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专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =．故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以其中，所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，．两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大．【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ．考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ．考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23．【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2．考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

河北省廊坊市部分重点高中2024届高三上学期11月期中考试数学及答案

高三一轮中期调研考试数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回．4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、解析几何．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设集合U={1,2,3,4,5},M ={1,2}, N = {2,3}，则`(MuN)=<)A.{4,5}B.{l,2}c.{2,3}o.{1,3,4,5}2+4il -2i6 8. A-－－IB.2+－15 568. c.－2-－ID.-－＋－1 5 53已知单位向量a,b 满足(a+2G)-(a-E)=-5，则a·b = <)A .-B .-C .-D .-23544已知等比数列忆｝的前n 项和为S/l,a 1+生+a 5= 1,a 2 + a 4 + a 6 = 2,则s 12-S 6=< )A.18B.54C.128D.1925已知0为坐标原点，A,B,F 分别是椭圆C:王－＋�=l(a >b>0)的左顶点上顶点和右焦点点P 在椭圆a2. b 2 C 上，且PF..l OF,若AB II OP,则椭圆C 的贸心率为（）五cB1-2A 五2D 6设a E［琴］，妇［琴］，且sina +cosa ＝丘cos/3，则（）A.a + f3=王B.a-/3=五4.4C.a+/J＝巴D .a-/J＝－－冗247把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是01C,空气的温度是0。

C,则tmin 后该物体的温度0C 可由公式0=0。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（）A B C ．D ．【答案】A3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m nm n m n λλλ=+=++⊥-若则（）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-1【答案】B4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____C ．____ （）A 1-BC 1D 2【答案】C5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（）A ．BC ．D ．0【答案】C7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a∆若为直角三角形则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C8 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（）A ．5B ．52C ．5D ．10【答案】C 二、填空题9 ．（2013年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+= ,则λ=_____________.【答案】210．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.【答案】1211．（2013年高考重庆卷（文））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =- ,则实数k =____________.【答案】412．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =- ,(2,2)OB = ,若90oABO ∠=,则实数t 的值为______【答案】513．（2013年高考浙江卷（文））设e 1.e 2为单位向量,非零向量b=xe 1+ye 2,x.y∈R..若e 1.e 2的夹角为6π,则|x||b|的最大值等于_______.【答案】214．（2013年高考安徽（文））若非零向量,a b 满足32a b a b ==+ ,则,a b夹角的余弦值为_______.【答案】13-15．（2013年上海高考数学试题（文科））已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c.若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是________.【答案】5-16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=________.【答案】 217．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c,则t =_____.【答案】2;18．（2013年高考北京卷（文））已知点(1,1)A -,(3,0)B ,(2,1)C .若平面区域D 由所有满足A P A B A C λμ=+10λμ≤≤≤≤（2，1）的点P 组成,则D 的面积为__________. 【答案】3。

