概率论与数理统计第5章第1节

0 有
nA lim P p 0 n n
或
nA lim P p 1 n n
贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义： 当重复试验次数n充分大时，事件A发生 的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概 率很小. 因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替p . 这种稳定称为依概率稳定.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
在介绍大数定理之前先介绍一个重要的不等式 切贝雪夫（ chebyshev ）不等式
设随机变量 X 的方差 D(X)存在， 则对于任意实数 > 0, D( X ) P(| X E ( X ) | ) 2
1

或
P(| X E ( X ) | ) 1
9400)
P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 由切比雪夫不等式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
第五章 极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…, 则对任给 >0,
1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
下面给出的贝努里大数定律， 是定理2的一种特例. 贝努里 定理3（贝努里大数定律） 设nA是n次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p是每次试验中A发生的概率，则
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
答复
大数 定律
中心极 限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的 概率不小于8/9 .
例2 设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计 在任选（有放回）的 6000 粒种子中,良种 所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 ,
5000 X ~ B (6000,1/6 ) E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 5000 6000 6 6 83 0.7685 P(| X 1000 | 60) 1 2 60 108 D( X ) P(| X E ( X ) | ) 1 2
定理的意义： 切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1 1 X i 与其数学期望 n E ( X i )偏差很小的 n i 1 i 1
n n
概率接近于1.
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理2（独立同分布下的大数定律）
来自百度文库
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量

几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变 量序列，它们都有有限的方差，并且 切比雪夫 方差有共同的上界，即 D(Xi)≤K， i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
1 n 1 n lim P{| X i E ( X i ) | } 1 n n i 1 n i 1
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在. 定理3（辛钦大数定律） 设随机变量序列X1,X2, …独立同 分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
辛钦
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
D( X )

2
由 Chebyshev 不等式，可看出D(X)反映了X 偏离E(X )的程度.
例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升 白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用 切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X