初二轴对称图形难题总结

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轴对称图形重难点题型培优

轴对称图形解答题较难题一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）。

初二轴对称重难点

轴对称【知识要点】1.如果两个图形沿某条直线对折后能完全重合,则称这两个图形关于这条直线对称.如果一个图形沿某条直线对折后能和本身重合,则称这个图形是轴对称图形.2.关于某条直线对称的两个图形是全等形,对应点的连线被对称轴垂直平分.3.在坐标系内,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).【温馨提示】1.轴对称和轴对称图形的对称轴是直线,不是线段或射线.2.轴对称图形和两个图形成轴对称是紧密联系的,可以把一个轴对称图形沿对称轴分成轴对称的两个图形,也可以把一个成轴对称的两个图形看成是一个轴对称图形.但是两者也有区别,轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,而轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.【方法技巧】1.找两个成轴对称图形的对称轴,可以先找到一对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.2.作一个图形各特殊点关于某直线的对称点,相应连接各点就可以得到这个图形关于某直线成轴对称的图形.3.若点(x,y)关于x=m对称的点的坐标是(x,y′),则y、m和y′之间的关系是y+y′=2m,同理,点(x,y)关于y=n对称的点的坐标是(x′,y),则x、n和x′对称的点的x+x′=2n.一、利用轴对称解决路径最短问题1、“一线+两点”型2.“两线+一点”型3.“两线+两点”型练习：1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 的距离分别为2千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）2.已知，如图（1），Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．3.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（a ，b ），则经过第2013次变换后所得的A 点坐标是________．（知识点：在坐标系内,点(x ,y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ,y ),关于x 轴对称的点的坐标为(x ,-y ).）C AB D F E （1）y x O A B C y x O y x O y x O y x O 第1次关于x 轴对称第2次关于y 轴对称第3次关于x 轴对称第4次关于y 轴对称 B Q l P l P M Q Ａ D Ql P M l P M Q C。

初二数学八上轴对称知识点总结复习和常考题型练习

第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.(4)线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.(5)等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.(6)等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.③如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

④两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, -y）.②点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.③点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.(6)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.常考例题精选1.(2015·三明中考)下列图形中，不是轴对称图形的是( )2.(2015·日照中考)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是( )3.(2015·杭州中考)下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )4.(2015·凉山州中考)如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2015·德州中考)如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A.(1，4)B.(5，0)C.(6，4)D.(8，3)6.(2015·南充中考)如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是( )A.70°B.55°C.50°D.40°7.(2015·玉溪中考)若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为( )A.12B.16C.20D.16或208.(2014·海门模拟)如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是( )A.(0，-1)B.(1，1)C.(2，-1)D.(1，-1)9.(2015·绵阳中考)如图，AC，BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB= 35°，则∠AOD= .10.(2015·丽水中考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是.1．(2015·遵义)观察下列图形，是轴对称图形的是()2．点P(5，－4)关于y轴的对称点是()A．(5，4) B．(5，－4) C．(4，－5) D．(－5，－4)3．如图，△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∠BCD＝70°，∠B ＝80°，则∠DAC的度数为()A．55°B．65°C．75°D．85°,第3题图)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为()A．2 B．3 C．4 D．以上都不对,第4题图)5．如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝()A．80°B．100°C．140°D．160°,第5题图)6．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是()A．①B．②C．⑤D．⑥,第6题图)7．(2015·玉林)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是()A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DE＝12BC,第7题图)8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为() A．1 B．1.5 C．2 D．2.5,第8题图)9．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC 的值是()A．10 B．8 C．6 D．4,第9题图)10．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP; ⑤∠AOB＝60°.其中正确的结论的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个,第10题图)12．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF等于．,第12题图)13．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．,第13题图)14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若∠B＝35°，则∠DAC的度数为．,第14题图)15．在△ABC中，AC＝BC，过点A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝．16．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：．,第16题图)17．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是．,第17题图)18．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM ＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为．,第18题图)19．如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P.(不写作法，保留作图痕迹)20．如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．(1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为；(2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为；(3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC为上一点，∠B＝30°，∠DAB ＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.22．(2015·潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．23．如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°.24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD⊥CF；(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．25．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．。

八年级数学轴对称解答题易错题(Word版含答案)

八年级数学轴对称解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m 是边BC 的垂直平分线， ∴OB ＝OC ，∵直线n 是边AC 的垂直平分线， ∴OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ∵OH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ；（2）如图③中，连接BD ，BE ．∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°， ∴∠A ＝∠C ＝30°，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ， ∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ， ∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ， ∴DE ＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线， ∴DC DB =．在ADC 和GDB △中，AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =．又BE AC =， ∴BE BG =． ∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.3．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解：（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；应用：（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42° 【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；【详解】解：（1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=°180-2x可得°180-22x x∴x=36°则∠A=36°；（2）如图所示：（3）如图所示：①当AD=AE时，∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；②当AD=DE时，∵27°+27°+2x+x=180°，∴x=42°；综上所述，∠C为18°或42°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．5．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°， ∴△ADM 是等边三角形， ∴AD =AM ．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.6．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上．活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：（填“能”或“不能”）（2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =．数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是．【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；（3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ；（4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．【详解】（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可， ∴小棒能无限摆下去，故答案是：能；（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴∠A 2A 1A 3＝45°， ∴∠AA 2A 1+θ＝45°， ∵AA 1＝A 1A 2∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ， ∴θ＝22.5°；（3）∵121A A AA =， ∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ， ∵3122A A A A =，∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，∴423A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，∴423A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ，故答案是：2θ，3θ，4θ；（4）由第（3）题可得：645A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒， ∴5θ＜90°且6θ≥90°， ∴15°≤θ＜18°．故答案是：15°≤θ＜18°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案）【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标；（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标；（3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可．【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8；（2）∵ABP △是等腰三角形，当BPAB 时，如图一所示：OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；=时，如图二所示：当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0；=时，如图三所示：当AP BP设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：22286x x解之得：73x = ∴P 点的坐标是7,03；（3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA ∴'FAO FAO，'FAE FAE ∴'EAG EAO则有：'OPG EAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，设BE x =，则有6AEx ，根据勾股定理，有： 22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x 解之得：425BEx 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．8．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC-=【解析】【分析】（1）通过ASA证明CDO CEF∆∆≌即可得到CD=CE；（2）过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，通过AAS证明CMD CNE∆∆≌同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点C作C M OA⊥，CN OB⊥垂足分别为M，N，通过AAS得到CMD CNE∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN==，利用等量代换得到=OE OD ON OM++，在Rt CMO∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=，同理得到12ON OC=，所以OE OD OC+=；方法二：以CO为一边作60FCO∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF∆∆≌，得到,CD CE OD EF==，所以OE OD OE EF OF OC+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC平分AOB∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE ∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，32CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形ODCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO∆与CEF∆中，1346CO CF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA∆∆≌，∴,CD CE OD EF==.∴OE OD OE EF OF OC+=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA）∴CD=CE，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.9．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．（1）如图①，当点E 为AB 的中点时，DE ＝；（2）如图②，点E 在运动过程中，DE 与EC 满足什么数量关系？请说明理由；（3）如图③，F 是AC 的中点，连接EF ．在AB 边上是否存在点E ，使得DE +EF 值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）【答案】（1）23；（2）DE ＝CE ，理由见解析；（3）这个最小值为27；【解析】【分析】（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，由等边三角形的性质可得BE =DB =AE =2，由直角三角形的性质可求BH =1，EH 3=，由勾股定理可求解；（2）如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，可证△AEF 是等边三角形，AE =EF =AF =BD ，由“SAS ”可证△DBE ≌△EFC ，可得DE =CE ；（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H ，由“SAS ”可证△ACE '≌△AC 'E '，可得C 'E '=CE '，可得当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小，由勾股定理可求最小值.【详解】（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，∴∠BEH =30°，∴BH =1，EH 3=3=∴DH =DB +BH =2+1=3，∴DE 2293DH EH =+=+=23故答案为：3（2）DE =CE.理由如下：如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.∵EF ∥BC ，∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE =EF =AF ，∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，∴BE =CF.∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，∴△DBE ≌△EFC (SAS)，∴DE =CE ，（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，∴C 'E '=CE '，由（2）可知：DE '=CE '，∴C 'E '=CE '=DE '.∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.∵F 是AC 的中点，∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，∴AH =1，HF 3=3=∴C 'H =4+1=5，∴C'F22=+=+=27，'253C H HF∴DE+EF的最小值为27.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE理由；AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE=+.解析；（3）AB AE BD【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE 是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DEF ，∵AD=DE ，∴∠DEA=∠DAE ，∴∠DEF=∠DAF ，∵DF=DF ，AF=EF ，在△AFD 和△EFD 中，AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，∵∠EDB=∠DEF ，∴∠FDB=∠DFB ，∴DB=BF ，∵AB=AF+FB ，∴AB=BD+AE ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

《轴对称图形》易错疑难点归纳

第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳易错点1 对轴对称的概念理解不透1.下列说法正确的有( )①全等的两个图形一定成轴对称;②成轴对称的两个图形一定全等;③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB .A.1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴.易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形3.如图，作出ABC ∆关于BC 所在直线对称的图形.易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解4.在ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数.易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段5.已知在ABC ∆中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=︒，求DBC ∠的度数.疑难点1 利用轴对称解决最值问题1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( )A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题2.如图，已知P 为ABC ∆的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =.疑难点3 探索问题3.如图，在Rt ABC ∆中，90,30,ACB A P ∠=︒∠=︒为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF .(1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明;(2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图3，在Rt ABC ∆中，90,,ACB A m P ∠=︒∠=︒为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.易错点1.B2.图1有2条对称轴，图2有3条对称轴，图3有8条对称轴，图4有5条对称轴.分别画出它们的对称轴如图所示.3.如图1，作点A 关于直线BC 的对称点A '，分别连接A B ',A C '，则A BC '∆即所求作的图形.4.20°或70°5. 15°疑难点1.C2. ()PBF PCM AAS ∆≅∆()BEF CDM AAS ∆≅∆3．(1) EF AB ⊥(2)当点P 为BC 延长线上任意一点时，(1)中的结论成立.(3)要使(1)中的结论依然成立，则需要添加条件是CPF B QPE ∠=∠=∠。

