概率论与数理统计 多维随机变量复习题解答

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概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章

概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章

第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立?(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立?(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立? (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。

概率论——多维随机变量与分布答案

概率论——多维随机变量与分布答案

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布(一)一、填空题:1、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为2,01,01(,)0,A xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他,则常数A =6 。

2、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为arctan arctan ,0,0(,)0,A x y x y F x y ⋅>>⎧=⎨⎩其他,则常数A =24π。

二、计算题:1.在一箱子中装有12只开关,其中2只次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种实验: (1)放回抽样;(2)不放回抽样。

我们定义随机变量X ,Y 如下:1X ⎧=⎨⎩若第一次出的是正品若第一次出的是次品 , 01Y ⎧=⎨⎩若第二次出的是正品若第二次出的是次品试分别就(1),(2)两种情况,写出X 和Y 的联合分布律。

(1)放回抽样(2)不放回抽样2.设二维离散型随机变量的联合分布见表:试求(1)13{,04}22P X Y <<<<, (2){12,34}P X Y ≤≤≤≤(1)1/4(2)5/163.设随机变量(,)X Y 的联合分布律如表:求:(1)a 值; (2)(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y (3)(,)X Y 关于X ,Y 的边缘分布函数()X F x 和()Y F y (1)a=1/3(2)0x <1y<-1112,1045(,)2,10121120212,0⎧⎪⎪≤<-≤<⎪⎪⎪=≥-≤<⎨⎪⎪≤<≥⎪⎪≥≥⎪⎩x y F x y x y x y x y 或,(3)010115()12()10.2121210XY x y F x x F y y x y <<-⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩;4.设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6)0<x <2,2<y<4(,)0k x y f x y --⎧=⎨⎩其他,求:(1)常数k ; (2)求{1,3}P X Y <<; (3){ 1.5}P X <; (4){4}P X Y +≤(1)24021(6)1;8k x y d y d x k --=⇒=⎰⎰(2)130213(1,3)(6);88PX Y x y d y d x <<=--=⎰⎰(3) 1.5402127( 1.5)( 1.5,24)(6);832P X P X Yx y d y d x <=<<<=--=⎰⎰(4)(4)P X Y +≤240212(6).83x x y d y d x -=--=⎰⎰概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布(二)一、选择题:1、设随机变量X 与Y 独立,且221122(,),(,)X N Y N μσμσ ,则Z X Y =-仍服从正态分布,且有 [ D ] (A )221212(,)Z N μμσσ++ (B) 221212(,)Z N μμσσ+- (C) 221212(,)Z N μμσσ-- (D) 221212(,)Z N μμσσ-+ 2、若(,)X Y 服从二维均匀分布,则 [ B ] (A )随机变量,X Y 都服从均匀分布 (B )随机变量,X Y 不一定服从均匀分布 (C )随机变量,X Y 一定不服从均匀分布 (D )随机变量X Y +服从均匀分布 二、填空题:1、设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2,01,02(,)30,.xy x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 则(1)P X Y +≥=6572。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

0 0求a 。

解:由分布律的性质,得p j 1,a 0,即丄一一 一 a — 1, a 0,i jJ6 9 18 392解得,a 三。

9注:考察分布律的完备性和非负性。

2、设(X,Y )的分布函数为F (x,y ),试用F (x, y )表示: (1)P{a X b,Y c} ;(2)P{0 Y b} ;(3)P{X a,Y b}。

解:根据分布函数的定义 F (x, y ) P{X x,Y y},得(1) P{a X b,Y c} P{X b,Y c} P{X a,Y c} F(b,c ) F(a ,c ); (2) P{0 Y b} P{X ,Y b} P{X,Y 0}F( ,b )F( ,0); (3) P{X a,Y b} P{X,Y b} P{X a,Y b} F( ,b )F(a ,b )3、设二维随机变量(X,Y )的分布函数为F (x, y ),分布律如下:1 3试求:(1)P{- X ,0 Y 4} ;(2)P{1 X 2,3 Y 4} ;(3)F (2,3) o2 2解:由(X,Y )的分布律,得习题3-11、设(X,Y )的分布律为(1) P{1 X2 3一 ,0 Y 4}2 P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1 11,Y 3}; 0 0 ;;(2) P{1 X 2,3 Y 4} P{X1,Y 3} P{X 1,Y4} P{X2,Y 3} P{X2,Y 4}1 16 5 ; 16;21200200(3) F(2,3)P{X 2,Y 3} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1,Y 3}P{X 2,Y1} P{X 2,Y2} P{X2,Y 11 13} — 0 0416 49 164、设 X , Y 为随机变量,且P{ X 0,Y0} 3/ 7, P{X0}P{Y 0}4/ 7,求P{max( X,Y) 0}。

解:P{max( X,Y) 0}P{( X O)U(Y 0)} P{X 0} P{Y 0} P{X 0,Y 0} 5/ 7。

概率论与数理统计 多维随机变量及其分布习题答案

概率论与数理统计 多维随机变量及其分布习题答案

A e2xdx e3y dy
0
0
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
2 03 0
=A/6 =1
所以, A=6
P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy {X2,Y1}
2
dx
1 6e(2x3 y)dy
0
0
6 2 e2xdx 1e3ydy
0
0
Y
1
{X<2, Y<1} 0
(1 e4 )(1 e3 )
令:从表中的每一种情况出现的次数计算出
它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布:
P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,
P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,
P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
-1 0.05 0.1 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
12
1
0 13
2
13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)

