【精品】2015年河北省衡水市故城高中高一上学期期末数学试卷

2014-2015学年河北省衡水市故城高中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5.00分）直线x+y﹣2=0和x﹣y﹣4=0的交点为（）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（3，1）
2．（5.00分）下列说法错误的是（）
A．棱台的各侧棱延长后相交于一点
B．如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台
C．圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线
D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台3．（5.00分）已知圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心坐标是（）A．B．C．D．
4．（5.00分）已知水平放置的△A BC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中B'O'=C'O'=1，，那么对于原△ABC则有（）
A．AB=BC B．AB=BC，且AB⊥BC
C．AB⊥BC D．AB=AC，且AB⊥AC
5．（5.00分）已知直线m、n与平面α、β，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，则n⊥m
6．（5.00分）点P（2，4）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为（）A．（5，﹣3）B．（3，﹣5）C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣3）
7．（5.00分）在正方体A'C中，D'A与BD所成的角的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（5.00分）已知实数x，y满足2x+y+10=0，那么的最小值为（）A．B． C．D．
9．（5.00分）若点（5，b）在两条平行直线与6x+8y+10=0之间，则整数b的值为（）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
10．（5.00分）如图所示，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，且侧棱A A1⊥面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（）
A．3 B．C．D．
11．（5.00分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．+1
12．（5.00分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的四个顶点所在球的半径为（）A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5.00分）设A（1，4，3），B（3，2，1），则线段AB中点M的坐标为．14．（5.00分）两等角的一组对应边平行，则另一组对应边的位置关系为．15．（5.00分）过A（﹣1，0），B（3，0）两点的所有圆中面积最小的圆的方程是．
16．（5.00分）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m⊥β；②α⊥β；③m⊥n；④n⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10.00分）判断圆x2+y2﹣2x﹣3=0和x2+y2﹣4y+3=0的位置关系．18．（12.00分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点．求证：四边形EFDB是梯形．
19．（12.00分）已知直线l垂直于直线3x﹣4y+10=0，直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为5，求直线l的方程．
20．（12.00分）已知圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
21．（12.00分）已知：如图所示，直线AB：与圆O：x2+y2=4相交于点A，B，求证：△AOB是等边三角形．
22．（12.00分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，G为AD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD．底面ABCD是边长为a的菱形，且∠D A B=60°，侧面PAD为正三角形．求证：AD⊥平面PGB．
2014-2015学年河北省衡水市故城高中高一（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5.00分）直线x+y﹣2=0和x﹣y﹣4=0的交点为（）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（3，1）
【解答】解：联立，解得x=3，y=﹣1．
∴交点为（3，﹣1）．
故选：A．
2．（5.00分）下列说法错误的是（）
A．棱台的各侧棱延长后相交于一点
B．如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台
C．圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线
D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
【解答】解：A．棱台可以看成是棱锥被平行于底面的平面所截取的，故棱台的各侧棱延长后相交于一点，故A正确，
B．如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可以由一个平行于底面的平面所截，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，故B正确，
C．圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线不一定都是圆台的母线，有可能是侧面上的曲线，故C错误，
D．根据圆台的定义知用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D正确，
故选：C．
3．（5.00分）已知圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心坐标是（）A．B．C．D．
【解答】解：圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，标准方程为
，
则圆心坐标是，
故选：D．
4．（5.00分）已知水平放置的△A BC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，
其中B'O'=C'O'=1，，那么对于原△ABC则有（）
A．AB=BC B．AB=BC，且AB⊥BC
C．AB⊥BC D．AB=AC，且AB⊥AC
【解答】解：：根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2，AO=2A′O′=．
故原△ABC是一个等边三角形．
故选：A．
5．（5.00分）已知直线m、n与平面α、β，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，则n⊥m
【解答】解：若m∥α，n∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面，所以A不正确
若m∥α，由线面平行的性质，能将m平移到α内的m′，由n⊥α知n⊥m′，所以m⊥n成立，故B正确．
若m⊥α，n⊥β，则α、β有可能平行，故C 不正确；
若m⊥α，n⊥β，则m，n有可能平行，故D不正确．
故选：B．
6．（5.00分）点P（2，4）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为（）A．（5，﹣3）B．（3，﹣5）C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣3）
【解答】解：设点P（2，4）关于直线x+y+1=0的对称点为A（a，b），
则k PA==1，
∴a﹣b=﹣2①
又线段PA的中点（，）在直线x+y+1=0上即++1=0，
整理得：a+b=﹣8②
