分式的乘法法则：两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积归纳分式的乘法法则：两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘.四、板书设计。
北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2 分式的乘除法 教案
数学八年级下北师大版第五章第二节《分式的乘除法》教学设计一、内容分析1. 教材的地位及作用本节课为北师大版数学教材八年级下册第五章《分式与分式方程》第二节《分式的乘除法》的内容||，本节课是学生初中阶段代数部分学习的一个重要内容.在知识的联系上||，本节是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上||，进一步学习分式的乘除法；另一方面||，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础.在能力的培养上||，学生的运算能力和逻辑思维能力得到了发展和提高.在数学思想方法上||，本节课是培养学生类比的一个好素材||，同时培养了学生的探索精神和用数学的意识.2. 学情分析（1）从心理学的分析来说||，初二学生处于逻辑抽象的起点||，思维发展的转折点||，表现从经验型思维向理论型思维转化的特点.他们身心发展较快||，对事物发展的好奇心强||，有一定的求知欲||，需要我们不断引导.（2）经过七年级的学习||，学生已经具备了一定的知识储备知识技能和良好的数学学习习惯||，并且学生已经学习分式基本性质、分式的约分和因式分解||，通过与分数的乘除法类比||，促进知识的正迁移.（3）八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高||，自学能力较强||，通过类比学习加快知识的学习.3. 教学目标（1）知识技能：理解分式的乘除运算法则；会进行简单的分式的乘除法运算.（2）数学思考：经历探索分式的乘除法法则的过程||，让学生熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法||，感知数学知识具有普遍的联系性.（3）问题解决：会用分式乘除法法则进行分式乘除法运算||，并能解决简单的实际问题||，增强应用意识||，提高实践能力.（4）情感态度：通过师生观察、猜想、讨论、交流、归纳||，培养学生合作探究的意识和能力||，同时增强学生的创新意识和应用意识||，使学生体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣||，了解数学的价值||，同时化简分式的最简结果也让学生感受到数学的简洁美.4.教学重点难点重点：分式乘除法的法则及应用.难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算.二、教法学法1. 教法分析教育的本质在于引导的艺术||，为了充分调动学生学习的积极性||，培养学生的运算能力||，使本节课教学丰富有效||，本课的教法为：在教师的引导下学生经历“类比分数――观察猜想――归纳明晰――理解应用”的活动过程||，体会知识的形成和应用||，感受学习过程中数学方法的渗透.采用ppt辅助课堂教学||，直观呈现教学素材||，激发学生的学习兴趣||，提高学习效率||，体验在数学学习活动中探索的乐趣||，体会数学的应用价值.2. 学法指导学习过程中||，充分引导学生积极思维||，让每个学生都动口、动手、动脑||，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算||，充分发挥学生学习的主动性.三、教学过程节教师活动情境引入请你来帮忙！同学们||，请你们来帮助老师算一算老师在火星上的体重是变重了还是变轻了？学生积极运算并回答.教师根据学生的回答板书算式：162738239183291=⨯⨯=⨯该问题的提出||，立刻给课堂注入活力||，极大的激发了学生的学习兴趣||，同时引出分数的乘除法||，为后面类比得到分式的乘除法做好准备||，同时数学的应用价值也得以体现.探究新知1.复习分数的乘法法则162738239183291=⨯⨯=⨯叙述法则并填空：两个分数相乘||，把分子相乘的积作为积的分子||，把分母相乘的积作为积的分母;2.复习分数的除法法则3364823913829183291=⨯⨯=⋅=÷学生独立运算||，回忆并能够语言描述分数的乘除法法则.通过引例得到分数乘法算式||，启发引导学生依据算理回顾分数乘法法则.以同样思路复习回顾分数的除法法则.分数的除法运算关键叙述法则：两个分数相除||，把除式的分子分母颠倒位置后||，再与被除式相乘.3.类比得分式的乘法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相乘||，把分子相乘的积作为积的分子||，把分母相乘的积作为积的分母;4.类比得分式的除法法则归纳分式的乘法法则：两个分式相除||，把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘.5.分式乘法拓展-分式乘方：教师引导提问||，提示学生类比分数的乘除法运算法则.学生全面参与||，独立思考||，广泛交流||，自主归纳出法则.学生思考并解答||，教在与将除法运算转化为乘法运算||，体现转化思想.类比分数的乘除法法则得到分式的乘除法则||，由学生自己尝试探索猜想、归纳总结||，把课堂还给学生||，激发学生自主学习的积极性.探索的过程体现了从特殊到一般的思想方法||，符合学生的认知规律||，易于学生理解、接受||，同时培养学生观察分析、猜想、归纳的能力||，及有条理的思维和表达西瓜划算还是买小西瓜划算”||，引起学生质疑和兴趣||，引出计算体积||，再与学生共同讨论分析后||，根据三个问题的设问层层递进||，降低问题的难度||，得以顺利解决.此题一方面巩固了分式乘除法法则||，应用了n na b a b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n的关系进行讨论||，培养了学生的钻研精神和发散思维||，提高了学生的运算能力 ||，培养了学生的应用意识||，体现了数学的价值.小结提升将本节课知识梳理如下：学生回答相互补充||，交流||，归纳.课堂小结是对整节课的完整概括||，框图形成了完整的知识结构||，清晰明了.四、板书设计。
北师大初中八年级数学下册《第五单元分式与分式方程》教案
第五单元分式与分式方程第一课时 分式教学目标1.掌握分式的基本性质和分式的约分；2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力通过对分式的约分提高分析，解决问题的能力；3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力． 教学重点：会利用基本性质进行运算 教学难点：把分式化简成最简分式 教学过程第一环节 知识准备（5分钟，教师引导学生回顾） 复习分数的基本性质． 问题：2163 的依据是什么？第二环节 情景引入（5分钟，教师引导学生发现性质，归纳性质） 通过对上题的回答，来回答本题，寻求两者之间的联系．与同伴讨论交流，从而归纳出分式的基本性质．你认为分式a a 63与21相等吗？m nm 2与m n呢？第三环节 例题讲解（15分钟，教师板演，讲解约分注意事项，学生领会并识记）例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?（1）)0(22≠=y xyby x b （2）b abx ax = 例2、化简下列分式：（1）ab c ab 2 （2）12122+--x x x通过例1加深学生对分式的基本性质的理解和应用．例2让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．引导学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基本性质进行约分，使结果为最简分式或整式．实际教学例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的? （1）)0(22≠=y xyby x b （2）b abx ax = 第四环节 课堂反馈（10分钟，学生独立完成） 做一做 1．填空 （1）()()()y x y x y x x +-=-________2 （2）()_______1422=-+y y 2．化简 （1）yx xy2205 （2）)()(b a b b a a ++ 议一议 在y x xy 2205时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为y x xy2205=2205xx ，而阿呆认为y x xy2205=xxy x xy 41545=∙，你对他们的做法有何看法?与同伴交流．第五环节课堂小结（5分钟，引导学生进行总结）通过问题的形式让学生自己总结出这节课的主要内容，谈谈在学习过程中有哪些困难和新发现．这节课你有哪些收获？在小结时学生能总结出本节课的重点是分式的基本性质，利用它可将分式化简，教师还可引导学生归纳出分式约分的步骤一是确定分子和分母的公因式，二是利用分式的基本性质，将分子和分母的整体都除以公因式。
