2019年最新-动态规划资源分配问题-精选文档

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动态规划在资源管理中的应用

动态规划在资源管理中的应用在当今复杂多变的社会和经济环境中，资源管理的重要性日益凸显。

如何有效地分配和利用有限的资源，以实现最大化的效益，是各个领域都面临的关键问题。

动态规划作为一种强大的优化方法，在资源管理中发挥着至关重要的作用。

首先，我们来理解一下什么是动态规划。

简单来说，动态规划是一种通过把复杂问题分解为一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到原问题最优解的方法。

它的核心思想在于充分利用子问题的解来构建原问题的解，避免了重复计算，提高了计算效率。

在资源管理中，动态规划有着广泛的应用场景。

例如，在生产计划制定中，企业需要考虑如何在有限的时间、人力、物力等资源条件下，安排生产不同产品的数量和顺序，以实现最大的利润。

通过动态规划，可以将整个生产周期划分为多个阶段，每个阶段根据当前的资源状况和市场需求，决定最优的生产决策。

再比如，在项目管理中，资源的合理分配也是至关重要的。

一个项目通常包含多个任务，每个任务需要不同的资源投入，而且任务之间存在着先后顺序和依赖关系。

利用动态规划，可以根据项目的进度和资源需求，动态地调整资源分配，确保项目按时完成，同时降低成本。

动态规划在资源分配问题中的优势主要体现在以下几个方面。

其一，它能够处理具有阶段性和时序性的资源管理问题。

在很多情况下，资源的分配不是一次性完成的，而是随着时间的推移逐步进行。

动态规划可以根据不同阶段的资源状况和需求，做出最优的决策。

其二，动态规划可以有效地考虑资源的约束条件。

无论是人力、物力还是财力资源，往往都存在着一定的限制。

通过动态规划，可以在这些约束条件下，找到最优的资源配置方案。

其三，它能够帮助我们做出具有前瞻性的决策。

动态规划不仅仅考虑当前的情况，还会预测未来可能出现的情况，并据此做出有利于长期效益的决策。

为了更清晰地理解动态规划在资源管理中的应用，让我们来看一个具体的例子。

假设有一家公司拥有一定数量的资金，计划在未来几个月内投资多个项目。

动态规划解决资源调度问题

考虑特殊情况
对于某些特殊情况，需要单独设定初始状态或边界条件。
算法流程与实现细节
算法流程设计
根据状态转移方程和边界条件，设计算法的整体流程，包括状态更新、决策选择等步骤。
数据结构选择
选择合适的数据结构来存储状态变量和中间结果，以便高效地实现算法。
细节处理
在实现算法时，需要注意一些细节问题，如状态变量的更新方式、数组越界等。同时，为了提高算法的效率，可以采用一些优化技巧，如记忆化搜索、滚动数组等。
状态转移方程
建立状态转移方程，描述系统状态在不同决策下的变化情况。
目标函数与约束条件
根据调度目标，构建目标函数，并考虑系统约束条件，将其转化为数学表达式。
模型分析与求解思路
01
边界与初始状态分析
明确模型的边界条件和初始状态，为求解过程提供基础。
02
决策与状态转移分析
分析不同决策对系统状态的影响，以及状态转移过程中可能出现的情况
边界与状态转移方程
在动态规划中，需要定义问题的边界条件和状态转移方程，以描述子问题之间的关系和转化方式。
优缺点
动态规划方法具有高效性、可扩展性等优点，但也存在对问题结构要求较高、难以应用于非线性问题等缺点。
02
资源调度问题建模
问题描述与定义
资源类型与数量
明确系统中存在的资源类型及其可用数量，如CPU、内存、存储等。
的优化目标。
约束条件
资源调度问题通常涉及多种约束条件，如资源数量限制、任务时间要求、优先级等。
优化目标
优化目标可以是最大化资源利用率、最小化完成任务时间、最小化成本等。
动态规划方法简介
1 2 3
基本思想