联立①②解得a=﹣5，b=﹣3．
∴点P（2，4）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故选：D．
7．（5.00分）在正方体A'C中，D'A与BD所成的角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：连结B′D′，AB′，
∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，
∵△AB′D′是等边三角形，
∴∠AD′B′=60°，
∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．
故选：C．
8．（5.00分）已知实数x，y满足2x+y+10=0，那么的最小值为（）A．B． C．D．
【解答】解：的最小值为原点到直线的距离d==2．
故选：C．
9．（5.00分）若点（5，b）在两条平行直线与6x+8y+10=0之间，则整数b的值为（）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
【解答】解：由题意，（15﹣4b+）（30﹣8b+10）＜0，
∴＜b＜5，
∴整数b的值为4，
故选：C．
10．（5.00分）如图所示，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，且侧棱A A1⊥面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（）
A．3 B．C．D．
【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为1，侧棱长1，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为1，宽为
面积为：．
故选：C．
11．（5.00分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．+1
【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心为C（a，2），半径r=2
∴圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离d=
∵l被圆C截得的弦长为2时，
∴d+（）2=22，解得d=1
因此，=1，解之得a=﹣1（舍负）
故选：B．
12．（5.00分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的四个顶点所在球的半径为（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，
所以四面体ABCD的四个顶点所在球的半径为，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5.00分）设A（1，4，3），B（3，2，1），则线段AB中点M的坐标为（2，3，2）．
【解答】解：由中点坐标公式可得：线段AB中点M的坐标为（2，3，2），
故答案为：（2，3，2）．
14．（5.00分）两等角的一组对应边平行，则另一组对应边的位置关系为平行、相交或异面．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∠BAD=∠B1A1D1=90°，AB∥A1B1，另一组对应边AD∥A1D1；
∠BAD=∠DD1C1=90°，AB∥C1D1，一组对应边DD1与AD相交，
∠BAD=∠BB1A1=90°，AB∥A1B1，另一组对应边AD，BB1异面．
∴两等角的一组对应边平行，则另一组对应边的位置关系为平行、相交或异面．故答案为：平行、相交或异面．
15．（5.00分）过A（﹣1，0），B（3，0）两点的所有圆中面积最小的圆的方程是（x﹣1）2+y2=4．
【解答】解：由题意可知面积最小的圆的圆心坐标为（1，0），即（0，0），
半径r=2，
则所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．
故答案为：（x﹣1）2+y2=4．
16．（5.00分）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m⊥β；②α⊥β；③m⊥n；④n⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为若①②④则③或若①③④则②．
【解答】解：若①m⊥β；②α⊥β；③m⊥n，
则n与α可能平行也可能相交，也可能n⊂α，即④n⊥α不一定成立；
若α⊥β；③m⊥n；④n⊥α成立，
则m与β可能平行也可能相交，也可能m⊂β，即①m⊥β不一定成立；
若①m⊥β；③m⊥n；④n⊥α成立，则②α⊥β成立
若①m⊥β；②α⊥β；④n⊥α成立，则③m⊥n 成立
故答案为：若①②④则③或若①③④则②．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10.00分）判断圆x2+y2﹣2x﹣3=0和x2+y2﹣4y+3=0的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣3=0和x2+y2﹣4y+3=0分别化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2=4，x2+（y﹣2）2=1，
故圆心坐标分别为（1，0）和（0，2），半径分别为R=2和r=1，
∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1
∴R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
18．（12.00分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点．求证：四边形EFDB是梯形．
【解答】证明：∵E、F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴在△C1B1D1中，C1E=EB1，C1F=FD1，
∴EF∥B1D1，且EF=B1D1，
B D1D，
又∵B
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴四边形EFDB是梯形．
19．（12.00分）已知直线l垂直于直线3x﹣4y+10=0，直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为5，求直线l的方程．
【解答】解：设直线l的方程为：4x+3y+b=0．与x，y轴分别相交于点A，B．
∴|AB|=|b|，
∴|OA|+|OB|+|AB|=5，可得++|b|=5，解得b=±5．
∴直线l的方程为：4x+3y±5=0．
20．（12.00分）已知圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=π
故r2=
解得r=，所以直径为：．
21．（12.00分）已知：如图所示，直线AB：与圆O：x2+y2=4相交于点A，B，求证：△AOB是等边三角形．
【解答】证明：由题意，圆心到直线的距离d==，
∴cos=，
∴=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形．
22．（12.00分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，G为AD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD．底面ABCD是边长为a的菱形，且∠D A B=60°，侧面PAD为正三角形．求证：AD⊥平面PGB．
【解答】证明：连结PG，∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，得BG⊥AD．
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD．
又∵PG∩BG=G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，
∴AD⊥平面PGB．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
B
A
P
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

A
3.在Rt △POQ 中，OP =OQ =4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
M
P
O
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标.。