北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程5.2分式的乘除法教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程5.2节，主要内容包括分式的乘法法则、分式的除法法则以及分式的乘除混合运算。具体教学内容如下：
1.分式的乘法法则：
-两个分式相乘，只需将分子与分子相乘，分母与分母相乘；
-如果分式中有相同的因式，可以约分。
在实践活动中，分组讨论的环节进行得相当顺利。学生们积极参与，提出了不少实际生活中的例子来应用分式乘除法。我感到很高兴看到他们能够将数学知识联系到生活中，这样的学习方式有助于提高他们的兴趣和实际应用能力。
但是，我也注意到在小组讨论中，有些学生过于依赖同伴，没有独立思考。为了鼓励每个学生都能积极参与，我打算在下次课中增加一些个人展示的环节，让每个学生都有机会表达自己的观点和解决问题的方法。
2.分式的除法法则：
-两个分式相除，等于第一个分式乘以第二个分式的倒数；
-将除法转换为乘法后，同样可以约分。
3.分式的乘除混合运算：
-先进行乘法运算，再进行除法运算；
-可以根据运算顺序和运算法则，简化计算过程。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几点：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过分式乘除法则的推导和应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑思维水平。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 4 分式方程教案 (新版)北师大版
4 分式方程第1课时一、教学目标 1.知识与技能（1）理解分式方程的概念；（2）能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义． 2.过程与方法体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义． 3.情感态度及价值观在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力． 二、教学重点、难点重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程． 三、教具准备 课件. 四、教学过程（一）创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《认识分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1）我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型． 接下来，我们再来看几个这样的例子． （二）讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．（多媒体出示） 1.［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9 000 kg 和15000 kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程_________ ___．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生1］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积． ［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生2］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ） ［生3］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ． ［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000.（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题.（多媒体出示） 2.［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？ 这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元． 根据题意，可得方程____________． ［师］我们先来审题，找到题中的等量关系． ［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ） ［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ） ［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？ ［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］很好！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法： 设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程x 300－4=x2480.（4） ［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y300；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y ，根据题意，利用等量关系（c ），得方程2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，鼓励一下他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好． 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．（三）随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x+102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元． 解：x 满足的方程是101×x+102000=200．2．某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，根据题意得x x +-8040=41．（四）课堂小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程． （五）教学反思第2课时教学目标 1.知识与技能（1）掌握解分式方程的一般步骤； （2）理解检验分式方程的根的必要性． 2.过程与方法（1）通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤； （2）使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径． 3.