初二数学轴对称知识点总结及练习题详解

轴对称（复习一讲义）课前预习1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？2.做一做，想一想在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP（填“>”，“<”或“=”）．3.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM=4 cm，则PN=______cm．PNMBOA知识点睛1.如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形__________，这条直线叫做_________．2.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________，这条直线叫做_______．3.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________．4.垂直平分线性质定理：___________________________________________________．5.角平分线性质定理：___________________________________________________．精讲精练1. 如图，在10×10的正方形网格中作图：作出△ABC 关于直线l 的对称图形△A 1B 1C 1．lC BA2.3. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是_________，EF 的对应线段是_________，∠A 的对应角是______．连接CE 交l 于点O ，则_____⊥_____，且________=________．lB D F HGE OCA A EB D C第4题图第5题图5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F处．若∠BAF =60°，则∠AEF =_____．6. 如图，先将正方形纸片ABCD 对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样得到的△ADH 中（） A ．AD DH AH ≠= B ．AD DH AH == C ．DH AD AH ≠=D ．AD DH AH ≠≠HN M ED CAA EBDC第6题图第7题图7. 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，连接AD ．若AC =4 cm ，BC =8 cm ，则△ADC 的周长为__________．8. 已知：如图，在△ABC 中，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，且△ADE 的周长为32 cm ，则BC =__________．A GEDBF CP DNOMCA B第8题图第9题图9. 已知：如图，点P 关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D ，连接CD ，交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长为8，则CD 的长为_________．10. 如图，MD ，ME 分别为△ABC 的边AB ，BC 的垂直平分线，若MA =3，求MC 的长度．MBC DE11. 如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =3，则PQ 的最小值是____________．QP MNAOE DC第11题图第12题图第13题12. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为_________．13. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S△ACD=_________．14. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ．求证：MB =MC ．ABCD MABCD【参考答案】课前预习1.都是左右两边对称的图形2.（1）相等（2）垂直（3）=3. 4知识点睛1.成轴对称，对称轴2.轴对称图形，对称轴3.垂直平分，相等，相等4.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等5.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等精讲精练1.作图略2.作图略3. C4.GH，CD，∠GCE，l；OC，OE5.75°6. B7.12cm8.32cm9.810.MC=3提示：连接ME，由垂直平分线定理可得结论11. 312.15cm213.3:214.证明略提示：过点M作ME⊥AD于点E，由角平分线定理可得结论轴对称（复习二习题）例题示范例1：已知：如图，AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，垂足分别为点F ，G ，DE 是BC 的垂直平分线．求证：BF =CG ．【思路分析】读题标注：① 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，可得EF =EG ；② 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE ，CE（如图所示），得到BE =CE ；③ 题目所求为BF =CG ，证明△BEF ≌△CEG 即可．【过程书写】证明：如图，连接BE ，CE ∵AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴EF =EG∵DE 是BC 的垂直平分线 ∴BE =CE∵EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴∠BFE =∠CGE =90° 在Rt △BEF 和Rt △CEG 中BE CE EF EG =⎧⎨=⎩（已证）（已证）∴Rt △BEF ≌Rt △CEG （HL ） ∴BF =CG （全等三角形对应边相等）GFDCB A巩固练习1.下列是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（）A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．C EDBODC BA第3题图第4题图4.已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则∠ACB=__________．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．EDCBA6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．O DBAEDCA7. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线DE 对称的图形△A 1B 1C 1．EC BAD8. 已知：如图，P 为∠ABC 内一点，请在AB ，BC 边上各取一点M ，N ，使△PMN 的周长最小．9. 已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别连接AC ，BC ，AE ，BE ．求证：∠CAE =∠CBE ．ED C10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点O ．OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ．求证：OD =OE ．OE DA11.已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．O E DCBA思考小结1.轴对称的思考层次：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；对称轴上的点到对应点的距离_____________．③应用：奶站问题等．如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl【参考答案】巩固练习1. B2. B3.60°4.80°5. 36.327.作图略8.作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．9.证明略提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE10.证明略提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论11.证明略提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD ≌△AOE思考小结1.①相等、相等②垂直平分；相等④作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点轴对称（复习三随堂测试）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，若△ABC 和△EBC 的周长分别为60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰长为____________，底边长为____________．2. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，且∠DEA +∠DF A =180°．求证：DE =DF ．【思路分析】（1）读题标注：（2）梳理思路：①从条件出发：看到角平分线考虑角平分线上的点到角两边的距离相等，可作________________，________________，可得②题目所求为DE =DF ，证明____________________【过程书写】证明：如图，【参考答案】1.22cm，16cm2.思路分析：①DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DM=DN过程书写略。

