中考数学重难点真题讲座(第二讲图形位置关系)

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2014年中考数学分析预测讲座(压轴题分类讲座)

2.
难度分布：
① 一、二两大题各有至少一题为压轴题。 ② 三大题中，基础题、中档题、压轴题个占两题。 ③ 基础题一般为：统计概率一题；解直角三角形应用一题。中档题：文字应用题一题；几何题一题。压轴题：几何动点+函数一题；函数+动点存在性一题。
二．2014中考预测
1.
2.
3.
近三年中考题分类练习讲座（按照选择；填空；基础；中档；压轴分类分析讲解）。 2014年考题预测：前面的两道大题和解答题中的前两题基本不变。中档题略有调整，重点是第二道中档题变化较大。最后两道压轴题变化较大，一般不会和往年重复。
【例5】
六．因动点产生的面积问题
【例6】
七．因动点产生的相切问题
【例7】
八．因动点产生的线段和差问题
【例8】
第二部分图形运动中的函数关系问题
一．由比例线段产生的函数关系问题
【例9】
二．由面积公式产生的函数关系问题
【例10】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
Hale Waihona Puke 内蒙古包头瑞星教育原创精品课件——版权所有
• 根据当年发布的考试说明，知识点认真梳理一遍，按照：“说、举、做”的步骤找出漏点，查漏补缺，形成知识网络。 • 总结各知识体系中的基本模型（具有普遍意义的基本图形；基本题型；基本规律）。遇到相关题目能从模型出发找到突破点。 • 基本的数学思想要掌握。数形结合的思想；方程的思想；函数的思想等。 • 基本的数学方法要会用。消元法；待定系数法等。
中考数学复习讲座
第一讲：考纲（考试说明）是基础
瑞星教育数学培训课件
茂李印树
中考数学复习讲座

北师大版九年级数学上册《图形的位似》第2课时示范公开课教学课件

A
O
图形的位似
①先把原多边形的各顶点的横、纵坐标都乘k(或-k)，得到所画图形的各顶点坐标(关键点)；②然后在直角坐标系中描出得到的关键点；③最后顺次连接上述各点，得到所求的位似多边形.
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为| k |.注意：k＞0时，位似的两个多边形位于位似中心的同侧； k＜0时，位似的两个多边形位于位似中心的两侧.
一是这两个图形是相似的；
二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点.
在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称)，那么，位似是否也可以用两个图形对应点坐标之间的关系来表示呢？
在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)， A(3，0)， B(2，3).
画法二：如右图所示，先将四边形OABC各顶点的坐标都乘；再在平面直角坐标系中描点：O(0，0)，A''(–4，0)，B''(–2，–4)，C''(2，–2)；最后用线段顺次连接O，A''，B''，C''.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
B
A'
C''
B'
A''
B''
C''
解：如图，有两种画法.
位似中心是原点，相似比是1∶2.
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6). (2)如果将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.2-26

中考数学压轴题重难点突破一规律探索类型二：图形规律

10．★(2022·大庆)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第 16 个图案中的“ ”的个数是 4949 .
…
11．★(2022·十堰)如图，某链条每节长为 2.8 cm，每两节链条相连接
部分重叠的圆的直径为 1 cm，按这种连接方式，50 节链条总长度为 991 cm. 1
12．★(2022·牡丹江)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 5 个图形中所有正三角形的个数是 48485 个．
16．★(2022·遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 12127.
对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤： 1．标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”； 2．数图形个数：对应的图形个数用 a1, a2, a3，…，an 表示；
3．观察：a1，a2，a3，…，an 与对应序数之间的关系； ①图形个数与图序数是倍数或平方关系； ②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：步骤一：列表表示 an－an－1 的值；步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝an－a1 的值；步骤三：表示 an； 4．验证：代入序号检验所得式子是否正确.
类型二：图形规律 (省卷 2017T18；天水 2017T16)
(一题多设问)
(1) ★如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需
要 3 根火柴棍；拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；…，照这样拼图，则第 n 个图形需要 ((22n＋n＋1) 根火柴棍；

中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件

(2)如图②，过点 F 作 FG⊥AB 于 G，连接 FE.∵AF＝BE，AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，∵AF＋BE＝16，∴AB＝AF＝BE＝8，∵32 3＝ 8×FG，∴FG＝4 3，在 Rt△FAG 中，AF＝8，∴∠FAG＝60°，当点 G 在线段 AB 上时，∠FAB＝60°，当点 G 在线段 BA 延长线时，∠FAB＝120°，
解：(1)原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°， AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)，证明：∵AM∥BN， ∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∵AE，BF 分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠EAB＝12∠MAB，∠FBA＝12∠NBA，
∴∠EAB＋∠FBA＝12(∠MAB＋∠NBA)＝90°， ∴∠APB＝90°，∵AE 平分∠MAB，∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN，∴∠MAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理：AF＝AB，∴AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)；
辽宁专用
专题三解答题重难点题型突破
题型二几何图形探究题类型1 与三角形、四边形有关的探究题
【例1】 (2016·抚顺)如图，在△ABC中，BC >AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
(3)成立．∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90 °，