第三章多维随机变量及其分布答案

第三章多维随机变量及其分布答案

《概率论与数理统计》第三单元补充题一、填空题1.设随机变量21,X X 相互独立,分布律分别为2131611011pX -,3231102p X ,则==}{21X X P ,==}0{21X X P ,},max{21X X M =的分布律为,},min{21X X N =的分布律为2.设X 与Y 为两个随机变量,且73}0,0{=≥≥Y X P ,74}0{}0{=≥=≥Y P X P ,则=≥}0),{max(Y X P ,=<}0),{min(Y X P3.设21,X X 的联合分布律为且满足1}0{21==X X P , 则==}{21X X P ,===}1/0{21X X P4.已知,X Y 的分布律为6113101ab XY 且{0}X =与{1}X Y +=独立,则a =________,b =__________5.随机变量Y X ,服从同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02083)(2x xx f ,设}{a X A >= 与}{a Y B >=相互独立,且43)(=⋃B A P ,则a =___________ 6.随机变量Y X ,相互独立且服从N (0,1)分布,Z =X +Y 的概率密度为__________,Z =X -Y 的概率密度为__________7.用二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率 (1)=<≤≤},{c Y b X a P(2)=<<},{b Y b X P(3)=≤≤}0{a Y P(4)=>≥},{b Y a X P二、选择题1.设随机变量X 与Y 相互独立,其分布律分别为212110PX ,212110P Y ,则以下结论正确的是( )Y X A =).( 1}{).(==Y X P B21}{).(==Y X P C ).(D 以上都不正确 2.随机变量X 、Y 独立,且0}1{}1{>====p Y P X P ,01}0{}0{>-====p Y P X P ,令⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01,要使X 与Z 独立,则P 值为( )32).(41).(21).(31).(D C B A3.二维随机变量(X ,Y )具有下述联合概率密度,X 与Y 是相互独立的,为( )⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),().(2y x xyx y x f A⎩⎨⎧<<<<=其它010,106),().(2y x y x y x f B⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它0,1023),().(xy x x x y x f C⎪⎩⎪⎨⎧><<=-其它,2021),().(y x ey x f D y4.设随机变量⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-412141101~i X (i =1,2),且满足1}0{21==X X P ,则)(}{21==X X P1).(41).(21).(0).(D C B A5.随机变量X ,Y 相互独立,)(x F X 和)(y F Y 分别是X ,Y 的分布函数,令),min(Y X Z =,则随机变量Z 的分布函数)(z F Z 为( ))}(),(min{).(z F z F A Y X )](1)][(1[1).(z F z F B Y X ---)()().(z F z F C Y X )()().(z F z F D Y X 或6.随机变量X ,Y 相互独立,且),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,则Y X Z +=仍具正态分布,且有( )),(~).(22211σσμ+N Z A ),(~).(2121σσμμ+N Z B ),(~).(222121σσμμ+N Z C ),(~).(222121σσμμ++N Z D三、问答题1.事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件,为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤?2.二维随机变量(X ,Y )的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系?3.多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别?4.两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同?为什么?5.两个相互独立的服从正态分布的随机变量1X 与2X 之和仍是正态随机变量,那么它们的线性组合21bX aX ±呢? 四、计算题1.设二维随机变量(X ,Y )在矩形区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x G 上服从均匀分布,记⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10,⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120,求U 、V 的联合分布律2.设(X ,Y )的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它0)0,0(),()43(y x Ce y x y x ϕ求(1)常数C ,(2))20,10(≤<≤<Y X P , (3)(X ,Y )的分布函数 ),(y x F3.设(X 、Y )的分布函数为)2)(arctan 2(arctan 1),(2πππ++=y x y x F ,),(+∞<<-∞y x求:(1)X ,Y 的边缘分布函数 (,)(y F x F Y X )(,)(y F x F Y X (2)X 、Y 的边缘分布密度函数 (,)(yf x f Y X )(,)(y f x f Y X4.袋中装有编号为-1,1,1,2的4个球,现从中无放回随机取球两次,每次取一个,以 21,X X 分别表示第一次和第二次取到的球的号码,求 (1)),(21X X 的联合分布律(2)关于 21,X X 和 的边缘分布律,并判别21,X X 和是否相互独立。

【高等数学】概率论与数理统计-多维随机变量及其分布专项试卷及答案解析

【高等数学】概率论与数理统计-多维随机变量及其分布专项试卷及答案解析

图3-8
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x+y=l
f j f (川)1 = 了 了心产ρ dxdy = 了叫了Axe-x(l+y) dy
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(4)F1 (x) 与F2 (x) 是两个分布函数,F1 (x)F2 (x) 也满足分布函数的充要条件,也是分 布函数.
[F1 (x)F2 (x汀 ’= !1 (x)F2 (x)+F1 (x)/2 (工)就是概率密度 .
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从而 F(x,y)=Fx(x)Fy (y) ,即X,Y 相互独立 .
如果X~N(µ ,a2 ), 则
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故φ(2x)对应X~N(O,
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,φ(y-1)对应Y~N(l,l).又
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第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题(每空3分)1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____. 2.若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-.3.(X,Y)的联合分布率由下表给出,则α,β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ,=β 19 时X 与Y 相互独立.4.设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5.设随机变量X,Y 同分布,X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,设A=(X>b )与B =(Y>b )相互独立,且3()4P A B ⋃=,则6.在区间(0,1)内随机取两个数,则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7. 设X 和Y 为两个随机变量,且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9.设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ,()D X Y -= 37 .10.设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题(每题4分)1.下列函数可以作为二维分布函数的是( B ).A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2.设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成,二维随机变量在区域D 上服从均匀分布,则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为(C ).A .12B .13C .14D .12-3.若(X,Y)服从二维均匀分布,则( B ).A .随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B .随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C .随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D .随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4.若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则( A ).A .X 与Y 不相关B .(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C .X 与Y 相互独立D .1XY ρ=-5.在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ,则{cos()0}P X Y +<=( D ).A .1B .12C . 23D .34三、计算题(第一题20分,第二题24分)1.已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值; (2)求(X,Y)的联合分布列; (3)求X-Y 的概率分布.解:(1)由正则性()1kP X k ==∑有,612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有,3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ; (2)求(X,Y)的分布函数;(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解:(1)∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12(2)143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他(3)(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3.设随机变量X,Y 相互独立,且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,求Z=X+Y 的密度函数 解:Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值,()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时,()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4.设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他,分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解:(1)因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时,()0M F z =当z ≥0时,()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时,()0N F z =当z ≥0时,()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5.设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他,(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他,求XY ρ.解:因为X,Y 相互独立,则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6.设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他,求X和Y 的边际密度函数.解:20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1.已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表,试验证X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立.证明:因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125,P(X=1)=0.375,P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2.设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明:因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3.设二维随机变量),Y X (的联合概率密度为:1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立,而2X 与2Y 相互独立.证明:因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立. 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时,;当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时,;当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时,;当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时,当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时,;所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立,即2X 与2Y 相互独立.。

(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A -B)=( 0.3 )。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。

3. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++ )。

4. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。

5. 某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为( 0.3456 )。

6. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为( ABC )。

7. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为( ABAC BC I I ); 8. 若事件A 与事件B 相互独立,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。

12. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.3 ); 13. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =U ( S )15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为( ABC ABC ABC ++ )16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =0.1则(|)P AB A B =U ( 0.2 ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S )18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为(110000)。

《概率论与数理统计》前三章习题解答

《概率论与数理统计》前三章习题解答

11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由


f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
第一章 概率论的基本概念
解:
令事件Ai分别表示输入AAAA,输入BBBB, 输入CCCC, i 1, , . 令事件A 表示输出ABCA. 23
由已知条件及独立性知
1 P( A | A2 ) P( A | A3 ) . 2
3
1 P( A | A1 ) , 2
2 2
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第一章 概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
2p1 . (3 1) p1 1
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第二章 随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求 出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第i次投掷时骰子出现的点 , 数
i 1,2,, n.则X minYi , Y maxYi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
14

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第三章 多维随机变量及其分布
பைடு நூலகம்
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}

