最新2018-2019年高三数学(理)高考复习试题 (5)
第05练 概率-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(解析版)
第05练概率1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D 2．（2018·江西省高一期末）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）A．0.6B．0.3C．0.1D．0.5【答案】D【解析】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙下成平局的概率为：0.90.40.5-=.故选：D．3．（2020·苏州大学附属中学高二月考）甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（）A．0.8B．0.65C．0.15D．0.5【答案】B【解析】根据题意，敌机没被击中的概率为0.70.50.35⨯=，所以敌机被击中的概率为10.350.65-=.故选：B4．（2020·江苏省高一期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）A．110B．19C．15D．12【答案】D【解析】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同， 则概率为12，故选:D ． 5．（2020·山东省菏泽一中高一月考）同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B ．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C ．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D ．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”【答案】C【解析】在A 中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A 中的两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B 中的两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立事件；在D 中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件.故选：C.6．（2020·全国高三其他（文））从5名男生，1名女生中随机抽取2名，则抽取的2名学生中恰好是一名男生，一名女生的概率是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23 【答案】C【解析】把5名男生分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，1名女生记为1B ，从中随机抽取两名共有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()15,A A ，()11,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()25,A A ，()21,A B ，()34,A A ，()35,A A ，()31,A B ，()45,A A ，()41,A B ，()51,A B ，共15种情况.抽取的两名学生中恰好是一名男生，一名女生的情况有()11,A B ，()21,A B，()31,A B ，()41,A B ，()51,A B 共有5种情况， 所以概率为51153=.故选:C.7．（2020·河南省高三其他（文））2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，甲工厂率先转业生产口罩.为了了解甲工厂生产口罩的质量，某调查人员随机抽取了甲工厂生产的6个口罩，将它们的质量（单位：g）统计如下图所示.记这6个口罩质量的平均数为m，则在其中任取2个口罩，质量都超过m的概率为（）A．115B．215C．15D．415【答案】C【解析】依题意，0.0030.0010.0030.0050.0080.01215.0015.0046m--++++=+=，可知6个口罩中有3个质量超过m，记为A，B，C，另外3个记为d，e，f.随机抽取2个，所有的情况有AB，AC，Ad，Ae，Af，BC，Bd，Be，Bf，Cd，Ce，Cf，de，df，ef，共15种，其中满足条件的有AB，AC，BC，共3种.由古典概型的概率得所求概率31155P==.故选：C.8．（2020·四川省成都实外高三其他）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B【解析】由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==.故选：B. 9．（2020·江苏省高一期末）已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】D【解析】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是2224151166C C -=-=.故选：D 10．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．13D ．23【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{}1,2,{}1,3,{}1,4,{}2,3,{}2,4,{}3,4,共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{}1,3,{}2,4,共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为2163=，故选：C. 11．（2020·北京高二期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）A ．142B ．121C ．221D ．17【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数2721n C ==，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，∴其和等于18的概率是221P =.故选：C. 12．（2020·全国高二）下列事件中，是随机事件的为_________（填所有正确的序号）①实数a ，b 都不为0，则220a b +=；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；③汽车排放尾气会污染环境；④明天早晨不会有雾．【答案】②④【解析】逐一考查所给的事件：①实数a ，b 都不为0，则220a b +=是不可能事件；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；④明天早晨不会有雾是随机事件．综上可得，随机事件包括：②④．故答案为：②④．13．（2020·全国高二）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A 为“正面朝上的点数为3”，事件B 为“正面朝上的点数为偶数”，则()P A B +=________. 【答案】23【解析】由题意可得1()6P A =，1()2P B =，事件A 与事件B 互斥， 则2()()()3P A B P A P B +=+=.故答案为:23. 14．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 【答案】112【解析】所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=，故答案为：112． 15．（2020·辽宁省高三其他（文））2019年9月10日是我国第35个教师节，某班班委决定在这天给每个任课老师赠送一份礼物，为公平起见，他们从4种不同的礼物中随机选取一种给老师（礼物可以重复，即不同的老师收到的礼物可能相同），则语文老师与英语老师收到的礼物不同的概率为_______. 【答案】34【解析】设四件礼物分别为a b c d ,,,， 所以语文老师与英语老师收到的礼物的方法有(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a c a d b a b b(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b c b d c a c b c c c d d a d b d c d d 共16种；语文老师与英语老师收到的礼物不同的方法有(,),(,),(,),(,),a b a c a d b a (,),(,),b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),c a c b c d d a d b d c 共12种. 由古典概型的概率公式得语文老师与英语老师收到的礼物不同的概率为123164P ==.故答案为：34. 16．（2020·河南省高三其他（理））汉语文化博大精深，成语更是其中不可缺少的一部分．在某个猜成语的节目中，一个小选手需要从A ，B ，C ，D 四个不同的字中选出两个字填入所给的缺少两个字的四字成语中，使其组成一个正确的成语，假设这个小选手没见过这个成语，随意选了两个字，则他选A 且没选B 的概率为______． 【答案】13【解析】基本事件总数246n C ==，选A 且没选B 包含的基本事件个数11122m C C ==，则他选A 且没选B 的概率为2163m P n ===．故答案为：13.1．（2020·河南省南阳中学高二月考（理））某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ）A ．34B ．58C ．38D ．916【答案】A【解析】当比赛中的一方连续三次取得胜利，则转播商获利低于80万元，转播商获利不低于80万元的概率是3131224⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭.本题选择A 选项. 2．（2020·江苏省高一期末）下列叙述正确的是（ ）A ．频率是稳定的，概率是随机的B ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0()1P A ≤≤【答案】D【解析】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A 错；互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B 错；5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是15，C 错； 由概率的定义，随机事件的概率在[0,1]上，D 正确．故选：D ．3．（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.4．（2020·全国高二）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.7P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A ．0.7B ．0.2C ．0.1D ．0.3 【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A ={抽到一等品}，()0.7P A =，∴抽到不是一等品的概率是10.70.3-=．故选D ．5．（2020·福建省厦门一中高三其他（理））《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．289359【答案】C【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.故选C 6．（2020·广东省高三二模（文））在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应.已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（ ）A ．13B ．23C ．310D ．710【答案】C【解析】因为从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种有2510C =种，相克的有3种，则相克的概率为310P =．故选：C ． 7．（2020·江苏省丰县中学高二期中）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.洛书上记载，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆为阳数，四隅黑点为阴数”，这就是有记载的最早的三阶幻方.按照这样的说法，将1到9这九个数字，填在如图2的九宫格中，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为（）A．16B．32C．8D．128【答案】C【解析】九宫格的中间填5，①③⑤⑦位置填偶数2,4,6,8，②④⑥⑧位置填奇数1,3,7,9，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，所以①⑤、③⑦位置填2,8或4,6；先从2,4,6,8中选出一个数填入①位置，则有4个结果；若①填2，则⑤填8，③填6，⑦填4，②填7，④填1，⑥填3，⑧填9；或⑤填8，③填4，⑦填6，②填9，④填3，⑥填1，⑧填7；⨯=.故选：C.共包含2个结果；因此，总的结果个数为4288．（2020·四川省高三其他（理））五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A ==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A ==，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为7231205m p n ===，故选：C 9．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三其他（理））《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲､乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬､扶､捡､顶中的两个动作，两人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）A ．35B ．712C ．14D ．512【答案】C【解析】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .全部基本事件为：(爬，扶)、(爬，捡)、(爬，顶)、(扶，爬)、(扶，捡)、(扶，顶)、(捡，爬)、(捡，扶)、(捡，顶)、(顶，爬)、(顶，扶)、(顶，捡)共12个.事件A 包含(爬，扶)、(爬，捡)、(扶，捡)共3个基本事件故事件A 的概率：()14P A =故选：C. 10．（2020·辽宁省高三其他（文））抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（ ）A ．19B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：41369p== .本题选择A选项.11．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C CC AA⋅⋅=种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p==；故选：B.12．（2020·重庆八中高三其他（理））某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（）A．712B．23C．56D．1112【答案】C【解析】4人到3个车站的方法总数为234336C A=，其中小李和小明在同一车站的方法数为336A=，因此小李和小明在同一车站的概率是61366P'==，小李和小明不在同一车站的概率为516P P'=-=．故选：C．13．（2020·重庆西南大学附中高二月考）已知函数f(x)=13x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．79B．13C．59D．23【答案】D【解析】将a记为横坐标，将b记为纵坐标，可知总共有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，f′(x)=x 2+2ax +b 2，满足题中条件为Δ=4a 2−4b 2>0，即a >b ，所以满足条件的基本事件有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6个基本事件，所以所求的概率为P =69=23，故选D ．14．（2020·江苏省高一期末）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ） A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【解析】由题意设一等品编号为a 、b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共6种； 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(),a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(),a d 、(),b d 、(),c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确； 对于C ，两件都是正品的基本情况有(),a b 、(),a c 、(),b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误； 对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确.故选：BD. 15．（2020·山东省临沂第一中学高二月考）下列说法正确的是（ ）A ．某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有64种；B ．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是1124，，则题被解出的概率是18；C ．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人；D ．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12. 