情感态度及价值观（1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度； （2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．二、教学重点、难点重点：（1）解分式方程的一般步骤； （2）检验分式方程的根的必要性． 难点：明确解分式方程验根的必要性． 三、教具准备 课件. 四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程：213-x +325+x =2－624-x［师生共解］解：去分母，方程两边同乘分母的最小公倍数6，得 3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）， 去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2， 移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4， 合并同类项，得23x =13， 系数化为1，得x =2313． （二）讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了解一元一次方程的步骤．下面我们来看一个分式方程． ［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［生］可以．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘x （x －2），得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x3， 整理，得x =3（x －2）． （2）［师］我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为了整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即去括号，得x =3x －6.移项、合并同类项，得2x =6.系数化为1，得x =3．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［师］x =3是由一元一次方程x =3（x －2）（2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解． ［师］请同学们用同样的方法完成例2的解答． ［例2］解方程：x 300－x2480=4. （由学生在练习本上试着完成，然后师生共同解答）. 解：方程两边同乘2x ，得600－480=8x. 解这个方程，得x =15.检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边， 所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下.（多媒体出示，先隐藏小亮的解法） 议一议： 解方程：32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并共同分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2. 解：方程两边同乘（x －3），得2－x =－1－2（x －3） 解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解． ［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根． ［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？ ［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ 学生先思考，教师再讲解.［师］产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误． （三）应用，升华 1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x215-=2． 2．回顾，总结想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ ［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根． 3．解分式方程： （1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=xa a -（a ，h 常数）.（四）课堂小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．（五）教学反思第3课时一、教学目标1.知识与技能会利用分式方程的数学模型反映、解决现实情境中的实际问题．2.过程与方法经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力；3.情感态度及价值观（1）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；（2）培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．二、教学重点、难点重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．（2）根据实际意义检验解的合理性．难点：寻求实际问题中的等量关系．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．（二）讲授新课做一做（多媒体出示）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一起来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1） ［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］很好，下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元.根据题意，得x 102000=x96000+500. 解这个方程，得x =12.经检验x =12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得 第一年每间房屋的租金为1296000=8 000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8 500（元）． ［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x . 解得x = 8000.x +500=8 500（元）.经检验，x =8 000是原分式方程的解，也符合题意． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？ ［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m 3的水费与超出5 m 3部分的水费． ［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5 m 3部分的水每立方米收费为x 元，则1月份张家超出5 m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x55.15.17⨯- m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯- m 3；李家超出5 m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m 3的用水量为x55.15.27⨯- m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3.根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x55.15.27⨯-+5）×32.解这个方程，得x =2． 经检验x =2是所列方程的根．所以超出5 m 3部分的水每立方米收费2元． （三）随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本每本的价格各是多少？［师］我们先来找到题中的等量关系．［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本；硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21）. ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题． ［生］解：设软皮本每本的价格为x 元，则硬皮本每本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1 解得x =5.经检验x =5是原方程的根，也符合题意.所以（1+21）x =23×5=7.5（元）. 答：软皮本每本的价格为5元，硬皮本每本的价格为7.5元.（四）课堂小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．（五）教学反思。
