高三下学期高考数学试卷附答案 (317)
高三数学考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. -3D. 无理数2. 函数y=2x-1的图像是：A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像3. 已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 254. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z在复平面上的几何意义是：A. z到点(1,0)的距离为2B. z到点(0,1)的距离为2C. z到点(1,1)的距离为2D. z到点(0,0)的距离为26. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^57. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 78. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)9. 若log2(x+1)=3，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2xB. 3x < 2xC. 3x ≤ 2xD. 3x ≥ 2x二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第n项an=______。
12. 在△ABC中，若∠A=60°，b=8，c=10，则a=______。
13. 函数y=2^x的图像与y=2^(-x)的图像关于______对称。
14. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10=______。
高三下学期高考数学试卷附答案 (307)
2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知3123(),,,,f x x x x x x R =--∈且1223310,0,0x x x x x x +>+>+>，则123()()()f x f x f x ++的值为 （ ）A 一定大于0B 一定小于0C 等于0D 正负都有可能第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．若复数12z i =-(i 为虚数单位)，则z z z •+=________。
3．已知复数z 满足2z z i +=+，则z =34i +4．定义在R 上的函数()x f 满足()023=+⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 且函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43x f y 为奇函数,给出下列命题①函数()x f 的最小正周期是23②函数()x f 的图象关于点)0,43(-对称③函数()x f 的图象关于y 轴对称。
其中真命题的是___ ____. (把你认为正确的填上)5． 在复平面内，复数121,23z i z i =+=+对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，,.OP OA OB R =+λλ∈u u u r u u u r u u u r若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是__________.6．若1a =r ,2b =r ，与的夹角为060，若(35)a b +⊥r r ()ma b -r r ，则m 的值为7．设集合}64|),{(=+=y x y x A ，}723|),{(=+=y x y x B ，则满足B A C I ⊆的集合C 的个数是____________个8．已知2，3=，4=，...，201121n m+= ．9．曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.（2002上海理，8）10．数列{}n a 中，32922++-=n n a n ，则此数列最大项的值是（ ）.A ．103B ．81108C ．81103 D ． 10811．已知函数2()1f x x mx =++为偶函数，则m = ▲ .12．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为 ▲ . (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)分数 5 4 3 2 1人数[来源:学§科§网Z §X §X §K] 31132[来源:学+科+网]13．在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B - AC - D ，则折后BD = ． 14．不等式13x x+≤的解为 。
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
高三下学期高考数学试卷附答案 (318)
2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =（2012陕西文）2．(2008福建理)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.16625B.96625C.192625D.2566253．下列命题中正确的有---------------------------------------------------------------------------------（ ） ①三点确定一个平面；②两两相交的三条直线必在同一平面内；③任意三点都不共线的空间四点必共面；④空间三条相交于同一点的直线在同一平面内 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 0第II 卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是___________①②③④5．已知a > 0,方程x2-2ax-2a ln x=0有唯一解,则a = . 1 26．若函数2siny x=在区间(,)n m()n m<上的值域是[2,1)-，则m n-的最大值是．7．椭圆=1(a＞b＞0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（）A. B. C.D.8．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于______________．9．设变量,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值是 ▲ ．10．阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[]x 就是x ,当x 不是整数时，[]x 是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数；如[]22-=-，[]1.52-=-，[]2.52=；则函数22()[][],f x x x x R =+-∈的值域为 ．11．若方程2210mx mx ++=一根大于1，另一根小于1，则实数m 的取值范围为_____________12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 的中点，AC 、BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 成的角为 度．13．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}1,2P =，{}2,3Q =，则()U P Q U ð等于 ▲ . 14． 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x ∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K ∣x ∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x ②()f x =2sin()4x π+；③()f x =1x -；④()f x =21xx x -+，其中是“倍约束函数的是 评卷人 得分三、解答题15．（14分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2ax+b 2=0．（1）若a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．16．（14分）过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．17．已知：抛物线y ＝ax 2＋bx 点A （7，4），且对称轴l 与x 轴交于点B （5，0）． （1）求抛物线的表达式；（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点C 5(5,)2是BF 上一点，将△BOC 沿着直线OC 翻折，点B 与线段EF 上的点D 重合，求D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点， 直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ∆∆=，求点G 的坐标．18．大家知道，在数列{}n a 中，若n a n =，则n s =211123 (22)n n n ++++=+，若2n a n =，则n s =222232111123 (326)n n n n ++++=++，于是，猜想：若3n a n =，则n s =3333432123...n an bn cn dn ++++=+++。
高三数学下册高考试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c应满足的条件是（）A. a > 0，b = 0，c任意B. a < 0，b = 0，c任意C. a > 0，b ≠ 0，c任意D. a < 0，b ≠ 0，c任意答案：A2. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/4答案：C3. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = （）A. 29B. 30C. 31D. 32答案：A4. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：C5. 若log2(x - 1) = log2(3x + 1)，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B6. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 4，点P(2, 0)在圆C上，则圆C的切线方程为（）A. x = 2B. y = 0C. x + y = 2D. x - y = 2答案：A7. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/4答案：A8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A9. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比q = 1/2，则第5项an = （）A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像关于点（2，0）对称，故f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x + y = 2D. x - y = 2答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高三数学下学期试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，若f(x)在x=1处取得极小值，则a的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -1答案：B解析：首先求f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 6x，令f'(x) = 0，得x = 0或x = 1。
