2016高考数学真题北京卷文科试题
2016年高考北京卷文数试题解析(正式版)(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密★启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2x xy-==在R上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B.考点： 古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C考点： 函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a7560637270a −1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年北京高考数学真题及答案(文科)
数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 10 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|24}A x x =<<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =I（A ）{|25}x x << （B ）{|4x x <或5}x > （C ）{|23}x x << （D ）{|2x x <或5}x >（2）复数12i2i+=- （A ）i （B ）1i + （C ）i -（D ）1i -（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -=数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页）（5）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B ）2 （C（D）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25 （C ）825（D ）925（7）已知(2,5),(4,1)A B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（A ）1- （B ）3 （C ）7（D ）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 10 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年北京市高考数学试卷(文科)(含解析版)
绝密★本科目考试启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x 5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1B．2C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1B．3C．7D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63a7560637270a﹣1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC ⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8B．9C．27D．36【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1B．2C．D．2【考点】IT：点到直线的距离公式；J1：圆的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1B．3C．7D．8【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号123456789101.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60立定跳远（单位：米）63a7560637270a﹣1b65 30秒跳绳（单位：次）在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5M：推理和证明．【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为2．【考点】34：函数的值域．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【考点】^7：容斥原理；18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4=14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【考点】H1：三角函数的周期性；HM：复合三角函数的单调性．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【考点】B2：简单随机抽样；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC ⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【考点】52：函数零点的判定定理；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．。
2016年北京高考数学真题及答案解析(文科)041019124436
15.（本小题 13 分）
已知{an}是等差数列，{bn} 是等差数列，且 b2 3 ， b3 9 ， a1 b1 ， a14 b4 .
（1）求{an}的通项公式；
（2）设 cn an bn ，求数列{cn} 的前 n 项和.
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图实 施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是
数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可
的成绩仅相隔 1，故只能 1，5，4 进 30 秒跳绳的决赛，故选 B.
考点：统计
【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是能力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可
能性，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.
第二部分（非选择题 共 110 分）
知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质 都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
10.函数 f (x) x (x 2) 的最大值为_________. x 1
【答案】2 【解析】 试题分析： f (x) 1 1 1 1 2 ，即最大值为 2.
4.下列函数中，在区间 (1,1) 上为减函数的是（）
A. y 1 1 x
【答案】D
B. y cos x
2016年北京市高考数学试卷(文科)
2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5} 2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米）1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米） 1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b ＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．。
2016年北京市高考文科数学试题及答案
(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛(D) {x|x<2或 x> 5} rrpLj(A) 1(B) 2 (C) (D) 2迈(6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 (A) 1( B) 2( C)—5 5 25(D)_9 25(7)已知 A(2，5)，B( 4,1).若点P( x ，y)在线段AB 上，贝U 2x-y 的最大值为(A) -1 (B) 3(D) 82016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。