规律探索--图形规律(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。

(名师整理)最新中考数学专题复习《正多边形与圆的位置关系》精品教案

中考数学人教版专题复习：正多边形与圆的位置关系一、教学内容正多边形和圆1.正多边形的有关概念.2.正多边形和圆的关系.3.正多边形的有关计算.二、知识要点1.正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n边形等.2.正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n（n≥3）等份.①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.（2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.13.正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心.（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.（3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）.（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.正多边形的每一个中心角的度数是360°n.ORB1A1B2A2B3A3Cr4.正n边形的对称性当n为奇数时，正n边形只是轴对称图形；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.5.一些特殊正多边形的计算公式边数n内角A n中心角αn半径R 边长a n边心距r n周长P n面积S n360°120°R3R12R 33R343R2490°90°R2R22R42R 2R26120°60°R R32R6R323R22三、重点难点重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系.【典型例题】例1.如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________.线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.例2.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________.（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________.分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解.（1）依题意得360°n＝24°，∴n＝15.（2）n×45°＝360°，∴n＝8.由内角和公式得（8－2）·180°＝1080°，∴中心角为360°8＝45°.解：（1）15，（2）1080°，45°.例3.如图所示，小明同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上.若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，求该圆的半径.34A BCOD分析：由题意知这个三角形是圆的内接正三角形.解：如图所示，连结OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则正△ABC 的中心角＝360°3＝120°，∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°，∴OD ＝12BO .又BD ＝12BC ＝12×12＝6（cm ），∴OB 2－OD 2＝62，即OB 2－（12OB ）2＝62， ∴OB ＝43cm .评析：把实际问题转化为正三角形的外接圆的问题是解题的关键.例4. 已知圆内接正方形的面积为8，求同圆内接正六边形的面积.分析：解决问题的关键是“同圆”，通过圆的半径可以把正方形的条件转化为正六边形的条件，从而解决问题.解：由正方形的面积为8，可知正方形的边长为22，设该圆半径为R ，正六边形的边长和边心距分别为a 6和r 6. 则2R ＝4，a 6＝R ，r 6＝32·a 6.∴S 6＝6×12a 6·r 6＝6×12×2×32×2＝63.例5. 用折纸的方法，可直接剪出一个正五边形（如图所示）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等份的线折叠，再沿CD 剪5开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于（）A . 108°B . 90°C . 72°D . 60°AB ABOOCD分析：本题考查学生的动手能力和灵活运用所学知识的能力，这里的O 点是所剪正五边形的中心，由题可知∠COD ＝36°，所以剪得的三角形正好是五边形一边和两条半径所构成的三角形的一半，所以∠OCD ＝90°. 解：B例6. 如图（1）、（2）、（3）、…、（n ），M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON .（1）求图（1）中∠MON 的度数；（2）图（2）中∠MON 的度数是__________，图（3）中∠MON 的度数是__________；（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.分析：（1）连接OB 、OC ，注意△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝120°. （2）同理，由△OBM ≌△OCN ，可得∠MON ＝∠BOC ＝90°. （3）由（1）（2）知，∠MON ＝∠BOC ，即∠MON ＝∠BOC ＝90°.A BCO M N A B C DOM N BC D E O MN ABOM…(1)(2)(3)(n )A解：（1）方法一：连接OB 、OC ，∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120° 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，6∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA 、OB ，∵正△ABC 内接于⊙O . AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. 又∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN ，又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. （2）图（2）中，∠MON ＝360°4＝90°，图（3）中，∠MON ＝360°5＝72°. （3）图（n ）中，∠MON ＝360°n .评析：（1）△OBM 与△O CN 是旋转全等三角形. 图（1）中△OCN 绕点O 顺时针旋转120°，与△OBM 重合；图（2）旋转90°，图（3）旋转72°……. （2）注意由特殊到一般的思想，归纳出∠MON ＝360°n .【方法总结】1. 正n 边形的中心角为360°n ，与正n 边形的一个外角相等，与正n 边形的一个内角互补. 求中心角常用以上方法.2. 正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系式为R 2＝r 2＋（12a ）2，这是把正n 边形分成了2n 个全等的直角三角形，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A. 10B. 9C. 8D. 62.下列命题中正确的是（）A.正多边形都是中心对称图形B.正多边形一个内角的大小与边数成正比C.正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小D.边数大于3的正多边形对角线都相等3.一个正多边形的中心角是36°，则其一定是（）A.正五边形B.正八边形C.正九边形D.正十边形4.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.两角互余B.两角互补C.两角互余或互补D.不能确定5.圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）A. 2∶1B. 1∶2C.3∶4D.3∶26.下列命题中：①三边都相等的三角形是正三角形；②四边都相等的四边形是正四边形；③四角都相等的四边形是正四边形；④各边都相等的圆的内接多边形是正多边形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7.已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①︵AB＝︵BC＝︵CD＝︵DA；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.则在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正四边形的条件共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个**8. A点是半圆上一个三等分点，B点是︵AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）7M NA. 1B.22C. 2 D.3－1二、填空题1.用一张圆形的纸片剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小为__________cm.2.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正__________边形.3.正十边形至少绕中心旋转__________度，它与原正十边形重合.4.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别为S3、S4、S6，则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是__________.5.正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是__________cm.*6.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形的大理石密铺，从里向外共铺了12层（不包括正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形.若正中央正六边形地砖的边长为0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是__________.三、解答题1.解答下列各题：89（1）分别求出正十边形、正十二边形的中心角.（2）已知一个正多边形的一个中心角为18°，求它的内角的度数. （3）正六边形的两条平行边间的距离为12cm ，求它的外接圆的半径.2. 如图所示，求中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形ABCDEF 的各个顶点坐标.3. 用一块半径R ＝60cm 的圆形木料，做“八仙桌”（正方形）桌面或“八角桌”（正八边形）桌面，哪个面积大？大多少？（结果保留三个有效数字）**4. 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：A A A BBB CCCD DO OOM M M NNN E图1图2图3…（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM ＝AN ，连接BN 、CM ，发现BN ＝CM ，且∠NOC ＝60°. 请证明：∠NOC ＝60°.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、DM ，那么AN ＝__________，且∠DON ＝__________度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM ＝BN ，连接AN 、EM ，那么AN ＝__________，且∠EON ＝__________度.（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________.1011【试题答案】一、选择题1. B2. C3. D4. B5. B6. B7. C8. C （解析：如图所示，作点B 关于直线MN 的对称点B ’，连结OB ’，PB ’，BB ’.M N二、填空题1. 42. 七3. 364. S 6＞S 4＞S 35. 26. 39米三、解答题1. （1）正十边形的中心角为360°10＝36°，正十二边形的中心角是360°12＝30°. （2）中心角为18°的正多边形的边数为36018＝20，正二十边形的内角为（20－2）·180°20＝162°. （3）由题意得r 6＝6（cm ），由于正六边形的边长与半径相等，∴R 2＝（12R ）2＋r 62，∴34R 2＝36，R ＝43（cm ）.2. A （－4，0）、B （－2，－23）、C （2，－23）、D （4，0）、E （2，23）、F （－2，23）3. “八仙桌”的面积为7200平方厘米，“八角桌”的面积为72002平方厘米，所以“八角桌”比“八仙桌”的面积大2980平方厘米.4. （1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，在△ABN 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠A ＝∠ABCAN ＝BM，∴△ABN ≌△BCM . ∴∠ABN ＝∠BCM . 又∵∠ABN ＋∠OBC ＝60°，∴∠BCM＋∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°.（2）在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°.（3）在正五边形中，AN＝EM，∠EON＝108°.（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（n－2）·180°n.12。

图形的位似(第2课时)(优质课件)九年级数学上册(北师大版)

A′ -6 -4 -2 O
-2
A 24
6
y （2） △OAB和△OA′B′是位似的
，位似中心是点O，相似比是-2.
-4
-6 B′
在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)， C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B， C的横、纵坐标都乘 1 ，得到四个
2
点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.
随堂练习
1.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是
()
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
2.将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中
属于位似变换的是
()
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′4(-1,3B)′(4,3) 2 A′(2,A1)
-4-2 O 2 4 6 8 x -2
-4
-6
将点O，A，B，C的横、纵
坐标都乘
1 2
呢？
y 10
C
8 D 6 C′(3,5) B
D′(4-1,3)B′(4,3)
2 A′(2,A1)
-4 -2A′O ′2(-24,-16) 8 x B′′(---24,-D3′)′(1,-3)
2 C'' A'' -4 -2 O
-2
B'' -4
B B'

中考数学第六章圆第二节与圆有关的位置关系

方法
考法切线的判定及性质
提分特训
෽
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;

(2)若 =

6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或

边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .

3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)

中考数学第四章课时14 三角形及其全等(知识清单重难点讲解中考真题演练)

中考数学一轮复习·学与练第四章三角形课时14 三角形及其全等知识清单考点一三角形的概念及分类 1．三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的分类(1)按边分一般三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形：三条边都相等(2)按角分90锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角为钝角三角形：有一个角为钝角考点二三角形的边角关系1．边的关系：两边之和第三边，两边之差第三边．判断三条边(a ，b ，c ，a ≤b ≤c )能否构成三角形，只需比较两条短边(a ，b )的和与第三边(c )的大小，若a ＋b >c ，则能构成三角形；反之不能构成三角形．2．角的关系(1)三角形内角和等于；(2)任意一个外角与它不相邻的两个内角之和； (3)任意一个外角任何一个和它不相邻的内角．3．边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对，大边对． 4．三角形的稳定性三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．考点三三角形中的重要线段 1．角平分线(1)概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)图形及性质：如图1，在△ABC 中，AD 为角平分线，则有∠1＝＝12∠BAC .(3)内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．图1 图22．中线(1)概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．(2)图形及性质：如图2，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则有BD ＝＝12BC .(3)重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的倍．3．高线(1)概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．(2)图形及性质：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，则有AD ⊥ ，即∠ADB ＝∠ADC ＝90°.(3)垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．图3 图4知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离．4．中位线(1)概念：连接三角形两边中点的．(2)图形及性质：如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE 为△ABC 中位线，DE ∥ 且DE ＝12BC .考点四全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角、对应边、周长、面积；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别．3．全等三角形的判定判定1：三边分别的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).判定2：两边和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).判定3：两角和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).判定4：两角和其中一个角的对边分别的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).判定5：斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).重难点讲解命题点1 利用三角形“三线”的性质解题三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．经典例题1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，由AD是BC边上的高可得∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可得∠BAD的度数，根据∠DAC＝∠BAC－∠BAD即可得解．【答案】B命题点2 全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.经典例题2 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：∠C ＝∠D .【解析】根据题意选择“边角边”(SAS)即可求证．【证明】 ∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE .在△ADF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ADF ≌△BCE . ∴∠C ＝∠D .命题点3 三角形的角度计算问题中的方程思想方程思想的本质是设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题目，利用所学定理、性质等寻找出等量关系．三角形有关角度的计算问题，可利用三角形内角和及外角性质构建方程，利用方程思想解决有关角度问题.经典例题3 在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【解析】因为∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，设∠A ＝5x °，∠B ＝6x °，∠C ＝7x °，根据三角形的内角和是180°，可得5x ＋6x ＋7x ＝180，解得x ＝10，所以∠B ＝6x °＝60°.【答案】 B中考真题演练一、选择题1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ) A ．1 B ．2 C ．8 D ．113. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°第3题第4题4. 如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG 5. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A ．14B ．10C ．3D ．26. 如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°第6题第7题7. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF .若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2 8. 在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11第9题第10题10. 如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 11. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c第11题第12题12. 如图，已知点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC C ．取AB 中点C ，连接PCD ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长线交AC于点E.若DF＝5，BC＝16，则线段EF的长为( )A．4 B．3 C．2 D．1第13题第14题14. 如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2. 其中正确的是( )A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二、填空题15. 三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 .16. 如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.第16题第17题17. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝.18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB＝.第18题第19题19. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是.20. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为.三、解答题21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22. 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若CF＝AD，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并说明理由．24. 如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.25. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上(AP＞BP)．作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ(如图1)．(1)求证：△ACQ≌△BCP；(2)延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2.①求证：CQ2＝QA·QR；②判断三条线段AH，HP，PB的长度满足的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(.21c.c)。

