【高考冲刺】2018高考理科数学专题轮复习教学案：第二板块 保分题全争取
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级三 30分的拉分题因人而定酌情自选
[全国卷3年考情分析][典例] (2016·四川高考)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．[解析] 对于①，特殊值法．取A (1,1)，则A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，A ′的“伴随点”为点(－1，－1)．故①为假命题．对于②，单位圆的方程为x 2＋y 2＝1，设其上任意一点(x ，y )的“伴随点”为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y2＝y ，y ′＝－xx 2＋y 2＝－x ，∴y 2＋(－x )2＝y 2＋x 2＝1.故②为真命题．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③为真命题．④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝⎛⎭⎫25，－15，此三点不共线，故④为假命题． 故真命题为②③. [答案] ②③1．(2018届高三·湘中高三联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ，①则当n ≥2时，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1，②①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 5≥0，b 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5(2－k )＋2≥0，6(2－k )＋2≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎡⎦⎤73，125运算善用技巧[典例] (2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[解析] 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. [答案] 1－ln 22．(2017·郑州质检)设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥a 恒成立，则a 的最大值为( )A ．22B ．4 2C ．8D ．16解析：选C 法一：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，y －1＝1，2x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，即a ≤8，故a 的最大值是8.法二：令m ＝2x －1，n ＝y －1， 则m >0，n >0，x ＝m ＋12，y ＝n ＋1， 4x 2y －1＋y 22x －1＝4⎝⎛⎭⎫m ＋122n ＋(n ＋1)2m ＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥4m n ＋4n m ≥24m n ×4nm ＝8，当且仅当m ＝1且n ＝1，即x ＝1，y ＝2时取等号， 即4x 2y －1＋y 22x －1≥8， 故a ≤8，所以a 的最大值是8.排除简化过程[典例] (2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x ＜1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－23，2]C ．[－2,2 3 ]D ．[－23，2 3 ][解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．当y ＝⎪⎪⎪⎪x2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2. 当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2. 要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.法二：∵f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立， ∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立．①令g (x )＝－f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2， g (x )＝－x －2－x 2＝－32x －2≤－2，即g (x )max ＝－2.当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，g (x )＝x －2－x 2＝x2－2，即g (x )＜－2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝－x －2x －x 2＝－32x －2x ≤－23，即g (x )max ＝－2 3. ∴a ≥－2. ②令h (x )＝f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2，h (x )＝x ＋2－x 2＝x2＋2≥2，即h (x )min ＝2. 当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，h (x )＝－x ＋2－x 2＝－32x ＋2＞2，即h (x )＞2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，即h (x )min ＝2. ∴a ≤2.综上可知，－2≤a ≤2.法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2， 而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D.若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.3．(2017·东北四市高考模拟)已知函数f (x )＝cos x ＋mcos x ＋2，若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，6B.⎝⎛⎭⎫53，6 C.⎝⎛⎭⎫75，5 D.⎝⎛⎭⎫54，5 解析：选C f (x )＝cos x ＋m cos x ＋2＝1＋m －2cos x ＋2，令t ＝cos x ＋2，由于－1≤cos x ≤1，因此1≤t ≤3， 设g (t )＝1＋m －2t (1≤t ≤3)．法一：若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，不妨设a <c ，b <c ，则只需满足f (a )＋f (b )>f (c )恒成立，故只需2f (x )min >f (x )max 即可，即2g (t )min >g (t )max .当m ＝2时，f (a )＝f (b )＝f (c )＝1，成立，故m ＝2符合题意；当m <2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧2(m －1)>1＋m －23，m <2，解得75<m <2；当m >2时，g (t )＝1＋m －2t 在[1,3]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧2⎝⎛⎭⎫1＋m －23>m －1，m >2，解得2<m <5.综上，75<m <5.法二：令m ＝5，则g (t )＝1＋3t (1≤t ≤3)，∴2≤g (t )≤4.取f (a )＝f (b )＝2，f (c )＝4.不合题意，排除A 、B ；取m ＝1310，则g (t )＝1－710t (1≤t ≤3)，∴310≤g (t )≤2330，取f (a )＝310，f (b )＝310，f (c )＝2330，不合题意，排除D ，故选C.破解巧取特殊[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 法一：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1m y i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .法二：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．可设y ＝f (x )＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x ＋1x ，得交点(－1,0)，(1,2)，则x 1＋y 1＋x 2＋y 2＝2，结合选项，应选B.[答案] B[针对训练]4．(2017·沈阳质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的值是( )A ．－38B.316 C ．－38D.38解析：选A 法一：令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA ―→·PB ―→＝|PA ―→|·|PB ―→|·cos ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝⎛⎭⎫－12＝34×⎝⎛⎭⎫－12＝－38. 法二：如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠AOB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∴PA ―→·PB ―→<0.取P 点为双曲线右顶点． 则|PA |＝|PB |＝12|OP |＝32，∴PA ―→·PB ―→＝－38.[专题过关检测]一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n ，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n 代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C 法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PF |，当m 取最大值时，|PA |的值为( )A ．1B ． 5 C. 6D ．2 2解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|PA |＝x 2＋(y ＋1)2，所以m＝x 2＋(y ＋1)2y ＋1，平方得m 2＝x 2＋(y ＋1)2(y ＋1)2，又x 2＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2＝4y ＋(y ＋1)2(y ＋1)2＝4y (y ＋1)2＋1＝1＋4y ＋1y ＋2，由基本不等式可知y ＋1y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|PA |＝4＋(1＋1)2＝2 2.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，12bc －ad ，ad <bc ，已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，23∪⎝⎛⎭⎫34，1 B.⎝⎛⎭⎫－1，1724 C.⎝⎛⎭⎫－1，1724∪⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(－1,1)解析：选A 由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤－2或x ≥2，124－x 2，－2<x <2，直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝124－x 2(－2<x <2)的图象为椭圆的上半部分，B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB <k <1或－1<k <k AD 时，直线l 与f (x )的图象有两个交点．k AB ＝3－02－(－2)＝34，将y ＝k AD (x －2)＋3与y ＝124－x 2(－2<x <2)联立消去y ，得(1＋4k 2AD )x 2＋8k AD (3－2k AD )x ＋16k 2AD －48k AD ＋32＝0，令Δ＝0，解得k AD ＝23.综上所述，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，23∪⎝⎛⎭⎫34，1.6．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D. 7．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝sin x2＋cos x.若当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，33 B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫33，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－33，32 解析：选B 由题意，当x >0时，f (x )＝sin x2＋cos x<kx 恒成立．由f (π)<k π，知k >0.又f ′(x )＝1＋2cos x (2＋cos x )2，由切线的几何意义知，要使f (x )<kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x <0，∵g ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2－13＝－(cos x －1)23(2＋cos x )2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴不等式成立．综上，k ∈⎣⎡⎭⎫13，＋∞.8．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下述判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α的最小值为725解析：选D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE ―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→·BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→·AC ―→＝0，整理得，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB ―→|·|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|·|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1≥2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725，所以sin π2－2α的最小值是725.9．(2017·石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1， 则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66 ⎝⎛⎭⎫x －322＋34，结合图象知选A.10．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→(a ，b ∈R)，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B 使用特殊值法求解．设A (1,0)，B (0，－1)，则OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→＝(a ，－b )．∵C 在圆上，∴a 2＋b 2＝1，∴点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 二、填空题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e<1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e <1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：42．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：(特殊图形)如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin ∠E ＝BE sin ∠C，即2sin 30°＝BEsin 75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BF sin ∠FCB ＝BCsin ∠BFC，即BF sin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)． 答案：(6－2，6＋2)3．设0<m <12，若1m ＋11－2m≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题可知，k 的最大值即为1m ＋11－2m 的最小值．因为1m ＋11－2m ＝[2m ＋(1－2m )]⎝⎛⎭⎫1m ＋11－2m ＝3＋1－2m m ＋2m1－2m≥3＋22，取等号的条件是当且仅当1－2m ＝2m ，即m ＝1－22∈⎝⎛⎭⎫0，12时成立，所以k 的最大值为3＋2 2.故所求实数k 的取值范围是(－∞，3＋2 2 ]．答案：(－∞，3＋2 2 ]4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π125．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝(x －3)2＋y 2≤(3－2)2＋(0－1)2＋1＝2＋1， 即|b －c |的最大值为2＋1.答案：2＋16．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：设AD ＝x ，则AB ＝AC ＝2x ，因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以AB ＋AD >BD ，即2x ＋x >3，x >1，AB －AD <BD ，即2x －x <3，x <3，所以x ∈(1,3)． 在△ABD 中，由余弦定理得9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos A ，即cos A ＝5x 2－94x 2，S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×2x ×x ×sin A＝2x21－⎝⎛⎭⎫5x 2－94x 22＝32－(x 4－10x 2＋9)， 令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，S △ABC ＝32－(t －5)2＋16，当t ＝5，即x ＝5时，S △ABC 有最大值6.答案：67．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax－x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )为增函数，且f (2)＝e 2－2＋2－3＝0，所以函数f (x )＝e x －2＋x －3只有一个零点x ＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解，所以a ＝x ＋4x －1，而函数y ＝x ＋4x －1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x ＝2时，a 取最小值3，且当x ＝1时，a ＝4，当x ＝3时，a ＝103，所以a max ＝4，所以实数a 的取值范围是[3,4]．答案：[3,4]8．对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．对正整数k ，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n )．若数列{Δ2a n }的各项均为2，且满足a 11＝a 2 015＝0，则a 1的值为________．解析：因为数列{Δ2a n }的各项均为2，即Δa n ＋1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa 1＋2n －2，即a n ＋1－a n ＝Δa 1＋2n －2，所以a n －a 1＝(n －1)Δa 1＋(0＋2＋4＋…＋2n －4) ＝(n －1)Δa 1＋(n －1)(n －2)(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－a 1＝10Δa 1＋10×9，a 2 015－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，即⎩⎪⎨⎪⎧0－a 1＝10Δa 1＋10×9，0－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013， 解得a 1＝20 140. 答案：20 1409．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则b ＝________ ；λ＝________ .解析：法一：(三角换元)在圆O 上任意取一点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |可得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[(cos θ＋2)2＋sin 2θ]，整理得1＋b 2－5λ2－(2b ＋4λ2)·cos θ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2－5λ2＝0，2b ＋4λ2＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12.法二：(特殊点)既然对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，使得λ与b 为常数，那么取M (1,0)与M (0,1)代入|MB |＝λ|MA |，得⎩⎪⎨⎪⎧(b －1)2＝9λ2，b 2＋1＝5λ2， 解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12.答案：－12 1210．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝qp ，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略[全国卷3年考情分析][常考题点逐一突破][典例] (2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．[针对训练](1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y－y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b ＝6， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根， ∴x 20－4≠0，Δ>0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20， ∴k 1k 2＝2－12x 2x 20－4＝－12.故k 1k 2为定值． (3)|OP |2＋|OQ |2是定值． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 212＋y26＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝121＋2k 21，y 21＝12k211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22.由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22 ＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12 ＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上，|OP |2＋|OQ |2为定值，且为18.构造函数求最值[典例] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． [解] (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则直线BQ 的斜率为－1k . 则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为y －94＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －32， 即x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|PA |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.[针对训练]2．(2017·沈阳质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2. (1)求椭圆的方程；(2)点A 为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝⎛⎭⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎫1，－22，C ⎝⎛⎭⎫－1，－22， 故S △ABC ＝12×2×2＝ 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消去y ， 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，|AB |＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4k 22k 2＋12－4·2k 2－22k 2＋1 ＝22·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －k ＝0的距离d ＝|－k |k 2＋1＝|k |k 2＋1， ∵O 是线段AC 的中点， ∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k |k 2＋1， ∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·k 2＋12k 2＋1·2|k |k 2＋1＝2 2k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝2 214－14(2k 2＋1)2< 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k 3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.故k 的取值范围是(32，2)．解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． [题后悟通][针对训练]3．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0消去y ， 得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0. ∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0， 即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0.当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即(4－m 2)m 2m 2－1>0. 解得1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1,4).[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．[题后悟通]直线过定点问题的解题模型[针对训练]4．(2017·郑州模拟)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2消去y ，得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1－x 24x 1＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2， 即直线AC 恒过定点(0,2).假设存在定结论(探索性问题)[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3. 由PM ―→＝NQ ―→，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM ―→＝NQ ―→，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，⎭⎫可得y 4＝2t －159又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[针对训练]5．(2017·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由． 解：(1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m 2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝m －m 2＝m 2，故e ＝c a ＝22.(2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)． 所以x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝⎛⎭⎫23，－13. 由弦长公式，可得 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·12(m －6)3. |CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上， 因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎫4232＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝6m －49，又⎝⎛⎭⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49， 故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．[高考大题通法点拨] 圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线[思维流程][策略指导]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算． [典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值． [解] (1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16(12k 2－3)>0， 所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3. 因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233. 故直线l 的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，－12∪⎝⎛⎭⎫12，233.(3)证明：由(1)知椭圆C 1的方程为：x 24＋3y 24＝1，设P (x 0，y 0)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)， 因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM ＝－x 3y 3，直线PM 的方程为y －y 3＝－x 3y 3(x －x 3)，化简得x 3x ＋y 3y ＝43，③同理可得直线PN 的方程为x 4x ＋y 4y ＝43.④把P 点的坐标代入③④得⎩⎨⎧x 3x 0＋y 3y 0＝43，x 4x 0＋y 4y 0＝43，所以直线MN 的方程为x 0x ＋y 0y ＝43.令y ＝0，得m ＝43x 0，令x ＝0，得n ＝43y 0， 所以x 0＝43m ，y 0＝43n ，又点P 在椭圆C 1上，所以⎝⎛⎭⎫43m 2＋3⎝⎛⎭⎫43n 2＝4，即13m 2＋1n 2＝34，为定值．[针对训练]已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，。
2018届高三数学二轮复习备考及冲刺策略(改)
2018届高三数学二轮复习备考及冲刺策略仙游县园庄中学高三数学备课组一、指导思想根据我校学生的实际情况，立足课本, 注重基础,构建知识网络,形成完整的知识体系。
面向低、中档题抓训练, 面向全体学生, 降低复习起点, 在夯实“双基”的前提下,注重培养学生的数学能力,提高学生运用知识的能力。
突出思维教学, 强化数学思想的运用, 认真分析教材和近三年的高考题, 分析相应的应试对策,优化复习过程,提高复习效益。
二、学情分析一轮复习针对学生基础较差, 动手能力不强, 知识不能纵横联系, 特别是“代数推理题”、“三角函数变形题”等常常出问题,解析几何不能从宏观上把握题目, 其基本套路不熟, 缺乏运算的恒心, 概率题不能突破“排列与组合” 瓶颈, 填空题的速度与准确率不高等问题进行重点、难点突破, 使学生打下坚实的基础,提高学习兴趣和信心。
三、教材分析理科高考数学考试内容为必修+选修,其中函数,三角变换,不等式,数列,直线与平面,圆锥曲线是教材的重点;充要条件,数列,排列组合，概率与统计,导数是学习的难点。
四、考纲分析高考数学科《考试说明》明确指出:“数学高考旨在测试中学数学基础知识,基本技能,基本思想和方法,考查逻辑思维能力,运算能力,空间想象能力及运用所学知识和方法分析问题, 解决问题的能力和创新能力。
”通过分析便知《考试说明》体现了以下主要特点:(1) 注重基础,突出重点内容的考查;(2) 注重知识的综合和联系,突出数学思想和方法的考查;注重能力的提高,突出应用型和能力型题的考查。
五、对高三数学二轮及冲刺阶段的复习备考第二轮专题过关对于高考数学的复习, 应在一轮系统学习的基础上, 利用专题复习, 更能提高数学备考的针对性和有效性。
专题过关分思想方法与技巧过关和小题型(填空题)及应用题过关。
思想方法专题分为:(1)数形结合思想;(2)分类讨论思想; (3)函数与方程思想; (4)转化与化归思想;知识专题分为:(1) 函数、方程、不等式、导数;(2)数列;(3)三角与向量;(4)解析几何; (5)立体几何;(6)概率与复数;(7)应用题;(8)选考专题。
【通用版】2018年高考理科数学二轮复习：教学案全集(含答案)