概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题答案

第一章 随机事件及其概率复习题一. 单选1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. B9. C 10. A. 二. 填空1. 0.9,2. 11(1)n p --, 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2, 8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75. 三.计算与证明 1. 解: 6106610!()10104!P P A ==, 6668()0.810P B ==.2. 解:(1)4134411111(12)C P +=-=0.0372;(2)4124412!110.4271;12128!P P =-=-=(3)4132234444444666610.1004;0.1004.77C C C C P P +++=-===或3.解: ,0()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂∴≤≤=∴=则A ,B ,C 至少发生一个的概率为()()()()()()()()111115000.625.44416168P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=++---+==A ,B ,C 全不发生的概率为3()()1()0.375.8P A B C P A B C P A B C =⋃⋃=-⋃⋃==4.解:设A 表示任意取出一个产品是次品,123,,B B B 分别表示取出一、二、三车间生产的产品,则(1)由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.450.050.350.040.20.020.0405;P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 111()(|)0.450.05(|)0.556.()0.0405P B P A B P B A P A ⨯===5.解:设12,A A 分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,12,B B 分别表示取出第一、第二箱中的零件,则 (1)由全概率公式得1111212()()(|)()(|)0.50.20.50.60.4;P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=21121122122111()()(|)()(|)(2)(|)()()11091817()2504930290.4856.0.4P A A P B P A A B P B P A A B P A A P A P A +==⨯⨯+⨯==6.证明:{()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+- =()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C +- =(()()())()()()P A P B P AB P C P A B P C =+-=⋃ 故 A B ⋃与C 独立.第二章随机变量及其分布复习题一 选择题1. B2. B3. C4. D5. C 二 填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592.27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律:X -1 1 2P 616221三 解答题1. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表示两次调整之间生产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k k P X k C k -=== 设A 表示“5道选择题至少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解:1)一天中必须有油船转走意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞-=>==∑(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y 艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥⇒-≥⇒≤+≥⇒≥∑∑反查泊松分布表得6. 解:21)()()31()31(3131=+=+⇒>=<⎰⎰∞dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=⇒b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥<⇒<=Φ≥-Φ≈⇒≥⇒≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解:(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪-<<+∞⎪⎩011(2)(1)(0)2211(1)(0),22xxP Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==⎰⎰故Y 的概率分布律为 Y -1 1P 1/2 1/2Y 的分布函数为 0,11(),1121,1Y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ 第三章 多维随机变量及其分布复习题1. 解:()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====,i =1,2,3; 0j =,1,2.则X 和Y 的联合概率分布为YX0 1 212311218 124 16 14 11211218124()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解:由二维联合概率分布律及其性质可知:0.40.11a b +++=,即0.5a b += ()*()00.4P X a ==+, ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得: ()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4a a +=+可得:0.2a =,再有()*式得:0.3b =.3. 解:由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0,()0,1,()1,0,()1,1, 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-=()()()()1,0P X Y P A B P A P AB ====- ()()11,112P X Y P AB ====即YX0 1123 112161124. 解:由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他,()12,X X 的可能取值为()0,0,()0,1,()1,0,()1,1,则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤111y e dy e --==-⎰()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy ee---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22yP X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰,即:2X1X0 1111e -- 012ee--- 2e-5. 解:()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰,所以()()()6,,,0,,x y G f x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X的边缘密度函数为()()22666,01,0,x x X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()()66,01,0,yy Y dx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y fx y f x f y ≠.6. 解:()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y fx y dxdy -∞-∞⎛⎫<<=⎪⎝⎭⎰⎰111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰第四章 随机变量的数字特征复习题一 选择题B D B D C二 填空题1.18.4 2.1 3.0.9 4.6三 计算题 1.解:⎰+∞∞-dx x f )(=⎰20axdx +42()2621bx c dx a b c +=++=⎰242433222856()()()()6233233a b c E X xf x dx xaxdx x bx c dx xx x a b c +∞-∞==++=++=++=⎰⎰⎰P( 1<x<3)=⎰21axdx +⎰+32)(dx c bx =23a+25b+c=43∴11,,144a b c ==-=2解: E(Z)=21E(X)+31E(Y)=67, Cov(X,Y)= X YρDX DY =1,D(Z)=41D(X)+91D(Y)+31cov(X,Y)=3637Cov(X,Z)= cov(X,2X+3Y )= 21D(X)+31cov(X,Y)=65第七章 参数估计复习题1.解 似然函数为 12222221111()(,)2(2)nii i x x n ni ni i L f x e eσσσσπσπσ=--==∑===∏∏,取对数 221122ln ()ln(2)ln 2ln 22nniii i xxL n n n σπσπσσσ===--=---∑∑令2122ln ()022nii xd n L d σσσσ==-+=∑,解得2σ的极大似然估计值为221ˆxσ=.2.解 记12m in(,,...,)n n X X X X *=,此时θ的似然函数等价于1,()0,ni i x n n n e x L x θθθθ=-+**⎧∑⎪≤=⎨⎪>⎩所以只有当n x θ*≤时,才有可能使()L θ取到最大值.又()L θ对n x θ*≤的θ是增函数,故当n x θ*=取到其最大值.即()m ax ()n L x L θθ*>=所以θ的极大似然估计值为 12ˆmin(,,...,)n n x x x x θ*==.3.解 由于[,1]X U θθ+ ,故总体的期望为212E X θ+=,从而得到方程ˆ21,2X θ+= 解得 1ˆ2X θ=-.所以θ的矩估计量为 1ˆ2X θ=-.又111ˆ()()()222E E X E X E X θθ=-=-=-= ,故1ˆ2X θ=-是θ的无偏估计量.4.证明2221122111ˆ[()]()1(2)nniii i ni i i E E XE X nnEX EX nσμμμμ====-=-=-+∑∑∑2222211(2)ni nμσμμσ==+-+=∑故2ˆσ是2σ的无偏估计量。

第三章 多维随机变量及其分布答案

第三章 多维随机变量及其分布答案

第三章 多维随机变量及其分布答案一 选择题1. 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=,F(x)为X 的分布函数,则对任意实数a ,有 【 】(A) ()0()1aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) ()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰. (C ) ()()F a F a -=.(D) ()2()1F a F a -=-. 【答案】应选 (B) .【详解】因()()01()2aaF a x dx x dx ϕϕ--∞--==-⎰⎰,而()()00a a x dx x dx ϕϕ-=⎰⎰,所以()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰画图容易理解。

2. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,)()(y f x f Y X 分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y 的条件下,X的密度)|(|y x f Y X 为 【 】 (A) )(x f X . (B) )(y f Y . (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X . 【答案】应选 (A) .【详解】因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则 【 】 (A) {}01/2P X Y +≤=. (B) {}11/2P X Y +≤=. (C ) {}01/2P X Y -≤=. (D) {}11/2P X Y -≤=. 【答案】应选 (B) .【详解】由~(0,1)~(1,1)X N Y N X Y 与以及与相互独立,得X ~(1,2)Y N + ,X-~(1,2)Y N - 因为,若2Z~N(,)μσ,则必有{}12P Z μ≤=,比较四个选项,只有(B)正确。

4. 设随机变量X 和随机变量Y 都服从正态分布,且它们不相关,则 【 】 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C ) X 和Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答案】应选 (B) .【详解】由于只有当(X,Y)服从二维正态分布时,X 与Y 不相关X 和Y 相互独立。