专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

专题07 平面向量1．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−2,4)，则|a ⃑−b ⃑⃑|（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a ⃑−b ⃑⃑，然后求得|a ⃑−b ⃑⃑|. 【详解】因为a ⃑−b ⃑⃑=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√42+(−3)2=5. 故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b ⃑⃑=（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵|a ⃗−2b ⃑⃗|2=|a ⃗|2−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4|b ⃑⃗|2，又∵|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=√3,|a ⃗−2b ⃑⃗|=3, ∴9=1−4a ⃗⋅b ⃑⃗+4×3=13−4a ⃗⋅b ⃑⃗， ∴a ⃗⋅b ⃑⃗=1 故选：C.3．【2022年新高考1卷】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗ B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3n ⃑⃑−2m ⃑⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗．故选：B ．4．【2022年新高考2卷】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（） A ．−6 B ．−5 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：c ⃗=(3+t,4),cos 〈a ⃗,c ⃗〉=cos 〈b,c ⃗〉,即9+3t+165|c⃗|=3+t|c ⃗|,解得t =5,故选：C5．【2022年北京】在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°．P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =1，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D 【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ,4−sinθ)，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∈[−4,6]；故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量a ⃑=(m,3),b ⃑⃑=(1,m +1)．若a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =______________．【答案】−34##−0.75 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：a ⃑⋅b ⃑⃑=m +3(m +1)=0，解得m =−34.故答案为：−34.7．【2022年全国甲卷】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________．【答案】11 【解析】【分析】设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⃑⋅b ⃑⃑，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，因为a ⃑与b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，即cosθ=13，又|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×3×13=1，所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=2×1+32=11．故答案为：11．8．【2022年浙江】设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑12+PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑82的取值范围是_______．【答案】[12+2√2,16] 【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即可解出．【详解】以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A 1(0,1),A 2(√22,√22),A 3(1,0),A 4(√22,−√22),A 5(0,−1),A 6(−√22,−√22),A 7(−1,0),A 8(−√22,√22)，设P(x,y),于是PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82=8(x 2+y 2)+8，因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cos45∘2≤x 2+y 2≤1，故PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗12+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗22+⋯+PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗82的取值范围是[12+2√2,16].故答案为：[12+2√2,16]．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中的三点(),3M m ，()4,N n ，()2,2E -，若向量OM 与ON 在向量OE 方向上的投影相等，则m 与n 的关系为（）A ．7m n +=B ．3m n -=C ．m n =D ．m n =-【答案】A 【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果. 【详解】(),3OM m =,(4,)ON n =,(2,2)OE =-,向量OM 在向量OE 方向上的投影为||OM OE OE ⋅==向量ON 在向量OE 方向上的投影为8||ON OE OE ⋅=，=7m n +=. 故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（）A ．1λμ-=B ．2λμ+=C ．1λμ=D ．1λμ= 【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件有AB mAC =且R m ∈，即可得答案. 【详解】由A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB mAC =且R m ∈，所以1m mμλ=⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，π3A =，点D 在线段AB 上，点E 在线段AC 上，且满足22,2AD DB AE EC ====，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b =，则AF BC ⋅=（）A ．65B ．175C ．295D ．325【答案】B 【解析】【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可. 【详解】设DF DC λ=，EF EB μ=，因为11111()(),33333AF AD DF AB DC AB DA AC AB AB AC AB AC λλλλλ-=+=+=++=+-+=+11111()(),22222AF AE EF AC EB AC EA AB AC AC AB AC AB μμμμμ-=+=+=++=+-+=+所以有21531152λλμμμλ-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，因此AF BC ⋅=2212121()()55555+-+=-+-⋅AB AC AB AC AB AC AC AB ，因为π3A =，3AB =，4AC =，所以AF BC ⋅=1211179163455525⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=AF BC ，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若(2,3a =-，(2sin ,2cos)66b ππ=，下列正确的是（） A ．//()b a b -B ．()b a b ⊥-C ．a 在b 方向上的投影是12-D ．()a b a b +⊥-（）【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示判断A ，根据向量垂直的坐标表示判断BC ，根据向量的投影的定义判断C. 【详解】由已知(2,3a =-，(1,3)b =，所以(((2,3=1,a b -=---，((()2,3=3,0a b+=-+，因为1(10⨯-≠，所以b ab -，不平行，A 错，因为(10⨯-≠，所以b a b -，不垂直，B 错，因为a 在b 方向上的投影为2211cos ,=21a b a a b b ⋅⨯-==-+，C 对，因为(13+00⨯-⨯≠，所以a b a b +-，不垂直，D 错，故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b 满足1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，则a 与b 的夹角为（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的运算律得到a b ⋅，再根据cos a b a bθ⋅=⋅计算可得；【详解】解：因为1a =，2b =，()235a a b ⋅+=，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅=，所以1a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a bθ⋅==⋅，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=，则DB CD ⋅=（） A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a【答案】A 【解析】【分析】将,DB CD 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案. 