(1 )已知集合 A ={x|2 ：：：x :::4}, B 二{x|x ：：：3或x>5}，则 A B =(A) {x|2<x<5} ( B) {x|x<4或x> 5} (C) {x|2<x<3}(2)复数1 2i2 —i(A)i(B)1+i( C) -i ( D)1 -i(3) 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 (A) 8 (B) 9 (C)27绝密★启用前 fr - 0, 5 - 0Wife(D)36(4)下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是1(A) y ( B) y =cosx ( C) y =1 n(x 1) ( D) y=2»1 -x(5)圆(x+1) 2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为成绩，其中有三个数据模糊学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳(单位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有 6人,则(A)2号学生进入30秒跳绳决赛(B)5号学生进入30秒跳绳决赛(C) 8号学生进入30秒跳绳决赛 (D)9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)已知向量a =(1,J3), b = (J3,1)，则a与b夹角的大小为________________________ .x(10)函数f (x) (x_2)的最大值为x—1(11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为2 2 _(12)已知双曲线务-每=1 (a > 0, b> 0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(J5 ,0)，则a= ______________________________a bb= ________________ ./ 2兀尸 b(13)在△ABC 中，N A=——，a=j3c，则一= .3 c -----------(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有_____________ 种；②这三天售出的商品最少有 ___________ 种.三、解答题(共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等差数列，且b2=3， b3=9， a1 =b1，a14=b4.(I)求｛a n｝的通项公式；(n)设C n= a n+ b n，求数列｛切的前n项和.w=3(16) (本小题13分)已知函数f (x) =2sin axcos cos 2 ®x( 3>0 )的最小正周期为 n .(I)求3的值；(H)求f (x)的单调递增区间.(17) (本小题13分)某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(I) 如果w 为整数，那么根据此次调查， 为使80%以上居民在该月的用水价格为 4元/立方米，w 至少定为多少？(II) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 (18) (本小题14分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC 丄平面ABCD AB// DC ,DC 丄AC(I )求证：DC _平面PAC ；(II )求证：平面PAB _平面PAC ；已知椭圆C :=1 过点 A （2,0）, B （0,1）两点.(III) 设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ,使得P A_平面 C E F 说明理(19) (本小题14分)2 2£. y_ a 2 b 2(I )求椭圆C 的方程及离心率；(II )设P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证: 四边形ABNM 的面积为定值.(20) (本小题13分) 设函数 f x =x 3 ax 2 bx c.(I)求曲线y = f x .在点0, f 0处的切线方程；(II )设a =b =4，若函数f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围;2(III )求证：a -3b> 0是f x .有三个不同零点的必要而不充分条件2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共 8小题，每小题5分，共40分）（I）C （ 2）A （ 3）B （ 4）D （ 5）C （ 6）B （ 7）C （ 8）B 二、填空题（共 6小题，每小题5分，共30分）/C、兀 3（9）（10）2 （11）（ 12）1 26 2（13）1 （14）16 29三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共 13 分）解：（I）等比数列g的公比4 =色=9=3，6 3所以 0 =1，b4二Qq =27 .q设等差数列玄!的公差为d .因为q =b^1 , % 二b4 =27,所以1 • 13d =27,即卩d =2 .所以a n=2n -1 （n =1, 2 , 3，…）.（II）由（ I）知，a n二2n -1, b n = 3n‘ .因此c^a n b n-2n -1 3n4.从而数列＜^c n｛的前n项和& =1 3 2n_1 13 『n 1 2n -1 1 -3n= ------------- "r -----2 1-32 3n-1=n2（16）（共 13 分）解：（I）因为f x =2sin xcos x cos2 x=sin 2 x cos2 x/—( 兀)=■. 2 sin 12，x14丿2 TT -TF所以f x的最小正周期一2® 虫依题意，一二…，解得• = 1 .co(II) 由( I)知f x 二 2sin 2x 寸•函数y =sinx的单调递增区间为2k二-丄,2 k二匸 (Z ).- 2 2_ j[ it nt由2k 2x 2k二2 4 2+ 3兀兀得k x _ k 二8 8所以f(x)的单调递增区间为阿—牛k兀+市1( M Z).(17)(共 14 分)解：(I)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间10.5,1, 1,1.51, 1.5,2 1, 2,2.51, 2.5,3 ]内的频率依次为0.1 , 0.15 , 0.2 , 0.25 , 0.15 .所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3 .(I I)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组12,4] (4,61 (6,81 (8,101 (10,12】(12,17】(17,22】(22,27】频率0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27 0.05 = 10.5 (元).(18)(共 13 分)解：(I)因为PC _平面「2 CD ,所以？C _ DC .又因为DC _二C ,所以DC _平面—C .(II)因为丄三//DC , DC _ 一二C ,所以 C .因为me _平面二meD ,所以？c _ .—所以丄三—平面「心C .所以平面m丄三—平面?.-.C .(III )棱弋上存在点F，使得-■ //平面C F .证明如下: 取中点F，连结I.F , C；：, CF .又因为上为一二的中点，所以上F//PZ.又因为r匚平面C F ,所以?.-.//平面C F .(19)(共 14 分)解：(I)由题意得，a = 2 , b = 1. 2所以椭圆C的方程为x y2= 1 .4又c = , a2 - b2 =、、3 ,(II)设P(x o, y° ) ( X。
2016年北京市高考数学试卷(文科)
2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x ＞5}2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．秒跳绳决赛的有6人，则（ ）A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为 ． 10．（5分）函数f （x ）=（x ≥2）的最大值为 ．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= ，b= ．13．（5分）在△ABC 中，∠A=，a=c ，则= ．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{an }是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn =an+bn，求数列{cn}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x ＞5}【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为 2 ．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a= 1 ，b= 2 ．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则= 1 ．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16 种；②这三天售出的商品最少有29 种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{an }是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn =an+bn，求数列{cn}的前n项和．【分析】（1）设{an }是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn =an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n =b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则an =a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）cn =an+bn=2n﹣1+3n﹣1，则数列{cn}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b ＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．。
2016年北京高考文科数学试卷及答案
