概率统计第七章1-2

P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故 拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域 称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断： 当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量 由样本对原假设进行判断总是通过一 个统计量完成的，该统计量称为检验统计 量。 找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量 所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实 际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的 统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定 域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。 拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.
当 x 108.684 或 u 1.645时，则接收 H 0
在例7.1.1中，由于 x 108 108.684 因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。
由例7.1.1可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
第一类错误 第二类错误
定义7.1.2
对检验问题
H 0 : 0 对
H1 : 1
如果一个检验满足对任意的 0 ， 都有 g ( ) , 则称该检验是显著性水平为 的显著性检 验，简称水平为 的检验。
求势函数 例： 见P334 NO. 2
§7.2 正态总体参数假设检验
参数假设检验常见的有三种基本形式 (1) H 0 : 0 vs H1 : 0 (2) H 0 : 0 vs H1 : 0 (3) H 0 : 0 vs H1 : 0
P( U >u1-α)≤α
φ(x)
α
u1-α 接受域 否定域 X
单侧（右侧）统计检验
③ H0:μ≥μ0(已知); H1:μ<μ0 （左侧检验）
1) 提出原假设和备择假设:
2) 选择统计量:
H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
u
X 0
/ n
3) 对给定α, 否定域为U<- u1-α,
P( U <-u1-α)≤α
P(|U|>u1－α/2)=α
φ(x)
α/2
- u1－α/2
拒绝域
接受域
α/2
u1－α/2 拒绝域 X
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,16)，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金， 测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
~ N (0,1)
φ(x)
α/2
- uα/2
β
uα/2 0
α/2
X
/ n
0 U ~ N( ,1) / n / n
'
X 0
注意: 增大样本容量n时,可以使α 和β 同时减小.
当样本容量 n一定时, 小, 就大,反之,小, 就大.
在进行假设检验时,我们采取的原则是:
拒真错误 受伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 接受 H0 真实情况
H0 为真 H0 为假
正确 第二类错误
(受伪)
拒绝 H0
第一类错误
(拒真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为，拒真概率 犯第二类错误的概率通常记为，受伪概率
原假设真： μ=μ0 备择假设真： μ≠μ0(μ>μ0)
U
X 0
/ n

势函数是 的增函数（见图），只要 g (0 ) 就可保证在 0 时有 g ( )

7.2.1 (a) g ( ) 的图形
对左侧检验 H 0 : 0
vs H1 : 0 是类似
只是拒绝域变为: W {u u1 } 其势函数为 g
解
p 0.04 代入
P (1) C p (1 p) 0.306 0.01 12
1 12 1 11
这不是小概率事件,则该批产品可以出厂.
P (3) C p (1 p) 0.0097 0.01 12
3 12 3 9
这是 小概率事件 , 一般在一次试验中 是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认 p 0.04 为该批产品次品率 p>4%,该批产品不能出厂.
分析 直接算 1/ 12 0.083 0.04 抽查12件发现1件按理不能出厂.
求检验准则： ——抽取的12个产品中至少有几个次品则判 断不合格？ 思路： 假定p<=4%, 约定α=0.01（小概率）, 记12件样品中的次品数为X，检验准则为 一次试验中，“Xk”发生为小概率事件时， 则不能出厂。
需要根据实际问题的需要,对总体参数或分 布函数的表达式做出某种假设(称为统计假 设),再利用从总体中获得的样本信息来对所 作假设的真伪做出判断或进行检验. 这种利用样本检验统计假设真伪的 过程叫做统计检验(假设检验)
7.1.2 假设检验的基本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称 为原假设，用H 0 表示，通常将不应轻易加 以否定的假设作为原假设。 当 H 0被拒绝时而接收的假设称为备择 假设，用 H1表示，它们常常成对出现。 在引例1中，我们可建立如下两个假设：
x c c g ( ) P ( x c) P 4/5 4/5 4/5
这个势函数是 的减函数 g