动态规划方案解决资源分配问题的策略

动态规划方案解决资源分配问题的策略在幼儿教育事业中，资源分配问题是一项至关重要的任务。

如何合理、高效地分配教育资源，以满足幼儿的需求和发展，成为幼儿工作者们关注的焦点。

针对这一问题，我们引入动态规划这一优化算法，提出一套解决方案，以期为我国幼儿教育事业的发展提供有力支持。

一、背景及问题阐述随着我国经济社会的快速发展，幼儿教育事业逐渐受到广泛关注。

然而，在资源分配方面，幼儿教育仍面临诸多问题。

一方面，资源分配不均，城乡、地区之间差距较大，部分幼儿无法享受到优质的教育资源；另一方面，资源利用效率低下，导致教育成本上升，加剧了教育资源供需矛盾。

为解决这一问题，我们需要对教育资源进行合理分配，提高资源利用效率。

动态规划作为一种优化算法，具有实现全局最优、求解效率高等特点，适用于解决资源分配问题。

本文将以幼儿教育资源分配为背景，探讨动态规划在解决资源分配问题方面的应用。

二、动态规划基本原理动态规划（DynamicProgramming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为多个子问题，并通过求解子问题来实现全局最优。

动态规划的核心思想是“记住已经解决过的子问题的最优解”，从而避免重复计算。

1.确定状态：将问题分解为若干个子问题，并用状态变量表示这些子问题。

2.建立状态转移方程：找出子问题之间的关系，建立状态转移方程，表示当前状态如何通过前一个状态得到。

3.确定边界条件：设定初始状态和边界条件，为递推过程提供基础。

4.计算最优解：根据状态转移方程，从初始状态开始递推，得到问题的最优解。

5.构造最优解：根据最优解的递推过程，构造出问题的最优解。

三、动态规划解决资源分配问题的策略1.状态定义我们将资源分配问题分为两个状态：当前状态和子状态。

当前状态表示在某一时间点或某一阶段，已分配的资源总量；子状态表示在分配过程中，某一特定资源类型的分配情况。

2.状态转移方程状态转移方程是动态规划的核心，它描述了当前状态如何由子状态得到。

动态规划及其在资源分配中的应用

动态规划及其在资源分配中的应用摘要：在概述动态规划原理的基础上，提出了动态规划的数学模型建模的主要步骤，将动态规划思想运用到求解资源分配中，并通过一个实际应用例子具体说明动态规划如何解决资源分配问题。

关键词：动态规划，资源分配动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。

大约产生于20世纪50年代。

1951年美国数学家贝尔曼（R..Bellman）等人，根据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列相互联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。

与此同时，他提出了解决这类问题的“最优性原理”，研究了许多实际问题，从而创建了解决最优化问题的一种新的方法——动态规划。

动态规划的方法，在工程技术、企业管理、工农业生产及军事部门中都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。

在企业管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等，所以它是现代企业管理中的一种重要的决策方法。

许多问题用动态规划的方法去处理，常比线性规划或非线性规划更有成效。

特别对于离散性的问题，由于解析数学无法施展其术，而动态规划的方法就成为非常有用的工具。

应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考查问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。

因而，它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。

1、动态规划原理概述动态规划最优化原理可以这样阐述：一个最优化策略不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略，即其子策略总是最优的。

任何思想方法都有一定的局限性，动态规划也有其适用的条件。

如果某阶段的状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响，这个性质称为无后效性，适用动态规划的问题必须满足这个性质；其次还须满足上述最优化原理。

动态规划在资源分配中的应用

动态规划在资源分配中的应用
动态规划作为一种非常重要的数学技巧，在资源分配中有着广泛的应用。

动态规划策略实际上比较简单，按最优化一步步解决问题，使用贪心算法让计算结果最接近期望值，然后动态地调整决策策略，从而得到最优解。

在资源分配中，动态规划经常用于求解最优解，它因其快速、准确的特性而受到社会的广泛认可，在利用计算机对资源进行分配时尤其具有价值。

例如，在电力系统运行优化有关的发电机功率分配与负荷满足中，工程师们可以通过动态规划算法来完成发电机功率的最佳配置，实现最大的发电量，这样可以实现负荷满足，使电力系统的运行更加稳定可靠。

