1.4 二次函数与一元二次方程的联系.4 二次函数与一元二次方程的联系

合集下载

九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别

二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x =2ab-,。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。

当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。

2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。

Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。

④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。

二次函数与一元二次方程的关系

（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号： y
根据图像可得： 1、a＞0

“二次函数与一元二次方程的关系”解读

“二次函数与一元二次方程的关系”解读二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的必考内容之一。

同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化。

二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别。

当抛物线c bx ax y ++=2的y 的值为0时，就得到一元二次方程02=++c bx ax 。

抛物线与x 轴是否有交点就取决于一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况。

当ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；当ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴的只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；当ac b 42-<0时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点。

下面分析几个实例，供同学们参考。

例1 求抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点。

分析：可令y=0，根据04832=+-x x 的根来确定抛物线与x 轴的交点的横坐标。

解：令y=0，则04832=+-x x 解方程得：2,3221==x x∴抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点坐标为)0,32(，（2，0）例2 已知二次函数142-++=k x x y（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的取值。

分析：此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与x 轴有两个不同的交点，可利用ac b 42->0来确定k 的取值范围。

当抛物线的顶点在x 轴上，说明抛物线与x 轴只有有一个的交点，可利用ac b 42-=0来确定k 的取值。

解：在一元二次方程0142=-++k x x 中，（1）△=04204416)1442>-=+-=--k k k （∴当k<5时，抛物线与x 轴有两个不同的交点。

《1.4二次函数与一元二次方程的联系》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级下册

《二次函数与一元二次方程的联系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过二次函数与一元二次方程的联系，加深学生对二次函数的理解，掌握一元二次方程的解法，并能够灵活运用两者之间的关系解决实际问题。

二、作业内容本作业内容主要围绕二次函数与一元二次方程的关系展开，具体包括以下内容：1. 复习二次函数的基本概念、性质及图像特征，掌握二次函数的表达式、顶点式和交点式。

2. 理解一元二次方程的来源及与二次函数的关系，掌握一元二次方程的求解方法，如因式分解法、公式法等。

3. 结合实际问题，运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，如求最大值、最小值问题，抛物线形状问题等。

4. 完成一定量的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

三、作业要求1. 学生需认真复习二次函数和一元二次方程的相关知识，掌握基本概念和性质。

2. 在理解一元二次方程与二次函数关系的基础上，独立完成作业中的练习题。

3. 作业中需注明解题步骤，思路清晰，字迹工整。

4. 针对实际问题，学生需结合所学知识，提出自己的见解和解决方案。

5. 作业需在规定时间内完成，并按时提交。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的情况，从知识掌握、解题能力、思路清晰、字迹工整等方面进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业，给出评分及评语，指出学生存在的问题及不足之处，鼓励学生发扬优点，改进缺点。

3. 评价反馈：教师将评价结果及时反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，以便及时调整学习策略。

五、作业反馈1. 教师根据学生完成作业的情况，进行统计和分析，了解学生的学习情况和问题所在。

2. 针对学生在作业中存在的问题，教师可在课堂上进行讲解和辅导，帮助学生解决问题。

3. 对于表现优秀的学生，教师可给予表扬和鼓励，激发学生学习的积极性和自信心。

4. 作业反馈的结果将作为学生平时成绩的一部分，以全面评价学生的学习情况。

通过此作业设计，学生能够更加深入地理解和掌握二次函数与一元二次方程的联系，培养其灵活运用所学知识解决实际问题的能力。

二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系

21.3二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是.【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3;(2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。

二次函数与一元二次方程的联系

二次函数与一元二次方程的联系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系。

本文将从几何关系和代数关系两个方面来探讨二次函数与一元二次方程之间的联系。

一、几何关系1. 二次函数的几何意义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

对称轴为x = -b/2a，顶点的纵坐标为c - b^2/4a。

抛物线在对称轴上下方呈现关于对称轴对称的特点。

2. 一元二次方程的几何意义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它表示抛物线与x轴的交点位置，也就是方程的解。

如果方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个交点；如果方程有一个实数根，则抛物线与x轴有一个切点；如果方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数与一元二次方程的联系：二次函数的图像与一元二次方程的解之间存在着密切的联系。

通过解一元二次方程可以确定二次函数的图像与x轴的交点位置，而通过分析二次函数的图像可以得到一元二次方程的解的情况。

二次函数与一元二次方程的解是一一对应的关系。

二、代数关系1. 二次函数的表达式与一元二次方程：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，将其与y = f(x)进行等价转化，可以得到一元二次方程ax^2 + bx + c = y。

这意味着，我们可以通过二次函数的表达式来推导出一元二次方程。

反过来，已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，将其与y = 0进行等价转化，可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这意味着，我们可以通过一元二次方程来确定二次函数的表达式。