【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由向量反向共线求得m =3a b -. 【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-，故3=43a b -. 故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ，又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ，即310CE FC =，即710FE FC =，则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AHAG +=D ．23BO BHBG +=【答案】D 【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误. 【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误；()112333AO AHAG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BHBG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅的值为（） A ．38B ．58C ．78D ．198【答案】B 【解析】【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可. 【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+，同理23AC OB OC =+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC =+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-=．故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆()22:40C x y m m +=>的两个焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上一点，若12PF PF ⋅的最小值为1-，则12PF PF ⋅的最大值为（） A ．4 B ．2C ．14D ．12【答案】D 【解析】【分析】设00(,)P x y ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出12PF PF ⋅，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解. 【详解】设00(,)P x y ，由()22:40C x y m m +=>可知1(F ，2F ，100(,)PF x y ∴=---，0023(,)2PF x y =--， 22222012000033311(4)44442x m m PF PF x y x m x m ∴⋅=-++=-++-=-，0m x -≤≤00x ∴=时，12PF PF ⋅的最小值为112m -=-，解得2m =.当0x =12PF PF ⋅的最大值为312142⨯-=.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（） A ．(0,1)m ∈ B ．(0,2)n ∈ C ．2n m = D ．1m n +=【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定,m n 的关系和范围. 【详解】因为点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，所以可设(01)AD AF λλ=<<，因为E ，F 分别为,AC BC 的中点，所以11112222AF AB BF AB BC AB AC AB AE =+=+=+=+，所以2AD AB AE λλ=+，又AD mAB nAE =+，所以10,22m λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()0,1n λ=∈，2n m =，32m n λ+=，所以A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量(1,0)a =，(1,1)b =，向量a b 与a 垂直，则实数λ的值为（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1【答案】C 【解析】【分析】由题得()0λ+⋅=a b a 化简即得解. 【详解】因为ab 与a 垂直，所以()20,0λλ+⋅=∴+⋅=a b a a a b ，所以1+(10)0,1λλ⨯+=∴=-. 故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,4,7a b a b c ==++=，则c =（）A B ．2 C ．3 D ．2或3【答案】D 【解析】【分析】先求出23πθ=，转化2()7a b c a b c ++=++=，列方程即可求出. 【详解】由不共线的平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则23πθ=.设|c |=m. 因为147a b a b c ==++=，，，所以27a b c ++=，即2222227a a b b b c a c c +⋅++⋅+⋅+=，所以2222221214cos424cos 21cos 7333m m m πππ+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+= 即2560m m -+=，解得：2m =或3. 所以|c |=2或3 故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，且()c a b ⊥+，则λ=______．【答案】3- 【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意()()3,1a b +=，又()c a b ⊥+，则()()()1,3,130c a b λλ⋅+=⋅=+=，故3λ=-．故答案为：3-．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量,a b 的夹角为23π，4a =，3b =，则a b +=___________．【解析】【分析】根据2222a b a a b b +=+⋅+求解即可. 【详解】 21cos43632a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，则()222222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，则13a b +=．18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________.【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=，向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====AC DB ⋅值为__________．【答案】94##2.25【解析】【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-，又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：9420．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设,a b 为不共线的向量，满足,342(,R)c a b λμλμλμ=++=∈，且c a c b c --==，若3a b -=，则()22()⋅⋅-a ba b 的最大值为________．【答案】324【解析】【分析】采用建系法，令,,a OA b OB c OC ===，将各个点用坐标表示，然后表达出OAB 面积的最大值，进而求得()22()⋅⋅-a b a b 的最大值；【详解】令,,a OA b OB c OC ===，又因为c a c b c --==，即==OC CA CB ，则点C 为OAB 的外心，因为3-==a b AB ，设33,0,,0,(0,)22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B AC m ，不妨取0m >则点()00,O x y 在圆2229:()4+-=+C x y m m 上，由OC OA OB λμ=+，代入坐标，()00000033,,,22λμ⎛⎫⎛⎫---=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x m y x y x y ，解得003(),211-+=⋅-=----mx y m μλμλλμλμ，联立342+=u λ和2229:()4+-=+C x y m m ，解得12λ⎫<⎪⎭m，故0()1μλλμ+=+--m y m622λ=≤-+ ⎪⎝⎭，1λ=-时取“=”. 故01||92=⋅≤OABSAB y ，于是 ()22222max max(||||)()||||1cos a b a b OA OB AOB ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅⋅-∠⎣⎦⎣⎦ ()2222maxmax||||sin 4324OAB OA OB AOB S ⎡⎤=⋅⋅∠==⎣⎦△.故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：平面向量