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章-多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案一、填空题(每空3分)1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为13A + ---------------- r 一 ---- ---- r .X>0,y>0Fgy)=(1 + X +)丁 (1 + xy (1 + yy ,则 A 二 __ [__.0,其他2. 若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域民(<x<x 2,y l <y<y 2]的 概率 为 __________________________________________八勺,>‘2)一F®, Vj) + F(Aj ,打)一 F(X[,y 2).3. (X.Y)的联合分布率由下表给出,则a, 0应满足的条件是a + P = , 2 I当,0 = —©一时X 与丫相互独立.(X,Y)(1,1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) ⑵2) (2, 3)P1/61/91/181/3aP4. 设二维随机变量的密度函数/•(x,y) = V'°H022,则0, 其他5. 设随机变量X,Y 同分布,X 的密度函数为/(")= 产 设人二a 其他(X>b)与B 二(Y>b)相互独立,且P(A^B) = - ■则b 二 習 ・4 ~—— -------------------6. 在区间(0,1)随机取两个数,则事件“两数之积大于丄”的概率为P(X + Y>\) =65 —72347. 设x 和Y 为两个随机变量,且p (x>o,y>o )=pP (x>o )= p (y>o )= -, 则 P(max{X,y}>0)= _|.8.随机变量(X,y )~N(O,O,UO),则 D(3X-2Y)二13 .9・设 D(X) = 25Q(Y) = 36“xy =0・4 ,则 D(X+Y) = _______ 85 _______ D(X-Y) = ______ 37 _______10.设随机变量Z = (aX+ 3Y)29E(X) = E(Y) = 0.D(X) = 4,D(Y) = 16, Px> =-0.5,则 E(Z)m 严_108 二. 单项选择题(每题4分)1. 下列函数可以作为二维分布函数的是(B )・2. 设平面区域D 由曲线y =-及直线x = 0,y = \,y = e 2围成,二维随机变量 在区域D 上服从均匀分布,则(X,Y )关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为(C ).A. -B.- 2 3C.- D.--423. 若(X,Y )服从二维均匀分布,则(B ). A. 随机变量X.Y 都服从一维均匀分布 B. 随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C. 随机变量X,Y —定都服从一维均匀分布 D. 随机变量X+Y 服从一维均匀分布x+ y > 0.8 ,其他.x>0,y>0.其他.C. F(x y y) = \lJ^e^tdsdtD . y)=x > 0, y > 0,其他.B. F(x.y) = <clsdt. 严y o.4.若D(X+Y)二D(X)+D(Y).则(A ).A. X与Y不相关 B • F(x,y) = F x(x) F Y(y)5.在[0“]上均匀地任取两数X和Y,则P{cos(X+Y)vO}= ( D ).19 3A. 1B. -C. -D.二2 3 4三、计算题(第一題20分,第二题24分)1.已知P(X =幻=2P(Y = -幻=2■,伙=123), X与丫相互独立.k lc(1)确定a,b的值;(2)求(X,Y)的联合分布列;(3)求X-Y的概率分布.解:(1)由正则性为P(X=k) = l 有,a + — + — = \^a = —k 2 3 11V P(Y =-切=1 有,/? + — + — = 1=>Z? = —牛 4 9 49(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y的概率分布为2.设随机变量(X,Y)的密度函数为p(x.y) =(1)确定常数k;(2)求(X,Y)的分布函数;辰-gf > a y > °0, 其他(3)求P(0<X<L0<y<2).解:(1) Vk I*J e~^xdx = k(-; e -4' ) I ; •(_;厂")l ;= 土 = 1 J 0412Ak=12(2 ) F(x, y) =「i 12a 一⑶+%“dv = 12 丄(1 一 e"3x )(l- e"4)?)Oo12=(1 _e 一弘)(1 —a"4 V ) Q0,y>0FzjU-igfw 〉。

《概率论与数理统计》习题三参考答案 多维随机变量及其分布(熊万民、杨波版)

《概率论与数理统计》习题三参考答案 多维随机变量及其分布(熊万民、杨波版)

~
f
Z
z
2ez
1
0
e
z
z0

其他
19.5 个相互独立工作的电子元器件,它们的寿命 Xk(k=1,2,3,4,5)服从同一指数分布,其
概率密度为: X k ~ f x 0.0010e0.001x
x x
0 0
,分布函数为
F
x
1
e0.001x 0
x0

x0
Z Ma xX1, X 2 , X3, X 4 , X5 的概率密度函数为: Z ~ FZ z F z5 ,
P X 2,Y 2 P X 2,Y 3 P X 3,Y 1 P X 3,Y 2 0 ,
PX
0,Y
3
PX
0
C30
1 2
3
1 8

PX
3,Y
3
PX
3
1 8

PX
1, Y
1
PX
1
3 8

PX
2,Y
1
PX
2
C32
1 2
3
3 8

2.盒子里边装有 3 个白球,3 个黑球,2 个红球,从中任取 4 个球, X 为取到的白球个数, Y 为
0
2
e2 ydy 1 ez
z
2
z0

z0
(2)因为 X ,Y ~ f x, y e0xy
x 0,
y0
,则
X
~
E 1 ,Y
~
E 1,且
X
、Y
相互
其他
独立,则 Z
Max X ,Y 的概率分布函数为:Z