[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．2．(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1≤x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x ≤3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，与y ＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.5．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R}，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A ．{－1,0,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；若B ≠∅，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{－1,0,2}． [准解·快解·悟通][题点·考法·全练] 1．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．2．(2017·惠州三调)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C.3．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.4．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 5．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B 对于选项A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”为假命题，故其逆否命题为假命题，综上可知，选B.2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：选C 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．3．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析：选B 当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2017·成都一诊)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n ∈N*}，则A∩B等于()A．{－1,1} B．{－1,3}C．{1,3} D．{3,1，－1}解析：选C∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{1,3,5，…}，∴A ∩B ＝{1,3}．4．(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x>1，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[1,2]D ．(2，＋∞)解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．6．(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．7．(2017·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.8．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0，故选C. 11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．12．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个． 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：________________________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x－a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)}15．已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q是假命题，所以①③正确．答案：①③16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．答案：c，a，b送分专题(二)函数的图象与性质[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (－3))＝( ) A.43B ．23C ．－43D ．3解析：选D 因为f (－3)＝2－2＝14，所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－log 214＝3. 2．函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 要使函数y ＝1－x 22x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以该函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1. 3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式为________．解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：f (x )＝－2x 2＋25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：选D 易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.2．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象，因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，选B.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A 、B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A．f(x)＝1x－x B．f(x)＝x3C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x解析：选A“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝1x－x满足条件．2．(2017·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－2)，则a的取值范围是()A．(－∞，3) B．(0，3)C．(3，＋∞) D．(1，3)解析：选B∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－2)＝f(2)，∴f(2log3a)>f(2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.3．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：64．(2017·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x )，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x －2x )＝－x 2(2x －2－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x >0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题 1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14解析：选B 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2. ∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 212＝－1.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1， 故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝( ) A ．2 016 B.14C ．4 D.12 016解析：选C 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4， ∴f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4. 6．函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝sin xx ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin xx 趋近于0，故选A.7．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知，当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝fx －12，则f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.8．如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 10．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：选C (转化法)由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]14．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23>0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1315．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]16．(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为____________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ， 又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＋32＝－f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误． 故真命题的序号为①②③. 答案：①②③送分专题(三) 平面向量[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．(2017·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→＝ne 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB―→＝λAC ―→，所以有e 1＋me 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.法二：因为A ，B ，C 三点共线，所以必有1n ＝m1，所以mn ＝1.2.如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故正确命题的结论为①③.3．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|＝________.解析：由已知得OA ―→－OB ―→＝2(OB ―→－OC ―→)，即BA ―→＝2CB ―→， ∴|BA ―→|＝2|CB ―→|，∴|AB ―→||BC ―→|＝2.答案：24．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于________．解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n ＝－2.答案：－2[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．已知向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析：选B 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.2．(2017·洛阳统考)已知向量a ＝(1,0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：选D 依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1. 3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，又k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. 4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 35．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD ―→＝DC ―→，则BA ―→·BD ―→的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 法一：由题意得，BA ―→·BC ―→＝0，BA ―→·CA ―→＝BA ―→·(BA ―→－BC ―→)＝|BA ―→|2＝36，∴BA ―→·BD ―→＝BA ―→·(BC ―→＋CD ―→)＝BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→＋23 CA ―→ ＝0＋23×36＝24. 法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2AD ―→＝DC ―→，得D (4,2)．∴BA ―→·BD ―→＝(6,0)·(4,2)＝24.2.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13 C.3＋223D.34解析：选C 由已知可得AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又M ，G ，N 三点共线，故13x ＋13y＝1，∴1x ＋1y ＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·13＝13⎝⎛⎭⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.4．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ―→＝λCB ―→，当PA ―→·PC ―→取到最小值时，λ的值为( )A.14 B.15 C.16D.18解析：选D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，P (x,0)(0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA ―→·PC ―→＝(3－x ，3)·(4－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2－7x ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －722－14.当x ＝72时，PA ―→·PC ―→取得最小值－14.∵CP ―→＝λCB ―→，∴⎝⎛⎭⎫－12，0＝λ(－4,0)， ∴－4λ＝－12，解得λ＝18.故选D.5.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→－34AB ―→＝ |AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22. 答案：22[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D ．32解析：选A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A.25 B ．－25C.35D ．－35解析：选B 法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，由a ＋λb 与c 共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－25. 3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30D ．34解析：选D 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.4．在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→ C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.5．(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析：选A 法一：因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.法二：(特例法)设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12cos π3，12sin π3＝⎝⎛⎭⎫14，34，则(a ＋2b )·b ＝⎝⎛⎭⎫32，32·⎝⎛⎭⎫14，34＝34，|a ＋2b |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6. 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A.322B ．3152C ．－322D ．－3152解析：选A 由题意知AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝322.7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29C.1318D.13解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝73，同理可得AE ＝73， 在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318. 法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.8．(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析：选C 由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)， 则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10 ＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.9．已知向量m ，n 的模分别为2，2，且m ，n 的夹角为45°.在△ABC 中，AB ―→＝2m ＋2n ，AC ―→＝2m －6n ，BC ―→＝2BD ―→，则|AD ―→|＝( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选B 因为BC ―→＝2BD ―→，所以点D 为边BC 的中点，所以AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝2m －2n ，所以|AD ―→|＝2|m －n |＝2(m －n )2＝22＋4－2×2×2×22＝2 2. 10．(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，C ＝120°，则实数λ的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：选C 设AB 中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→PD ―→. 因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线． 又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ， 所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°， 所以四边形APBC 是菱形， 从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1.11．已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA ―→|OA ―→|，b ＝OB ―→|OB ―→|，OP ―→＝a ＋2b ，则PA ―→·PB ―→的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 如图，设A (m,0)，B (0，n )，∴mn ＝2，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，OP ―→＝a ＋2b ＝(1,2)，PA ―→＝(m －1，－2)，PB ―→＝(－1，n －2)，PA ―→·PB ―→＝5－(m ＋2n )≤5－22nm ＝1，当且仅当m ＝2n ，即m ＝2，n ＝1时，等号成立．12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18 C.14D.118解析：选B 如图所示， AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.二、填空题13．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||BO ―→＝3||CO―→，当AO ―→＝x AB ―→＋y AC ―→时，则x －y ＝________.解析：∵AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋32BC ―→＝AB ―→＋32(AC ―→－AB ―→)＝－12AB ―→＋32AC ―→，∴x －y ＝－2.答案：－214．已知a ，b 是非零向量，f (x )＝(ax ＋b )·(bx －a )的图象是一条直线，|a ＋b |＝2，|a |＝1，则f (x )＝________.解析：由f (x )＝a ·bx 2－(a 2－b 2)x －a ·b 的图象是一条直线，可得a ·b ＝0.因为|a ＋b |＝2，所以a 2＋b 2＝4.因为|a |＝1，所以a 2＝1，b 2＝3，所以f (x )＝2x . 答案：2x15．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→) ＝－13AB ―→2＋⎝⎛⎭⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2 ＝－3＋3⎝⎛⎭⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭⎫53，233， 由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：31116．定义平面向量的一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ·b ；③若|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2；④若a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |＝a 2＋b 2，所以①成立；②中，因为|a |＝|b |，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90°，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a |·|2b |＝4|a ||b |，所以②不成立；③中，因为|a |＝|b |，所以a ⊙b ＝|a ＋b |·|a －b |·sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |·|a －b |≤|a ＋b |2＋|a －b |22＝2|a |2，所以③成立；④中，因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，所以a ＋b ＝(－1,4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋b )⊙b ＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．故①③正确．答案：①③送分专题(四) 不等式[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ymB ．x －m ≥y －nC.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x <1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x <2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x <2时，由22－x －2≤0，解得1≤x <2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．4．已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，14 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D ．(－∞，6]解析：选C 根据题意，由于1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x ＝t (0<t ≤2)，则可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋t t 2，故只要求解h (t )＝－1＋tt2(0＜t ≤2)的最大值即可，h (t )＝－1t 2－1t ＝－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，32. [准解·快解·悟通]。
2018届高考数学二轮复习 第二部分 板块(一)系统思想方法——融会贯通(四)数形结合 直观快捷教案 文
数形结合思想的含义 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的 应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动 化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值， 即|AB|＋|AF|. 因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标 为(－2，y0)， 代入x2＝8y，得y0＝12， 故使△APF的周长最小的点P的坐标为－2，12. 答案：－2，12
[总结升华] 运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为
|OC|＝ 32＋42 ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值 为6. 答案：B
6．已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2 ＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆 心，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线 3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处 运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝12·|PA|·|AC|＝12|PA| 越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两 个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一
[解析] 设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xf′xx2－fx， 当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示． 当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1， 当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1， ∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． [答案] A
2018年高考数学大二轮、小三轮复习培优讲义全版 课标理科
最新高考数学大二轮、小三轮精准复习课堂讲义专题一函数第1讲函数的图象与性质1第2讲基本初等函数9第3讲分段函数与绝对值函数15第4讲函数的零点问题21第5讲函数的综合应用28专题二导数第6讲曲线的切线35第7讲函数的单调性40第8讲函数的极值与最值45第9讲导数及其应用53专题三不等式第10讲三个“二次”的问题62第11讲基本不等式与线性规划68专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值74第13讲三角函数的图象及性质79第14讲正、余弦定理及其应用84第15讲平面向量数量积89第16讲向量与三角函数的综合问题93专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系98第18讲平面与平面的位置关系103第19讲立体几何中的计算108专题六解析几何第20讲直线与圆115第21讲隐性圆问题121第22讲圆锥曲线的基本量计算125第23讲圆锥曲线中定点、定值问题130第24讲圆锥曲线中最值、范围问题138第25讲圆锥曲线中探索性问题144专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算151第27讲等差、等比数列的判定与证明155第28讲等差、等比数列的综合应用161第29讲数列的求和及其运用166第30讲数列中的创新性问题171专题八思想方法第31讲函数方程思想177第32讲数形结合思想183第33讲分类讨论思想190第34讲化归转化思想198专题九理科附加第35讲曲线与方程205第36讲空间向量与立体几何212第37讲随机变量及其分布列219第38讲数学归纳法225第39讲计数原理与二项式定理230课后训练专题一函数第1讲函数的图象与性质235第2讲基本初等函数238第3讲分段函数与绝对值函数240第4讲函数的零点问题243第5讲函数的综合应用246专题二导数第6讲曲线的切线249第7讲函数的单调性251第8讲函数的极值与最值253第9讲导数及其应用255专题三不等式第10讲三个“二次”的问题258第11讲基本不等式与线性规划261专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值264第13讲三角函数的图象及性质267第14讲正、余弦定理及其应用270第15讲平面向量数量积272第16讲向量与三角的综合问题274专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系277第18讲平面与平面的位置关系280第19讲立体几何中的计算282专题六解析几何第20讲直线与圆285第21讲隐性圆问题287第22讲圆锥曲线的基本量计算291第23讲圆锥曲线中定点、定值问题294第24讲圆锥曲线中最值、范围问题297第25讲圆锥曲线中探索性问题300专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算303第27讲等差、等比数列的判定与证明305第28讲等差、等比数列的综合应用307第29讲数列的求和及其运用310第30讲数列中的创新性问题312专题八思想方法第31讲函数方程思想315第32讲数形结合思想318第33讲分类讨论思想321第34讲化归转化思想324专题九理科附加第35讲曲线与方程327第36讲空间向量与立体几何330第37讲随机变量及其分布列333第38讲数学归纳法335第39讲计数原理与二项式定理338小三轮回归第一部分知识微专题——回归课本第1练函数图象与性质340第2练基本初等函数342第3练函数与方程344第4练用导数研究函数的性质346第5练不等式的解法348第6练基本不等式与线性规划350第7练三角函数化简与求值352第8练解三角形354第9练三角函数与平面向量356第10练等差数列与等比数列358第11练数列的通项与求和360第12练直线与圆362第13练圆锥曲线364第14练立体几何366第二部分热点微专题——抢分冲刺第1练多元函数的最值问题369第2练三角形中的三角函数371第3练解析几何中最值与范围问题374第4练实际应用性问题377第5练探索与创新性问题380第三部分压轴预测——考前热身2018年江苏高考预热卷(一)3832018年江苏高考预热卷(二)388专题一 函 数 第1讲 函数的图象与性质1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质．1. 根据函数f(x)＝x 2＋1的图象，若0<x 1<x 2，则f(x 1)________f(x 2)． 答案：<解析：作出函数图象，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x 1)<f(x 2)． 2. (2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是________．答案：[1，3] 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)．因为f(x)单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围是[1，3]．3. 若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)解析：由题意a ＝|x|＋x ，令y ＝|x|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x|＋x 只有一解，则a>0.4. (2017·山东卷)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋4)＝f(x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．答案：6解析：由f(x ＋4)＝f(x －2)可知周期T ＝6，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6., 一) 研究函数的单调性, 1) 已知函数f(x)＝a －1|x|.(1) 求证：函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2) 若f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(1) 证明：当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 2)－f(x 1)＝(a －1x 2)－(a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2) 解：由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h(x 1)－h(x 2)＝(x 1－x 2)(2－1x 1x 2)．因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h(x 1)<h(x 2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可．f ′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.① 当a ≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递增； ② 当a ＞0时，x ∈(－∞，－a)，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增；x ∈(－a ，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a ，0)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x ＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －a 3x 2＋1)＝2x ＋a 3x2－1.① 当a ＜0时，要使f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋a3x2≥a 对一切x ＞0成立．当x＝－a2＞0时，有－a ＋4a ≥a ，所以a ≥0，与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1＞－1＝a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求． ③ 当a ＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以f min (x)＝f(a)＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．, 二) 研究函数的最值 , 2) 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝a|x －1|.(1) 若关于x 的方程|f(x)|＝g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2) 求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[－2，2] 上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步骤)．解：(1) 方程|f(x)|＝g(x)，即|x 2－1|＝a|x －1|，变形得|x －1|(|x ＋1|－a)＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x ＋1|＝a 有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a<0或a ＝2.(2) 因为h(x)＝|f(x)|＋g(x)＝|x 2－1|＋a|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a －1，x ≥1，－x 2－ax ＋a ＋1，－1≤x<1，x 2－ax ＋a －1，x<－1.