第二讲图形位置关系(含答案)

中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

综合整个2018一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。

这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。

由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。

所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。

从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。

一模尚且如此,中考也不会差的太远。

至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。

第一部分真题精讲【例1】(2018，丰台，一模)已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。

所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。

至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。

利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

中考数学专题(平面直角坐标系中点与直线的位置关系)

平面直角坐标系中点与线的位置关系教学目标1、知识与能力目标：了解点与线的位置关系，即点在线上；点不在线上。

平面直角坐标系中，能够利用点的坐标与解析式的关系判断点和线的位置关系。

提高学生在动态问题中分析和解决问题的能力。

2、过程与方法目标：在问题的研究过程中，使学生掌握点与线位置关系的判断方法；即点在直线或曲线上，则该点的坐标满足直线或曲线的解析式，若点不在线上，则不满足。

3、情感态度价值观：在灵活多变的运动变化问题的探讨过程中。

培养学生学习数学的兴趣和不断深入探索的精神。

教学重难点：重点：使学生掌握点与线位置关系的判断方法。

难点：运用这种方法解决某些综合问题。

教学器材：幻灯片、几何画板教学过程：一、发现问题，总结方法大家知道,点是用来表示物体位置的。

但是在平面上我们要表示一个物体的位置却很难。

需要借助多个参照点，才能说清楚该点的相对位置关系。

但是在建立了平面直角坐标系之后，点就被赋予了代数的意义，一个点和一个有序数对建立了一一对应的关系。

确定一个点的位置只需要说坐标就可以了（125.3,43.9）。

对于一个函数，我们把符合函数的变量的取值看作是有序数对，那么这个函数在坐标系中又可以用图像来表示。

特别的，对于我们学习的三类函数（一次函数，反比例函数，二次函数）的图像都是线，那么对于平面直角坐标系中的两种基本图形——点与线的有什么样的位置关系呢？那么，今天我们就来研究一下这个问题。

1、首先请同学们思考，点与直线有什么样的位置关系呢？（点在线上；点不在线上）（9）若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点（）（A ）(1，2) （B ）(－1，－2) （C ）(2，－1) （D ）(1，－2)．①如何判断点在该直线上，将点的坐标代入解析式，若满足解析式则该点在直线上，若不满足则不在该直线上。

②点(1，2)不在该直线上，那么该点在直线的哪部分，如何判断？(过该点向x 轴作垂线，若该点的纵坐标大于交点的纵坐标，说明该点在直线上方，否则在下方。

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系(11大题型+满分技巧+限时分层检测)

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：一、垂径定理及其应用（每年1道，3~12分）二、圆周角定理（每年1~2道，3~12分）三、圆内接四边形（每年1题，3~6分）四、三角形的外接圆与外心（每年1~2题，3~8分）五、直线与圆的位置关系（每年1题，3~10分）六、切线的性质与判定（每年1~2题，3~13分）七、三角形内切圆与内心（每年1题，3~4分）八、正多边形和圆（每年1题，3~10分）九、弧长与扇形面积的计算（每年1题，3~4分）十、圆锥的计算（每年1题，3~4分）中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。

简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。

考向一：垂径定理及其应用【题型1 垂径定理及其推论】满分技巧1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角1．（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD ＝CD ＝8，OD ＝6，则BD 的长为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故选：B．2．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故选：B．3．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB 的距离为4cm，则水面AB的宽度为16cm．【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴，由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，（cm），∴AB＝2AC＝16（cm），故答案为：16．4．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．5．（2023•贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：∠1，图中与△ACD全等的三角形是△BCD；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB 平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；（3）根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可证得四边形OAEB四条边相等，从而证明它为菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四边形OAEB为菱形．证明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝CE．同理可证，BE＝CE．∴OA ＝OB ＝AE ＝BE ，∴四边形OAEB 为菱形．考向二：圆周角定理【题型2 圆周角定理及其推论】满分技巧圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD ；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON ；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

2023年北京中考数学重难题型专题02以三角形为载体的几何压轴问题(真题模考题共34题)练习版

2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。

备战中考数学分点透练真题图形的对称、平移、旋转与位似(解析版)

