讲课 新勾股定理

因此， 因此，
AC =
5 ≈ 2 .236 .
Ｄ Ｃ
因为AC大于木板的宽， 大于木板的宽， 所以木板能从门框内通过。 所以木板能从门框内通过。
2m
Ａ
Ｂ
1m
y=0
练一练
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 在 ABC中 ∠C=90° 10 则c=＿＿＿＿ c=＿＿＿＿
2.在 ABC中 a=6,b=8,试求第三边 试求第三边c 2.在△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的值
2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=√ 2 在等腰Rt△ABC中 a=b=1,则c=＿＿＿ 在等腰Rt ＿＿＿ 3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= 1 AB=2， 在Rt△ABC中 ＿＿＿ √ 3 AC=＿＿＿ 4.在一个直角三角形中 两边长分别为3 在一个直角三角形中, 4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4, 5或 7 √ 则第三边的长为________ 则第三边的长为________
） △ 中 解：（1）在Rt△ABC中,由 （2）在Rt△ABC中,由 ：（ ） 中 勾股定理:AB2+AC2=BC2 勾股定理得： 勾股定理得：AB2=AC2+BC2 勾股定理 x2=62+82 X2 =36+64 x2 =100 x2+52=132 x2=132-52 x2=144 ∵x>0 ∴ x=12
证法二： 证法二：
a b
伽菲尔德证法: 伽菲尔德证法
c
1 S 梯形 = (a + b )(a + b ) 2 1 1 1 2 S S梯形 = ab + ab + c 2 2 2
c
a
∴
b
a2 + b2 = c2
证 法 4： ：
毕达哥拉斯证法
a2 c2
a2
b2 ∴ a 2 + b 2 = c2
c b a
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理” 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。 后就流传开了。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 毕达哥拉斯（Pythagoras） 他是公元前五世纪的人， 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。 百多年。 相传， 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。 又有“百牛定理”之称。
解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49
B A S1 C D
S2
E
1
1
美丽的勾股树
学以致用，做一做
y=0
2.求出下列直角三角形中未知边的长度 2.求出下列直角三角形中未知边的长度 x A A B x
6 5
C

B
13
C
16
9
25
B
命题1 命题1：
如果直角三角形的两直角边长 如果直角三角形的两直角边长 分别是a 斜边长是c 分别是a、b，斜边长是c，那么 a2+b2=c2。
弦
c
勾a ┏
股
b
a2+b2=c2
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就 需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止， 需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止， 对这个命题的证明方法已有几百种之多． 对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看 一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． 一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． 看左边的图案， 看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 周髀算经》时给出的， 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图” 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出： 此图指出：四个全等的直角三角 红色） 形（红色）可以如图围成一个大 正方形， 正方形，中间的部分是一个小正 黄色）． 方形 （黄色）．
人教版八年级数学（ 人教版八年级数学（下）
18.1勾股定理（1 18.1勾股定理（1）
相传2500年前，古希腊著名数学家毕 年前， 相传 年前 达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找 到了直角三角形三边的关系。 到了直角三角形三边的关系。
A
a b c
C
B 面积A+面积 面积 面积 面积B=面积 面积 面积C
2+b2 =c2 a
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 已知任意两边求第三边的长。 中,已知任意两边求第三边的长。 已知任意两边求第三边的长
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在 三千多年前，周朝数学家商高就提出， 三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四， 尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那 么弦就等于五， 勾三、股四、弦五” 么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被 记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》 记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
∴ c2 = b2 + a2
毕达哥拉斯定理) 勾股定理 (毕达哥拉斯定理) 直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方. 等于斜边的平方.
弦 股
c
勾a ┏
b
a2+b2=c2
学以致用，做一做 y=0
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积： 求下列图中字母所代表的正方形的面积：
2５ A 8 15 49 B
解：在Rt △ ABC中，
C
20秒后 秒后 3千米 千米 5千米 千米
B
BC = 5 − 3 = 16
2 2 2
Q BC 〉 0 ∴ BC = 4(千米 )
飞机飞过的距离是4千米 答：飞机飞过的距离是 千米. 飞机飞过的距离是
A
如图） 练习：（如图） 1.在Rt△ABC中, a=5,c=13,则下列计算正确的是 在Rt△ABC中 a=5,c=13,则下列计算正确的是 （B）
a2 + b 2 = c 2
两直角边的平方和等于斜边的平方
网格中的 直角三角形是否也具有这种性质？ （网格中每个小方格的面积都是1）
正方形A的 面积
正方形B的 面积
正方形C的 面积
A
C
16
9
25
B
网格中的直角三角形是否也具有这种性质？ （网格中每个小方格的面积都是1）
正方形A的面 积
正方形B的面 积
y=0
学海无涯
已已S 1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、 S6、 S7的的 求
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2 S1
S5
S6
S7
=S7
思考
如图，所有的四边形都是正方形， 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长 形都是直角三角形，其中最大的正方形 的边长 为7cm，求正方形 ，B，C，D的面积的和 ，求正方形A， ， ， 的面积的和
y=0
练一练
3.在一个直角三角形中, 两边长分别为6 3.在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 在一个直角三角形中 10 或 2 8,则第三边的长为________ 8,则第三边的长为________ 7
飞机在空中水平飞行， 例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶上方3千米处，过了20 20秒 到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞 机距离这个男孩头顶5千米。 机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机 飞过的距离是多少千米？ 飞过的距离是多少千米？
∵x>0 ∴ x=10
探究1 y=0
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m， 宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为 什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
分析 y=0
连结AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理： Rt△ 根据勾股定理：
AC = AB + BC = 1 + 2 = 5
2 2 2 2 2
B
( A)b = c 2 − a 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144
a
C
c
b
第1题图 题图
( B )b = c 2 − a 2 = 132 − 52 = 144 = 12
A
(C )b = c 2 − a 2 = 132 − 52 = 144 = 12
( D)b 2 = c 2 − a 2 = 132 − 52 = 144 = 12
c b a
C b
(1)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？ 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
c (a-b)2 (2) c c
证 明 一
c
a
(2)
(3)
(3)
(a-b)2
(4)
=
C2
4
1 ab 2
a2+b2 2ab = c2 2ab 可得：a2 + b2 = c2
证 明 二
a
b c c
a b (a+b )2
B
B c
A
b
C
a
第2题图 题图
C