数学建模姜启源第四版课件
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第四章 数学规划模型 数学建模(姜启源第四版)ppt课件
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
基本模型
变量
目标 函数 约束 条件
x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2 利润
Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶 模型 牛奶 或
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
可 加 性
连续性
模型求解
x1 x2 50
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40
数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex
姜启源编《数学建模》第四版 第十二章：马氏链模型
3 i
需求不超过存量,需求被售
需求超过存量,存量被售
[ j P ( D j S i ) iP ( D i S i ) ] P ( S i ) n n n n n
i 1 j 1
0 . 632 0 . 285 0 . 896 0 . 263 0 . 977 0 . 452 0.857
状态与状态转移
1 , 第 n 年健康 状态概率 a ( n ) P ( X i ), i n 状态 X n 2 , 第 n 年疾病 i 1 , 2 ,n 0 , 1 ,
转移概率 p P ( X j X i ), i , j 1 , 2 , n 0 , 1 , ij n 1 n
a (n) 1
i 1 i
k j 1
k
转移概率 p P ( X j X i ), p 0 , p 1 ,i 1 , 2 , , k ij n 1 n ij ij
基本方程
a ( n 1 ) a ( n ) p ,i 1 , 2 , , k i j ji
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态 (如例1) .
N 正则链 N , P 0
正则链 w , a ( n ) w ( n )w ~ 稳态概率
w 满足 wP w
0 .8 0 .2 例 1 . P 0 . 7 0 . 3
背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金.
一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购. • 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少?
需求不超过存量,需求被售
需求超过存量,存量被售
[ j P ( D j S i ) iP ( D i S i ) ] P ( S i ) n n n n n
i 1 j 1
0 . 632 0 . 285 0 . 896 0 . 263 0 . 977 0 . 452 0.857
状态与状态转移
1 , 第 n 年健康 状态概率 a ( n ) P ( X i ), i n 状态 X n 2 , 第 n 年疾病 i 1 , 2 ,n 0 , 1 ,
转移概率 p P ( X j X i ), i , j 1 , 2 , n 0 , 1 , ij n 1 n
a (n) 1
i 1 i
k j 1
k
转移概率 p P ( X j X i ), p 0 , p 1 ,i 1 , 2 , , k ij n 1 n ij ij
基本方程
a ( n 1 ) a ( n ) p ,i 1 , 2 , , k i j ji
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态 (如例1) .
N 正则链 N , P 0
正则链 w , a ( n ) w ( n )w ~ 稳态概率
w 满足 wP w
0 .8 0 .2 例 1 . P 0 . 7 0 . 3
背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金.
一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购. • 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少?
数学模型第四版姜启源
盟军(加)
盟军(英)
盟军(美一) 强化
盟军 缺口 (预备队)
原地 待命
德军 撤退 进攻
东进 盟 军 (美三 )
双方应该如何决策 ？
模型假设
? 博弈参与者为两方（盟军和德军）
? 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有 2种行动：向西进攻或向东撤退 .
? 博弈双方完全理性 ，目的都是使战斗中己方获得
(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE) 最优值均为 2/5
模型评述
?? 0 M ??1
0 ?? 0?
?占优(dominate) ：盟军的行动 2占优于1
??? 1 1?? （前面的非常数和博弈 M' 类似）
?混合策略似乎不太可行 ! 但概率可作为参考. ----现实：盟军让预备队原地待命（行动 2），而德军
O
x
vb=vs 1 vs
单一价格战略效率为
1x
? ? ? ? x 0 (vb ? vs )dvsdvb ? 3x(1 ? x) ? 3 / 4
? ?1 0
vb 0
(vb
?
vs )dvs dvb
x＝0.5
效率最大 (3/4)
线性价格战略
卖方报价 ps(vs) ＝ as+csvs; 买方报价 pb(vb) ＝ab+cbvb．
多个决策主体
博弈模型 合作博弈
决策主体的决策 行为发生直接相 互作用 (相互影响 )
博弈模型 (Game Theory)
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
11.1 进攻与撤退的抉择
背 ? 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功 . 景 ? 到8月初的形势：
盟军(英)
盟军(美一) 强化
盟军 缺口 (预备队)
原地 待命
德军 撤退 进攻
东进 盟 军 (美三 )
双方应该如何决策 ？
模型假设
? 博弈参与者为两方（盟军和德军）
? 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有 2种行动：向西进攻或向东撤退 .
? 博弈双方完全理性 ，目的都是使战斗中己方获得
(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE) 最优值均为 2/5
模型评述
?? 0 M ??1
0 ?? 0?