第二十五讲图形的对称、平移、旋转与位似命题点1 轴对称图形与中心对称图形类型一轴对称图形与中心对称图形的识别1．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形【答案】B【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2021•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．（2021•山西）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．4．（2021•枣庄）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．5．（2021•济宁）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．是中心对称图形，但不是轴对称图形【答案】A【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选：A．6．（2021•广安）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；故选：B．7．（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；B．不是轴对称图形，没有对称轴；C．不是轴对称图形，没有对称轴；D．是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：D．类型二与轴对称有关的判断8．（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形【答案】D【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线BC对称，∴四边形BACD是菱形，故选：D．9．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°【答案】A【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A．10．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P 关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜5.6，故选：B．11．（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm2【答案】A【解答】解：根据翻折可知，∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠P AC，∴∠BAC＝∠P AB+∠P AC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠P AC）＝180°＝90°，∵∠α＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴AB＝＝6（cm），AC＝＝2（cm），∴阴影部分的面积＝S长方形﹣S△ABC＝12×3﹣6×＝（36﹣6）（cm2），故选：A．12．（2021•衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P 与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】C【解答】解：∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故①正确；如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，即4²+x²＝(8﹣x)²，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，∵AB＝4，BC＝8，∴AC＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝，∴MN＝2QN＝2，故②不正确；由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，此时S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5正确，故选：C．13．（2021•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A 重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为，DD′的长为．【答案】6，【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵AD′＝CD，∴AD′＝6；连接AC，∵AB＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∵∠BAF＝∠D′AE＝90°，∴∠BAE＝∠D′AF，在△BAE和△D′AF中，∴△BAE≌△D′AF（ASA），∴D′F＝BE，∠AEB＝∠AFD′，∴∠AEC＝∠D′FD，由题意知：AE＝EC；设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，∠B＝90°，由勾股定理得：（8﹣x）2＝62+x2，解得：x＝，∴BE＝，AE＝8﹣＝，∴＝，∴＝，∵∠AD′F＝∠D′AE＝90°，∴D′F∥AE，∵DF∥EC，∴△DD′F∽△CAE，∴＝＝，∴DD′＝×10＝，故答案为6，．14．（2021•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为．【答案】4a+2b【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．∴∠D＝80°．由折叠可知∠ACB＝∠ACE，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠DAC，∴△AFC为等腰三角形．∴AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，∴∠DAC＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得：x＝20°．∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，故△DFC为等腰三角形．∴DC＝FC＝a．∴AD＝AF+FD＝a+b，故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．故答案为：4a+2b．15．（2021•重庆）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF ＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为．【答案】5【解答】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，∴DE垂直平分AF．∴AD＝DF，AE＝EF．∵DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线．∴DE＝BC＝（BF+CF）＝×（4+6）＝5．∵AF＝EF，∴△AEF为等边三角形．∴∠F AC＝60°．在Rt△AFC中，∵tan∠F AC＝，∴AF＝＝2．∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝×5×2＝5．故答案为：5．16．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A 落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为．【答案】或2﹣【解答】解：①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A′C交AB边于点E，如图，由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分线段DD′．则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝AC•tan A＝1×tan60°＝．AB＝2AC＝2，∵，∴CE＝．∴A′E＝A′C﹣CE＝1﹣．在Rt△A′D′E中，∵cos∠D′A′E＝，∴，∴A′D′＝2A′E＝2﹣．②点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′＝∠ACB ＝30°；则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1．∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°，∴∠A′D′C＝90°，∴A′D′＝′C＝．综上，线段A′D′的长为：或2﹣．故答案为：或2﹣．17．（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】（1）＝＝．（2）BF＝3【解答】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．解法二：证明△ABP和△DAE相似，＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．18．（2021•青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1 ）．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．猜想论证：（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？【答案】（1）△BMP是等边三角（2）b≥a【解答】解：（1）△BMP是等边三角形，理由如下：如图3，连接AN，由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AN＝BN，∴AN＝BN＝AB，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，∴∠BMN＝∠BPM＝60°，∴△BMP是等边三角形；（2）∵AB＝a，∠ABM＝30°，∴BM＝＝a，∵△BMP是等边三角形，∴BP＝BM＝a，∵在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP，∴BC≥BP，∴b≥a．命题点3 图形的平移及其相关计算19．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为．【答案】（3，1）【解答】解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．20．（2021•金华）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为cm．【答案】2【解答】解：如图，连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，BD⊥AC，∵∠BAD＝60°，∴三角形ABD是等边三角形，∵菱形ABCD的边长为6cm，∴AD＝AB＝BD＝6cm，∴AG＝GC＝3（cm），∴AC＝6（cm），∵AA′＝2（cm），∴A′C＝4（cm），∵AD∥A′E，∴＝，∴＝，∴A′E＝4（cm），∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°，∴EF＝A′E＝2（cm）．故答案为：2．命题点4 图形的旋转及其相关计算21．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；故选：B．22．（2021•邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，则△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'＝＝＝．故选：B．23．（2021•河南）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）【答案】B【解答】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，∵A（1，2），∴AD＝1，OD＝2，∴OA＝．由题意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′＝AD＝1，OA′＝OA＝，OD′＝OD＝2，∠A′D′O＝∠ADO＝90°，∠A′OD′＝∠DOD′．则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE为等腰三角形．∴OE＝OA′＝，ED′＝A′D′＝1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC＝2．∴C（2，0）．故选：B．24．（2021•天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD【答案】D【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠BAD＝60°＝∠ADC，∴AB∥CD，故选：D．25．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为．【答案】（7，4）【解答】解：作A'C⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴点A'坐标为（7，4）．故答案为：（7，4）．26．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为．【答案】2﹣≤d≤1【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝P A最小，如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝P A＝2﹣；∴d的取值范围为2﹣≤d≤1．故答案为：2﹣≤d≤1．27．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．【答案】【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′，∴BM＝B′M＝，∴AM＝＝，∵S△ABB′＝＝，∴××1＝•BN×3，则BN＝，∴AN＝＝＝，∵AB∥DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴＝＝＝，设CG＝a，则EG＝a，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE，∴＝＝＝，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴＝，解得a＝．∴CG＝，EG＝，∴EC＝＝＝．故答案为：．法二、如图，连接DD'，由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，∴△BAB′∽△DAD′，∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，∴DD′＝，又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，∴DC′＝，又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，∴△CEB′∽△C'ED，∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，设CE＝x，B'E＝y，∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，∴x＝．故答案为：．法三、构造相似，如图，延长B′C到点G，使B′G＝B′E，连接EG，∴∠B′EG＝∠B′GE，由旋转可知，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠EB′G，∴∠B＝∠G，又AB∥CD，∴∠ECG＝∠B＝∠G，∴△ABB′∽△B′EG∽△ECG，∴，设CG＝m，∴EC＝3m，∴B′G＝3+m，∴，解得m＝，∴3m＝．故答案为：．解法四：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，∵AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B，由∵∠AB′C′＝∠B，由三角形内角和可知，∠FB′C＝∠BAB′，∵AB′∥FC，∴∠B′CF＝∠AB′B，由∵AB＝3，BB′＝1，BC＝4，∴AB＝B′C，∴△ABB′≌△B′CF，∴FC＝B′B＝1，由旋转可知，△ABB′∽△ADD′，∴，∴DD′＝∴C′D＝，又由CF∥C′D，∴△C′DE∽△FCE，∴＝，∴＝，∴，∴EC＝．故答案为：．28．（2021•新疆）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则sin∠EDM＝．【答案】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BD于点G，设AE＝2x，则DN＝5x，由旋转性质得：CF＝AE＝2x，∠DCF＝∠A＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DCB+∠DCF＝180°，∠DCB＝∠ABC，∴点B，C，F在同一条直线上，∵∠DCB＝∠ABC，∠NFC＝∠EFB，∴△FNC∽△FEB，∴，∴，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴AE＝2×＝，∴ED＝＝＝，EB＝AB﹣AE＝1﹣＝，在Rt△EBG中，EG＝BE•sin45°＝×＝，∴sin∠EDM＝＝＝，故答案为：．29．（2021•衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．【答案】（1）矩形AFHE是正方（2）DH＝12+5＝17【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠BAE,又∵∠DAF+∠F AB＝90°，∴∠BAE+∠F AB＝90°，∴∠F AE＝90°，在四边形AFHE中，∠F AE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四边形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即132＝x2+(x+7)2,解得：x＝5,∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,∴DF＝BE＝12,又∵DH＝DF+FH，∴DH＝12+5＝17．命题点5 图形的位似及其相关计算30．（2021•东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2【答案】A【解答】解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．31．（2021•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9【答案】A【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，故选：A．命题点6 网络作图及其相关计算32．（2021秋•牧野区校级期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1；（3）连接A1B2，则A1B2＝．【答案】（1）如图（2）A1B2＝＝3（3）3．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C1即为所求；（3）连接A1B2，A1B2＝＝3，故答案为：3．33．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．34．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．【答案】（1）略（2）4+π．【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．。

2022年中考数学一轮复习第二讲 —函数专题之一次函数的图像与性质

，x 与 y 的对应值如表：
不等式 ax+b＜0 的解集是（
A．x＞﹣2
）
B．x＜2
C．x＞0
D．x＞2
x
﹣1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
﹣1
例 16．一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图像如图，则 kx+b＞x+a 的解集是
．
例 17．
已知关于 x 的一次函数 y＝kx+3k+1，
不论 k 为何值，该函数的图像都经过点 P，
其中，
（
，0）是直线与 x 轴的交点坐标，
（0，
）是直线与 y 轴的交点坐标。
3、性质：
⇔
①增减性：
⇔
1
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y
5
k<0,b>0
②位置：
k>0,b>0
4
3
2
k<0,b>0
k>0,b<0
1
-5 -4 -3 -2
-1
o
-1
1
2
3
4
5 x
-2
-3
-4
-5
【注意】一次函数的图像是与坐标轴不平行的一条直线,其中正比例函数是过原点的直线,一次函数的图像
（2）图像：是经过（0,0）与（1，k）的直线。
（3）性质：
①
（上升）
②
（下降）
二、一次函数
1、定义：形如
当
（
且 k，b 为常数）的函数叫做一次函数。
时，y=kx，所以“正比例函数是特殊的一次函数”

2013年中考数学复习专题讲座2：新概念型问题(含答案)

2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．考点二：运算题型中的新概念整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，解得：x=2．故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．对应训练2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念例3 （2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B 重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）四、中考真题演练一、选择题1．（2012•六盘水）概念：f （a ，b ）=（b ，a ），g （m ，n ）=（-m ，-n ）．例如f （2，3）=（3，2），g （-1，-4）=（1，4）．则g[f （-5，6）]等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A ．2010B ．2012C ．2014D ．2016二、填空题 4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为．5．（2012•随州）概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）42．64解：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64，故答案为64．四、中考真题演练一、选择题1．A2．B．3．D解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2010÷12=167…6，2012÷12=167…8，2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数．故选D．二、填空题4．4解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．5．C解：如图所示，所求的点有4个，三、解答题，，（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，。