初二轴对称图形难题总结

初二轴对称图形难题总结如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B',连接A B与直线I交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上, / ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____________________ .（2）知识拓展：如图（c）,在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.2. （1）观察发现如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB',与直线m的交点就是所求的点P,线段AB'的长度即为AP+BP的最小如图（2）:在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小, 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为（2 ）实践运用如图（3）：已知O O的直径CD为2，配的度数为60 °点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的（3）拓展延伸如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB BC上作出点M，点N,使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？人/I* / Vy ■-r■v 『P \% H* *B4 5 6 7 8 9⑴⑵聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道I看成一条直线（图（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：①作点B关于直线I的对称点B'.②连接AB交直线I于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC中，点D、E分别是AB AC边的中点，BC=6, BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：__________ .4（1）观察发现：如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB'，与直线I的交点就是所求的点P.再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE 的最小值为___________ .（2）实践运用：如（c）图，已知O O的直径CD为4, / AOD的度数为60°点B是肛＜的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：8,(a)5.几何模型：条件：如下图, A、B是直线I同旁的两个定点.久问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是 ______________ ;(2) 如图2, O O 的半径为2,点A 、B 、C 在O O 上，0A 丄OB , / AOC=60 , P 是0B 上一动点，求 PA+PC 的最小值； (3) 如图3, / AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、0B 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 6.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,- 1).(1) __________________________________________________ 若P ( p , 0)是x 轴上的一个动点，则当 p= 时，△ PAB 的周长最短；(2) _____________________________________________________________ 若C (a , 0), D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= _____________________________________________________ 时，四边形ABDC 的周长最短； (3)设M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m , 0)、N (0, n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m= ____________ , n= ___________ (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.21\■11 1 >-1(?123456"-1 ■1-3-/ A8 .如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角 / AON=30 ；新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米.ayE1圈2图孑A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.£3.公曙7 .需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到(1) ________________________________________ 新开发区A到公路MN的距离为；(2)现要在MN上某点P处向新开发区A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此时PA+PB= _________ (千米).10 .如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.(1)请画出：点 A 、B 关于原点0的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明);(2) 连接A1A2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)，试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2; (3)设线段AB 两端点的坐标分别为 A (- 2, 4)、B ( - 4, 2),连接(1)中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , 使厶A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点C 的坐标(不必说明周长之和最小的理由) ；若不存在，请说明理由.1A厂B比____________________________________ X11•某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)■B 99.如图：(1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人； (2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边I 上点P 处喝水后，再游到B ,但要使游泳的路程最短，试如图1 , △ ABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC是△ ABC的好角.小丽展示了确定 / BAC是厶ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB1 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现(1)_______________________________________________________________________ △ ABC中，/ B=2/ C,经过两次折叠， / BAC是不是△ ABC的好角？____________________________________________ (填是”或不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C (不妨设/ B> Z C)之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠Z BAC是厶ABC的好角，则Z B与Z C (不妨设Z B> Z C)之间的等量关系为应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.sinZB=T13 .如图，△ ABC中AB=AC, BC=6, 5,点p从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度14 . (2012?东城区二模)已知：等边△ ABC中，点0是边AC, BC的垂直平分线的交点，M , N分别在直线AC, BC 上，且Z M0N=6° .(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN MN三者之间的数量关系；(2)如图2,当C昨CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系. 保持不变的线段？请说明理由;16 .如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC, AC=DB, AC 与DB 交于点 M .求证: (1) △ ABC ^^ DCB;(2) 点M 在BC 的垂直平分线上.17 .如图，△ ABC 的边BC 的垂直平分线 DE 交厶BAC 的外角平分线 AD 于D , E 为垂足，DF 丄AB 于F ,且AB > AC,15 •如图，线段 CD 垂直平分线段求证：DE=DFAB, CA 的延长线交BD 的延长线于E , CB 的延长线交AD 的延长线于F,18 .已知△ ABC 的角平分线 AP 与边BC 的垂直平分线求证：BK=CLPM 相交于点P ,作PK 丄AB , PL 丄AC,垂足分别是 K 、L,19 .某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村 A 、B 的距离必须相等，且到两条公路21.如图，在 △ ABC 中，/ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P ,过点P 分别作PN 丄AB 于N , PM 丄AC 于点M ，求证：BN=CM ./ B=15° DE 垂直平分 AB , E 为垂足交 BC 于D, BD=16cm ,求 AC 长.参考答案与试题解析一.解答题（共22小题）1. （2013?日照）问题背景：如图（a ）,点A 、B 在直线I 的同侧，要在直线I 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于I 的对称点B',连接A B 与直线I 交于点C ,则点C 即为所求.n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置. （要有作图痕迹）MN 交BC 于M ，交AB 于N ,求BM 的长.(1)实践运用：如图(b),已知，O O的直径CD为4,点A在O O上，/ ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2二.(2)知识拓展：如图(c),在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点, 求BE+EF 的最小值，并写出解答过程.考点：轴对称-最短路线问题.3113559分析：(1)找点A或点B关于CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置•根据题意先求出 / C' AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；(2)首先在斜边AC上截取AB =AB连结BB',再过点B作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段解答：解：(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P 此时PA+PB最小，且等于AE.作直径AC,连接C'.根据垂径定理得弧BD=< DE.•/ / ACD=30 ,°••• / AOD=60 ° / DOE=30 °••• / AOE=90 °•/ C' AE=45 °又AC为圆的直径，AEC =90；•/ C'纟C' AE=45 °V2• C' E=AE= AC' =2 °即AP+BP的最小值是2:.故答案为：2二；(2)如图，在斜边AC上截取AB =AB连结BB.•/ AD 平分 / BAC,•••点B与点B关于直线AD对称.过点B'作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE, 则线段B'F勺长即为所求.(点到直线的距离最短)在RtA AFB中，•••/ BAC=45 , AB =AB=10•B' F=AB ' ?sin45 °=AB?sin455^2, =10 x•BE+EF的最小值为' •-.⑹ I点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点 P位置是解题关键.（1）观察发现A 、B 在直线m 同侧，在直线 m 上找一点P ,使AP+BP 的值最小，做法如下：m 的对称点B',连接AB',与直线m 的交点就是所求的点 P ,线段AB'的长度即为AP+BP 的最小E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P ,使BP+PE 的值最小,做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ,故BP+PE 的最小值为（2 ）实践运用如图（3）:已知O O 的直径CD 为2，証的度数为60 °点B 是風的中点，在直径 CD 上作出点P ,使BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为..（3）拓展延伸如图（4）:点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边 AB BC 上作出点M ，点N ,使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法.2 . （2013?六盘水）如图（1）:若点圆的综合题；轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题. (1) 观察发现：利用作法得到 CE 的长为BP+PE 的最小值；由AB=2,点E 是AB 的中点，根据等_1边三角形的性质得到 CE1AB, / BCE=：/ BCA=30, BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=-(2) 实践运用：过 B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结OB 、OE 、OA 、PB,根据垂径定理得到CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值；由于“的度数为60°,点B 是的中点得到 / BOC=30 , / AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°, 于是可判断△ OAE 为等腰直角三角形，则 AE=二0A=.'：; (3 )拓展延伸：分别作出点P 关于AB 和BC 的对称点E 和F ,然后连结EF, EF 交AB 于M 、交BC 于 N .解：(1)观察发现如图(2) , CE 的长为BP+PE 的最小值，•••在等边三角形 ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点2••• CE 丄 AB , / BCE= :/ BCA=30 ,° BE=1, CE= ；BE= 故答案为一：；(2 )实践运用如图(3),过B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB, •/ BE 丄 CD,• CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，•••AC 的度数为60 ；点B 是AC 的中点，• / BOC=30 ,° / AOC=60 /• / EOC=30,°• / AOE=60 +30 =90 °•/ OA=OE=1,• AE=：》O A =--,••• AE 的长就是 BP+AP 的最小值. 故答案为- 丁；(3 )拓展延伸如图(4).考点专题分析解答:3. (2012?凉山州)在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图(1),要在燃气管道I 上修建一个泵站，分别向 A 、B 两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在I 上找几个点试一试，能发现什么规律?⑴ <2>25聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道为，要在直线I 上找一点P ,使AP 与BP 的和最小.他的做法是这样的: ① 作点B 关于直线I 的对称点B'. ② 连接AB 交直线I 于点P,则点P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC 中，点D 、E 分别是AB AC 边的中点，BC=6, BC 边上的高为4,请你在BC 边上确定一点巳使厶PDE 得周长最小. (1) 在图中作出点 P (保留作图痕迹，不写作法). (2)请直接写出 △ PDE 周长的最小值： 8 .考点：轴对称-最短路线问题.3113559 专题：压轴题.分析：(1)根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求； (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D'啲值，即可得出答案.解答：解：(1)作D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求；(2) •••点D 、E 分别是AB AC 边的中点, ••• DE ABC 中位线，点评:I 看成一条直线(图(2)),问题就转化用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.•/ BC=6, BC 边上的高为4, ••• DE=3, DD ' =4 • D ' E=「f * 二5, • △ PDE 周长的最小值为： DE+D ' E=3+5=8故答案为：&此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键.4. （2010?淮安）（1）观察发现：如（a ）图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P,使AP+BP 的值最小.做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B',连接AB'，与直线I 的交点就是所求的点 P.再如（b ）图，在等边三角形ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P,使BP+PE 的值最小.做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点 P ,故BP+PE的最小值为.（2）实践运用：如（c ）图，已知O O 的直径CD 为4, / AOD 的度数为60°点B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. （3）拓展延伸：考点：轴对称-最短路线问题.3113559分析：（1 ）首先由等边三角形的性质知， CE1AB ,在直角△ BCE 中，/ BEC=90BC=2 BE=1，由勾股定理可求出CE 的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD 上找一点P ,使PA+PB 的值最小，设 A'是A 关于CD 的对称点，连接 A',与CD 的交点即为点P .此时PA+PB=A B 是最小值，可证 △ OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果. （3）画点B 关于AC 的对称点B',延长DB 交AC 于点P .则点P 即为所求.解答：解：（1） BP+PE 的最小值=•八■] L=.… 」=.';.点评:△ PDE 周长的最小(2)作点A 关于CD 的对称点 A ,连接A B 交CD 于点P,连接OA , AA', OB. •••点A 与A 关于CD 对称，/ AOD 的度数为60 °•••/ A ， OD=AOD=60 ； PA=PA,' •••点B 是i 的中点，• / BOD=30 ,°•••/ A ， O 出A ，OD+BOD=90 ° •/ O O 的直径CD 为4 °• OA=OA ， =2 • A ， B=2:.• PA+PB=PA ， +PB=A ，.B=2(3) 如图d :首先过点 B 作BB 丄AC 于O °且OB=OB , 连接DB 并延长交AC 于P .(由AC 是BB'的垂直平分线，可得 / APB=Z APD).此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.5. (2009?漳州)几何模型:条件：如下图，A 、B 是直线I 同旁的两个定点.问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明). 模型应用： (1)如图1°正方形ABCD 的边长为2 ° E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是；(2) 如图2° O O 的半径为2°点A 、B 、C 在O O 上，OA 丄OB ° / AOC=60 ° P 是OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值；(3) 如图3° / AOB=45 ° P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题；动点型.(1) 由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE 在厶ADE 中，根据勾股定理求得即可；(2) 作A 关于OB 的对称点A'°连接A'C 交OB 于P,求A'啲长，即是PA+PC 的最小值;点评:考点专题分析(3)作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N,连接MN，它分别与OA, OB 的交点Q、R,这时三角形PEF的周长-MN，只要求MN的长就行了.解答：解：(1) •••四边形ABCD是正方形，• AC垂直平分BD,•PB-PD,由题意易得：PB+PE-PD+PE-D,在厶ADE中，根据勾股定理得，DE- T(2)作A关于OB的对称点A',连接A C交OB于P, PA+PC的最小值即为A'啲长，•/ / AOC-60 °•/ A' OC-120 °作OD丄A'C于D,则 / A OD-60•••OA' -OA-2• A' D-；•I「:;(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN , MN交OA、OB于点Q、R, 连接PR、PQ,此时△ PQR周长的最小值等于MN .由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10, / MOA=Z POA,•••/ MON=2 / AOB=2 X 4590 °在Rt A MON 中，MN= | 厂I =10 I:.即厶PQR周长的最小值等于10二点评:3£)V|!So此题综合性较强，主要考查有关轴对称--最短路线的问题,角形的有关知识.综合应用了正方形、圆、等腰直角三6. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,—1).(1)P ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当p=工时，△ PAB的周长最短;(2)(3) 时，四边形ABDC的周长最短；M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=5-■(不必写解答过程) ；若不存在，请说明理由./ NOB=/ POB,T C 点的坐标为(a , 0),且在直线A'F 上,5••• a="(3)存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,作A 关于y 轴的对称点A',作B 关于x 轴的对称点B',连接A B'与x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ,• A' (- 2, - 3), B' (4 , 1),2 卫•直线A ' 的解析式为：y='x -」,考点专题分析轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质. 3113559压轴题. (1)根据题意，设出并找到 B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 ,1),进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；(2) 过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长AE ,取A'E=AE 做点F (1, - 1),连接A'F .利用两点间的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB 从而确定C 点的坐标值.5解答: (3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,当且仅当m=：,时成立.解：(1)设点B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 , 1), 设直线AB'的解析式为y=kx+b ,n=—上；把 A (2, - 3) , B' (4, 1 )代入得:解得 ••• y=2x - 7 ,a令y=0得x=-即p= -(2 )过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长 AE ,取A'E=AE.做点F (1, - 1),连接A'F .那么 3).A (2,直线A'F 的解析式为C K -1)£ 丄 ,即 y=4x — 5,O 站 S 5• M ( 7, 0), N (0, - 8).C (a , 0),D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= 1 M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点5m= —, n=—考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识.7. （ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.利用轴对称图形的性质可作点A 关于公路的对称点 A ,连接A',与公路的交点就是点 P 的位置.本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离.用到的知识：两点之间线段最短.8. （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角/ AON=30，新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米. （1）新开发区A 到公路MN 的距离为 8 ;（2）现要在MN 上某点P 处向新开发区 A , B 修两条公路PA , PB,使点P 到新开发区A , B 的距离之和最短.此时 PA+PB= 14 （千米）.点评:A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的考点专题分析解答点评:O 站考点：轴对称-最短路线问题.3113559 专题：计算题；压轴题.分析：(1)先求出0B 的长，从而得出 0A 的长，再根据三角函数求得到公路的距离.(2)根据切线的性质得 EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,再根据余弦概念求解.解答：解：(1) •/ BC=3, / AOC=30 , •••0B=6.过点A 作AE 丄MN 于点E , A0=AB+0B=16• AE=8.即新开发区A 到公路的距离为8千米；(2)过D 作DF 丄AE 的延长线(点 D 是点B 关于MN 的对称点)，垂足为F . 贝U EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,1 过B 作BG 丄AE 于G ,• BG=DF ,•/ BG=AB?cos30 ° -'=5•Q 二麻护*D 严二Jilt (MT )豆二“196 二 14连接 PB,贝U PB=PD,• PA+PB=PA+PD=AD=1（千米）.点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.9. (2006?巴中)如图： (1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人；(2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 I 上点P 处喝水后，再游到 B ,但要使游泳的路程最短，试在图中画出点 P 的位置.考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换.3113559 专题：作图题.分析：根据平移的规律找到点 B ,再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点,连接A1B 与I 相交于点P,即为所求.点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题.最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点.作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步•平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.10 . （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.（1）请画出：点 A 、B 关于原点O 的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2 （其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；（3）设线段AB 两端点的坐标分别为 A （- 2, 4）、B （ - 4, 2）,连接（1）中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , >△ A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由.解答:解：I 一! ： f ! I —丄丄；考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题.3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型.分析：(1)根据中心对称的方法，找点A2, B2,连接即可.(2 )设 A (xl, y1 )、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1), B1 (- x2, y2), A2 (- x1,-y1) , B2 (- x2,- y2),得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2,所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3)根据A1与A2, B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.根据题意得B1 (4,2), A2 (2,- 4)设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法•解得I，所以可求直线A2B1的解析式10 10 22为y=3x- 10.令y=0,得x=3 ,所以C的坐标为(3,0).即点C^ , 0)能使△A1B1C与厶A2B2C 的周长之和最小.解答：解：(1)如图，A2、B2为所求的点.(2 )设 A (x1 , y1)、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1) , B1 (- x2, y2), A2 (- x1,- y1) , B2 (- x2 , - y2)••• A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2 ,••• x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3 )存在符合题意的C点.由(2)知A1与A2 , B1与B2均关于x轴对称，•连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.T A (- 2 , 4) , B (- 4 , 2)依题意及(1 )得：B1 (4, 2), A2 (2, - 4).r4k^b=2设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有［乐+b二T 解得(b二- 1°•直线A2B1的解析式为y=3x- 10 ,110令y=0,得x=点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质. 要知道对称轴垂直平分对应点的连线. 会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键.11. （2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益•请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂C 的运输路程之和最短.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）AB■-轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.作A 关于直线L 的对称点E ,连接BE 交直线L 于C ,则C 为所求.本题主要考查对轴对称-最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键,12 . （2012?淮安）阅读理解如图1 , △ ABC 中，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC 是△ ABC 的好角.小丽展示了确定 / BAC 是厶ABC 的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角/ BAC 的平分线AB1 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图 3，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合. 探究发现考点专题分析解答点评:w••• C 的坐标为（：；，0）BAC是不是△ ABC的好角？是（填是”或不是”）.（2）小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC是厶ABC的好角，则/ B与/ C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系为 / B=n/ C •应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的考点：翻折变换（折叠问题）• 3113559专题：压轴题；规律型.分析：（1 ）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知/ B=2/ C;（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/ A1A2B2=/ C+/ A2B2C=2Z C;根据四边形的外角定理知/ BAC+2Z B - 2C=180①，根据三角形ABC的内角和定理知 / BAC+/ B+/C=180。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