2(D)22人，则甲被选中的概率为人，则甲被选中的概率为9(D)25的最大值为的最大值为学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学生序号立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 (A)2号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (B)5号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (C) 8号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛 (D) 9号学生进入30秒跳绳决赛秒跳绳决赛第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知向量)3,1(=a ，)1,3(=b ，则a 与b 夹角的大小为_______.(10)函数)2(1)(³-=x x x x f 的最大值为________． (11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为则该四棱柱的体积为_________. _________.(12)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线为02=+y x ，一个焦点为)0,5(，则=a _______；=b _____________.(13)在ABC D 中，32p=ÐA ，c a 3=，则=cb ____________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；种； ②这三天售出的商品最少有②这三天售出的商品最少有_____________________种种.三．解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)(本小题满分13分) 已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =. (I)求}{n a 的通项公式；的通项公式； (II)设nn n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和项和.. (16) (本小题满分本小题满分13分) 已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=w w w w x x x x f 的最小正周期为p .(I)求w 的值；的值；(II)求)(x f 的单调递增区间的单调递增区间. .(17)(本小题满分13分) 某市民用水拟实行阶梯水价某市民用水拟实行阶梯水价..每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费立方米收费..从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(I)(I)如果如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？至少定为多少？(II)(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替..当3=w 时，估计该市居民该月的人均水费月的人均水费. .(18)(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，^PC 平面ABCD ，DC AB //，AC DC ^. (I)(I)求证：求证：^DC 平面PAC ；(II)求证：平面^PAB 平面PAC ；(III)(III)设点设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面CEF 说明理由说明理由..(19)(本小题满分14分) 已知椭圆C ：12222=+by a x 过点)0,2(A ，)1,0(B 两点两点.. (I)(I)求椭圆求椭圆C 的方程及离心率；的方程及离心率；(II)(II)设设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，上，直线直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值的面积为定值. .(20)(本小题满分13分) 设函数c bx ax x x f +++=23)(.(I)(I)求曲线求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；处的切线方程；(II)(II)设设4==b a .若函数)(x f 有三个不同零点，求c 的取值范围；的取值范围；(III)(III)求证：求证：032>-b a 是)(x f 有三个不同零点的必要而不充分条件有三个不同零点的必要而不充分条件. .（1）【答案】C 考点： 集合交集 （2）【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算 （3）【答案】B 考点： 程序框图（4）【答案】D 【解析】 试题分析：由12()2xxy -==在R上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性 （5）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系 （6）【答案】B 【解析】试题分析：所求概率为142525C P C ==，故选B. 考点： 古典概型 （7）【答案】C 考点： 函数最值 （8）【答案】B 【解析】试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计 （9）【答案】30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 （10）【答案】2 【解析】试题分析：1()11121f x x =+£+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合 （11）【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122´+´=，因此体积为3.2考点：三视图(12)【答案】1,2a b ==考点：双曲线的基本概念 (13)【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin 3sin A aC c==，所以2sin13sin 23C p==，则6C p=，所以2366B p p p p =--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形(14)【答案】①16；②29 【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA139142考点： 统计分析三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）【答案】（Ⅰ）21na n =-（1n =，2，3，×××）；（Ⅱ）2312-+nn（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++×××+-+++×××+()12113213n n n +--=+- 2312n n -=+．考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. （16）【答案】（Ⅰ）1w =（Ⅱ）3,88k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．由222242k x k p p pp p -£+£+，得388k x k p p p p -££+．所以()f x 的单调递增区间为3,88k k p p p p éù-+êúëû（k ÎZ ）．考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 []2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05´+´+´+´+´+´+´+´10.5=（元）． 考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在理由见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取RB 中点F ，连结F E ，则F//E RA ，根据线面平行定理则//RA 平面C F E . 试题解析：（I ）因为C R ^平面CD AB ， 所以C DC R ^． 又因为DC C ^A ，所以DC ^平面C RA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力 （19）【答案】（Ⅰ）2214x y +=；32=e（Ⅱ）见解析. （II ）设()00,x y R （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线RA 的方程为()0022yy x x =--．令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线RB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-．所以四边形ABNM 的面积12S =AN ×BM00002121212x y y x æöæö=++ç÷ç÷--èøèø ()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. （20）【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c æöÎç÷èø;（III ）见解析. ()f x 与()f x ¢在区间(),-¥+¥上的情况如下：x (),2-¥-2-22,3æö--ç÷èø23- 2,3æö-+¥ç÷èø()f x ¢ +- 0+()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x Î--，222,3x æöÎ--ç÷èø， 32,03x æöÎ-ç÷èø，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c æöÎç÷èø时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．。
