1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)

[通一类] 3．设函数f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．

解：(1)由于
－2x＋5，x<2， f(x)＝ 2x－3，x≥2，
则函数 y＝f(x)的图象如图所示． (2)由函数 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象
(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a＞0时，|f(x)|＜a⇒－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a. ②当a＝0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0.
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
作出函数的图象，如图所示：
3 3 函数的零点是－ ， . 2 2 3 3 从图象可知，当 x≤－ 或 x≥ 时 y≥0， 2 2 即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
3 3 所以原不等式的解集为－∞，－2∪2，＋∞.
[悟一法] (1)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的 三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间 讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观， 但只适用于数据较简单的情况．
[例3]
[研一题] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[精讲详析]
本题考查绝对值不等式的解法．解答本题
应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的 取值范围． 若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
x≤a， －2x＋a＋1 a＜x＜1， 若a＜1，f(x)＝ 1－a， 2x－a＋1， x≥1， 值为1－a. －2x＋a＋1， x≤1， 1＜x＜a， 若a＞1，f(x)＝a－1， 2x－a＋1， x≥a， f(x)的最小值为a－1.
f(x)的最小
所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的 取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[悟一法]
含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进
行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，但去绝
对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不 等式组的解集合并，即得该不等式的解集．
|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
.
这种图象法的关键是合理构造函数， 正确画出函数的图象， 求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．
[通一类] 2．解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2.
解：法一：令 y＝|2x＋1|－|x－4|，则 －x－5， y＝ 3x－3， x＋5， 1 x≤－ ， 2 1 － ＜x＜4， 2 x≥4.
1 4 1 解得 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 4 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜ }. 3
[研一题] [例2] 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3. [精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也
可以转化为分段函数，借助函数图象求解． 法一：当 x≤－1 时，原不等式可以化为 －(x＋1)－(x－1)≥3， 3 解得：x≤－ . 2 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3，即 2≥3.不成立，无解．
法二：原不等式可转化为：
x－2≥0， ① 1＜x－2≤3， x－2＜0， 或② 1＜－x－2≤3，
由①得 3＜x≤5，由②得－1≤x＜1， 所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． 法三：原不等式的解集就是 1＜(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22＞1， －1≤x≤5， 解得 x＜1或x＞3，
(2)|x－a|＋|x－b|≥c、 |x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图 象解法和画出函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c 的图象是密切相关 的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出 f(x)的分 段表达式．不妨设 －2x＋a＋b－c， x≤a， a＜b，于是 f(x)＝b－a－c， a＜x＜b， 2x－a－b－c， x≥b.
当 x≥1 时，原不等式可以化为 3 x＋1＋x－1≥3.所以 x≥ . 2
3 3 x|x≤－ 或x≥ . 综上，可知原不等式的解集为 2 2
法二：将原不等式转化为 |x＋1|＋|x－1|－3≥0. 构造函数 y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即 －2x－3，x≤－1； y＝－1，－1<x<1； 2x－3，x≥1.
1 可知，当且仅当 a≥ 或 a<－2 时，函数 2 y＝f(x)与函数 y＝ax 的图象有交点． 故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取 1 值范围为(－∞，－2)∪[ ，＋∞)． 2
本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解 法为主，2012年新课标全国卷将绝对值不等式的解法与恒 成立问题结合在一起进行考查，很好的考查了学生分析问 题、解决问题的能力．
|x|＞ 2 原不等式与不等式组 2 x －2≥|x|
等价，
x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为 (－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2，＋∞)．
[悟一法]
绝对值不等式的常见类型及其解法：
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
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－2x＋5，x≤2， f(x)＝1，2＜x＜3， 2x－5，x≥3.
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
∴－1≤x＜1 或 3＜x≤5. ∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．
(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x， 可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜－(7＋x)， 整理得 x＞2 或 x＜－4. ∴原不等式的解集是{x|x＜－4 或 x＞2}． (3)①当 x2－2＜0 且 x≠0，即当－ 2＜x＜ 2， 且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x2－2＞0 时，
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等 式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间， 利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对 值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)构造函数，结合函数的图象求解．
[研一题]
[例 1] 解下列不等式：
(1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
[精讲详析]
本题考查较简单的绝对值不等式的解
法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax
＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定
[读教材· 填要点]
1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解法 不等式 |x|＜a
a＞0 {x|－a＜x＜a}
a＝0
∅ {x∈R|x≠0}
a＜0
∅
|x|＞a {x|x＞a或x＜－a}
R
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
[考题印证] (2012· 新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[命题立意]
[解]
本题主要考查含绝对值不等式的解法，
利用绝对值三角不等式求最值的方法．
(1)当 a＝－3 时，
①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b) ⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a. (5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式
作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，
5 它们的交点为(－7,2)和( ，2)． 3 所以|2x＋1|－|x－4|＞2 的解集为 5 (－∞，－7)∪( ，＋∞)． 3
法二：当 x≥4 时，(2x＋1)－(x－4)＞2， 解得 x＞－3，∴x≥4. 1 5 当－ ≤x＜4 时，(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得 x＞ ， 2 3 5 ∴ ＜x＜4. 3 1 当 x＜－ 时，－(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得 x＜－7， 2 ∴x＜－7. 5 综上可知，不等式的解集为{x|x＜－7 或 x＞ }. 3
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0， |f(x)|＜f(x)⇔x∈∅.