2020年数学中考重难点突破之几何图形综合题

几何图形综合题类型一动点问题1.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC 于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；1时，求CG的长；(2)当DE＝2(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第1题图（1）证明：如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠CBA＝∠CBF＝∠DCB＝ 90°，∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF⊥CE，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠31BCDC CBF D ， ∴△CDE ≌△CBF (ASA );第1题解图(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ， ∴AFBFAE BG =，由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴BF ＝ DE ＝ 12，∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝ 32，AE ＝AD －DE ＝ 12，∴232121 BG ，∴BG ＝16，∴CG ＝BC －BG ＝ 56；(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ， ∴AD －AE ＝BC －CG ， ∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°， ∴∠CF A ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符， ∴在点E 运动过程中，四边形CEAG 不能为平行四边形．2.已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝ 4，∠ABC ＝ 60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF ＝ 60°. (1)如图①，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合)，求证：BE＝CF；(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝ 15°时，直接写出点F到BC的距离.第2题图(1)解：AE＝EF＝AF；【解法提示】如解图①，连接AC，第2题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝ 60°， ∴∠BCD ＝ 120°， ∴∠ACE ＝ ∠ACF ＝ 60°，∴AB ＝ BC ＝ AC ，即△ABC 为等边三角形，又∵∠BAC ＝ ∠1＋∠2＝ 60°， ∠EAF ＝ ∠2＋∠3＝ 60°， ∴∠1＝ ∠3，在△ABE 和△ACF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ACF ABE ACAB 31， ∴△ABE ≌△ACF (ASA )， ∴AE ＝ AF ，又∵∠EAF ＝ 60°， ∴△AEF 为等边三角形，∴AE ＝ EF ＝ AF ；(2)证明：如解图②，连接AC ，由(1)知，AB ＝ AC ，∠ACF ＝ 60°， ∵∠BAC ＝ ∠4＋∠5＝ 60°，∠EAF ＝ ∠5＋∠6＝ 60°， ∴∠4＝ ∠6，在△ABE 和△ACF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ACF ABE ACAB 64， ∴△ABE ≌△ACF (ASA )， ∴BE ＝ CF ；第2题解图②(3)解：点F 到BC 的距离为3－ 3.【解法提示】由(2)知，BE ＝ CF ，如解图③，过点A 作AG ⊥CE 于点G ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，第2题解图③∵∠EAB＝ 15°，∠ABC＝ 60°，∴∠BAG＝ 90°－∠ABC＝ 30°，∴∠EAG＝ 15°＋30°＝ 45°，∴△AEG为等腰直角三角形，又∵AB＝ 4，∴AG＝AB·cos∠BAG＝ 4×32＝ 23，∴BG＝AB21＝ 2，∵EG＝AG＝ 23，∴BE＝EG－BG＝ 23－2，∴CF＝ 23－2，∵FH⊥CE，∴∠FCH＝ 180°－∠BCD＝ 60°，∴FH＝CF·sin∠FCH＝ (23－2)×32＝ 3－3，∴点F到BC的距离为3－ 3.类型二图形形状变化问题3.如图，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED ＝∠BAD，连接AE.(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：AE＝AF；(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝AE的值．5BE，求DE图①图②图③第3题图(1)证明：∵∠BED＝∠BAD，∠BPE＝∠DP A，∴∠ABE＝∠ADF，∵AB＝AD，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF；(2)解：如解图①，延长ED到点F，使得DF＝BE，连接AF，第3题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BED＝∠BEP，∵∠P＝∠P，∴∠PBE＝∠ADP，∴∠ABE＝∠ADF，∵BE＝DF，AB＝AD，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠F AD，∴∠F AD＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，∴EF＝2AE＝32×2＝6，∴DE＝EF－DF＝EF－BE＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A作AF⊥AE交ED的延长线于点F，第3题解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°，AB ＝CD ， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ，∴AF AE DF BE AD AB ==＝12， ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF ＝22AF AE +＝22)2(AE AE +＝5AE ， ∵AE ＝5BE ，∴EF ＝5AE ＝5·5BE ＝5BE ， ∴DE ＝EF －DF ＝5BE －2BE ＝3BE ， ∴DEAE＝BE BE 35＝53.4.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在正方形ABCD 的内部，延长AF 交CD 于点G . (1)猜想并证明线段FG 与CG 的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其它条件不变，如图②，那么线段FG 与CG 之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其它条件不变，如图③，那么线段FG 与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．第4题图解：(1)FG＝CG.证明：如解图①，连接EG，第4题解图①∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，由折叠的性质得∠B＝∠EF A＝90°，又∵∠C＝∠B，∠EFG＝∠EF A，∴∠C＝∠EFG＝90°.∵EG＝EG，∴△ECG≌△EFG(HL)，∴FG＝CG；（2）数量关系不变：FG＝CG.证明：如解图②，连接EG，第4题解图②∵E是BC的中点，∴BE＝CE.∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC.由折叠的性质得∠B＝∠EF A＝90°，又∵∠C＝∠B，∠EFG＝∠EF A，∴∠C＝∠EFG＝90°.∵EG＝EG，∴△ECG≌△EFG(HL)，∴FG＝CG；（3）数量关系不变：FG＝CG.证明：如解图③，连接EG、FC，第4题解图③∵E是BC的中点，∴BE＝CE.∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∵∠ECD＝180°－∠D，∠EFG＝180°－∠AFE＝180°－∠B＝180°－∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE－∠EFC＝∠ECG－∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG，即线段FG与CG之间的数量关系不会改变．类型三旋转问题5.如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连接BF、CD、CO.(1)当点C、F、O在同一条直线上时，BF与CD的数量关系是____________；(2)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想BF＝CD是否成立，并说明理由；(3)若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为点O ，若△BOF 的面积为3，请计算△COD 的面积．第5题图（1）解：BF ＝CD ；【解法提示】∵O 是等腰直角△DEF 斜边EF 中点， ∴EF ⊥AB ，OD ＝OF ，∵O 是等腰直角△ABC 斜边AB 中点， ∴CO ＝BO ，∵在△BOF 和△COD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DO FO COD BOF CO BO ， ∴△BOF ≌△COD (SAS )， ∴BF ＝CD ；（2）解：BF ＝CD 成立．理由如下：如解图①，连接OC 、OD .第5题解图①∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点， ∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∵△DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点， ∴OF ＝OD ，∠DOF ＝90°，∵∠BOF ＝∠BOC ＋∠COF ＝90°＋∠COF ， ∠COD ＝∠DOF ＋∠COF ＝90°＋∠COF ， ∴∠BOF ＝∠COD . ∵在△BOF 与△COD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OD OF COD BOF OC OB ， ∴△BOF ≌△COD (SAS )， ∴BF ＝CD ；(3)解：如解图②，连接OC 、OD .第5题解图②∵△ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点， ∴∠BOC ＝90°，OCOB＝tan 30°＝33.∵△DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点， ∴∠DOF ＝90°，ODOF＝tan 30°＝33，∴OC OB ＝ODOF＝33.∵∠BOF ＝∠BOC ＋∠COF ＝90°＋∠COF ，∠COD ＝∠DOF ＋∠COF ＝90°＋∠COF ， ∴∠BOF ＝∠COD ，在△BOF 与△COD 中，∵OC OB ＝OD OF＝33，∠BOF ＝∠COD ，∴△BOF ∽△COD ，∴DC BF ＝OC OB ＝OD OF＝33.∴COD BOFS S △△＝(33)2＝13，∵BOF S △＝3， ∴COD S △＝9.6. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，∠ACB ＝45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1.(1)如图①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； (2)如图②，连接AA 1，CC 1.若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积； (3)如图③，点E 为线段AB 的中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．第6题图解：(1)由旋转的性质可得∠A 1C 1B ＝∠ACB ＝45°，BC ＝BC 1， ∴∠CC 1B ＝∠C 1CB ＝45°，∴∠CC 1A 1＝∠CC 1B ＋∠A 1C 1B ＝45°＋45°＝90°； (2)∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1，∴11BC BA BC BA =，∠ABC ＋∠ABC 1＝∠A 1BC 1＋∠ABC 1， ∴∠ABA 1＝∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1. ∴2516542211=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC AB S S CBC ABA △△， ∵S △ABA 1＝4，∴S △CBC 1＝254；(3)如解图①，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中， BD ＝BC ×sin 45°＝522， ①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为EP 1=BP 1－BE =BD －BE =522－2；②如解图②，当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为EP 1=BC +BE =2＋5＝7.第6题解图①第6题解图②7.已知等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于点M、N.(1)如图①，当M、N分别在边BC、CD上时，作AE垂直于AN，交CB的延长线于点E，求证：AE＝AN；(2)如图②，当M、N分别在边CB、DC的延长线上时，求证：MN＋BM＝DN；(3)如图③，当M、N分别在边CB、DC的延长线上时，作直线BD交直线AM 于P点，点Q为三角板的另一锐角顶点．若MN＝10，CM＝8，求AP的长.第7题图(1)证明：∵∠EAB＋∠BAN＝90°，∠NAD＋∠BAN＝90°，∴∠EAB＝∠NAD，又∵∠ABE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADN(ASA)，∴AE＝AN；(2)证明：如解图①，在ND上截取DG＝BM，连接AG、MG.第7题解图①∵AD＝AB，∠ADG＝∠ABM＝90∴△ADG≌△ABM(SAS)，∴AG＝AM，∠MAB＝∠GAD，∵∠BAD＝∠BAG＋∠GAD＝90°，∴∠MAG＝∠BAG＋∠MAB＝90°，∴△AMG为等腰直角三角形，又∠MAN＝45°，∴AN⊥MG，∴AN为MG的垂直平分线，∴NM＝NG，又∵DN－DG＝NG，∴DN－BM＝MN，即MN＋BM＝DN；（3）解：如解图②，连接AC，第7题解图②同(2)，证得MN ＋BM ＝DN ，∴MN ＋CM －BC ＝DC ＋CN ，又∵在正方形ABCD 中，DC ＝BC ， ∴CM －CN ＋MN ＝2BC ，即8－CN ＋10＝2BC ，即CN ＝18－2BC ，在Rt △MNC 中，根据勾股定理得222CN CM MN +=，即102＝82＋2CN ，解得CN ＝6， ∴18-2BC =6，∴BC ＝12(18－CN )＝6，∴AC ＝62，∵∠BAP ＋∠BAQ ＝45°，∠NAC ＋∠BAQ ＝45°， ∴∠BAP ＝∠NAC ，又∵∠ABP ＝∠ACN ＝135°， ∴△ABP ∽△ACN ， ∴22==AC AB AN AP ，在Rt △AND 中，DN ＝DC ＋CN ＝12，根据勾股定理得222DN AD AN +=＝36＋144，解得AN ＝65，∴2256 AP ， ∴AP ＝310.8.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.第8题图解：（1）PM =PN ,PM ⊥PN ;【解法提示】∵AB =AC ,AD =AE ,∴BD =CE ; ∵点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点, ∴PM ∥CE 且PM =21CE ,PN ∥BD 且PN=21BD ;∴PM=PN,∠DPM=∠DCE,∠CNP=∠B,∴∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠B+∠PCN.∵∠A=90°,∴∠B+∠ACB=90°,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DCE+∠PCN+∠B=90°,∴PM⊥PN；（2）△PMN为等腰直角三角形.理由如下：由题可知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠BAD=∠EAC,∴△BAD≌△CAE（SAS）,∴∠ABD=∠ACE,BD=CE.又∵点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,∴PM是△CDE的中位线,1CE.∴PM∥CE且PM=21BD.同理：PN∥BD且PN=2∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC.∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,∴△PMN 为等腰直角三角形;（3）249.【解法提示】∵△PMN 为等腰直角三角形,∴S △PMN =21PM 2, 要使△PMN 的面积最大,即PM 最大.第8题解图由（2）得,PM =21CE ,即当CE 最大时,PM 最大.如解图所示,当点C 、E 在点A 异侧,且在同一直线上时,CE 最大,此时CE =AE +AC =14,则PM 最大值为7,故△PMN 最大面积为S △PMN =21×7×7=249.拓展类型一折叠问题9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长．第9题图解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF . ∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14.∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ACB AEF S S △△＝(ABAE )2. ∴(ABAE )2＝14.在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5， ∴(5AE )2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵将纸片折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平形四边形，又AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形；②连接AM ，与EF 交于点O ，如解图，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ，第9题解图∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴ABEMAC EC =， ∵AB ＝5， ∴544xx =-，解得x ＝209.∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝22EC EM -＝（209）2－（169）2＝43， ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S 三角形AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴ACCMAO OE =， ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2，又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109， ∴EF ＝2OE ＝4109.拓展类型二平移问题10.如图①，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠BAC =∠EDF =90°，AB =AC ,DE =DF ,点D 在射线AB 上，AB =2DF =6.连接EA ,EC ,交射线AB 于点H ，取CE 的中点G ，连接DG . （1）当点F 与点A 重合时，求DH 的长；（2）如图②，保持△ABC 固定不动，将△DEF 沿射线AB 平移m 个单位长度，判断DG 与EA 的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）如图③，继续平移△DEF ，使得△DEF 的一个顶点恰好在直线BC 上，求此时HG 的长.第10题图解：（1）∵∠EDA =∠CAB =90°， ∴DE ∥AC ， ∴△DHE ∽△AHC ，∴21===AB DF AC DE AH DH , ∴DH =31AD =31×21AB =1;（2）DG ∥EA ，DG =21EA .理由：由（1）知，△DHE ∽△AHC ，∴21===AC DE HC EH AH DH , ∵点G 是EC 的中点， ∴EH +HG =HC -HG , ∴2HG =HC -EH =EH , ∴21==EH HG AH DH , ∵∠DHG =∠AHE , ∴△DHG ∽△AHE ， ∴∠HDG =∠HAE ，21==AH DH AE DG , ∴DG ∥EA ，DG =21EA ；（2）当点D 在直线BC 上时，此时点D 和点B 重合，如解图①， ∵21==AC BE AH BH ,AB =6, ∴BH =2,BE =3, ∴在Rt △BHE 中，由勾股定理得EH =22BH BE +=2223+=13, ∵21==AE DG HE HG , ∴HG =21EH =213; 当点F 在直线BC 上时，此时点F 和点B 重合，如解图②， BE =2DE =32, ∴HG =21EH =223. 综上所述，HG 的长为213或223.图①图②第10题解图31。