【答案】CD【解析】对于A ，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有3种报名方法，同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3×3×3×3＝81种，故A 错； 对于B ，∵他们各自解出的概率分别是1124，，则此题不能解出的概率为（112-）•（114-）38=，则此题能解出的概率为13588-=，故B 错； 对于C ，高级教师应抽取50×20%＝10人，故C 正确对于D ，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n 44A ==24， 两位女士不相邻包含的基本事件个数m 2223A A =⋅=12，∴两位女生不相邻的概率P 121242m n ===，故D 正确．故选：CD ． 16．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B ,“向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,则下列关于事件A ，B ，C ，D 判断正确的有（ ） A ．A 与B 是互斥事件但不是对立事件 B ．A 与C 是互斥事件也是对立事件 C ．A 与D 是互斥事件D ．C 与D 不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD【解析】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B , “向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,在A 中,A 与B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A 正确； 在B 中, A 与C 是互斥事件也是对立事件,故B 正确； 在C 中,A 与D 能同时发生,不是互斥事件,故C 错误；在D 中,C 与D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D 正确.故选：ABD .17．（2020·大名中学高二月考）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A ,“向上的点数是 1,2,3”为事件B ,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C ,“向上的点数是 4,5,6”为事件D ,则下列关于事件 A ， B ，C ，D 判断正确的有（ ） A ．A 与D 是互斥事件但不是对立事件 B ．B 与D 是互斥事件也是对立事件 C ．C 与D 是互斥事件 D ．B 与C 不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A , “向上的点数是 1,2,3”为事件B , “向上的点数是 1,2,3,4”为事件C , “向上的点数是 4,5,6”为事件D .事件A 与D 不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥事件但不是对立事件，故选项A 正确； 事件B 与D 不可能同时发生，且必有一个发生， 故B 与D 是互斥事件，也是对立事件， 故选项B 正确；事件C 与D 可能同时发生，故不是互斥事件， 故选项C 错误；事件B 与C 能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件， 故选项D 正确.故选：ABD.18．（2019·江门市第二中学高二期中）设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________ 【答案】0.8【解析】因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6, 所以既不选择物理也不选择化学的概率为()()10.510.60.2--= 所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为10.20.8-= 故答案为: 0.819．（2020·陕西省高三三模（理））甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______． 【答案】0.5【解析】设甲、乙两人下成和棋P ，甲获胜的概率为()P A ，则乙不输的概率为()1P A -，甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，()0.8P A P ∴+=，()10.7P A -=， 1 1.5P ∴+=，解得0.5P =．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.520．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰.哈三中图书馆中正好有这十本书，现在小张同学从这十本书中任借三本阅读，那么他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字的概率为______. 【答案】512【解析】根据题意可知，这十本书中共有五本有一个“算”字，所以小张同学从这十本书中任借三本阅读共有310C 种情况，他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字共有1255C C 种情况，故概率为1255310512C C C =.故答案为：51221．（2020·江西省高三其他（理））辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______. 【答案】25【解析】由题意可知所求概率2264226662155C C P C C ===.故答案为：25．1．（2018•新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付 的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15＝0.4．故选：B ．2．（2020•新课标Ⅰ）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3 点共线的概率为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A【解析】O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有C 53=10种，其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种，故取到的3点共线的概率为P =210=15，故选：A ．3．（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订 单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已 知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人 每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至 少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名【答案】B【解析】第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算， 第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算， 因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为1600+500−120050=18名，故选：B ．4．（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A 33A 22＝12种排法， 再所有的4个人全排列有：A 44＝24种排法， 利用古典概型求概率原理得：p =1224=12，方法二：假设两位男同学为A 、B ，两位女同学为C 、D ，所有的排列情况有24种，如下：。
高中数学第二章数列训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5的全部内容。
数列（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列{}na中，12=a，1=221n na a＋＋,则101a的值为( ）A．49 B．50 C．51D．522．已知等差数列{}na中,7916a a+=，41a=，则12a的值是（ ) A．15 B．30 C．31D．643．等比数列{}na中，29a=，5243a=，则{}n a的前4项和为( ）A．81 B．120 C．168D．1924．等差数列{}na中，12324a a a++=-，18192078a a a++=，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200D．2205．数列{}na中,37 ()na n n+=∈N－，数列{}n b满足113b=,1(72)2n nb b n n+≥=∈N－且,若logn k na b+为常数，则满足条件的k值（）A．唯一存在,且为132 / 1323 / 133B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ） A ．8 B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列,其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于( ) A ．3:4 B ．2:3 C．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ,9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ） A ．21 B ．20 C．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X =--C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13,22，31，14,23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）1311的等比中项是________．4 / 13414．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月,举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >，9910010a a ->,99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<;②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．（填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-,60a =．（1)求{}n a 的通项公式；(2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．5 / 13518．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列,且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；6 / 136(2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分)在数列{}n a 中，11a =,122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．7 / 13721．(12分）已知数列{}n a 的前n项和为n S ,且11a =,11,2,1(,)23n n a S n +==． (1）求数列{}n a 的通项公式； (2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．8 / 13822．（12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ,它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++,并且2a ，4a ,9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋,∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ． 2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==,44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B 【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭, ∵log n k n a b +是常数,∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ．6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=,∴2464a =, ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-,即24442a a q a q =-,而40a ≠，∴220q q --=,1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ．8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅,所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时,n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =,2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列,∴n S ,2n n S S －，32n n S S －为等比数列, 即X ,Y X -,Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个,…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭,123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个,其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±． 14．【答案】4- 【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ,3a ,…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =,公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中,29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误．④中,()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2)()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =， ∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-,2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-,18b =-,∴824q -=-，3q =．∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-,或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】(1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =,39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+,则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2)证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----．20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122n n n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =,12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得:()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩;（2)见解析． 【解析】（1)解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=．∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；(2)22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，① ∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++， 解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．② ①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数,∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时,23=(3=11)n a n n +--,此时2249=a a a 不成立,舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2)212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=-- 242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-．。
