材料力学：第四章扭转变形
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材料力学 第四章 扭转
W = Me 2 n
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
明德行远 交通天下
材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
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M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
明德行远 交通天下
材料力学
二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
明德行远 交通天下
材料力学
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
明德行远 交通天下
材料力学
⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
明德行远 交通天下
材料力学
对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学第4章扭转
(2)计算扭矩
从受力情况看，在轴的AB，BC，CD三段内，各横截面上的扭矩是不相等的。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。 在AB段，用截面1—1截取，取左段为研究对象，并假设该截面上的扭矩T1为 正，如图4.5(c)所示。由平衡方程 MA+T1=0 于是有 T1=-MA=-1 910 N²m ，得
相反的切应力′，于是组成力偶矩为(′dxdz)dy的力偶。根据平衡方 程 ，得 ′dxdz)dy
( dydz)dx=( 于是
如图4.7(a)所示的单元体在其两对相互垂直的平面上只有切应力而无正应力 。这种应力状态称为纯剪切应力状态。显然，薄壁圆筒发生扭转时处于纯剪
切应力状态。由于这种单元体的前、后两平面上无任何应力，所以可将其改
图4.3 根据平衡方程 ，即
T-Me=0
得 T=Me
显然，若截取后取右段为研究对象，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大
小相等而方向相反。为使同一横截面上的扭矩正、负号一致，对扭矩的符号 规定如下：按右手螺旋法则确定扭矩矢量T，当T的指向与横截面的外法线方
向一致时，扭矩为正(见图4.4(a))，反之，为负(见图4.4(b))。
依据上述分析，可知薄壁圆筒的扭转时，横截面上各处的切应力值均相等， 其方向与圆周相切。由于横截面上的扭矩都是该截面上的应力与横面积dA之 乘积的合成，如图4.6(d)所示，可得
所以
(2)切应力互等定理 在承受扭转的薄壁圆筒上，用两个横截面、两个径向截面和两个圆柱面截取 出边长分别为dx，dy，dz的单元体，并放大为图4.7(a)所示。单元体的左、 右两侧面是圆筒横截面的一部分，所以有切应力。切应力值根据公式(4.2) 计算，数值相等但图4.7方向相反，于是组成一个力偶矩为( dydz)dx的力偶 。为保持平衡，单元体的上、下两个面必须有切应力，并组成力偶以与力偶 ( dydz)dx相平衡。由 可知，上、下两个面上存在大小相等、方向
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学 第4章扭转变形
1、T为横截面上的扭矩
max
2、Ip为截面参数，取决于截面形状 与尺寸 3、ρ为所求点距圆心距离。
d 2
max
最大切应力
r
max
d
T Tr T I p I p / r Wp
Wp Ip r
称为抗扭截 面系数
最大扭转切应力 发生在圆轴表面
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
T3
3 3
MD D x
(2)2-2截面上的应力计算
由扭矩图得知T2=-9.56kNm T IP 9560 40 10 3 26.6MPa 4 12 π 110 10 / 32 (2) 强度计算 危险横截面在AC段，Tmax=9.56kNm
τ max Tmax 9560 36.6MPa 3 9 WP π 110 10 / 16
T1 2M
M
A
C
T
M
x
2M
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
问题分析与研究思路
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。 连续体的静不定问题 。 分析方法：静力学、几何、物理三方面。 关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件 几何方面：实观观测 合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
D3
IP
D4
32
, WP
D3
16
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效 低碳钢扭转破坏
塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面 断裂。
铸铁扭转破坏
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成 45°螺旋面断裂。
材料力学扭转PPT课件
方向如图所示
Nm
MB
MC
MA
MD
14
材
料 力
外力偶矩、扭矩和扭矩图
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
B
C
A
主动轮 D
13
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549 PA n
11.68 103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68 103
材 料 力 学
Mechanics of Materials
第四章 扭转
1
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
工程实例
2
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
受力特点：两个等值反向的 力偶矩分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点：杆件的各横截面 绕杆的轴线发生相对转动
12
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
例 如图所示的传动轴的转速n=300转 /分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动 轮B、C及D的输出功率分别为 PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴 的扭矩图，并确定最大扭矩Tmax及其所在位