此外，动态规划的原理也可以应用于能源资源的有效使用，例如城市交通规划中，如何利用有限的公共交通资源，最大程度的满足人们的出行需求，这可以使用动态规划算法来求解，通过这种方式，可以实现有效、公平的交通规划，让城市居民受益。

同时，在服务提供等资源分配中，动态规划也有着深远的影响力。

如在IT服务系统，可以通过动态规划算法来解决服务性能面临的瓶颈问题，同时调度计算节点，使得服务响应及性能更优，实现资源的有效分配。

综上所述，可见动态规划在资源分配中的应用十分广泛，比如电力系统的发电机功率分配，城市交通规划和IT服务系统等，都可以极大地提高资源的利用率，从而节省能源，节约成本，实现全面的资源分配优化。

动态规划资源分配问题

动态规划——资源分配问题
小组成员：黄秀梅罗燕雯杨俊李彩霞林琳（女）吴晶莹邓桂兰罗碧辉
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1
资源分配问题：只有一种资源有待于分配到若干个活动，其目标是如何最有效地在各个活动中分配这种资源。在建立任何效益分配问题的DP(Dynamic Programming )模型时，阶段对应于活动，每个阶段的决策对应于分配到该活动的资源数量；任何状态的当前状态总是等于留待当前阶段和以后阶段分配的资源数量，即总资源量减去前面各阶段已分配的资源量。
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3
课程 1 学分复习天数
234
1
4 35 2
2
54 5 6
3
4
4
5 68 7
8 7 88
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4
解：这个问题要求作出4个相应关联的决策，即应分配多少天给每门考试科目。因此，即使这里没有固定的次序，这四门考试科目可以看成动态规划模型中的四个阶段。阶段：k＝1，2，3，4。考试科目决策变量：x（k k＝1，2，3，4）是分配到阶段（考试科目） k的天数；状态变量：sk是仍待分配的天数（即前面阶段未分配完的天数）
4
f（k
s
，
k
x
）＝
k
P（k
x
）＋
k
max
{
Pi ( x i )}
ik 1
f
பைடு நூலகம்
（*
k
sk
)
max{
f k ( s k , x k )}
x k 1,2 ,3 ..., s k
4
xi sk
ik
x i大于等于 1且为整数
将递推关系写出即是

资源分配的多目标优化动态规划模型

资源分配的多目标优化动态规划模型一、本文概述本文旨在探讨资源分配的多目标优化动态规划模型。

资源分配问题是在有限资源条件下，如何合理、有效地将这些资源分配给不同的活动或项目，以实现特定的目标或优化某些性能指标。

多目标优化则意味着在解决这类问题时，我们需要同时考虑并优化多个目标，如成本最小化、时间最短化、收益最大化等。

动态规划作为一种重要的数学方法，为解决此类问题提供了有效的工具。

本文首先将对资源分配问题的背景和重要性进行简要介绍，阐述为何需要多目标优化的动态规划模型来解决这一问题。

接着，文章将详细阐述多目标优化动态规划模型的基本概念和原理，包括模型的构建、求解方法以及关键要素等。

在此基础上，文章将结合具体案例，分析多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的应用，并探讨其在实际操作中的优缺点。

本文还将对多目标优化动态规划模型的发展趋势进行展望，探讨未来研究的方向和可能的应用领域。

文章将总结全文，强调多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的重要性和价值，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。