新北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 4. 分式方程 认识分式方程》教案_6
第五章分式与分式方程4．分式方程（一）一、教学目标知识与技能:1、理解分式方程的概念2、能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义过程与方法:1、通过列出的方程归纳出它们的共同特点,得出分式方程的概念2、了解分式的概念,体会分式方程和整式方程的区别和联系,使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想情感态度价值观在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和坚持拼搏的精神,并从中获得成就感,提高解决问题的能力二、学情分析学生的知识技能基础:能熟练准确地解一元一次方程;已学过分式的定义;了解分式有意义的条件;能利用分式的基本性质进行约分通分;课前预习知晓分式方程的概念。
学生活动经验基础:八年级的学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题的能力,并对发现新问题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望。
三、重点和难点教学重点:理解分式方程的概念教学难点:能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义四、教学过程第一环节引入新课活动内容一：从西安马拉松的背景引入，学生体会历史人文气息的西安的魅力。
西安作为十三朝古都，唐风秦韵、满腹经纶，其历史文化底蕴更为深厚。
西安国际马拉松赛通过精选出古城西安的特色景观，将体育与文化融合，让即将奔跑在这座城市的人更贴切的感受到古城的魅力。
学生从西马中体会到坚持和拼搏的精神。
活动目的: 学生从马拉松中感受古都西安的魅力和体会到竞赛中的坚持和拼搏的精神。
活动内容二：(1)西马男子第一名为埃塞俄比亚利选手耶夫斯亨戈比德（小利），跑步新秀小萱也在顺利完成比赛，小利和小萱两人匀速跑步，小利每小时速度比小萱快11km，已知小利跑步2.3小时和小萱跑步6小时所走的路程相等，求小利和小萱两人的跑步速度。
（根据题意列方程，不需求解）活动目的: 为了让学生经历从实际问题抽象、概括整式方程这一“数学化”的过程,体会整式方程的模型在解决实际生活问题中作用,引导学生努力寻找问题中的所有等量关系,发展学生分析问题、解决问题的能力，并复习列整式方程的方法。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（3）分式方程：掌握解分式方程的方法，如去分母、移项、合并同类项等。
举例：讲解如何解分式方程\(\frac{2x+1}{3} = \frac{4}{x}\)，引导学生去分母、移项，得到\(2x^2 + x = 12\)。
（4）分式的应用：培养学生将分式知识应用于实际问题，提高问题解决能力。
举例：通过实际问题（如速度、比例等）引入分式的应用，让学生学会如何建立分式方程解决问题。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程（教案）
一、教学内容
2020-2021学年北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程：
1.分式的定义与性质
-分式的概念
-分式的性质
-分式的约分与通分
2.分式的运算
-分式的加减乘除
-分式的乘方与开方
3.分式方程
-分式方程的解法
北师大版八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 5.2《分式的乘除法》教案
课题：分式的乘除法
教材：（北师大版）义务教育课程标准实验教科书
八年级《数学》下册第五章第2节
一、教学目标
（一）教学知识点
1、分式乘除法的运算法则，
2、会进行分式的乘除法的运算.
（二）能力训练要求
1、类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则.
2、在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.
3、用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.
（三）情感与价值观要求
1、通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感.
2、培养学生的创新意识和应用数学的意识.
二、教学重点、难点
重点：让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.
难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.
三、教学方法与手段
采用引导、启发、探求相结合的教学方法；采用多媒体辅助教学。
2
b a
22
1
1a a a -+
五、板书设计：。
最新BS北师大版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第五章 分式与分式方程(第5单元全章 教案)
B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4
D．x≠－2，x≠－3
解析：∵ ≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0且x＋4≠0，解得x≠－2，x≠－3，x≠－4，故选C.
方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.
【类型三】分式的乘除法的应用
解：原式＝ · · ＝ .将x＝－ ，y＝ 代入得原式＝－6.
方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式是解决此类问题的常用方法．
三、板书设计
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．
解：设花生的总产量是1， ÷ ＝ (倍)．
答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的 倍．
方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
【类型四】分式乘除法的混合运算
计算： · ÷ .
解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．
解：原式＝ · · ＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
(2)－3xy÷ ＝－ .
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．
【类型二】根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围
若式子 ÷ 有意义，则x的取值范围是()
本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通.