当x = 0时，f''(x) = 12x - 6 = -6 < 0，f(x)在x = 0处取得极大值；当x =1时，f''(x) = 6 > 0，f(x)在x = 1处取得极小值。
因此a = 1。
2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an =（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得an = 3 + (10 - 1) 2 = 21。
3. 若log2(3x - 2) = log2(5x + 1)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：由对数的性质，得3x - 2 = 5x + 1，解得x = 1。
4. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则z的辐角θ的取值范围是（）A. [0, π]B. [0, π/2]C. [π/2, π]D. [-π/2, π/2]答案：D解析：复数的模长|z| = √(a^2 + b^2)，由|z| = 1，得a^2 + b^2 = 1。
复数的辐角θ的取值范围为[-π/2, π/2]，因为当a = 0，b > 0时，θ = π/2；当a = 0，b < 0时，θ = -π/2。
5. 已知直线l：y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. ±√2B. ±1C. ±√3D. ±1/√2解析：圆的半径为1，直线l到圆心的距离等于半径，即|k0 + 1|/√(k^2 + 1) = 1，解得k = ±√2。
高三下学期数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则下列选项中正确的是：A. a > 0，b = -2，c = -1B. a > 0，b = -2，c = 2C. a < 0，b = -2，c = -1D. a < 0，b = -2，c = 22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S5 = 35，则该数列的公差d 为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是：A. y = x^2B. y = 2xC. y = log2xD. y = e^x4. 已知复数z = 1 + i，若复数w满足|w| = |z|，则w的取值范围是：A. w = x + yi，x^2 + y^2 = 1B. w = x + yi，x^2 + y^2 = 2C. w = x + yi，x^2 + y^2 = 3D. w = x + yi，x^2 + y^2 = 45. 已知直线l的方程为x + 2y - 5 = 0，点P(1, 2)关于直线l的对称点Q的坐标为：A. (-1, -2)B. (3, -2)C. (-1, 4)D. (3, 4)6. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = -2，则该数列的前n项和S_n为：A. S_n = 2^n - 1B. S_n = 2^n + 1C. S_n = 2^n - 2D. S_n = 2^n + 27. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + y^2 > 0B. x^2 - y^2 > 0C. x^2 + y^2 < 0D. x^2 - y^2 < 08. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|，则f(x)的最小值为：A. 5B. 4C. 3D. 29. 下列数列中，不是等差数列的是：A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 1, 3, 6, 10, ...D. 3, 6, 9, 12, ...10. 若函数g(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上有两个零点，则g(x)的导数g'(x)在区间[0, 2]上的符号变化为：A. 递增 -> 递减 -> 递增B. 递减 -> 递增 -> 递减C. 递增 -> 递增 -> 递增D. 递减 -> 递减 -> 递减二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项a10 = _______。
高三数学试卷及答案解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 函数y=2x-3在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数2. 已知复数z满足|z+1|=|z-1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 下列命题中正确的是（）A. 函数y=x^2在x=0处可导B. 函数y=lnx在x=1处不可导C. 函数y=|x|在x=0处可导D. 函数y=1/x在x=0处可导4. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=（）A. a1+(n-1)dB. a1-d+(n-1)dC. a1+(n-1)d/2D. a1-d/2+(n-1)d5. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(1,2)，则a、b、c 的取值分别为（）A. a>0，b=-2，c=2B. a>0，b=2，c=2C. a>0，b=-2，c=-2D. a>0，b=2，c=-26. 已知直线l：2x+y-1=0与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，则弦AB的中点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (2,0)D. (0,2)7. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 118. 若函数y=lnx在区间[1,e]上的导数大于0，则e的取值范围是（）A. e>1B. e>2C. e>3D. e>49. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则Sn=（）A. 2^n-1B. 2^n-2C. 2^n-3D. 2^n-410. 若log2x+log2y=log2(4xy)，则x和y的取值范围是（）A. x>0，y>0B. x>1，y>1C. x<1，y<1D. x>1，y<111. 已知函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第n项an=（）A. a1q^(n-1)B. a1q^nC. a1/q^(n-1)D. a1/q^n二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数y=3x^2-4x+1的顶点坐标为______。
高三数学下学期测试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校新会华侨2021届高三数学下学期测试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(){}2|{()|},1,A x y xy B x y y x ====，，那么A B =〔〕A.{}0,1B.(){}1,1C.()(){}0,0,1,1D.∅【答案】B 【解析】 【分析】先分析出集合分别表示曲线1xy =、2y x =上的点组成的集合，直接求曲线1xy =和2y x =的交点即可. 【详解】集合(){}|,1A x y xy ==表示曲线1xy =上的点组成的集合.集合2{()|}Bx y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.由21xy y x =⎧⎨=⎩解得：1,1x y ==.所以A B =(){}1,1.应选：B【点睛】此题考察集合的描绘法，集合的交集运算，属于根底题.1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的〔〕 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先将复数()11ai i +化简，得到a i -，再判断. 【详解】()11,ai ia i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -.当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a >所以实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 应选：A【点睛】此题考复数的几何性质和充分条件、必要条件的判断，属于根底题.{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，那么7a =〔〕A.8B.8-C.6D.6-【答案】A 【解析】 【分析】 由条件131533a a a a +=-=-,，结合等比数列的通项公式可得212,1,q a ==由通项公式可求答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,133a a +=，即()2113a q +=①153a a -=-，即()4113a q -=-②由÷②①得:211q -=-,即212,1q a ==.那么1n n n a a q q ==所以()36278a q q ===应选：A【点睛】此题考察求等比数列的通项公式和求数列中的项，属于根底题.110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC AEFD 中取一点，那么取自矩形ABCD 的概率为〔〕B.3352【答案】A 【解析】 【分析】 设1EF=,根据题意可求出,CF AE 的长，再矩形AEFD ,ABCD 的面积即可得到答案.【详解】设1EF=，那么由条件有12CF EF =.那么12CF =，所以12AE = 故1AB =.所以矩形AEFD的面积为11122S AE EF =⨯=⨯=矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =⨯=⨯取自矩形ABCD的概率为P ==应选:A【点睛】此题考察几何概率问题，属于根底题.()()()1,00,12,1a b c ===,,，那么()λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=〔〕A.3-B.2C.2-D.3【答案】B 【解析】【分析】 先求出()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c 有()0a b c λ-⋅=，根据向量的数量积的坐标公式可求得结果.【详解】由向量()()()1,00,12,1a b c ===,, 那么()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c .那么()0a b c λ-⋅=，即()()1,2,10λ-⋅=.