?占优(dominate) ：盟军的行动 2占优于1
??? 1 1?? （前面的非常数和博弈 M' 类似）
?混合策略似乎不太可行 ! 但概率可作为参考. ----现实：盟军让预备队原地待命（行动 2），而德军
O
x
vb=vs 1 vs
单一价格战略效率为
1x
? ? ? ? x 0 (vb ? vs )dvsdvb ? 3x(1 ? x) ? 3 / 4
? ?1 0
vb 0
(vb
?
vs )dvs dvb
x＝0.5
效率最大 (3/4)
线性价格战略
卖方报价 ps(vs) ＝ as+csvs; 买方报价 pb(vb) ＝ab+cbvb．
多个决策主体
博弈模型 合作博弈
决策主体的决策 行为发生直接相 互作用 (相互影响 )
博弈模型 (Game Theory)
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
11.1 进攻与撤退的抉择
背 ? 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功 . 景 ? 到8月初的形势：
姜启源编《数学模型》第四版第三章简单的优化模型
C C 0, 0 T Q
为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T´, Q记作Q´.
T
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 T ' 2c1 c2 c3 rc2 c3 缺货 2c1r c3 模型
Q'
不允许 缺货 模型
T
要 求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用2550元
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
60 S (t , r ) 3 40 r 60
2
2.5
r
3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
4r 40g 2 t 估计r=2， g=0.1 rg
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 3 20g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
r B
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
姜启源编《数学模型》第四版第三章简单的优化模型
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元.
敏感性分析
t 4r40g2 rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响.
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T'
Q'
2c 1
c2
c3
rc c
2
3
2c1r c3
c c c
22
3
不允许 缺货 模型
T 2c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
t 4r40g2 rg
估计r=2，
g=0.1
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响.
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dt g 20 Δg/g dg t
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
敏感性分析
t 4r40g2 rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响.
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T'
Q'
2c 1
c2
c3
rc c
2
3
2c1r c3
c c c
22
3
不允许 缺货 模型
T 2c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
t 4r40g2 rg
估计r=2，
g=0.1
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响.
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dt g 20 Δg/g dg t
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
数学建模姜启源第四版第九章--概率模型
dG
n
(ab)n(p n) (bc)p(r)dr
dn
0
(ab)n(p n)n(ab)p(r)dr
n
(b c)0p (r)d r (a b )np (r)drdG 0 dn Nhomakorabean
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
9.6 航空公司的预订票策略 问题 预订票业务～航空公司为争取客源开展优质服务
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
• 预先订票的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一 班机或退票，无需附加任何费用.
• 若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订 了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低.
• 如果不限制预订票数量，若持票按时来的乘客超过飞 机容量，必然引起不能走乘客的抱怨, 给公司带来损失 .
• 公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票 数量的最佳限额 .
题, 如是否有考试作弊、赌博、偷税漏税等.
即使无记名调查也很难消除被调查者的顾虑, 极有 可能拒绝或故意做出错误的回答, 难以保证数据的 真实性, 使得调查结果存在很大的误差.
以对学生考试作弊现象的调查和估计为例, 建立 数学模型研究敏感问题的调查和估计方法.
问题及分析
设计合理的调查方案来提高应答率, 降低不真实回答 率, 尽量准确地估计有过作弊行为的学生所占的比例 .
数学模型姜启源课件第一章
数学模型姜启源课件第一章1. 引言数学模型是数学和实际问题之间的桥梁，通过建立合适的数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本课程旨在介绍数学模型的基本原理和方法，帮助学生学习如何应用数学模型来解决实际问题。
在本章中，我们将首先介绍数学模型的基本概念和分类。
然后，我们将讨论数学模型的建立过程和解决方法。
最后，我们将通过几个具体案例来说明数学模型在实际问题中的应用。
2. 数学模型的概念和分类2.1 数学模型的定义数学模型是利用数学语言和符号来描述和分析实际问题的工具。
它可以是一个公式、一个方程、一个图表或者更复杂的数学结构。
数学模型能够将实际问题的复杂性简化，并提供一种定量的方法来研究问题。
2.2 数学模型的分类数学模型可以根据其特征和用途进行分类。
常见的数学模型分类包括：•线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为线性关系。
•非线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为非线性关系。
•离散模型：模型中的变量和参数取有限个或可数个值。
•连续模型：模型中的变量和参数可以取任意实数值。
•动态模型：模型中的变量和参数随时间变化。
•静态模型：模型中的变量和参数不随时间变化。
3. 数学模型的建立过程3.1 问题的描述数学模型的建立首先需要明确问题的目标和约束条件。
问题描述应该清晰明确，包含必要的数据和信息。
3.2 变量的选择通过分析问题，确定和描述影响问题的因素。
这些因素可以成为模型中的变量，用来表示问题的不同方面和特征。
3.3 建立数学关系根据变量的选择，建立模型中各变量之间的数学关系。
这些关系可以通过物理定律、统计分析或者经验公式来确定。
3.4 模型的求解利用数学工具和方法，对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解过程中需要考虑求解方法的合理性和稳定性。
4. 数学模型的求解方法4.1 解析解法解析解法是指通过数学推导和计算，得到数学模型的解析表达式。
这种方法可以提供问题的准确解，但通常只适用于简单的数学模型。
数学建模课件(姜启源)第一章 建立数学模型
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
1.4
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 2 1 0 1 2 3 x
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解