2018-2019学年人教B版选修1-1 第三章导数及其应用 章末测试
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2017-2018学年人教B 版选修1-1 第三章导数及其应用 章末测试 (2)
一、选择题
1．已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范
围是( )
A.⎣⎡⎭⎫179，＋∞
B.⎝⎛⎭⎫179，＋∞ C ．(－∞，2]
D ．(－∞，2)
解析：f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0. ∴f (x )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．
∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.
答案：A
2．设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，则( )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
[解析] ∵f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2
x 2(x >0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，
f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴x ＝2为f (x )的极小值点．
[答案] D
3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －1
2x .
令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－
x ln 2>0.
∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
答案：D
4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[解析]由图可知当x<－2时，(1－x)f′(x)>0；当－2 [答案] D 5．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为 4.8 ，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为() A．3.2 B．2.4 C．4 D．3.6 解析：依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y＝0.048kx2－kx3，故y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)．因为k>0，所以当0 答案：A 6．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是() A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2,1) D ．(－2,1) [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数的极大值点，x ＝1为函数的极小值点．若函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2) 内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <1<6－a 2 ，f (a )≥f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5 a 3 －3a ＋2≥0， 解得－2≤a <1，故选C. [答案] C 7．若函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．－1 e B ．a >－1 e C ．－e