2018届江苏省南京师范大学附属中学高三5月模拟考试数学试题(word版)

江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合}3,2,1,0{=A ，}02|{2<--=x x x B ，则=B A ． 2．若复数i z -=1，则zz 1+的虚部是 ． 3．某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．4．变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +-=2的最大值是 ．5．小明随机播放E D C B A ,,,,五首歌曲中的两首，则B A ,两首歌曲至少有一首被播放的概率是 ． 6．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．7．如图，直三棱柱111C B A ABC -的各条棱长均为2，D 为棱11C B 上任意一点，则三棱锥BC A D 1-的体积是 ．8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 2=，它的一个焦点与抛物线x y 202=的焦点相同，则双曲线的方程是 ．9．若直线b x y +=2是曲线2-=x e y 的切线，则实数=b ． 10．“1=a ”是“函数2sin 1)(a x xx x f -++=为奇函数”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）11．在数列}{n a 中，5,1124==a a ，且任意连续三项的和都是15，则=2018a ．12．已知直线0=+-b y x 与圆922=+y x 交于不同的两点B A ,，若O 是坐标原点，且||22||AB OB OA ≥+，则实数b 的取值范围是 ． 13．在△ABC 中，CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32，则C cos 的最小值是 ．14．已知函数13)(23+-=x x x f ,⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+-=0,860,45)(22x x x x x x x g ,若方程)0(0)]([>=-a a x f g 有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知C B A ,,是△ABC 的三个内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n =，且1=⋅n m . （1）求A 的值； （2）若3sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan 的值. 16．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点C P ,），平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证：EF AB //；（2）若EF AF ⊥，求证：平面⊥PAD 平面ABCD.17．如图，C B A ,,三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向36千米处.（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时045=∠CBP ，求PB 的距离；（2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？18．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，若椭圆C 经过点)3,0(，离心率为21，直线l 过点2F 与椭圆C 交于B A ,两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为21AF F ∆的内心（三角形三条内角平分线的交点），求21NF F ∆与21AF F ∆面积的比值； （3）设点B F A 2,在直线4=x 上的射影依次为点E G D ,,，连结BD AE ,，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由.19．已知函数R a a ax x x f ∈+-=,ln )(． （1）若1=a ，求函数)(x f 的极值； （2）若函数)(x f 有两个零点，求a 的范围；（3）对于曲线)(x f y =上的两个不同的点))(,()),(,(2211x f x Q x f x P ，记直线PQ 的斜率为k ，若)(x f y =的导函数为)('x f ，证明：k x x f <+)2('21． 20．已知等差数列{}n a 和等比数列}{n b 均不是常数列，若111==b a ，且4214,2,a a a 成等比数列，432,2,4b b b 成等差数列．（1）求}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设n m ,是正整数，若存在正整数)(,,k j i k j i <<，使得k n i n m j m b a b a a b a ,,成等差数列，求n m +的最小值； （3）令nn n b a c =，记}{n c 的前n 项和为n T ，}1{n a 的前n 项和为n A ，若数列}{n p 满足11c p =，且对2≥∀n ，*N n ∈，都有n n n n c A nT p +=-1，设}{n p 的前n 项和为n S ，求证：n S n ln 44+<.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 在ABC ∆中，已知AB AC 21=，CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆外接圆交BC 边于点N ，求证：AM BN 2=.B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x M 221的一个特征值为3，求M 的另一个特征值． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：θρcos 22=和直线l ：)(4R ∈=ρπθ相交于B A ,两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲 已知1,0,0=+>>b a b a ，求证49124121≥+++b a ． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，设621,,,P P P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S . （1）求23=S 的概率； （2）求S 的分布列及数学期望)(S E .23．设集合B A ,是非空集合M 的两个不同子集.（1）若},{21a a M =，且A 是B 的子集，求所有有序集合对),(B A 的个数；（2）若},,,,{321n a a a a M =，且A 的元素个数比B 的元素个数少，求所有有序集合对),(B A 的个数.参考答案一、填空题：1．}1,0{ 2．21-3．10 4．5 5．1076． 4 7．332 8．120522=-y x 9．2ln 2- 10．充分不必要 11．9 12．)23,6[]6,23( -- 13．3214．)45,1(二、解答题15．解：（1）因为1=⋅n m ，所以1)sin ,(cos )3,1(=⋅-A A ， 即1cos sin 3=-A A ，则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即21)6sin(=-πA ，又π<<A 0，所以6566πππ<-<-A ， 故66ππ=-A ，所以3π=A .