2. 二次函数的性质与一元二次方程的解：二次函数的性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。

比如，当二次函数开口向上且顶点在x轴上方时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数开口向下且顶点在x轴下方时，一元二次方程无实数根；当二次函数开口向上且顶点在x轴上时，一元二次方程有一个实数根。

二次函数与一元二次方程的联系

二、自主学习
1自学课本43页问题说说自己有什么发现。
2的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图
象
交
点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
3.对比第2题各方程的解，你发现什么？
三、知识梳理：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的.（即把代入）
2．抛物线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是；
3.二次函数，当＝________时，＝3．
4.如图，一元二次方程的解为。
5.如图，一元二次方程的解为。
6.已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
【自主反思】
1、知识盘点：
2、心得感悟：
1.4二次函数与一元二次方程的联系（1）
【学习目标】
1、体会二次函数与一元二次方程之间的联系。
2、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【重点、难点】
二次函数和一元二次方程的根之间的联系.
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线与轴交于点，与轴交于点。
2.一元二次方程，当Δ时，方程有两个不相等的实数根；当Δ时，方程有两个相等的实数根；当Δ时，方程没有实数根；
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有个交点
0，
方程有的实数根
与轴有个交点；
这个交点是点
0，
方程有实数根
与轴有个交点
0，
方程有实数根.

浅谈二次函数与一元二次方程的联系

浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。

探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。

通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。

一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。

关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。

完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。

关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。

这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。

它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。

初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（）A ．无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为．例3图变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为。

课件：二次函数与一元二次方程之间的关系

h= 20t–5t2 .
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 抛物线与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
知2－练
1 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0
＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4

二次函数,与二次三项式一元二次方程之间的内在联系

二次函数，与二次三项式一元二次方程之间的内在联系全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：二次函数与二次三项式一元二次方程之间存在着密切的内在联系。

二次函数是一种以x的二次幂为特征的函数形式，通常表示为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

而二次三项式一元二次方程则以一元二次方程形式呈现，即ax^2 + bx + c = 0。

在分析这两者之间的内在联系时，我们需要逐步深入探讨它们的数学特性以及其在实际问题中的应用。

我们来看二次函数和二次三项式一元二次方程之间的数学关系。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为直线x = -b/2a。

而二次三项式一元二次方程的解则体现了抛物线与x轴的交点，即方程的根。

这些根可以是两个实数根，一个重根或者两个复数根，这些根的性质直接与二次函数的性质相关联。

在实际求解问题中，我们常常通过解二次三项式一元二次方程的根来求解二次函数的最值、零点和图像的特征。

二次函数和二次三项式一元二次方程在实际问题中的应用也体现了它们之间的内在联系。

二次函数在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。

一个抛物线代表一个抛出运动的轨迹，其顶点坐标可以表征运动的最高点；在工程学中，二次函数可以代表一些材料的磨损情况，以及一些机械零件的运动规律。

而二次三项式一元二次方程则可以用于解决各种实际问题，比如求解抛物线与x轴的交点所代表的物理问题，以及计算某些工程模型中的未知量。

这些应用场景进一步体现了二次函数与二次三项式一元二次方程之间的内在联系，它们在解决实际问题时常常相互联系、相互补充。

二次函数和二次三项式一元二次方程还有许多其他数学特性和性质，比如判别式、因式分解、完全平方公式等。

这些特性和性质不仅可以帮助我们更好地理解二次函数与二次三项式一元二次方程之间的关系，还可以应用于实际问题的求解过程中。

二次函数与二次三项式一元二次方程之间的内在联系体现了数学领域中不同概念之间的协同作用。

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》教学设计

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》这一节主要让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

教材通过具体的例子引导学生理解两者之间的关系，并运用数学知识进行分析。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了一元二次方程的知识，对二次函数也有了一定的了解。

但学生可能对两者之间的联系和区别认识不够清晰，需要通过实例进行分析，加深理解。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。

2.让学生掌握二次函数与一元二次方程的区别。

3.培养学生运用数学知识分析问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

2.教学难点：如何引导学生理解并运用数学知识分析两者之间的关系。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过实例分析，发现二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

同时，运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学实例。

2.准备PPT，用于展示教学内容和实例。

3.准备小组合作学习任务单。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数和一元二次方程的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）展示PPT，呈现二次函数和一元二次方程的定义和关系。

引导学生理解两者之间的联系。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实例分析，运用数学知识分析二次函数和一元二次方程之间的关系。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生总结在实例分析中得到的结论，加深对二次函数和一元二次方程之间联系和区别的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了已学的实例，还有哪些情况下可以运用二次函数和一元二次方程之间的关系？让学生运用所学知识解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

43.二次函数与一元二次方程的关系(一)