图形的轴对称(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

图形的轴对称（4种题型）【知识梳理】一．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．三．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．四．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【考点剖析】一．轴对称的性质例1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．【变式】如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝度．【解答】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．二．轴对称图形例2.如图图案中，成轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【变式1】如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．【变式2】如图1，▱ABCD的对角线交于点O，▱ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A 与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（）A．29B．26C．24D．25【解答】解：如图，连接PQ，则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，∴MN＝AD＝20，12PQ⋅MN=12×12012EF×AD=12×120，∴PQ＝6，又MN＝20，∴MN+PQ＝26，故选：B．三．作图-轴对称变换例3.如图，在△ABC中，点A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根据上述信息在图中画平面直角坐标系，并求出△ABC的面积；（2）在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示，△ABC的面积＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【变式1】如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有个．【解答】解：（1）如图①所示，线段MN即为所求（答案不唯一）；（2）如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一），符合条件的三角形共有4个，故答案为：4．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）写出点A，B的坐标：A，B．．（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【变式3】如图，△ABC的顶点分别为A（1，3），B（4，5），C（1，5），先将△ABC以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到△A′B′C′，再将△A′B′C′以x轴为对称轴通过轴对称得到△A″B″C″．（1）画出△A″B″C″；（2）写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）一般地，某一点P（x，y）经过这样的两次轴对称变换后得到的点P″的坐标为．【解答】解：（1）如图，△A″B″C″即为所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）点P″的坐标为（y，﹣x）．故答案为：（y，﹣x）．【变式4】在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示，（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，不㝍画法）；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0C′（﹣4，4）．四．轴对称-最短路线问题例4.如图所示，点P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，若△PAB的周长最小，则∠O与∠APB 的关系为（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APBC．∠O+∠APB＝180°D．2∠O+∠APB＝180°【解答】解：如图，作点P关于OM的对称点P'，点P关于ON的对称点P''，连接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此时△PAB的周长最小值等于P'P''的长，由轴对称性质可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故选：D．(1)求AP PB+；(2)若点M是直线l上异于点(3)如图2，在l上求作一点【详解】（1）点A'与A关于直线l对称，AP A P '∴=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，A B a '=，AP PB a ∴+=；（2）连接A M '，点A '与A 关于直线l 对称，AM A M '∴=，AP A P '=，AM MB A M MB '∴+=+，AP PB A P PB A B ''+=+=，A MB '△中A M MB A B ''+>，AM MB AP PB ∴+>+；（3）作点A 关于直线l 对称点A 'A B '交直线l 于点M ，如下图所示．【过关检测】一、单选题 1．（2021秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题．【详解】由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A为轴对称图形．故答案为A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，难度系数不高，解题的关键在于正确理解轴对称图形的概念．2．（2023·浙江·八年级假期作业）小明以四种不同的方式连接正六边形ABCDEF的两条不同的对角线，那么连接后的四个图形，不是轴对称图形的是（）．．．．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．【详解】解：由题意得：A、B、C选项都是轴对称图形，不符合轴对称图形的只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．3．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】轴对称图形的定义是，在一个平面内，平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．根据定义即可得到正确答案【详解】解：A、不是轴对称图形，答案错误；B、不是轴对称图形，答案错误；C、是轴对称图形，答案正确；D、不是轴对称图形，答案错误．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义解题是关键．八年级假期作业）如图，将ABC折叠，使A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm【答案】C∠的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【分析】由折叠可得：PA为BAC【详解】解：∵将ABC折叠，使AC边落在AB边上，∠的角平分线，∴PA为BAC∵点Q为AC上任意一点，∴PQ的最小值等于点P到AB的距离3cm．故选C．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若253∠=︒，则1∠的度数是（）A ．86︒B ．74︒C ．106︒D ．126︒【答案】C 【分析】如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得3253∠=∠=︒，得到106CDE ∠=︒，再根据平行线的性质即可得出答案.【详解】解：如图，记AD 的延长线为DC ，则由折叠的性质可得：3253∠=∠=︒，∴106CDE ∠=︒，∵BE AC ∥，∴1106CDE ∠=∠=︒；故选：C.【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，正确添加辅助线，得出106CDE ∠=︒是解题的关键.6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，弹性小球从点P 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q ，第2次碰到矩形的边时的点为M ，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【答案】A【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2022÷6=337，∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A．【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【分析】利用轴对称画图可得答案.【详解】解：如图所示，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B.【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A 在直线l 上，△ABC 与AB C ''关于直线l 对称，连接BB '，分别交AC ，AC '于点D ，D ¢，连接CC '，下列结论不一定正确的是（）A ．BACB AC ∠=∠''B ．CC BB '' C ．BD B D =''D ．AD DD ='【答案】D 【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．【详解】解：ABC 与AB C ''关于直线l 对称，ABC AB C ∴≅''，BB l '⊥，CC l '⊥，AB AB ='，AC AC ='，BAC B AC ∴∠=∠''，CC BB ''，即选项A 、B 正确；由轴对称的性质得：,OD OD OB OB ='='，OB OD OB OD ∴−='−'，即BD B D =''，选项C 正确；由轴对称的性质得：AD AD ='，但AD 不一定等于'DD ，即选项D 不一定正确；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD 折叠一个小兔子，第一步沿OG 折叠，使点B 落到CD 边上的点B '处，若35GB C ''∠=︒，则BOG ∠=（）A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒．由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．A ．152B ．【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC EF +的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】解：在AB 上取一点G ，使AG AF =，如图，CAD BAD ∠=∠，AE AE =，(SAS)AEF AEG ∴≌，FE EG ∴=，CE EF CE EG ∴+=+，则最小值是CG 垂直AB 时，CG 的长度， ∵1122AB CG AC BC ⨯=⨯，125CG ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕，则EFG ∠的度数为．【答案】90︒/90度【分析】根据折叠的性质得到1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠，然后根据平角为180︒求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，EF FG ，为折痕， ∴1112BFE B FE BFB ∠=∠=∠，1112CFG C FG CFC ∠=∠=∠， ∴111111190222EFG B FE C FG BFB CFC BFC ∠=∠+∠=∠+∠=⨯∠=︒．故答案为：90︒．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义． 12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 在AB 上，将ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B '处，若35A ∠=︒，则ADB ∠'的度数为 ︒．【答案】20【分析】根据题意，可得ABC 是直角三角形，B ∠的度数，根据折叠可知，CB D B '∠=∠，再根据CB D '∠是AB D 'V 的外角，由外角的性质即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=︒，35A ∠=︒，∴ABC 是直角三角形，且903555B ∠=︒−︒=︒，根据折叠，55CB D B '∠=∠=︒，∵CB D '∠是AB D 'V 的外角，即CB D A ADB ''∠=∠+∠，∴553520ADB CB D A '∠'=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：20．【点睛】本题主要考查直角三角形，三角形的外角知识的综合，掌握直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质的知识是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，P 是AOB ∠内的一点，12,P P 分别是点P 关于OAOB 、的对称点，12PP 交于点OA 于点M ，交OB 于点N ，若125cm PP =，则PMN △的周长是 cm ．【答案】5【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知12PP与PMN △的周长是相等的，即可求解．【详解】解：∵12PP ，分别是点P 关于OA OB 、的对称点， ∴12PM MPPN NP =，=， ∴2121++=++==5P M MN NP PM MN PN PPcm ， ∴PMN △的周长为5cm.故答案为：5．【点睛】本题考查轴对称的性质，难度一般，关键是熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用．【答案】40°/40度【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=−∠−∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，点Q 与点P 关于AC 对称，连接PC ，PQ ，CQ ．若△PCQ 中有一个角是50°，则∠B = 度．【答案】50或65【分析】连接AP 、BP ，由点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，得PA ＝PB ＝PC ，知∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，又点Q 与点P 关于AC 对称，可得PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∠CPQ ＝∠CQP ，分两种情况：①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，可得∠PCA ＝40°，∠PAC ＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，同理可得∠ABC ＝65°．【详解】解：连接AP 、BP∵点P 为AB 和BC 垂直平分线的交点，∴PA ＝PB ＝PC ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∠PBC ＝∠PCB ，∠PAC ＝∠PCA ，∵点Q 与点P 关于AC 对称，∴PC ＝QC ，∠PCA ＝∠QCA ，∴∠CPQ ＝∠CQP ，①当∠CPQ ＝∠CQP ＝50°时，∠PCQ ＝80°，∴∠PCA ＝40°，∴∠PAC ＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝100°，∴∠ABP+∠PBC ＝50°，即∠ABC ＝50°，②当∠PCQ ＝50°时，∠PCA ＝25°，∴∠PAC ＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB ＝180°﹣∠PAC ﹣∠PCA ＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC ＝130°，∴∠ABP+∠PBC ＝65°，即∠ABC ＝65°，综上所述，∠ABC 为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．17．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在锐角ABC 中，8AB =，16ABC S =V ，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是 BD 、BC 上的动点，则CM MN +的最小值是．【答案】4【分析】过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，则CE 为CM MN ＋的最小值，根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM MN ＋的最小值．【详解】解：过点C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN BC ⊥于N ，∵BD 平分ABC ∠，ME AB ⊥于点E ，MN BC ⊥于N ，∴MN ME =，∴CE CM ME CM MN =+=+，即CE 为CM MN +的最小值，∵ABC 的面积为16，8AB =，∴12816CE ⨯⨯=，∴4CE =，即CM MN +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．18．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为．【答案】11【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知B C B D C D B D A D =+=+，即可求出ABD △的周长．【详解】解：DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=，B C B D C D B D A D \=+=+，ABD ∴的周长4711A B B D A D A B B C =++=+=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．三、解答题19．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D ∠=︒．求B ∠的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B ∠=︒，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC 和ADE 关于直线l 对称，AB AD ∴=，BC DE =，B D ∠=∠，又15AB =，10DE =，70D ∠=︒．70B ∴∠=︒，10BC =，15AD =，【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等． 20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．(1)求出BF 的长度；(2)求∠CAD 的度数；(3)连接EC ，线段EC 与直线MN 有什么关系？【答案】(1)BF ＝3cm(2)∠CAD ＝18°(3)直线MN 垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC ＝ED ＝4cm ，再根据FC ＝1cm ，求出BF 的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD ＝∠BAC ＝76°，再根据∠EAC ＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∴BC ＝ED ＝4cm ，∴BF ＝BC ﹣FC ＝3cm ．（2）解：∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°，∴∠EAD ＝∠BAC ＝76°，∴∠CAD ＝∠EAD ﹣∠EAC ＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN 垂直平分线段EC ．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可【详解】如图：有5种方法：【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．22．（2022秋·八年级单元测试）如图，ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；(2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC BC ，的距离相等．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）如图所示，在网格上分别找到点A 、点B 、点C 的对称点点1A 、点1B 、点1C ，连接11A B 、11AC、11B C 即可；（2）连接1A B 交直线l 于P ，利用两点之间线段最短可判断P 点满足条件；（3）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行作图即可．【详解】（1）解：如图， 111A B C △为所作；（2）解：根据（1）的结论，点A 、点1A 关于直线l 成轴对称，∴1PA PA =∴1PA PB PA PB +=+，如下图，连接1A B∴当点P 在直线l 和1A B的交点处时，11PA PB A B +=为最小值， ∴当点P 在直线l 和1A B 的交点处时，PA PB +取最小值，即点P 到点A 、点B 的距离之和最短；（3）解：如图所示，连接1CC ，根据题意的：11ACC BCC ∠=∠∴点Q 在直线l 和1CC 的交点处时，点Q 到边AC BC ，的距离相等．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，角平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，牧马人从A 地出发，到一条直的河流l 边的C 处饮马，然后到达B 地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C ，并用轴对称的性质说明理由．【答案】牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短，见解析【分析】过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，取直线l 上另一点C '，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．【详解】解：如图，过点B 作直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点即为点C ，此时所走的路程最短，即AC BC AC B C AB ''+=+=，取直线l 上另一点C '，根据轴对称得到AC BC AC B C AB ''''''+=+≥，∴牧马人到河边的点C 处饮马，可以使所走的路程最短．．【点睛】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方法是解题的关键．24．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，P 在AOB ∠内，点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，MN 分别交OA OB ，于E ，F ．(1)若PEF !的周长是10cm ，求MN 的长；(2)若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数．【答案】(1)10cm(2)60︒【分析】（1）由轴对称的性质可得EM EP FP FN ==，，由三角形周长公式得到10cm PE EF PF ++=，则10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）根据轴对称的性质得到AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，进一步推出260MON AOB ∠=∠=︒．【详解】（1）解：∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴EM EP FP FN ==，，∵PEF !的周长是10cm ，∴10cm PE EF PF ++=，∴10cm EM EF FN ++=，即10cm MN =；（2）解：如图所示，连接OM ON OP ，，，∵点M ，N 分别是点P 关于AO BO ，的对称点，∴AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠，∴()2260MON AOM AOP BOP BON AOP BOP AOB =+++=+==︒∠∠∠∠∠∠∠∠ ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，正确得到EM EP FP FN ==，，AOM AOP BON BOP ==∠∠，∠∠是解题的关键． 25．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．(1)图中点C 的对应点是点，∠B 的对应角是；(2)若DE ＝5，BF ＝2，则CF 的长为；(3)若∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，求∠EAF 的度数．【答案】(1)E ，∠D(2)3(3)∠EAF ＝39°【分析】（1）根据△ABC 和△ADE 关于直线MN 对称，得到图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，得到△ABC ≌△ADE ，推出BC ＝DE ＝5，根据BF ＝2，得到CF ＝BC ﹣BF ＝3；（3）根据∠BAC ＝108°和∠BAE ＝30°，推出∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF ＝∠CAF ，推出∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【详解】（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴图中点C 的对应点是点E ，∠B 的对应角是∠D ；故答案为：E ，∠D ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∴△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ＝5，∵BF ＝2，∴CF ＝BC ﹣BF ＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC ＝108°，∠BAE ＝30°，∴∠CAE ＝108°﹣30°＝78°，根据对称性知，∠EAF ＝∠CAF ，∴∠EAF ＝CAE 12Ð＝39°．【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性． (1)当70PEC ∠=︒时，求DPQ ∠；，将PDQ 沿PQ 【答案】(1)20︒；(2)72︒或120︒；(3)65︒．【分析】（1）结合已知先证AD BC ∥，利用平行线和平角的性质得到90PEC DPQ ∠+∠=︒可求解；（2）当点Q 在边CD 上时，利用（1）中关系可求解，当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒可求得90DPE DPQ ∠=︒−∠，结合已知利用同旁内角互补可求解；（3）由翻折和已知可求得50PD E ∠='︒，从而得到DPD '∠，再由翻折可求得DPQ ∠，最后结合（1）中的关系可求解．【详解】（1）90D C ∠=∠=︒180D C ∴∠+∠=︒AD BC ∴∥70APE PEC ∴∠=∠=︒PQ PE ⊥90EPQ ∴∠=︒90APE DPQ ∴∠+∠=︒90PEC DPQ ∴∠+∠=︒90907020DPQ PEC ∠=︒−∠=︒−︒=︒（2）当点Q 在边CD 上时，由（1）有，90PEC DPQ ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，∴18DPQ ∠=︒，72PEC ∠=︒，72APE ∴∠=︒；当点Q 在CD 的延长线上时，如图，由（1）可知AD BC ∥，90EPQ ∠=︒90DPE DPQ ∴∠=︒−∠180DPE PEC ∠+∠=︒，APE PEC ∠=∠∵4PEC DPQ ∠=∠，904180DPQ DPQ ∴︒−∠+∠=︒解得：30DPQ ∠=︒4120APE PEC DPQ ∴∠=∠=∠=︒即APE ∠为72︒或120︒．（3）∵90D D '∠=∠=︒，90QD C PD E ∴'+∠='∠︒，∵40QD C '∠=︒，50PD E ∴='∠︒，由（1）可知AD BC ∥，90PEC DPQ ∠+∠=︒50DPD PD E ∴'=∠='∠︒由翻折可知1252DPQ DPD ∴∠=∠='︒9065PEC DPQ ∠=︒−∠=︒故答案为65︒．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质；解题的关键是证明AD BC ∥并灵活应用平行线的性质求解．。