（2）由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得0cos 2cos sin sin 22=--B B B B 易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ， 所以2tan =B 或1tan -=B ，而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去， 所以2tan =B ，故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=π11358tan tan 1tan tan +=-+-=B A B A . 16.证明：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AB //，又⊄AB 平面PDC ，⊂CD 平面PDC ， 所以//AB 平面PDC ，又因为⊂AB 平面ABE ，平面 ABE 平面EF PDC =， 所以EF AB //.（2）因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD AB ⊥ 因为EF AF ⊥，（1）中已证EF AB //，所以AF AB ⊥，又AD AB ⊥，由点E 在棱PC 上（异于点C ）， 所以F 点异于点D ，所以A AD AF = ，⊂AD AF ,平面PAD ， 所以⊥AB 平面PAD ， 又⊂AB 平面ABCD ，所以平面⊥PAD 平面ABCD .17．解（1）在ABC ∆中，060,6=∠=A AB ，075=∠APB 由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，取)26(334)26(31226312462236-=-=+=+⨯=BP ，故PB 的距离是629-千米.（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时. 设甲、乙之间的距离为)(t f ，要保持通话则需要9)(≤t f 1）当10≤≤t 时，02260cos )312(62)312()6()(t t t t t f -⨯⨯--+=91616732≤+-=t t ，即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t 又]1,0[∈t ，所以7158-1≤≤t ， 时长为7115-小时. 2）当41≤<t 时，0260cos )312(62)312(36)(t t t f -⨯⨯--+=912632≤+-=t t ，即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t所以41≤<t ，时长为3小时7201571153+=-+（小时）. 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是72015+小时. 18. 解（1）由题意，3=b ，又因为21=a c ，所以23=a b ，解得2=a ， 所以椭圆C 的方程13422=+y x . （2）因为点N 为21AF F ∆的内心，所以点N 为21AF F ∆的内切圆的圆心，设该圆的半径为r则31)(21212121212121212121=+=++=⨯++⨯⨯⨯=∆∆c a c F F AF AF F F r F F AF AF r F F S S AF F NF F（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于G F 2的中点)0,25(，下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点)0,25(T 设直线l 的方程为)1(-=x k y ，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 化简得01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为直线l 经过椭圆C 内的点)0,1(，所以0>∆，设),(),,(2211y x B y x A ，则2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+ 由题意，),4(),,4(21y E y D ， 直线AE 的方程为)4(41122---=-x x y y y y ，令 25=x ，此时)4(2)(3)4(2)425(4112211122--+-=---+=x y y y x x y y y y )4(2)(3)1()4(211221--+--=x x x k x k x)4(2)(52811221-+-+=x x x k x kx k)4(24385431242812222-+⋅-+-+=x k k k k k k k )43)(4(285)124(2)43(821222k x k k k k k k +-⋅--++⋅=0)43)(4(24040)43)(4(2402483224213321333=+--=+---++=k x k k k x k k k k k ， 所以点)0,25(T 在直线AE 上，同理可证，点)0,25(T 在直线BD 上， 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T )0,25(.19. 解：（1）0,11)('>-=-=x xax a x x f , 当0≤a 时，0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值；当0>a 时，0)('),1,0(>∈x f a x ，)(x f 在)1,0(a上单调递增；0)('),,1(<+∞∈x f a x ，)(x f 在),1(+∞a上单调递减；函数有极大值1ln )1(--=a a af ，无极小值.（2）由（1）可知当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，不可能有两个零点；当0>a 时，函数有极大值1ln )1(--=a a af ， 令1ln )(--=x x xg （0>x ），xx x x g 111)('-=-=， )1,0(∈x ，0)('<x g ，0)(<x g 在)1,0(上单调递减；),1(+∞∈x ，0)('>x g ，0)(<x g 在),1(+∞上单调递增；函数)(x g 有最小值0)1(=g要使函数)(x f 有两个零点，必须满足0>a 且1≠a ， 下面证明：0>a 且1≠a 时，函数有两个零点. 因为0)1(=f ，所以下面证明)(x f 还有另一个零点.①当10<<a 时，01ln )1(>--=a a af ，aa a a a a a a a a a a f 1ln 21ln 21ln 2)1(222+--=-+-=-+-= 令)10(1ln 2)(2<<+-=a a a a a h ，0)1(ln 22)1(ln 2)('<+-=-+=a a a a a h ，)(a h 在)1,0(上单调递减，0)1()(=>h a h ，则0)1(2<a f ， 所以)(x f 在)1,1(2a a 上有零点，又)(x f 在),1(+∞a上单调递减， 所以)(x f 在)1,1(2a a 上有唯一零点，从而)(x f 有两个零点 ②当1>a 时，01ln )1(>--=a a af ，011)1(<⨯-=+⨯--=a a a ea a e a a e f ， 易证a e a>，可得ae a 11<， 所以)(x f 在在)1,1(a e a上有零点，又)(x f 在),1(+∞a上单调递减， 所以)(x f 在)1,1(ae a上有唯一零点，从而)(x f 有两个零点 综上，a 的取值范围是),1()1,0(+∞ .