江西省临川第一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2018—2019学年度上学期临川一中期末考试高三理科数学试卷卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟 命题人：朱建洲 审题人：许卫民、张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合=⋃N M （ ） A.{}1,0,1-B. {}2,0,2-C. {}0D.{}2,1,0,1,2--2.已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5~10年的员工400人，工作0~5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5~10年的员工代表有（ ） A ．8人B ．16人C ．4人D ．24人3.在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD u u u r 绕点C 按逆时针方向旋转90o得向量CM u u u u r ，则向量CM u u u u r在向量CA u u u r 方向上的投影为（ ）A.1-B.1C.12-D.124.已知复数(2i)i 5i(,)m n m n -=+∈R ，则复数i1im n z +=-的共轭复数z 虚部为（ ） A ．32B ．32-C ．72D ．72- 5.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C. 3 D ．4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 2π B. 3π C. 5π D. 7π 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为（ ）A. 621-B. 62C. 631- D. 63 8.若20π<<x ，则1tan <x x 是1sin <x x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.如图，在由0x =， 0y =， 2x π=，及cos y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =，sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A. 212-B. 212- C. 322- D. 21- 10．在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==， 2SA SC AC === ,二面角S AC B--的余弦值是 33，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A. 32π B. 2π C. 6π D. 6π11.已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ）A.1(,2]eB.1(,]e eC.(,2]e eD.1(2,]e e + 12.已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点到准线的距离为2，直线1+=kx y 与抛物线C交于N M 、两点，若存在点()1,0-x Q 使得QMN ∆为等边三角形，则=MN （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知菱形ABCD 中，2=CD ，060=∠ABC ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有________________个.（3取1.8） 14.设⎰-=22cos ππxdx a ，则421⎪⎭⎫⎝⎛++x a x 的展开式中常数项为_________.15.已知数列{}n a 的首项21=a ，方程23cos sin 12019-=-⋅+⋅+n n a x a x x 有唯一实根，则数列{}n a 的前n 项和为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，若存在点P 使得→→→=+PO PB PA 23，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知ABC △中，2BC =，45B =︒，(01)AD AB λλ=<<u u u r u u u r.（I ）若1=∆BCD S ，求CD 的长；（II ）若30A =︒，31=λ，求sin sin ACDDCB ∠∠的值．18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，3AB =30ABC ∠=︒.（I ）求证：AC BE ⊥；（II ）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于,A B 两点.（I ）求椭圆的标准方程；（II ）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由.20.（本小题满分12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：表（1） 表（2）（I ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（II ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .n a b c d =+++.21.（本小题满分12分）已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=. （I ）求)(x f 的单调区间； （II ）若0=a ，令223)1()(++++=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.选做题（本小题满分10分）：（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分） 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.（Ⅰ）当45α=o 时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程.23.已知函数错误!未找到引用源。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)
[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。
2019届高考数学二轮复习 专题五 立 体 几 何 (讲义训练)：第3讲 立体几何中的计算 课时训练(含答案)
第3讲 立体几何中的计算 课时训练1. 已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．答案：5解析：由正四棱锥底面边长为42，则底面正方形对角线的一半长为4，再由体积公式得四棱锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5.2. (2017·镇江期末)若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．答案：6π解析：因为圆锥的母线长为l ＝22＋（5）2＝3，所以其侧面积为π×2×3＝6π.3. (2017·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶2解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.4. (2018·启东调研)高为63的正四面体的表面积为________．答案：3解析：由正四面体的高为63，得正四面体的棱长为1，表面积为4×34＝3.5. (2017·南通一调)如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：VD 1A 1BD ＝VBA 1DD 1＝13×3×12×3×1＝32(cm 3)．6. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________．答案：5解析：三个圆锥的底面周长分别为53π，103π，5π，则它们的半径r 1，r 2，r 3依次为56，53，52，则r 1＋r 2＋r 3＝5. 7. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案：96π解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6 cm ，此圆锥的高为8 cm ，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π(cm 3)．8. (2018·南通中学练习)如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥M AB 1C 的体积是________．答案：233解析：在正三棱柱中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VMAB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AC ×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.9. (2018·常熟期中)已知正三棱锥的体积为9 3 cm 3，高为3 cm ，则它的侧面积为________cm 2.答案：183解析：设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则V ＝13×34a 2×3＝93，a ＝6(cm),底面等边三角形的高为32×6＝33(cm)，底面中心到一边的距离为13×33＝3(cm)，侧面的斜高为32＋（3）2＝23(cm), S 侧＝3×12×6×23＝183(cm 2)．10. (2018·南通一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案：210解析：由题意，六角螺帽毛坯体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，即V 正六棱柱－V圆柱＝(S 正六边形－S 圆)h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6×34×42－93×4＝603(cm 3)，因为正三棱柱的体积与六角螺帽毛坯的体积相等，设正三棱柱的底面边长为a ，所以34a 2·6＝603，解得a ＝210(cm)．11. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积． 解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r . 因为S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2， 所以r ＝S6π， 所以内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r ，所以V ＝S 底·h ＝(2r )2·2r ＝4r 3＝S 6πS9π2.12. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .(1) 求证：平面ACFE ⊥平面ABCD ；(2) 若∠EAG ＝60°，求三棱锥F BDE 的体积．(1) 证明：连结EG . ∵ 四边形ABCD 为菱形， ∴ AD ＝AB ，BD ⊥AC ，DG ＝GB . 在△EAD 和△EAB 中，AD ＝AB ，AE ＝AE ，∠EAD ＝∠EAB ，∴ △EAD ≌△EAB ， ∴ ED ＝EB ，∴ BD ⊥EG . ∵ BD ⊥AC ，AC ∩EG ＝G ， ∴ BD ⊥平面ACFE . ∵ BD ⊂平面ABCD ， ∴ 平面ACFE ⊥平面ABCD .(2) 解：连结FG ，∵ BD ⊥平面ACFE ，FG ⊂平面ACFE ，∴ FG ⊥BD . 在△EAG 中，AE ＝AG ＝3，且∠EAG ＝60°， ∴ △EAG 为正三角形， ∴ ∠EGA ＝60°. 在△FCG 中，CG ＝FC ＝3，∠GCF ＝120°， ∴ ∠FGC ＝30°，∴ ∠EGF ＝90°，即FG ⊥EG . 又BD ∩EG ＝G ， ∴ FG ⊥平面BDE ，∴ 点F 到平面BDE 的距离为FG ＝3. ∵ S △BDE ＝12×BD ·EG＝12×2×3＝3，∴ 三棱锥FBDE 的体积为13×3×3＝3.13. 在矩形ABCD 中，将△ABC 沿其对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面ACD 上的射影O 恰好落在边AD 上，如图所示．(1) 求证：AB 1⊥平面B 1CD ； (2) 若AB ＝1，BC ＝3，求三棱锥B 1ABC 的体积．(1) 证明：因为B 1O ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以B 1O ⊥CD . 又CD ⊥AD ，AD ∩B 1O ＝O ， 所以CD ⊥平面AB 1D .因为AB 1⊂平面AB 1D ，所以AB 1⊥CD . 因为AB 1⊥B 1C ，且B 1C ∩CD ＝C ， 所以AB 1⊥平面B 1CD .(2) 解：因为AB 1⊥平面B 1CD ，B 1D ⊂平面B 1CD ， 所以AB 1⊥B 1D . 在Rt △AB 1D 中，B 1D ＝AD 2－AB 21＝2. 由B 1O ·AD ＝AB 1·B 1D ， 得B 1O ＝AB 1·B 1D AD＝63，所以VB 1ABC ＝13S △ABC ·B 1O ＝13×12×1×3×63＝26.。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．982． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．44． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）A ．211B ．227C ． 32259D ．324355． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．6． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．7． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化8． 若变量x ，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t＜﹣ B ．﹣2＜t ≤﹣ C ．﹣2≤t ≤﹣ D ．﹣2≤t＜﹣9． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．510．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．240 11．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个12．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（ ）A ．10B ．11 C.12 D ．13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．14．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）． 15．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．16．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
高三数学题
高三数学题1.若xy0，则对 xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.高三数学题二:高三数学知识点大全很多同学数学成绩差，就是因为没有掌握正确的学习方法。
以下是小编精心准备的高三数学知识点大全，大家可以参考以下内容哦！高三数学知识点【1】数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
考点 二元一次不等式(组)-2020年高考数学(理)一轮必刷题(解析版)
考点35 二元一次不等式（组）1．（2019·安徽高三高考模拟（理））若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-【答案】B 【解析】画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域,如下图所示直线()1y k x =+过定点(1,0)A -要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点则0AC k k ＃20=20(1)AC k -=--[]0,2k ∴∈.故选B2．（2019·湖南长沙一中高三高考模拟（理））已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件360200x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．[1,7]- B ．[7.1]-C ．),7[]1,(+∞⋃--∞D ．[9,1][7,)--+∞【答案】C 【解析】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(4,6)A ， 直线20x y -+=与y 轴的交点为(0,2)B ，只需求出过p 的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7≥k 或1k ≤-， 故选C.3．（2019·福建高三高考模拟（理））已知平面区域：，：，则点是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 平面区域，表示圆以及内部部分；的可行域如图三角形区域：则点P （x ，y ）∈Ω1是P （x ，y ）∈Ω2的必要不充分条件． 故选：B ．4．（2018·湖南长沙一中高三高考模拟（理））在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值是（ ） A ．1 B ．C ．2D ．【答案】B 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O 向直线 作垂线，垂足在可行域内，所以O 到直线的距离即为的最小值，所以.故选B.5．（2019·福建高三高考模拟（理））已知(1,1)A -，(4,0)B ，(2,2)C ，平面区域E 是由所有满足AD AB AC λμ=+(12,13)λμ≤≤≤≤的点(,)D x y 组成的区域，则区域E 的面积是（ ）． A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C【解析】由()1,1A -，()4,0B ，()2,2C ，(),D x y 得()1,1AD x y =-+，()3,1AB =，()1,3AC = 因为AD AB AC λμ=+所以1313x y λμλμ-=+⎧⎨+=+⎩，解得348348x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩又因为12,13λμ≤≤≤≤代入化简得123204320x y y x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩画出不等式组代表的平面区域如图中阴影部分，且阴影部分为平行四边形由直线方程解出点()A 5,3，()B 8,4，()C 10,10，()D 7,9 点()D 7,9到直线AB:340x y -+=的距离()2273941013d -⨯+==+-，AB 10= 所以阴影部分面积为S 101610== 故选：C.6．