二、资源分配问题的基本框架资源分配问题是一类重要的优化问题，它涉及到如何在多个可选方案之间分配有限的资源，以达到一个或多个预定目标的最优化。

这类问题广泛存在于各种实际场景中，如生产管理、物流规划、能源分配、投资组合等。

为了有效地解决这些问题，我们需要构建一个合理的资源分配多目标优化动态规划模型。

目标函数：目标函数是资源分配问题的核心，它描述了优化问题的目标。

在多目标优化问题中，目标函数通常是一个由多个子目标组成的函数组，这些子目标可能是相互冲突的，需要在优化过程中进行权衡。

约束条件：约束条件描述了资源分配问题中的限制条件，包括资源数量、分配规则、时间限制等。

这些约束条件限定了资源分配的可能性和范围，对于保证优化问题的可行性和实际意义至关重要。

决策变量：决策变量是资源分配问题中的关键参数，它代表了各种可能的资源分配方案。

动态规划在资源分配中的应用

动态规划在资源分配中的应用在当今复杂多变的社会和经济环境中，资源分配是一个至关重要的问题。

如何有效地将有限的资源分配到不同的任务、项目或活动中，以实现最大的效益和价值，是决策者们面临的挑战。

动态规划作为一种强大的数学优化方法，为解决资源分配问题提供了有效的途径。

让我们先了解一下什么是动态规划。

动态规划是一种在求解多阶段决策过程问题时的优化方法。

它将一个复杂的问题分解成一系列相互关联的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高计算效率。

在资源分配中，动态规划可以帮助我们在不同的阶段做出最优的决策，以实现整体的最优资源分配方案。

以企业的生产资源分配为例。

假设一家企业拥有一定数量的人力、物力和财力资源，需要将这些资源分配到不同的产品生产线上，以实现最大的利润。

每个产品线在不同的资源投入下会产生不同的收益，而且资源的投入是有限的。

这时候，动态规划就可以派上用场。

我们可以将整个生产过程划分为多个阶段，每个阶段对应着不同的资源分配决策。

在每个阶段，我们需要考虑当前的资源状况和各个产品线的收益情况，做出最优的资源分配决策。

通过逐步推进，我们可以找到整个生产过程中的最优资源分配方案。

比如说，在第一阶段，我们有 100 个单位的人力、80 个单位的物力和 120 万元的财力。

产品 A 的生产需要 20 个人力、10 个物力和 30 万元财力，预期收益为 50 万元；产品 B 的生产需要 15 个人力、20 个物力和 40 万元财力，预期收益为 60 万元。

通过计算和比较，我们可能会决定在第一阶段将资源分配给产品 B。

然后进入第二阶段，此时剩余的资源发生了变化，我们再次根据新的资源状况和产品收益情况做出决策。

就这样，一步一步地推进，直到所有的资源都分配完毕。

动态规划在资源分配中的优势是显而易见的。

首先，它能够考虑到资源分配的长期效果。

不像一些短视的决策方法，只关注眼前的利益，动态规划通过全局的视角，综合考虑了各个阶段的决策对最终结果的影响，从而做出更具战略性的资源分配方案。

动态规划在资源配置中的应用分析

动态规划在资源配置中的应用分析在当今复杂多变的商业环境中，资源的有效配置是企业和组织取得成功的关键因素之一。

动态规划作为一种强大的数学优化方法，在解决资源配置问题方面发挥着重要作用。

它能够帮助决策者在面对不确定性和多个阶段的决策过程中，做出最优的选择，从而实现资源的最大化利用和效益的提升。

动态规划的基本概念可以追溯到 20 世纪 50 年代，它是一种基于分阶段决策的优化方法。

与传统的静态规划不同，动态规划考虑了时间和阶段的因素，将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解这些子问题来获得最终的最优解。