北师大版八年级数学下册教学设计：第五章《分式与分式方程》复习
第五章分式与分式方程小结与复习教案一、《标准》要求1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算.2、能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有关模型.3、能解可化为一元一次方程的分式方程.4、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.二、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.三、教学任务分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用.四、学习目标1、回顾本章各个知识点，进一步认识分式的有关知识的内在联系.2、进一步巩固分式的运算，分式方程的应用，体会转化思想.五、重点和难点教学重点:分式的基本性质及有关运算教学难点：分式方程的实际应用六、教学过程第一环节：回顾知识要点观察本章知识框架，复习本章知识点，并完成下面各个要点活动内容：（设计意图）通过对本章知识框架的复习，查找平时学习中的可能存在的问题，思考分式与整式、代数式、分数的知识之间的联系.第二环节：鼓励学生独立填写各个知识点知识点1、认识分式1.分式的概念：一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.2.分式有意义的条件：对于分式当_______时分式有意义；当_______时无意义.3.分式值为零的条件：当___________时，分式的值为零.4.分式的基本性质：分式的符号法则:5.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.6.分式的通分：根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.7.分式的乘除法则：分式的乘方法则：8.分式的加减法则：(1)同分母分式的加减法则： .a b a b c c c ±±= (2)异分母分式的加减法则：.a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 9.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.10.分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.（设计意图）：学生独立完成每个知识点的，进一步巩固本章的所学内容.由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍.通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力.第三个环节：针对训练例1、填空题：（1）如果某商品降价x%后售价为a 元，那么该商品的原价是 元.（2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是 .（3）当x 时，分式 有意义.（4）当x 时，分式的值为0.例2、 如果把分式x x y +中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的3倍 B.不变C.缩小为原来的D.缩小为原来的例3、下列变形正确的( ) 22.a a A b b= 22.a b a b B a a --= 22.11x x C x x--=-- y x xy y x D 9296.22=- 例4、已知x=12-, y= 12+，求22112()2x x y x y x xy y +÷+--+值. 例5、例6、某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（ ）A 、319090=--x x B 、390190=--x x C 、 319090=+-x x D 、390190=-+x x 例7、某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？（设计意图）：有了前面的学习，学生分式的概念，分式的运算，分式方程和对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，学生能够理解解分式方程的步骤.通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.七、教学反思通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.学生能较好地掌握分式及其运算的基本知识与基本技能，使学生了解不同情况下分式的运算技巧.因学生在此之前并未接触过这种题型，从而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题.八、教学反馈分式是表示具体情境中数量的模型，它是分数的“代数化”，它的性质、运算与分数的性质、运算完全相似，它是代数运算的基础之一.在教学过程中，注重对分式运算算理的理解是教学要注意的重点，没有必要一味地追求运算的复杂性与难度，否则会因为经常出现错误而导致学生对分式的运算失去信心，这是得不偿失的做法，也与《数学课程标准》所倡导的理念相违背.在运算过程中，要注意部分学生将分式的运算与解分式方程混为一谈，不加思索地将分式的运算中的分母去掉，造成运算的不合理，在教学中要注意到发展学生的合情推理能力.。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1分式的基本性质教案
1．分式（二）（一）教材剖析：学生在前方学过分数的基天性质和最简分数，上节课才学习了分式的观点，对这些内容掌握的比较好。
因此，本节课的教课内容不难，学生简单掌握，能够激起他们学习的欲念和着手的能力，踊跃主动地参加讲堂活动，提升自主学习的能力。
（二）学习目标 :知识与技术 :1、娴熟掌握分式的基天性质和最简分式的观点。
2、利用分式的基天性质对分式进行“等值”变形。
3、认识分式约分的步骤和依照，掌握分式约分的方法。
过程与方法：启迪学生学会察看、剖析、找寻解题的门路，提升他们剖析问题和解决问题的能力。
感情、态度与价值观：经过分数与分式的比较，培育学生优秀的类比联想的学习习惯和思想方法，并培育学生谨慎的科学态度。
（三）教课要点：分式基天性质和约分的方法。
（四）教课难点：利用分式的基天性质对分式约分。
（五）教课方法：解说法练习法（六）、教课过程本节课设计了六个环节：知识准备——情形引入——例题解说——讲堂反应——讲堂小结——作业部署。
第一环节知识准备活动内容：复习分数的基天性质．问题：（1）3 1的依照是什么？它是给分数的分子和分母同时约去了什么数？6 2活动目的：经过分数的约分复习分数的基天性质，经过类比来学习分式的基天性质．注意事项：学生关于分数的基天性质掌握较好，基本能说出分数的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。