2016年北京高考卷 文科数学 (原题+解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=()A.{x|2<x<5}B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5}=()2.复数1+2i2-iA.iB.1+iC.-iD.1-i3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.8B.9C.27D.364.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-xA.y=11-x5.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.2D.226.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.9257.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.88.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.10.函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.11.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.12.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( 5,0),则a= ;b= .13.在△ABC 中,∠A=2π3,a= 3c,则bc = .14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种; ②这三天售出的商品最少有 种.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.16.(本小题13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.17.(本小题13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(Ⅰ)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w 至少定为多少?(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.18.(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(Ⅰ)求证:DC⊥平面PAC;(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PAC;(Ⅲ)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.19.(本小题14分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;(Ⅱ)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.20.(本小题13分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)设a=b=4.若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围; (Ⅲ)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)一、选择题1.C将集合A、B画在数轴上,如图.由图可知A∩B={x|2<x<3},故选C.2.A1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i+2i24-i2=5i5=i,故选A.3.B由题意,知s=0,k=1,s=1,k=2,s=9,k=3,这时3>2,输出s=9,故选B.4.D选项A中,y=11-x =1-(x-1)的图象是将y=-1x的图象向右平移1个单位得到的,故y=11-x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.5.C由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d==.故选C.6.B设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10种.其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,故甲被选中的概率为410=25.故选B.7.C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.8.B因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了.又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则1~8号学生中必有2人被淘汰,因为a-1<a,其余数字最小的为60,故有以下几种情况:①若a-1≥63,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能;②若a-1<a<60,此时被淘汰的为2号和8号;③若60≤a-1<a≤63,此时被淘汰的为4号和8号.综上,8,9,10号学生一定会被淘汰,2号有可能会被淘汰,故选B.二、填空题9.答案π6解析∵cos<a,b>=a·b|a|·|b|=1×3+3×12×2=32,∴a与b夹角的大小为π6.10.答案2解析∵f'(x)=-1(x-1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.11.答案32解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD-A'B'C'D'.故该四棱柱的体积V=Sh=12×(1+2)×1×1=32.12.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±bax,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴ba=2,即b=2a.又∵该双曲线的一个焦点为(5,0),∴c=5.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.13.答案1解析在△ABC中,a 2=b2+c2-2bc·cos A,将∠A=2π3,a=3c代入,可得(3c)2=b2+c2-2bc·-12,整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,得2=b2c2+bcc2,即2=bc2+bc.令t=bc(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故bc=1.14.答案①16②29解析设第一天售出的商品种类构成集合A,第二天售出的商品种类构成集合B,第三天售出的商品种类构成集合C,关系如图.①第一天售出但第二天未售出的共16种.②若这三天售出的商品种类最少,只需令第三天售出且未在第二天售出的14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的16种商品中,此时共有16+3+6+4=29种.三、解答题15.解析(Ⅰ)等比数列{b n}的公比q=b3b2=93=3,(1分)所以b1=b2q=1,b4=b3q=27.(3分)设等差数列{a n}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.(5分)所以a n=2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n=2n-1,b n=3n-1.因此c n =a n +b n =2n-1+3n-1.(8分) 从而数列{c n }的前n 项和 S n =1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =n (1+2n -1)2+1-3n1-3=n 2+3n -12.(13分)16.解析 (Ⅰ)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx =sin 2ωx+cos 2ωx = 2sin 2ωx +π4,(3分)所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.(4分)依题意,πω=π,解得ω=1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= 2sin 2x +π4.函数y=sin x 的单调递增区间为 2kπ-π2,2k π+π2(k ∈Z ).(8分)由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k ∈Z ), 得kπ-3π8≤x ≤kπ+π8(k ∈Z ).(12分) 所以f(x)的单调递增区间为 kπ-3π8,k π+π8 (k ∈Z ).(13分)17.解析 (Ⅰ)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.(3分)所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.(5分)依题意,w至少定为3.(6分)(Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:(10分)根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).(13分)18.解析(Ⅰ)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB ⊂平面PAB,所以平面PAB ⊥平面PAC.(9分)(Ⅲ)棱PB 上存在点F,使得PA ∥平面CEF.证明如下:(10分) 取PB 中点F,连结EF,CE,CF.又因为E 为AB 的中点, 所以EF ∥PA.(13分) 又因为PA ⊄平面CEF, 所以PA ∥平面CEF.(14分)19.解析 (Ⅰ)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(3分) 又c= a 2-b 2= 3, 所以离心率e=ca= 32.