（2019·北京高三高考模拟（理））设不等式组22(1)x y y k x ⎧+≤⎨+≤+⎩所表示的平面区域为D ，其面积为S .①若4S =，则k 的值唯一；②若12S =，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则203k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k 的正负有关），所以不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的平面区域D 就是它们的公共部分，（1）因为大正方形的面积为8，若4S =，面积为正方形面积的一半，且过原点O 的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k 的值唯一，命题正确; （2）左边阴影三角形的面积为1，故当k 取适当的负值左倾可以使三角形的面积为12，k 取适当的正值，使得阴影部分的面积为12，故S=12时，k 的值有两个，故该命题正确；（3）由（2）的讨论可知，当k ＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D 为三角形时，k 的取值范围为2--20]3∞（，）（，，故该命题错误；(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D 就是五边形， 此时k ＞2--2=40--1（）（）.故命题正确.故选：C7．（2019·北京高三高考模拟（理））记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】画出可行域和点()1,1-如下图所示，将y kx =旋转到点()1,1-的位置，得1,1k k =-=-，当()1,1D -∈时，1k ≤-；当1k ≤-时，()1,1D -∈.故“点()1,1D -∈”是“1k ≤-”的充分必要条件.故选C.8．（2019·江西高三高考模拟（理））已知20(,)|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+≥⎩⎩⎭，给出下列四个命题：1P ：(,)x y D ∀∈，22x y -≤+≤；2P ：(,)x y D ∀∈，03yx >+； 3P ：(,)x y D ∃∈，2x y +<-；4P ：(,)x y D ∃∈，222x y +≤；其中真命题是（ ）A ．1P 和2PB ．1P 和4PC ．2P 和3PD ．2P 和4P【答案】B 【解析】不等式组()20,|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+≥⎩⎩⎭的可行域如图，当z=x+y 过A （﹣2，0）点时，z 最小，可得：﹣2+0＝﹣2，当z=x+y 过B 或C 点时，z 最大，可得：z=2， 故P 1：(),x y D ∀∈，22x y -≤+≤为真命题； P 3：(),x y D ∃∈，2x y +<-为假命题；又3yx +表示可行域内的点与（-3，0）连线的斜率， ∴由A （﹣2，0）点，可得23=-+0， 故P 2：∀（x ，y ）∈D ，3yx +＞0错误； 由（﹣1，1）点，x 2+y 2＝2故p 4：∃（x ，y ）∈D ，x 2+y 2≤2为真命题．可得选项1P 和4P 正确． 故选：B ．9．（2019·江西新余一中高三高考模拟（理））已知实数x ，y 满足线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则其表示的平面区域外接圆的面积为（ ）. A ．π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】由线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，画出可行域如图（ABC 及内部），又2x y +=与y=x 垂直，∴ABC ∠为直角，即三角形ABC 为直角三角形，∴ABC 外接圆的直径为AC ，又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4, ∴ABC 外接圆的半径r=2， ∴ABC 外接圆的面积为2πr ⨯=4π，故选C.10．（2019·河北唐山一中高三高考模拟（理））已知x ，y 满足约束条件，若20100x x y x y m -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若32z x y=-的最大值为4，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】B 【解析】由不等式组，画出可行域如下图所示：线性目标函数z 3x 2y =-，化为322z y x =- 画出目标函数可知，当在A 点时取得z 取得最大值 因为A （2，-2+m ） 代入目标函数可得342222m -+=⨯- 解得m=3 所以选B11．（2018·湖北高三高考模拟（理））设不等式组表示的平面区域为，则（ ）A ．的面积是B ．内的点到轴的距离有最大值C ．点在内时，D ．若点，则【答案】C 【解析】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.12．（2018·山东高二高考模拟（理））已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为A．1 B．C．1或D．【答案】A【解析】不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，如图：平面为三角形所以过点，，与x轴的交点为，与的交点为，三角形的面积为：，解得：．故选：A．13．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】满足约束条件，如图所示：可知范围扩大，实际只有，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为故选B．14．（2018·河南信阳高中高三高考模拟（理））已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得．由得，所以可看作点和连线的斜率，记为，由图形可得，又，所以，因此或，所以的取值范围为．故选C．15．（2019·辽宁高三高考模拟（理））已知实数x，y满足123321142y xy xy x⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩，则目标函数43z x y=-的最小值为_____．【答案】﹣22【解析】解：画出约束条件123321142y xy xy x⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z ＝4x ﹣3y 过点A 时取得最小值，由1233142y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得A （﹣4，2），代入计算z ＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22， 所以z ＝4x ﹣3y 的最小值为﹣22． 故答案为：﹣22．16．（2019·西藏山南二中高三高考模拟（理））设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，在区域D内随机取一个点，则此点到直线50x -=的距离大于7的概率是__________． 【答案】425【解析】如图，不等式对应的区域为DEF ∆及其内部其中()()()6,2,4,2,4,3D E F --- 求得直线DF 交x 轴于点()2,0B -当点D 在线段2x =-上时，点D 到直线50x -=的距离等于7∴要使点D 到直线的距离大于7，则点D 应在BCD ∆内（或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率142421251052⨯⨯=⨯⨯ 本题正确结果：42517．（2019·南昌市外国语学校高三高考模拟（理））设m 为实数，若22250{()|30}{()|25}0x y x y x x y R x y x y mx y -+≥⎧⎪-≥∈⊆+≤⎨⎪+≥⎩，，、，，则m 的最大值是____．【答案】43【解析】解：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪=-≥∈⎨⎪+≥⎩，()22{,|25}N x y x y =+≤，显然点集N 表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集M 是二元一次不等式组25030,,0x y x x y R mx y -+≥⎧⎪-≥∈⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界250x y -+=交圆2225x y +=于点()()3,4,5,0A C -，边界y mx =-恒过原点，要求m 的最大值，故直线y mx =-必须单调递减， 因为M N ⊆，所以当y mx =-过图中B 点时，m 取得最大，联立方程组22325x x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,4B -， 故4030m ---=-，即max 43m =． 18．（2019·河南高三高考模拟（理））不等式组2024020x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪--+≤⎩，表示的平面区域的面积为________．【答案】3 【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为ABC ∆，其中()2,0A ，()0,2B ，()2,3C ，所以1232S AC =⨯⨯=.故答案为：3.19．（2019·江苏高三高考模拟）记不等式组03y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩，所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”成立的_____条件．（可选填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分必要 【解析】解：因为点(﹣1，1)满足03y y x ≥⎧⎨≤+⎩所以点(﹣1，1)R ∆D 等价于1k ≤-等价于1k ≤- 所以“点(﹣1，1)R ∆D”是“k ≤﹣1”成立的充要条件 故答案为：充分必要.20．（2019·四川高三高考模拟（理））已知变量x ，y 满足20{2300x y x y y -≤-+≥≥，则z x y =+的最小值为_________.【答案】3-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由230yx y=⎧⎨-+=⎩，解得A（﹣3，0），此时z＝﹣3，故答案为-3．21．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数，满足不等式组，那么的最大值和最小值分别是和,则=___________.【答案】0【解析】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由得，结合图形，平移直线可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值；当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最小值．由题意得，∴，∴.故答案为0．。
高考数学(理)一轮复习模拟题汇练：考点21数列的概念与简单表示法 (1)
2020高考复习模拟试题荟萃 考点21数列的概念与简单表示法一、选择题1．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －4D ．22n －12．(2019·武昌区调研考试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )A ．40B ．44C ．45D ．493．(2019·翼州中学联考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．(2019·山西师大附中月考)定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －55．(2018·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A ．132B ．116C ．14D ．126．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A ．1516B ．158C ．34D ．387．(2019·黄冈质检)已知数列{x n }满足x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，且x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，则数列{x n }的前2020项和S 2020＝( )A ．673B ．674C ．1345D ．1347 8．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝( )A ．20172018B ．20182019C ．40342018D ．40362019二、填空题9．(2019·山东重点中学联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为________．10．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．11．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．12．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.13．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2019·长春模拟)已知数列{a n }满足a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．三、解答题15．(2019·云南昆明一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．16．(2019·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．17．(2018·湖南联考)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求数列{a n}的通项公式．参考答案1. 答案：D解析：因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝22n －1.2. 答案：B解析：法一：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.法二：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d ＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44，故选B.3. 答案：A解析： 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.4. 答案：C解析： 因为n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1，所以a 1＋a 2＋a 3…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)·(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，所以a n ＝4n －3.5. 答案： A解析： ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18．那么a 5＝a 3·a 2＝132．故选A ．6. 答案： C解析： 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34．故选C ．7. 答案： D解析： ∵x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，∴x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ，∴x 1＋x 2＋x 3＝1＋a ＋(1－a )＝2，又x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，∴数列{x n }的周期为3，∴数列{x n }的前2020项和S 2020＝S 673×3＋1＝673×2＋1＝1347．故选D ．8. 答案： D解析： ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝21n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝21－12＋12－13＋…＋12018－12019＝40362019，故选D ． 9. 答案： a n ＝n (n ＋1)2解析： 由图可知a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n (n ＋1)2.10. 答案： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2解析： 已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.11. 答案： [9，12]解析： 当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15．当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋(a －1)24．∵a 5是{a n }中的最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12．∴a 的取值范围是[9，12]． 12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析：因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，所以12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＋12n ＋1a n ＋1＝2(n ＋1)＋1，两式相减得12n ＋1a n ＋1＝2，即a n ＝2n ＋1，n ≥2.又12a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.13. 答案：(0,1)解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．14. 解析：因为a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1， 所以两边同除以a n ·a n ＋1，得2（1－a n ＋1）a n ＋1－2（1－a n ）a n ＝1a n ＋1－1a n＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即{1a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋215. 解析： (1)a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，所以b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－1(2n ＋2)(2n ＋3)<0，即c n ＋1<c n ，所以数列{c n }是递减数列．16. 解析： (1)因为a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6 成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.17. 解析： (1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1， ∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1， ∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1． 又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4．(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3．由a n＋2－a n＝4知数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1．。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高三教学质量检测试题及答案解析