所以()1210λ⨯+-⨯=，故2λ=，应选：B【点睛】此题考察根据向量的垂直关系求参数，属于根底题. 6.在以下四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为〔〕A.①②B.①④C.③②D.③④【答案】D 【解析】 【分析】 由()f x 和()g x 的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案.【详解】函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择.又3322f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，排除①，应选③；函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择.又()11,g=-排除,②应选④，应选:D【点睛】此题考察函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于根底题.,x y 满足约束条件2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩，那么〔〕A.z x y =+有最小值B.z x y =+无最大值C.2zx y =+有最小值 D.2zx y =+无最大值【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件作出可行域，在对选项进展验证，可得答案.【详解】由2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩知，可行域在两相交直线的下方.z x y =+与边界限20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点.所以2zx y =+无最大值，也无最小值.应选:D【点睛】此题考察简单的线性规划问题，属于根底题. 8.执行如下列图的程序框图，假设输入的10241n S ==，，那么输出的n 的结果是〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【分析】由框图可知程序是求数列(){}log 1nn -求积的运算，根据运算可求出输出的n 值.【详解】设输出的值是n m .由框图可知程序是对数列(){}log 1nn -求积.所以()()10241023111023102210.11024m lg m Slog log log m lg -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=≤化简得()1024log 10.1m -≤，即()21log 10.110m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，完毕，输出3n = 应选:B【点睛】此题考察程序框图中的循环构造，属于中档题.()2222:10,0x y C a b a b-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 假设三角形12AF F 的面积为2.那么12AF AF ⋅=〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率为2可得ab =，从而有2AF =，渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒，在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA ==利用等面积的方法求出2c =，进一步求出1AF 与2AF 的长，得到答案.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 由2222212c b e a a==-=，可得a b =. 所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒. 由条件设2AF 垂直于渐近线y x =2AF =.过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H .又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA == 所以221122OA AF OF AH⨯⨯=⨯⨯,222OA AF cAH OF ⋅==故12AF F △面积为112222c c ⋅⋅=， 所以2c =，那么2AF ==1AH OH ==,1AF ==应选:C【点睛】此题考察双曲线的离心率和渐近线的性质，以及三角形的面积的应用，属于中档题.10.我国古代认为构成宇宙万物的根本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行〞，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，假设取出的两行为“生"的次数记为X，那么()EX 与()D X 的值分别为〔〕 A.91,10B.213,10C.55,2D.217,10【答案】C 【解析】 【分析】从五行中随机任取两行为“生〞的概率为12，那么重复取10次，所以随机变量X服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.【详解】设从五行中随机任取两行为“生〞的事件为,A那么()25512P A C == 依题意，随机变量X服从二项分布，有()~10,0.5X B ，故()()5 2.5,EX D X ==,应选:C【点睛】此题考察古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.11.如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体所有的外表中面积最大的值是〔〕 A.8 B.12C.18D.22【答案】C 【解析】 【分析】由三视图，在正方体中将该几何体复原，然后再计算出面积最大的面. 【详解】由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点. 侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：424122S +=⨯=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，那么,H G 分别为1,A D FE 的中点.侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥所以1AD ⊥平面11A B CD ，那么1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG取1A H的中点P ,那么1//PB HG ,所以1GH B P ===其面积为1(18.2⨯⨯= 该几何体所有的外表中最大的值是18. 应选:C【点睛】此题考察三视图以及几何体中面积最大的面，属于中档题.()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩；函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，那么正确结论的编号是〔〕 A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】D 【解析】 【分析】由条件()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =,可得函数()f x 的图像特点,再结合()g x【详解】()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12，得到3,22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的图像， 依此类推可得()f x 的图像，如图.所以()f x 不是周期函数，所以①错误.由(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩，作出其函数图像，如图.由图显然()gx 在R 上不是单调递增函数，所以②错误.当x 大于0，且0x →时，logx π→-∞.所以当x 大于0，且0x →时()()() h x f x g x =-→+∞.所以()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-无最大值,故③正确.函数()()() ,(),hx f x g x x ππ=-∈-的零点个数,即函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上交点的个数.作出函数()y f x =与()y g x =的图像,如同由图像可知,函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确.应选:D【点睛】此题考察函数的图像变换,函数零点以及利用函数图像分析函数性质,属于难题. 二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕X满足2~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，那么()20202035P X <<=_________.【解析】 【分析】 随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，()20050.2P X <=，那么()200520200.3P X <<=，根据正态曲线的对称性可得答案.【详解】随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，又()20050.2PX <=，那么()200520200.3P X <<=.20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<=所以()202020350.3PX <<=.【点睛】此题考察由正态分布曲线的对称性求概率问题，属于根底题.()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中x 的系数为8，那么展开式中的常数项是__________(用数字答题)【答案】13 【解析】 【分析】由411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rr r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数，从而得到答案.【详解】由()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rrr T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭由于411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开式中不含x 的项，∴()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项为1421axC x⋅ 所以()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数为14a C ⋅由x 的系数为148a C ⋅=，可得2a =.故展开式中的常数项是241213C +=.故答案为：13【点睛】此题考察二项式展开式中根据特定项的系数求参数，属于中档题.{}n a 满足()21n n n S a a =+，那么100S =__________.【答案】5050 【解析】 【分析】根据n a 与n S 的递推关系1111nn n an a S S n -=⎧=⎨->⎩，消去n S 得到n a 的递推关系，从而求出n a ，再求答案.