第二环节情形引入活动内容：经过对上题的回答，往返答此题，追求二者之间的联系．与伙伴议论沟通，进而概括出分式的基天性质．问题：你以为分式3a与1相等吗？m2与n呢？6a2mn m他们分别是给分式的分子和分母同时约去什么代数式？此中的3a 和 n 为零吗？为何？提示 :可类比分数的基天性质 ,勇敢推理 .进一步思虑 :为何能够类比 ?活动目的：让学生经过察看，类比，推理出分式的基天性质，并让学生理解类比的原因是字母能够表示任何数．注意事项：经过对分数的基天性质的理解，可类比得出分式的基天性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不简单想到整式，此外这个整式不可以为零，老师要指引学生想到这一点．易错点提示 :(1)分式的分子与分母没有同时乘以或除以;(2)分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个整式;(3)整式不可以为零．第三环节例题解说活动内容：例 1、以下等式的右侧是如何从左侧获得的?（ 1）b by(0)（）ax ay2x2xy2bx b 例 2、化简以下分式：（1） ab 2c（2）2 x 21ab x2x 1活动目的：经过例 1 加深学生对分式的基天性质的理解和应用．例 2:在 (1)中相当于分子、分母同时约去了整式 ab ;在（２）中相当于分子、分母同时约去了整式 x-1；让学生认识把一个分式的分子和分母的公因式约去，这类变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．指引学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基天性质进行约分，使结果为最简分式或整式．明确：（1）、关于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等。
春八年级数学下册 第5章 分式与分式方程 2 分式的乘除法教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初
2 分式的乘除法教学目标一、基本目标1．能正确理解分式乘除法的法则，能类比分数乘除法的法则得出分式乘除法的法则．2．能解决一些与分式乘除法有关的简单的实际问题．3．会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力．二、重难点目标【教学重点】利用法则计算分式乘除法，并解决简单的实际问题．【教学难点】类比分数的乘除法，归纳得到分式乘除法的法则．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P114～P115的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式乘除法的法则：(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，用字母表示为b a ·c d ＝bc ad. (2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．用字母表示为b a ÷d c＝b a ·c d ＝bc ad. 2．计算x y ·y 2x 的结果是12. 3．化简m －1m ÷m －1m 2的结果是m . 4．下列计算正确吗？若错误，要怎样改正？(1)b a ·a b ＝1；(2)b a÷a ＝b ； (3)x 2b ·6b x 2＝3b x ；(4)4x 3a ÷a 2x ＝23.解：(1)正确．(2)错误．正确的是b a 2.(3)错误．正确的是3x .(4)错误．正确的是8x 23a 2. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算下列各式：(1)3xy 24z 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8z 2y ； (2)－3xy ÷2y 23x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算．【解答】(1)3xy 24z 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8z 2y ＝－6xy . (2)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x 22y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据分式乘除法法则进行计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值X 围是( C ) A ．x ≠－2，x ≠－4B ．x ≠－2C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4D ．x ≠－2，x ≠－32．计算：(1)3a 4b ·16b 9a 2； (2)12xy 5a÷8x 2y ； (3)－3xy ÷2y 23x. 解：(1)43a . (2)310ax . (3)－9x 22y. 3．计算： (1)x 2－4x 2－4x ＋3÷x 2＋3x ＋2x 2－x； (2)2x ＋64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x. 解：(1)x x －2x －3x ＋1.(2)－2x ＋3x －2x －3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？【互动探索】不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2＋b 2)平方米，老李家种植的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．【解答】设花生的总产量是1，1a 2＋b 2÷12ab ＝2ab a 2＋b 2. 即老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的2ab a 2＋b 2倍． 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除． 练习设计请完成本课时对应练习！。
春八年级数学下册 第5章 分式与分式方程 1 认识分式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八
1 认识分式第1课时 分式的有关概念教学目标 一、基本目标1．了解分式的概念，明确分式与整式的区别．2．经历用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感．3．通过教材土地沙化问题的情境，体会保护人类生存环境的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念． 【教学难点】分式有(无)意义的条件，分式值为0的条件． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 108～P109的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成AB的形式．如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．2．分式有意义的条件是分母不为0.分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3．下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.4．当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值等于0?(1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2无意义．当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．当x ＝－5时，分式x ＋53－2x 的值等于0.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1 ； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1. 值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为0一定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值X 围是( D ) A ．x ≠1B ．x≥0C ．x ≠0D ．x≥0且x≠12．若分式2x －13x ＋5有意义，则x 的取值X 围是x≠－53.3．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x 的值是1.4．