2018年普通高中教学质量检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}5≤∈=*x N x U，{}4,1=A {}5,4=B ,则=⋂)(B A CUA. {}5,3,2,1B. {}5,4,2,1C. {}5,4,3,1D. {}5,4,3,2 2.设iiz +=12（i 是虚数单位），则z 的模是 A. i B.1 C. 2 D. 5 3.设21:<<x p ，1ln :<x q ，则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即开始 S =1，i =1i =i +1S =S ·ii >4? 输出S是 否不充分也不必要条件4.已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若βα,垂直于同一平面，则βα与平行B.若n m ,平行于同一平面，则n m 与平行C.若βα,不平行，则在α内不存在与β平行的直线D. 若n m ,不平行，则n m 与不可能垂直于同一平面 5.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别是c b a ,,，若AaBb sin cos 3=，则=B cosA.21-B. 21 C. 23-D. 236.已知圆C 经过)1,5(A ,)3,1(B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为 A. 10)2(22=+-y x B. 10)2(22=++y x C. 10)2(22=++y x D. 10)2(22=+-y x7.如图是一个四面体的三视图，这三个视图均为腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为A. 32B.34C. 38 D.2 8.程序框图如图所示，其输出S 的结果是 A.6 B.24 C.120 D.720 9.已知πϕω<<>0,0,直线4π=x 和45π=x 是函数)sin()(ϕω+=x x fDyC NyOMxP图像的两条相邻的对称轴,则=ϕ A.4π B. 3π C. 2π D. 43π10.已知函数2)()(c x bax x f ++=的图像如图所示,则下列结论成立的是A. 0,0,0<>>c b aB. 0,0,0>><c b aC.0,0,0<><c b a D. 0,0,0<<<c b a11.已知抛物线x y C 16:2=,焦点为F ，直线1:-=x l ，点l A ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ,若FB FA 5=,则=FAA. 26B.35C. 34D.40 12.已知函数)1(log 11)21()(21x x f x ++-=,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A. )1,31( B. ),1()31,(+∞⋃-∞ C.)1,31(- D. ),1()31,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数领军高考数学一轮复习(文理通用)含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．重点难点突破【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．【题型二】弧度制【典型例题】已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的圆心角的弧度数（ ） A ．1B ．4C ．1或 4D ．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad ，半径为Rcm ，则，解得α＝1或α＝4．故选：C ．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：因为，所以cos sin，tan1，所以b＜a＜c．故选：A．思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．基础知识训练2,3-，则1．【湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()（）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A 【解析】由任意角的三角函数定义可知：3tan 2θ=-本题正确选项：A2．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上， 当角终边在第一象限时， 当角终边在第二象限时， 当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P 的坐标为，则sin α的值为（ ）A ．12B ．1-2C ．2D ．-2【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P的坐标为1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sin α+cos α，tan α）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sin α+cos α，tan α）在第四象限， ∴，由sin α+cosα=（α4π+）， 得2k π＜α4＜π+2k π+π，k∈Z，即2k π4π-＜α＜2k π34π+π，k∈Z． 由tan α＜0，得k π2π+＜α＜k π+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【安徽省示范高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D.7．【宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C ．9．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（ ） A ．钝角是第二象限角B ．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的范围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若，则α与β的终边相同；θ<，则θ是第二或第三象限的角．⑤若cos0其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【河南省平顶山市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟， 故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P--，则sinα的值为__________．【解析】解：∵点P（1，2）在角α的终边上，∴tanα2=，将原式分子分母除以cosα，则原式故答案为：5．16．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3ie-表示的复数在复平面中位于第_______象限.【答案】三【解析】由题e-3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3ie-表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为三17．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad，半径为r，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=．（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l,由题意可得240r l+=，∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2lrα==， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD ，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示； 由题意知，点P 在圆B 上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2) {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.能力提升训练1．【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A（cos，sin），即A（），且cos（α），sin（α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin（α）cos cos（α）sin，故选：D．∆中，若，那么2．【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC∆是（）ABCA．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A ．3．【河北省邯郸市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 【答案】B 【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角， 故选:.4．【河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P （-3，y ），且y ＜0，cosα=-，则tanα=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】∵已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，∴，则2x =-，故选：C ．6．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A B C ．12D 【答案】C 【解析】根据题意，，且13π<<，则.故选：C ．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【四川省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sin α+cos α的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12）， ∴sin α=则sin α+cos α=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】 【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
东北三省三校(哈师大附中)2018-2019学年高三第二次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018-2019学年高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，则复数ii437++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合}02|{2<--=x x x A ，集合}41|{<<=x x B ，则=B A Y （ ） A ．}21|{<<x x B ．}41|{<<-x x C ．}11|{<<-x x D ．}42|{<<x x3．等比数列}{n a 中，23-=a ，811-=a ，则=7a （ ） A ．4- B ．4 C ．4± D ．5- 4．已知向量)1,1(=a ，)2,1(-=b ，若)2//()(b t a b a +-，则=t （ ）A ．0B ．21C ．2-D ．3- 5．执行如下的程序框图，若输出T 的值为1225，则“？”处可填（ ）A ．6<nB ．5<nC ．4<nD ．3<n6．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A ．240 B ．480 C ．720 D ．960 7．函数11)(+-+=x x e x f x的部分图象大致是（ ）8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A ．338π B ．π8 C ．π6 D ．334π9．21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于B A ,两点，若12=，则双曲线的离心率为（ ） A.25B. 5C.310D. 10 10．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若βα⊥，α⊥m ，则β//m B ．若α//m ,α⊂n ,则n m // C ．若m =βαI ，α//n ,β//n ，则n m //D ．若βα⊥，且m =βαI ，点α∈A ，直线m AB ⊥，则β⊥AB11．甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ）A ．甲和乙不可能同时获奖B ．丙和丁不可能同时获奖C ．乙和丁不可能同时获奖D ．丁和甲不可能同时获奖 12．已知当),1(+∞∈x 时，关于x 的方程1)2(ln -=-+kxk x x 有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．)4,3(B ．)5,4(C ．)6,5(D ．)7,6( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设随机变量)21,6(~B X ，则==)3(X P .14．已知递增的等差数列}{n a 的前三项和为6-，前三项积为10，则前10项和=10S .15．函数43cos 3)3sin(cos )(2+-+=x x x x f π在闭区间]4,4[ππ-上的最小值是 .16．设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于B A ,两点，与抛物线的准线相交于点C ，2||=BF ，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACFBCFS S . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若)sin (sin )sin )(sin (B A b C A c a -=+-.（1）求角C ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为2，求ABC ∆周长的最大值.18．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：xb y a xn x yx n yx bn i i ni ii ˆˆ,ˆ1221-=⋅-⋅⋅-=∑∑==，∑==81217232i i x ，∑==8147384i ii y x（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=；（b aˆ,ˆ的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面为菱形，0120=∠BAD ，2=AB ，F E ,为1,AA CD 中点.（1）求证：//DF 平面AE B 1；（2）若⊥1AA 底面ABCD ，且直线1AD 与平面AE B 1所成线面角的正弦值为43，求1AA 的长.20．椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，若椭圆过点)23,1(. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B A ,为椭圆的左、右顶点，),(00y x P （00≠y ）为椭圆上一动点，设直线BP AP ,分别交直线l ：6=x 于点N M ,，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.21．已知函数1ln )(--=x a x x f ，曲线)(x f y =在)0,1(处的切线经过点)0,(e . （1）证明：0)(≥x f ；（2）若当),1[+∞∈x 时，xp x x f ln )(ln )1(2+≥，求p 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数），曲线2C ：1222=+y x .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系.