① 当a2>1，即a>2时，结合图形可知h(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3.经比较，此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.② 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h(x)在[－2，－1]，[－a2，1]上递减，在[－1，－a 2]，[1，2]上递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3，h(－a 2)＝a24＋a ＋1.经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.③ 当－1≤a2<0，即－2≤a<0时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.④ 当－32≤a2<－1，即－3≤a<－2时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.⑤ 当a 2<－32，即a<－3时，结合图形可知h(x)在[－2，2]上的最大值为h(1)＝0.综上所述，当a ≥0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3； 当－3≤a<0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3； 当a<－3时，h(x)在[－2，2]上的最大值为0.设a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R .(1) 讨论f(x)的奇偶性； (2) 求f(x)的最小值．解：(1) 当a ＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(a)＝a 2＋1，f(－a)＝a 2＋2|a|＋1，f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2) ① 当x ≤a 时，函数f(x)＝x 2－x ＋a ＋1＝(x －12)2＋a ＋34.若a ≤12，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a 2＋1；若a ＞12，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(12)＝34＋a ，且f(12)≤f(a)．② 当x ≥a 时，函数f(x)＝x 2＋x －a ＋1＝(x ＋12)2－a ＋34.若a ≤－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(－12)＝34－a ，且f(－12)≤f(a)；若a ＞－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(a)＝a 2＋1.综上，当a ≤－12时，函数f(x)的最小值是34－a ；当－12＜a ≤12时，函数f(x)的最小值是a 2＋1；当a ＞12时，函数f(x)的最小值是a ＋34.点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助．因为x ∈R ，f(0)＝|a|＋1≠0，由此排除f(x)是奇函数的可能性．运用偶函数的定义分析可知，当a ＝0时，f(x)是偶函数，第(2)题主要考查学生对分类讨论思想、对称思想的运用．, 三) 研究函数的图象 , 3) 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)＝1，f(x)在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R 上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x 的方程f(x)－c ＝0(c ∈R )根的个数．解：(1) 由题意，当x>0时，设f(x)＝a(x －1)·(x －3)(a ≠0)， 因为f(2)＝1，所以a ＝－1，所以f(x)＝－x 2＋4x －3. 当x<0时，－x>0，因为f(x)为R 上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋4(－x)－3]＝x 2＋4x ＋3， 即x<0时，f(x)＝x 2＋4x ＋3.因为f(x)是奇函数，所以当x ＝0时，得f(0)＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3，x>0，0，x ＝0，x 2＋4x ＋3，x<0.(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)－c ＝0得c ＝f(x)，在图中作y ＝c ，根据交点讨论方程的根：当c ≥3或c ≤－3时，方程有1个根； 当1<c<3或－3<c<－1时，方程有2个根； 当c ＝－1或c ＝1时，方程有3个根； 当0<c<1或－1<c<0时，方程有4个根； 当c ＝0时，方程有5个根．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>b>c)的图象经过点A(m 1，f(m 1))和点B(m 2，f(m 2))，且f(1)＝0.若a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0，则b 的取值范围是________．答案：[0，＋∞) 解析：因为f(1)＝0，所以c ＝－(a ＋b)．又由a>b>c 可知a>0，c<0.由a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0可得a ＝－f(m 1)或a ＝－f(m 2)，即f(x)＋a ＝0的两个根分别为m 1，m 2，即ax 2＋bx ＋c ＋a ＝0有两个根m 1，m 2.所以ax 2＋bx －b ＝0有两个根m 1，m 2，所以Δ＝b 2－4a(－b)＝b(b ＋4a)≥0，所以b ≥0或b ≤－4a.当b ≤－4a 时，4a ＋b ≤0，所以4a ＋b ＋c<0，所以a＋b ＋c<0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，所以b ≥0., 四) 函数图象与性质的综合应用, 4) (2017·张家港模拟)已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x(a ∈R )． (1) 当a ＝4时，解不等式f(x)≥8；(2) 当a ∈[0，4]时，求f(x)在区间[3，4]上的最小值；(3) 若存在a ∈[0，4]，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1) 当a ＝4时，不等式可化为x|x －4|＋2x ≥8. 若x ≥4，则x 2－2x －8≥0，所以x ≥4； 若x<4，则x 2－6x ＋8≤0，所以2≤x<4. 综上，不等式的解集为{x|x ≥2}．(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a －2）x ，x ≥a ，－x 2＋（a ＋2）x ，x<a＝⎩⎨⎧（x －a －22）2－（a －22）2，x ≥a ，－（x －a ＋22）2＋（a ＋22）2，x ＜a.下面比较a －22，a ＋22，a 的大小：因为a ∈[0，4]，所以当a ∈[0，2]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a2≥0，所以作出函数f(x)的图象如图1.所以f(x)在(－∞，a]，[a ，＋∞)上为增函数， 即f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(3)＝15－3a.,图1) ,图2)当a ∈(2，4]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a 2<0，a ＋22≤3.所以作出函数f(x)的图象如图2.所以f(x)在(－∞，a ＋22]，[a ，＋∞)上为增函数，在[a ＋22，a]上为减函数，所以若a ≤3，则f(x)在区间[3，4]上为增函数，最小值为f(3)＝15－3a ； 若3<a ≤4，则f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(a)＝2a.(3) 由(2)知当a ∈[0，2]时，如图1，关于x 的方程f(x)＝tf(a)不可能有3个不相等的实数根．当a ∈(2，4]时，要存在a ，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，则f(a)<tf(a)<f(a ＋22)有解，所以1<t<⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max (2<a ≤4)， f （a ＋22）f （a ）＝18(a ＋4a ＋4)，且函数y ＝a ＋4a 在区间(2，4]上为增函数，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max ＝98，所以1<t<98.(2017·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x<a.若函数g(x)＝2f(x)－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案：(－32，2)解析：(解法1)要使g(x)＝2f(x)－ax 有2个不同的零点，只需y ＝f(x)的图象与直线y ＝12ax 有两个不同的交点，考虑直线x ＝a ，y ＝12ax 与y ＝x 3－3x 交于同一点时的临界状态可求出a ＝－32(如图1)和a ＝2(如图2)，当a 从－32连续变化到2时，直线y ＝12ax 绕着原点逆时针转动，分析可得a ∈(－32，2)． ,图1) ,图2),图3)(解法2)可将条件转化为“若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥a ，x 2－3，x<a ，且y ＝2f(x)－a 恰有1个零点”求解．点评：本题考查分段函数、函数的零点，意在考查考生分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程的数学思想．填空题中的零点问题常利用分离函数、分离参数，继而数形结合得到处理，解答题中的零点问题常利用导数研究函数的性质，常考虑区间端点处函数值的符号、极值的符号，常通过零点赋值法由零点存在性定理处理．1. (2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝2x 3＋x 2，则f(2)＝________．答案：12解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.2. (2017·山东卷)设f(x)＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.若f(a)＝f(a ＋1)，则f(1a )＝________．答案：6解析：当0<a<1时，a ＋1>1，由f(a)＝f(a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)＝2a ，解得a ＝14，此时f(1a)＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a ≥1时，a ＋1≥2，由f(a)＝f(a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此时方程无解．综上可知，f(1a )＝6.3. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：∵ 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，它的图象如图：由f(f(a))≤2，可得f(a)≥－2.当a ＜0时，f(a)＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14≥－2恒成立；当a ≥0时，f(a)＝－a 2≥－2，即a 2≤2，解得0≤a ≤ 2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4. (2017·天津卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|＋2，x<1，x ＋2x，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：(解法1)由题意可知，函数y ＝f(x)的图象恒不在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象下方，画出函数y ＝f(x)和函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2的图象，如图所示．当a ＝0时，显然f(x)>⎪⎪⎪⎪x 2＋a ；当a<0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向右平移|2a|个单位长度得到．由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x<－2a 部分的图象经过点(0，2)时，a 取得最小值，此时a ＝－2；当a>0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向左平移2a 个单位长度得到，由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象经过点(0，2)或与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，a 取得最大值，而经过点(0，2)时，a ＝2，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，设切点为P(x 0，y 0)(x 0>1)，因为x>1时，f ′(x)＝1－2x 2，则1－2x 20＝12，解得x 0＝2，所以y 0＝3.又点P(2，3)在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象上，所以⎪⎪⎪⎪22＋a ＝3，解得a ＝2，因此a 的最大值为2.综上所述，a 的取值范围是[－2，2]．(解法2)不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 转化为－f(x)≤x 2＋a ≤f(x)，当x<1时，有－|x|－2≤x 2＋a ≤|x|＋2，即－|x|－2－x 2≤a ≤|x|＋2－x 2.因为当x<0时，－|x|－2－x 2＝x 2－2<－2，|x|＋2－x 2＝－3x2＋2>2，当0≤x<1时，－|x|－2－x 2＝－3x 2－2≤－2，|x|＋2－x 2＝x2＋2≥2，所以－2≤a ≤2；当x ≥1时，有－x －2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x ，即－3x 2－2x ≤a ≤x 2＋2x .又－3x 2－2x ≤－23，x 2＋2x≥2，所以－23≤a ≤2.综上，－2≤a ≤2.5. (2016·浙江卷)已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋b(a ＞0)在区间[1，3]上有最大值5，最小值1.设f(x)＝g （x ）x.(1) 求a ，b 的值；(2) 若f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1对任意x ∈[1，10)∪(10，100]恒成立，求k 的取值范围．解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋b －a ，因为a ＞0，所以g(x)在区间[1，3]上是增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝1，g （3）＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2) 由已知和(1)可得f(x)＝x ＋2x－2，f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1，即|lg x －1|＋2|lg x －1|－2＋2k|lg x －1|－3k ≥1.令t ＝|lg x －1|，则t ∈(0，1]，t ＋2＋2kt－3k －3≥0对任意t ∈(0，1]恒成立．令h(t)＝t ＋2＋2kt－3k －3，t ∈(0，1]，则① 当k ＝－1时，h(t)＝t ≥0成立；② 当k ＜－1时，h(t)＝t ＋2＋2k t－3k －3在(0，1]上为增函数，t →0＋时，h(t)→－∞，舍去；③ 当k ＞－1时，h(t)在(0，2＋2k]上为减函数，在[2＋2k ，＋∞)上为增函数，若2＋2k ＜1，即－1＜k ＜－12时，h min (t)＝h(2＋2k)＝22＋2k －3k －3≥0，得－1≤k ≤－19，即－1＜k ＜－12； 若2＋2k ≥1，即k ≥－12时，h(t)在(0，1]上为减函数，h min (t)＝h(1)＝－k ≥0，即－12≤k≤0.综上，k 的取值范围是[－1，0]．(本题模拟高考评分标准，满分16分) 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x. (1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设F(x)＝a2·[f 2(x)－2]＋f(x)(a 为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；(3) 对(2)中g(a)，若－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0所有的实数a 及t ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由1＋x ≥0且1－x ≥0，得－1≤x ≤1，所以定义域为[－1，1]．(2分) 又f 2(x)＝2＋21－x 2∈[2，4]，由f(x)≥0得值域为[2，2]．(4分)(2) 令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以F(x)＝m(t)＝a(12t 2－1)＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．(6分)由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值．注意到直线t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，① 若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝ 2.(7分)② 若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m(－1a )＝－a －12a .(8分)③ 若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.(9分)综上有g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2，－12<a<0，－a －12a ，－22＜a ≤－12，2，a ≤－22.(10分)(3) 易得g min (a)＝2，(11分)由－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0恒成立， 即要使－m 2＋2tm ＋2≤g min (a)＝2恒成立⇒m 2－2tm ≥0，令h(t)＝－2mt ＋m 2，对所有的t ∈[－1，1]，h(t)≥0成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）＝2m ＋m 2≥0，h （1）＝－2m ＋m 2≥0，(14分)求出m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．(16分)1. 已知函数f(x)＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．答案：1解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，即log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－xa ＋x，解得a 2＝1.因为a ≠－1，所以a ＝1.2. 已知函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1) 当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 求函数y ＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x 的值．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(2＋1x 1x 2)．∵ 1≥x 1＞x 2＞0，∴ x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0. ∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，∴ f(x)的值域为(－∞，1]．(2) 当a ≥0时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f(x)＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在(0，－a 2]上单调递减，在[－a2，1]上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a.3. 设函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1) 求f(x)，g(x)的解析式，并求证：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1；(2) 设a ≤0，b ≥1，求证：当x>0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．(1) 解：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(x)＋g(x)＝e x ，f(－x)＋g(－x)＝e －x ，即为－f(x)＋g(x)＝e －x ，∴ f(x)＝12(e x －e －x )，g(x)＝12(e x ＋e －x )．证明如下：当x>0时，e x >1，0<e －x <1，故f(x)>0.又由基本不等式，有g(x)＝12(e x ＋e －x )>e x e －x ＝1，即g(x)>1.(2) 证明：由(1)得f ′(x)＝12(e x －1e x )′＝12(e x ＋e x e 2x )＝12(e x ＋e －x)＝g(x) ①，g ′(x)＝12(e x ＋1e x )′＝12(e x －e x e 2x )＝12(e x －e －x)＝f(x) ②，当x>0时，f （x ）x>ag(x)＋(1－a)等价于f(x)>axg(x)＋(1－a)x ③，f （x ）x<bg(x)＋(1－b)等价于f(x)<bxg(x)＋(1－b)x ④， 于是设函数h(x)＝f(x)－cxg(x)－(1－c)x.由①②，有h′(x)＝g(x)－cg(x)－cxf(x)－(1－c)＝(1－c)[g(x)－1]－cxf(x)．当x>0时，若c ≤0，则h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而h(x)>h(0)＝0，即f(x)>cxg(x)＋(1－c)x ，故③成立．若c ≥1，则h′(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上为减函数，从而h(x)<h(0)＝0，即f(x)<cxg(x)＋(1－c)x ，故④成立．综合③④得，当x ＞0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．请使用“课后训练·第1讲”活页练习，及时查漏补缺！第2讲 基本初等函数1. 高考对指数、对数函数的考查主要与其他基本初等函数知识相结合，考查函数的单调性及其基本性质，考查指数式的运算．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 指数与对数的基本运算、对数的运算性质；(2) 与指数式综合考查比较大小；(3) 有关图象的识别问题．1. (2017·南京、盐城二模)函数f(x)＝ln 11－x的定义域为________．答案：(－∞，1)解析：由11－x＞0，得1－x ＞0，即x ＜1.2. y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，则a ∈________．答案：(12，1)解析：因为y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，所以0＜log 12a ＜1，所以12＜a ＜1，即a ∈(12，1)．3. (2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a ＝g(－log 25.1)，b ＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案：b<a<c解析：由函数f(x)为奇函数且在R 上单调递增，可知当x>0时，f(x)>0，所以g(x)＝xf(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝g(3)>a ＝g(－log 25.1)＝g(log 25.1)>g(2)，b ＝g(20.8)<g(2)，所以b<a<c.4. 已知函数f(x)(x ∈R ，且x ≠1)的图象关于点(1，0)对称，当x>1时f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，则不等式f(x)>1的解集是________．答案：(－∞，－1)∪(1，32)解析：由题意，f(x)＝－f(2－x)，因为当x ＞1时，f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，所以log a 2＝－1，所以a ＝12.所以当x ＞1时，不等式f(x)＞1可化为log 12(x －1)＞1，所以1＜x ＜32；当x ＜1时，2－x ＞1，不等式f(x)＞1可化为－log 12(1－x)＞1，所以x ＜－1., 一) 基本初等函数的性质研究, 1) 已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0. 解：(1) 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a.由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验，当a ＝2，b ＝1时，f(x)为奇函数．(2) 由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－1)＝f(－2t 2＋1)． 因为f(x)是减函数，由上式推得t 2－2t>－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t>1或t<－13，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t>1或t<－13.已知函数f(x)＝a －22x ＋1(a ∈R )．(1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： ① 函数f(x)的值域；② 满足f(ax)<f(2a －x 2)的x 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(x)＝a －22x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 2＋1）（2x 1＋1）.因为y ＝2x 在R 上单调递增，且x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0， 所以f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数． (2) 因为f(x)是定义域上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即a －22－x ＋1＋(a －22x ＋1)＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －(2·2x 2x ＋1＋22x ＋1)＝0，所以2a －2＝0，即a ＝1.① 由a ＝1得f(x)＝1－22x ＋1.因为2x ＋1>1，所以0<12x ＋1<1，所以－2<－22x ＋1<0，所以－1<1－22x ＋1<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)．② 由a ＝1得f(x)<f(2－x 2)，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以x<2－x 2，解得－2<x<1. 故x 的取值范围是(－2，1)．, 二) 基本初等函数的图象变换, 2) 设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0<a<b. (1) 若a ，b 满足f(a)＝f(b)，求证：ab ＝1；(2) 在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f(a ＋b2)所得到的关于b 的方程g(b)＝0，存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.证明：(1) 结合函数图象，由f(a)＝f(b)，0<a<b 可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，即ab ＝1.(2) 因为0<a<b ，所以a ＋b2>ab ＝1.由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0.设g(b)＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点， 即存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x(a>1)的图象上，则实数a 的值为________．答案： 2解析：设A(t ，3log a t)(t>0)，因为正方形ABCD 的边长为2， 所以B(t ，2log a t)，C(t 2，2log a t)，则⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＝2，3log a t －2log a t ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t －2＝0，log a t ＝2， 解得⎩⎨⎧t ＝2，a ＝2，即所求的实数a 的值为 2., 三) 基本初等函数与不等式综合, 3) 已知f(log 2x)＝x.(1) 若f(x)＋x ＝10的根x 0∈(k 2，k ＋12)，k ∈Z ，求k 的值；(2) 设g(x)＝f （x ＋1）＋af （x ）＋b(a<b)为其定义域上的奇函数，求实数a ，b 的值．解：(1) 令t ＝log 2x ，则x ＝2t ， 所以f(t)＝2t ，即f(x)＝2x .方程f(x)＋x ＝10即为2x ＋x ＝10.设h(x)＝2x ＋x －10，显然h(x)在R 上为增函数，因为h(2)＝22＋2－10＝－4<0，h(3)＝23＋3－10＝1>0，h(52)＝252＋52－10＝42－152<0， 所以函数h(x)的零点x 0∈(52，3)，所以符合条件的整数k ＝5.(2) g(x)＝2x ＋1＋a2x ＋b，因为g(x)为其定义域上的奇函数， 所以g(－x)＋g(x)＝0恒成立，即2－x ＋1＋a 2－x ＋b ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0恒成立， 所以2＋a·2x 1＋b·2x ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0，即(2＋a·2x )(2x ＋b)＋(1＋b·2x )(2x ＋1＋a)＝0恒成立，化简为(a ＋2b)22x ＋2(ab ＋2)2x ＋(a ＋2b)＝0恒成立，所以a ＋2b ＝0，且ab ＋2＝0， 解得a ＝2，b ＝－1或a ＝－2，b ＝1. 因为a<b ，所以a ＝－2，b ＝1.已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x.(1) 当x ∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2) 如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f(x 2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]． (2) 由f(x 2)·f(x)>k·g(x)， 得(3－4log 2x)(3－log 2x)>k·log 2x.令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ① 当t ＝0时，k ∈R ；② 当t ∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t恒成立，即k<4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围是(－∞，－3)．, 四) 基本初等函数与方程综合, 4) 已知a>0，且a ≠1，函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1) 求函数F(x)的定义域D 及其零点；(2) 若关于x 的方程F(x)－m ＝0在区间[0，1)内有解，求实数m 的取值范围．解：(1) F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a>0且a ≠1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1，所以函数F(x)的定义域D 为(－1，1)．令F(x)＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0 (*)．方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x)， 即(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3，经检验x ＝－3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0， 即函数F(x)的零点为0.(2) m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)(0≤x<1)，a m ＝1－x ＋41－x －4，设1－x ＝t ∈(0，1]，函数y ＝t ＋4t在区间(0，1]上是减函数，当t ＝1时，x ＝0，y min ＝5，所以a m ≥1. ① 若a>1，则m ≥0，方程有解； ② 若0<a<1，则m ≤0，方程有解．所以，当a ＞1时，m ≥0；当0＜a ＜1时，m ≤0.已知函数f(x)＝log a x －1x ＋1(其中a ＞0且a ≠1)．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性；(2) 已知关于x 的方程log a m（x ＋1）（7－x ）＝f(x)在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．解：(1) 由对数有意义可得x －1x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞1，所以f(x)＝log a x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝log a －x －1－x ＋1＝log a x ＋1x －1＝－log a x －1x ＋1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m（x ＋1）（7－x ）＞0，x －1x ＋1＞0，m （x ＋1）（7－x ）＝x －1x ＋1.问题转化为求函数m ＝(x －1)(7－x)在x ∈[2，6]上的值域，该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，所以当x ＝2或6时，m 取最小值5；当x ＝4时，m 取最大值9. 所以m 的取值范围是[5，9]．1. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________．答案：(4，＋∞) 解析：函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8＞0解得x ＞4或x ＜－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间为(4，＋∞)．2. (2017·山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ________．答案：[－2，1)解析：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0得x<1，所以B ＝{x|x<1}．