【详解】由己知得: 1a =， 又()21n nn S a a =+①得()()111212n n n S a a n ---=+≥②-①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，整理得:()()1110n n n n a a a a --+--=因为{}n a 是正项数列，所以-11n n a a -=，故()11na n n =+-=所以100110010050502S +=⨯=. 故答案为：5050【点睛】此题考察由含n a 与n S 的递推关系求通项公式，属于中档题.16.如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，那么此时的四棱锥的外接球半径为________.【答案】10【解析】 【分析】 连接OF 交AB 于I ，那么OI x =，5FI x =-，那么正四棱锥的高为h =，表示出其体积，求出体积最大时正四棱锥的各个棱长，然后再求外接球的半径.【详解】连接OF 交AB 于I ，如图，那么OI x =，5FI x =-.那么正四棱锥的高为h=依题意，此时的四棱锥体积为:令()()4552,0,2gx x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 那么()()343'2010102,g x x x x x =-=-可知当2x=时，此时()()E FGH ABCDmaxV -这时，棱锥的高为OE ==，又OB=BE ==设此时的四棱锥的外接球半径为R ，球心为O '.那么由Rt BOO '△中,OO R '=,OB =BO R '=.那么222O B OB OO ''=+,即)(222R R=+,解得10R =【点睛】此题考察空间线线、线面以及面面的位置关系，考察锥体的体积和锥体的外接球问题，属于中档题. 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 464,b asinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭.〔1〕求A ；〔2〕假设3,aAD DC AE EB ===,求DE 的长. 【答案】〔1〕3π；〔2〕2 【解析】【分析】(1)由464,basinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭结合正弦定理可得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭，进一步得到sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理可得tanA =.(2)由正弦定理得:2b sinBsinA a ==,由条件可得3B π=,结合条件由余弦定理可得答案.【详解】〔1〕依题意，6A asinBbcos π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭由正弦定理得6sinAsinBsinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭0B π<<.0sinB ∴≠故sincos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即122sinA cosA sinA =-即3,2sinA =即tanA =〔2〕由正弦定理a b sinA sinB =得:b sinB sinA a ==ABC 是锐角三角形，故3B π=，所以90CAB ==,3AE EB =，故AE = AD DC =,故2AD =.在ADE 中，由余弦定理可得:24122242DE =+-⨯⨯=， 故2DE =【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 18.如图，矩形ABCD 所在的平面与正三角形CDE 所在的平面互相垂直，F 为CE 的中点，连接AE BE 、.〔1〕证明:平面AFD ⊥平面CBE ； 〔2〕假设直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2 【解析】 【分析】〔1〕连接，可得ECDF ⊥，由条件可证AD EC ⊥，可得EC ⊥平面ADF ，从而可证.〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,直线AF与平面CDE所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =，运用向量的方法求解.【详解】〔1〕证明:连接.DF三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点， 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面,CDECD =,AD CD AD ⊥⊂平面CDEAD ∴⊥平面CDEEC ⊂平面CDE .AD DF D ⋂=，AD ⊂平面,ADF FD ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADFEC ∴⊂平面CBE∴平面AFD ⊥平面CBE〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，如图.直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =.设2CD =， 那么5AD DF ==，)E ，()0,1,0C，(()0,0,1,0A D --，故()3,1,0CE =-，(0,CA =-设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，那么00m CE m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(,,3,1,00,,0,2,0x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩即2y y ==⎪⎩ 令1x =，那么2y z ==，故1,3.()2m =.平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =，设所求二面角E AC D --的大小为θ， 那么,m n θ=由()1,0,024m n cos m nθ⋅⋅===⋅，故二面角E AC D --的余弦值为:【点睛】此题考察面面垂直的证明和求二面角的大小，属于中档题.100名旅客进展调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占34.〔1〕请完成的22⨯列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关〞 〔2〕为优化效劳质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到参加座谈会，会后再进展抽奖活动，奖品一共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客假设中奖每人得800元，40岁以上的旅客假设中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望()EX .参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.n a b c d =+++参考数据如表【答案】〔1〕表格见解析，有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞；〔2〕分布列见解析，()2640EX =【解析】 【分析】〔1〕根据条件及22⨯列联表中数据，完善22⨯列联表，再计算出()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，得到结论. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人，从“40岁以上〞的人中抽取2人，X 的可能取值为:240026002800，，,求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望. 【详解】〔1〕由可得，40岁〔含〕以下采用乘坐京广高铁出行的有360454⨯=人 22⨯列联表如表:由列联表中的数据计算可得2K 的观测值由于24.2410.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人， 从“40岁以上〞的人中抽取2人，由30M N =⎧⎨=⎩或者21M N =⎧⎨=⎩或者12M N =⎧⎨=⎩X的可能取值为:240026002800，，故分布列如表:数学期望()2400260028002640101010EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察HY 性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 、右顶点为,A 过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆相交于B C 、两点，所得四边形1ABF C 为菱形，且其面积为323. 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于D E 、两点，试求三角形2DEF 面积的最大值.【答案】〔1〕22198x y ；〔2〕163【解析】 【分析】(1)由椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，可得B 的纵坐标为2B b y a=，四边形1ABF C 的面积为()2132223b ac a +⨯⋅=，结合,,a b c 的关系求解出,a b ，即可得到得答案.(2)设()()1122,,,D x y E x y ，设直线l 的方程为:1,x ky =-由直线方程与椭圆方程联立，得到12,y y +12y y 的表达式，求出三角形2DEF 面积的表达式，再求其最大值.【详解】〔1〕如图，因椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，即2c a c =-，即3a c =①令x c =，得点B 的纵坐标为2B by a=由四边形1ABF C 的面积为323故()2132223b ac a +⨯⋅= 即28b =②又222c a b =-③联立①②③得:2298a b ⎧=⎨=⎩故椭圆方程为22198x y〔2〕由()1知:()1121,02,F F F -=，设直线l 的方程为:1,x ky =- 假设()()1122,,,Dx y E x y .由221981,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得:()229118ky y -+=即()228916640ky ky +--=由()()()2216489640k k =--+->得:210k +>，故k ∈R .(1,)t t =≥那么()2224848481818198DEF t t St t t t===+-++设()()181f t t t t =+≥由()21'80f t t =->可知:()()181f t t t t =+≥单调递增，故()2max163DEF S = 【点睛】此题考察求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考察三角形的面积的最值，属于中档题. 21.()sin 1( ()x f x sinx e x e ππ=+--<<函数为自然对数的底数).