概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

第一章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布设(X打的分布律対1^6 19 1/181'3 M 19求口-解答=由分布律性质工A - L可知I 6+ 1/9^1 "lfi +1/3 +"+ 1/9-1, 解得£戸込I习題2(丄)2.ig {X, F)的分布ill數为Fa. J'),试用尺工门表示:尸治Gf £仇F g匸}-尺机t)-尺“疋),,习題2(2)I2.® (尤n的分布函勒为川斗理),试用/-UJ)表示:(2)p;o<y<忙;尸出町yg冇j =鬥+卫』)三尸(+ 00'0)・习題24)]2■设g y)的分布働対珂扎小试用表示;(3)門疋>0, y<^i *尸尸<郴=F(+<K上)—尸他[解答=1P{max|A; n ^0| -P{Y, 少•个夭于J'O}=pgo} + W20} -P{X20. y纫4 4 3 5**7 7 7 7习題5丨(Kn只取下列数值中的值:(0.0), (-1, I), 、(2.0)且相应釈率依次为扌,,缶存请列出(x,r)的畴分布表,并写出关于啲边缘分布・解答^(I )因为所给的一组槪率实数显然均大于驭 且有1 + 1 +补+刍=1,故所给的一组实数必6 3 12 12是某二维随机变蚩(x,r )的麻合概率分布.因(* D 只取上述四组可能值,故事件:-I, r^Ob <X ・0・ y=-h{X- 0, r-1 H |x= 2・ n {*■ 2. y -1},均为不可能事件,其概率必为®.因而得到下表!0 1/3(2)F{f ・0}«P{X=-i, Y 0} +P{X-o, y=o} +P{%・2, r-0} n I 5 7=0H — + —=—,6 12 12同祥可求得P W >I 3j关于的y 边缘分布见下表^0 1/3 712 1/12 1/3 设随机向量(A ; K )服从二维正态分布M ()・(h 101101()),其低率密度为1 "八"2«0n求 PIX^Y].解答=丨由于尸氐W Y] 4 P{x> r} = h 且由正态分布图形的对称性,知円 XS n = P{x> r\,故 P{*S Y} = ;.习題7设®机变*(& D 的概率密度为7(6-Jf-卩),0<1<2,2<v<4'-I 0. Mt则⑴确罡常数灯(2)求P{Xvl 』v3”(3)求PXvlS}; (4)求P{X+y<4}・1/65-42 1/12 0 0 1/3 012 p{y=】r,解答;1如s所示(I)由「J:/(x,y)心a”. I >确定常数人-JJ^Z:(6-X-yydydx = Hj6-Ixydx = 8A = I ,⑵ P{X< l,r<3) = 4寸;1(6 7-刃在u 扌・⑶ P{X<\.5}=£ rfx£i(6-j-y)</v=寻.(4) P{无4人42J施广i(6_x-y)妇扌.[习題8」_____________________________________已知财口y的联合密度为C 、'w.OSMl.O 幻 G f{x. V)= <■ K 0, 氏它试求:(I)常数(2)尢和y的联合分布跚凡2).解答=1⑴由于TH :/(x, y)dxdy =41 xytfxdy = ~,E = 4 .⑵当X M 0或y 5 0时,显然Fg y) = 0 J当x2 1,y2l日寸,显然F(x,>■) = H设OSM I、0^> < I 有E(x, y} = P J* /{u, v}duJ\ =4(严也卜也=巧》^;设05x<l , v>l;有F{x,y}= P[X< l,K< vJ = =jr)最后,设xA(b OMpSl,有F(jr,v)= P[X< I, y<v\ =4jjM寸;vdv = r. 函数F(儿y)在平面各区域的表达式0, x<0i^<0F, 0<.v< i.>-> lF(")=巧人0<x< 1、0<y< I .r,x>i,OSySI习題9设二维随机变量伉,D的柢率密度为£[4・8只丨-X). 0<xS l.JT <y< 1心”0, ft它解答:人仗)■匚/Z)创f 4剛1 -x)a 几0, 其它2.4(l-F)(I-x), OSxSl ~1 0,其它♦_ 们4・8叩-x)dx, O£yW I0, H•它_ 2.4r(2-y), OSvSl0,其它•习a丄0 I设ee在邮刼"所ffl戒的区域仃里服从1祠分布J求联台廿布啻虜和边缘分布密度.E域G的面积月三J:b -论==,由题设知(X n的联合分布密度为6, 0盂』MhrWyW.Y/gm 二①11它”从而八h.v)fA =叮:创=(心rb s哲I,&0:—护h 0 W岸兰1.心卞)=J 3(),JI它同样的/ ") =「:rg处=或:必=6由-.V),u^v< 1^即# f小刃-1■ '■ 1 0, R L ■条件分布与随机变量的独立性二维随机变量(尤n的分布律为0 17/15 7.307/30 1/15(1)y的边缘分布律J(2)求Pr=o|x=oh P w=iro};⑶判定兀与y是否独立?解答:1⑴由(XJ)的分布律知b y只取0及1两个值・P{y=0} = P{x = 0j = 0} +Pb= l,j = 0;=«j^ +寺= 0.7,j-(j JO 15(2)P{y=Qx = 0}= P{x"0」"0} = ? ?* P{x = 0} 3⑶已知P{2 0,尸= 由⑴知Ptv=0i=0.7,樂以可得尸仪=0}-0.7.因^鬥20,尸0}*{.20}•氏2(1},所以*与y不独i・将某一医药公司9月份和8份的膏莖素针剂的订货里分别记为X与y.据以往积累的资科知X 和y的联合分布律为51 52 53 54z51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0,05 0.01 0.01 0.0153 0,05 0.10 0.100.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0,01 0,030.05 QM005 0.01 0-03(1)求边缘分布律;(2)求X月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.解答=丨X5152 53 54 55 0J8 0.15 035 0.12 0.20 *对应丸的值,将每行的祗率相加b 可得円/"・}•对应y 的值(最上边的一行b 将S 列的柢率相加 可得p{y 可:•52 53 54 55~~6^2~0^~0.13 •⑵当y - 51B 寸'X 的条件分布律为鬥Ei,備宵严=粽,"5WK55.列表如口习题3 1 已乳(X n 的分布律如下表所示y-^ -1^LrL •(1) uy=i 的条件下,戈的条件分布律,(2) 在X«2的条件下,y 的条件分布律.f 解答=1由麻合分布律得关于X. y 的两个边缘分布律为故⑴在y-1条件下,尢的条件分布律为_0 1 23/11 8/11 0 ⑵在X=2的条件下.y 的条件分布律为4/7 0 3/7(I)边缘分布律丄 X "719/24 8/24 7/241024 11'24 3/24由尢与y 相互独立知PiX=x,. r=j ;j=P{X=xJP{y=yJ, /=l,2,3.4, 7=1,2.3, 从丽(A ; y )的K 合祗率分布为P{X+y=\}= P{X«・ P{X«O, y=l}=—+ — = 16 4K 12P{X+ y*0} = I - P{X+ F 二0}= 】-P{X 二-b y=i}-p4x== -二2 2 1 I 32S12 6 4习題5丨丸与y 相互独立,其概率分布如表S )及表⑹所示,求:(KK )的联合概率分布, Pj%+r=iH P{*+y*o}・-20 1/2-1/2 1/4 1/3 142 1/31/21/4 1/4表3)解答: (I)由题设易知fk I人(-4—, I a M 尼又y 卜相互独立,故A ■与》的联合槪率密度为L tk 找它⑵因2有实根}-:判另弑A=-4A^'-4ys()! - {用2鬥,I + y-yr舌则图所示得到:、 」■尸加有实根} =P {X-> Y } = H “儿 ,曲T 町V 讪」/「 rr '%工=l - ; ."dr-r HLclx-二维随机变量函数的分布r?