初二数学轴对称练习题难

初二数学轴对称练习题难在初二数学学习中，轴对称是一个重要的概念。

学生在掌握了轴对称的基本概念后，需要通过练习题来提高自己的运用能力。

然而，初二数学轴对称练习题往往具有一定的难度，需要学生具备一定的逻辑思维和数学运算能力。

接下来，我们将通过一些练习题来探讨初二数学轴对称练习题的难点。

1. 图形轴对称第一类轴对称练习题是图形轴对称。

例如，给定一个图形，要求找出它的轴对称图形。

这类练习题考察学生对于轴对称性质的理解和运用。

对于这类练习题，学生需要先找出图形的对称轴，然后对称地绘制出图形的另一半。

这要求学生具备一定的观察力和几何图形的基本认识。

同时，学生需要注意图形的对称性质，确保绘制的对称图形与原图形完全一致。

2. 物体轴对称第二类轴对称练习题是物体轴对称。

例如，给定一个三维物体，要求找出它的轴对称面。

这类练习题考察学生对于物体轴对称性质的理解。

对于这类练习题，学生需要观察物体的形状，并找出物体的轴对称面。

这要求学生具备一定的空间想象力和几何形状的理解能力。

同时，学生需要进行逻辑推理，确定轴对称面的位置和性质。

3. 数学公式应用第三类轴对称练习题是数学公式的应用。

例如，给定一个函数表达式，要求判断它是否具有轴对称性质。

这类练习题考察学生对于函数性质的理解和应用。

对于这类练习题，学生需要根据函数的表达式，进行数学运算和推导，判断函数是否满足轴对称性质。

这要求学生具备一定的代数运算能力和数学分析能力。

同时，学生需要注意函数的对称性，确保判断的正确性。

初二数学轴对称练习题的难点在于对于轴对称性质的理解和应用。

学生需要具备几何形状的认识、空间想象力、数学运算能力和逻辑推理能力。

在解答练习题时，学生需仔细观察题目，理清思路，确定解题方法，进行准确的计算和推导。

同时，学生还需多加练习，逐步提高自己的解题能力。

总结起来，初二数学轴对称练习题确实具有一定的难度。

但只要学生具备一定的基础知识和解题技巧，认真观察，仔细分析，多加练习，相信能够成功解答这些难题。

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何图形、函数和方程等方面都有广泛的应用。

下面是____年初二数学期末考试轴对称知识点的总结，包括轴对称的定义、性质、判定方法以及一些常见的练习题。

一、轴对称的定义和性质1. 轴对称是指一个几何图形相对于某一条直线对称。

2. 如果一个几何图形相对于某一条直线的两边完全相同或者对称，则该直线为该几何图形的轴对称轴。

3. 轴对称图形的特点是左右对称，即左右两部分完全相同。

4. 轴对称图形可以通过将图形沿着轴对称轴折叠，使两部分完全重合。

二、轴对称的判定方法1. 观察几何图形的特征，如果图形对称，则可判定为轴对称图形。

2. 分析几何图形的复杂度，如果找不到直观的特征，可以进行定点分析，即找出图形上的一系列点，判断这些点是否沿轴对称轴对称。

三、轴对称的常见几何图形1. 线段：线段是轴对称图形，折叠后两端完全重合。

2. 镜像：镜像是轴对称图形的一个特例，通过平面镜可以直观地看到镜像对称。

3. 圆：圆是轴对称图形，通过旋转一定角度可以使圆上的任意一点重合到其他点。

4. 正方形、矩形、正五边形等规则多边形都是轴对称图形，折叠后两边完全重合。

5. 其他不规则几何形状，可以通过定点分析来判断是否轴对称。

四、轴对称的函数和方程1. 函数：轴对称函数的特点是函数图像关于某一直线对称。

例如，二次函数y=ax^2的图像关于y轴对称，三次函数y=ax^3的图像关于原点对称。

2. 方程：轴对称方程是指方程的解对称于某一直线，这条直线即为轴对称轴。

例如，x^2+y^2=r^2的解是关于y轴对称的圆。

五、练习题1. 判断下列图形是否轴对称：(1) 正方形；(2) 三角形；(3) 椭圆；(4) 直线；(5) 抛物线。

2. 判断下列函数是否轴对称：(1) y=x^2+1；(2) y=3x^3-2x；(3) y=sin(x)。

3. 判断下列方程是否轴对称：(1) x^2+y^2=9；(2) x^3+y^3=8；(3) x^2+y^2+x+2y=0。

部编数学八年级上册专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）实战训练A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为　n5+36°　（用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°．所以答案是：n 5+36°．4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32　．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32，所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段　两个端点　的距离　相等　．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为　26　cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴a −b =b a +ka +b =0，解得：k =−32．所以选：B ．五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有　3　个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），　；满足条件的点C一共有　8　个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为　8　．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∵CD 平分∠ACF ，∴∠ACD ＝∠DCF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCF ，∴∠EDC ＝∠ACD ，∴GC ＝GD ＝6，∵EG ＝2，∴ED ＝EG +GD ＝2+6＝8，∴BE ＝ED ＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：①CP ⊥CD ；②∠P =12∠A ；③BC ＝CD ；④∠D ＝90°−12∠A ；⑤PD ∥AC ．其中正确的结论是 ①②④⑤　（直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB =12∠ACB ，∠BCD =12∠BCF ，根据垂直的定义得到CP ⊥CD ；故①正确；延长CB ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P =12∠A ，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB ∥CD ，推出△ABC 是等边三角形，而△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，推出∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，求得∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，求得∠EBD ＝∠A ，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；∵∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，∴∠A =12∠EBC ，∵∠EBD =12∠EBC ，∴∠EBD ＝∠A ，∴PD ∥AC ．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EO ∥AB ，FO ∥AC ，若S △ABC ＝32，则△OEF 的周长为　8　．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有　②④　．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝　7　．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM 为等边三角形，得出BM ＝EM ＝BE ＝5，从而得出BN 的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，如图，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠DEB ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴BM ＝EM ＝BE ＝5，∠EMB ＝60°，∵DE ＝2，∴DM ＝3，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM =12DM =32，∴BN ＝BM ﹣MN ＝5−32=72，∴BC ＝2BN ＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。

八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题08 轴对称与最短路径重难点知识(解析版)