〔1〕求()f x 的单调递增区间与最小值；〔2〕设()12gx sinx x =-，证明:在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【答案】〔1〕,02π⎛⎫-⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2f x e =-最小值；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)由()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=-，令()0,f x '=得出解，再用表格得出()f x '与()f x 变化关系,得到单调性，从而得到最小值.(2)要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，设()sinx 112g x x e =+-，求出()g x '，得到()g x 的单调性，从而证明结论.【详解】〔1〕()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=- 令()0,f x '=那么()sin 10x cosx e -=即0,cosx=或者sin 10x e -= 当(),x ππ∈-时，2x π=-或者0x =，或者2x π= ()()f x f x '、随(),x ππ∈-变化如下:所以，()f x 的单调递增区间为,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12f x e f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，或者()22f x e f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值 因为12e e ->- 故()2,f x e =-最小值〔2〕要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，即证sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. [方法一]令()sinx 112g x x e =+-，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()sinx 112g x x e =+-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 即sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤ [方法二]只需证sinx 112e x ≥+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立 因1t e t ≥+为恒成立，即sin 1 xe sin x ≥+恒成立， 故需证1112sinx x +≥+上成立， 即证 20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 令()2,h x sinx x =-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()h x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 即20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立， 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间和最小值以及利用导数证明不等式，属于中档题.22.*,n N ∈在直角坐标系xOy 中，曲线n C 的参数方程为2x nt y nt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，直线n l 的普通方程为40309x y n+-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕当1n =时，求曲线1C 的极坐标方程； 〔2〕设射线000(,)':0903l tan θθθθ=<<=与,n n C l 分别交于n n A B 、两点，设(),n n n ON f OB =+求()f n 的最小值.【答案】〔1〕2sin cos ρθθ=；〔2〕9【解析】【分析】(1)先求出曲线n C 的普通方程为2y nx =，再化为极坐标方程2sin cos n ρθθ=，将1n =代入即可.(2)将射线'l 与,n n C l 的极坐标方程分别联立，得到n OB =，n OA =，那么()4f n n n ⎫=+⎪⎝⎭，再求其最值. 【详解】〔1〕曲线n C 的普通方程为2y nx = 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()2sin sin n ρθρθ=，即2sin cos n ρθθ= 1n =时，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ= 〔2〕由题意可得：000tan 3sin θθθ=⇒==直线n l 的极坐标方程为40sin 3sin 9n ρθρθ+=， 可得()409cos 3sin n ρθθ=+故4099310n OB n n ==+⎪⎭同理，2cos sin n n OA θθ===故()4f n n n ⎫=+≥⎪⎝⎭当且仅当2n =时，()f n的最小值为9【点睛】此题考察参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标下极径的几何意义的运用，属于中档题.。
2021年高三下学期普通高考测试(二)数学理试题 含答案
2021年高三下学期普通高考测试（二）数学理试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，则（）．A．B．C．D．2．已知是复数，是虚数单位，若，则=（）．A．B．C．D．3．随机变量服从正态分布，若，则的值为（）．A．B．C．3 D．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（）．A．B．C．D．5．在右图所示的程序框图中，输出的和的值分别为（）．A．3,21 B．3,22 C．4,21 D．4,226．设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则=（）．A．3 B．2 C．1 D．07．若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为（）．A．B．C．D．8．对于任意正整数，定义“”如下：当是偶数时，；当是偶数时，；且有．则如下四个命题：①；②；③的个位数是；④的个位数是．其中正确的命题有（）．A．个B．个C．个D．个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线的离心率是．11．_______________．12．某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是名．13．已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，，则集合的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角是．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形中，，，，点．分别在．上，且，若，则的长是．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数（1）求函数在区间上的值域（2）记内角的对应边分别为，若，且，求的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的22列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，0⊥，⊥，==平面DCDCPD．AD=，且//ADAB1BCD452CDABCD=AB,,∠（1）若点M是PD的中点，证明：;（2）若得面积为，求二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）数列的前项和记为，对任意正整数，均有，且．求及数列的通项公式；令，求数列的前n项和．20．（本小题满分14分）已知曲线E上的任一点到点和点的距离之和为4．（1）求曲线E的方程；（2）已知点，设直线与曲线E交于B．D两点（B在第一象限），求四边形ABCD面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数为实数，．（1）若，且函数的值域为，求；（2）设，，且函数为偶函数．证明：；（3）设的导函数是当时，证明：对任意实数，．24900 6144 慄21944 55B8 喸34192 8590 薐37318 91C6 釆23645 5C5D 屝40612 9EA4 麤a22390 5776 坶|lvk/22752 58E0 壠。
高三下学期数学试卷答案
1. 答案：B解析：根据三角函数的定义，sin30° = 1/2，故选B。
2. 答案：A解析：由二次函数的性质可知，当a>0时，函数开口向上，故选A。
3. 答案：C解析：由指数函数的性质可知，当x增大时，f(x)增大，故选C。
4. 答案：D解析：根据向量的坐标表示，a = (2, -3)，b = (4, 6)，则a·b = 2×4 + (-3)×6 = -6，故选D。
5. 答案：B解析：由复数的乘法法则，(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，故选B。
6. 答案：C解析：由数列的通项公式可知，an = 3n - 2，故选C。
7. 答案：A解析：由对数函数的性质可知，当底数大于1时，对数函数是增函数，故选A。
8. 答案：D解析：由空间几何的性质可知，若两条直线相交，则它们的夹角为0°，故选D。
9. 答案：B解析：由排列组合的性质可知，从n个不同元素中取出m个元素的排列数为A(n, m)，故选B。
10. 答案：C解析：由二项式定理可知，(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^n，故选C。
1. 答案：-1/2解析：由三角函数的定义，cos(π/3) = 1/2，故cos(π - π/3) = -cos(π/3) = -1/2。
2. 答案：-8解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x = -b/2a，故对称轴为x = -2/(-4) = 1/2。
将x = 1/2代入二次函数，得y = -8。
3. 答案：3解析：由指数函数的性质可知，a^b = c，则a = c^(1/b)，故a = 27^(1/3) = 3。
4. 答案：-1解析：由向量的坐标表示，a = (2, -3)，b = (4, 6)，则a·b = 2×4 + (-3)×6 = -6，故|a|·|b|·cosθ = -6，又|a| = √(2^2 + (-3)^2) = √13，|b| = √(4^2 + 6^2) = √52，故cosθ = -6 / (√13 × √52) = -1。