【答案】B 9 ．（2013 年高考湖北卷（理））已知点 A 1,1 .

（ D． -1
）
B． 3
C． 2
B 1, 2 . C 2, 1 . D 3, 4 ,则向量
（
AB 在 CD 方向上的投影为
A．
）
C．
5 , 2 2
D．
7 , 2 2
【答案】D
b 0 .若向量 7 ．（ 2013 年高考湖南卷（理））已知 a , b 是单位向量 , a
c 满足
（
c a b 1, 则 c 的取值范围是
, 2+1 A． 2-1， , 2+1 C． 1，

P | OP OA OB, 1, , R 所表示的区域的面积是
A． 2 2
【答案】D

（
）
B． 2 3
C． 4 2
D． 4 3
6 （．2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,
1 AB , 且对于边 AB 上任一点 P , 恒有 4
（
0
PB PC P0 B P0C .则
A． ABC 90
【答案】D 4 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））在四边形 ABCD
0
）
B． BAC 90
C． AB AC
3 2 2
[
B．
3 15 2

2022届全国高考数学真题分类(平面向量)汇编(附答案)

2022届全国高考数学真题分类（平面向量）汇编一、选择题 1.（2022∙全国乙（文）T3）已知向量(2,1)(2,4)a b ==- ，，则a b -r r （）A. 2B. 3C. 4D. 52.（2022∙全国乙（理）T3）已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅= （） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 3.（2022∙新高考Ⅰ卷T3）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB =（）A. 32m n -B. 23m n -+C. 32m n +D. 23m n +4.（2022∙新高考Ⅱ卷T4）已知(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<> a c b c ，则t =（）A. 6-B. 5-C. 5D. 6二、填空题 1.（2022∙全国甲（文）T13）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+ ．若a b ⊥ ，则m =______________．2.（2022∙全国甲（理）T13）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．参考答案一、选择题1.【答案】D【答案解析】【名师分析】先求得a b - ，然后求得a b -r r .【答案详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-== a b .故选：D2.【答案】C【答案解析】【名师分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【答案详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+ a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-= a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.3. 【答案】B【答案解析】【名师分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【答案详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA = ，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．4.【答案】C【答案解析】【名师分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【答案详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即931635t t c c+++= ,解得5t =, 故选：C二、填空题1. 【答案】34-或0.75- 【答案解析】【名师分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【答案详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++= ，解得34m =-. 故答案为：34-. 2. 【答案】11【答案解析】【名师分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【答案详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．。

专题11 平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(带解析)

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以22||(1)12-=-+=a b ，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=3减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-. 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-，所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-u u u r u u u rg g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)iiλ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BDλλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；25【解析】以,AB AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-，所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max242025y =+==.故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，，由得：，，即.【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u ur ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BAAC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCu u u r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b则54cos 54cos θθ++-=+-a b a b 令54cos 54cos y θθ=+-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=+a b a b54cos θ-能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r ()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

微专题01 平面向量(原卷版)