在资源配置领域，动态规划的应用范围非常广泛，包括生产计划、库存管理、项目调度、人力资源分配等多个方面。

以生产计划为例，企业需要在一定的生产周期内，根据市场需求和生产能力，合理安排各种产品的生产数量和时间。

这是一个典型的资源配置问题，因为企业需要在有限的人力、物力和财力资源的约束下，满足市场需求并实现利润最大化。

通过运用动态规划方法，企业可以将生产计划划分为多个阶段，每个阶段对应一个生产周期。

在每个阶段，企业需要根据当前的市场需求、库存水平和生产能力，决定生产哪种产品以及生产多少数量。

通过逐步求解每个阶段的子问题，并考虑到后续阶段的影响，企业可以制定出最优的生产计划，从而有效地利用资源，降低生产成本，提高生产效率。

库存管理也是资源配置中的一个重要问题。

企业需要合理控制库存水平，以满足市场需求的同时，降低库存成本。

动态规划可以帮助企业在不确定的市场需求情况下，制定最优的库存策略。

例如，企业可以根据历史销售数据和市场预测，将库存管理划分为多个阶段。

在每个阶段，企业需要决定是否补货以及补货的数量。

通过考虑库存持有成本、缺货成本和补货成本等因素，动态规划可以帮助企业找到最优的库存水平，从而在保证供应的前提下，降低库存成本。

在项目调度方面，动态规划同样具有重要的应用价值。

例如，在建筑工程项目中，需要合理安排各项任务的开始时间和结束时间，以确保项目按时完成，同时最小化项目成本。

动态规划在资源配置中的应用研究

动态规划在资源配置中的应用研究在当今复杂多变的社会和经济环境中，资源的有效配置成为了各个领域追求高效发展的关键。

而动态规划作为一种强大的数学优化方法，在资源配置问题中发挥着至关重要的作用。

动态规划的核心思想在于将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过对这些子问题的求解来逐步得出原问题的最优解。

这种方法的优势在于它能够充分考虑到问题的动态性和阶段性，从而更加贴合实际情况。

资源配置问题通常涉及到多个因素的权衡和决策。

例如，在企业生产中，需要决定如何分配有限的人力、物力和财力资源，以实现最大的产出和利润；在项目管理中，要合理安排任务的顺序和资源的投入，确保项目按时完成且成本最低；在交通运输领域，需要优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低运营成本。

以生产企业为例，假设一家工厂有多种产品可以生产，每种产品的生产需要消耗不同数量的原材料、工时和设备使用时间，同时每种产品在市场上的售价也不同。

为了实现利润最大化，企业需要决定每种产品的生产数量。

这就是一个典型的资源配置问题。

如果使用传统的方法来解决这个问题，可能会面临计算复杂、难以考虑所有可能情况等困难。

而动态规划则为我们提供了一种有效的解决方案。

首先，我们可以将生产计划划分为多个阶段，每个阶段对应一个决策点，即决定是否生产某种产品以及生产多少。

然后，我们定义状态变量，例如在某个阶段剩余的原材料、工时和设备可用时间等。

接着，通过建立递推关系式，计算在每个阶段不同决策下的收益，并选择最优的决策。

动态规划在资源配置中的应用具有以下几个显著的优点：一是能够处理大规模的问题。

随着问题规模的增大，传统方法的计算量往往呈指数级增长，而动态规划通过巧妙的分解和递推，可以有效地降低计算复杂度。

二是能够考虑到问题的动态变化。

在实际的资源配置中，各种因素可能会随着时间而发生变化，例如原材料价格的波动、市场需求的变化等。

动态规划可以根据这些变化及时调整策略，保证资源配置的最优性。

第21讲动态规划(投资分配问题)-PPT精选文档

xi a i1 x 0 i 1 .2 . .n i
投资分配问题
f1(x) = g1(x)
（因为只给一个工厂）
当1＜k≤n 时，其递推关系如下：设：y 为分给第k 个工厂的资金（其中 0≤y ≤ x ），此时还剩 x － y （万元）的资金需要分配给前 k－1 个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大利润为fk－1(x－y) ,因此总的利润为： gk(y) ＋ fk－1(x－y)
y 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
河南理工大学ACM-ICPC培训
投资分配问题
f ( 2 0 ) m a x g ( yf ) ( 2 0) y 5 0 2 2 1
y 0 , 1 0 , 2 0
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。同理可求得其它 f2(x) 的值。
河南理工大学ACM-ICPC培训
投资分配问题
f 2 (5 0 ) m ax g2 ( y) ,5 0 f 1 (5 0 y )
y 0 ,1 0 ,
g 2 (0 ) f 1 (5 0 ) g (1 0 ) f ( 4 0 ) 1 2 g 2 ( 2 0 ) f 1 (3 0 ) 105 g 2 (3 0 ) f 1 ( 2 0 ) g 2 ( 4 0 ) f 1 (1 0 ) g 2 (5 0 ) f 1 (0 )
g2 (0) f1 (60) 0 85 g (10) f (50) 20 85 1 2 g2 (20) f1 (40) 40 80 max g2 (30) f1 (30) max50 65 120 g (40) f (20) 55 50 1 2 g2 (50) f1 (10) 60 20 65 0 g2 (60) f1 (0)