对于分式x －m －nm －2n ＋3x ，已知当x ＝－3时，分式的值为0；当x ＝2时，分式无意义．试求m 、n 的值．解：∵当x ＝－3时，分式的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－m －n ＝0，m －2n －9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n≠9.又∵当x ＝2时，分式无意义， ∴m －2n ＋3×2＝0，即m －2n ＝－6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x9y 4，….(其中x≠0)(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n(n 为正整数)个分式，并简单说明理由．【互动探索】(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．【解答】(1)观察各分式的规律可得，第6个分式为－x13y 6.(2)由已知可得：第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且第偶数个分式为负，∴第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．2．分式AB 有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式AB 值为0的条件：当A ＝0，B≠0时，分式的值为0.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 分式的基本性质教学目标 一、基本目标1．能正确理解和运用分式的基本性质．2．通过与分数的基本性质相比较，归纳得出分式的基本性质，体验类比的思想方法． 二、重难点目标 【教学重点】理解分式的基本性质，会进行分式的化简． 【教学难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 110～P112的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这一性质可以用式子表示为：b a ＝b ·m a ·m ，b a ＝b ÷ma ÷m(m ≠0)．2．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．3．分式的分子、分母及分式本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分式的值不变；若只改变其中一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.5．约分：(1)a 2bc ab ； (2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac .(2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac3bd.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A ．.2x ＋12＋5xB ．.x ＋54＋xC ．2x ＋1020＋5xD ．2x ＋12＋x【互动探索】(引发学生思考)利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘10，得2x ＋1020＋5x . 【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘某一个数即可．【例2】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【互动探索】(引发学生思考)要约分需要先找分子、分母的公因式，如何确定公因式呢？ 【解答】(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3－a 25a 3bc 3·5c ＝－a25c.(2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x x －2y x x －2y2＝1x －2y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．活动2 巩固练习(学生独学)1．把分式2x2x －3y 中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值( B )A ．扩大为原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的52倍2．将分式x2－y x 5＋y 3的分子与分母中各项系数化为整数，结果是15x －30y6x ＋10y .3．约分： (1)－15a ＋b 2－25a ＋b ； (2)m 2－3m9－m2.解：(1)3a ＋b5.(2)－mm ＋3.4．先约分，再求值：(1)3m ＋n9m 2－n2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4. 解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1.(2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝x ＋2y x －2y x －2y 2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －y －z 3x ＋2y －z的值．【互动探索】因为条件是以比相等的形式出现，所以考虑设比值为k ，把待求式转化为关于k 的式子求值．【解答】设x 2＝y 3＝z 4＝k (k ≠0)，x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x －y －z 3x ＋2y －z ＝2k －3k －4k 6k ＋6k －4k ＝－5k8k＝－58.【互动总结】(学生总结，老师点评)当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．练习设计请完成本课时对应练习！。
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程第五章：5.4分式方程教学设计 (2)
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程5.4 分式方程教学设计教学目标通过本节课的学习，学生应该能够： - 掌握分式方程的基本概念； - 了解分式方程的解法及其应用； - 能够独立思考解决分式方程的问题。
教学重点•分式方程的概念及其应用；•分式方程的解法。
教学难点•分式方程的解法；•分式方程的应用。
教学方法•讲授法；•示范法；•互动式教学。
教学准备•黑板、粉笔、草稿纸；•课件；•教案、讲义。
教学过程1. 概念讲解1.1 什么是分式方程 - 能写成形如 $\\frac{a}{x}+b=cx$ 的方程统称为分式方程； - 分式方程中，左边是一个分数，右边是一个代数式。
1.2 同解方程的定义 - 若两个方程的解是一样的，则这两个方程称为同解方程。
1.3 分式方程的应用 - 在一些实际问题中，可能会涉及分式方程，如“一辆开了x公里的汽车上下班，每次消耗 $\\frac{10}{x}$ 升油，一周上五天班，每天来回60公里，问这辆车一周需要用多少油？” 1.4 分式方程的解法 - 思路是把分式方程化为一次方程。
- 首先，将两边都乘以x，得到a+bx=cx2； - 接着，将式子两边展开、移项，得到cx2−bx−a=0； - 最后，将其化为一次方程求解即可。
2. 例题讲解例： $\\frac{1}{x}-\\frac{1}{2}=2$ - 首先，将两边都乘以2x，得到2−x=4x； - 接着，将式子两边移项，得到5x=2； - 最后，将其化为一次方程求解，得到 $x=\\frac{2}{5}$。