微专题01 平面向量秒杀总结结论1 极化恒等式．1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+,,AB a AD b ==证明：不妨设 C A a b DB a b =+=-则，，()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ （1） ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ （2）（1）（2）两式相加得：()()22222222AC DB a bABAD+=+=+2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。

（2）三角形模式：2214a b AMDB ⋅=-（M 为BD 的中点）结论2 矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。

已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则AB CM222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+- 222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+结论3 三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在R λ∈使(1)OP OA OB λλ=-+．特别地，当P 为线段AB 的中点时，1122OP OA OB =+。

结论4 等和线【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

2021年全国高考理科数学试题分类汇编：平面向量

全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<【答案】D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．22B ．23C ．42D ．43【答案】D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是（）A ．50,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．57,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．5,22⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．7,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【答案】D7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦， B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，【答案】A8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B9 ．（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）【答案】A [ 二、填空题[10．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.11．（2013年上海市春季高考数学）已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k = __________ 【答案】34-12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3AB =,2AC =,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________. 【答案】712【答案】t =2.14．（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________. 【答案】4【答案】216．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________. 【答案】1217．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.bca【答案】218．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】5219．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为______. 【答案】12。

2024年全国高考数学真题分类( 复数和平面向量)汇编(附答案)

2024年全国高考数学真题分类（复数和平面向量）汇编一、单选题 1．（2024ꞏ全国）若1i 1zz =+-，则z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．（2024ꞏ全国）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024ꞏ全国）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．24．（2024ꞏ全国）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C ．2D ．15．（2024ꞏ全国）设z =，则z z ⋅=（） A ．-iB ．1C ．-1D ．26．（2024ꞏ全国）设5i z =+，则()i z z +=（） A ．10iB ．2iC ．10D ．2-7．（2024ꞏ全国）已知向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b”的充分条件8．（2024ꞏ北京）已知i 1iz=-，则z =（）． A ．1i -B ．i -C ．1i --D ．19．（2024ꞏ北京）已知向量a ，b ，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题10．（2024ꞏ天津）已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-= ．11．（2024ꞏ天津）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．12．（2024ꞏ上海）已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．13．（2024ꞏ上海）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．参考答案1．C【详细分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【答案解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C. 2．D【详细分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【答案解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D. 3．C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案解析】若1i z =--，则z ==故选：C. 4．B【详细分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【答案解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而= b 故选：B. 5．D【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案解析】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D 6．A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A 7．C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.8．C【详细分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【答案解析】由题意得()i i 11i z =-=--，故选：C.9．A【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.10．7【详细分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【答案解析】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．43518-【详细分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【答案解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅= ，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.12．15【详细分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【答案解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15． 13．2【详细分析】设1i z b =+，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【答案解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m∈R ，2232311bmbb bb⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m=，故答案为：2.。