(5分)(Ⅱ)设P(x 0,y 0)(x 0<0,y 0<0),则x 02+4y 02=4.(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA 的方程为y=y0x 0-2(x-2).令x=0,得y M =-2y 0x 0-2,从而|BM|=1-y M =1+2yx 0-2.(9分)直线PB 的方程为y=y 0-1x 0x+1.令y=0,得x N =-x0y 0-1, 从而|AN|=2-x N =2+x 0y 0-1.(12分)所以四边形ABNM 的面积 S=12|AN|·|BM|=12 2+x 0y 0-11+2y0x 0-2 =x 02+4y 02+4x 0y 0-4x 0-8y 0+42(x 0y 0-x 0-2y 0+2)=2x 0y 0-2x 0-4y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=2.从而四边形ABNM 的面积为定值.(14分)20.解析 (Ⅰ)由f(x)=x 3+ax 2+bx+c, 得f '(x)=3x 2+2ax+b. 因为f(0)=c, f '(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=bx+c.(3分) (Ⅱ)当a=b=4时, f(x)=x 3+4x 2+4x+c, 所以f '(x)=3x 2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.(4分)f(x)与f'(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下:(6分)所以,当c>0且c-3227<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈-2,-23,x3∈-23,0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈0,3227时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.(8分) (Ⅲ)证明:当Δ=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.(9分)当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.(11分)当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分)因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(13分)。
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（19）（本小题 14 分）
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1过点 A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆 C 的方程及离心率；
（II）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：
四边形 ABNM 的面积为定值.
！
功
（20）（本小题 13 分）
c
有三个不同零点．
马 （III）当 4a2 12b 0 时， f x 3x2 2ax b 0， x , ， 考 此时函数 f x 在区间 , 上单调递增，所以 f x 不可能有三个不同零点．
当 4a2 12b 0 时， f x 3x2 2ax b 只有一个零点，记作 x0 ．
马
考
高
您
祝
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
（4）下列函数中，在区间 (1,1) 上为减函数的是
（A） y 1 （B） y cos x （C） y ln(x 1) （D） y 2x 1 x
（5）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为
（A）1 （B）2 （C） 2 （D）2 2
1
2 y0 x0 2
．
直线 的方程为 y y0 1 x 1． x0
令
y
0 ，得 x
x0 ，从而 y0 1
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所以四边形 的面积 S 1
到
2
1 2
2
x0 y0 1
1
2 y0 x0 2
马
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4y02 4x0 y0
【北京卷】2016年高考数学文科试题(Word版,含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或（2）复数12i =2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8（B ）9（C ）27（D ）36（4）下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+ （D ）2x y -= （5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C （D ）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25（C ）825 （D ）925 （7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛（C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.（10）函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.(12) 已知双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为,0），则a =_______；b =_____________.(13)在△ABC 中，23A π∠= ，，则b c=_________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.。
2016年北京市高考数学试卷(文科)
2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5} 2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米）1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米）1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b ＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．。
2016年北京市高考数学试卷(文科)
2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5} 2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米） 1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．（5分）复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米） 1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b ＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．。
北京卷高考文科数学真题试卷及答案解析
2016年高考真题文科数学(北京卷)文科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1.已知集合，则A.B.C.D.2.复数A. iB. 1+iC.D.3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. 8B. 9C. 27D. 364.下列函数中，在区间上为减函数的是A.B.C.D.5.圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为A. 1B. 2C.D. 26.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A.B.C.D.7.已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为A. −1B. 3C. 7D. 88.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
）9.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.10.函数的最大值为_________.11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（,0），则a=_______；b=_____________.13.在△ABC中，，a=c，则=_________.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
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组合教育 《洞穿高考数学辅导丛书》编委会供稿
2π b ， a 3c ，则 ________. 3 c
14. 买《全归纳》即赠完整 word 版高考真题.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况： 第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商 品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店（1）第一天售出但第二天未售出的商品 有______种； （2）这三天售出的商品最少有_______种.