动态规划问题标准版文档

决策决策决策到最高。
线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航
状态状态状态状态天飞机的飞行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。 1 2 n 在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为
g=g(u1)
精品课程《运筹学》
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为
h=h(u2)
相应的机器年完好率b, 0< b<1。
假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制
定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产量达到最高。
决策达到最优效果。在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段；
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。要求制定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产量达
解决。
优策略。线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。
机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为

动态规划投资分配问题

投资分配问题
按顺序解法计算。第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x) ＝ g1(x)，得到下表
投资 0 10 20 30 40 50 60
利润
f1(x) ＝ g1(x) 0 20 50 65 80 85 85 最优策略 0 10 20 30 40 50 60
第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。
y 0,10,L ,50
g2 ( y) f1(50 y)
g2 (0) f1(50)
g
2
(10)
f1
(40)
g g
2 2
(20) (30)
f1 f1
(30) (20)
105
g
2
(40)
f1
(10)
g2 (50) f1(0)
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
投资分配问题
现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用于扩大再生产。
假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi) 为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。
问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。
据此，有下式：
n
max z gi ( xi ) i 1
f2 (20)
max
y 0,10,20
g2 ( y)
f1(20
y)
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f2 (10)
max
y 0,10,
g2 ( y)
f1(10
y) 20
最优策略为（10，0）或（ 0 ， 10 ），此时最大利润为20万元。

动态规划第4讲 - 资源连续分配问题

8.4 动态规划：资源连续分配问题设有数量为s 1的某种资源，可投入A 和B 两种生产。

第一年若以数量u 1投入生产A ，剩下的量s 1−u 1就投入生产B ，则可得收入为其中g (u 1)和h (u 1)为已知函数，且g (0)=h (0)=0。

问题描述设年回收率分别为0<a <1和0<b <1，则在第一年生产后，回收的资源量合计为第二年再将资源数量s 2中的u 2和s 2−u 2分别再投入A 、B 两种生产，则第二年又可得到收入为这种资源在投入A 、B 生产后，年终还可回收再投入生产。

问题描述如此继续进行n 年，试问：应当如何决定每年投入A 生产的资源量才能使总的收入最大?问题描述此问题写成静态规划问题为问题建模k (s k )表示有资源量s k ，从第问题建模因此，动态规划的逆推关系式为最后求出f 1(s 1)即为所求问题的最大总收入。

问题建模举例：机器负荷分配问题构造这个问题的动态规划模型：设阶段序数k 表示年度。

状态变量s k 为第k 年度初拥有的完好机器数量，同时也是第k −1年度末时的完好机器数量。

决策变量u k 为第k 年度中分配高负荷下生产的机器数量，于是s k −u k 为该年度中分配在低负荷下生产的机器数量。

举例：机器负荷分配问题这里sk 和uk均取连续变量，它们的非整数值可以这样理解，如sk=0.6，就表示一台机器在k年度中正常工作时间只占6/10；uk=0.3，就表示一台机器在该年度只有3/10的时间能在高负荷下工作。

举例：机器负荷分配问题设为第k 年度的产量，则状态转移方程为k 段允许决策集合为故指标函数为:举例：机器负荷分配问题令最优值函数f k (s k )表示由资源量s k 出发，从第k 年开始到第5年结束时所生产的产品的总产量最大值。

因而有逆推关系式：举例：机器负荷分配问题从第5年度开始，向前逆推计算。

当k =5时，有因f 5是u 5的线性单调增函数，故得最大解u 5*，相应的有举例：机器负荷分配问题当k =4时，有故得最优解u 4*=s 4，相应的有举例：机器负荷分配问题依此类推，可求得因s 1=1000，故举例：机器负荷分配问题计算结果表明：最优策略为即前两年应把年初全部完好机器投入低负荷生产，后三年应把年初全部完好机器投入高负荷生产。