2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第02讲二次函数图象与系数的关系(解析版)

第2讲二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与系数的关系考点：由二次函数图象中符号判断类问题总结【知识点睛】❖ 一般式中a 、b 、c 的作用❖ 其他常见形式1.只含有a 、b 两个字母时，想对称轴；如：2a+b 与0的大小→找对称轴ab 2-与1的左右关系；2a-b 与0的大小→找对称轴ab 2-与-1的左右关系；a+b 与0的大小→找对称轴a b 2-与21的左右关系；a-b 与0的大小→找对称轴a b 2-与21-的左右关系； 2.含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系时，给x 取值，结合图像上下判断;如∶二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），①a+b+c 与0的大小： ∵当x=1时，y=a+b+c ，∴看x=1时，对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，上方则a+b+c ＞0，下方则a+b+c ＜0；②a-b+c 与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上③4a+2b+c 与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上④4a-2b+c 与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x 轴上方还是下方，具体方法同上3.含有b 2和4ac 时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△.4.只含有a 、c 或者只含有b 、c 时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a 或b 转化成b 或a ，最后转化成a+b+c 或a-b+c 结论判断.5.其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.【类题训练】——作业建议：第4、5、6、10、12、13、14、19、24、26题1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（）A．b＝﹣3，c＝3B．b＝3，c＝﹣3C．b＝3，c＝3D．b＝﹣3，c＝﹣3【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，据此选择即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：C．2．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：B．3．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b ＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；故选：D．4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．【解答】解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；故选：D．5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是a1＞a2＞a3＞a4．（请用“＞”连接排序）【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a46．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：x…﹣10123…y…m3236…则m的值是6．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），∴对称轴为x＝1，∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值，∵当x＝3时，y＝6，∴当x＝﹣1时，m＝6．故答案为：6．7．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是：0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④c＝2b﹣1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由OB＝2OC可得抛物线经过（﹣2c，0），将（﹣2c，0）代入解析式可判断②，由抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0）可得x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可判断③，由a的值及4a﹣2b+c＝0可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴＜0，①错误．∵OB＝2OC，∴抛物线经过（﹣2c，0），∴4ac2﹣2bc+c＝0，∴4ac﹣2b+1＝0，∴2b﹣4ac＝1，②正确．∵抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0），∴x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，∴x1•x2＝＝4c，∴a＝．③正确．∵抛物线经过（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∴1﹣2b+c＝0，∴c＝2b﹣1，④正确．故选：C．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2可判断①，由图象可得x＝﹣3时，y＜0，从而判断②，由抛物线经过（﹣1，0）可得c与a的关系，即可判断③，由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，可判断④．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a＞0，③正确．由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，∴当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大，④正确．故选：C．10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点是该抛物线上的点，且y1＜y2＜y3．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断②，由抛物线开口向下及对称轴为直线x＝﹣1可得a﹣b+c≥am2+bm+c，从而判断③，根据各点与对称轴的距离大小可判断④．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，①正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣1时y取最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，∴m（am+b）≤a﹣b，③正确．∵﹣1﹣（﹣）＜﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣），∴y2＞y3＞y1，④错误．故选：A．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x ＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线对称轴及抛物线与y轴交于正半轴可得b，c的符号，从而判断①，由x＝﹣1时y＜0及b与a的关系可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线经过（﹣2，c），由x＜﹣1时，y随x增大而减小可判断③，将方程的解的问题转化为图象交点问题，根据抛物线开口向上可判断④．【解答】解：∵抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＞0，①错误．∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，即a+c＜2a，∴c＜a，∴c﹣a＜0，②错误．∵抛物线经过（0，c），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线经过（﹣2，c），∵x＜﹣1时，y随x增大而减小，﹣k2﹣2≤﹣2，∴x＝﹣k2﹣2时，y≥c．③正确．∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点横坐标为x1，x2，∵抛物线开口向上，∴抛物线与直线y＝1的交点在x轴上方，∴m＜x1＜x2＜n，④正确．故选：B．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，下列结论：①abc＜0；②（9a+c）2＜（3b）2；③若顶点坐标为（﹣2，﹣7a），则5a﹣2b﹣c＝0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+2|＞|x2+2|时，y1＜y2；其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线经过（﹣5，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x＝﹣3及x＝3时y的符号，从而判断②，将b＝4a及顶点坐标代入解析式可得c与a 的关系，从而判断③，根据|x1+2|＞|x2+2|可得点到对称轴的距离大小关系，结合图象可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∵抛物线经过（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线经过（1，0），∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，∴（9a+c）2﹣（3b）2＝（9a+3b+c）（9a﹣3b+c）＜0，即（9a+c）2＜（3b）2，②正确．∵b＝4a，∴y＝ax2+4ax+c，将（﹣2，﹣7a）代入y＝ax2+4ax+c得﹣7a＝4a﹣8a+c，解得c＝﹣3a，∴5a﹣2b﹣c＝5a﹣8a+3a＝0，③正确．∵|x1+2|＞|x2+2|，∴点（x1，y1）到对称轴距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2.④错误．故选：C．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．∴abc＜0，a﹣b+c＝0．∴①错误，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣2a+（﹣3a）＝﹣5a，其值与a有关，∴③错误．∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．∴④正确．∵抛物线过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴4a+c＝a＜0，∴⑤正确．故选：C．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点位置可判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线开口向下，顶点为（，1），∴函数最大值为y＝1，②正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误．∵﹣＝，∴b＝﹣a，∴a+b＝0，④错误．故选：B．15．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x＞1时，y的最小值为﹣1【分析】由抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点为（﹣1，﹣1），得到顶点在第三象限，由二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限可知抛物线开口向上，a﹣1≥0，即可得到a≥1，根据二次的性质即可得到x≥﹣1时，y的最小值为﹣1．【解答】解：∵y＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，∴顶点为（﹣1，﹣1），∴顶点在第三象限，∵二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，∴抛物线开口向上，a﹣1≥0，∴a≥1，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴x≥﹣1时，y的最小值为﹣1，故A、B、D错误，C正确；故选：C．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③a＝，④当c＜﹣1时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由OA＝2OC，点B坐标为（1，0）可得x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得2c＝，从而判断①，由抛物线开口方向，对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置可判断②，由c＜﹣1可得OC＞OB，即∠ABC＞45°，从而可得判断③．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），c＜0，∴点A坐标为（﹣2c，0），∵点B坐标为（﹣1，0），∴x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴﹣1×（﹣2c）＝2c＝，∴a＝，③正确，∵抛物线对称轴在y轴右侧，a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，①正确．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b＜0，②正确．当c＝﹣1时，OB＝OC，∠ABC＝45°，∵c＜﹣1，∴OC＞OB，∴∠ABC＞45°，∴线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，③正确．故选：C．17．二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（）A．B．C．或D．或【分析】根据二次函数的性质求出y的范围，再求a的范围．【解答】解：原函数化为：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而增大，∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，∴≤a＜，当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而减小，∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，∴﹣＜a≤﹣．综上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，故选：D．