=1 一莎J 壮一丘『厂必■ ■ =]—血他⑴―山⑹,又tl>(IJ-0.MI.3 I 小(冊三2^于杲巾(I)-伽(0)-03413』所以 尸旧有实根! = 1 — 血冲(I)—职仙] -2.51贰0加13 = (1」4工=-t(i )z=r +y 酚布律为•2 0 A 1/10151/2 110 no-2 1/21/5 1/10 1/10 1/10J/2 1/51'5 3/10 151 10(4)Z.max1Xri 的分布律习那]设二维隨机向S (x, y )眼从矩形区,或D “(2)IOSM 2・0<八H 的均匀分布,且 ■ , fo.xsy “ 3*s2yU=1 ; v=)J, x>2r解答:I依题(U 耳的概率分布为P{CZ=O, V^Q}^P{X^KX<Y\=P{X^Y}咖:扑w ,p{(7=o,I j = P{XM};x>2r}M(bp {c/=i,r=o}=p {x>y,x<2y}=p<y<xs2Y}=例:5心,p{u-1, r-1}=1 -p{r=o, r=o|-P|c/=o, r= i }-p {u= i, r=o} = iz2,(3) Z 二*"的分布律-2 1/101/57/10[\.X> y求0与A 的联合概率分布.I习題4 I设(x,r)的联合分布密度为I E —e " 2n求2的分布密度.解答:依翹意,由_____当xO时,FX Z)=P(0)=O J当沦0时,F^z).P{X'+r'^z^)- JJ /{x.yydxdy・« ・1 ■p・5 =-j;x^ 曲» [g ,dp■ 1 - e •故2的分布函数为FQ・0, 2<02的分布密度为ze \ 2>0L 0, 2<0习題5〕颇机变量(X "师率密度为・a + v)<? A”, x>0.y>0r(x 丿” \ 2I 0,煤它(I )冋;V 和y 是否相互独立?(2)求7«* †+ y 的概率密度• 解答=1(|)/7力=厂/("曲依题童,x,y 的柢率密度分布为fl, Owl心0.其它'由卷积公式得Z«x+ y 的概率密度为//2)=匸:/(xteG ~x)dx,于是当 0<x<l, z-x>O01,广(x)j?U-x)*O,故兰 Ovx<Nv I 日寸,有 /'/z)=£t* '• m 办=1-t? r ;当沦I 时,有//z>=£e» *■ **rfr=e*即2的駅率密度为x> 0 一时,/(X. z-.v)*O,所 X<2-xe ^dx = —z^e :. ? 2习题6 1设随机变S* y相互独i,若刘艮从(0, I)上那咖布,}服从参数I的指数分布,求随机变量z=x+y的率密度.解答=IQp八0鮒)0. «它■-e—e0<二<I习題7 I0. VMO01lt0, M<0 (1-C 于丁〒OS“vl ・设随机变量(X y)的槪率密度为bgWj 0<xvl,0<y<+80,具它(1)试确定常数切⑵求边缘概率密度/e), ⑶求函数U= max数.⑴由J 工 J{x,y}dxdy = 1 ,确定常数 b.J ;厶J ;仏 'e Py-W-e *)/(x.y} =-—e Ovx< 1,0vyV+8 e~'0, 其它(2)由边缘概率密度的定义得--- e 0,-e(叫几Ovxvl 淇它0. «它~e0•氏它I0,氏它⑶因为/(x,j)=/,Xx)/,<v),所以龙与y 独立,故F(W) = Pfmax {兀 Y] W i/} =P{X^ u, r<H J =fyw)FK■ f ] ■ JI其中 Fv(X)-£-j-^<// Ovxvl,所以0, H SO-eI -a-,Q<x< 1 •"1同理£c ⑷,0<y<+ « 1—严;0vy<4oo0, y<0习題7 I1 -<?',习題B设系统丄是由两个相互独立的子系统丄和E 职串联方式联接而成,人和丄,的寿命分另I 伪A 与 b 其概奉密度分另怙,隹(h ・)i(K .Y<0解答:设 Z-inin{y, V\ 则F(d = FM>二}-你miti{*= }= l-r|niiii(-\; }-r{X^2. } S J} =1-IIP""川 1 —珥 ^二}|= }-[}-F,[=]][}=由于* z>0认 z<nf I -r 巴 z>0 尺㈡* I 0, Z<n0, z<(l从而3>()习题9设随机变童疋湘互独立』且服从.同一分布』试证明;P {(t < niiniX 卄"2 [鬥出]丄—[PiX> * 口»ff 答:设血i^F}二乙则尸旧wruMfJ ; F)"} =£//>) = ◎(&)』/7二尸尸{min f A ;打"} — 1 —鬥min |兀 冷“} -l-nX>z r>r^- I -F{#dz}P{FHz} 二丨TFfvr 门代入得/^{u<imii{A ; n 5; = I - If {人、忧F-(l -f汗}打""耐证毕.复习总结与总习题解答0. v<()苴中,』>{),“〉(b 回,试束系?盍丄的寿命Z 的柢率密Rr) = *1 —严+吒£>0习題1丨在一箱子中装有12只开关,其中2只罡次品,在其中取两次,毎次任取一只,考虑两种试殓;(I )放回抽样八2)不放回披样•我们走义随机变量X. y 如下:-0若第一次取出的是止品"":1■芳® —次取卅的走次品' 解答:(I )有放回抽样,(X, n 分布律如下:p.v=o,r=o, = ^ = g,P{x=.,x=o, = ^ = l(2)不放回抽祥,(尤n 的分布律如下:P{X=(). y=()} =竺11 =竺,P{x=o,y=i} =史11 =凹12x11 66 12x11 66 P {灼,—“^二黑砒"—2二=£ 12x 11 66I2x II 66假设随机变量y 服从聲数为1的指数分布,随机变量母屮仟仏3求(兀冷的联合分布率与边缘分布率.0■若第二次取Hi 的是lE 品 1,若箔一次取出的是次跖 砂别就(I ),(2)两种谢兄,写出/和 > 的联合分布律•Y=<劭y服从劳数为啲指数分布,血=『电"|,所以有11,若 1= I} = P| y> I} = J* % ^dy = c ',f{y, = 0} = l-eP{X=I}= P{y>2}=J;l 'dy = e 2,P{Xj = O} =1 -e 2,= l)=P{y>2)=e SrjA^,= l,Yj = O( = f{X,= l}-r{X, = UXj = l} =e '-e P{X, = O,A;=O}=P{r^t!= !-<?*',p {/=o,& = H = Ptv,=o}-PM>o,y=o}=(), 故e,Ay联合分布率与边壕分布率如下表所示:在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3只橘子,2只苹果,3只香嵐今从袋中随机抽出4只,以乂记橘子数,y记苹果数,求gn的联合分布•解答=IX可取值为0,1,23 y可取值0, 1,2,则Ptv=o, r=o3=p{0( = o, P{Y=o, y=i}=c:c;c"c;=2/7o, 門X=o, y=2} =C;GC:/C:= 3/7O, = 1, r= GJ = CjC^Cj/C'; = 3/70,P{X= I, Y=\}= C;C;G/G = I 8/70, P {%= I, r=2} = C;C;C;/C = 9/70,P{X=2, r=<)}=qc^c5/C; = 9/7O, P{X = 2, r=|>=c^cjc;/q= 18/70, 門X=2,r=2}=C;C;C;/C; = 3/7(b P{X=3, r=()! =C;C;rl/C;=3/7O,P{X=3, r=l5=C;CX7C'; = 2/7O, P|Y=3, X=21=PJ0} = O,所以,(X, 合芬布如下:设斑机变量兀与y相互独立,下勵tt 了二维随机变量(x, n的联合分布律及关于尢与y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值《入表中的空a处:解答=]由题设X与y相互独立》即有"厂几几0- 1.2; R 1,2,3),又由独立性,有故化笃从而円产5・方-§,又由几产几P"即从而P产才类似的育I 1 3卩严亍如蔦'卩2蔦将上述数值填入衰中有(2)(x(一=呼Array n s鎗當墨(2)因窗賞J: 2X0-r叭工 <dsxa 一灶yAI-B 「FumnoJ◎脏一八 2yI -讥弋A o 畀-F(XQ )H P C SH一・y H—二 H -、4J 显X22、—-^ycoBq》 F (X ・S H 2X »一•y" — 二4P亠尢》2・y »— 二H5二2j显一人xa2;>0尹F (x・0»^x»-・ T—二*史XH 厂◎肛X W2;W O 尹/%R・Y )H P K H一・n H —二+2X H2・ PH I 二 + p 亠X H 厂 〉+解答:I 2应彳,£.