#### 3. 练习 - 让学生们完成三道题目的计算。
课堂小结•本节课主要讲解了分式方程的概念及其相关知识，以及其应用和解法；•强调本节课所学知识的重要性；•鼓励学生们在理解了本节课所学知识的基础上，多加练习和思考，提高对知识的熟练掌握能力。
课后作业•作业册中相关习题。
参考文献1.《北师大版八年级数学》下册，苏军、崔建民、张书健，人民教育出版社，2018；2.《数学（八年级下册）》，浙教版，2019。
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最新BS北师大版八年级数学下册第二学期春教学设计教案第五章分式与分式方程第2课时异分母分式的加减1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)一、情境导入小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x＋1－2x－1呢？二、合作探究探究点一：分式的通分【类型一】最简公分母分式1x2－3x与2x2－9的最简公分母是________．解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．【类型二】分母是单项式分式的通分通分．(1)cbd，ac2b2；(2)b2a2c，2a3bc2；(3)45y2z，310xy2，5－2xz2.解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．解：(1)最简公分母是2b2d，cbd＝2bc2b2d，ac2b2＝acd2b2d；(2)最简公分母是6a2bc2，b2a2c＝3b2c6a2bc2，2a3bc2＝4a36a2bc2；(3)最简公分母是10xy2z2，45y2z＝8xz10xy2z2，310xy2＝3z210xy2z2，5－2xz2＝－－25y210xy2z2.方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．【类型三】分母是多项式分式的通分通分．(1)a2（a＋1），1a2－a；(2)2mn4m2－9，3m4m2－6m＋9.解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，a2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1），1a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， 2mn4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2.方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．探究点二：异分母分式的加减法【类型一】 异分母分式的加减法运算计算： (1)x x 2－4－2x 2＋4x ＋4； (2)a 2－4a ＋2＋a ＋2； (3)m m －n －n m ＋n ＋2mn m 2－n2. 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x －2)(x ＋2)2、(m ＋n )(m －n )，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a ＋2看成分母为1的式子进行通分．解：(1)原式＝x（x ＋2）（x －2）－2（x ＋2）2＝x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2）＝x （x ＋2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2）＝x 2＋4（x ＋2）2（x －2）；(2)原式＝a 2－4＋（a ＋2）2a ＋2＝2a （a ＋2）a ＋2＝2a ；(3)原式＝m （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）－n （m －n ）（m ＋n ）（m －n ）＋2mn（m ＋n ）（m －n ）＝m 2＋2mn ＋n 2（m ＋n ）（m －n ）＝m ＋n m －n. 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．【类型二】 分式的混合运算计算： (1)(x 2－4x ＋4x 2－4－x x ＋2)÷x －1x ＋2；(2)a －52a －6÷(16a －3－a －3)． 解：(1)原式＝[（x －2）2（x －2）（x ＋2）－x x ＋2]÷x －1x ＋2＝(x －2x ＋2－x x ＋2)÷x －1x ＋2＝－2x ＋2·x ＋2x －1＝－2x －1； (2)原式＝a －52a －6÷(16a －3－a 2－9a －3)＝a －52（a －3）÷（5＋a ）（5－a ）a －3＝a－52（a－3）·a－3（5＋a）（5－a）＝－110＋2a.方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．探究点三：分式运算的化简求值【类型一】先化简，再根据所给字母的值求分式的值先化简，再求值：(1x－y＋1x＋y)÷2xx2＋2xy＋y2，其中x＝1，y＝－2.解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．解：原式＝2x（x－y）（x＋y）·（x＋y）22x＝x＋yx－y，当x＝1，y＝－2时，原式＝1＋（－2）1－（－2）＝－13.方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．【类型二】先化简，再选择字母的值求分式的值先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：2x＋6x2－4x＋4·x－2x2＋3x－1x－2.解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．解：原式＝2（x＋3）（x－2）2·x－2x（x＋3）－1x－2＝2x（x－2）－1x－2＝2－xx（x－2）＝－1x.当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．【类型三】整体代入求值已知实数a满足a＋2a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1（a＋1）（a＋3）的值．解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．解：1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1（a＋1）（a＋3）＝1a＋1－a＋3（a＋1）（a－1）·（a－1）2（a＋1）（a＋3）＝1a＋1－a－1（a＋1）2＝2（a＋1）2＝2a2＋2a＋1.∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝28＋1＝29.方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．探究点四：运用分式解决实际问题有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．解：设两次航行的路程都为s.第一次所用时间为sv＋a＋sv－a＝2v sv2－a2，第二次所用时间为sv＋b＋sv－b＝2v sv2－b2，∵b＞a，∴b2＞a2，∴v2－b2＜v2－a2，∴2v sv2－b2＞2v sv2－a2.∴第一次的时间要短些．方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．三、板书设计1．分式的通分2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.。