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：①abc＞0；②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；④2c﹣a＜2n．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用待定系数法求得抛物线的系数之间的关系式，利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可．【解答】解：由题意得：﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0．∴b＜0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0．∴abc＞0．∴①的结论正确；∵方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为x1，x2，∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于点A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线开口向上，∴x1＜﹣1，x2＞3，∴②的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），∴二次函数有最小值n．∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有公共点．∴方程ax2+bx+c＝n﹣1无解．即方程ax2+bx+c﹣n+1＝0没有实数根．∴③的结论错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），∴n＝a+b+c．∵b＝﹣2a，∴n＝﹣a+c，∴2n＝﹣2a+2c，∴2n﹣（﹣a+2c）＝﹣a＜0，∴2c﹣a＞2n，∴④的结论错误．综上，正确的结论为：①②，故选：B．19．如图．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5（a≠0）的一根是3，则另一根是﹣5；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确的结论的序号为①②③．【分析】由抛物线经过（1，0）可判断①，由抛物线对称轴可得b＝2a，由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②，由抛物线的对称性及二次函数与方程的关系可判断③，根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④．【解答】解：∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，①正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，②正确．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线上的点（3，5）关于对称轴的对称点坐标为（﹣5，5），∴方程ax2+bx+c＝5的另一个根是﹣5，③正确．∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向上，∴y2＜y1＜y3．④错误．故答案为：①②③．20．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是﹣4＜m＜0．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有②④.（填序号）①abc＜0；②b﹣4a＝0；③（a+c）2＜b2；④若当x＝0时，y＝2.5，则有．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，从而判断③，由x＝0时，y＝2.5，可得c＝，再由x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，列不等式求解可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，b﹣4a＝0，②正确．∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①错误．由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＞0，∴（a+c）2＞b2，③错误．∵当x＝0时，y＝2.5，∴c＝，∵x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，∴，即，解得．∴④正确．故答案为：②④．22．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1012…y＝ax2+bx+c…m﹣1﹣1n t…且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x 的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣；④m+n＞．其中，正确的结论是①③④．【分析】由抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1）可得抛物线对称轴为﹣＝，c＝﹣1，再根据x＝﹣时，y＞0可判断a与b的符号，进而判断①②，由抛物线的对称性可得抛③物线经过点（1﹣，t），从而判断③，由x＝﹣时，y＞0可判断a的取值范围，进而判断④．【解答】解：∵抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1），∴抛物线对称轴为直线x＝，c＝﹣1∵x＝0时，y＜0，x＝﹣时y＞0，∴x＜时，y随x增大而减小，即图象开口向上，∴a＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0，①正确．∵x＞时，y随x增大而增大，∴x＞1时，y随x增大而增大，∴②错误．∵抛物线经过（，t），抛物线的对称轴为直线x＝，∴抛物线经过点（1﹣，t），∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣，③正确．∵b＝﹣a，c＝﹣1，∴y＝ax2﹣ax﹣1，当x＝﹣时，y＝a+a﹣1＞0，∴a＞．当x＝﹣1时，m＝2a﹣1，当x＝2时，n＝2a﹣1，∴m+n＝4a﹣2＞，④正确．故答案为：①③④．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，抛物线的对称轴为x＝1，下列结论：①abc＜0；②ac+b+1＝0；③2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，其中正确结论的序号有②④．【分析】由开口方向得a＞0，由对称轴得b＝﹣2a＜0，由与y 轴的交点得c＜0，然后得abc的正负，由OA＝OC，得函数图象经过点（c，0），从而得ac+b+1的值，进而判断2+c是否是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，最后由开口方向和对称轴得到函数的最小值判断④．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c＜0，点（0，c）在抛物线上，∴abc＞0，故①错误，不符合题意；∵OA＝OC，∴函数图象经过点（c，0），∴ac2+bc+c＝0，∴ac+b+1＝0，故②正确，符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴函数图象与x轴的交点B的坐标为（2﹣c，0），∴2+c不是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，故③错误，不符合题意；∵开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为a+b+c，∴am2+bm+c≥a+b+c，∴a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，故④正确，符合题意；∴正确的序号有②④，故答案为：②④．24．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；②求△ABC的面积．【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．（2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解．②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．【解答】解：（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣4，由题意得m2﹣4＝0，解得m＝±2．（2）①∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝m，∵m﹣（m﹣3）＞m+2﹣m，∴y1＞y2．②令x2﹣2mx+m2﹣1＝0，则（x﹣m）2＝1，解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，∴AB＝2，点C坐标为欸（m，﹣1），∴S△ABC＝AB•|y C|＝×2×1＝1．25．已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；（2）若b＜﹣3，过点P作直线P A⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP ＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．【分析】（1）将b＝﹣3代入抛物线解析式及点P坐标，通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝及b＜﹣3，可得抛物线对称轴与点P的位置关系，从而可得点P，点A，点B的横坐标，即可求出抛物线对称轴，进而求解．【解答】解：（1）∵b＝﹣3，∴y＝﹣x2﹣2x+c，点P坐标为（﹣1，6），将（﹣1，6）代入y＝﹣x2﹣2x+c得6＝﹣1+2+c，解得c＝5，∴y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，6）．（2）∵y＝﹣x2+（b+1）x+c，∴抛物线对称轴为直线x＝，∵b＜﹣3，∴＜﹣1，∴抛物线对称轴在点P左侧，∴AP＝1，∵BP＝3AP＝3，∴AB＝AP+BP＝4，∴点B横坐标为x＝﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣，∴b＝﹣6，y＝﹣x2﹣5x+c，点P坐标为（﹣1，12），将（﹣1，12）代入y＝﹣x2﹣5x+c得12＝﹣1+5+c，解得c＝8，∴y＝﹣x2﹣5x+8．26．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）．（1）若函数图象的对称轴为直线x＝1，且顶点在x轴上，求a的值；（2）若a＝1，b＝2，点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m，n的取值范围；（3）若点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，求证：a2+b2≥．【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）求得抛物线与xzhou负半轴的交点坐标与抛物线的顶点坐标，根据第三象限点的坐标的特征解答即可；（3）利用待定系数法将点P坐标代入整理得到b与a的关系式，计算a2+b2的值，再利用配方法解答即可．【解答】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点在x轴上，∴b2﹣4a×（﹣3）＝0，∴4a2+12a＝0，∵a≠0，∴a＝﹣3；（2）解：若a＝1，b＝2，则y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵a＝1＞0，∴抛物线y＝x2+2x﹣3的的开口方向向上，令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得：x＝﹣3或1．∴抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0）和（1，0）．∵点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，∴﹣3＜m＜0，﹣4≤n＜0；（3）证明：∵点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，∴a•a2+b•a﹣3＝a﹣3．∴a3+ab＝a．∵a≠0，∴a2+b＝1．∴b＝1﹣a2．∴a2+b2＝a2+（1﹣a2）2＝a4﹣a2+1＝，∵≥0，∴a2+b2有最小值，∴a2+b2≥．27．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx﹣a（a，b是常数，a≠0）．（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），求函数y1的表达式．（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a．（3）已知点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，且k≠0．当y1＞0时，求自变量x的取值范围．【分析】（1）将已知点代入函数表达式即可．（2）先不是函数顶点坐标，代入y2表达式即可．（3）根据二次函数性质求解．【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），∴．∴a＝1，b＝2．∴y1＝x2+2x﹣1．（2）y1＝ax2+bx﹣a＝a﹣．∴顶点坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，∴﹣＝﹣2a×，∴b2+4a2＝4ab．∴（b﹣2a）2＝0．∴b＝2a．（3）∵点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，∴．∴a＝k2，b＝k2，∴y1＝k2x2+k2x﹣k2＝（2x﹣1）（x+2）．∴当y1＝0时，x＝或x＝﹣2．∵k≠0，∴＞0，抛物线开口向上．∴y1＞0时，x＜﹣2或x＞．28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解；（3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4），∴c＝4；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0），∴4a+2b+c＝0．∴4a+2b＝﹣4．∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2；（2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．∴﹣＝﹣1．∴b＝2a．∴b+b＝﹣2．∴b＝﹣1．（3）∵2a+b＝﹣2，c＝4，∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝．当a＞0时，∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧．∴≥2．∴0＜a≤1．当a＜0时，∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧．∴≤0．∴﹣1≤a＜0．综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a ＜0．。