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)
Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画 上许多纵向线 与圆周线,形成 许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象， 经过推理，得出关于圆 轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就 是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮 机的主轴也承受扭转作用， 但这些零件除扭转变形外， 还伴随有其它形式的变形， 属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
2021/8/19
3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作 用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意 两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形 式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆 周线相对地旋转了一个角 度，但大小、形状和相邻 两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
2021/8/19
11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿
材料力学-第4章 扭转
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学课件 第四章 扭 转
3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
第四章
扭转
取微端变形
第四章
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
扭转
´
a
b
dy
②横截面上各点处，只产生垂
直于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的
第四章
扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
3.剪切虎克定律：
第四章
T=m
扭转
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
第四章
扭转
G
功率 角速度
每分钟 的转数
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
第四章
3.扭矩及扭矩图
扭转
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。 （2） 截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
第四章
②求扭矩（扭矩按正方向设）
扭转
m2 1 m3 2 m1 3 m4
材料力学04(第四章 扭转)
lAB
M1
Ⅱ
M3
C
A
d
lAC 解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩： BA段
T1 955N m T2 637N m
AC段
M2 Ⅰ
M1
d
lAB
Ⅱ lAC
3
M3
AB
B
A
CA
C
2、 各段两端相对扭转角：
T1l AB 955 10 N mm 300mm AB GI p 80 103 MPa π 70mm 4 32 3 1.52 10 rad 3 T2l AC 637 10 N mm 500mm CA π GI P 3 80 10 MPa 70mm4 32 3 1.69 10 rad
可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。 讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构 件？
例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a < 5°) 受轴向压 力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均直径为D，簧杆 直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量 G ，且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧的应力 计算公式。
塑性材料： =（0.5－0.577） 脆性材料： = （0.8－1.0）t
例1 实心等截直轴，d=110mm，
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解：①内力分析
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m ②应力计算
τρ
T2 ρ 9560 40 10 26.6MPa 4 12 Ip π 110 10 / 32
3
M1
Ⅱ
M3
C
A
d
lAC 解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩： BA段
T1 955N m T2 637N m
AC段
M2 Ⅰ
M1
d
lAB
Ⅱ lAC
3
M3
AB
B
A
CA
C
2、 各段两端相对扭转角：
T1l AB 955 10 N mm 300mm AB GI p 80 103 MPa π 70mm 4 32 3 1.52 10 rad 3 T2l AC 637 10 N mm 500mm CA π GI P 3 80 10 MPa 70mm4 32 3 1.69 10 rad
可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。 讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构 件？
例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a < 5°) 受轴向压 力(拉力) F 作用。已知：簧圈平均直径为D，簧杆 直径 d，弹簧的有效圈数 n，簧杆材料的切变模量 G ，且簧圈平均直径 D >> d 。 试推导弹簧的应力 计算公式。
塑性材料： =（0.5－0.577） 脆性材料： = （0.8－1.0）t
例1 实心等截直轴，d=110mm，