高三下数学试卷试题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 下列函数中，奇函数是（）A. $f(x) = x^2 + 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = |x|$D. $f(x) = e^x$3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则$a_6 + a_7 + a_8$的值为（）A. 123B. 127C. 129D. 1314. 若$\triangle ABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{6}$D. $\frac{6}{7}$5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数$x$，$x^2 + 1 \geq 0$恒成立B. 函数$y = x^2$在$x=0$处有极大值C. 数列$\{a_n\}$中，$a_{n+1} = 2a_n$，则$\{a_n\}$是等差数列D. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$6. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$|z+3i| = |z-2i|$，则$a$的值为（）A. -2B. 2C. -1D. 17. 函数$y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$的图像与$x$轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 对数数列9. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围是（）A. $[-1, 1]$B. $(-1, 1)$C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$D. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$10. 若$|a+b| = |a-b|$，则下列选项中正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a=0$D. $b=0$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高三数学试卷新高考及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把所选项前的字母填在答题卡上。
）1. 若复数z满足方程|z-1|=|z+i|，则复数z在复平面内的对应点一定在（）A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (0, -2)D. (1, 0)3. 在等差数列{an}中，若a1 + a7 = 12，a2 + a6 = 14，则数列{an}的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个不同的交点，且a ≠ 0，则以下结论正确的是（）A. a > 0B. a < 0C. b > 0D. b < 05. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 - c^2 = 2abcosC，则角C的大小是（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°6. 下列命题中正确的是（）A. 若集合A⊆B，则集合A与集合B的交集是集合AB. 若集合A∩B=∅，则集合A与集合B的并集是空集C. 若集合A⊆B，则集合B的补集是集合A的补集D. 若集合A∪B=U，则集合A与集合B的交集是空集7. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n是（）A. (3^n - 1)^2 / 4B. (3^n - 1)^2 / 2C. (3^n - 1)^2 / 8D. (3^n - 1)^2 / 48. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = x^3 - xB. y = x^2 + 1C. y = |x|D. y = x^2 - 2x9. 若直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率k是（）A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/210. 已知函数f(x) = log_2(x+1) - log_2(x-1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (-1, 1)C. (-1, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高三数学参考答案
高三数学参考答案1.ʌ答案ɔ㊀Cʌ解析ɔ㊀由图可知,阴影部分表示的集合的元素为集合A 中的元素扣掉集合A ɘB 的元素构成;而A =x -5ɤx ɤ1{},B =x x >-2{},故所求集合为x -5ɤx ɤ-2{},故选C .2.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,P 163<X <175()=1-0.2ˑ2=0.6,故选D .3.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,a =log 37=log 949,故a >b ;而a <2<c ,故b <a <c ,故选D .4.ʌ答案ɔ㊀C ʌ解析ɔ㊀直线l 过定点(0,2),而(0,2)又在圆C 上,而直线l 的斜率显然存在,故公共点的个数为2,故选C .5.ʌ答案ɔ㊀B ʌ解析ɔ㊀设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则a 1q ㊃a 1q 2=2a 1,a 1q 3=2,又a 4+2a 7=52,所以a 1q 3+2a 1q 6=52,a 1q 3+2a 1q 6a 1q 3=54,q 3=18,q =12,a 1=16,S 5=16(1-125)1-12=31,故选B .6.ʌ答案ɔ㊀Bʌ解析ɔ㊀依题意,13㊃2π+18π+2π㊃18π()㊃h =104π3,解得h =4;四面体ABCD 的外接球即为圆台O 1O 2的外接球,设其半径为R ,OO 1=d ,则OO 2=4-d ,故R 2=2+d 2=18+4-d ()2,解得d =4,故R 2=18,故四面体ABCD 的外接球表面积为72π,故选B .7.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀由图可知,AB =3π8,设A ,B 两点在曲线y =2sin x 中对应的点为Aᶄ,Bᶄ,易知AᶄBᶄ=3π4,故ω=2;而x 1-x 2的值不受φ的影响,故f x 1()=-f x 2()=-12,可简单化为2sin2x 1=-12,则sin2x 1=-14,cos2x 1=154,同理sin2x 2=14,cos2x 2=154,则cos(2x 1-2x 2)=cos2x 1cos2x 2+sin2x 1sin2x 2=154ˑ154-14ˑ14=78,故选A .8.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀已知直线l :y =kx +43,设直线OM ,ON 的方程分别为y =k 1x ,y =k 2x ;记点1,1()到直线OM 的距离为r ,则k 1-11+k 21=r ,整理得1-r 2()k 21-2k 1+1-r 2=0,同理可得,1-r 2()k 22-2k 2+1-r 2=0,故k 1,k 2是方程1-r 2()x 2-2x +1-r 2=0的两根,故k 1k 2=1,设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则y 1y 2x 1x 2=1,故y 1y 2=x 1x 2;联立y =kx +43,y 2=4x ,ìîíïïïï故3ky 2-12y +16=0,故y 1y 2=163k ,则x 1x 2=y 21y 2216=169k 2,故169k 2=163k,解得k =13,故选A .9.ʌ答案ɔ㊀BCʌ解析ɔ㊀依题意,x -3()2=-3,故x =3ʃ3i,则z 1,z 2是共轭复数,实部相同,虚部互为相反数,故A 错误,B 正确;而z 1=3ʃ3i =23,故C 正确;z 1+z 22-i=62-i =125+65i,故z 1+z 22-i 在复平面内所对应的点125,65()位于第一象限,故D 错误;故选BC .10.ʌ答案ɔ㊀BCDʌ解析ɔ㊀依题意,m ㊃n =b c tan A +b c tan B =13cos A ,则sin A cos A +sin B cos B =sin C3sin B cos A,由正弦定理,sin A +B ()cos A cos B =sin C3sin B cos A;因为sin A +B ()=sin π-C ()=sin C ,且sin C ʂ0,故3sin B =cos B ,故tan B =33,因为B ɪ0,π(),故B =π6,故A 错误;则R =b2sin B=4,故其外接圆面积为16π,故B 正确;而AM =3MC =3,记øBAC =øABM =θ,所以øBMC =2θ,AM =BM =3,MC =1,AC =4,在әABC 中,由正弦定理,BC sin θ=ACsinøABC,即BC =8sin θ,在әBMC 中,由余弦定理,BC 2=BM 2+CM 2-2BM ㊃CM ㊃cos2θ=10-6cos2θ,故64sin 2θ=10-6cos2θ,解得sin 2θ=113,因为θɪ0,π2(),则sin θ=1313,BC =8sin θ=81313,故C㊁D 正确;故选BCD .11.ʌ答案ɔ㊀ACDʌ解析ɔ㊀f f -2()[]=f 8()=-32,故A 正确;作出函数f x ()的图象如右图所示,观察可知,0<λ<4,而f λ()ɪ0,4(),故y =f x (),y =f λ()有3个交点,即函数g x ()有3个零点,故B 错误;由对称性,b +c =4,而a ɪlog 315,0(),故a +b +c ɪ4+log 315,4(),故C 正确;b ,c 是方程x 2-4x +λ=0的根,故bc =λ,令3-a -1=λ,则a =-log 31+λ(),故abc =-λlog 31+λ(),而y =λ,y =log 31+λ()均为正数且在0,4()上单调递增,故abc ɪ-4log 35,0(),故D 正确;故选ACD .12.ʌ答案ɔ㊀-30ʌ解析ɔ㊀要想产生y 2x ,则-x 2出1个,1㊀x3出2个,y 出2个,故所求系数为C 15㊃-1()㊃C 24=-30.13.ʌ答案ɔ㊀23ʌ解析ɔ㊀在AD 上取点G ,使得NG ʊAS ,由AM AB =DN DS,设AM =xAB ,DN =xSD ,其中0<x <1,由AB =AS =2,BC =4,SA ʅ平面ABCD ,可得SD =AS 2+AD 2=25,AM =2x ,DN =25x ,BM =2-2x ,因为NG ʊAS ,故NG ʅ平面ABCD ,在әASD 中,GN AS =DNSD,则GN =2x ,则әBCM 的面积为12BM ㊃BC =4-4x ,故V C -BMN =V N -BCM =831-x ()x ɤ23,当且仅当x =12时等号成立.14.ʌ答案ɔ㊀3ʌ解析ɔ㊀设椭圆的长半轴长为a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=ce 1,双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,则e =c a ,a =ce,设MF 1=x ,MF 2=y (x >y >0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60ʎ=x 2+y 2-xy ,当点M 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x +y )2-3xy =4a 21-3xy ,当点M 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x -y )2+xy =4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 21+3a 2,即4c 2=c e 1()2+3c e()2,所以1e 1()2+31e()2=4,又1e 1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e =3,即双曲线的离心率为3.15.