专题08轴对称与最短路径重难点知识一、相关知识（1）平面直角坐标系内点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；平面直角坐标系内点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；（2）区分轴对称图形（一个图形）、成轴对称图形（两个图形）的区别（3）成轴对称图形性质：对称轴为对应点连线的垂直平分线；对应线段、角相等（4）线段垂直平分线①作图方法（依据SSS）；②性质；③判定.三角形中，到三个顶点相等的点只有一个，为三条边垂直平分线的交点.（5）作轴对称图形（6）最短路径理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形两边之和大于第三边；③垂线段最短.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在∠AOB内部一点P，求作△PQR，使△PQR周长最小.典例解析【知识点1：轴对称图形判断】例题1．（2021·上海徐汇）如图，将正方形图案翻折一次，可以得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B.例题2．（2021·江苏如皋）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.例题3．（2021··重庆）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美，在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B.例题4．（2021·黑龙江五常）点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a＋b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【答案】B.【解析】解：∵点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称∴a=−2，b=−3∴a+b=−2+(−3)=−5故答案为：B.【知识点2：线段垂直平分线性质】例题5．（2021·天津津南期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（）A．8B．10C．11D．12【答案】A.【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD∵△ABD的周长是13，即AB+BD+AD+13，AB+BC=13而AB=5∴BC=13-5=8故答案为：A.例题6．（2021·内蒙古呼和浩特市期中）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（）A ．3cmB ．12cmC ．9cmD ．6cm【答案】D .【解析】解：∵AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，∴BD =AD ，CE =AE ，∴△ADE 的周长＝AD +AE +DE =BD +CE +DE =BC =6cm ，故答案为：D ．例题7．（2021·黑龙江省期末）如图，DO 垂直AC ，且AO =OC ，若AB =7cm ，BC =5cm ，则△BDC 的周长是____________．【答案】12cm .【解析】解：如图所示，连接CD ，∵OD ⊥AC ，AO =CO ，∴直线OD 是线段AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴△BCD 的周长=BD +BC +CD =BD +AD +BC =AB +BC =12cm ，故答案为：12cm ．【知识点3：与折叠相关】例题8．（2021·广西期中）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 在AB 边上，将CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若26A ，则ADE 的度数是________【答案】38°.【解析】解：由折叠可得：∠ACD =∠BCD ，∠BDC =∠CDE ，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =45°，∵∠A =26°，∴∠BDC =∠ACD +∠A =71°，∴∠CDE =71°，∴∠ADE =180°-71°-71°=38°．故答案为38°．例题9．如图．点D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AB 上，连接AD 、DE ，将△ABC 沿直线DE 折叠后，点B 与点A 重合，已知AC ＝6cm ，△ADC 的周长为14cm ，则线段BC 的长为（）A ．6cmB ．8cmC ．12cmD ．20cm【答案】B .【解析】解：∵△ABC 沿直线DE 折叠后，点B 与点A 重合，∴BD ＝AD ，∵AC ＝6cm ，△ADC 的周长为14cm ，∴AD +DC ＝14－6＝8cm ，∴BD +DC ＝BC ＝8cm ，故答案为：B .例题10．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，4AB ，5BC ，6AC ，将ABD △沿AD 折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点E 处，折痕为AD ，若点F 为AD 上一动点，则EFC △的周长最小值为___________．【答案】7.【解析】解：连接BF由题意可知B 和E 关于AD 对称，AB =AE =4，∴BF=FE△CFE 的周长为：EF +FC+EC=BF+CD+EC当F 和D 重合时，BF+CD=BC∵两点之间线段最短∴此时BF+CD 的值最小，即此时△CFE 的周长最小，最小值是EF +FC+EC=BD+CD+EC=BC+EC ，∵EC=AC-AE =6-4=2，∴△CEF 的周长最小值为：BC+EC=5+2=7，故答案为：7．【知识点4：尺规作图】例题11．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，90C ，30B ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧分别交于点E 和F ，连接FE 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．AD 是BAC 的平分线B ．3ABD DAC S S △△C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．60ADC【答案】B .【解析】解：因为DF 为AB 中垂线，所以∠DAB =∠DBA =30°，又∠A =60°，所以∠CAD =∠BAD =30°，所以AD 是∠BAC 平分线，故A 正确；△ACD 与△ADB 高相等，都是AC ，底边BD =AD =2CD ，故S △ABD =2S △DAC ，故B 错误；C 项：由于EF 为线段AB 中垂线，且D 点为BC 与EF 公共点，故D 点在AB 的垂直平分线上，故C 正确；D 项：∠ADC =∠DAB +∠B =30°+30°=60°，故D 正确．故答案为：B ．例题12．（2021·湖南凤凰期中）如图，在△ABC 中，BC ＝10，AC ＝4，分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交BC 边于点D ，连接AD ，则△ACD 的周长为___．【答案】14.【解析】解：由作图可知，MN 垂直平分AB ，∴AD =BD∵BD =10，AC =4∴△ACD 的周长=AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =14故答案为：14．例题13．（2021·浙江诸暨期中）已知△ABC ，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交直线AB 于点D ，连接CD ．若∠ABC ＝40°，∠ACD ＝20°，则∠BAC 的度数为____．【答案】80°或120°.【解析】解：由题意得，直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴∠BCD=∠B=40°，①如图，∵∠ACD=20°，∴∠ACB=40°+20°=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°；②如图，∵∠ACD=20°，∴∠ACB=40°-20°=20°，∴∠BAC=180°-20°-40°=120°，综上所述，∠BAC的度数为80°或120°，故答案为：80°或120°．．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）例题14．（2021·河南南阳市）已知MAN的平分线AE；①作MAN②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．【答案】见解析.【解析】解：（1）①如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于点H、G，再分别以H、G为圆心，以大于HG长的一半为半径画弧，二者交于点O，过点O作射线AE即为所求；②如图所示，分别以A、F为圆心，以大于AF长的一半为半画弧，二者分别交于J、K，连接JK分别交AM 于P，AN于Q，AE于T；（2）AP=AQ，理由如下：∵JK是线段AF的垂线平分线，∴∠PTA=∠QTA=90°，∵AE是∠MAN的角平分线，∴∠MAE=∠NAE，又∵AT=AT，∴△ATP≌△ATQ（ASA），∴AP=AQ．例题15．（2021·安徽淮南市期中）如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】见解析.【解析】根据题意，作∠AOB的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点S，如下图：∵OK是∠AOB的角平分线∴OK上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ是MN的垂直平分线∴RQ上的点，到两所大学的距离相等∵OK和RQ相交于点S，∴仓库P应该建在点S的位置．【知识点5：最短路径】例题16．（2021·山东阳谷县）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C.【解析】如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=12，解得：AD=6（cm），∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8（cm）．故答案为：C．例题17．（2021·河北邢台市）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．50°【答案】C.【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M’，N关于OA的对称点N’，连接M’N’交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小，∴∠OPM＝∠OPM’＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN’＝∠AQN，∴∠QPN＝12（180°−α）＝∠AOB＋∠MQP＝20°＋12（180°−β），∴180°−α＝40°＋（180°−β），∴β−α＝40°，故答案为：C．例题18．（2021·福建期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（）A．9B．10C．11D．12.5【答案】A.【解析】∵直线m是BC的垂直平分线∴BP=CP∴△ACP周长=AC+AP+BP∵两点之间线段最短∴AP+BP≥AB∴△ACP的周长≥AC+AB∵AC=4，AB=5∴△ACP周长最小为AC+AB=9故答案为：A.例题19．（2021·浙江余杭）如图所示，点P 为O 内一定点，点A ，B 分别在O 的两边上，若PAB 的周长最小，则O 与APB 的关系为（）A ．2O APBB ．2O APBC ．180O APBD ．2180O APB【答案】D .【解析】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ’，点P 关于ON 的对称点P ’’，P ’P ’’交OM 于A ，交ON 于B ，此时△PAB 的周长最小值等于P ’P ’’的长，则∠P ’OP ’’=2∠AOP ，∴∠P ’=180180222P OP AOB ∴2∠O +∠APB =180°故答案为：D ．例题20．（2021·河南西平期中）（1）如图1，在直线AB 的同一侧有两点C ，D ，在AB 上找一点P ，使C ，D ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出E ，F 两点．（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M ，N ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，M ，N 四点组成的四边形的周长最短，找出E ，F 两点．（显示找点的过程）【答案】见解析.【解析】解：（1）如图1，（2）如图2，（3）如图3，【知识点6：综合习题】例题21．（2021·山西盐湖期中）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】B .【解析】解：连结AP ，CP ，∵AC 的垂直平分线DP ，∴PA =PC ，∵BP 是∠ABC 的平分线，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE =PF ，在Rt △PEA 和Rt △PFC 中，PA PCPE PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴AE =CF ，在Rt △PEB 和Rt △PFB 中，PB PBPE PF ，∴Rt △PEB ≌Rt △PFB （HL ），∴EB =FB ，∴2BE =BE +BF =AB +EA +BC -FC =AB +BC =7+15=22，∴BE=11，∴AE=BE-AB=11-7=4cm．故答案为：B．例题22．（2021·河南枫杨外国语期中）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C （8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为___个．【答案】8.【解析】解：满足条件的点如图所示，共有8个．故答案为：8．例题23．（2021·福建建瓯期中）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G．（1）求证：AG=CF；（2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2.【解析】证明：（1）如图，连接AD，DC，∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC，∴DG=DF．∵点D在边AC的垂直平分线上，∴DA=DC．在Rt△DGA和Rt△DFC中，DG DF DA DC，∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)．∴AG=CF．（2）∵BD平分∠ABC，点M在线段AB上，∴点M关于BD的对称点M 在边BC上．如图，作点M关于BD的对称点M ，连接M N ，过点A作AP⊥BC于点P，∴MN M N ．∴MN +AN =M N +AN ≥AP ．∴当点A ，N ，P 在同一条直线上且AP ⊥BC 时，MN +AN 的值最小，最小值即为AP 的长．∵S △ABC =5，∴152BC AP ．∵BC =5，∴AP =2．∴MN +AN 的最小值为2．例题24．（2021·辽宁大石桥期中）已知点P 在∠MON 内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ．①若∠MON =50°，则∠GOH =______；②若PO =5，连接GH ，请说明当∠MON 为多少度时，GH =10；（2）如图2，若∠MON =60°，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当 PAB 的周长最小时，求∠APB 的度数．【答案】（1）①100°；②当∠MON =90°时，GH =10；（2）60°.【解析】解：（1）①∵P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，∴OG =OP ，OM ⊥PG ，即OM 平分∠POG ，同理，ON 平分∠POH∴∠GOH =2∠MON =100°故答案为：100°；②∵OP =5，∴OG =OH =5当∠MON =90°时，G 、O 、H 共线，GH =OG +OH =10（2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P’、P’’，则AP=AP’，BP=BP’’，此时△PAB周长的最小值等于P’P’’的长，由对称性可得，∠OPA=∠OP’A=30°，∠BPO=∠OP’’B=30°∠APB=60°.。

八年级数学上册轴对称难题经典题(有难度)

第10题一、选择题1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（）A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（）A 、1B 、2C 、3D 、43.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D.在A 、B 两内角平分线的交点处4.下列说法中错误的是（）A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B 关于某条直线对称的两个图形全等C 全等的三角形一定关于某条直线对称D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（）A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（）A . <1>和<2>B . <2>和<3>C . <2>和<4>D . <1>和<4>轴对称作图题专练1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．CB AABMN2、如图1，在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；若A 与B 在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M 的位置？2.1如图，在一条河的同岸有两个村庄A 、B ，两村要在河上合修一座桥到对岸去，桥修在什么地方，可以使两个村庄到桥的距离之和最短？3、如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小。

八年级轴对称经典题型

八年级轴对称经典题型一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。

B. 三角形。

C. 圆。

D. 梯形。

解析：- 圆沿着任意一条直径所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形。

- 平行四边形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形。

- 三角形不一定是轴对称图形，只有等腰三角形和等边三角形是轴对称图形。

- 梯形不一定是轴对称图形，只有等腰梯形是轴对称图形。

所以答案是C。

2. 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是（）A. (3,2)B. (-3, - 2)C. (-3,2)D. (2, - 3)- 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