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P
C D A E B
19． （本小题 14 分）买《全归纳》即赠完整 word 版高考真题.已知椭圆 C :
x2 y 2 1 过点 a 2 b2
A 2, 0 ， B 0,1 两点.
（1）求椭圆 C 的方程及离心率； （2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交 于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.
5. 圆 x 1 y 2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为（ A. 1 B. 2 C.
2
D. 2 2 ）.
6. 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ A..
9 25
）.
7. 已知 A 2,5 ， B 4,1 .若点 P x, y 在线段 AB 上，则 2 x y 的最大值为（ A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
x x 2 的最大值为_________. x 1
11. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
12. 已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a 0, b 0 的一条渐近线为 2 x y 0 ，一个焦点为
5, 0 ，
则 a _______； b _______. 13. 在 △ABC 中， A
B （
）.
x 2 x 5
1 2i （ 2i
B. 1+i
B.
x x 4或x 5
C. i
C.
x 2 x 3
D. x x 2或x 5
2. 复数 A. i
）. D. 1 i ）.
3. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（
开始
k=0, s=0
（单位：米）
30 秒跳绳
（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
a 1
b
65
在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的 有 6 人，则（ ）.
A. 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B. 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C. 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D. 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛
8. 买《全归纳》即赠完整 word 版高考真题.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项 比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 立定跳远
1
1.96
2
1.92
3 1.82
4
1.80
5 1.78
6
1.76
7
1.74
8 1.72
9 1.68
10 1.60
第 II 卷（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） ． 9. 已知向量 a 1, 3 , b
3,1 ，则 a 与 b 夹角的大小为_________.
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10. 函数 f x
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秘密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 20 小题，共 150 分，考试时 间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的） ． 1. 已知集合 A x 2 x 4 ， B x x 3或x 5 ，则 A A.
k=k+1
s=s+k3
是
k≤2
否 输出s 结束
A. 8
B. 9
C. 27
D. 36
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）. C. y ln x 1 ）. D. y 2
x
4. 下列函数中，在区间 1,1 上为减函数的是（ A. y
1 1 x
2
B. y cos x
20． （本小题 13 分） 买 《全归纳》 即赠完整 word 版高考真题.设函数 f x x ax bx c .
3 2
（1）求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程； （2）设 a b 4 ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围； （3）求证： a 2 3b 0 是 f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18． （本小题 14 分） 买 《全归纳》 即赠完整 word 版高考真题.如图， 在四棱锥 P ABCD 中，
PC 平面 ABCD ， AB
DC, DC AC .
（1）求证： DC 平面 PAC ； （2）求证：平面 PAB 平面 PAC ； （3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F ，使得 PA 平面 CEF ?说明理由.
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
用水量/立方米
（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80% 以上居民在该月的用水价格为 4 元/立 方米， w 至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w 3 时，估计该市居民该月 的人均水费.
三、解答题（共 6 题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15． （本小题 13 分） 已知 an 是等差数列， bn 是等比数列，且 b2 3 ， b3 9 ， a1 b1 ， a14 b4 . （1）求 an 的通项公式； （2）设 cn an bn ，求数列 cn 的前 n 项和.
16． （本小题 13 分） 已知函数 f x 2sin x cos x cos 2 x 0 的最小正周期为 π . （1）求 的值； （2）求 f x 的单调递增区间.
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17． （本小题 13 分） 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超 出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费， 从该市随机调查了 10000 位居民， 获得了他们某月 的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：