故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}．3. (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x －(13)x ，则f(x)是________函数．(选填“奇”或“偶”)答案：奇解析：因为f(－x)＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－3x ＋(13)x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．4. (2017·山东卷)若函数e xf(x)(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数为________．(填序号)① f(x)＝2－x ；② f(x)＝3－x ；③ f(x)＝x 3；④ f(x)＝x 2＋2. 答案：①④解析：令g(x)＝e x f(x)．对于①，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 2－x ＝(e 2)x 在R 上单调递增，具有M 性质；对于②，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 3－x ＝(e 3)x 在R 上单调递减，不具有M 性质；对于③，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x x 3，g ′(x)＝e x x 3＋3x 2e x ＝e x (x 3＋3x 2)>0在R 上不恒成立，所以g(x)在R 上不单调递增，不具有M 性质；对于④，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x (x 2＋2)，g ′(x)＝e x (x 2＋2)＋2xe x ＝e x (x 2＋2x ＋2)>0在R 上恒成立，所以g(x)在R 上单调递增，具有M 性质．故填①④.5. (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e x (e x －a)－a 2x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)≥0，求a 的取值范围．解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e 2x －ae x －a 2＝(2e x ＋a)(e x －a)． ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ② 若a ＞0，则由f′(x)＝0得x ＝ln a.当x ∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③ 若a ＜0，则由f′(x)＝0得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞，ln(－a 2))时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln(－a2)，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln(－a 2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增．(2) ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，所以f(x)≥0.② 若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f(x)≥0.③ 若a ＜0，则由(1)得当x ＝ln(－a 2)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]．从而当且仅当a 2[34－ln(－a2)]≥0，即a ≥－2e 34时，f(x)≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]．(本题模拟高考评分标准，满分16分)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．举例：f(x)＝x ，D ＝[－3，2]，则对任意x ∈D ，|f(x)|≤3，根据上述定义，f(x)＝x 在[－3，2]上为有界函数，上界可取3，5等等．已知函数f(x)＝1＋a·2x ＋4x，g(x)＝1－2x1＋2x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 求函数g(x)在[0，1]上的上界T 的取值范围；(3) 若函数f(x)在(－∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋2x ＋4x ，设t ＝2x ，x ∈(0，＋∞)，所以t ∈(1，＋∞)， y ＝t 2＋t ＋1，值域为(3，＋∞)， 不存在正数M ，使x ∈(0，＋∞)时，|f(x)|≤M 成立，即函数在(0，＋∞)上不是有界函数．(5分)(2) 设t ＝2x ，t ∈[1，2]，g(t)＝1－t 1＋t ＝21＋t－1在t ∈[1，2]上是减函数，值域为[－13，0]，要使|g(x)|≤T 恒成立，则T ≥13.(10分)(3) 由已知x ∈(－∞，0]时，不等式|f(x)|≤3恒成立，即|1＋a·2x ＋4x |≤3， 设t ＝2x ，t ∈(0，1]，不等式化为|1＋a·t ＋t 2|≤3. (解法1)讨论：当0＜－a 2≤1，即－2≤a ＜0时，1－14a 2≥－3且2＋a ≤3，得－2≤a<0；当－a 2≤0或－a2＞1，即a ＜－2或a ≥0时，－3≤2＋a ≤3，得－5≤a ＜－2或0≤a ≤1.综上，－5≤a ≤1.(16分)(解法2)不等式1＋at ＋t 2≥－3且1＋at ＋t 2≤3在t ∈(0，1]上恒成立．分离参数法得－a ≤t ＋4t 且－a ≥t －2t在t ∈(0，1]上恒成立，得－5≤a ≤1.(16分)1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ＋1，x ≤0，则f(f(14))的值是________．答案：109解析：由题意可得f(14)＝log 214＝－2，∴ f(f(14))＝f(－2)＝3－2＋1＝109.2. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )．(1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x>0，－f （x ），x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴ f(x)＝(x ＋1)2.∴ F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x>0，－（x ＋1）2，x<0. ∴ F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2) 由a ＝1，c ＝0，得f(x)＝x 2＋bx ，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又在区间(0，1]上，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴ －2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．3. 已知a ∈R ，函数f(x)＝log 2(1x＋a)．(1) 当a ＝5时，解不等式f(x)＞0；(2) 若关于x 的方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝5时，f(x)＝log 2(1x＋5)，由f(x)＞0，得log 2(1x＋5)＞0，即1x ＋5＞1，即x ＞0或x ＜－14， 即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞0或x ＜－14.(2) 由f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得log 2(1x ＋a)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，即log 2(1x ＋a)＝log 2[(a －4)x ＋2a －5]，即1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0 ①， 则(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0 ②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立； 当a ＝3时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝1a －4，若x ＝－1是方程①的解，则1x＋a ＝a －1＞0，即a ＞1；若x ＝1a －4是方程①的解，则1x ＋a ＝2a －4＞0，即a ＞2.则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2.综上，若方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1<a ≤2或a ＝3或a ＝4.请使用“课后训练·第2讲”活页练习，及时查漏补缺！第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点内容，主要考查分类讨论思想，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行性质讨论；二是结合函数图象，寻求解题方法．1. (2017·启东模考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －1，x<0，－x 2＋x ，x ≥0，则f(f(2))＝________．答案：3解析：因为f(2)＝－4＋2＝－2，f(－2)＝(12)－2－1＝3，所以f(f(2))＝3.2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________．答案：9解析：由f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3. (2017·盐城期中)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a在区间(－∞，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1，0]解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a ，根据反比例函数的性质可知，在区间(－∞，0)上单调递减，要使函数f(x)在区间(－∞，a)上单调递减，则a ≤0.因此函数f(x)＝|x ＋1|在区间(a ，＋∞)上单调递增，那么a ＋1≥0，解得a ≥－1.所以实数a 的取值范围是[－1，0]．4. (2017·苏北四市一模)已知函数f(x)＝|x 2－4|＋a|x －2|，x ∈[－3，3]．若f(x)的最大值是0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：(解法1)因为函数f(x)的最大值为0，故f(x)≤0在[－3，3]上恒成立，从而f(3)≤0，解得a ≤－5.又f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4＝（x ＋a 2）2－a 24－2a －4，x ∈[2，3]，－x 2－ax ＋2a ＋4＝－（x ＋a 2）2＋a24＋2a ＋4，x ∈（－2，2），x 2－ax ＋2a －4＝（x －a 2）2－a 24＋2a －4，x ∈[－3，－2]. 因为a ≤－5，所以－a 2≥52，当－a 2∈[52，3]时，画出f(x)的草图，结合图象可知函数f(x)在[－3，a 2]上单调递减，在[a 2，2]上单调递增，在[2，－a 2]上单调递减，在[－a2，3]上单调递增．因为f(2)＝0，故f(－3)≤0且f(3)≤0，解得a ≤－5.当－a2≥3，即a ≤－6时，f(x)在[－3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)≤0恒成立．故a ≤－5.(解法2)因为f(x)＝|x －2|(|x ＋2|＋a)，|x －2|≥0，且函数f(x)的最大值为0，故|x ＋2|＋a ≤0在[－3，3]上恒成立，从而a ≤－|x ＋2|在[－3，3]上恒成立．因为(－|x ＋2|)min ＝－5，故a ≤－5., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|. (1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)； 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x ＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．(3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a ≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2. (ⅰ) 当2<a ≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1<a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．(2017·南通平潮中学模考)设函数f(x)＝|lg x|.若方程f(x)＝(110)x 有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，试比较x 1x 2与1的大小．解：由题意，|lg x 1|＝(110)x 1，|lg x 2|＝(110)x 2，因为x 1<x 2，由图知，0<x 1<1<x 2.所以－lg x 1＝(110)x 1，lg x 2＝(110)x 2，所以(110)x 2－(110)x 1＝lg x 2＋lg x 1＝lg x 1x 2.因为x 1<x 2，所以(110)x 2－(110)x 1<0，所以lg x 1x 2<0，从而x 1x 2<1., 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研重点攻关
保分专题(一) 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]指数与对数式的8个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )m ＝a m b m ；(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(5)log a MN ＝log a M －log a N ；(6)log a M n＝n log a M；(7)a log a N＝N；(8)log a N＝log b N log b a.[注意](1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析]选D由2x＝3y＝5z，可设(2)2x＝(33)3y＝(55)5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t>1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以2<33；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以2>55，所以55<2<33.分别作出y＝(2)x，y＝(33)x，y＝(55)x的图象，如图．则3y<2x<5z，故选D.(2)已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()[解析]选B∵f(x)＝a x－2>0恒成立，又f(4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝log a|－4|＝log a4<0＝log a1，∴0<a<1.故函数y＝f(x)在R上单调递减，且过点(2,1)，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确．[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[1,81]B ．[1,3]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2， ∴f (x )＝3x －2，其在区间[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝30＝1，f (x )max ＝f (4)＝32＝9. 故f (x )的值域为[1,9]．2．若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2， ∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 2[师生共研·悟通]1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[典例] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x ＋log 2018x ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3.(2)(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)[解析] 选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：①当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；②当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[类题通法]1．判断函数零点个数的3种方法2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[即学即用·练通]1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫19，13 B.⎝⎛⎭⎫13，59 C.⎝⎛⎭⎫59，79 D.⎝⎛⎭⎫79，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0， 即f ⎝⎛⎭⎫19·f ⎝⎛⎭⎫13<0， 所以函数f (x )＝log 3x －x ＋2在⎝⎛⎭⎫19，13上必有一个零点．2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为f (x )在(1,2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3.3．设f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5，函数g (x )是这样定义的：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )，当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 2(x )，若方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(3,4)解析：选D 作出f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的图象如图，函数g (x )的图象为两函数中位置在上的部分(即图中实线部分)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤1，－x 2＋6x －5，1<x ≤4，x －1，x >4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－x 2＋6x －5， 得A (4,3)，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的顶点坐标为B (3,4)，要使方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，即函数g (x )的图象与函数y ＝a 的图象有四个不同交点，数形结合可得3<a <4，故选D.函数的实际应用[师生共研·悟通][典例] (2017·湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析] 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭⎫0.915t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． [答案] 10 [类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[即学即用·练通]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．2．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(百台)进行统计，得数据如下：x (月份) 1 2 3 4 5 Q (x )(百台)691086x (月份)变化关系的模拟函数是( )A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)D ．Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(百台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.[专题过关检测]A 级——常考点落实练1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．5．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.7．(2017·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.B 级——易错点清零练1．已知函数f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－12，2 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－12且x ≠0.2．已知a ＞1，f (x )＝a x 2＋2x ，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1＜x ＜0B ．－2＜x ＜1C ．－2＜x ＜0D ．0＜x ＜1解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x 在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a x 2＋2x <1⇔a x 2＋2x <a 0⇔x 2＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 答案：[0,1]C 级——“12＋4”高考练1．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．2．“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >1得0<a <1，若函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增，则3－2a >1，解得a <1.故“1a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的充分不必要条件．3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093.4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.5．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lg x －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lgx ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．6．(2018届高三·济南质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝⎛⎭⎫126＝164，则a>b>c.7．(2017·沈阳模拟)若函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )A B C D解析：选B 由函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－x ，y ＝(－x)3＝－x 3及y ＝log 3(－x)均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B .8．(2017·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A ．11 000元B ．22 000元C ．33 000元D ．40 000元解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．9．(2018届高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f(log 3x ＋1)≤5的解集为( )A .⎝⎛⎭⎫13，1B ．[1,4]C .⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5， 解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4.10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33B.⎝⎛⎭⎫0，22C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33. 13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④15．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④保分专题(二) 导数的简单应用[全国卷3年考情分析][师生共研·悟通]1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a >0)； (4)(log a x )′＝1x ln a(a >0，且a ≠1)． [典例] (1)已知M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x 2，1≤x ≤2，y ≥0表示的平面区域，直线l ：y ＝2x＋a ，当a从－2连续变化到0时，区域M 被直线l 扫过的面积为( )A.73 B ．2 C.32D ．43[解析] 选D 作出图形可得区域M 被直线l 扫过的面积为 S 2＝⎠⎛12x 2d x －S 1＝13x 321－12×1×2 ＝13×(8－1)－1 ＝43.(2)(2017·昆明质检)若函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝___________________________________________________________.[解析] 由题意，得f ′(x )＝－2ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3.[答案] 3(3)(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0[即学即用·练通]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．(2017·沈阳质检)设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ，∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝03.⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 31－1＝23，而根据定积分的定义可知⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积，∴⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝23＋π2.答案：23＋π2利用导数研究函数的单调性[师生共研·悟通] 导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ❶.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0❷，求a 的取值范围．[解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲讨论f (x )的单调性，应先求f (x )的定义域及导数f ′(x )，再讨论f ′(x )的符号；第(2)问：欲求a 的取值范围，应想到找出有关a 的不等关系．由f (x )≥0，则应求f (x )的最小值，借助(1)的结论可得．(二)建桥——寻关键点[解] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 34，1.[即学即用·练通]1．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2 6 ] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－2 6.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <－2时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数.利用导数研究函数的极值(最值)问题[师生共研·悟通]函数f (x )在点x 0附近有定义，若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x ❶.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程❷；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值❸. [解答示范](一)搭桥——找突破口第(1)问：欲求函数在某点处的切线方程，应知切线的斜率，即求f (x )在此点处的导函数值；第(2)问：欲求函数在某区间上的最值，应知f (x )在此区间的单调性，即判断f ′(x )在此区间上的正负．(二)建桥——寻关键点[解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x)＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[即学即用·练通]1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 2．已知函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.3－1B.34 C.43D.3＋1解析：选A 由f (x )＝xx 2＋a 得f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当a ＞1时，若x ＞a ，则f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 若1＜x ＜a ，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝a 时，函数f (x )有最大值12a ＝33，得a ＝34＜1，不合题意；当a ＝1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f (1)＝12，不合题意；当0＜a ＜1时，函数f (x )在 [1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f (1)＝1a ＋1＝33，得a ＝3－1，符合题意．故a 的值为3－1.3．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x . 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减； 当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx ，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a . 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a ≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,0)．[专题过关检测]一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( ) A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值 B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．0D ． 2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－bx2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，令当1－bx 2＝0，得b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．6．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－18，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.二、填空题7．(2017·长春质检)⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．已知函数f(x)＝12x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x)＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________．解析：显然m ＞0，由e x ＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2e m －12，则|AB|＝2e m－12－ln m ．令h(m)＝2e m －12－ln m ，由h ′(m)＝2e m －12－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜12时，h ′(m)＜0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当m ＞12时，h ′(m)＞0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．所以h(m)min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝2＋ln 2，因此|AB|的最小值为2＋ln 2.答案：2＋ln 2 三、解答题 10．已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值． 解：(1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x＋a ， 由题意可得f ′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)， ∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f(x)＝xln x＋2x(x>1)， f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2xln 2x，令f ′(x)＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍去)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.12．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝aln x ＋x 2－ax (a ∈R)． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ， 所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，则g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x . 令g ′(x )＝0，得x ＝a2或x ＝1.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.保分专题(三) 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]三角函数的定义、诱导公式及基本关系[师生共研·悟通]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)． 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x. [典例] (1)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A.43 B ．23C ．－23D ．－43[解析] 选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45， 所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，故原式＝－34.[答案] －34[即学即用·练通]1．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13.法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z)．。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级三 30分的拉分题因人而定酌情自选 Word版