（3）证明：)(ln ln )()(212121x x a x x x f x f -+-=-，a x x x x x x x x a x x x x x f x f k ---=--+-=--=21212112212121ln ln )(ln ln )()(，又x ax a x x f -=-=11)('，a x x x x f -+=+21212)2('， ]ln )(2[1ln ln 2)2('2121212*********x x x x x x x x x x x x x x k x x f -+--=---+=-+ ]ln 1)1(2[121212121x x x x x x x x -+--= 不妨设120x x <<，21x x t =，则1>t ， 则t t t x x x x x x ln 1)1(2ln 1)1(2212121-+-=-+- 令)1(ln 1)1(2)(>-+-=t t t t t h ， 则0)1()1()('22<+--=tt t t h ， 因此)(t h 在),1(+∞上单调递减，所以0)1()(=<h t h 又120x x <<，所以021>-x x ，所以0)2('21<-+k x x f ，即k xx f <+)2('21. 20. 解：（1）设等差数列的公差为d （0≠d ），等比数列的公比为)1(≠q q ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⇒⎩⎨⎧+==311211121423412244)3()(4444qb q b q b d a a d a b b b a a a 解得2,1==q d ， 所以12,-==n n n b n a .（2）由k n i n m j m b a b a a b a ,,成等差数列， 有k n j m i n m b a b a b a a +=2，即1112222---⋅+⋅=⋅k j i n m mn由于k j i <<，且为正整数，所以2,1≥-≥-i k i j ，所以n m n m mn i k ij 42222+≥⋅+⋅=--，可得n m mn 2+≥，即112≤+n m ，①当21≤≤m 时，不等式112≤+nm 不成立；②当4≥n 时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ；所以n m +的最小值为6，当且仅当2,1=-=-i k i j 且⎩⎨⎧==24n m 或⎩⎨⎧==33n m 时取得.（3）由题意得212)211(2c c p ++=3213)31211(3c c c p ++++=…nn nn T n c c c c n p p p p S )131211())(131211(232131++++=++++++++=++++= =n T n c c c c ++++ 321（1）=n T 21n c c c c 212121321++++ （2）（1）-（2）得=n T 21n n n22181412111-+++++-n n n )21()21(22--=，求得4)21)(2(41<+-=-n n n T ， 所以<n S )131211(4n++++第页 11 设)1(11ln )(>-+=x x x x f ，则0111)('22>-=-=xx x x x f ， 所以)(x f 在),1(+∞上单调递增，有0)1()(=>f x f ， 可得xx 11ln -> 当2≥k ，且*N k ∈时，11>-k k ， 有kk k k k 1111ln =-->-， 所以,1ln 1,,23ln 31,12ln 21-<<<n n n 可得n n n n ln 11ln 23ln 12ln 1131211+=-++++<++++ ， 所以<n S )ln 1(4)131211(4n n +<++++ . 附加题参考答案21.A 解：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线， 所以BMAM BC AC = 又AB AC 21=，所以BMAM BC AB 2=① 因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，所以BC BN BA BM ⋅=⋅，即BMBN BC AB =② 由①②可知，BMBN BM AM =2， 所以AM BN 2=. 21.B 解：矩阵M 的特征多项式为4))(1(221)(---=----=x xf λλλλλ 因为31=λ是方程0)(=λf 的一个根，所以04)3)(13(=---x ，解得1=x ，由04)1)(1(=---λλ，得1-=λ或3，所以1-=λ.21.C 解：圆C ：θρcos 22=直角坐标方程为02222=-+x y x ，即2)2(22=+-y x 直线l ：)(4R ∈=ρπθ的直角坐标方程为x y =圆心C 到直线l 的距离12|02|=-=d所以2=AB . 21.D 证明：因为1,0,0=+>>b a b a ， 所以12)12(4121241)]12()12)[(124121(+++++++=++++++b a a b b a b a第页 12 912)12(4121225=++⨯+++≥b a a b 而4)12()12(=+++b a ，所以49124121≥+++b a . 22. 解（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C 种不同选法， 其中23=S 的有一个角是030的直角三角形（如541P P P ∆，共1226=⨯种， 所以5312)23(36===C S P （2）S 的所有可能取值为433,23,43 43=S 的为顶角是0120的等腰三角形（如321P P P ∆），共6种， 所以1036)43(36===C S P 433=S 的为等边三角形（如531P P P ∆），共2种， 所以1012)433(36===C S P 又由（1）知53)23(==S P ，故S 的分布列为所以2039101433532310343)(=⨯+⨯+⨯=S E . 23. 解（1）若集合B 含有2个元素，即},{21a a B =， 则∅=A ，}{1a ，}{2a ，则),(B A 的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有12C 种，不妨设}{1a B =，则∅=A ，此时),(B A 的个数为2112=⨯C综上，),(B A 的个数为5.（2）集合M 有n2子集，又集合B A ,是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对),(B A 的个数为)12(2-n n若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对),(B A 的个数为 )1()1()1()1(221100-++-+-+-n n n n n n n n n n C C C C C C C C=)()()()()(2102222120n n n n n n n n n n C C C C C C C C ++++-++++ 又n n x x )1()1(++的展开式中n x 的系数为2222120)()()()(n n n n n C C C C ++++ ，第页 13 且n n n x x x 2)1()1()1(+=++的展开式中nx 的系数为n n C 2所以=++++2222120)()()()(n n n n n C C C C n n C 2因为n n n n n n C C C C 2210=++++ ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时， 有序集合对),(B A 的个数为n n n C 22-所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对),(B A 的个数为 222)2()12(2222nnn n n n n n C C -=---.。