高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)6 平面向量文

各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a m b a -⊥则实数m 的值为（）A.1B.32C.2D.3【答案】D【解析】因为(),a m b a -⊥ 所以()0a mb a -= ，即20a m a b -=，所以2c o s 600a m a b -=，解得3m =，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】因为2···()AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC CA CB =++=-+AB AB CA CB =+ ,所以0CA CB = ，即CA CB ⊥，所以三角形为直角三角形，选D.3【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】已知向量,1),(0,(,3),2,a b c a b c k===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a bc + 与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c + ，所以30++=，解得3k =-，选A.4【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知点(5,6)(1,2),3M a M N a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)M N a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)M N x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A.5【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -= ，所以10+20k -=，即12k =，选D. 6【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b )50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C7【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试数学文】如图，已知4,,,3A P AB O A O B O P O P =用表示则等于A ．1433O A O B -B ．1433O A O B +C ．1433O A O B -+D ．1433O A O B --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333O A AB O A O B O A O A O B =+=+-=-+,选C.8 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x a x b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数【答案】D【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b = ，所以2222()()f x ax b ax b =+=+，所以2()()f x a x b =+为偶函数，选D.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知O 是A B C △所在平面内一点，D 为B C 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO O D =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为B C 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO O D =，选B.10 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=w v u ,则下列结论中错误的是 A ．v u ⊥ B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C.11 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若向量a 与b 不共线，0≠⋅b a ，且()a a c a b a b=-，则向量a 与c 的夹角为（）A. 0B.6πC.3πD.2π【答案】D【解析】因为()a a c a b a b =- ，所以222[()]0a a c a ab a a a b =-=-=，所以a c ⊥ ，即向量夹角为2π，选D.12 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|b a -的最大值为4，最小值为0.故选D.13 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部【答案】C【解析】由AB PC PB PA =++得PA PC AB PB AP +=-= ，即2PC AP PA AP =-= ，所以点P 在线段AC 上，选C.14 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】若()1,a b a a b ==⊥- 且，则向量,a b的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A【解析】因为()a ab ⊥- ，所以()0a ab -= ，即20a a b -=，即2a b a=，所以向量,ab的夹角为21cos ,2a a b a b a b a b<>====，所以,45a b <>=，选A. 15 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知(2,)a m = ，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥ ，则||a＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】因为(2a b b-⊥)，所以(20a b b -⋅= )，即250m -+=，即25m =，所以||3a = ，故选B ． 16. 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以B A C D E F C DD E E++=++=,选 D.17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】平面向量a与b 的夹角为060，)0,2(=a，1=b ，则=+b aA ．9B ．3 D ． 7 【答案】B【解析】2a =,1cos ,2112a b a b a b =<>=⨯⨯= ,所以22224127a b a b a b +=++=++= ，所以a b += ，选B.18. 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知向量a ),2(x =，b)8,(x =，若a ∥b，则x =A.4-B.4C.4±D.16【答案】C【解析】因为//a b，所以2160x -=，即4x =±，选C.19 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=cA. b a 2321--B. b a 2321+-C.b a 2123-D. b a 2123+-【答案】D【解析】设c x a y b =+ ，则(1,2)(1,1)(1,1)(,)x y x y x y --=+-=+-，所以12x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3122c a b =-+ ，选D.20 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】已知点O 为△ABC 内一点，且230,O A O B O C ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】延长O B 到'B ，使'2O B O B =,延长O C 到'C ，使'3O C O C =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',O B O C O A O A +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''A B C 的重心，则可以证明''''=AO B AO C B O C S S S ∆∆∆=。

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)

专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论（2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点）三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

全国各地市重点名校高三数学期中考试精选38套分类汇编排列组合、概率

全国各地市重点名校高三数学期中考试精选38套分类汇编排列组合、概率（湖南醴陵二中、四中2011届高三期中考试【理】）8、对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，)4)(2(!!--=n n n n …624⨯⨯当n 为奇数时， )4)(2(!!--=n n n n …513⨯⨯现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②2006!!=21003⨯!!，③2006!!个位数为0， ④2007!!个位数为5其中正确的个数为（）A .1 B.2 C.3 D .4 （四川成都树德协进中学2011届高三期中考试【文、理】）18(12分)某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品。