[全国卷3年考情分析][典例] (2016·四川高考)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．[解析] 对于①，特殊值法．取A (1,1)，则A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，A ′的“伴随点”为点(－1，－1)．故①为假命题．对于②，单位圆的方程为x 2＋y 2＝1，设其上任意一点(x ，y )的“伴随点”为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y2＝y ，y ′＝－xx 2＋y 2＝－x ，∴y 2＋(－x )2＝y 2＋x 2＝1.故②为真命题．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③为真命题．④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝⎛⎭⎫25，－15，此三点不共线，故④为假命题． 故真命题为②③. [答案] ②③1．(2018届高三·湘中高三联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ，①则当n ≥2时，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1，②①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 5≥0，b 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5(2－k )＋2≥0，6(2－k )＋2≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎡⎦⎤73，125[典例] (2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[解析] 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. [答案] 1－ln 22．(2017·郑州质检)设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥a 恒成立，则a的最大值为( )A ．22B ．4 2C ．8D ．16解析：选C 法一：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，y －1＝1，2x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，即a ≤8，故a 的最大值是8.法二：令m ＝2x －1，n ＝y －1， 则m >0，n >0，x ＝m ＋12，y ＝n ＋1，4x 2y －1＋y 22x －1＝4⎝⎛⎭⎫m ＋122n ＋(n ＋1)2m＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥4m n ＋4nm≥24m n ×4nm＝8， 当且仅当m ＝1且n ＝1，即x ＝1，y ＝2时取等号， 即4x 2y －1＋y 22x －1≥8， 故a ≤8，所以a 的最大值是8.[典例] (2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x ＜1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－23，2] C ．[－2,2 3 ]D ．[－23，2 3 ][解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．当y ＝⎪⎪⎪⎪x2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2. 当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2. 要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.法二：∵f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立， ∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立．①令g (x )＝－f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2， g (x )＝－x －2－x 2＝－32x －2≤－2，即g (x )max ＝－2.当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，g (x )＝x －2－x 2＝x2－2，即g (x )＜－2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝－x －2x －x 2＝－32x －2x ≤－23，即g (x )max ＝－2 3. ∴a ≥－2. ②令h (x )＝f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2，h (x )＝x ＋2－x 2＝x2＋2≥2，即h (x )min ＝2. 当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，h (x )＝－x ＋2－x 2＝－32x ＋2＞2，即h (x )＞2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，即h (x )min ＝2. ∴a ≤2.综上可知，－2≤a ≤2.法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2， 而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D.若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.3．(2017·东北四市高考模拟)已知函数f (x )＝cos x ＋mcos x ＋2，若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，6B.⎝⎛⎭⎫53，6 C.⎝⎛⎭⎫75，5 D.⎝⎛⎭⎫54，5 解析：选C f (x )＝cos x ＋m cos x ＋2＝1＋m －2cos x ＋2，令t ＝cos x ＋2，由于－1≤cos x ≤1，因此1≤t ≤3， 设g (t )＝1＋m －2t(1≤t ≤3)．法一：若对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )都为某个三角形的三边长，不妨设a <c ，b <c ，则只需满足f (a )＋f (b )>f (c )恒成立，故只需2f (x )min >f (x )max 即可，即2g (t )min >g (t )max .当m ＝2时，f (a )＝f (b )＝f (c )＝1，成立，故m ＝2符合题意；当m <2时，g (t )＝1＋m －2t 在[1,3]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(m －1)>1＋m －23，m <2，解得75<m <2；当m >2时，g (t )＝1＋m －2t在[1,3]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧2⎝⎛⎭⎫1＋m －23>m －1，m >2，解得2<m <5.综上，75<m <5. 法二：令m ＝5，则g (t )＝1＋3t (1≤t ≤3)，∴2≤g (t )≤4.取f (a )＝f (b )＝2，f (c )＝4.不合题意，排除A 、B ；取m ＝1310，则g (t )＝1－710t (1≤t ≤3)，∴310≤g (t )≤2330，取f (a )＝310，f (b )＝310，f (c )＝2330，不合题意，排除D ，故选C.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 法一：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1m y i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .法二：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．可设y ＝f (x )＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x ＋1x ，得交点(－1,0)，(1,2)，则x 1＋y 1＋x 2＋y 2＝2，结合选项，应选B.[答案] B[针对训练]4．(2017·沈阳质检)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→的值是( )A ．－38B.316 C ．－38D.38解析：选A 法一：令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx＝－cos π3＝－12，所以P A ―→·PB ―→＝|P A ―→|·|PB ―→|·cos ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝⎛⎭⎫－12＝34×⎝⎛⎭⎫－12＝－38. 法二：如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠AOB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∴P A ―→·PB ―→<0.取P 点为双曲线右顶点． 则|P A |＝|PB |＝12|OP |＝32，∴P A ―→·PB ―→＝－38.[专题过关检测]一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n ，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n 代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C 法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PF |，当m 取最大值时，|P A |的值为( )A ．1B ． 5 C. 6D ．2 2解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|P A |＝x 2＋(y ＋1)2，所以m＝x 2＋(y ＋1)2y ＋1，平方得m 2＝x 2＋(y ＋1)2(y ＋1)2，又x 2＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2＝4y ＋(y ＋1)2(y ＋1)2＝4y(y ＋1)2＋1＝1＋4y ＋1y＋2，由基本不等式可知y ＋1y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|P A |＝4＋(1＋1)2＝2 2.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，12bc －ad ，ad <bc ，已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 41x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，23∪⎝⎛⎭⎫34，1 B.⎝⎛⎭⎫－1，1724 C.⎝⎛⎭⎫－1，1724∪⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(－1,1)解析：选A 由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤－2或x ≥2，124－x 2，－2<x <2，直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝124－x 2(－2<x <2)的图象为椭圆的上半部分，B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB <k <1或－1<k <k AD 时，直线l 与f (x )的图象有两个交点．k AB ＝3－02－(－2)＝34，将y ＝k AD (x －2)＋3与y ＝124－x 2(－2<x <2)联立消去y ，得(1＋4k 2AD )x 2＋8k AD (3－2k AD )x ＋16k 2AD －48k AD ＋32＝0，令Δ＝0，解得k AD ＝23.综上所述，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，23∪⎝⎛⎭⎫34，1. 6．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D. 7．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝sin x2＋cos x.若当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，33B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫33，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－33，32 解析：选B 由题意，当x >0时，f (x )＝sin x2＋cos x <kx 恒成立．由f (π)<k π，知k >0.又f ′(x )＝1＋2cos x (2＋cos x )2，由切线的几何意义知，要使f (x )<kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x <0，∵g ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2－13＝－(cos x －1)23(2＋cos x )2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴不等式成立．综上，k ∈⎣⎡⎭⎫13，＋∞.8．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下述判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α的最小值为725解析：选D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE ―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→·BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→·AC ―→＝0，整理得，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB ―→|·|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|·|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1≥2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725，所以sin π2－2α的最小值是725.9．(2017·石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1， 则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3， 又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32 ＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，结合图象知选A.10．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→(a ，b ∈R)，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B 使用特殊值法求解．设A (1,0)，B (0，－1)，则OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→＝(a ，－b )．∵C 在圆上，∴a 2＋b 2＝1，∴点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 二、填空题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e <1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e<1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：42．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：(特殊图形)如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin ∠E ＝BE sin ∠C，即2sin 30°＝BEsin 75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC，即BFsin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)． 答案：(6－2，6＋2)3．设0<m <12，若1m ＋11－2m≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题可知，k 的最大值即为1m ＋11－2m 的最小值．因为1m ＋11－2m ＝[2m ＋(1－2m )]⎝⎛⎭⎫1m ＋11－2m ＝3＋1－2m m ＋2m1－2m ≥3＋22，取等号的条件是当且仅当1－2m ＝2m ，即m ＝1－22∈⎝⎛⎭⎫0，12时成立，所以k 的最大值为3＋2 2.故所求实数k 的取值范围是(－∞，3＋2 2 ]．答案：(－∞，3＋2 2 ]4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π125．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝(x －3)2＋y 2≤(3－2)2＋(0－1)2＋1＝2＋1， 即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋16．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：设AD ＝x ，则AB ＝AC ＝2x ，因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以AB ＋AD >BD ，即2x ＋x >3，x >1，AB －AD <BD ，即2x －x <3，x <3，所以x ∈(1,3)． 在△ABD 中，由余弦定理得9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos A ，即cos A ＝5x 2－94x 2，S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×2x ×x ×sin A＝2x21－⎝⎛⎭⎫5x 2－94x 22＝32－(x 4－10x 2＋9)， 令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，S △ABC ＝32－(t －5)2＋16，当t ＝5，即x ＝5时，S △ABC 有最大值6.答案：67．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )为增函数，且f (2)＝e 2－2＋2－3＝0，所以函数f (x )＝e x －2＋x －3只有一个零点x ＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解，所以a ＝x ＋4x －1，而函数y ＝x ＋4x －1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x ＝2时，a 取最小值3，且当x ＝1时，a ＝4，当x ＝3时，a ＝103，所以a max ＝4，所以实数a 的取值范围是[3,4]．答案：[3,4]8．对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．对正整数k ，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n )．若数列{Δ2a n }的各项均为2，且满足a 11＝a 2 015＝0，则a 1的值为________．解析：因为数列{Δ2a n }的各项均为2，即Δa n ＋1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa 1＋2n －2，即a n＋1－a n ＝Δa 1＋2n －2，所以a n －a 1＝(n －1)Δa 1＋(0＋2＋4＋…＋2n －4) ＝(n －1)Δa 1＋(n －1)(n －2)(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－a 1＝10Δa 1＋10×9，a 2 015－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，即⎩⎪⎨⎪⎧0－a 1＝10Δa 1＋10×9，0－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013， 解得a 1＝20 140. 答案：20 1409．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则b ＝________ ；λ＝________ .解析：法一：(三角换元)在圆O 上任意取一点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |可得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[(cos θ＋2)2＋sin 2θ]，整理得1＋b 2－5λ2－(2b ＋4λ2)·cos θ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2－5λ2＝0，2b ＋4λ2＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12.法二：(特殊点)既然对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，使得λ与b 为常数，那么取M (1,0)与M (0,1)代入|MB |＝λ|MA |，得⎩⎪⎨⎪⎧(b －1)2＝9λ2，b 2＋1＝5λ2， 解得⎩⎨⎧b ＝－12，λ＝12.答案：－12 1210．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝qp ，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x＝0的解的个数为8.答案：8压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略[全国卷3年考情分析][常考题点逐一突破][典例] (2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．[针对训练]1．(2017·沈阳质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y－y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23，b ＝6， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)证明：由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ>0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20， ∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.故k 1k 2为定值． (3)|OP |2＋|OQ |2是定值． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 212＋y26＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝121＋2k 21，y 21＝12k211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22.由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22 ＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12 ＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上，|OP |2＋|OQ |2为定值，且为18.[典例] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． [解] (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP 的斜率为k ，则直线BQ 的斜率为－1k .则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为y －94＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －32， 即x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.[针对训练]2．(2017·沈阳质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2. (1)求椭圆的方程；(2)点A 为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝⎛⎭⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎫1，－22，C ⎝⎛⎭⎫－1，－22， 故S △ABC ＝12×2×2＝ 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消去y ， 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，|AB |＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4k 22k 2＋12－4·2k 2－22k 2＋1 ＝22·k 2＋12k 2＋1，点O 到直线kx －y －k ＝0的距离d ＝|－k |k 2＋1＝|k |k 2＋1， ∵O 是线段AC 的中点， ∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k |k 2＋1， ∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·k 2＋12k 2＋1·2|k |k 2＋1 ＝2 2k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝2 214－14(2k 2＋1)2< 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.故k 的取值范围是(32，2)．解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． [题后悟通][针对训练]3．已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24. ∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0消去y ， 得(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP ―→＝3PB ―→，得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0. ∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0， 即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0.当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即(4－m 2)m 2m 2－1>0. 解得1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1,4).[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．[题后悟通]直线过定点问题的解题模型[针对训练]4．(2017·郑州模拟)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2消去y ，得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1－x 24x 1＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2).[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上， 所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3.由PM ―→＝NQ ―→，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM ―→＝NQ ―→，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，⎭⎫可得y 4＝2t －159又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[针对训练]5．(2017·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由． 解：(1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝ m －m 2＝m 2， 故e ＝c a ＝22.(2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)． 所以x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝⎛⎭⎫23，－13. 由弦长公式，可得 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·12(m －6)3. |CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上， 因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎫4232＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝6m －49，又⎝⎛⎭⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49， 故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．[高考大题通法点拨] 圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线[思维流程][策略指导]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算． [典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．[解] (1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16(12k 2－3)>0， 所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233.故直线l 的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，－12∪⎝⎛⎭⎫12，233. (3)证明：由(1)知椭圆C 1的方程为：x 24＋3y 24＝1，设P (x 0，y 0)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)， 因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM ＝－x 3y 3， 直线PM 的方程为y －y 3＝－x 3y 3(x －x 3)，化简得x 3x ＋y 3y ＝43，③同理可得直线PN 的方程为x 4x ＋y 4y ＝43.④把P 点的坐标代入③④得⎩⎨⎧x 3x 0＋y 3y 0＝43，x 4x 0＋y 4y 0＝43，所以直线MN 的方程为x 0x ＋y 0y ＝43.令y ＝0，得m ＝43x 0，令x ＝0，得n ＝43y 0，所以x 0＝43m ，y 0＝43n ，又点P 在椭圆C 1上，所以⎝⎛⎭⎫43m 2＋3⎝⎛⎭⎫43n 2＝4，即13m 2＋1n 2＝34，为定值．。
浙江专版2018年高考数学二轮专题复习专题二第三讲全力争取保分大题__不失分课件
[规范解答] (1)由题意得 a＝1 时，f(x)＝x，解得 x＝1. (2)当
2 －x ＋ax＋1，x≥a， f(x)＝ 2 x －ax＋1，x＜a，
(3 分)
其中f0＝fa＝1，最
❶
大值在 f(1)，f(2)，f(a)中取． 当 0＜a≤ 1注意观察关系式的特征， 时，f(x)在[1,2]上单调递减， ❶ 故 f(x)max快速、简捷求解； ＝f(1)＝a； 当 1＜a＜2 时， f(x)在[1， a]上单调递增， [a,2]上单调递减， 故 f(x)max＝f(a)＝1；
3π 故f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值分别为 ❸
(10分)
(12分)
3 ，－1.(14分) 2
牢记模板
[例 2]
(2017· 温州调研· 满分 14 分)在△ABC 中，a＝3，b＝
2 6，B＝2A. (1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值．
[规范解答] (1)因为 a＝3，b＝2 6，B＝2 A， ❶ 注意所求值是否在
牢记模板
[备课札记]
[规范解答] (1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 的中点， 1 所以 EF∥AD 且 EF＝ AD. 2 ❶是问题的难点， 处理不好 1 就无法证明下面的问题． 又因为 BC∥AD， BC＝ AD， 所以 EF∥BC 且 EF＝BC， ⇨(2 分) 2 即四边形 BCEF 为平行四边形， 所以CE∥BF.
ห้องสมุดไป่ตู้
过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH. 则 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影， 所以∠QMH是直线CE 与平面PBC所成的角． ❷ 设 CD＝1. 在△ PCD 中，由 PC＝2，CD＝1，PD＝ 2得 CE＝ 2， ❷ 必须证明所找或作的角为所求的线面 1 角，否则要扣 3～4 分． 在△PBN 中，由 PN＝BN＝1，PB＝ 3得 QH＝ ， ⇨(13 分) 4 解决此类题目应注意： 1 ①证明线、面平行或垂直，应注意直线在 在 Rt△MQH 中，QH＝ ，MQ＝ 2， 4 平面内，两直线相交等情况； ②找到或作出线面角后，要证明所找或作 2 所以 sin∠QMH＝ ， ⇨(14 分) 的线面角为所求角； 8 ③计算线面角的大小时一定要仔细． 2 所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 . ⇨(15 分) 8 ⇨(11 分)
2018版高考数学二轮复习 第2部分 必考补充专题教学案 理
第2部分必考补充专题
必考补充专题中的7讲在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题及选修“二选一”，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分做构建知识体系和针对训练.