由分布律的性质可知I 九=丨,故习題9 I _________________________ 设H 随机变量(尤naw 率密度函数为Ct?0,儿它⑴确定常数门(2) 求X"的边缘概率密度函数J (3) 羽联合分伟国数尸(X 』); (4) 求 P{ysx}; (5) 求条件槪率密度函数 (6) 求P{X<2\Y<\} •I 解答=1⑴由匚工 /(X, y](ix(iy^ 1 求常数 f - i :r-即0+0=■•3又因九与y 相互独立,故pjx=A r=ZJ = P^x=/iP{X=7b 从而 «・P{*・2, K-2}«P{r -i|P{r-/!r 1 VI 、V9 A4J2 *6,0 = P{X=3、X=2}=PJT=3JP{Y=2} fl I -+ -U 31+#]转1+0A3*3. 〔訂⑵A(x)=J y(x,v)Jv =■「2宀“ x>020・hx>O/Q) ■匸/(xj)必= J 「2eW 血y>00, «它严y>0 10, ySO(3)f J 〉■ r r /(“• v}dvdu< ■«! .rXJJ :2° 叫'dvdu. x>0,r>0 0,氏它J(1-宀)(iy)・ x>0,y>0 "I 0.其它•(4) 門卩£卫=厂叫2€ % 7/1 =j^ 2e -'(I-e ")必=\(5) 当八0时,,2r — ♦<-x>0 J2e, x>0 0. x<Q to ,"0(6) P{X< 2|r<I} = P'Xu 2,F(2, 1) (\-e-■ --------- : --- = 1 — e?0. xSO二/(")二J:e M 设随机变置以槪率I取值为(b而y是任—e意的随机变量,iiP加与丫相互独立.解答=I因为必的分布函数为0, %r<offfF(x)=< . 7〔1,畑側设y的分布因数为几0), (x, n的分布国数为Fgy),则兰工"时,对任意厂有F{x,y} = P{X<x, Y^y} = P{{X<x}r>(y<y}}= F{0C(F)}=F{0}=O= F3F3当20时,对任意F,有川儿卩)-PiX<x, Y<y} - P {(XS)c(FQ,)}- 勺刘-/>{〉<,} = FQ)=F/MO).依罡义,由Fg y) = F#r)厲仞知,北与V独立.设连续型随机变S(x,y)的两个弁S尢和*相互独立,且服从同一分布,试证P{X<Y\ = \fl.解答:I因为A; y独立,所咲/(X」)=//x)/)0).P伫r:=『心刃艸 =口/的/QMS•cSy jrSr■ {二[/0龙8^0皿皿・「:[/\0)尸0)]妙=J /^XvWv)=—L:=-.J" 2 2注:也可以利用对称性来证,因为X」独立同分布,所以有P\X<Y}=P\y<X\,而p{xs rj \ P{X2 Y} = \,故F{/Vsr}-I/I2.习題121设二维随机变量(A ; D 的联合分布律为“2 X 、 a 1/9 c? "9A13若久与y 相互独立,求参数a,人C 的值• 解答:]关于*的边缘分布为a + - A+ - C —9 93关于y 的边缘分布为,4 fl + c+ • b+ • 99 由于X 与y 独立,则有几2=P 、Pa 得 ( ./>= b4- /)+V 9八 由P\2訴P"得由式①得"二彳,代入式②得"右,由分布律的性质,rt + />4c + — + - -1—9 9 3代入"IV g?得心•易验证,所求绒也C 的值,对任倉的j 和/坷荐足甘化XPj.因此,所求依处的值为"丄,』,c=l18 96P K/ f9.习題14 I设(工K)的联合密度I 邂故为P ,『打匕用f(x,y)=< H R ・ ,0, K 它⑴求北与^的边缘概率密度;(2)求条件概率密度,并问龙与y 是否独立?⑴当 *<-/?或^>/?时,f/x) = J ^/(x, y)</v=J *0命=0; 当一RS T WRE 寸,AW 叮并』如爲几4 =务戸• 于是'乍■尺"/Q) = 1宛斤V 0,兀它由于X 和y 具有对称性,同法可得y 的边缘#[率密度为/爲光厂,*曲0,其它值位于IM W J R ' -}2这个范围内,/'(儿y)才有非零JlR1/ 灿)=-7 —= / . 2 '即件1R 率密JS 为—r===, 1X |M JP ■“ /WMy)= 2j 用-尸0, 它同法可得X= X 时y 的条件祗率密度为f« 2{疋-£ .(),It 它 由于条fMR 率密度与边編R 率密度不相等,所以尢与y 不独立.⑵/>0卜)=少亠,注意到在y 处X ・/心)值,敌在此范團内,有霞 一5H H-心鼻働奮吐長o r n +y 叭Z)MOJ肛0览八一孚- Es«pbv+yn 一—=n (n d oe+r*r;令«z{2lz)l5(2lzr+ (hl-)2J吐ZW2鼻』=/'(XG)4zva ・nfuYfyxan一 • 3 0.2(21^13(21* I VN A O22搭AS H 一 2 I P匚P一从0人2・t 习題IT I设H 随机娈量(X X)的概率密度为2g52.q 2()j>00,其它 求随机变Sx-乂+2y 的分布佛.按定义/7Z) = P{x 千即当 ZM0时,F/Z)= JJ f{x,y}dx<iy = JJ 0厶妙=0.J( *2*" X * 2> S J 当-A O 时,F/Z)= JJ /(斗划厶亦I 叫幼 J *2yS :=£e '(I - e" 9iZv=[(e “-e •)<Zx = [-e"*^|^-ze'* =l-g7-二 g7,0, 注0习題W 1设随机变MX 与y 相互独立,其概率密度函数分别为Ae^\y>010. yso驰(I)常数‘4; (2)随机变量Z-2X+ >的概率密度(酬•(1) 1 «「:/0)心《」「才吆 3" •(2) 因^与F 相互独立,故(A ;y)的联合概率密度为e"\ OS N M I, v>0 •, 0,氏它 于是当zwO 时,有F ⑵二P{2W Z }M P{2X+ r^r}=Oj当OS 注2时,有F(z) = P{2X +ysz}=['住% VvJ 如当A 2时,有F(z) = P{2X+ ys2}=f :次匸 \ Vv =j^(l 仙.利用分布1跚法求^寻7亠2X+ y 删率密度a 数为0,匸<0(M -1)0 ¥2.沦 2{//*)= (l-e 9/2, O<2<2・/g)=故分布酗为F") M \1 ^-se •, z> 0 一、I.OSxSl 八、朋£・其它,如十习ai9 I is 阴机变量K.y 相互独立,若尤与y 分别服从区间(0, I )与(仇2)上的均匀分布,求U= max{X 幷与 r-minM ; Y\«答=I由题设知,尢与F 的概率密度分别为1, 0<x<1 .0, It 它'于是,①尢与啲分布函数分另|]为0, xMO X. 0 M X V 1, I 1, 21从而U= max{A ; Y ]的分布为K w22故n 的柢率密度为W, 0<u<l/tO/) =②龍,由r,b')=i-[I -F A X 呱 1-®] =人何 + F") -FXv)F,{v) =尸3)+ 厲3)-耳3), 得y=niin{X n 踽布瀏为f 0,OSv< I,故心min W}的概率密度为'3I - - V, 0<v< I.A (v )=b ^,0, K 它注;(I )用卷积公式,主S 的困难在于店丫的《?率密度为分段函数,故卷积需®分段计亀 ⑵先分别求出X 」的分布函数FQ )与FQ ),然后求出片何,再求导得/沖);同理先求 出FQ ),求导即得/a.ri/2.0<>-<2M 0.其它 0. > <0 y/2, OSy V2,F,4w) = FJw)F|-(w) =0, M<0ir/2, 0<«< 1w/2, 1 S w V 2vvO* — Xt习題IT I"如x>00, ,<0 r畔I-/e Wx>0-20. je<o-(X+ l)e \ x>0(),丫<0-(V + I)e \ y> 0由対称+蜘,显然I 0, pMO.Z'g"A(x)/Q),JC>0.y>0, 所以龙与y不独立.(2)用卷积公式求= 当{即•当时,//r) = Oj 当"0吋,/血)=帛于是,z="+y的积率密度为12>0 zMO。