- 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2)。

所以答案是A。

3. 等腰三角形的一个内角为50^∘，则这个等腰三角形的顶角为（）A. 50^∘B. 80^∘C. 50^∘或80^∘D. 40^∘或65^∘解析：- 当50^∘的角为顶角时，答案就是50^∘。

- 当50^∘的角为底角时，因为等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和为180^∘，则顶角为180^∘-50^∘×2 = 80^∘。

所以这个等腰三角形的顶角为50^∘或80^∘，答案是C。

4. 如图，在ABC中，AB = AC，∠ A = 30^∘，DE垂直平分AC，则∠ BCD的度数为（）A. 80^∘B. 75^∘C. 65^∘D. 45^∘- 因为AB = AC，∠ A=30^∘，所以∠ B=∠ ACB=(1)/(2)(180^∘-∠A)=(1)/(2)(180^∘ - 30^∘) = 75^∘。

- 因为DE垂直平分AC，所以AD = CD，∠ A=∠ ACD = 30^∘。

- 则∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=75^∘-30^∘=45^∘。

所以答案是D。

5. 下列说法正确的是（）A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称。

人教版初二数学轴对称重难点归纳

人教版初二数学轴对称重难点归纳单选题1、如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B 岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案：A解析：先根据方位角的定义分别可求出∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°，再根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°，∠ABE=100°，从而可得∠ABC=45°，然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．由方位角的定义得：∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=80°−35°=45°由题意得：AD//BE∴∠ABE=180°−∠BAD=180°−80°=100°∴∠ABC=∠ABE−∠CBE=100°−55°=45°∴∠BAC=∠ABC=45°由三角形的内角和定理得：∠C=180°−∠BAC−∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形故选：A．小提示：本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．2、等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．140°或80°C．44°或80°D．140°或44°答案：A解析：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．3、下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C解析：依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确．解：因为选项A、B、D中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它们不符合轴对称图形的定义和要求，因此选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形，而C选项中的图形沿上下边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的定义和要求，因此C选项中的图形是轴对称图形，故选：C．小提示：本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力．4、在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm答案：C解析：根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BCAB =12，∴AB=2BC∵AB+BC=12cm，∴3BC=12cm．∴BC=4cm∴AB=8cm故选：C小提示：本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．5、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：C解析：由轴对称图形的性质可得△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理即可得出答案．如图，连接BB′∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°，故选C．小提示：本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．6、如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝110°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，得△GEF，若GF∥CD，GE∥AD，则∠D的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°答案：C解析：依据平行线的性质，即可得到∠BEG=∠A=90°，∠BFG=∠C=110°，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠D的度数．解：∵GF∥CD，GE∥AD，∴∠BEG=∠A=90°，∠BFG=∠C=110°，由折叠可得：∠B=∠G，∴四边形BEGF中，∠B=360°−90°−110°=80°，2∴四边形ABCD中，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°，故选：C．本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）A．4B．8C．12D．16答案：C解析：已知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B的度数，再求出∠DAC的度数，然后根据30°角直角三角形的性质求得BD的长，再根据等角对等边可得到CD的长，即可求得BC的长．∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB⊥AD，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC =∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12．故选C.本题考查了等腰三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质及30°角直角三角形的性质是解决问题的关键.8、若点A(a−2,3)和点B(−1,b+5)关于x轴对称，则点C(a,b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．点A（a−2，3）和点B（−1，b＋5）关于x轴对称，得a−2＝-1，b＋5＝-3．解得a＝1，b＝−8．则点C（a，b）在第四象限，故选：D．小提示：本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a−2＝-1，b＋5＝-3是解题关键．填空题9、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm,DE=3cm，则BC=______cm．答案：10解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=3.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可.解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．∵EF⊥BC，∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∴BF=12BE=12×7=3.5，∵∠BED=60°，∠BEF=30°，∴∠DEG=30°．又∵DG⊥EF，∴GD=12ED=12×3=1.5，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，且BH=CH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，∴四边形DGFH是矩形．∴FH=GD=1.5．∴BC=2BH=2×(3.5+1.5)=10.所以答案是：10.小提示：本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键.10、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm,DE=3cm，则BC=______cm．答案：10解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=3.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可.解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．∵EF⊥BC，∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∴BF=12BE=12×7=3.5，∵∠BED=60°，∠BEF=30°，∴∠DEG=30°．又∵DG⊥EF，∴GD=12ED=12×3=1.5，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，且BH=CH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，∴四边形DGFH是矩形．∴FH=GD=1.5．∴BC=2BH=2×(3.5+1.5)=10.所以答案是：10.小提示：本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键.11、如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为________．答案：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）解析：试题解析：如图所示：A1(−1，1),A2(−2,−2),A3(0，2),A4(−2,−3)，(−3，2)（此时不是四边形，舍去），故答案为(−1，1),(−2,−2),(0，2)，(−2,−3).12、如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=________ 时，△AOP为等边三角形．答案：a解析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．∵∠AON＝60°，∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．小提示：本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．13、将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．答案：55解析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据翻折的性质即可得出答案．∵∠1=110°，纸条的两边互相平行∴∠3=180°−∠1=180°−110°=70°根据翻折的性质得：∠2=12×(180°−∠3)=12×(180°−70°)=55°所以答案是：55．小提示：本题考查了平行线的性质、图形翻折的性质，掌握理解图形翻折的性质是解题关键．解答题14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）画出△ABC的各点纵坐标不变，横坐标乘﹣1后得到的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1的各点横坐标不变，纵坐标乘﹣1后得到的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是；点C2的坐标是．答案：（1）见解析（2）见解析（3）（﹣4，﹣1）；（﹣4，1）解析：（1）△ABC的各点纵坐标不变，横坐标乘-1后的坐标首先写出，然后在数轴上表示出来，顺次连接；（2）△A1B1C1的各点横坐标不变，纵坐标乘-1后的坐标首先写出，然后在数轴上表示出来，顺次连接；（3）根据（1）（2）即可直接写出．（1）A1的坐标是（-1，-4），B1的坐标是（-5，-4），C1的坐标是（-4，-1），如图，△A1B1C1为所作；（2）A2的坐标是（-1，4），B2的坐标是（-5，4），C2的坐标是（-4，1），如图，△A2B2C2为所作；（3）C1的坐标是（﹣4，﹣1），C2的坐标是（﹣4，1）．故答案是：（﹣4，﹣1），（﹣4，1）．小提示：本题考查了坐标与图形的变化－轴对称变换，根据题目的叙述求得△A1B1C1和△A2B2C2的坐标是解题的关键．15、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）互相垂直，证明见解析解析：（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°，△ACD和△ABE中，∵{∠ADC＝∠AEB∠CAD＝∠BAEAB＝AC∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AD=AE．（2）猜想：OA⊥BC．证明：连接OA、BC，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°．在Rt△ADO和Rt△AEO中，∵{OA ＝OAAD＝AE∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．∴∠DAO=∠EAO，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．。