初中数学中考二轮复习重难突破专题03 动点函数图象(含答案)

1.点P（x,y）在x轴上，y=0如图①中，点点出发沿运动到点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则AB的长为（A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】由函数图像可知:当时，，面积最大时，可以求出，最后由勾股定理求出AB的值.【详解】当时，，面积最大时，∴，∴，解得或，∴，故选A.【点拨】本题考查函数图像与几何动点问题，需要分析清楚函数图像各个拐点的意义是解题关键.2.如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线A C.B D相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出A B.【详解】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＞BC，所以AB＝4．故选B．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.3.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】通过分析图象，点F从点A到D用a s，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，B D=，应用两次勾股定理分别求B E和a．【详解】过点D作D E⊥B C于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为a s，△F BC的面积为a cm2．∴A D=a∴D E•A D＝a∴D E=2当点F从D到B时，用s∴BD=Rt△D BE中，B E=∵A BCD是菱形∴E C=a-1，D C=aRt△D EC中，a2=22+（a-1）2解得a=故选B.【点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．4.如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（）A. ①B. ②C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，故①③正确，故选：D．【点拨】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．5. 如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点E．动点P从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据图像，以及点的运动变化情况，前两段是y关于x的一次函数图像，判断y随x的增减变化趋势，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，即可排除A,B,C选项．【详解】根据图像，前端段是y关于x的一次函数图像，∴应在A C,B D两段活动,故A，B错误，第一段y随x的增大而减小,第二段y随x增大而增大，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，∵A E=E C∴C错误故选:D【点拨】本题考查函数的图像，比较抽象，解题的关键是根据图像判断函数值随自变量的值的增减变化情况，以及理解分段函数的最值是解题的关键．6.如图，菱形ABCD的边长为5 cm，s in A＝，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为5 cm，P，Q的速度都是1 cm/s，当时，，点都在运动，, 故选项A、\D错误，当时，点停止，点运动，高不变，，当时，点停止，点运动，，故选项B错误，选项C正确，故选:C．【点拨】本题考察了三角函数，菱形性质等知识点，讨论动点在不同边的情况，求出对应函数关系式，再去判断是解题关键．7.李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得．【详解】解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则，由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，，加油几分钟时，保持不变，加完油后，，，函数的图象比函数的图象更陡，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特征是解题关键．8..如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分两种情况：①当P点在OA上时，即0≤x≤2时；②当P点在A B上时，即2＜x≤4时，求出这两种情况下的P C长，则y=P C•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，A B=，∴O B=4．①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，P C=O C=x，S△P OC=y=PC•OC=x2，是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；O C=x，则B C=4-x，P C=B C=4-x，S△P OC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．。