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2。
高三数学第二轮数学专题复习全套教案
高三数学第二轮数学专题复习全套教案目标为高三学生提供一套完整的数学专题复教案，帮助他们加深对数学知识的理解和掌握，为高考做好准备。
复内容1. 函数与方程- 函数的概念和性质- 一次函数和二次函数的图像、性质及应用- 方程的根与解的判定- 一元一次方程组和一元二次方程的求解方法- 函数方程的解法和应用2. 三角函数- 三角函数的概念和性质- 常用三角函数的图像、性质及应用- 三角函数的基本关系式和恒等变换- 解三角函数方程和不等式的方法3. 数列与数学归纳法- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列的推导和应用- 数学归纳法的基本原理和应用- 常见数列问题的解法4. 三角比例和相似- 三角比例的性质和应用- 直角三角形和一般三角形的相似性质- 解三角形的基本方法和应用- 四边形的性质和计算教学安排1. 每个教题讲解时长约为30分钟，包括概念讲解和示例演练。
2. 每个专题分为3节课，共计9节课。
3. 每节课后设置10道练题，供学生完成并检查答案。
4. 每周安排一次模拟考试，让学生检验自己的研究成果。
教案编写原则1. 教案内容简明扼要，重点突出，不涉及复杂的法律问题。
2. 尽可能使用清晰简单的语言，避免使用过多的专业术语。
3. 引用的内容必须能够得到确认，并标明出处。
4. 鼓励学生积极参与讨论和解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
结语这份高三数学第二轮数学专题复全套教案旨在帮助学生复数学知识，强化概念和技巧的掌握。
教案内容简明扼要，注重培养学生的思考能力和解决问题的能力。
希望学生能够利用这份教案，全面提升数学水平，为高考取得好成绩做好准备。
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2018年高三数学(理科)二轮复习完整版
专题限时集训 (一)A
基础演练
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
1．设 U＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ， A＝ {1 ， 5} ， B＝{2 ， 4} ，则 B∩ (?UA)＝ ( )
A ． {2 ， 3， 4}
B ． { 2}
C． {2 ， 4}
专题限时集训 (一 )B
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
基础演练
1．已知全集 U＝ R ，A＝ { x|x≤ 0} ，B＝ { x|x≥ 1} ，则集合 ?U(A∪ B) ＝( )
A ． { x|x≥ 0}
B ． { x|x≤ 1}
C． { x|0≤ x≤ 1}
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知集合 M ＝ { x|－ 2≤ x<2} ，N＝{ x|y＝ log 2(x－ 1)} ，则 M ∩ N＝ ( )
A ． { x|－ 2≤ x<0}
B ． { x|－ 1< x<0}
C． { x|1<x<2}
形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度 适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排：
1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段， 月 30 日。
时间为 3 月 10—— 4
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为
7.试卷讲评随意，对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好 做法应该为，讲评前认真阅卷，讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合，抓错误点、 失分点、模糊点，剖析根源，彻底矫正。 四、在第二轮复习过程中，我们安排如下： 1. 继续抓好集体备课。 每周一次的集体备课必须抓落实， 发挥集体智慧的力量研究数学高考 的动向，学习与研究《考试大纲》 ，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点，每 周一次研究课。 2．安排好复习内容。 3．精选试题，命题审核。 4．测试评讲，滚动训练。 5．精讲精练：以中等题为主。
2018届高三数学第二轮复习计划及进度
2018届高三数学第二轮复习计划及进度2018届高三数学第二轮复计划高三数学备课组制定了以下二轮复计划，旨在巩固第一轮复成果，完善强化知识体系，增强题目的综合性，提高思维能力、概括能力以及分析问题解决问题的能力。
一、指导思想概括讲就是巩固、完善、综合、提高。
二、复安排根据本学期的复任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段：第一阶段（专题复）：从2018年2月23日至2018年4月27日完成以主干知识为主的专题复；第二阶段（综合演练）：从2018年4月28日至2018年5月18日完成以训练能力为主的综合训练；第三阶段（自由复）：从2018年5月至5月底完成以自我完善为主的自主复；第四阶段（强化训练）：从2018年5月至2018年6月03日完成以历年高考真题为主的模拟训练。
三、备考策略第一阶段（专题复）备考策略（从2018年2月23日至2018年4月27日）一）目标与任务：强化高中数学主干知识的复，形成良好的知识网络。
强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。
根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复任务主要包括以下七个知识专题：专题一：集合、函数、方程与不等式。
此专题中，函数和方程以及应用方程知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中函数、方程所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查集合、函数、方程与不等式的几何意义和方程的计算，属于容易题；而在解答题中进行综合考查，主要考查用方程研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
复课的目标是系统性、综合性、基础性和重点性。
要梳理归纳知识，使其前后衔接，纵横联系，多角度、多层次。
评讲课应该针对性，诊断性，辐射性，启发性，解决学生存在的问题。
教学常规应该落实好，从集体备课到课堂教学，到作业批改和辅导，环环相扣，注重学生的活动。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第二部分 板块(二) 系统热门考点——以点带面 Word版
[速解技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，c 2对称．[例1] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 B ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14 D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [解析] 选B 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由于奇函数f (x )在[0,1]上是增函数，故f (x )在[－1,0]上也是增函数， 综上，函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32. [例2] 已知函数f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1，1]，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1,1]， 易知f (x )在[－1,1]上单调递增， 由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log 2m ≤1，－1≤log 4(m ＋2)≤1，log 2m <log 4(m ＋2)，m >0，m ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤2，－74≤m ≤2，0<m <2，m >0，m >－2，故12≤m <2. 综上可知，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，2. [答案] ⎣⎡⎭⎫12，2[经典好题——练一手]1．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2＋x )＝－f (2－x )，当x <2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值为( )A ．可正可负B ．可能为0C ．恒大于0D ．恒小于0解析：选D 由f (2＋x )＝－f (2－x )可知，函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数可知，m ＝0，故f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25>|－log 0.53|>0.∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．3．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析：由题意得g (－1)＝f (－1)＋2.又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2，所以f (－1)＝－3.故f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g (－1)＝－1. 答案：－14．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )，得函数的周期是2.由ax ＋2a －f (x )＝0， 得f (x )＝ax ＋2A ．设y ＝f (x )，则y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图．要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫25，23[常用结论——记一番]1．函数的单调性 在公共定义域内：(1)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是增函数，则f (x )＋g (x )是增函数； (2)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是减函数，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是减函数，则f (x )－g (x )是增函数； (4)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是增函数，则f (x )－g (x )是减函数． [提示] 在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件． 2．函数的奇偶性(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x )±f (－x )＝0，f (x )f (－x )＝±1；(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．有关函数f (x )周期性的常用结论：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数f (x )的周期为2|a |； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |；(3)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |； (4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |.(二)最值函数 大显身手 [速解技法——学一招][例1] 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x ＋3中的最大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1[解析] 选A 如图，分别画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y＝x 2－4x ＋3的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1，2)，C (5,8)． 由图象可得函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，所以f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.[例2] 已知函数f (x )＝x 2－x ＋m －12，g (x )＝－log 2x ，min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，则当函数h (x)有三个零点时，实数m 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 C ．⎝⎛⎭⎫12，34D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [解析] 选C 在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示．当两函数图象交于点A (1,0)时，即有1－1＋m －12＝0，解得m ＝12，所以当函数h (x )有三个零点时， 即为点A 和y ＝f (x )与x 轴的两个交点， 若满足条件，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f ⎝⎛⎭⎫12<0，f (1)>0，解得12<m <34.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，34.[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋|a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．(2017·兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a <b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，∴c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ； c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ. 由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.令f (λ)＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.则f (λ)∈⎣⎡⎦⎤45，4.∴f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25. ∴|c |＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255. 3．设x ，y 为实数，且5x 2＋4y 2＝10x ，则x 2＋y 2的最大值为________． 解析：法一：5x 2＋4y 2＝10x ⇒4y 2＝10x －5x 2≥0⇒0≤x ≤2. 4(x 2＋y 2)＝10x －x 2＝25－(5－x )2≤25－9＝16⇒x 2＋y 2≤4. 法二：5x 2－4y 2＝10x ⇒(x －1)2＋45y 2＝1，令x －1＝sin θ，255y ＝cos θ，θ∈[0,2π]，则x 2＋y 2＝(sin θ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫52cos θ2＝94－14(sin θ－4)2＋4， ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，x 2＋y 2取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝4. 答案：4(三)应用导数 开阔思路 [速解技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 ①f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； ②f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； ③f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[例1] 若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( ) A ．83B ．2C ．73D ．33[解析] 选A 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，又f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2，所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2，即－4sin 2x 1＝(x 122－x －122)2，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x 122＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，故k PQ ＝83.[例2] 已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝(ax ＋b )ln x －bx ＋3在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2. (1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)若g (x )＝f (x )＋kx 在(1,3)上是单调函数，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (1)＝－b ＋3＝2，所以b ＝1.又f ′(x )＝b x ＋a ln x ＋a －b ＝1x ＋a ln x ＋a －1，而函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2， 所以f ′(1)＝1＋a －1＝0，所以a ＝0.(2)由(1)得f (x )＝ln x －x ＋3，f ′(x )＝1x －1(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值为f (1)＝2，无极小值．(3)由g (x )＝f (x )＋kx ，得g (x )＝ln x ＋(k －1)x ＋3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋k －1，又g (x )在x ∈(1,3)上是单调函数， 若g (x )为增函数，有g ′(x )≥0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≥0，即k ≥1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立．又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≥23. 若g (x )为减函数，有g ′(x )≤0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≤0，即k ≤1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立，又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≤0. 综上，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫23，＋∞.[经典好题——练一手]1．f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ·1x ＝2 017＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，所以ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，12B ．⎝⎛⎭⎫32，3 C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫13，1解析：选C 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.3．已知函数f (x )＝x 33－b 2x 2＋ax ＋1(a >0，b >0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处的切线斜率的最小值是________．解析：因为f ′(x )＝x 2－bx ＋a ， 所以g (x )＝a ln x ＋x 2－bxa ＋1.所以g ′(x )＝a x ＋2x －ba(x >0)，因为a >0，b >0，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋ba ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”，所以斜率的最小值为2. 答案：24．已知函数f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x ，φ(x )＝mx 2. (1)当m ＝12时，求函数g (x )＝f (x )－φ(x )的极值；(2)当m ＝1且x ≥0时，证明：f (x )≥φ(x )；(3)若x ≥0，f (x )≥φ(x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝12时，g (x )＝f (x )－φ(x )＝(x ＋1)2·ln(x ＋1)－x －x 22，x >－1，所以g ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(x ＋1)2·1x ＋1－1－x ＝2(x ＋1)ln(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，g ′(x )＝0，解得x ＝0， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数g (x )的极小值为g (0)＝0，无极大值．(2)证明：当m ＝1时，令p (x )＝f (x )－φ(x )＝(x ＋1)2·ln(x ＋1)－x －x 2(x ≥0)， 所以p ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(x ＋1)2·1x ＋1－1－2x ＝2(x ＋1)ln(x ＋1)－x .设p ′(x )＝G (x )，则G ′(x )＝2ln(x ＋1)＋1>0， 所以函数p ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以p ′(x )≥p ′(0)＝0，所以函数p (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以p (x )≥p (0)＝0. 所以f (x )≥φ(x )．(3)设h (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －mx 2(x ≥0)， 所以h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋x －2mx .由(2)知当x ≥0时，(x ＋1)2ln(x ＋1)≥x 2＋x ＝x (x ＋1)， 所以(x ＋1)ln(x ＋1)≥x ，所以h ′(x )≥3x －2mx . ①当3－2m ≥0，即m ≤32时，h ′(x )≥0，所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )≥h (0)＝0，满足题意． ②当3－2m <0，即m >32时，设H (x )＝h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(1－2m )x ， 则H ′(x )＝2ln(x ＋1)＋3－2m ， 令H ′(x )＝0，得x 0＝e 2m －32－1>0，故h ′(x )在[0，x 0)上单调递减，在[x 0，＋∞)上单调递增．当x ∈[0，x 0)时，h ′(x )<h ′(0)＝0， 所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝0，不满足题意． 综上，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，32. [常用结论——记一番]1．函数极值的判别的易错点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值．在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．2．函数最值的判别方法(1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上最值的关键是求出f ′(x )＝0的根的函数值，再与f (a )，f (b )作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f (x )在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f (x )的单调性，即可得结论．(四)三角问题 重在三变[速解技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式.(1)变角如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β.(2)变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(3)变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[例1] 对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( ) A ．2425B ．38C ．28D ．－2425[解析] 选D 由α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35， 可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α－π12cos ⎝⎛⎭⎫α－π12 ＝－2×35×45＝－2425.[例2] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A ．7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4[解析] 选A 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， 于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [经典好题——练一手]1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B ．7210C ．－210D ．210解析：选D 由题意可得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35， 所以sin 2θ＝cos 2θ·tan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫45－35＝210. 2．(2017·沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 解析：选B ∵f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎡⎦⎤3π8，7π8上单调递减．3．已知α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，因为α为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35<32，所以π6<α＋π6<π3，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2×35×45＝2425. 答案：24254．若0<α<π2，0<β<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝35，cos ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝255，则cos ⎝⎛⎭⎫β2－α的值为________． 解析：由题易知－π6<π3－α<π3，－π3<β2－π3<－π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin ⎝⎛⎭⎫β2－π3＝－1－⎝⎛⎭⎫2552＝－55，所以cos ⎝⎛⎭⎫β2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫β2－π3＝45×255＋35×55＝11525. 答案：11525[常用结论——记一番]三角公式中常用的变形：(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sinα±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝ ⎛如sin α＋cos αsin α－cos α，)sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子． (3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(五)正弦余弦 相得益彰 [速解技法——学一招] 三角函数求值的解题策略(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．(4)求角的大小，应注意角的范围．[例1] (2017·福州质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， ∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0<C <π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ， ∴ab ≤12，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤33，当且仅当a ＝b ＝23时取“＝”， 所以△ABC 的面积的最大值为3 3.[例2] 已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx,1)，其中ω>0，x ∈R.函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA ―→·BC ―→的值．[解] (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π.因为ω>0，所以ω＝1.(2)设△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ． 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－1，得B ＝2π3. 因为BC ＝3，所以a ＝ 3.因为sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ，得b ＝3. 由正弦定理有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.因为0<A <π3，所以A ＝π6.得C ＝π6，c ＝a ＝ 3.所以BA ―→·BC ―→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.[经典好题——练一手]1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．故选A ．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos C ＋c cos A ＝2b sin A ，则A 的值为( )A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π6或5π6解析：选D 由a cos C ＋c cos A ＝2b sin A 结合正弦定理可得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋C )＝2sin B sin A ，故sin B ＝2sin B sin A ．又sin B ≠0，可得sin A ＝12，故A＝π6或5π6. 3．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A ．1534B ．154C ．2134或36D ．3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cos B ， 因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0， 所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b .又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1，结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝32b 2sin π3＝3328.4．(2017·陕西质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得， a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，由余弦定理，得a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 22b ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝⎛⎭⎫1＋14，解得b 2＝16， ∴b ＝4.[常用结论——记一番]1．解三角形中常用结论：(1)三角形中正弦、余弦、正切满足的关系式有：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .(2)三角形形状判断(一般用余弦定理)： 直角三角形⇔a 2＋b 2＝c 2；锐角三角形⇔a 2＋b 2>c 2(c 为最大边)； 钝角三角形⇔a 2＋b 2<c 2(c 为最大边)． (3)在锐角三角形ABC 中： ①A ＋B >π2，C ＋B >π2，A ＋C >π2；②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值．(4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝60°；在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列⇔三角形为等边三角形．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．(六)向量小题 三招搞定 [速解技法——学一招]解决与向量有关的小题，一般用三招，即“构图、分解、建系”，就能突破难点，顺利解决问题.[例1] 已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为( ) A ．255B ．2C ． 5D ．2 5[解析] 选C 由AB ―→·BC ―→＝0可知，AB ―→⊥BC ―→.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －1，y )，DC ―→＝(－x,2－y )． 由AD ―→·DC ―→＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝54. 所以点D 在以E ⎝⎛⎭⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上． 因为|BD ―→|表示B ，D 两点间的距离， 而|EB ―→|＝52，所以|BD ―→|的最大值为|EB ―→|＋r ＝52＋52＝ 5.[例2] 已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 的平分线，I 为PC 上一点，满足BI ―→＝BA ―→＋λAC ―→⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC―→|＋AP ―→|AP ―→|(λ>0)，|P A ―→|－|PB ―→|＝4，|P A ―→－PB ―→|＝10，则BI ―→·BA―→| BA ―→|的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 选B因为|P A ―→－PB ―→|＝|BA ―→|＝10，PC 是∠APB 的平分线，又BI ―→＝BA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC ―→|＋AP ―→|AP ―→|(λ>0)，即AI ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC―→|＋AP ―→|AP ―→|， 所以I 在∠BAP 的平分线上， 由此得I 是△ABP 的内心．如图，过I 作IH ⊥AB 于H ，以I 为圆心，IH 为半径作△P AB 的内切圆，分别切P A ，PB 于E ，F ，因为|P A ―→|－|PB ―→|＝4，|P A ―→－PB ―→|＝10， |BH ―→|＝|FB ―→|＝12(|PB ―→|＋|AB ―→|－|P A ―→|)＝12[|AB ―→|－(|P A ―→|－|PB ―→|)]＝3. 在Rt △BIH 中，cos ∠IBH ＝|BH ―→||BI ―→|，所以BI ―→·BA ―→|BA ―→|＝|BI ―→|cos ∠IBH ＝|BH ―→|＝3.[经典好题——练一手]1．(2017·宝鸡质检)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB |＝|BC |＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2 B ．⎝⎛⎭⎫32，2 C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0，0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，0<a <1，N (b,2－b )，∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(2－a －2＋b )2＝2， 即(a －b )2＝1，解得b ＝a ＋1或b ＝a －1(舍去)， 则N (a ＋1,1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )， ∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋32， ∵0<a <1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32，又BM ―→·BN ―→<2，故BM ―→·BN ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2.2．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b |＝1，则|c |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．5＋1D ．3＋1解析：选D 设a ＝OA ―→，a ＋2b ＝OB ―→，c ＝OC ―→，且设点A 在x 轴上，则点B 在y 轴上，由|c －a －2b |＝1，可知|c －(a ＋2b )|＝|OC ―→－OB ―→|＝|BC ―→|＝1，所以点C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，如图所示．法一：因为a ·(a ＋2b )＝0，所以2a ·b ＝－|a |2.又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4|b |2－|a |2＝3， 所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝|a ＋2b |＋1＝3＋1. 法二：连接AB ，因为OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋2b ， 所以AB ―→＝2b .因为|a |＝|b |＝1，所以|AB ―→|＝2，|OA ―→|＝1， 所以|OB ―→|＝|AB ―→|2－|OA ―→|2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝3＋1.3．(2017·福州质检)正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，向量AE ―→，BD ―→的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：法一：设正方形的边长为a ， 则|AE ―→|＝52a ，|BD ―→|＝2a ，又AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12AD ―→·(AD ―→－AB ―→)＝12AD ―→2－AB ―→2＋12AD ―→·AB ―→＝－12a 2，所以cos θ＝AE ―→·BD ―→|AE ―→|·|BD ―→|＝－12a 25a 2·2a＝－1010.法二：设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (2,1)， ∴AE ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)， ∴AE ―→·BD ―→＝2×(－2)＋1×2＝－2， 所以cos θ＝AE ―→·BD ―→| AE ―→|·|BD ―→|＝－25×22＝－1010.答案：－10104．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝________.解析：法一：(坐标法)将直角△ABC 放入直角坐标系中，如图． 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0， 则D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，P ⎝⎛⎭⎫a 4，b 4， 所以|PC |2＝⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 42＝a 216＋b 216，|PB |2＝⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 4－b 2＝a 216＋9b 216，|P A |2＝⎝⎛⎭⎫a 4－a 2＋⎝⎛⎭⎫b 42＝9a 216＋b 216，所以|P A |2＋|PB |2＝a 216＋9b 216＋9a 216＋b 216＝10⎝⎛⎭⎫a 216＋b 216＝10|PC |2，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10.