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa，试校核轴的强度。
解：①内力分析
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m ②应力计算
τρ
T2 ρ 9560 40 10 26.6MPa 4 12 Ip π 110 10 / 32
3
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
材料力学-第四章 扭转_1
该轴满足强度条件的要求。
§5-5圆轴的扭转变形与刚度条件
d T d x GI p
T d dx GI p
T dx GI p l
d
Tl 若T const，则 GIp
比较拉压变形：
Nl l EA
公式适用条件：
1）当p（剪切比例极限）公式才成立
2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
外表面dx rd d r dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
d
dx d d
dx
(a)
2. 物理关系
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪 应力不超过材料的剪切比例极限时 d G G (b) dx
（5-6） （5-7）
max
Wt
T max T Wt Ip
Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
4.圆与圆环的极惯性矩 I p和抗扭截面模量 Wt
Ip
d /2
0
Байду номын сангаас
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
材料力学 第四章 扭转
max
T Wt
1 max
BA
TL GI t
其中
Wt b2 h
I t b3h
h b
, ,
随矩形截面的长、短边尺寸之比
而变化。
三
开口薄壁截面杆的自由扭转
类似狭长矩形截面，在开口薄壁杆件截 面上，切应力沿着周边或周边的切线形成环 流，方向与截面扭矩一致；角点处切应力为 零；中线上切应力为零；长边边缘处接近均 匀分布。
§4-5 非圆截面轴扭转的概念
一 约束扭转和自由扭转 非轴对称问题，扭转时横截面 产生翘曲 (Warp) 。平面假设不 再成立。 自由扭转 等直非圆截面杆受扭时，两端 面变形不受限制，即可自由翘 曲，则各截面翘曲程度相同。 横截面上仍旧只存在切应力。 约束扭转
T
T
端面受限制而不可自由翘曲，则各截面翘曲程度不同，截面 上除切应力外，还产生正应力。
D 3
16
1 29 10
4
d D 0.944
6
m
3
max
（2） W p
D 3
16 max 空心优于实心 Q A D 2 3.2 （3） Q A 2 2 D d
T
T 51.7MPa＜ Wp
强度安全。
D 53mm
N2
N3
C
②若全轴选同一直径，应为多少？
③主动轮与从动轮如何安下,扭矩如 图，由强度条件得：
N m 9549 (kN m) n
7257
4202
Wt
3 d1
T d1 16 [ ]
3
16T
16T
T Wt
1 max
BA
TL GI t
其中
Wt b2 h
I t b3h
h b
, ,
随矩形截面的长、短边尺寸之比
而变化。
三
开口薄壁截面杆的自由扭转
类似狭长矩形截面，在开口薄壁杆件截 面上，切应力沿着周边或周边的切线形成环 流，方向与截面扭矩一致；角点处切应力为 零；中线上切应力为零；长边边缘处接近均 匀分布。
§4-5 非圆截面轴扭转的概念
一 约束扭转和自由扭转 非轴对称问题，扭转时横截面 产生翘曲 (Warp) 。平面假设不 再成立。 自由扭转 等直非圆截面杆受扭时，两端 面变形不受限制，即可自由翘 曲，则各截面翘曲程度相同。 横截面上仍旧只存在切应力。 约束扭转
T
T
端面受限制而不可自由翘曲，则各截面翘曲程度不同，截面 上除切应力外，还产生正应力。
D 3
16
1 29 10
4
d D 0.944
6
m
3
max
（2） W p
D 3
16 max 空心优于实心 Q A D 2 3.2 （3） Q A 2 2 D d
T
T 51.7MPa＜ Wp
强度安全。
D 53mm
N2
N3
C
②若全轴选同一直径，应为多少？
③主动轮与从动轮如何安下,扭矩如 图，由强度条件得：
N m 9549 (kN m) n
7257
4202
Wt
3 d1
T d1 16 [ ]
3
16T
16T
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mA
mB
mC
l
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解： 1．扭转变形分析 利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m 设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
[ ]
其中：[]—许用扭转角，
取值可根据有关设计标淮或规 范确定。
图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该 轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA＝180N·m， MB＝320 N ·m， MC＝140N·m，Iρ＝ 3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。
4.3 扭转刚度
等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件
一、扭转时的变形
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
相对扭转角： d l T dx
l
0 GI p
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。
单位长度的扭转角：
II、刚度条件
d T
dx GI p
max
Tmax 180
GI
2 刚度校核
轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚 度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10
9
180 N m Pa)(3.0 105
10
12
m
4
)
180 π
0.430 /m θ
可见，该轴的扭转刚度符合要求。
BC
T2l GI
(140 N m)(2m) (80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.17 10 2 rad
由此得轴AC的总扭转角为
AC AB BC 1.50 10 2 rad -1.17 10-2rad 0.33 10-2 rad
各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。