而质检部每天要在生产的10件产品众随意抽4件进行检查，发现次品则当天产品不能通过。

（I ）求第一天通过的概率；（II ）（文）求这两天至多1天通过的概率（II ）（理）若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天都不能通过记-1分，通过1天记1分，两天都通过得3分，求该车间在这两天内得分的ξ分布列和数学期望答案：解:记第一天通过检查的事件为A ，第二天通过的事件为B(1) P(A)=5341049=C C (2) P(B)=3141048=C C ,所求概论是P=1-P （AB ）=0.8 ()()()32513;1581;1541=⇒=====-=ξξξξE p p p（浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试【理】）13．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，则不同安排方案的种数是▲ 57（浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试【理】）19．（本小题满分14分）一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；（Ⅱ）摸球次数X 的概率分布列和数学期望．答案：（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐．则恰好摸到2个“心”字球的概率是53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=． …………………(6分) （Ⅱ）解：1,2,3X =，则 121101(1)5C P X C ===，11821110104(2)25C C P X C C ==⋅=， 16(3)1(1)(2)25P X P X P X ==-=-==． …………………(10分) 故取球次数X 的分布列为 1235252525EX =⨯+⨯+⨯=． …………………(14分)（浙江省嵊州一中2011届高三期中考试【文】）5. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法，抽出一个容量为n 的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本的容量n 等于（）A ．100B ．200C ．90D ．80 （河北省唐山一中2011届高三期中考试【文】）9．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34 （河北省唐山一中2011届高三期中考试【文】）12．某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A ．50种B ．70种C ．35种D ．55种解析：提示：这是分组问题．362226C A C +=50．（河北省唐山一中2011届高三期中考试【文】）14．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ____．答案：18．（河北省唐山一中2011届高三期中考试【文】）19．（本题满分12分）甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局．现在两人再次相遇．（1）打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；（2）采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由．（注：计算时，以频率作为概率的近似值．“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）答案：解：比赛一局，甲胜的概率约为p =6.04024=．………………………………1分（1）甲胜k （k =0,1,2,3）局的概率为k k k p p C k P --=333)1()(．………………2分则0064.0)0(3=P 288.0)1(3=P432.0)2(3=P 216.0)3(3=P ，……………………………………5分因为甲P 3（2）最大，所以甲最有可能胜两局；…………………………6分（2）三局两胜制：甲胜的概率为P 1=648.06.0)1()2(22=⨯+P P ，………………8分五局三胜制：甲胜的概率为P 2=683.06.0)2(6.0)2()3(433≈⨯+⨯+P P P ，……………………………………11分因为P 2>P 1，所以采用“五局三胜制”对甲有利． ……………12分（福建省福州三中2011届高三期中考试【理】）19．（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分．现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的3C1D1个球得分之和恰为1分的概率；（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．（安徽省河历中学2011届高三期中考试【理】）10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0．65 ,P（B ）=0．2 ,P （C ）=0．1。