法二：(特殊值法)令|AC |＝|CB |＝1，则|PC |＝14|AB |＝24，|P A |2＝|PB |2＝58，易得|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10.答案：10[常用结论——记一番]1．在四边形ABCD 中：(1)AB ―→＝DC ―→，则四边形ABCD 为平行四边形；(2)AB ―→＝DC ―→且(AB ―→＋AD ―→)·(AB ―→－AD ―→)＝0，则四边形ABCD 为菱形； (3)AB ―→＝DC ―→且|AB ―→＋AD ―→|＝|AB ―→－AD ―→|，则四边形ABCD 为矩形； (4)若AB ―→＝λDC ―→(λ>0，λ≠1)，则四边形ABCD 为梯形．2．设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (5)O 为△ABC 的A 的旁心⇔a OA ―→＝b OB ―→＋c OC ―→.(七)玩转通项 搞定数列 [速解技法——学一招] 几种常见的数列类型及通项的求法(1)递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )解法：把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，利用累加法(逐差相加法)求解． (2)递推公式为a n ＋1＝f (n )a n 解法：把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，利用累乘法(逐商相乘法)求解． (3)递推公式为a n ＋1＝pa n ＋q解法：通过待定系数法，将原问题转化为特殊数列{a n ＋k }的形式求解． (4)递推公式为a n ＋1＝pa n ＋f (n )解法：利用待定系数法，构造数列{b n }，消去f (n )带来的差异． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n，求a n .[解] 由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得(n －1)个等式累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n .[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和．[解] 因为a n ＋1＝a n2a n ＋1， 所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n ＝2n －1，所以a n ＝12n －1，而1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋⎭⎫119－121＝12⎝⎛⎭⎫1－121＝1021. [经典好题——练一手]1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．n (n －1)2B ．n (n ＋1)2C ．n (n ＋1)2－1D ．n (n ＋1)2＋1解析：选D 因为a n ＋1＝a n ＋n ＋1， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1，分别把n ＝1,2,3，…，n －1代入上式，得到(n －1)个等式， a n －a n －1＝(n －1)＋1， a n －1－a n －2＝(n －2)＋1， a n －2－a n －3＝(n －3)＋1， …a 2－a 1＝1＋1.又a 1＝2＝1＋1，故将上述n 个式子相加得a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝n (n ＋1)2＋1.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，得a n －2＝12(a n －1－2)，而a 1－2＝1－2＝－1，∴数列{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1. 答案：2－⎝⎛⎭⎫12n －13．设{a n }是首项为1的正项数列，且a 2n －a 2n －1－na n －na n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则数列的通项公式a n ＝________.解析：由题设得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－n )＝0， 由a n >0，a n －1>0知a n ＋a n －1>0，于是a n －a n －1＝n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)24．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求通项公式a n .解：原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)，比较系数得λ＝－4，即a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)，则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，故a n －4·3n －1＝－5·2n －1，即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.[常用结论——记一番]等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.(3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n ＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *. (4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．(八)掌握规律 巧妙求和 [速解技法——学一招] 求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列． [例1] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)令b n ＝2a n ，由(1)可知a n ·b n ＝(2n －1)×22n －1，设T n 为数列{a n ·b n }的前n 项和，所以T n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，①4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，②①－②得：－3T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1，所以T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋2×8(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，b n ＝11＋a n(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，P n ＝b 1b 2·…·b n ，求2P n ＋S n 的值．[解] 因为a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1>a n >0，a n ＋1＝a n (a n ＋1)，所以b n ＝11＋a n ＝a 2n a n a n ＋1＝a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1a n －1a n ＋1.P n ＝b 1b 2·…·b n ＝a 1a 2·a 2a 3·…·a n a n ＋1＝12a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝2－1a n ＋1， 故2P n ＋S n ＝1a n ＋1＋⎝⎛⎭⎫2－1a n ＋1＝2.[经典好题——练一手]1．(2018届高三·湖南十校联考)数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________.解析：利用分组求和法，可得S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 答案：n 2＋1－12n2．(2017·武汉调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前9项和为________．解析：设数列{a n }的公差为d ，由S n ≤S 5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥0，a 1＋5d ≤0，得－94≤d ≤－95，又a 2为整数，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝11－2n ， 故1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1， ∴T 9＝－12×⎣⎡⎦⎤19－⎝⎛⎭⎫－19＝－19. 答案：－193．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋1·log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n .(2)∵b n ＝2n ＋1·log 122n ＝－n ·2n ＋1，∴－S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，①－2S n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n －1)×2n ＋1＋n ×2n ＋2.②①－②，得S n ＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝(1－n )2n ＋2－4.4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6. ∴d ＝－3，∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n－1)，故当q ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当q ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－q n1－q.[常用结论——记一番]常用裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n ＋1＋n＝n ＋1－n ；(3)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1；(4)n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]；(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(6)(2n )2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(九)求得通项 何愁放缩 [速解技法——学一招]错误![例1] 已知数列{a n }满足a 1＝8，(n ＋1)a n ＋1＝(n ＋3)a n ＋8n ＋8， (1)求a n ； (2)求证：1a 1－1＋1a 2－1＋…＋1a n －1<27. [解] (1)(n ＋1)a n ＋1＝(n ＋3)a n ＋8n ＋8两边同除以(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)， 得a n ＋1(n ＋3)(n ＋2)＝a n (n ＋2)(n ＋1)＋8(n ＋3)(n ＋2)，即a n ＋1(n ＋3)(n ＋2)－a n(n ＋2)(n ＋1)＝8⎝⎛⎭⎫1n ＋2－1n ＋3.利用累加法，可得a n ＋1(n ＋3)(n ＋2)－a 13×2＝8⎝⎛⎭⎫13－1n ＋3，化简求得a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)，所以a n ＝4n (n ＋1)． (2)证明：法一：14n 2＋4n －1<14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，通过计算，当n ≥4时，17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋147＋12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎫17－19＋⎝⎛⎭⎫19－111＋…＋⎝⎛ 12n －1－⎦⎥⎤⎭⎫12n ＋1<17＋123＋147＋114<27.法二：14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫17－111＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋3<17＋123＋14⎝⎛⎭⎫15＋17<17＋121＋221＝27. [例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1(n ∈N *)，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解] (1)由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得2S n ＋1＝a n ＋2－2n ＋2＋1，两式相减得a n ＋2＝3a n ＋1＋2n＋1，2S 1＝a 2－3⇔a 2＝2a 1＋3，a 3＝3a 2＋4＝6a 1＋13， a 1，a 2＋5，a 3成等差数列⇔a 1＋a 3＝2(a 2＋5)⇔a 1＝1. a n ＋1＝3a n ＋2n ⇔a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )，。
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略课件：
模板1| 三角函数的周期性、单调性及最值问题 【例1】 (满分 3 14分)设函数f(x)＝ 2 － 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y
π ＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.
3π (1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值．
AB＝2CD [解题指导] (1)M是AB中点，四边形ABCD是等腰梯形 ――→ ⇒▱AMC1D1→C1M∥平面A1ADD1 (2)CA，CB，CD1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面 ABCD的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角
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[规范解答示例]
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2C 2A
[规范解答示例] ————————
1＋cos C 1＋cos A 3 (1)证明：因为acos 2 ＋ccos 2 ＝a· 2 ＋c· 2 ＝2b， 所以a＋c＋(acos C＋ccos A)＝3b，4分
2 2 2 a2＋b2－c2 b ＋ c － a 故a＋c＋ ＋c· 2bc ＝3b，整理得a＋c＝2b， a· 2ab
[解题指导] 围→求f(x)的最值
化简变形→f(x)＝Asin(ωx＋φ)→根据周期求ω→确定ωx＋φ的范
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[规范解答示例] ————
3 (1)f(x)＝ 2 － 3sin2 ωx－sin ωxcos ωx 1－cos 2ωx 1 3 ＝ 2 － 3· －2sin 2ωx2分 2 3 1 ＝ 2 cos 2ωx－2sin 2ωx
因此M 3 1 ， ， 0 ， 2 2
8分
3 1 3 1 → → → 所以MD1＝－ ，－ ， 3，D1C1＝MB＝－ ， ，0 . 10分 2 2 2 2
最新2018届高考数学第二轮专题教案7
《方程的根与函数的零点》教学反思本节课的教学重点有两个，一个是函数的零点、方程的根以及函数图象与x轴交点的横坐标三者的关系，另一个中心就是函数零点存在性定理。
在教学设计上，我采用自习时间以问题引导的形式让学生先学习新知，然后完成我设计的重点典型题目。
课堂上，和学生一起探讨自习给学生的问题，使学生进一步理解并掌握所学新知。
然后再给学生时间让学生以小组为单位讨论交流晚自习的典型题目。
我在教室进行巡视，了解学生的自主完成情况，哪些题型会了，哪些部分会了，哪些需要点拨，哪些根本没思路，无法下手，需要老师的讲解。
对于学生都会的就不讲了，部分学生会的让学生讲解。
没办法下手去做，我给学生点思路，留时间让学生试着完成，最后再讲解，点评。
例如：类型一利用解方程的方法求零点，学生没问题，就不讲了；类型二的第一题有部分学生会，我就让姚佳舟进行讲解，然后我再加一点评，类型二的第二题学生给了一种数形结合的方法处理，我在给学生介绍了一种利用函数的单调性处理的方法。
类型三的第二题好多学生不会，但我在巡视时发现王佳乐会，就让她上黑板讲解，其实学生就是变型不到位，当佳乐一给学生变型到位后，学生瞬间就明白了。
类型三的第二题很难，学生几乎没办法下手，我就提示学生用整体的思想换元法，慢慢就有人会做了。
不过我还是很惊喜的发现我班的刘二林在我提示之前就把这道题做对了，虽然在后面的处理是用解方程的方法，但成功的完成了此题。
我在点评他这道题时，又引导学生采用数形结合的思想，利用图像法让学生掌握了此类题目的处理方法。
在课堂教学中，主要体现了以下几个亮点：一是问题引导，激发学生的求知欲，调动学生参与课堂的积极性，提高热情。
二是数形结合和转化与化归思想在整个课堂中恰到好处的应用，对突破知识的难点非常有用，使教学效果明显提高；三是多媒体的使用，课件和投影是使用，为展示提供了方便。
三是小组讨论，充分调动了学生的积极性，不但能让学困生能掌握基本方法，而且也为学优生提供的平台，使他们更熟练的掌握了所学知识和所学方法。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第二部分 板块(一) 系统思想方法——融会贯通
(一)小题小做巧妙选择高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a 2，b 2的关系求解．依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx－ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] A[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}， 则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 运行程序框图， a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3. 二、数形结合法根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][技法演示]作出函数图象，数形结合求解．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.[答案] D[应用体验]3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．4．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.三、验证法将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[技法演示] 法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<c <1，∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12，对于A,412＝2,212＝2，2>2，∴选项A不正确．对于B,4×212＝42，2×412＝4,42>4，∴选项B 不正确．对于C,4×log 212＝－4,2×log 412＝－1，－4<－1，∴选项C 正确．对于D ，log 412＝－12，log 212＝－1，－12>－1，∴选项D 不正确． 故选C ．法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c ，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时， a c －1<b c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0， ∴a lg b >blg a.又∵0<c <1，∴lg c <0. ∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． [答案] C[应用体验]5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C ．法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C ．四、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C ．[答案] C[应用体验]6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D.7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.五、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[技法演示] 由三视图还原为直观图后计算求解．由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．[答案] A[应用体验]8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.六、极端值法选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[技法演示] 根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.故选B.[答案] B[应用体验]9.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1解析：选B 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC -AA 1B ＝VA 1-ABC ＝VABC -A 1B 1C 13.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．七、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π[技法演示] 由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. [答案] B[应用体验]10．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53解析：选D 因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.(二)快稳细活 填空稳夺绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意 稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. [技法演示] 先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.[答案]2113[应用体验]1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.答案：12．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x ＋y )8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－20 二、特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，∴设|AB |＝6，|BC |＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4，∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝ca ＝2.故填2.法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2C ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[应用体验]3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：1 三、数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再结合图象求|CD |.由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4.[答案] 4[应用体验]4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)， ∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：45．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.答案：(－1,3) 四、等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[技法演示] 利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝⎛⎭⎫n －722＋498， 结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. [答案] 64[应用体验]6．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a－1|)＞f (2)，∴2|a－1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，327．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)． ∴yx 的最大值为3. 答案：3 五、构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题．[典例] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[技法演示] 先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解． ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432， ∴S 5＝121. [答案] 1 121[应用体验]8．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |， 则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋b ·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |. ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6，∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12.答案：12六、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[技法演示] 先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案] 1和3[应用体验]9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A[考前热身训练] “12＋4”小题提速练(共3套)“12＋4”小题提速练(一) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,3)B ．{1,3}C ．(5,7)D ．{5,7}解析：选B 因为集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{1,3}． 2．已知z ＝1－3i3＋i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A ．－i B ．i C ．－1D ．1解析：选D ∵z ＝1－3i 3＋i ＝(1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，其虚部为1.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋a )，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，若f (0)＝2，则a ＋f (－2)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋a )，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1， 由f (0)＝2，可得log 2(0＋a )＝2，∴a ＝4. ∴a ＋f (－2)＝4－105＝2.4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A ．100B ．200C ．400D ．450解析：选C 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr 216π(3r )2＝400.5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 5C ． 3D ． 2解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，与圆相切，∴圆心(3，1)到渐近线的距离为|3b －a |a 2＋b 2＝1或|3b ＋a |a 2＋b 2＝1，又a >0，b ＞0，解得3a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，即c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．2解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始S ＝2，i ＝1.第一次循环，S ＝－3，i ＝2；第二次循环，S ＝－12，i ＝3；第三次循环，S ＝13，i ＝4；第四次循环，S ＝2，i ＝5；第五次循环，S ＝－3，i ＝6；……，可知S 的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i 值2 018＝504×4＋2，∴输出的S ＝－3.7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92D ．92解析：选D 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92，∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→＝9－92＝92.8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0D ．5解析：选C 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27，可得(a 26－a 24)＋(a 27－a 25)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0，∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0.9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e －x －1cos(－x )＝⎝⎛⎭⎫2e x1＋e x －1cos x ＝－⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A ，C ；又由当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )<0，函数图象位于第四象限，可排除D ，故选B. 10．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF ―→＝3FB ―→，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．12C ．32D ． 3解析：选D 作出抛物线的准线l ：x ＝－1， 设A ，B 在l 上的投影分别是C ，D ，连接AC ，BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ，如图所示．∵AF ―→＝3FB ―→，∴设|AF |＝3m ， |BF |＝m ，则|AB |＝4m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝|AF |＝3m ，|BD |＝|BF |＝m ，则|AE |＝2m .因此在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝2m 4m ＝12， 得∠BAE ＝60°.所以直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，故直线AB 的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A ．4πB ．28π3C ．44π3D ．20π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r ，所以r ＝⎝⎛⎭⎫23×32＋12＝73，则球面的表面积为4πr 2＝4π×73＝28π3. 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当 xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3解析：选B ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数，∴xyz ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤12x y ×4yx －3＝1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，则z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2， ∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1， 当且仅当y ＝1时等号成立，满足题意． ∴2x ＋1y －2z 的最大值为1. 二、填空题13．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则a 6＝________.解析：∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，a 1q ＋a 1q 3＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝2，∴a 6＝2×⎝⎛⎭⎫125＝116. 答案：11614．已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3－2θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π6 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 答案：1315．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－a b x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－a bx ＋zb 的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋zb 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即A (4,6)． 此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2＋b 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝|－5|22＋32＝513，故a 2＋b 2的最小值为d 2＝2513.答案：251316．已知函数f (x )＝|x e x |－m (m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x e x |－m (m ∈R)有三个零点，即y ＝|x e x |与y ＝m 的图象有三个交点．令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x ，当x ＜－1时，g ′(x )＜0，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，故g (x )＝x e x 在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g (－1)＝－1e ，又由x ＜0时，g (x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，故函数y ＝|x e x |的图象如图所示：由图象可知y ＝m 与函数y ＝|x e x |的图象有三个交点时，m ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e . 答案：⎝⎛⎭⎫0，1e “12＋4”小题提速练(二) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． 2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则zz ＝( ) A ．35－45iB ．－35＋45iC ．53－43iD ．－53＋43i解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以zz ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝35－45i.3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选C 因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .4．(2018届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )A ．3种B ．8种C ．30种D ．48种解析：选D 能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C ．132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝⎛⎭⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132. 6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n －1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q n －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π 解析：选C 如图所示，当点D 位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R ，则四面体的高为h ＝R ＋R 2－1，四面体的体积为V ＝13×12×(3)2×sin 60°×(R ＋R 2－1)＝34×(R ＋R 2－1)＝3，解得R ＝178， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫1782＝289π16，故选C ．9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋(－3)2＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C ．10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2 QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→＝0，则e 2＝( )A ．2－1B ．2－ 2C ．2－ 3D ．5－2解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2C ．又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝26＋2＝6－22，所以e 2＝2－3.11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增，故选D. 12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________.解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD ―→＝3a ×a ×cos π6＝32a 2.答案：32a 214．(2017·石家庄模拟)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则含x 3项的系数为________．解析：由题意，得2n ＝64，所以n ＝6， 所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 6， 其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 12－3r. 令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中含x 3项的系数为C 36＝20. 答案：2015．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125，所以ξ的数学期望为E (ξ)＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65.答案：6516．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为289π16的球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P -ABC 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r ＝32sin 60°＝1，球心到截 面ABC 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝⎛⎭⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P -ABC 体积的最大值为13×⎣⎡⎦⎤34×(3)2×4＝ 3.答案： 3“12＋4”小题提速练(三) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．已知集合M ＝{x |16－x 2≥0}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}解析：选C 由M 中16－x 2≥0，即(x －4)(x ＋4)≤0，解得－4≤x ≤4，所以M ＝{x |－4≤x ≤4}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}＝[1，＋∞)，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．2．若复数z 满足z (4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋iD ．－1－i解析：选A 由z (4－i)＝5＋3i ， 得z ＝5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝17＋17i17＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量x 与y 的一组数据：得到的线性回归方程为y ＝2x ＋45，则y ＝( ) A ．135 B ．90 C ．67D ．63解析：选D 根据表中数据得x －＝15×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^＝2x ＋45过点(x －，y －)，则y －＝2×9＋45＝63.4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a ，b 大小，a 的值是a ，b 之间的较小数；第二个判断框是比较a ，c 大小，输出的a 是a ，c 之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a ，b ，c 三个数中的最小数．故选B.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经过下列平移，可以得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6图象的是( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：选B 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，又∵f (x )是定义在R 上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期， ∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f (x )为[3,4]上的减函数，故充分性成立． 若f (x )为[3,4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f (x )在[－1,0]上是减函数，。