（1）求曲线21,C C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的交点为B ，求||AB .23．选修4-5：不等式选讲 设函数|12|)(-=x x f .（1）设5)1()(<++x f x f 的解集为集合A ，求集合A ；（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且m c b a =++（其中c b a ,,为正实数），设ccb b a a M -⋅-⋅-=111.求证：8≥M .理科数学答案一、选择题二、填空题 13.165 14. 85 15.21- 16. 54 三、解答题17．（1）由正弦定理得)())((b a b c a c a -=+-，∴222b abc a -=-，∴212222=-+ab c b a ，即21cos =C 因为π<<C 0，则3π=C .（2）由正弦定理4sin sin sin 2====AaB bC c r ∴A a sin 4=，B b sin 4=，32sin 4==C c ， ∴周长c b a l ++=32sin 4sin 4++=B A32)32sin(4sin 4+-+=A A π32sin 214cos 234sin 4+⨯+⨯+=A A A 32cos 32sin 6++=A A32)6sin(34++=πA∵)32,0(π∈A ，∴)65,6(6πππ∈+A ∴当26ππ=+A 即3π=A 时363234max =+=l∴当3π==B A 时，ABC ∆周长的最大值为36.18. (1)（2）4586258524842383228=+++++++=x1298147140135129127122118114=+++++++=y∴91.012911845817232129458473848ˆ2812281≈=⨯-⨯⨯-=⋅-⋅⋅-=∑∑==i ii ii xxy x n yx b05.884591.0129ˆˆ=⨯-=-=x b y a∴回归直线方程为05.8891.0ˆ+=x y. （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为75.15105.887091.0=+⨯（mmHg ）∵19.175.151180≈∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群. 19.（1）证明：设G 为1AB 的中点，连GF EG , 因为FG1121B A ，又DE 1121B A ，所以FG DE ，所以四边形DEGF 是平行四边形， 所以EG DF //又⊄DF 平面AE B 1，⊂EG 平面AE B 1， 所以//DF 平面AE B 1.（2）因为ABCD 是菱形，且060=∠ABD ， 所以ABC ∆是等边三角形 取BC 中点G ，则AD AG ⊥，因为⊥1AA 平面ABCD ， 所以AG AA ⊥1，AD AA ⊥1建立如图的空间直角坐标系，令)0(1>=t t AA ，则)0,0,0(A ，)0,23,23(E ，),1,3(t B -，),2,0(1t D ， )0,23,23(=AE ，),1,3(1t AB -=，),2,0(1t AD =， 设平面AE B 1的一个法向量为),,(z y x n =， 则0)3(23=+=⋅y x AE n 且031=+-=⋅tz y x ， 取)4,,3(t t n -=，设直线1AD 与平面AE B 1所成角为θ， 则43)4(26||||sin 211=+=⋅=t t AD n θ，解得2=t ，故线段1AA 的长为2. 20.(1)由已知1=c ， ∴122+=b a ① ∵椭圆过点)23,1(，∴149122=+b a ② 联立①②得42=a ，32=b∴椭圆方程为13422=+y x（2）设),(00y x P ，已知)0,2(),0,2(B A - ∵00≠y ，∴20±≠x ∴BP AP ,都有斜率 ∴2,20000-=+=x y k x y k BP AP ∴4202-=⋅x y k k BPAP ③ ∵1342020=+y x ∴)41(3220x y -=④ 将④代入③得434)41(32020-=--=⋅x x k k BPAP设AP 方程)2(-=x k y ∴BP 方程)2(43--=x k y ∴)3,6(),8,6(kN k M -由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为)0,(t T 则TM ⊥ ∴0)24()6()3,6()8,6(2=-+-=--⋅-=⋅t k t k t∴24)6(2=-t ，∴626±=t ∴存在定点)0,626(+或)0,626(-以线段MN 为直径的圆恒过该定点.21. （1）曲线)(x f y =在)0,1(处的切线为)1)(1('-=x f y ，即)1)(1(--=x a y 由题意得)1)(1(0--=e a ，解得1=a所以1ln )(--=x x x f 从而xx x x f 111)('-=-= 因为当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，当),1(+∞∈x 时，0)('>x f .所以)(x f 在区间)1,0(上是减函数，区间),1(+∞上是增函数，从而0)1()(=≥f x f .（2）由题意知，当),1[+∞∈x 时，0ln ≠+x p ，所以0>p从而当),1[+∞∈x 时，0ln >+x p ， 由题意知xp x x x ln )(ln 1ln 12+≥-+，即0ln ]1)1[(≥+-+-p px x x p ，其中),1[+∞∈x 设p px x x p x g +-+-=ln ]1)1[()(，其中),1[+∞∈x设)(')(x g x h =，即11)1()(-+-=x x p x h ，其中),1[+∞∈x 则21)1()('xx p x h --=，其中),1[+∞∈x （1）当2≥p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('>x h ，所以)(x h 是增函数从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>h x h ，所以)(x g 是增函数，从而0)1()(=≥g x g .故当2≥p 时符合题意.（2）当21<<p 时，因为)11,1(-∈p x 时，0)('<x h ， 所以)(x h 在区间)11,1(-p 上是减函数 从而当)11,1(-∈p x 时，0)1()(=<h x h 所以)(x g 在)11,1(-p 上是减函数，从而0)1()11(=<-g p g 故当21<<p 时不符合题意.（3）当10≤<p 时，因为),1(+∞∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 是减函数 从而当),1(+∞∈x 时，0)1()(=<h x h所以)(x g 是减函数，从而0)1()2(=<g g故当10≤<p 时不符合题意综上p 的取值范围是),2[+∞.22. （1）曲线1C 的参数方程⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （θ为参数） 可化为普通方程1)1(22=-+y x ，由⎩⎨⎧==θρθρcos sin x y ，可得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=， 曲线2C 的极坐标方程为2)cos 1(22=+θρ.（2）射线3πθ=（0>ρ）与曲线1C 的交点A 的极径为33sin21==πρ， 射线3πθ=（0>ρ）与曲线2C 的交点B 的极径满足2)3cos 1(222=+πρ，解得51022=ρ， 所以51023||||21-=-=ρρAB . 23．（1）5)1()(<++x f x f 即5|12||12|<++-x x当21-<x 时，不等式化为51221<---x x ，∴2145-<<-x ； 当2121≤≤-x 时，不等式化为51221<++-x x ，不等式恒成立； 当21>x 时，不等式化为51212<++-x x ，∴4521<<x . 综上，集合}4545|{<<-=x x A . （2）由（1）知1=m ，则1=++c b a . 则a bc a c b a a 21≥+=-，同理c ab c c b ac b b 21,21≥-≥-，则 8222111=⋅⋅≥-⋅-⋅-a bc b ac c ab c c b b a a ，即8≥M .。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题51 双曲线(解析版)
考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =， 因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上） 又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =． 故e 53=． 故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。
高三数学(理)一轮复习：第二章 函数、导数及其应用 第六节 对数与对数函数
第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数(1)对数的性质①a log a N＝N(a>0且a≠1，N>0)。
②log a a N＝N(a＞0，且a≠1)。
(2)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零，且不等于1)。
②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d。
(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。
②log a MN ＝log a M －log a N 。
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )。
④log am M n＝nm log a M (m ，n ∈R )。
3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。
1．指数与对数的等价关系：a x＝N⇔x＝log a N。
2．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d。
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。
故0<c<d<1<a<b。
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。
一、走进教材1．(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)＝()A ．14B ．12 C ．2 D ．4解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4。
近三年(2018-2019-2020)高考数学试题汇编【含详解】
近三年高考数学试题汇编【含详解】专题01导数及其应用（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()e (2)x f x a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当a =1时，f （x ）=e x –x –2，则f x '（）=e x –1．当x <0时，f x '（）<0；当x >0时，f x '（）>0．所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）f x '（）=e x –a ．当a ≤0时，f x '（）>0，所以f （x ）在（–∞，+∞）单调递增，故f （x ）至多存在1个零点，不合题意．当a >0时，由f x '（）=0可得x =ln a ．当x ∈（–∞，ln a ）时，f x '（）<0；当x ∈（ln a ，+∞）时，f x '（）>0．所以f （x ）在（–∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）单调递增，故当x =ln a时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln a ）=–a （1+ln a ）．（i ）若0≤a ≤1e ，则f （ln a ）≥0，f （x ）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．（ii ）若a >1e，则f （ln a ）<0．由于f （–2）=e –2>0，所以f （x ）在（–∞，ln a ）存在唯一零点．由（1）知，当x >2时，e x –x –2>0，所以当x >4且x >2ln （2a ）时，ln(2)22()e e (2)e (2)(2)202x x a xf x a x a x a =⋅-+>⋅+-+=>．故f （x ）在（ln a ，+∞）存在唯一零点，从而f （x ）在（–∞，+∞）有两个零点．综上，a 的取值范围是（1e，+∞）．2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【解析】设h (x )=f (x )−2x −c ，则h (x )=2ln x −2x +1−c ，其定义域为(0，+∞)，2()2h x x'=-.（1）当0<x <1时，h '(x )>0；当x >1时，h '(x )<0.所以h (x )在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x =1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)=−1−c .故当且仅当−1−c ≤0，即c ≥−1时，f (x )≤2x +c .所以c 的取值范围为[−1，+∞).（2）()()2(ln ln )()f x f a x a g x x a x a--==--，x ∈(0，a )∪(a ，+∞).222(ln ln )2(1ln )()()()x a a a a x x x x g x x a x a -+--+'==--取c =−1得h (x )=2ln x −2x +2，h (1)=0，则由（1）知，当x ≠1时，h (x )<0，即1−x +ln x <0.故当x ∈(0，a )∪(a ，+∞)时，1ln 0a ax x-+<，从而()0g x '<.所以()g x 在区间(0，a )，(a ，+∞)单调递减.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【解析】（1）2()3f x x k '=-．当k =0时，3()f x x =，故()f x 在()-∞+∞，单调递增；当k <0时，2()30f x x k '=->，故()f x 在()-∞+∞，单调递增．当k >0时，令()0f x '=，得3x =±．当(,3x ∈-∞-时，()0f x '>；当()33x ∈-时，()0f x '<；当()3x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x在(,3-∞-，()3+∞单调递增，在()33单减．（2）由（1）知，当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，单调递增，()f x 不可能有三个零点．当k>0时，=x -()f x的极大值点，x 为()f x 的极小值点．此时，11k k --<+且(1)0f k --<，(1)0f k +>，(0f >．根据()f x 的单调性，当且仅当(03f <，即2209k -<时，()f x 有三个零点，解得427k <．因此k 的取值范围为(0427，．10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f = ，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x .又当0,[0,π]a x ∈ 时，ax ≤0，故()f x ax .因此，a 的取值范围是(,0]-∞.11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-.因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根.综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．13．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =．若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭ 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭．当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27．17．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数21()e xax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．【解析】（1）2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，21()e (1e)e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．18．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【解析】（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1e a ≥时，()0f x ≥．19．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．【解析】（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =3-或x =3+当x ∈（–∞，3-）∪（3++∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（3-3+）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，3-），（3++∞）单调递增，在（3-，3+）单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．专题02平面解析几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a = ，(,1)GB a =- ．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9t y x =+．