(13分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,f ᶄx ()=2x e x -2ax =2x e x -a (),故f ᶄ0()=0,(2分) 而f 0()=-2,故切点为0,-2(),(3分) 则所求切线方程为y =-2;(5分) (2)由(1)可知,f ᶄx ()=2x e x -e 2(),(6分) 当x ɪ1,2[)时,f ᶄx ()<0,函数f x ()在1,2[)上单调递减,(8分) 当x ɪ2,3(]时,f ᶄx ()>0,函数f x ()在2,3(]上单调递增,(10分) 而f 1()=-e 2,f 2()=-2e 2,f 3()=4e 3-9e 2,(12分) 故所求最大值为4e 3-9e 2,最小值为-2e 2.(13分) 16.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)法一:零假设H 0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联; (1分)则χα=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100(3分)=163ʈ5.333<6.635,(5分) 故依据α=0.01的独立性检验,没有充足证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(7分)法二:由题知,K 2=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100=163ʈ5.333<6.635,故没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(2)依题意,X ~B 4,34(),P X =0()=14()4=1256,(8分) P X =1()=C 1414()3ˑ34()=12256,(9分)P X =2()=C 2414()2ˑ34()2=54256,(10分)P X =3()=C 3414()ˑ34()3=108256,(11分) P X =4()=34()4=81256;(12分) 故X 的分布列为:X 01234P1256122565425610825681256(13分)则E X ()=4ˑ34=3.(15分)17.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)设BC 中点为E ,连接AE ;因为øCDA =øDCB =2øDCA =90ʎ,且AD =CE ,故四边形ADCE 为正方形;(1分) 而AC =22,AE =2,AB =22,所以BC 2=AB 2+AC 2,所以AB ʅAC ;(3分) 因为SA ʅ平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以SA ʅAC ;(4分) 又SA ,AB ⊂平面SAB ,SA ɘAB =A ,所以AC ʅ平面SAB ;(5分) 因为AC ⊂平面SAC ,故平面SAC ʅ平面SAB ;(6分) (2)以A 为坐标原点,AE ㊁AD ㊁AS 所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ;设SA =a (a >0),则C (2,2,0),D (0,2,0),B (2,-2,0),S (0,0,a ),所以SD ң=(0,2,-a ),DC ң=(2,0,0),(8分) 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃SD ң=0,n ㊃DC ң=0.{即2y -az =0,2x =0,{(9分)令z =2,所以n =(0,a ,2);(10分)由(1)知,平面SAB 的法向量为AC ң=(2,2,0);(12分) 则1-306()2=66=|cos<AC ң,n >|=AC ң㊃n AC ңn=(2,2,0)㊃(0,a ,2)22㊃02+22+a 2,解得a =2=SA.(15分)18.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,2a =4,b -00-(-c )=b c=33,a 2=b 2+c 2,ìîíïïïïï(3分)联立三式,解得a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1;(5分)(2)设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则MF 2=x 1-3()2+y 1-0()2=x 1-3()2+1-x 214=2-32x 1,同理可得,NF 2=2-32x 2,(7分) 易知直线l 与单位圆相切,设切点为B ,MB =x 21+y 21-1=32x 1,同理可得,NB =32x 2,(8分) 故әF 2MN 的周长为2-32x 1+2-32x 2+32x 1+32x 2=4+32x 1+x 2-x 1-x 2();(9分) 当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1或x =-1,此时әF 2MN 的周长为4或4+23;(10分) 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =kx +m ,则原点到直线l 的距离d =m 1+k 2=1,故1+k 2=m 2,联立y =kx +m ,x 24+y 2=1,ìîíïïïï化简可得1+4k 2()x 2+8kmx +4m 2-4=0,故x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,ìîíïïïïï易知x 1x 2=4m 2-41+4k 2=4k 21+4k 2>0,故x 1,x 2同号;(12分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2>0时,即km <0,此时点M 在y 轴右侧,所以x 1>0,x 2>0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4为定值;(13分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2<0时,即km >0,此时点M 在y 轴左侧,所以x 1<0,x 2<0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4-3x 1+x 2()=4+83km 1+4k 2=4+83km m 2+3k 2=4+83m k +3k m;因为km >0,故m k +3k m ȡ23,当且仅当m =62,k =22,ìîíïïïïïï或m =-62,k =-22,ìîíïïïïïï时取等号,从而4<4+83m k +3k mɤ8,故әF 2MN 的周长的取值范围为4,8(];(16分) 综上所述,әF 2MN 的周长的取值范围为4,8[].(17分)19.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)当n =1时,a 1=S 1=2;(1分) 当2ɤn ɤ100时,a n =S n -S n -1=n 2+n -n -1()2-n -1()=2n ;综上所述,数列a n {}的通项公式为a n =2n 1ɤn ɤ100();(3分) 该数列具有 和性质 ;(4分) (2)(ⅰ)依题意,∀k ȡ2,k ɪN ∗,∃p ,q ɪN ∗,使得a k =a p +a q ;因为1=a 1<a 2< <a n ,n ȡ2,所以a p ɤa k -1,a q ɤa k -1,所以a k =a p +a q ɤ2a k -1;(6分) 即a n ɤ2a n -1,a n -1ɤ2a n -2,a n -2ɤ2a n -3, ,a 3ɤ2a 2,a 2ɤ2a 1;(7分) 将上述不等式相加得a 2+ +a n -1+a n ɤ2(a 1+a 2+ +a n -1),则a n ɤ2a 1+a 2+ +a n -1;(8分)由于a 1=1,故2a n ɤ1+a 1+a 2+ +a n -1+a n =S n +1,即a n ɤS n +12;(10分)(ⅱ)因为数列a n {}具有 和性质 ,故a 2=2a 1=2,所以a n {}中的项均为整数;构造a n :1,2,3,6,9,18,36或者a n :1,2,4,5,9,18,36,这两个数列具有 和性质 ,此时S n =75;(11分) 下面证明S n 的最小值为75,即证不可能存在比75更小的S n ;假设S n ɤ75(存在性显然,因为满足S n ɤ75的数列a n {}只有有限个);第一步:首先说明有穷数列a n {}中至少有7个元素,设有穷数列a n {}中元素组合的集合为A ,由(2)可知a 2ɤ2a 1,a 3ɤ2a 2, ,又a 1=1,所以a 2ɤ2,a 3ɤ4,a 4ɤ8,a 5ɤ16,a 6ɤ32<36,所以n ȡ7;(13分) 第二步:证明a n -1=18,a n -2=9;若18ɪA ,设a t =18,因为a n =36=18+18,为了使得S n 最小,在数列a n {}中一定不含有a k ,使得18<a k <36,从而a n -1=18;假设18∉A ,根据 和性质 ,对a n =36,有a p ,a q ,使得a n =36=a p +a q ;显然a p ʂa q ,所以a n +a p +a q =36+36=72;而此时集合A 中至少还有4个不同于a n ,a p ,a q 的元素,从而S n >(a n +a p +a q )+4a 1=76,矛盾,所以18ɪA 且a n -1=18;同理可证:a n -2=9;(15分)根据 和性质 ,存在a p ㊁a q ,使得9=a p +a q ;我们需要考虑如下几种情形:①a p =8,a q =1,此时至少还需要一个大于等于4的a k ,才能得到8,则S >76;②a p =7,a q =2,此时至少还需要一个大于4的a k ,才能得到7,则S >76;③a p =6,a q =3,此时a n :1,2,3,6,9,18,36,S n =75;④a p =5,a q =4,此时a n :1,2,4,5,9,18,36,S n =75;综上所述,S n 的最小值为75.(17分)。