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高考第17题之(一)⎪⎪三角函数与解三角形[说明]高考第17题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查．1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12ac sin B＝a23sin A，即12c sin B＝a3sin A.由正弦定理得12sin C sin B＝sin A3sin A.故sin B sin C＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 故cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，即a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.题型一 正、余弦定理解三角形[学规范](1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，…………………………………………1分S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . …………………………………………2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ❶，所以AB ＝2AC . …………………………………………3分由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.…………………………………………4分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.…………………………………………6分 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ❷，…………………………………………8分 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ❸. …………………………………………10分 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. …………………………………………11分 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. …………………………………………12分[防失误]①处易忽略角平分线性质而失分，注意平面图形的角平分线性质应用．②③处若未注意到∠ADB ＋∠ADC ＝π会导致两式不知如何变形，注意三角形中角的关系、三角形内角和定理的应用．[通技法]利用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法[对点练]1．(2017·云南模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解：(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k . 又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，由正弦定理，得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠DAB，∴sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， ∴sin ∠DBC ＝277.由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD ＝BD sin ∠DBCsin ∠BCD＝7×27732＝433.题型二 与三角形面积有关的问题[学规范](1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，……………………………………………2分即sin B ＝4(1－cos B )❶，………………………………………………………………3分 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，………………………………………………………4分 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)❷. ……………………………………………………6分(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，………………………………………………………7分故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ❸. ……………………………………………………………8分又S △ABC ＝2，则ac ＝172.…………………………………………………………………9分由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac ❹(1＋cos B ) ……………………………………………………………10分 ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. ……………………………………………………………………………………11分 所以b ＝2. ………………………………………………………………………………12分[防失误]①处利用倍角公式时，易把sin 2B 2＝1－cos B 2记为sin 2B 2＝1＋cos B2，导致化简结果错误．②处根据三角形中内角的范围舍去cos B ＝1易忽视．③处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出sin B ，由此明确面积公式的选择．④处若出现a ＋c 及ac ，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用．[通技法]与三角形面积有关的问题的解题模型[对点练]2．(2017·石家庄模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac .又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213， ∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12.由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×12×398＝3394.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A ＋sin B ＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得， cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.即cos C ＝－15.(2)因为sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. ① 由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， ② 由①②解得a ＝3，b ＝3.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.3．(2017·天津模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin A ＋cos A ＝1－sin A 2.(1)求sin A 的值；(2)若c 2－a 2＝2b ，且sin B ＝3cos C ，求b . 解：(1)由已知，2sin A 2cos A 2＋1－2sin 2A 2＝1－sin A2，在△ABC 中，sin A 2≠0，因而sin A 2－cos A 2＝12，则sin 2A 2－2sin A 2cos A 2＋cos 2A 2＝14，因而sin A ＝34.(2)由已知sin B ＝3cos C ， 结合(1)，得sin B ＝4cos C sin A . 法一：利用正弦定理和余弦定理得b ＝4(a 2＋b 2－c 2)2ab ×a ，整理得b 2＝2(c 2－a 2)．又c 2－a 2＝2b ，∴b 2＝4b ， 在△ABC 中，b ≠0，∴b ＝4. 法二：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴2b ＝b 2－2ab cos C ， 在△ABC 中，b ≠0， ∴b ＝2＋2a cos C ， ① 又sin B ＝4cos C sin A ，由正弦定理，得b ＝4a cos C ， ② 由①②解得b ＝4.4．(2017·天津五区县模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2.由8sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C 2－2cos 2C ＝7，所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7，即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a . ①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3. ② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.5．(2018届高三·湘中名校联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12.又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B ＞π2，∴π3＜A ＜π2，∴2π3＜A ＋π3＜5π6， ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.6.(2017·洛阳模拟)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CB sin 60°，解得CB ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ， 所以DB ＝AB ＝10.在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB ＞BC ＝10，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ，即(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC . 又AB ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，所以(AB ＋AC )2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22， 解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10,20]．高考第17题之(二)⎪⎪数 列1．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.2．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3).题型一 等差、等比数列的判定及应用[学规范](1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.❶………………………………………………………3分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.5分故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . …………………………………………………………6分(2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13❷. ……………………………………………………………………8分由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ❸，………………………………………………………10分故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. ………………………………………………………12分[防失误]①处注意此类方程组的整体运算方法的运用，可快速求解． ②处化简S n 时易出现计算错误．③处对于S n ＋2＋S n ＋1的运算代入后，要针对目标，即化为2S n ，观察结构，整体运算变形，可得结论．[通技法]1．等比数列的4种判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．2．证明一个数列{a n }为等差数列的2种基本方法(1)利用等差数列的定义证明，即证明a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)； (2)利用等差中项证明，即证明a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ∈N *)．[对点练]1．(2017·成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足． ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.题型二 等差、等比数列的综合应用[学规范](1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . ………………………………………………………2分b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2❶.………………………………………………………………………………………………5分(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，❷………………………………………………9分所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. ………………………12分[防失误]①处易出现不理解[x ]的含义而求错值，注意理解题目中给出的例子．②处不明白b n ＝[lg a n ]的含义而求错b n ，要抓住lg a n 与a n 的关系，分段要明确才能避免失误．[通技法]等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[对点练]2．(2017·合肥模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， ∴T n ＝2×(41＋42＋ (4))＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝8(4n －1)3＋G n .当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8(4n －1)3＋n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8(4n －1)3－n －2，∴T n＝⎩⎨⎧8(4n －1)3＋n (n ＝2k ，k ∈N *)，8(4n－1)3－n －2(n ＝2k －1，k ∈N *).1．(2017· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)．(1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12，求证：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12＝1， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1＋12，所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －12.2．(2017·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2＋2n ＝0，得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0. ∴a n ＝n －2或a n ＝－n .∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋n －2)2＝n (n －3)2.②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1－n )2＝－n (n ＋1)2.故S n＝⎩⎨⎧n (n －3)2(a n＝n －2)，－n (n ＋1)2(a n＝－n ).3．(2017·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， 所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)．∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)×n ＝－2n .4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q (2＋d )＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)，即1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.6．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3，∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2.设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，②①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1＝2－1(1－2n )1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1，∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)．高考第18题(或19题)⎪⎪立体几何201620151．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO . 又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC . 所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角． 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0， 可取m ＝(0，－1，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77. 由图知二面角D -AE -C 为锐角， 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.2.(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，且DF ∩EF ＝F ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G . 由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角， 故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)． 由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E -BC -A 为钝角， 故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.3.(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中， 由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB ―→，GC ―→的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB ―→|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE ―→＝(1，3，2)，CF ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故cos 〈AE ―→，CF ―→〉＝AE ―→·CF ―→|AE ―→||CF ―→|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.题型一 平行、垂直关系的证明与线面角求法[学规范](1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. ……………………………………………………1分又AD ∥BC ，BC ＝4.所以AM 綊12BC . ………………………………………………2分取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2❶. ……………………………………………………3分故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . ……………………4分因为MN ⊄平面P AB ❷，AT ⊂平面P AB ，………………………………………………5分 所以MN ∥平面P AB .6分 (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，………………………………………………7分 且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.……………………………………………8分以A 为坐标原点，AE ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ❸.9分由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2， PM ―→＝(0,2，－4)，PN ―→＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN ―→＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM ―→＝0，n ·PN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，……………………………………10分可取n ＝(0,2,1)❹. ……………………………………………………………………11分 于是|cos 〈n ，AN ―→〉|＝|n ·AN ―→||n ||AN ―→|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值❺为8525.…………………………12分[防失误]①处易忽视TN 綊12BC ，导致没有思路建立平行关系，注意平面图形性质的应用．②处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．③处建立恰当坐标系是要选准原点及坐标轴，注意建系的原则是尽可能使几何体的点、面在坐标平面上．④处求法向量n 有无穷多个，但要注意取值时要尽量简单．⑤处易误认为|cos 〈n ，AN ―→〉|的值是线面角的余弦值，注意sin θ＝|cos 〈n ，AN ―→〉|.[通技法]利用空间向量求线面角的解题模型[对点练]1．(2017·云南模拟)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，∠ACD ＝60°，E 为CD 的中点．(1)求证：BC ∥平面P AE ；(2)求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°， ∴AC ＝2，∠BCA ＝60°. 在△ACD 中，∵AD ＝23，AC ＝2，∠ACD ＝60°， ∴由余弦定理可得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ， ∴CD ＝4，∴AC 2＋AD 2＝CD 2， ∴△ACD 是直角三角形．又E 为CD 的中点，∴AE ＝12CD ＝CE ，又∠ACD ＝60°，∴△ACE 是等边三角形， ∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE . 又BC ⊄平面P AE ，AE ⊂平面P AE ， ∴BC ∥平面P AE .(2)由(1)可知∠BAE ＝90°，以点A 为原点，以AB ，AE ，AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (－3，3,0)，∴PB ―→＝(3，0，－2)，PC ―→＝(3，1，－2)，PD ―→＝(－3，3，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB ―→＝0，n ·PC ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －2z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，令x ＝1，得z ＝32，y ＝0，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32， ∴|cos 〈n ，PD ―→〉|＝|n ·|PD ―→||n |·|PD ―→|＝2374·16＝217，∴直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为217.题型二 平行、垂直关系的证明与二面角的求法[学规范](1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . ……………………………………………………………………2分 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . …………………………………………………………3分 又AP ∩PD ＝P ❶，所以AB ⊥平面P AD . …………………………………………………4分又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . ………………………………………5分 (2)在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为F .由(1)可知，AB ⊥平面P AD ❷， 故AB ⊥PF ， 可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，F A ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz .由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，1，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，1，0. 所以PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，1，－22，CB ―→＝(2，0,0)，P A ―→＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB ―→＝(0,1,0). …………………………………………………8分设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC ―→＝0，n ·CB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0.所以可取n ＝(0，－1，－2)❸. …………………………………………………………9分 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·P A ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)❹.10分 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.………………………………………………11分由图知二面角A -PB -C 为钝角❺， 所以二面角A -PB -C 的余弦值为－33.…………………………………………………12分 [防失误]①处易忽视AP ∩PD ＝P 是证明线面垂直的关键条件，注意线面垂直判定定理中条件使用的规范化．②处易忽视充分利用(1)的结论，导致无法准确得到创设空间直角坐标系的条件． ③④处易求错法向量导致后面结果全部错误，注意法向量的求法． ⑤处易忽视结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角，导致给出错误答案．[通技法]利用空间向量求二面角的解题模型[对点练]2．(2017·贵阳模拟)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE -BCF和一个正四棱锥P -ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)若正四棱锥P -ABCD 的高为1，求二面角C -AF -P 的余弦值． 解：(1)证明：∵直三棱柱ADE -BCF 中，AB ⊥平面ADE ， ∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABFE .(2)∵AD ∥BC ，AD ⊥平面ABFE ，∴BC ⊥平面ABFE ，且AB ⊥BF ，以B 为坐标原点，BA ，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz .∵正四棱锥P -ABCD 的高为1， AE ＝AD ＝2，∴A (2,0,0)，F (0,2,0)，C (0,0,2)，P (1，－1,1)，∴AF ―→＝(－2,2,0)，CF ―→＝(0,2，－2)，P A ―→＝(1,1，－1)， 设n 1＝(x 1,1，z 1)是平面ACF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AF ―→＝0，n 1·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋2＝0，2－2z 1＝0，解得x 1＝1，z 1＝1，即n 1＝(1,1,1)． 设n 2＝(x 2,1，z 2)是平面P AF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AF ―→＝0，n 2·P A ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2＝0，x 2＋1－z 2＝0，解得x 2＝1，z 2＝2，即n 2＝(1,1,2)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋1＋23×6＝223，由图知，二面角C -AF -P 是锐角， ∴二面角C -AF -P 的余弦值是223.1.(2018届高三·广西五校联考)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC .∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AE .∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面ACFE .(2)以O 为坐标原点，OA ―→，OB ―→的方向为x 轴，y 轴正方向，过O且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，设CF ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)，F (－1，0，a )(a ＞0)，OF ―→＝(－1,0，a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB ―→＝0，n ·OE ―→＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x ＋2z ＝0，令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，由题意得sin 45°＝|cos 〈OF ―→，n 〉|＝|OF ·n ||OF ―→||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，解得a ＝3或a ＝－13.由a ＞0，得a ＝3，OF ―→＝(－1,0,3)，BE ―→＝(1，－3，2)， ∴cos 〈OF ―→，BE ―→〉＝－1＋610×8＝54，故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为54. 2.(2017·合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°，∴△ACD 为等边三角形， 又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得， AM ⊥AB .∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴AM ⊥平面AA 1B 1B .(2)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2， ∴DM ＝1，AM ＝3，∴∠AMD ＝∠BAM ＝90°， 又AA 1⊥底面ABCD ，∴以A 为坐标原点，AB ，AM ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，D (－1，3，0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，32，2，∴DD 1―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，2，BD ―→＝(－3，3，0)，A 1B ―→＝(2,0，－2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ―→＝0，n ·A 1B ―→＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋3y ＝0，2x －2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，3，1)，∴|cos 〈n ，DD 1―→〉|＝|n ·DD 1―→||n |·|DD 1―→|＝15×5＝15.∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为15.3.(2018届高三·洛阳四校调研)如图，四边形ABEF 和四边形ABCD均是直角梯形，∠F AB ＝∠DAB ＝90°，二面角F -AB -D 是直二面角，BE ∥AF ，BC ∥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；(2)求二面角F -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE ∥AF ，BE ⊄平面AFD ，AF ⊂平面AFD ， ∴BE ∥平面AFD .同理可得，BC ∥平面AFD .又BE ∩BC ＝B ，∴平面BCE ∥平面AFD . 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C .∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ，平面DFC ∩平面AFD ＝DF ， ∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l .(2)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，F A ⊂平面ABEF ， 又∠F AB ＝90°，∴AF ⊥AB ，∴AF ⊥平面ABCD . ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥AD . ∵∠DAB ＝90°，∴AD ⊥AB .以A 为坐标原点，AD ，AB ，AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，D (1,0,0)，C (2，2,0)，F (0,0,2)，∴DF ―→＝(－1,0,2)，DC ―→＝(1,2,0)．设平面DFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF ―→＝0，n ·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令z ＝1，则n ＝(2，－1,1)，不妨取平面ACD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66，由于二面角F -CD -A 为锐角， 因此二面角F -CD -A 的余弦值为66. 4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)证明：取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ， 又CE ⊄平面P AB ，BF ⊂平面P AB ， 故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角， 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105. 5．(2017·开封模拟)如图①，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图②所示．(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)求二面角D -AB -C 的余弦值．解：(1)证明：易知AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ，∴AD ⊥BC .又AD ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，∴AD ⊥平面BCD ， ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD .(2)以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则C (0，0,0)，A (22，0,0)，D (2，0，2)，B (0,22，0)，AD ―→＝(－2，0，2)，AB ―→＝(－22，22，0)．设平面ABD 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2z ＝0，－22x ＋22y ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝1，所以平面ABD 的一个法向量m ＝(1,1,1)． 易知平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33，由图知，二面角D -AB -C 为锐角， ∴二面角D -AB -C 的余弦值为33. 6.(2018届高三·湖北五校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，P A ＝2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M -AC -D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42， 可得AB ＝AC ＝4， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，又P A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面P AC ， 所以AB ⊥PC .(2)存在，理由如下：取BC 的中点E ，则AE ⊥BC ，以A 为坐标原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0，22，0)，P (0，0,2)，B (22，－22，0)，PD ―→＝(0,22，－2)，AC ―→＝(22，22，0)．设PM ―→＝t PD ―→(0＜t ＜1)， 则点M 的坐标为(0,22t ，2－2t )， 所以AM ―→＝(0,22t,2－2t )．设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AM ―→＝0，即⎩⎨⎧22x ＋22y ＝0，22ty ＋(2－2t )z ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，z ＝2t 1－t ，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t .又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t t －12＝22， 解得t ＝12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量n ＝(1，－1，2)， 又BM ―→＝(－22，32，1)． 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，BM ―→〉|＝422×33＝269.故BM 与平面MAC 所成角的正弦值为269.高考第18题(或19题)⎪⎪概率与统计20151．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)由(1)知可得列联表。