直线PB 方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219x y +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a =，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322(c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c +=.所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-.由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =，直线11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为1105222⨯=.22||P Q =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q 的距离为13026，故22AP Q △的面积为113052262⨯=.综上，APQ △的面积为52.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21((1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =.此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||23DQ AP ==.若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =.综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：1255d ==，由两点间距离公式可得||AM ==.△AMN 的面积的最大值：11825⨯=.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==-.（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞．12．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆方程22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM = ，所求圆方程22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．17．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．①将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．18．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．19．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+ ．【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP ．于是1||22x FA =- ．同理2||=22x FB - ．所以1214()32FA FB x x +=-+= ．故2||=||+||FP FA FB ．专题3解三角形1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =A B ．2C ．D ．8【解析】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=222145cos ,sin ,299a cb B B ac +-==∴==tan B ∴=.故选：C2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，4．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，5．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．B ．CD ．【解析】因为cos25C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×25−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ×BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =.故选A.6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π ，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=10．【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B+4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =，由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得833bc =，所以ABC △的面积为1183123sin 22323S bc A ==⨯⨯=，故答案是233.12．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A sin C ，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =.ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=．（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)2C ︒+=.而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.13．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若3b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=．所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin cos 222B B -=，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =，②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得22222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．2222=，由此可得b c =．由①ac =，解得1a b c ===．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得22222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．2222=，由此可得b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =．方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得22222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．2222=，由此可得b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．19．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC 的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．专题4数列11．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =.【解析】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -.19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.由已知得1121148a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得11,3a q ==.所以{}n a 的通项公式为1=3n n a -.（2）由（1）知3log 1.n a n =-故(1).2n n n S -=由13m m m S S S +++=得(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++，即2560m m --=.解得1m =-（舍去），6m =.21．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设得31120a q a q +=，218a q =．解得12q =-（舍去），2q =．由题设得12a =．所以{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）由题设及（1）知10b =，且当122n n m +≤<时，m b n =．所以10012345673233636465100()()()()S b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++ 2345012223242526(10063)=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-480=．25．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=.由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+ ，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．26．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-= ．31．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1．32．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．33．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．专题5概率与统计（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解析】（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=；乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=.（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525−5−75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300−70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，20219000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r (()niix y x y--∑．【解析】（1）由己知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)ii x y (1,2,,20)i =的相关系数20)0.943iix y r x y --=∑（（．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO PM 2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）8.602≈．【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=．产值负增长的企业频率为20.02100=．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i ii s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦=0.0296，0.020.17s ==⨯≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）0.35a =，0.10b =；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．。
高三数学训练：立体几何(附答案)
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（2018全国III 卷高考）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）2、（2017全国III 卷高考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．πB ．3π4C ．π２D ．π43、（2016全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）814、（成都市2018届高三第二次诊断）已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥5、（成都市2018届高三第三次诊断）在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ） A ．43π B ．323π C ．12π D ．643π6、（达州市2017届高三第一次诊断）如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．3π C ．32π D ．3π7、（德阳市2018届高三二诊考试）如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，则m n ⊥B ．若//αβ，则//m nC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若n α⊥，则αβ⊥9、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）设a ，b 是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是A ．若a b ⊥，a α⊥，则//b αB ．若//a α，αβ⊥，则//a βC ．若//a α，//a β，则//αβD ．若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ10、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )A ．23472++B ．1072+ C. 710+ D ．3412+11、（仁寿县2018届高三上学期零诊）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1﹣BFE 的体积为12、（遂宁市2018届高三三诊考试）在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为A ．π)27(-B ．π)27(+C ．π)26(+D ．π)37(-13、（雅安市2018届高三下学期三诊）某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB CD αβ⊂⊂，，且2AB =，243BC CD ABC BCD ππ==∠=∠=，，，则AD 与β所成角的大小为A ．π4B ．π3 C.π6D ．π1215、（成都市石室中学高2018届高三下期二诊模拟）一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为 .23A.11B .13C .10D16、（成都市2018届高三第二次诊断）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．863π B ．86π C ．6π D ．24π 17、（2016全国III 卷高考）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π二、解答题1、（2018全国III 卷高考）如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AM D ⊥平面BMC ；⑵当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．2、（2017全国III 卷高考）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．DABCE3、（2016全国III 卷高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面A B C D ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.4、（成都市2018届高三第二次诊断）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，2AB BC ==.（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.5、（成都市2018届高三第三次诊断）如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB 的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.（I ）求证：PD EC ⊥；（Ⅱ）求平面PEC 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.6、（达州市2017届高三第一次诊断）如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2PB =，PB 与面PCD 成045角，PB 与面ABD 成030角.（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由； （2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.7、（德阳市2018届高三二诊考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=，90ADP ∠=，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点.