概率论与数理统计(理工类 第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案.pdf

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第一章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布
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一寸光阴不可轻 3.2 条件分布与随机变量的独立性
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3.3 二维随机变量函数的分布
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复习总结与总习题解答
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7. 设 随 机 变 量 ( X , Y ) 服 从 二 维 正 态 分 布 N ( μ1 , μ 2 , σ 12 , σ 22 , ρ ) , 则 EX =
DX =
E | X − Y |=

, cov( X , Y ) = 。
, X − Y 服从
分布,当 μ1 = μ2 时
解: X ~ N ( μ1 , σ 12 ) ⇒ EX = μ1 , DX = σ 12 , cov( X , Y ) = ρσ 1σ 2
R
2
1
x
0
0
k 3
+∞
(2) f X ( x) =
−∞

⎧x 2 ⎪ 3xdy = 3 x f ( x, y )dy = ⎨ ∫ 0 ⎪ 0 ⎩
0 ≤ x ≤1 other
+∞
fY ( y ) =
−∞

⎧1 3 2 ⎪ ∫ 3 xdx = (1 − y ) 0 ≤ y ≤ 1 2 f ( x, y )dx = ⎨ y ⎪ 0 other ⎩
18 8 2 × = 36 18 9
18 (2 + 2) × 2 2 × = 36 18 9 18 2 1 × = 36 18 18 9 4 1 × = 36 9 9
P ( X = 1, Y = 2) = P ( X = 1) P (Y = 2 | X = 1) =
P ( X = 2, Y = 0) = P ( X = 2) P (Y = 0 | X = 2) = P ( X = 2, Y = 1) = P( X = 2) P (Y = 1 | X = 2) =
P ( X = −1, Y = 1) = P (U < −1, U ≥ 1) = 0 1 4
P ( X = 1, Y = −1) = P (U ≥ −1, U < 1) = P (−1 ≤ U < 1) = P( X = 1, Y = 1) = P (U ≥ −1, U ≥ 1) = P(U ≥ 1) = 1 4
1 2
(2) P( X = −1) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = −1, Y = 1) =
P (Y = −1) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = −1) = P ( X = −1, Y = −1) = 1 3 ≠ P ( X = −1) P (Y = −1) = 16 4
⎧y ⎪ 2dy = 2 y 0 < y < 1 f ( x, y )dx = ⎨ ∫ 0 ⎪ 0 other ⎩
+∞
fY ( y ) =
−∞

3. 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为
X Y
0
1/15
1
p
1/ 5
2
1/ 5 3 /10
0 1 则当 p = 解: p + q +
p=
q
,q =
P ( Z = 2) = P ( X = 2, Y = 0) + P ( X = 2, Y = 1) + P ( X = 0, Y = 2) + P ( X = 1, Y = 2) + P ( X = 2, Y = 2) =
(4) 由 X , Y 的边缘分布律易得: EX = 1, EY = 而 X , Y 独立,所以 E ( XY ) = EXEY = 2. 设随机变量 U ~ U (−2, 2) ,令
P ( X = 0, Y = 1) = P( X = 0) P (Y = 1| X = 0) = 9 4 1 × = 36 9 9
9 4 1 × = 36 9 9 9 1 1 × = 36 9 36
P ( X = 0, Y = 2) = P ( X = 0) P (Y = 2 | X = 0) = P ( X = 1, Y = 0) = P ( X = 1) P (Y = 0 | X = 1) = P ( X = 1, Y = 1) = P ( X = 1) P (Y = 1| X = 1) =
X ,Y
3 7
4 7
) 。
5 7
⎧k 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 ,则 k = 其它 ⎩0
, 。
的边缘密度函数分别为:
1 y
解: 1 = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫ kdx = 0.5k , k = 2
R2 0 0
+∞
f X ( x) =
−∞

⎧1 ⎪ 2dy = 2 − 2 x 0 < x < 1 f ( x, y )dy = ⎨ ∫ x ⎪ 0 other ⎩
多维随机变量复习题解答
一、填空
1. 已知 P ( X ≥ 0, Y ≥ 0) = , P( X ≥ 0) = P (Y ≥ 0) = ,则 P(max{ X , Y } ≥ 0) = ( 解: P(max{ X , Y } ≥ 0) = P( X ≥ 0 or Y ≥ 0) = P ( X ≥ 0) + P (Y ≥ 0) − P ( X ≥ 0, Y ≥ 0) = 2. 设随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为: f ( x, y ) = ⎨
X − Y ~ N ( μ1 − μ 2 , σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 )
当 μ1 = μ2 时 X − Y ~ N (0, σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 ) 。所以
E | X − Y |=
+∞ −∞∫|x|源自+∞⎛ ⎞ x2 exp ⎜ − ⎟ dx 2 2 2 2 ⎝ 2(σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2 ) ⎠ 2π (σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2 ) 1 ⎛ ⎞ x2 exp ⎜ − ⎟ dx 2 2 2 2 ⎝ 2(σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2 ) ⎠ 2π (σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2 ) 1
, D(2 X − 3Y ) =

解: D(2 X + 3Y ) = 4 DX + 9 DY + 12 cov( X , Y ) = 40 + 45 + 12 × (−0.5) × DXDY = 85 − 30 2
D(2 X − 3Y ) = 4 DX + 9 DY − 12cov( X , Y ) = 40 + 45 − 12 × (−0.5) × DXDY = 85 + 30 2
解: E (2 X + 3Y − Z ) = 0, D(2 X + 3Y − Z ) = 36 ⇒ 2 X + 3Y − Z ~ N (0,36)
⎛6−0⎞ ⎛0−0⎞ P(0 ≤ 2 X + 3Y − Z ≤ 6) = Φ ⎜ ⎟−Φ⎜ ⎟ = Φ (1) − 0.5 6 ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠
5. 设 X , Y 相 互 独 立 , 且 X ~ N (0, 4) , Y ~ U (0, 4) , 则 D(2 X + Y ) =
二、计算题
1. 掷均匀骰子二次,设 X 是得偶数点数次数, Y 是得 3 点或 6 点次数, (1) 求
( X , Y ) 的联合分布律和边缘分布律,(2)判别 X , Y
是否独立?(3) 求 Z = max{ X , Y } 的
分布律, (4)求 E ( XY ) 。 解:(1) P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0) P(Y = 0 | X = 0) =
9 2+2 1 × = 36 9 9 9 1 1 × = 36 9 36
P ( X = 2, Y = 2) = P( X = 2) P (Y = 2 | X = 2) =
(2) 容易验证 X , Y 独立 (3) P( Z = 0) = P ( X = 0, Y = 0) =
1 9 5 9 1 3
P ( Z = 1) = P( X = 1, Y = 0) + P ( X = 0, Y = 1) + P ( X = 1, Y = 1) =
+∞
= 2∫ x
0
⎛ ⎞ σ 2 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 x2 = −2 1 = exp ⎜ − 2 ⎟ 2 2 2π 2π ⎝ 2(σ 1 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2 ) ⎠0
8. 随机变量 X , Y 之间的相关系数 ρ 反映了 X , Y 之间的 线性 相关程度。 如果存在 常数 a ≠ 0, b ,使得 P(Y = aX + b) = 1 ,则 | ρ |= 1 。当 a > 0 时 ρ = 1 ,当 a < 0 时 ρ = −1 。
⎧ kx 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x , 求(1)常数 k , (2) X , Y 其它 ⎩0
的边缘密度函数, (3) P( X + Y ≤ 1) , (4) X , Y 是否独立, (5) Z = X − Y 的密度函数, (6) X , Y 的相关系数。 解: (1)由 1 = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ kxdy = 得: k = 3
1 4 3 4
所以 X , Y 不独立。 (3) P(Y = −1| X = 1) =
P (Y = 1| X = 1) = P ( X = 1, Y = −1) 2 = P ( X = 1) 3
P ( X = 1, Y = 1) 1 = P( X = 1) 3
1 3 (4) EX = , EX 2 = 1, DX = 2 4 1 3 EY = − , EY 2 = 1, DY = 2 4 1 E ( XY ) = − , cov( X , Y ) = E ( XY ) − EXEY = 0 4
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