v v

1
0
利用这个势函数容易写出犯两类错误的概率 分别为 c , ( ) 0 4/5 和
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f ( x ; p) p (1 p) , x 0,1 提出假设
x 1 x
H 0 : p 0.04;
要求利用样本观察值
H1 : p 0.04
( xi 3 or 1 )
i 1 12
( x1 , x2 , , x12 )
对提供的信息作出接受 H 0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
α
-u1-α 否定域
φ(x)
X 接受域
单侧（左侧）统计检验
对右侧检验 H 0 : 0
0
vs
H1 : 0
由 P u c 可推出具体的拒绝域为
W u u1
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布 写出，具体为
g 1

n 0 u1
控制犯第一类错误(即 事先给定且很小)的同时使犯 第二类错误的概率达到最小.
关于原假设与备择假设的选取
H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误的概 率 的原则下,使得采取拒绝H0 的决策变得 较慎重,即H0得到特别的保护.
因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原 假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一 类错误.
0 1
(7.1.3)
势函数 g ( ) 是定义在参数空间 上的一个函数。 犯两类错误的概率都是参数 的函数，并可由势 函数算得，即： ( ), 0 g ( ) 1 ( ), 1
对例7.1.1，其拒绝域为 W {x c} ，由(7.1.3)可 以算出该检验的势函数
统计检验的基本思想 (1)小概率原理:认为概率很小的事件在一次试验 中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验 中出现了,就被认为是不合理的. (2)基本思想: 先对总体的参数或分布函数的作 出某种假设,然后找出一个在假设下发生可能性 甚小的小概率事件.
如果试验或抽样的结果使该小概率事件发生了, 这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题, 应拒绝这个假设. 若该小概率事件在一次试验或 抽样中并未出现, 表明试验或抽样结果支持这个 假设, 则接受原来的假设.
当备择假设 H1在原假设 H 0 一侧时的检验称 为单侧检验； 当备择假设 H1 分散在原假设 H 0两侧时的检验 称为双侧检验。
7.2.1 单个正态总体均值的检验
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本，
一、已知 时 的检验
① H0:μ=μ0(已知); H1:μ≠μ0 (双侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ=μ0; H1:μ≠μ0, X 0 |H0成立 ~ N ( 0 ,1 ) 2) 确定检验统计量: u / n 3) 对给定α,由原假设成立时P(|u|> u1－α/2)=α得 拒绝条件为 |u|>u1－α/2
第七章 假设检验
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 假设检验的基本思想与概念 正态总体参数假设检验 其它分布参数的假设检验 分布拟合检验
§7.1
假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现1件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现3件次品, 问能否出厂？
c , ( ) 1 4/5
1 ,
思考： 1 吗？
同时可得如下结论：
当 减小时，c 也随之减小，必导 致的增大； 当 减小时，c 会增大，必导致 的 增大；
说明：在样本量一定的条件下不可能找到一 个使 和 都小的检验。 英国统计学家 Neyman 和 Pearson 提出水平 为 的显著性检验的概念。

n 0 u

对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W { u u1 2 } 其势函数为
g 1

n 0 u1 / 2

n 0 u1 / 2

7.2.1(b)(c)
提出假设： H0 : >=110 原假设的对立面: H1 : < 110
原假设 备择假设
若原假设正确, 则 X 不应该小于110太多, 故 X 比110小到一定程度是小概率事件. 因此,可以确定一个临界值c 使得
X 110 P c 4/5
取 0.05 ,则
犯第一类错误的概率 和犯第二类错误的 概率 可以用同一个函数表示，即所谓的 势函数。势函数是假设检验中最重要的概 念之一，定义如下： 定义7.1.1 设检验问题
vs H1 : 1 H 0 : 0
的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域 内的概率称为该检验的势函数，记为
g ( ) P ( x W ),
g ( ) 的图形
例7.2.1 从甲地发送一个讯号到乙地。设乙地接 受到的讯号值服从正态分布 N ( ,0.22 ), 其中 为甲地发送的真实讯号值。现甲地重复发送同 一讯号5次，乙地接收到的讯号值为 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25 设接受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否接受这猜测？