（1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由； （2）当二面角D FC B --的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角.8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）如图，ABC ∆是以ABC ∠为直角的三角形，SA ⊥平面,2,4,,ABC SA BC AB M N ===分别是,SC AB 的中点. （1）求证：MN AB ⊥；（2）D 为线段BC 上的点，当二面角S ND A --的余弦值为66时，求三棱锥D SNC -的体积.9、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）如图，三棱锥A BCD -的侧面ABD △是等腰直角三角形，90BAD ∠=，BD DC =，120BDC ∠=，且2AC AB =． （I ）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （II ）求二面角B AC D --的余弦值．DCBA10、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PB PA ABC ⊥︒=∠，660,2=PC . (Ⅰ)求证：平面⊥PAB 平面 ABCD ；(Ⅱ)若PB PA =,求二面角D PC A --的余弦值.11、（仁寿县2018届高三上学期零诊）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB=2CD=2BC ，EA ⊥EB （1）求证：EA ⊥平面EBC ； （2）求二面角C ﹣BE ﹣D 的余弦值．12、（遂宁市2018届高三三诊考试）如图所示的几何体中，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，︒=∠=60,2ADC CD AD ．（1）若AC AA =1，求证：1AC ⊥平面CD B A 11； （2）若12,CD AA AC λ==，二面角11C A D C --的余弦值为24，求三棱锥11C ACD -的体积．13、（雅安市2018届高三下学期三诊）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ； （2）若SB 与平面SDC 所成角的正弦值为33，求二面角A SB C --的余弦值.14、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））如图，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，1AA ⊥底面ABC ，E ，F 分别为棱1AA BC ，的中点．（1）过1FA 作平面α，使得直线BE //平面α，若平面α与直线1BB 交于点H ，指出点H 所在的位置，并说明理由；（2）求二面角1B FH A --的余弦值．15、（成都市石室中学高2018届高三下期二诊模拟）如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABC D 所在平面垂直，点M 为AE 的中点. （1）求证：BM //平面EFC（2）若DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值.参考答案： 一、选择、填空题 1、A 2、【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.3、B4、C5、【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.所以2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A 的距离为443434+=，所以该球的表面积为643π.故选D.6、D7、C8、D9、D 10、B 11、11212、B 13、B 14、C 15、C 16、C 17、【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．二、解答题1、解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）如图建立坐标系： ∵ABC S ∆面积恒定，∴MO CD ⊥，M ABC V -最大.(0,0,1)M ，(2,1,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -,设面MAB 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，设面MCD 的法向量为222(,,)n x y z =r， (2,1,1)MA =--，(2,1,1)MB =-，(0,1,1)MC =-，(0,1,1)MD =--，11111120(1,0,2)20x y z m x y z --=⎧⇒=⎨+-=⎩， 同理(1,0,0)n =，， ∴15cos 55θ==，∴ 25sin 5θ=.2、【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD ACOD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ， 则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()13,1,3n =DABC EODABCEyxOz220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n n n n θ⋅==⋅ 3、设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ，于是2558|||||||,cos |=⋅=><AN n AN n AN n .4、解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=，∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，2AB BC ==，又D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC.（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为轴，y 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，13(,0,)22E -，13(,0,)22F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C . ∴13(,1,)22AE =-，(1,0,0)EF =，13(,0,)22BF =-，(1,1,0)BC =-.设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111113022102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.解得1132y z =-.取12z =-，∴(0,3,2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2222013022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得223y z =. 取21z =，∴(3,3,1)n =. ∵cos ,m n <>m n m n⋅=11777==⋅.∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为17.5、 【解析】6、1)法一：要证明PC ⊥面ADE ，易知AD ⊥面PDC ，即得AD ⊥PC ，故只需0DE PC ⋅=即可， 所以由()00||1DP PE PC DP PC PE PC PE +⋅=⇒⋅+⋅=⇒=,即存在点E 为PC 中点 …6分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D －XYZ ， 由题意知PD ＝CD ＝1， 2CE =，设PE PB λ=， (2,1,1)PE PB λλ∴==-，(0,1,1)PC =-由()(0,1,1)(2,,1)0PC DE PC DP PE λλλ⋅=⋅+=-⋅-=，得12λ=， 即存在点E 为PC 中点。
导数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则()
A． B． C． D．
17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数 ，则()
A． 有两个极值点B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知 和 分别是函数 ( 且 )的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题03导数选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当 时，函数 取得最大值 ，则 ()
A B． C． D．1
2．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则()
A． B． C． D．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点 可以作曲线 的两条切线，则()
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为__________．
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为．
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数 ，下列结论中错误的是()
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是()
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考小题标准练(十三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列有关命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2-2x=0，则x=0”的逆否命题为：“若x≠0，则x2-2x≠0 ”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D.对于命题p：∃x 0∈R，使得+x0+1<0.则p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0
【解析】选C.命题“若x2-2x=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x2-2x≠0”，故A为真命题；“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，故B为真命题；
若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，但p，q不一定均为假命题，
故C为假命题；命题p：∃x∈R使得x2+x+1<0，则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题.
2.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ
，则λ等于( )
A. B.
C.-
D.-
【解析】选A.如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC，AC 于点F，E.
所以=+.
因为=2，所以=，=，故=+，所以
λ=.
3.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )
A.(2，1)
B.
C. D.
【解析】选D.因为z===i+，所以在复平面
内对应点的坐标是
4.从集合A={-3，-2，-1，1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={-2，-1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=ax+b不经过第三象限的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.根据分步计数原理可知，试验包含的所有事件共有5×3=15种结果，而满足条件的事件是a=-3，b=2，a=-2，b=2，a=-1，
b=2共三种结果.由古典概型公式可得P==.
5.已知椭圆+=1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选B.不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|=2b，所以
S△ABF=×2b×=b=≤=2(当且仅当b2=4-b2，即b2=2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.
6.已知sin(x-2017π)=，x∈，则tan2x=( )
A. B.-
C. D.4
【解析】选C.因为sin(x-2017π)=，
所以sinx=-，又x∈，所以cosx=-，所以tanx=，所以tan2x==.
7.正项等比数列中，a3-a2-2a1=0，若a m·a n=16，则m+n=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选C.因为正项等比数列满足：a3-a2-2a1=0，
所以a1q2-a1q-2a1=0，即q2-q-2=0，解得q=-1(舍)，或q=2.
因为a m·a n=16，所以·2m+n-2=16，
所以m+n=6.
8.已知函数f=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f的图象沿x轴向左平移
个单位，得到函数g(x)的图象.关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.其图象关于直线x=-对称
C.函数g是奇函数
D.当x∈时，函数g的值域是
【解析】选D.因为f=sinωx+cosωx=
2=2sin，
由题意知，则=，则T=π，
所以f(x)=2sin(2x+)，
把函数f的图象沿x轴向左平移个单位，得
g(x)=f=2sin[2+]
=2sin=2cos2x其图象如图：
由图可知：在上是减函数，故A错误；其图象的对称中心为
，故B错误；函数为偶函数，故C错误；当x∈时，函数g的值域是，故D正确.
9.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为7，则输出x的值为( )
A. B.log23 C.2 D.3
【解析】选C.若输入的x=7，则第一次循环得x=log28=3，第二次循
环得x=log24=2，则输出的x=2.
10.“阴阳鱼”是指太极图中间的部分，太极图被称为“中华第一图”.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的小圆组成的“阴阳鱼”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y=|O1P|2，y与x的函数关系式为y=f(x)，则y=f(x)的大致图象为
【解析】选A.根据图中信息，可将x划分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，图象应为直线，而在[π，2π)上曲线递增，[2π，4π)上曲线递减，[4π，6π]上曲线递增.故选A
11.如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为( )
A.32+12π
B.64+12π
C.36+12π
D.64+16π
【解析】选 B.由三视图知，该几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，圆柱的高为3，底面直径为4，
所以圆柱的体积为π×22×3=12π；正四棱锥的高为3，侧面上的斜高为5，
所以正四棱锥的底面边长为2×=8，
所以四棱锥的体积为×82×3=64，
故几何体的体积V=64+12π.
12.已知函数f(x)=若函数g(x)=f2(x)-axf(x)恰有6个零点，则a的取值范围是( )
A.(0，3)
B.(1，3)
C.(2，3)
D.(0，2)
【解析】选C.由已知，令g(x)=0，则f(x)[f(x)-ax]=0.由y=f(x)的图象可知，f(x)的图象与x轴有3个交点，故y=f(x)有3个零点，则f(x)-ax=0还要有3个根，即y=f(x)与y=ax的图象有3个交点，需满足y=ax不与y=3x+1平行，且与抛物线y=-(x2-4x+1)无交点，即
ax=-(x2-4x+1)，即x2+(a-4)x+1=0无解，所以
解得2<a<3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知F是抛物线y2=8x的焦点，P是抛物线上一点，以P为圆心|PF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则|PF|=________.
【解析】设P(x0，y0)，根据抛物线的定义知，|PF|=+x0=2+x0，点P 到y轴的距离为x0，由垂径定理可知，(x0+2)2=+，解得x0=，所以|PF|=.
答案：
14.已知函数f(x+1)是周期为2的奇函数，当x∈[-1，0]时，
f(x)=-2x2-2x，则f=________.
【解析】由已知得f(x)为周期为2的函数，由f(x+1)是奇函数，有f(-x+1)=-f(x+1)，
即f(x)=-f(2-x)，
故f=f=-f=-f，
而-1≤x≤0时，
f(x)=-2x2-2x，
所以f=-2=，
f=-.
答案：-
15.x，y满足约束条件若不等式2x-y+m≥0总成立，则m的取值范围为________.
世纪金榜导学号92494393 【解析】若2x-y+m≥0总成立即m≥y-2x总成立，设z=y-2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图四边形OABC 内部(含边界)，由z=y-2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，当其过点C(0，3)时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=3-0=3，所以m ≥3.
答案：[3，+≦)
16.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足
4cos2-cos2(B+C)=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是________. 【解析】因为B+C=π-A，所以cos2(B+C)=cos(2π
-2A)=cos2A=2cos2A-1，cos2=，所以4cos2-cos2(B+C)=
可化为4cos2A-4cosA+1=0，解之得cosA=，又A为三角形内角，所以A=，由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA≥2bc-bc=bc，即bc≤4，当
且仅当b=c时取等号，S△ABC=bcsinA≤×4×=，即面积的最大值为.
答案：。