初二轴对称图形难题总结新选

初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l 的对称点B′，连接 A B ′与直线l 交于点C，则点 C 即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=3°0，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____ ．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F 分别是线段AD和AB 上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的（3）拓展延伸如图（4）：点P 是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？5．几何模型：条件：如下A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点．聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（ 2）），问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P ，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的：① 作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′．② 连接 AB ′交直线 l 于点 P ，则点 P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在 △ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P ，使 △PDE 得周长最小．（ 1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出 △ PDE 周长的最小值：．4．（1）观察发现：如（ a ）图，若点 A ， B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P ，使 AP+BP 的值最小．做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接 AB'，与直线 l 的交点就是所求的点 P ．再如（ b ）图，在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P ，使 BP+PE 的值最小．做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P ，故 BP+PE 的最小值为 __________ ．（2）实践运用：如（ c ）图，已知 ⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是的中点，在直径 CD 上找一点 P ，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值．（3）拓展延伸：如（ d ）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P ，使 ∠APB=∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=′A B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连接ED交AC 于P，则PB+PE的最小值是 _______ ；（2）如图2，⊙ O的半径为2，点A、B、C在⊙ O上，OA⊥ OB，∠ AOC=6°0 ，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=4°5 ，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p= __________ 时，△ PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a= _________ 时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= __________ ，n= _________ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．场到8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN 的夹角∠AON=30 ，°新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN 的距离为__________ ；（2）现要在MN 上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B 的距离之和最短．此时10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1 的对称轴为 y 轴．（1）请画出：点 A 、 B 关于原点 O 的对称点 A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接 A1A2、B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点），试证明： x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；（3）设线段 AB 两端点的坐标分别为 A （﹣2，4）、B （﹣4，2），连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点 C ，使△A1B1C 与△A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．11．某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、 B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C ，使 A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 12．阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿 ∠ BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分； ⋯；将余下部分沿 ∠ BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次9.如图：（1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B ，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到在图中画出点 P 的位置．B ，但要使游泳的路程最短，试恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠ BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1 与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________ （填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q 从点C出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ与直线BC 相交于点D．（1）如图① ，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图② ，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度14．（2012?东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC，BC 上，且∠ MON=6°0 ．（1）如图1，当CM=CN时，M、N 分别在边AC、BC上时，请写出AM 、CN、MN 三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N 分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M 在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．保持不变的线段？请说明理由；16．如图，在 △ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与 DB 交于点 M ．求证：（1）△ABC ≌△ DCB ；（2）点M在 BC 的垂直平分线上．17．如图， △ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D ， E 为垂足， DF ⊥AB 于 F ，且 AB >AC ，15 ．如图，线段 CD 垂直平分线段求证： DE=DF ．AB ， CA 的延长线交 BD 的延长线于 E ，CB 的延长线交 AD 的延长线于 F ， 18．已知 △ ABC 的角平分线 AP 与边 BC 的垂直平分线求证： BK=CL ．PM 相交于点 P ，作 PK ⊥ AB ， PL ⊥ AC ，垂足分别是 K 、L ，19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B 的距离必须相等，且到两条公路m、20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=120 °，BC=9cm，AB的垂直平分线MN 交BC于M，交AB于N，求BM 的长．21．如图，在△ ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P 分别作PN⊥AB 于N，PM⊥AC 于点M ，求证：BN=CM．22．如图己知在△ ABC中，∠ C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E 为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC 长．参考答案与试题解析一．解答题（共22 小题）1．（2013?日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．要有作图痕迹）l 的对称点B′，连接 A B 与′直线l 交于点C，则点 C 即为所求．如图（ b ），已知， ⊙O 的直径 CD 为4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=3°0，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 2 ．（2）知识拓展：如图（ c ），在 Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，E 、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．考点：轴对称 -最短路线问题． 3113559分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN 的交点 P 就是所求作的位置．根据题意先求出 ∠C ′A ，E 再根据勾股定理求出 AE ，即可得出 PA+PB 的最小值；（2）首先在斜边 AC 上截取 AB ′=AB ，连结 BB ′，再过点 B ′作B ′⊥F AB ，垂足为 F ，交 AD 于E ，连结 BE ，则线段 B ′F 的长即为所求．解答：解：（1）作点 B 关于 CD 的对称点 E ，连接 AE 交 CD 于点 P 此时 PA+PB 最小，且等于 AE ．作直径 AC ′，连接 C ′．E 根据垂径定理得弧 BD=弧 DE ． ∵∠ ACD=30 ，°∴∠ AOD=60 ，°∠ DOE=30 ，° ∴∠ AOE=90 ，° ∴∠ C ′ AE=4，5 °又 AC ′为圆的直径， ∴∠ AEC ′=90，° ∴∠ C ′∠=C ′ AE=4，5 ° ∴C ′ E=AE= AC ′ =2 ，即 AP+BP 的最小值是 2 ．故答案为： 2 ；2）如图，在斜边 AC 上截取 AB ′=A ，B 连结 BB ′．∵ AD 平分 ∠BAC ，∴点 B 与点 B ′关于直线 AD 对称．过点 B ′作 B ′⊥F AB ，垂足为 F ，交 AD 于 E ，连结 BE ，则线段 B ′F 的长即为所求．（点到直线的距离最短）在 Rt △ AFB ′中， ∵∠BAC=45°， AB ′=AB=1，01）实践运用：∴ B′ F=AB ?sin45 ° =AB?sin4=55 °，=10 ×∴BE+EF的最小值为．此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键．2．（2013?六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP的最小值为（3）拓展延伸如图（4）：点P 是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕点评：E是AB 的中点，做法如下：迹，不写作法．圆的综合题；轴对称 -最短路线问题． 3113559 压轴题．（1）观察发现：利用作法得到 CE 的长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CE ⊥AB ，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE= ；（2）实践运用：过 B 点作弦 BE ⊥CD ，连结 AE 交CD 于 P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB ，根据垂径定理得到CD 平分 BE ，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值；由于的度数为 60°，点 B 是的中点得到 ∠ BOC=3°0 ， ∠ AOC=6°0 ，所以 ∠AOE=6°0 +30°=90°，于是可判断 △ OAE 为等腰直角三角形，则 AE= OA= ；（3）拓展延伸：分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F ，然后连结 EF ， EF 交 AB 于 M 、交 BC 于 N ．解：（1）观察发现如图（ 2）， CE 的长为 BP+PE 的最小值，∵在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点 ∴CE ⊥AB ，∠BCE= ∠ BCA=30 ，°BE=1， ∴ CE= BE= ；故答案为；（2）实践运用如图（ 3），过 B 点作弦 BE ⊥CD ，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB ， ∵BE ⊥CD ，∴CD 平分 BE ，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， ∵ 的度数为 60 °，点 B 是的中点， ∴∠ BOC=30 ，°∠ AOC=60 ，° ∴∠ EOC=30，°∴∠ AOE=60 +°30 =°90 ，° ∵OA=OE=1， ∴ AE= OA= ，∵AE 的长就是 BP+AP 的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（ 4）．考点专题分析解答：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．3．（2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道为，要在直线l 上找一点P，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：① 作点 B 关于直线l 的对称点B′．② 连接AB′交直线l 于点P，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E 分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：8 ．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作 D 点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作 D 点关于BC的对称点D′，连接D′，E与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE 为△ABC中位线，点评：l 看成一条直线（图（ 2 ）），问题就转化∵BC=6，BC边上的高为4，∴ DE=3，DD′ =，4∴D′ E= = =5，∴△ PDE周长的最小值为：DE+D′ E=3+5，=8 故答案为：8．此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．4．（2010?淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l 上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l 的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD 上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′，B与CD的交点即为点P．此时PA+PB=′A B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．（3）画点 B 关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值= = = ．点评：△PDE周长的最小（2）作点 A 关于CD的对称点A′，连接A′，B交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠ AOD的度数为60°，∴∠A′ OD∠=AOD=60 ，°PA=PA，′∵点 B 是的中点，∴∠ BOD=30 ，°∴∠ A′ O∠B=A′ OD∠+BOD=90 ，°∵⊙O的直径CD为4，∴OA=OA′ ，=2∴ A′ B=2 ．∴ PA+PB=PA ′ +PB=A ′．B=2 （3）如图d：首先过点 B 作BB′⊥ AC于O，且OB=O′B，连接DB′并延长交AC 于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠ APD）．此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．5．（2009?漳州）几何模型：问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l 的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=′A B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线AC 对称．连接ED交AC 于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙ O的半径为2，点A、B、C在⊙ O上，OA⊥ OB，∠ AOC=6°0 ，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=4°5 ，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题；动点型．分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=D，E在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作 A 关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；点评：条件：如下图，A、B是直线l 同旁的两个定点．（3）作出点P 关于直线OA的对称点M ，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB 的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN 的长就行了．解答：解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴AC 垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=D，E在△ ADE中，根据勾股定理得，DE= ；（2）作 A 关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠ AOC=60 °∴∠ A′ OC=120 °作OD⊥ A′C于D，则∠A′OD=60°∵ OA′ =OA=2∴ A′ D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△ PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠ POB，∴∠ MON=2∠AOB=2 × 4=59°0 ，°在Rt△ MON 中，MN= = =10 ．即△ PQR周长的最小值等于10 ．此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．6．（2006?湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p= 时，△ PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= ，n= ﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．点评：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质． 3113559 压轴题．（1）根据题意，设出并找到 B （4，﹣ 1）关于 x 轴的对称点是 B'，其坐标为（ 4， 1），进而可得直线 AB'的解析式，进而可得答案；（2）过 A 点作 AE ⊥x 轴于点 E ，且延长 AE ，取 A'E=AE ．做点 F （ 1，﹣ 1 ），连接 A'F ．利用两点间的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB ，从而确定 C 点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ，当且仅当 m= ，n=﹣ ；时成立．解：（1）设点 B （4，﹣ 1）关于 x 轴的对称点是 B'，其坐标为（ 4，1），设直线 AB'的解析式为 y=kx+b ，把 A （2，﹣ 3），B'（ 4， 1）代入得：，解得， ∴y=2x ﹣7，令 y=0 得 x= ，即 p= ．（2）过 A 点作 AE ⊥x 轴于点 E ，且延长 AE ，取 A'E=AE ．做点 F （1，﹣ 1），连接 A'F ．那么 A'（2， 3）． ∵C 点的坐标为（3）存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ，作 A 关于 y 轴的对称点 A ′，作 B 关于 x 轴的对称点 B ′，连接 A ′B ，′与 x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ， ∴A ′（﹣ 2，﹣ 3）， B ′（4， 1）， ∴ 直线 A ′的B 解′析式为： y= x ﹣ ， ∴M （， 0），N （0，﹣ ）．考点专题分析解答：直线 A'F 的解析式为即 y=4x ﹣ 5， a ，0），且在直线 A'F 上，考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．7．（ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到轴对称 -最短路线问题． 3113559作图题．利用轴对称图形的性质可作点 A 关于公路的对称点 A ′，连接 A ′，B 与公路的交点就是点 P 的位置．本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．8．（2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A ，B ，已知 AB=10 千米，直线 AB 与公路 MN 的夹角∠AON=3°0 ，新开发区 B 到公路 MN 的距离 BC=3千米．（1）新开发区 A 到公路 MN 的距离为 8 ；（2）现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A ，B 修两条公路 PA ，PB ，使点 P 到新开发区 A ，B 的距离之和最短．此时点评： A ，B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的考点专题分析解答点评： m= ， n=﹣考点：轴对称 -最短路线问题． 3113559 专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求出 OB 的长，从而得出 OA 的长，再根据三角函数求得到公路的距离．（2）根据切线的性质得 EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=1，1 再根据余弦概念求解．解答：解：（1）∵BC=3， ∠ AOC=3°0 ，∴OB=6．过点 A 作 AE ⊥ MN 于点 E ， AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新开发区 A 到公路的距离为 8 千米；（2）过 D 作DF ⊥AE 的延长线（点 D 是点 B 关于 MN 的对称点），垂足为 F ．则 EF=CD=BC=3， AF=AE+EF=AE+BC=1，1过 B 作 BG ⊥ AE 于 G ，∴BG=DF ，∵ BG=AB?cos30 ° =，5∴，点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．9．（2006?巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B ，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到连接 PB ，则 PB=PD ， ∴ PA+PB=PA+PD=AD=1（4 千米）．B ，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P 的位置．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换．3113559专题：作图题．分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点，连接A1B与l 相交于点P，即为所求．解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题．最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；② 确定图形中的关键点；③ 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④ 按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．10．（2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y 轴．（1）请画出：点A、B关于原点O 的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x 轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．解答：考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型．分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，﹣4）设直线A2B1的解析式为y=kx+b 则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x﹣10．令y=0，得x= ，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．解答：解：（1）如图，A2、B2 为所求的点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴A1、B1关于x 轴的对称点是A2、B2，∴ x 轴垂直平分线段A1A2 、B1B2．（3）存在符合题意的 C 点．由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依题意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．设直线A2B1的解析式为y=kx+b 则有解得∴直线A2B1 的解析式为y=3x﹣10，令y=0，得x= ，11．（2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、 B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置 C ，使 A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称 -最短路线问题． 3113559 作图题．作 A 关于直线 L 的对称点 E ，连接 BE 交直线 L 于 C ，则 C 为所求．点评：本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12．（2012?淮安）阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿 ∠ BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉重复部分； ⋯；将余下部分沿 ∠ BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合， ∠BAC 是 △ABC 的好角．小丽展示了确定 ∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角 ∠ BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1 与点 C 重合．探究发现（1）△ABC 中，∠B=2∠C ，经过两次折叠， ∠BAC 是不是 △ABC 的好角？是（填“是”或“不是 ”）．（2）小丽经过三次折叠发现了 ∠BAC 是△ABC 的好角，请探究 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B >∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B >∠C ）之间的等量关系为 ∠B=n ∠点评：专题分析解答 ∴C 的坐标为（，0）主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．C ．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的考点：翻折变换（折叠问题）．3113559专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠ C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠ C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°① ，根据三角形ABC 的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180 °②，由①② 可以求得∠B=3∠ C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠ C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA 是△ ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠ B=2∠ C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠ B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2 折叠，此时点B1与点C重合，∴∠ A1B1C=∠C；∵∠ AA1B1=∠C+∠ A1B1C（外角定理），∴∠ B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3 折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠ C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180 ，° 根据三角形ABC的内角和定理知，∠ BAC+∠ B+∠ C=180°，∴∠ B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠ B=∠ C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ ABC 的好角，则∠ B 与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；。

人教版八年级数学上册《轴对称》知识点精讲与典型例题(含答案)

轴对称例1.如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？解：不是。

有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）A.AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；（2）画出点B关于直线l的对称点B'：（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？解：设张村为点A，李庄为点B，张村和李庄这一侧的河岸为直线l。

（1）作点B关于直线l的对称点，（2）连结，交直线l于点C，点C就是所求的水泵站的位置。

（如图所示）1. 下列说法错误的是（）A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称C. 轴对称图形的对称轴至少有一条D. 线段是轴对称图形2. 轴对称图形的对称轴是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 以上都有可能3. 下面各组点关于y轴对称的是（）A. （0，10）与（0，－10）B. （－3，－2）与（3，－2）C. （－3，－2）与（3，2）D. （－3，－2）与（－3，2）*4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 一条线段B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条相等的线段D. 有公共端点的两条不相等的线段5. （2007年河南）如图，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）A. 30°B. 50°C. 90°D. 100°6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是（）*7. （2008年武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF ＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（）A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°**8. （2008年全国数学竞赛浙江预赛）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

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