二次函数与一元二次方程的关系（一）
问题探究
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取常数（定值）时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程联系密切已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．既然联系密切，我们可以运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
0个 1个
2个 y = x2－x＋1
3
-2, 1
y = x2＋x－2
1
知识梳理
以上是运用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象
与x轴的位置关系.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元ห้องสมุดไป่ตู้次方程ax2+bx+c=0根的关系
问题2.下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表二次函数 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 抛物线与x轴公共点公共点个数横坐标当x取公共点横坐标相应的一元二次方程的根时，函数值是多少？ x2-x+1=0没有实数根 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 0 y = x2－6x＋9

二次函数与一元二次方程的关系课件

二次函数的对称性
二次函数的对称性是指二次函数图像关于某条直线对称的性质。对于一般的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。例如，在解决几何问题时，可以利用二次函数的对称性找到对称点或对称线。
一元二次方程的定义
总结词
只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程
详细描述
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a neq 0$。它是一个方程，包含一个未知数$x$，且 $x$的最高次数为2。
二次函数与一元二次方程的关系
总结词：转化关系
详细描述：对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，如果我们将它等于0，即$ax^2 + bx + c = 0$，那么它就转化为一元二次方程。此时，函数的图像与x轴的交点即为方程的根。
04
二次函数与一元二次方程的解题技巧
如何解一元二次方程
因式分解法
如果一元二次方程可以写成两个一次因式的乘积等于零的形式，则可以通过因式分解法求
解。
配方法
将一元二次方程转化为一个完全平方等于一个常数加一个线性项的形式，然后求解。
公式法
对于一般形式的一元二次方程，可以使用求根公式求解。
十字相乘法
递增。
04
当 $a > 0$ 时，函数在区间 $(-infty, -frac{b}{2a}]$ 上单调递增，在区间 $[-frac{b}{2a}, +infty)$ 上单调递减。

1.4二次函数与一元二次方程的联系课件数学湘教版九年级下册

有怎样的关系？
当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是
一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根；
同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x
= 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根.
一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个
ax bx c=M
2
y ax bx c(a 0)
2
yM
1.二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值
范围是( D )
A．k＜3
B．k＜3 且 k≠0
C．k≤3
D．k≤3 且 k≠0

2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过(﹣3，0)与(1，0)两点，
一元一次方程 x＋2＝0 的根为________.
－2
(2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为(
2 ，0 )，
一元一次方程－3x＋6＝0 的根为_______.
2
问题一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次
方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？
一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
6.抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是 (-2，4)，(3，4) ，
与y轴的交点坐标是
(0，-2)
.
7. 已知二次函数y=x²-6x+8的图象，利用图象回答问题：

二次函数与一元二次方程的关系

生必做实验的前提下,大力加强学生选做实验的容量及演示实验,通过实验引入概念,得出规律,检验假设,发展思维,培养学生探究知识的兴趣和能力。

例如,在讲解钠的化学性质时,可增加一个实验:取一小块钠投入到装有硫酸铜溶液或硫酸铁溶液的小试管中,会有沉淀生成,这种现象必然很快引起学生的好奇,思维开始活跃,产生积极的探究的欲望。

将某些演示实验(简单的试管实验)改为边讲边实验。

开放实验室,鼓动学生在教师的指导下,自主设计、自主操作实验。

还可安排一些家庭实验,如学习原电池知识后,布置一个课外作业:利用生活的某些物品自制简易原电池,引导学生把课堂上学到的知识转变成实际的应用。

这样就迫使学生自己去发现问题,去设计实验,去创新。

还可以将一些实验设计成探究式实验,利用课外活动时间叫学生去做,这样能大大提高学生的动手能力。

教育科学实践证明:化学实验教学在完善学生学科素质、培养学生创新意识和训练学生创造思维能力方面,可以起到积极的促进作用。

四尧技术要丰富传统的教学手段是黑板粉笔,幻灯投影片,这些手段简便快捷,随时可以按照课堂情况书写内容,易学易用,经济高效。

但有局限性,表现形式呆板、僵硬,不能展现化学中的微观问题,且容量小。

而多媒体技术可以解决这些问题。

以电视、录像、实物展示台等现代媒体与计算机结合的多媒体教育手段为学生提供良好的个别学习环境,能真正实现因材施教。

计算机的模拟功能可使抽象的内容形象化、静止的内容动态化,以便于学生获取准确深刻的直观感知,从而形成完整的理性认识,如“电子云”概念很抽象,教师用语言、挂图均不易表达清楚,采用多媒体仿真技术模拟“电子云”,学生可以直观地感觉到电子出现的“几率”大小,从而理解“电子云”的概念。

用多媒体展现有机化学中一些分子的立体结构和取代反应、加成反应的历程,可以帮助学生深刻理解这些难以理解的问题。

总之,用现代教育思想和教育技术改革教学方法是极富发展前景的探索和促进教育现代化的活动,它的宗旨和任务就是促进基础教育从应试教育向素质教育转轨。