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2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ ）(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) (2006山东理)2．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于( ) A．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<（2008北京文）3．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｃ）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题4．函数2()lg(1)f x x ax =--在区间（1，+∞）上是单调增函数，则a 的取值范围 是 ．(],0-∞5．已知球O 的半径为3，则球O 的表面积为 ． 6．下列说法中：① 若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 在R 上不是单调减函数； ② 定义在R 上的函数)(x f 在区间]1,(-∞上是单调减函数，在区间),1(+∞上也是单调减函数，则函数)(x f 在R 上是单调减函数；③ 对于定义在R 上的函数)(x f ，若)2()2(f f =-，则)(x f 不可能是奇函数； ④ 20132013)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数.其中正确说法的序号是 ▲ .7．已知函数52)(3++=x x x f ，3)(=a f ，则=-)(a f ▲ ．8．若关于x 的方程02342=+---k kx x 有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范 围是 ．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 6 .提示：点P 在以1AC 为焦点的椭圆上，P 分别在AB 、AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上. 或者，若P 在AB 上，设AP x =,有2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=. 故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件.同理在AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1BB 上上，则2211112PA PC BP B P +=+++>. 故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理1DD 上不存在满足条件的点P .10．若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P 在圆2216x y +=内的概率是11．执行如图所示的流程图，输出结果为 ．12．求直线012=--y x 被圆01222=--+y y x 所截得的弦长______________________13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，则(2)f 的值为__________ 14．有下列命题： ①存在(0,)2πα∈使31cos sin =+a a ； ②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0； ③x y tan =在其定义域内为增函数； ④cos 2sin()2y x x π=+-既有最大、最小值，又是偶函数；⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π.其中错误的命题的序号为 .评卷人 得分三、解答题15．已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-u u u r u u u u r.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.16．已知(1n +的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56倍． （1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； （2）求展开式中所有有理项．17．(本小题满分15分)已知向量a = (cos α, sin α), b = (cos β,sin β), |a +b | =2| a －b |. （1）求cos （α－β）的值； （2）若0< α <2π，－2π< β <0且sin β=135-，求sin α的值．18．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为,,a b c ，这向量()()cos ,sin ,cos ,sin m B C n C B ==-u r r，且12m n ⋅=u r r 。
（1）求内角A 的大小；（2）若a =ABC ∆面积S 的最大值。
（本题满分14分）19．某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度 差异）.（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应名投入几列列车运行？(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.20．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2， S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． (1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．21．已知不等式|3||4|11()(),33x x a -+->若该不等式的解集不是空集，求a 得取值范围。
22．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）． （1）试将y 表示为x 的函数；（2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值．23．当m 为何值时，直线1:(1)0l mx y m +-+=与直线2:20l x my m +-=互相平行？24．如图，在四边形ABCO 中，2OA CB =u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，A （4，0），C （0，2）．若M 是线段OA 上的一个动点（不含端点），设点M 的坐标为（a ，0），记△ABM 的外接圆为⊙P ． (Ⅰ）求⊙P 的方程；(Ⅱ）过点C 作⊙P 的切线CT （T 为切点），求CT 的取值范围．25．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． (Ⅰ）求a 、b 的值；(Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．（全国一文 本小题满分12分）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除（第15一、选择题第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题4． 5． 36π 6．①④. 7．7 8．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,1259． 10．； 11．12-12． 13．14．①②③⑤三、解答题15． 解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--u u u r ，2(1,0)FA a =-u u u r.由121FA FA ⋅=-u u u r u u u r ，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………………………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221ky k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k k E k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y. ………………………………………………14分16． 7n =；773,2。
有理项为1，84x ，4263352,72x x ⨯⨯17． 解：（1）=(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ=r r Q |a r |=1,|b r|=1，由已知，得：a r ·b r =53，∴cos (α－β) =53（2）πβαβππα<-<∴<<-<<002,20Θ1312cos 135sin 54)sin(53)cos(=-==-∴=-βββαβα得由Θ∴sin α=sin[(α－β)+ β]=sin(α－β)cos β+cos(α－β)sin β=6533)135(53131254=-⋅+⋅ 18． 解：（1）∵1cos cos sin sin cos()2m n B C B C B C =-=+=u r r g ，………………（3分）又A 、B 、C 为三角形的三个内角，∴60B C +=o，∴120A =o．……………………（7分）（2）∵23a =，2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc ++=，……………（10分）又222b c bc +≥（当且仅当b=c 时取“=”）， ∴123bc ≥，∴4bc ≤…………（12分） ∴133sin 43244S bc A bc ==≤⨯=．……………………（13分） ∴当b=c 时，三角形ABC 的面积S 的最大值为3．……………………（14分） 1 19．20．(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·q m ＋1＝a 1·q m －1＋a 1·q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2，S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真． 21．22．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2kax ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >． ……………………………………………………………………4分从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-． …………………………………………6分 （2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-， ……………………………8分 '3322[](18)b y k x x -=+-，令'0y =，得x ……………………………12分 又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为 8． ……………………………14分 23．1m =-24．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解法一（用圆的标准方程）由已知B （2，2），所以AB 中点坐标为（3，1），1AB k =-，所以，AB 中垂线方程为132y x y x -=-⇒=-．…………………………………………2分 而AM 的中垂线方程为42a x +=，由此得⊙P 的圆心坐标为4(,)22a aP +，半径r =5分所以△ABM 的外接圆⊙P 的方程为22224()()(2)()2222a a a a x y +-+-=-+，即22(4)40x y a x ay a +-+-+=． ……………8分 解法二（用圆的一般方程）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为点A ，B ，M 在所求圆上，故有 24160,4,2280,,4.0.D F D a DEF E a F a a aD F ⎧++==--⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=++=⎩⎩…………………………………………………………7分 故所求圆的方程是22(4)40x y a x ay a +-+-+=． ………………………………………8分说明 若令y ＝0，得20x Dx F ++=．根据韦达定理，得4,4D a F a =--=也应给相应分数．(Ⅱ）切线长CT ==．………12分因为M 在线段OA 上（不含端点），所以0＜a ＜4．故CT的取值范围是(2，． ………………………………………………………………14分25．(Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得3a =-，4b =．(Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，．。