2022年高考数学复习新题速递之平面向量

2022年高考数学复习新题速递之平面向量（2022年5月）一．选择题（共8小题）1．（2022春•江都区期中）已知向量a →=(1，−2)，b →=(−2，k)，且a →∥b →，那么实数k ＝（） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣42．（2022春•湖南期中）已知向量a →=(1，2)，b →=(2，2)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．34b →B ．34C ．√22b →D ．√223．（2022春•湖北期中）设a →=(2cosα，1)，b →=(sinα，1)，若a →⊥b →，则tan α＝（） A ．﹣1B ．32C ．﹣2D ．524．（2022春•江城区校级期中）化简AB →+BC →+CD →+DE →（） A ．0B ．AE →C ．0→D ．EA →5．（2022春•东安区校级月考）下列说法正确的是（） A ．向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．向量a →与b →平行，则a →与b →方向相同或相反C ．向量AB →与BA →是平行向量 D ．单位向量都相等6．（2022春•东安区校级月考）如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，且BD ＝2DC ．若AC →=m AB →+n AD →（m ，n ∈R ），则m ﹣n ＝（）A ．2B ．1C ．﹣2D ．37．（2022春•丰台区期中）有下列三个命题：①若a →⋅b →=a →⋅c →，且a →≠0→，则b →=c →；②若非零向量满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与a →+b →的夹角为60°； ③在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 是锐角三角形．其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022春•丰台区期中）已知向量b →=(3，4)，且a →⋅b →=10，那么向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．(35，45)B ．(45，35)C ．(65，85)D ．(85，65)二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022春•东安区校级月考）设a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．0→⋅a →=0→B ．(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)C ．若a →⋅b →=a →⋅c →，则b →=c →D ．(a →+b →)⋅(a →−b →)=|a →|2−|b →|2（多选）10．（2022春•香坊区校级月考）在△ABC 中，|AC →|=√5，|BC →|=3，sinC =25√5，若O 为△ABC 的重心，则OA →在AB →上的投影向量可能为（）A ．−13AB →B ．−512AB →C ．−715AB →D ．−712AB →（多选）11．（2022春•香坊区校级月考）在△ABC 中，AB →=c →，BC →=a →，CA →=b →，则下列四个结论中正确的是（） A ．a →+b →+c →=0→B ．若a →⋅b →＜0，则△ABC 为锐角三角形C ．若a →⋅b →=0，则△ABC 为直角三角形D ．若(a →+c →−b →)⋅(a →+b →−c →)=0，则△ABC 为直角三角形（多选）12．（2022春•玄武区校级期中）已知向量|a →|=1，|b →|=2，它们的夹角为60°，则（）A ．a →⋅b →=1 B ．|2a →+b →|=2√3 C ．|2a →−b →|=2√3D ．向量a →与向量a →−b →的夹角为90° 三．填空题（共4小题）13．（2022春•宝山区校级期中）设向量a →=(1，2)，b →=(0，3)，则a →在b →方向上的数量投影为．14．（2022春•湖南期中）已知平面向量a →，b →，a →=(sin π12，cos π12)，a →⊥(a →−b →)，则a →⋅b →= ．15．（2022春•湖北期中）如图，在△ABC 中，AD →⋅AB →=0，|AB →|=1，DC →=2BD →，则AC →⋅AB →= ．16．（2022春•江都区期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图 ①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF （如图 ②）．已知正六边形的边长为1，点M 满足AM →=12(AB →+AF →)，则|AM →|= ；若点P 是其内部一点（包含边界），则AP →⋅AB →的最大值是．四．解答题（共6小题）17．（2022春•香洲区校级期中）已知|a →|＝4，|b →|＝3，（2a →−3b →）•（2a →+b →）＝61．（1）求a →与b →的夹角θ；（2）求|2a →+3b →|．18．（2022春•湖北期中）已知向量a →=(2，1)，b →=(3，2)．（1）当k 为何值时，ka →−b →与a →+2b →共线；（2）若AB →=2a →+3b →，BC →=a →+mb →，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 19．（2022春•秀英区校级期中）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为π3，向量a→=2e 1→+e 2→，b→=3e 1→−2e 2→．（Ⅰ）求a →⋅b →；（Ⅱ）求a →与b →的夹角θ．20．（2022春•江都区期中）已知△ABC 中，∠C 是直角，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点，且AE →=3EB →，设CA →=a →，CB →=b →．（1）请用a →，b →来表示AD →，CE →；（2）若AD ⊥CE ，求|AC||BC|．21．（2022春•湖南期中）定义平面向量的一种运算a →⊗b →=|a →||b →|sin ＜a →，b →＞．（1）若a →=(x 1，y 1)，b →=(x 2，y 2)，求证：a →⊗b →=|x 1y 2−x 2y 1|；（2）若a →=(√3sinx ，cos 2x +1)，b →=(1，cosx)，f(x)=a →⊗b →，求f （x ）的单调递增区间．22．（2022春•玄武区校级期中）如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．（1）用AB →，AC →表示AO →；（2）若AM =34，求AN 的值；（3）求OM 2+ON 2的最大值与最小值．。

贵州省贵阳三十八中新高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练含答案

贵州省贵阳三十八中新高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练含答案一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC=，所以23 AEAC=，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设O，A，B是平面内不共线的三点，若()1,2,3nOC OA nOB n=+=，则下列选项正确的是（）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.7．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若3||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD 【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228tyt t ，即可判断选项D 正确. 【详解】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误. 对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ，当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线，由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b += B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-【答案】CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。